索洛增长模型

稳态分析的图形
y
yA
syA
A
0
kA
(n+g+δ)k
f(k) sf(k)
k
图中，sf(k)为人均储蓄曲线，它与 人均生产函数有相同形状但是位于生 产函数的下方。另外一条直线表示资 本的广化。
根据稳态分析，sy= （n+g+δ）k， 此时（n+g+δ）k线和sy曲线相交， 交点A所对应的人均资本为kA，人均 产量为yA，这时人均储蓄恰好等于资 本广化的需要，即
k的动态学
由于有 k K / AL 用链式法则，我们可以得到下面的推 导过程：
•
•
K (t)
K (t)
•
•
k(t) A(t)L(t) ( A(t)L(t))2 ( A(t) L(t) L(t) A(t))
•
•
•
K (t) K (t) L(t) K (t) A(t)
A(t)L(t) A(t)L(t) L(t) A(t)L(t) A(t)
储蓄率变动对消费的影响
若将家庭引入模型，其福利将取决于消费而非产量， 因此在许多情况下，我们可能只关心消费变动而非产 量变动。
当经济处于资本深化阶段时，产出的增长 会快于人口的增长，人均产出水平会不断 提高。因此对于资本贫乏的国家，其产出 增长率会高于资本充裕的国家，但是随着 资本深化的提高，他将日益接近于稳定增 长的人均资本水平，经济增长率最终会慢 下来。因此当经济偏离稳定状态时，无论 人均资本过多还是过少，都存在着某种力 量使其恢复到长期增长的均衡状态。这是 新古典经济增长理论对哈罗的模型的改进。
•
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
上述方程式表明，每单位劳动拥有的平 均资本量的变动率是两项之差：第一项 sf（k）是每单位有效劳动的平均实际投 资，f(k)是每单位有效劳动的平均产量， s是投资的比例。第二项是持平投资，即 使得k保持在现有水平上所必需的投资量。 其中包括弥补折旧部分带来的影响δk， 有效劳动增长带来的对人均资本占有量 的稀释作用(n+g)k。
假定密集形式的生产函数满足
f (0) 0, f (k) 0, f (k) 0 lim k0 f (k) , lim k f (k ) 0
y
Y=f(k)
随着每个工人拥有的资本 量的增加，每个工人的产 量也增加，但是由于报酬 递减规律的存在人均产量 的增加速度是递减的
o
k
生产投入品的变动 劳动和知识以不变速度增长，劳动增长
•
k
0
k
k*
索洛模型中的k的相图
平衡增长路径 当k向k 收敛时，劳动和知识分别以n和g的速度 增长，资本存量K ALk，由于k在k处不变，因此 K以n g的速度增长，规模报酬不变的假设意味着 总产出Y也以n g的速度增长。因此人均资本K / L 和每工人的平均产量Y / L以g的速度增长。 这样，索罗模型意味着不管经济的最初状态如何， 经济向一平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上 该模型中的每一个变量的增长率都是一个常数 （外生），每工人平均产量的增长率仅仅决定于 技术进步率g。
储蓄率增加与经济增长
y
s1y1
C1
sy0
C0
(n+g+δ)k
s1f(k) sf(k)
0
k0
k1
kຫໍສະໝຸດ Baidu
•上图显示，由于人们增加了储蓄，体现 为储蓄倾向的增大，经济从最初的稳定 状态转变为新的稳定状态，使得人均资 本和人均产量都增加了。
•但是需要说明的是，上图两个均衡点都 是稳态中的均衡点，而这个稳态的均衡 点，从长期来看，只不过是受人口增长 率(有效劳动增长率)水平的决定。因此 最终来看，储蓄率的提高有水平效应， 但是没有增长效应，它改变了经济的平 衡增长路径，因而改变了任一时点上每 工人的平均产量水平，但是并不影响处 于平衡增长路径时每工人平均产量的增 长率。
索洛增长模型
1、索洛模型的基本假定 投入与产出 索洛模型包括四个变量，产量Y，资本K，劳动
L和知识或者劳动的有效性A，资本劳动和知识 结合起来生产产品，生产函数形式为：
Y (t) F(K(t), A(t)L(t)) (1.1)
两点解释：时间并不直接进入生产函数，只是通过 K、L、A进入。仅在生产投入变化时，产量才会随 时间变化。A和L以相乘形式进入，AL被称为有效 劳动，以此种形式进入技术进步为劳动增进型或者 哈罗德中性。
•
•
•
由于K / AL k, L/ L n, A/ A g, K sY (t) K (t),则，
•
k (t )
sY
(t )
K (t)
k (t )n
k (t ) g
s
Y (t)
k(t) nk(t) gk(t)
A(t ) L(t )
A(t ) L(t )
应用Y / AL f (k),有
率为n，知识增长率为g。
产量分为投资和消费，产量中用于投资 的比例为s，是外生不变的。资本的折旧 率为δ，由此，资本存量的增长率就是 储蓄额减去折旧得到的。
•
K (t) sY (t) K (t)
2、索洛模型的动态学
在索洛模型中，劳动和知识的变动是外生的，因此人 均资本量的变动是我们要考虑的主要变量。
y
人均产出和增长率随时间变化的轨迹
y0
0
t0
t1
t
g
0
t
上图的上半部分显示了人均产出水平 的时间路径。储蓄率的提高增加了人 均资本占有量从而人均产量提高，直 到达到新的稳定状态。
下半部分则显示了人均产量增长率的 时间路径。储蓄率的增加会导致资本 积累，实现人均产量水平的暂时性较 高增长，但是随着资本积累，人均产 量的增长率最终会回落到人口增长率 水平。
生产函数假定：规模报酬不变 规模报酬不变的假定使我们可以使用密集形式
的生产函数：
F ( K ,1) 1 F (K, AL) AL AL
K 是每单位有效劳动的平均资本数量， AL F (K, AL) / AL就是每单位有效劳动的平均产量 定义k K / AL，y Y / AL，则 y f (k)
sy= （n+g+δ）k
在A点的左边，sy曲线比（n+g+δ）k 线高，这表明储蓄高于资本广化的需 要，会导致人均资本k的提高，从而使 产出增加，k会不断向kA靠近，直到最 终用于资本广化的储蓄等于全部储蓄， 而人均占有的资本数量保持不变，经 济增长达到稳定状态。
在A点的右边，情况完全相反。