最优化理论研究生试卷_-2011516
最优化复习题及答案
最优化复习题及答案一、选择题1. 最优化问题中，目标函数的值随着决策变量的变动而变动，我们称之为：A. 约束条件B. 可行域C. 目标函数D. 决策变量答案：C2. 在线性规划问题中，如果所有约束条件和目标函数都是线性的，则该问题被称为：A. 非线性规划B. 整数规划C. 线性规划D. 动态规划答案：C3. 以下哪个算法是用于求解无约束最优化问题的？A. 单纯形法B. 梯度下降法C. 拉格朗日乘子法D. 分支定界法答案：B二、填空题4. 在最优化问题中，满足所有约束条件的解称为________。
答案：可行解5. 当目标函数达到最大值或最小值时的可行解称为________。
答案：最优解6. 拉格朗日乘子法主要用于求解带有等式约束条件的________问题。
答案：最优化三、简答题7. 简述单纯形法的基本思想。
答案：单纯形法是一种用于求解线性规划问题的算法。
它通过在可行域的顶点之间移动，逐步逼近最优解。
在每一步中，选择一个进入基的变量，使得目标函数值增加最多，同时选择一个离开基的变量，使得目标函数值不降低。
通过这种方法，单纯形法能够找到线性规划问题的最优解。
8. 解释什么是局部最优解和全局最优解。
答案：局部最优解是指在目标函数的邻域内没有其他解比当前解更优的解。
而全局最优解是指在整个可行域内没有其他解比当前解更优的解。
局部最优解不一定是全局最优解，但全局最优解一定是局部最优解。
四、计算题9. 假设有一个生产问题，需要最小化成本函数 C(x, y) = 3x + 4y，其中 x 和 y 分别表示生产两种产品的产量，且满足以下约束条件： - 2x + y ≤ 12- x + 2y ≤ 18- x, y ≥ 0请求解该最优化问题。
答案：首先，我们可以画出约束条件所形成的可行域。
然后，检查可行域的顶点，这些顶点分别是 (0,0), (0,9), (6,0), (3,6)。
计算这些顶点处的成本函数值，我们得到：- C(0,0) = 0- C(0,9) = 36- C(6,0) = 18- C(3,6) = 30成本函数的最小值为 18，对应的最优解为 (x, y) = (6, 0)。
最优化试题
最1.试用内点法求解非线性规划 min 21)(x x x f +=s.t. 0)(22211≥+=x x x g0)(12≥=x x g解：障碍函数采用对数函数来构造212121(,)ln()ln k k k p x r x x r x x r x =+--+- 用解析法求解121121(,)21k r k k k p x r x r r x x x x ∂-=--∂-+22121),(x x r x r x p kk +--=∂∂ 令021=∂∂=∂∂x px p ，解方程组得)811(411k r x ++-=，8811232kk r r x ++--=， 因此Tk k k k r r r r X )881123,4811()(++--++-=,当k r ->0时，)(k r X 趋向于原问题的最优解为Tx )0,0(*=.2.用牛顿法求函数⎰=xtdt x f 0arctan )(的极小值点，取11=x ，01.0=ε。
解： 因x x f arctan )(='，211)(x x f +=''，取11=x ，计算 7854.0)(1='x f ，2)(11=''x f 故有5708.0)()(1112-='''-=x f x f x x 。
同理有1169.03258.1)5178.0(5708.0)()(2223=⨯---='''-=x f x f x x 00106.00137.11163.01169.0)()(3334-=⨯-='''-=x f x f x x而01.00010.0)(4<≈'x f ，故迭代停止，输出近似极小解00106.0*-≈x 。
3.设组合优化问题的目标函数为2()f x x =，约束函数为2()1g x x =-，定解区域为2}，求此问题的全局最优解。
最优化试题及答案
mi 1 m *m j * g j (x*) 0最优化理论、方法及应用试题一、(30 分)1、针对二次函数f(x) 1x T Qx b T x c，其中Q是正定矩阵，试写出最速下降算法的详细步骤，并简要说明其优缺点？答：求解目标函数的梯度为g(x) Qx b，g k g(x k) Qx k b，搜索方向：从X k出发，沿g k作直线搜索以确定x k 1。
Stepl:选定X。
,计算f o,g oStep2:做一维搜索，f k i min f X k tg k , x k 1 X k tg k.Step3 :判别，若满足精度要求，则停止；否则，置 k=k+1,转步2优缺点：最速下降法在初始点收敛快，收敛速度慢。
算法简单，在最优点附近有锯齿现象,2、有约束优化问题min f (x)g i(x) 0,i 1,2,L ,ms.th j (x) 0,j 1,2,L ,l最优解的必要条件是什么？答：假设x*是极小值点。
必要条件是f，g，h函数连续可微，而且极小值点的所有起作用约束的梯度h(x*)(i 1,2丄，1)和g j(x*)( j 1,2,L ,m)线性无关，则* * * *存在1 , 2丄，I, 1, 2丄，m,使得lf(x*) i* h i(x*)i 1j*g j(x*) 0,j 1,2,L* * * * *1 ,2 ,L , l , 1 , 2 ,L ,*0, j 03、什么是起作用约束？什么是可行方向？什么是下降方向？什么是可行下降方向？针对上述有约束优化问题，如果应用可行方向法，其可行的下降方向怎样确定？答：起作用约束：若g j(x0) 0，这时点x0处于该约束条件形成的可行域边界上,它对x0的摄动起到某种限制作用可行方向：x0是可行点，某方向 p，若存在实数0 0,使得它对任意2、应用共轭梯度方法求解无约束优化问题 min X 28X |，初始点为X 0 1 1 丁 。
答：假设误差范围是0.001。
浙江理工大学2011级研究生《最优化控制》试题
浙江理工大学2011级研究生《最优化控制》试题1、设性能泛函为⎰+=2122)()(dt x t x x J ，边界条件想x(1)=1，x(2)=2，求使性能泛函J(x)为最小值的最有轨线)(*t x ，并求泛函极小值)(**x J 。
2、设系统状态方程为 )()(21t x t x =∙，1)0(1=x )()(2t u t x =∙，0)0(2=x试求最优控制)(t u *，当∞→f t 时使得性能指标⎰+=ft dtt u t x J 0221)]()([21为最小。
3、设系统状态方程为)()(21t x t x =∙，1)0(1=x ，0)(1=f t x )()(2t u t x =∙，0)0(2=x ，0)(2=f t x约束条件1)(1≤≤-t u ，要求确定)(t u *，使性能指标⎰=ft dt J 0极小，并求出切换时间s t 和最短时间f t *。
4、已知二阶系统的状态方程和边界条件 )()(21t x t x =∙，1)0(1=x ，41)(1=f t x )()(2t u t x =∙，0)0(2=x ，41)(2=f t x约束条件1|)(|≤t u ，f t 可变，要求确定)(t u *，使性能指标⎰=ft dt t u J 02)(极小。
5、已知离散系统方程)()(2)1(k u k x k x +=+，1)0(=x ，代价函数∑=++=2222))()(()3(k k u k x x J ，式中的状态)(k x 及控制)(k u 均不受约束。
试求最优控制序列)}2(),1(),0({***u u u ，使代价函数极小。
合工大硕士研究生最优化方法期末考试题
st.
g1( X ) g2(X )
= =
− x12 − x1
− −
x22 x2
+9≥ 0 +1≥ 0
【解】略
命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A”、“试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
其中
G
=
3 −1
−1 1
正定,
b
=
−2 0
,
c
=
0
,
X (0) = (−2, 4)T , gk = ∇f ( X k ) = GX k + b , ∇2 f ( X k ) = G , g0 = ∇f ( X 0 ) = GX 0 + b = (−12, 6)T ≠ 0 ,
故取 p0 = −g0 = (12, −6)T ,从 X 0 出发,沿 p0 作一维搜索，即求
f ( X ) − f (Z ) ≥ ∇f (Z )T ( X − Z ) , f (Y ) − f (Z ) ≥ ∇f (Z )T (Y − Z ) ,
用α ,1−α 分别乘上述两式再相加得α f (X ) + (1 −α ) f (Y ) − f (Z ) ≥ 0 ,
即 f [α X + (1−α )Y ] ≤ α f ( X ) + (1−α ) f (Y ) ,故 f ( X ) 是 D 上为凸函数.
s.t.
−
x1
+
x2
x3
≥1 ≤3
x1, x2 ≥ 0
三．(10 分)试述 0.618 法计算迭代歩骤
七．(12 分)用外点法求解：
最优化方法试卷及答案5套
《最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示为_____________________________，若______________________________，称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。
2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶方向导数为___________________，几何意义为____________________________________________________________。
3．设严格凸二次规划形式为：012..222)(min 2121212221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f则其对偶规划为___________________________________________。
24．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。
最优化方法试题及答案
最优化方法试题及答案一、选择题1. 下列哪项不是最优化方法的特点？A. 目标性B. 可行性C. 多样性D. 随机性答案：D2. 在最优化问题中，约束条件的作用是什么？A. 限制解的可行性B. 增加问题的复杂性C. 提供额外的信息D. 以上都是答案：A3. 线性规划问题中，目标函数与约束条件之间的关系是什么？A. 无关B. 相等C. 线性D. 非线性答案：C二、简答题1. 简述最优化问题的基本构成要素。
答案：最优化问题的基本构成要素包括目标函数、决策变量、约束条件和解的可行性。
目标函数是衡量最优化问题解的质量的函数，决策变量是问题中需要确定的参数，约束条件是对决策变量的限制，解的可行性是指解必须满足所有约束条件。
2. 什么是局部最优解和全局最优解？请举例说明。
答案：局部最优解是指在问题的邻域内没有其他解比当前解更优的解，而全局最优解是指在整个解空间中最优的解。
例如，在山峰攀登问题中，局部最优解可能是到达了一个小山丘的顶部，而全局最优解是到达了最高峰的顶部。
三、计算题1. 假设一个农民有一块矩形土地，长为100米，宽为80米，他想在这块土地上建一个矩形的养鸡场，但只能沿着土地的长边布置。
如果养鸡场的一边必须靠在土地的长边上，另一边与土地的宽边平行，求养鸡场的最大面积。
答案：为了使养鸡场的面积最大，养鸡场的一边应该靠在土地的宽边上，另一边与土地的长边平行。
这样，养鸡场的长将是80米，宽将是100米，所以最大面积为80米 * 100米 = 8000平方米。
2. 一个工厂需要生产三种产品A、B和C，每种产品都需要使用机器X 和机器Y。
生产一个单位的产品A需要机器X工作2小时和机器Y工作1小时；产品B需要机器X工作3小时和机器Y工作2小时；产品C需要机器X工作1小时和机器Y工作3小时。
工厂每天有机器X总共300小时和机器Y总共200小时的使用时间。
如果工厂每天需要生产至少100单位的产品A，50单位的产品B和20单位的产品C，请问工厂应该如何安排生产以最大化产品的总产量？答案：设生产产品A的单位数为x，产品B的单位数为y，产品C的单位数为z。
最优化考试卷子
考试时间120分钟最优化试卷1.考试形式：闭卷；2.本试卷共十大题，满分100分班级学号姓名任课教师一．（20分）解释下列概念： （1）凸集，凸规划；（2）线性规划的基和基本解;（3）无约束优化算法的下降搜索方向，举出两种搜索方向；（4）约束最优化问题的可行解集合或容许解集合；（5）共轭方向；二．（10分）解答下列问题（1）判断函数22131212f(x)=10x 52x x x x x ---+为凸函数或凹函数或严格凸函数或严格凹函数；（2）求函数12212f(x)=34x x x x +的梯度和hessian 矩阵。
三．（15分）写出下列线性规划的对偶形式，并用单纯形法求解原规划的最优值和最优解 max 123z=33x x x ++ 123232x x x ++≤s.t 123235x x x ++≤ 123226x x x ++≤123,,0x x x ≥四．（10分）写出一维搜索0.618法的基本思想和算法步骤或框图。
五．（15分）分别利用内点法和外点法求解下列问题 min 3121(1)3x x ++s.t 1(1)0x -≥20x ≥六（15分）．设A 为n 阶对称正定矩阵 （1） 写出A 的共轭向量组的定义；（2） 并证明该向量组必为线性无关向量组；（3）设n 维向量组12,,,n a a a 线性无关，如果存在n 维向量x ，满足'0i x a =，(i=1,2,…n),证明：n 维向量x=0.七．（15分）简述DFP 算法的优缺点：并证明迭代的尺度矩阵满足拟牛顿方程11其中x x x ,,x (x )(x )()()k k k k k k K k k k k K k K k k K kg g g C g H g H g g H g ++∇=-∇=-''''=∇∇∇∇-∇∇∇∇。
最优化理论试题及答案
最优化理论试题及答案一、单项选择题1. 以下哪个函数是凸函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = -x^2C. f(x) = x^3D. f(x) = e^x答案：A2. 线性规划问题的基本解是：A. 基本可行解B. 可行解C. 基本解D. 基本最优解答案：A3. 单纯形法中，如果目标函数的最优值是无界的，则对应的解是：A. 无解B. 可行解C. 基本可行解D. 基本最优解答案：A4. 在拉格朗日乘数法中，拉格朗日函数是：A. 目标函数和约束条件的乘积B. 目标函数和约束条件的和C. 目标函数和约束条件的差D. 目标函数和约束条件的商答案：B5. 以下哪个算法用于解决非线性规划问题？A. 单纯形法B. 内点法C. 匈牙利法D. 动态规划答案：B二、多项选择题1. 以下哪些条件是凸优化问题的必要条件？A. 目标函数是凸函数B. 所有约束条件是凸集C. 目标函数是凹函数D. 所有约束条件是凹集答案：A, B2. 在线性规划中，以下哪些是可行域的性质？A. 非空B. 凸集C. 闭集D. 有界答案：A, B, C3. 以下哪些方法可以用于解决整数规划问题？A. 分支定界法B. 割平面法C. 单纯形法D. 动态规划答案：A, B, D4. 以下哪些是拉格朗日乘数法的用途？A. 寻找局部最优解B. 寻找全局最优解C. 确定约束条件的活跃性D. 确定目标函数的梯度答案：A, C5. 以下哪些是动态规划的基本要素？A. 状态B. 决策C. 阶段D. 策略答案：A, B, C三、填空题1. 一个函数f(x)是凸函数，当且仅当对于任意的x1, x2和任意的λ∈[0,1]，有f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)。
2. 线性规划问题的标准形式是：最大化或最小化目标函数z = c^T x，满足约束条件Ax ≤ b和x ≥ 0。
3. 单纯形法的基本思想是通过不断地从一个基本可行解移动到另一个基本可行解，直到找到最优解。
最优化理论考试试题
最优化理论考试试题一、选择题1. 最优化理论的基本概念是指：A. 在给定条件下寻找函数的最小值或最大值B. 通过不断迭代来逼近函数的极值点C. 利用数值方法求解函数的最优解D. 以上都是2. 关于最优化问题中的约束条件，以下说法正确的是：A. 约束条件可以是等式约束B. 约束条件可以是不等式约束C. 约束条件可以是混合约束D. 以上都是3. 最优化问题分为无约束和约束两种情况，下列哪一种情况不属于最优化问题？A. 无约束最优化问题B. 约束最优化问题C. 反馈最优化问题D. 离散最优化问题4. 最优化理论中常用的优化方法包括：A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 共轭梯度法D. 以上都是5. Golden Section Search方法主要用于：A. 精确搜索极值点B. 近似搜索极值点C. 寻找函数的全局最小值D. 寻找函数的局部最小值二、填空题1. 在最优化理论中，目标函数一般被记为_______。
2. 梯度下降法中的步长大小通常由_______确定。
3. 在多元函数优化中，Hessian矩阵是由二阶_______组成的。
4. 拉格朗日乘子法用于处理含有_______的约束最优化问题。
5. 共轭梯度法是解决_______问题的一种有效方法。
三、简答题1. 请简要介绍最优化理论的基本思想和应用领域。
2. 分别说明无约束最优化问题和约束最优化问题的关键特点。
3. 请解释梯度下降法和牛顿法的基本原理，并比较它们之间的异同。
4. 举例说明拉格朗日乘子法在实际问题中的应用。
5. 请解释共轭梯度法的基本原理，并说明其在优化问题中的优势和适用情况。
以上是最优化理论考试的试题内容，希望同学们认真复习，做好准备，祝大家取得优异的成绩！。
最优化方法试卷及答案5套.docx
最优化⽅法试卷及答案5套.docx《最优化⽅法》1⼀、填空题:1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型⼀般为：_____________________________________________ ,其中___________ 称为⽬标函数，___________ 称为约束函数，可⾏域D可以表⽰为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。
2.设f(x)= 2⽄+2“2-兀|+5花，则其梯度为__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿⽅向d的⼀阶⽅向导数为___________ ，⼏何意义为_____________________________________ ，⼆阶⽅向导数为____________________ ,⼏何意义为_____________________________3.设严格凸⼆次规划形式为：min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2s.t. 2%! 4- x2 < 1> 0x2 > 0则其对偶规划为_______________________________________________min%（d ） = f （x k +ad k ）的最优步长为务=—叫）F.d kT Gd k2. （10分）证明凸规划min/（x ）,x G D （其中⼦（兀）为严格凸函数，D 是凸集）的最优解是唯⼀的3. （13分）考虑不等式约束问题min /（x ）s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可⾏点，若在元处 d 满⾜巧（计<0,VC,（元）（可则d 是元处的可⾏下降⽅向。
《最优化方法》考试试卷
密 封线《最优化方法》考试试卷考试时间 100 分钟一、填空题（每题1、若存在*x D ∈（可行域），并对x D ∀∈有*()()f x f x ≤，则称*x 为最优化问题（M P ）的 解。
2、若在最大化问题中，对于某个基可行解，所有的 ，则这个基可行解是最优解。
3、建立优化模型的三大要素：确定 决策变量、确定 和确定约束条件。
4、设序列{}k x 收敛于*x ，若对于1p ≥有(1)*()*lim,0k pk k x xxxββ+→∞-=<<+∞-则称序列{}k x 是 收敛的。
5、若线性规划问题有最优解，则一定存在一个 是最优解。
6、设nR S ⊂是非空凸集，1:R S f →，如果对任意的)1,0(∈α有)))1((Y X f αα-+ )()1()(Y f X f αα-+∀S Y X ∈,则称f 是S 上的凸函数。
7、一维牛顿法的基本思想是在极小点附近用 多项式近似目标函数()f x ，进而求出极小点的估计值。
8、惩罚函数法主要有外惩罚函数法和 两种形式。
9、在黄金分割法中，在],[b a 内任取21x x <，若＿＿＿＿ ，则],[2*x a x ∈，即向左搜索；若 )()(21x f x f ≥，则 ，即向右搜索。
二、简答题（每题7分，共21分）适用专业年级（方向）：考试方式及要求：1、写出下列问题的Matlab 调用代码1212121212m ax 2..5,0,6221,,0.x x s t x x x x x x x x ++≤-≥+≤≥2、写出用两阶段法求解下列问题的第一阶段的线性规划问题121212112m in 2..2,1,3,,0.x x s t x x x x x x x -++≥-≥≤≥3、写出下列问题的Lagrange 函数及该问题的K-T 条件221212112122121312211212m in (,)(1)(2)..(,)20(,)0(,)0(,)10f x x x x s tg x x x x g x x x g x x xh x x x x =-+-=+-≤=≥=-≤=-+-=密 封线三、建模题（7分）某城市要建设一个自来水供应中心，该中心向城市中n 个用户（用户位置固定）提供输送自来水的服务。
最优化方法考试试题
最优化方法考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1、下列哪个选项不是最优化方法的常见应用场景？A.生产计划优化B.金融投资组合优化C.图像处理优化D.自然语言处理优化正确答案：D.自然语言处理优化。
2、下列哪个算法不是求解线性规划问题的常用算法？A.单纯形法B.内点法C.外点法D.牛顿法正确答案：D.牛顿法。
3、下列哪个选项不是整数规划问题的特点？A.变量取值必须是整数B.问题复杂度较高，通常需要特殊算法求解C.在实际应用中比线性规划更为广泛D.可以使用与线性规划相同的方法求解正确答案：D.可以使用与线性规划相同的方法求解。
4、下列哪个选项不是梯度下降法的优点？A.简单易行，易于实现B.能较快地收敛到局部最优解C.对初值不敏感，易于找到全局最优解D.对于大规模数据处理效率较高正确答案：C.对初值不敏感，易于找到全局最优解。
5、下列哪个选项不是模拟退火算法的特点？A.基于概率的搜索方法，有一定的随机性B.在解空间内随机搜索，可以跳出局部最优解的陷阱C.可以找到全局最优解，但需要设置退火温度等参数D.对于组合优化问题通常比暴力搜索算法更快找到最优解正确答案：D.对于组合优化问题通常比暴力搜索算法更快找到最优解。
二、填空题（每空2分，共20分）6.最优化方法中，通常使用__________来衡量一个解的好坏。
正确答案：目标函数。
7.在使用单纯形法求解线性规划问题时，__________是算法终止的条件。
正确答案：迭代次数达到预设的上限。
8.整数规划问题中，如果所有变量都有上限和下限的约束，则称为__________规划问题。
正确答案：背包。
9.在使用模拟退火算法求解组合优化问题时，__________是算法终止的条件。
正确答案：达到预定的迭代次数或者解的变化小于某个给定的阈值。
10.最优化方法中，__________是一种启发式搜索方法，通常用于解决组合优化问题。
正确答案：遗传算法。
最优化问题在现实世界中随处可见，从解决日常生活中的最佳路线问题，到企业寻求最大化利润和最小化成本，最优化方法都发挥着至关重要的作用。
工程硕士研究生最优化方法试卷
工程硕士研究生最优化方法试卷华东理工大学工程硕士研究生《最优化方法》试卷专业班级学号姓名成绩2010年5月8日一、简答题（20分，每小题5分）1·函数3()2710f x x x在(,)上有最优解吗？如果有，请说明是局部最优解还是全局最优解。
2·请给出最优化方法中下降迭代算法的一般步骤。
3·何谓下降方向？请给出一种判别方法？负梯度方向是下降最快的方向吗？为什么？4·何谓可行方向？在最优点处有可行下降方向吗？为什么？二·（15分）你学过哪些一维优化算法（一维搜索法）？请你说明它们之间的关系和特点。
如果用黄金分割法求解该问题在区间[-1，1]上的最优解，要求近似精度达到0.01，那么需要迭代多少步就能找到所需要的解。
三·（10分）请用FR共轭梯度法求解如下优化问题，只需迭代一次，并给出第二次迭代的搜索方向，初始点0(1,1)Tx222 12min()23x Rf x x x四·（20分）1、请简述共轭方向法的一般步骤，并给出你所学过的共轭方向法。
2、简述拟牛顿算法的基本步骤，说明拟牛顿算法的特点。
3、请给出你所知道的直接算法，并说明每个算法的主要思想和特点，它们之间有关系吗？五·（10分）试用惩罚函数法求解如下的优化问题2..3min ()365s t x f x x x六·（15分）请考虑下述线性规划问题12121212max ()3423..23,0f x x x x x s t x x xx1·请给出上述问题的基本可行解与相应顶点的对应关系。
上述线性规划问题有不可行的基本解吗？如果有，请给出几何解释；2·试求上述线性规划问题的最优解。
七·（10分）已知某工程问题中反应因素y 与因素x 和时间t 之间的关系为),,,;,(=21k a a a t x f y其中k a a a ,,,21 是待定参数，为确定这k 个参数，实验测得有关y x t ,,的m 组数据为：),,2,1=(==,=m i y y t t x x i i i 时，当1． 请给出确定参数k a a a ,,,21 的优化问题的模型；2．对于上述优化问题，你知道哪些优化方法可求解该问题?。
硕士研究生最优化复习题
硕士研究生最优化复习题硕士研究生最优化复习题1.线性规划问题CX z =min ,0,≥=X b AX 其可行域为R ，最优目标函数值为z ，若分别发生下列情形之一时，其新的可行域为R *，新的最优目标函数值为z *，试分别写出下列三个问题中R 与R *及z 与z *之间的关系：（1）增添一个新的约束条件。
（2）减少一个原有的约束条件。
（3）目标函数变为λCXz =min ，同时约束条件方程变为1,0,>≥=λλX b AX 。
2.线性规划问题CX z =min ，0,≥=X b AX ，设X （0）为问题的最优解，若目标函数中用C *代替C 后，问题的最优解变为X *，求证：(C *-C )(X *-X （0）)≤03.若线性规划问题min z =CX ,AX ＝b, X ≥0具有最优解，试应用对偶理论证明下述线性规划问题min z =CX ,AX ＝d, X ≥0不可能具有无界解，d 可以是取任意值的向量。
4.试将图所示的求v 1到v 7点的最短路问题归结为求整数规划问题（建立整数规划模型），具体说明模型中变量、目标函数和约束条件的含义。
v 2 1 v 539 2 2v 1 5 v 4 4 v 7 8 38 4v 3 v 65．已知线性规划问题min Z=2x 1-x 2 +2x 3≥≤≤-+=++无约束 3 213 213 21x ,0x 0,x 6x x x - 4x x x -k 其最优解为x 1 = -5, x 2 =0, x 3 =-1（1）求k 的值。
（2）写出并求其对偶问题的最优解。
6.某公司要建立一线性规划模型，此模型受约束条件1或约束条件2约束。
如果满足约束条件1，必须同时满足另外p 1个约束条件中的k 1个(k 1 < p 1)约束；如果满足约束条件2，必须同时满足另外p 2个约束条件中的k 2个(k 2 < p 2)约束；要求建立整数规划的约束条件，满足上述要求。
研究生《最优化理论与方法》试题
理学院2010级研究生《最优化理论与方法》试题
1. （15分）设函数4:f R R →定义为
()
()()()()22441234231410510210f x x x x x x x x x =++-+-+- 证明：()*0
000T x =是f 的驻点（稳定点），并且*x 是f 在4R 上的严格全局
极小点。
2. （15分）叙述并证明满足wolfe 线搜索条件的下降算法的全局收敛性。
（提示：利用Zoutendijk 条件）
3. （20分）叙述修正的(Modified)Cholesky 分解算法。
用Cholesky 分解强迫
201
1211103231A -⎡⎤⎢⎥=+⎢
⎥⎢⎥⎣⎦正定，即令A A E =+正定，其中E 为修正矩阵。
4. （15分）设()f x =x b Ax x T T -，其中213,123A b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（1） 证明010d ⎛⎫= ⎪⎝⎭与112d -⎛⎫= ⎪⎝⎭
关于A 共轭 （2） ()00
0T x =，以0d 和1d 为搜索方向，用精确线搜索求f 的极小点 5. （15分）叙述并证明牛顿法及其二次收敛性
6. （20分）写出拟牛顿法的一般步骤，叙述几种常用的拟牛顿校正公式，包括（SR1，DFP ，BFGS ，Broyden 族，Huang 族）。
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p
s.t.
1 T p Bp 2 , 1 p 2 , p span g B g ,
1 1 其中 是信任域的半径， 而 p span g, B g 意味着 p g B g ( 和 为
两个实数)， g f ， B 是一个对称实矩阵。解决下面的问题：
为一个面积为 1 的正方形（如下图所示） 。
y 1 (xi, yj)
o
1
x
现在要求解满足下面两个条件的函数 z ( x, y ) ：
(i) z ( x, y ) 在定义域 S 上的曲面积分 A z x, y 最小； (ii) z x, y 在定义域 S 的边界上的点 x, y 的取值为给定值。
学时 50 学分 2.5 成绩
自动化工程学院 （学生填写）
学 院
1. (10 分)对于下面的线性规划问题：
min 5 x1 x2 s.t. 2x1 1 / 2 x2 8 x1 , x2 0 x1 x2 5
，
(a) 把上面问题改写为标准型(3 分)。 (b) 采用单纯形方法算法或者单纯形表计算本问题的最小值和对应的最小解
2
定义域 S 内部的点 xr , y s 所对应的函数值 z xr , ys ，满足上面的条件(i). 解决下面的问题： (a) 写出符合题意要求的优化问题的具体形式。
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6. (20 分)二维子空间最小化(2-dimensional subspace minimization)是一种信任域 方法，其问题可以描述为：
1
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3.
(20 分)对于下面的优化问题： min f ( x ) 2 x1 x2 2
xR
s.t.
1 x1
3
x2 0 ,
1 x2 x12 1 0 4
本问题的最优解为 x* 0 1 。
T
解决以下问题： (a) 在最优解处 LICQ 条件是否成立(3 分)？ (b) 在最优解处 KKT 条件是否满足(5 分)？ (c) 计算线性化可行方向集(set of linearized feasible directions) F ( x*) 和关键 锥(critical cone) C ( x*, *) ，其中 * 为在问题(b)中得到的拉格朗日乘子(6 分)。 (d) 在最优解处是否满足二阶必要条件和二阶充分条件(6 分)？
计 x (0) ，解决下面的问题：
(a) 采用高斯-牛顿法(Gauss-Newton Method)求解参数 x 。要求：(I) 使用伪代 码写出本问题的算法方案；(II) 自己设定合理的算法终止条件；(III) 如涉 及梯度计算需要写出显式表达式。
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5. (15 分)某连续函数 z ( x, y ) 的定义域为 S x, y | 0 x 1,0 y 1 ，该定义域
k
T
p
k
，假设其中 c 1 / 4 ，计算使得 Goldstein 条件成立的步长 0 的取值范围(6 分) 。 (c) 设置 0 5 / 2 采用 Fletcher-Reeves 方法(FR 方法)计算下一个迭代点 x 1 和 对应的 p (6 分)。
5
我们需要确定其中的参数 x x1
x2
x3
x4
x5 .为此，我们希望根据
T
模型预测得到的 ( x; t j ) 可以很好地吻合 y j .假设我们在 200 个不同时刻
t j ( j 1 ~ 200 )检测得到了对应的 y j ( j 1 ~ 200 )，并且对参数 x 有一个初始估
……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………
电子科技大学研究生试卷
考核日期 2012 年 12 月 18 日 （时间：晚上 19：30 至 21：30，共 2 小时） 课程编号 任课教师 开课学院 考核方式： 20006003 课程名称 彭晓明 教学方式 最优化理论与应用 （开卷） 堂上授课 （班级 2 ）
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人在服药后在不同的时刻 t j 抽取的血液中药物 浓度为 y j 。我们需要建立一个模型 ( x; t ) 来预测在时刻 t 的药物浓度。已知模 型 ( x; t ) 可以描述为
( x; t ) x1 tx2 t 2 x3 x4 e x t .
(a) 当矩阵 B 为正定时，求解上面优化问题的最优解 p * ，即对应的 *, * .
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T
(b) 根据 Goldstein 条件(Goldstein conditions)，
f ( x ) 1 c f x
k k
k
T
p f ( x p ) f ( x ) c f x
k k k k k k
根据曲面积分的定义，函数 z ( x, y ) 在定义域 S 上的曲面积分可以写为
A z x, y z z 1 dxdy . x y
2 2
( x , y )S
由于 z ( x, y ) 是连续函数，所以在实际应用中需要离散化处理。为此，把 定义域 S 所确定的正方形划分为很多个面积相同的正方形小网格（如上图所 示） ，假设一共有 q q 个小网格，这些小网格的四角一共可以确定 q 1 个
2
离散点 { xi , y j | 0 i q,0 j q} ， x0 , y0 对应原点 o 0,0 ， xq , yq 对应
1,1 。其中位于定义域 S 边界上的点 xu , yv [共有 4q 个]对应的函数值
z xu , yv 为已知的给定值 buv .于是， 本题的目的是求解剩余 q 1 4 q 个位于
* * [ x1 , x2 ] (7 分).
学 号
姓 名
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2. (15 分)对于下面的函数：
2 f ( x ) 3x12 x2 2 x1 x2 x13 2 x14 ，
初始解 x 0 0 2 ，解决下面问题：
T
(a) p 0 0 1 是否是一个在 x 0 处使得 f ( x ) 的函数值下降的方向(3 分)？