八年级上《最短路径问题》同步练习含答案
【人教版八年级数学上册同步练习试题及答案】《13.4最短路径问题》同步练习及答案【1】
怎样走最近(一)选择题1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知最长边上的高是A.48 cmB.4.8 cmC.0.48 cmD. 5 cm2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是A.b2=c2－a2B.a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A－∠BD.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶1521世纪教育网3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是A.5，6， 7B.1，4， 9C.5，12，13D.5，11，124.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是A.42B.52C.7D.52或75.如果△ABC的三边分别为m2－1，2 m，m2+1(m＞1)那么A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B.△ABC是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D.△ABC不是直角三角形(二)解答题1.已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.2.阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.3.问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.答案：(一)1. B2. D3. C4.D(注意有两种情况(ⅰ)32+42=52，(ⅱ)32+7=42)5. A(二)1.解：由已知得(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.所以a－5=0，得a=5；b－12=0，得b=12；c－13=0，得c=13.又因为132=52+122，即a2+b2=c2所以△ABC是直角三角形.2.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4①∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②∴c2=a2+b2 ③∴△ABC是直角三角形3.③a2－b2可以为零△ABC为直角三角形或等腰三角形如何学好初中数学经典介绍浅谈如何学好初中数学数学是必考科目之一，故从初一开始就要认真地学习数学。
初中数学八年级上册课题学习_最短路径问题练习题含答案
初中数学八年级上册课题学习最短路径问题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 如图，已知Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=3，BC=4，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的动点，则DE+EF+FD的最小值为（）A.4.8B.6C.10D.无法确定2. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在矩形内部，且满足S PCD=1 4S长方形ABCD，则点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值为( )A.8B.10C.14D.2√133. 如图，直线l表示石家庄的太平河，点P表示朱河村，点Q表示黄庄村，欲在太平河l 上修建一个水泵站（记为点M），分别向两村供水，现有如下四种修建水泵站供水管道的方案，图中实线表示修建的管道，则修建的管道最短的方案是（）A. B. C. D.4. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )A. B.C. D.5. 如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿AB→BC的路径匀速运动，当点C停止，过点P作PQ//BD，PQ与边AD(或边CD)交于点Q，PQ的长度y(cm)与点P的运动时间x(s)的函数关系图象如图②所示，当点P运动2.5s时，PQ的长是（）cm．A.5√2B.√2C.4√2D.3√26. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15∘，P为CD上的动点，则|PA−PB|的最大值是（）A.4B.5C.6D.87. 如图，一个实心圆柱高8cm，底面周长为30cm，一只蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）)cm C.√161cm D.2√241cmA.17cmB.(8+30π8. 已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=BC=2，对角线BD平分∠ABC，E是BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，则PE+PC的最小值为（）A.√3B.3C.2D.√229. 如图，在长方体中，AB=5，BC=4，CC1=3，动点从A1出发沿长方体的表面运动到达C点，则动点的最短距离是()A.√90B.√80C.√78D.√7410. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( )A.6B.8C.10D.1211. 一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，有一只小虫从底部点A处爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是(π取3)________．AC，AB=8，E是AB上12. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB=30∘，∠C=90∘．AD=14任意一点，F是AC上任意一点，则折线DEFB的最短长度为________．13. 小明在广场上散步，先向东走12m后，再向北又走了9m，现要以最短距离________m回到原地．14. 如图，菱形ABCD中，∠BAD=45∘，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于2，则AB=________．15. 对于平面直角坐标系中的线段MN及点Q，给出如下定义：若点Q满足QM=QN，则称点Q为线段MN的“对称点”；当QM=QN=MN时，称点Q为线段MN的“完美对称点”．（1）如图1，点A坐标为(4,0)，有点Q1(0,4),Q2(2,−4)，Q3(1,√3)，则线段OA的“对称点”是________．（填“Q1”"Q2"或 "Q3"）(2)如图2，已知Q(2,2√3)为线段OA的“完美对称点”，D为线段OQ的中点，B为线段OA 的一个“对称点”，则BO+BD的最小值为________．16. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是________.17. 圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是________．18. 如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF 交AC于点F，若D为BC边上的动点，M为线段EF上一动点，则BM+DM最小值为________．19. 如图，已知蚂蚁沿着长为2的正方体表面从点A出发，经过3个侧面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此经过3个侧面的最短路径长为________．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0),B(3,0)，点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为________.21. 如图，若∠AOB=30∘，点P在∠AOB内，且OP=2cm，分别在OA、OB上找一点E，F使△PEF的周长最小，并求△PEF的周长最小值．22. 如图，有一个圆柱高为6cm，底面半径为2cm，圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底边与点A相对B处的食物，需要爬行的最短路程是多少(π取3)？23. 在直线m上找一点C，使CA+CB的值最小．24. 如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖．已知长方体木块的长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．25. 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图所示，在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．（1）蜘蛛要从点Q处沿圆柱体表面去吃点P处的苍蝇，请在图中大致画出蜘蛛爬行的最短路径；（2）求蜘蛛爬行的最短路径长．(π取3)26. 如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一米粒．（1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0, 2)的距离27. 已知抛物线y=14x2+1上一个与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(√3,3)，P是抛物线y=14动点．(1)若PF=5，求点P的坐标；(2)求△PMF周长的最小值.28. 同学们在灯管上缠绕5cm彩带．已知灯管长100cm，灯管截面圆的周长是15cm，彩带至少应剪多长？29. 如图所示，P、Q是△ABC中AB、AC边上的点，你能在BC边上确定一点R，使△PQR的周长最小吗？30. 如图，Q为马厩甲，AB为草地边缘（下方为草地），CD为一河流，放牧人欲从马厩甲牵马先去草地M处让马吃草，然后到河边N处饮水，最后回到马厩乙P．请你帮他确定一条最佳行走路线QM→MN→NP，使其所走路程最短.31. 判断说理：元旦联欢会上，八年级(1)班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由．32. 如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=12cm，P是AB上的动点，Q是AD上的动点．P以1cm/s的速度从B到A，Q以2cm/s的速度从A到D，P到A（或Q到D）时停止运动．求PQ+QC最小值．33. 如图，A，B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．(1)若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？(2)若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．34. 如图，在四边形ABCD中，P为BC的中点，试在CD边上找一点Q，使△APQ的周长最小．35.作图题：现要在形如△ABC的地面范围内建一中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．（要求：保留作图痕迹，并用适当的文字说明作图方法）36. 如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？(π取3)37. 在一条笔直公路上分布A，B，C，D，E五个工厂（各相邻工厂之间的距离均不相等），为方便这些工厂的员工，现要在公路上设一个汽车站，使各工厂到汽车站的距离之和最小．【简化分析】(1)假若由三个工厂A，B，C时，汽车站的位置有五种情形：①A厂门口，②AB之间，③B厂门口，④BC之间，⑤C厂门口.【分类讨论】①当车站设在A工厂门口时，则A厂到汽车站的距离为0，B厂到汽车站的距离为AB，C厂到汽车站的距离为AB＋BC，所以各工厂到车站的距离之和为________②当车站设在A，B两工厂之间的P点时，则A厂到汽车站的距离为AP，B厂到汽车站的距离为BP，C厂到汽车站的距离为BP+BC，所以各工厂到车站的距离之和为_________③当车站设在B工厂门口，则各工厂到汽车站的距离之和为_________④当车站设在B，C两工厂之间的Q点时，则各工厂到汽车站的距离之和为_________⑤当车站设在C工厂门口，则各工厂到汽车站的距离之和为________【总结归纳】综上可知：汽车站设在________时，各工厂到汽车站的距离之和最小.【问题解决】 (2)当有A，B，C，D，E五个工厂时，汽车站设在哪里，才能使各工厂到汽车站的距离之和最小？请说明理由.38. 如图，A,B,C,D为四家超市，其中超市D距A,B,C三家超市的路程分别为25km，10km，5km.现计划在A,D之间的道路上建一个配货中心P，为避免交通拥堵，配货中心与超市之间的距离不少于2km.假设一辆货车每天从P出发为这四家超市送货各次，由于货车每次仅能给一家超市送货，因此每次送货后均要返回配货中心P，重新装货后再前往其他超市.设P到A的路程为xkm，这辆货车每天行驶的路程为ykm.(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)直接写出配货中心P建在什么位置，这辆货车每天行驶的路程最短？最短路程是多少?39. 如图，一块砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是多少？40. 下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹）参考答案与试题解析初中数学八年级上册课题学习最短路径问题练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】此题暂无解析【解答】解：如图作F关于直线AB的对称点M，作F关于直线BC的对称点N，连接BM，BN，BF，EF，EN，DE，DM．∵∠MBA=∠FBA，∠CBN=∠CBF，∠ABF+∠CBF=90∘，∴∠MBF+∠FBN=180∘，∴M、B、N共线，∵DF+DE+EF=DM+DE+EN，∵DM+DE+EN≥MN，∴当D、E、M、N共线时，且BF⊥AC时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2BF，∵BF⊥AC，∴12⋅AC⋅BF=12⋅AB⋅AC，∴BF=AB⋅BCAC =125=2.4，∴DE+EF+FD的最小值为4.8．故选A．2.【答案】B【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：∵S PCD=14S长方形ABCD，设△PCD的CD边上的高为ℎ∴12CD⋅ℎ=14CD⋅AD，又AD=8，∴ℎ=4,∴动点P在与CD平行且与CD的距离为4的直线l上，如图，作D关于直线l的对称点A，连接AC，则AC的长就是所求的最短距离.在Rt△ADC中，CD=AB=6，AD=8∴AC=√AD2+CD2解得AC=10.故选B.3.【答案】B【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连结QP′交直线l于M，根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，则所需管道最短．故选B.4.【答案】D【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．【解答】解：作点P关于直线l的对称点P′，连结QP′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，所需管道最短．故选D．5.【答案】A【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA−PB|的值最大的点，|PA−PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45∘，∠ACB=90∘，根据三角形的内角和得到∠ACD=75∘，于是得到∠CAA′=15∘，根据轴对称的性质得到A′C=BC，∠CA′A=∠CAA′=15∘，推出△A′BC是腰三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA−PB|的值最大的点，|PA−PB|=A′B，连接A′C，∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，∴∠CAB=∠ABC=45∘，∠ACB=90∘，∵∠BCD=15∘，∴∠ACD=75∘，∴∠CAA′=15∘，∵AC=A′C，∴A′C=BC，∠CA′A=∠CAA′=15∘，∴∠ACA′=150∘，∵∠ACB=90∘，∴∠A′CB=60∘，∴△A′BC是等腰三角形，∴A′B=BC=4．故选A．7.【答案】A【考点】平面展开-最短路径问题【解析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．【解答】如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．×30＝15(cm)，∠C＝90∘，BC＝8cm，在Rt△ABC中，∵AC=12∴AB=√AC2+BC2=17(cm)．故选：A．8.【答案】A【考点】轴对称——最短路线问题【解析】根据菱形的判定，得出平行四边形ABCD为菱形，作出E关于BD的对称点E′，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△BCE′为直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．【解答】解：∵BA=BC=2，∴平行四边形ABCD为菱形．∴∠ABD=∠CBD，∴BD是∠ABC的平分线．作E关BD的对称点E′，连接CE′，PE，则PE=PE′，此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，CE′即为PE+PC的最小值．∵∠ABC=60∘，又∵BE′=BE，∴△E′BE为正三角形，EE′=1，∠ABE=60∘，故EE′=EC，∠EE′C=∠ECE′=30∘，∴∠BE′C=60∘+30∘=90∘，在Rt△BCE′中，CE′=√22−12=√3．故选：A．9.【答案】D【考点】平面展开-最短路径问题【解析】连接AC1，求出AC1的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时AC1的长，再找出最短的即可．【解答】解：展开成平面后，连接AC1，则AC1的长就是绳子最短时的长度，分为三种情况：如图1，AB=5，BC=4，CC1=BB1=3，在Rt△ABC′中，由勾股定理得：AC1=√AB2+(BB1+B1C1)2=√25+49=√74；如图2，AC=5+4=9，CC1=3，在Rt△ACC1中，由勾股定理得：AC1=√AC2+CC12=√81+9=√90>√74，如图3，同法可求AC1=√(3+5)2+42=√80>√74，即绳子最短时的长度是√74，故选D．10.【答案】C【考点】轴对称——最短路线问题【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF 的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD＝16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+1BC=8+1×4=8+2=10．故选C.二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】30cm【考点】平面展开-最短路径问题【解析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是地面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．【解答】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短．由题意，得AC =3×16÷2=24，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB =√AC 2+BC 2=√242+182=30cm ．故答案为：30cm ．12.【答案】 √67【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用轴对称求最短路径的方法，重新构造直角三角形，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：作D 点关于AB 的对称点D′，B 点关于AC 的对称点B′，连接D′B′分别交AB 于点E ，AC 于点F ，作B′R ⊥AB ，过点D′作D′W ⊥B′R 于点W ，∵ ∠CAB =30∘，∠C =90∘．AD =14AC ，AB =8， ∴ BC =4，AC =4√3，则AD =√3，BB′=8，B′R =4√3，∴ DT =12AD =√32，AT =√AD 2−DT 2=32，BR =4， ∴ RW =√32，D′W =8−32−4=52， ∴ B′W =9√32，B′D′=√D′W 2+B′W 2=(52)(9√32)=√67．故答案为：√67．13.【答案】15【考点】勾股定理路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设小明散步原地为O，则先向东走12m到达A点后，再向北又走了9m到达B点，则要回到原地，最短行走距离为OB的距离，根据勾股定理可得OB=√122+92=15m.故答案为：15.14.【答案】2√2【考点】轴对称——最短路线问题【解析】先找出点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′F⊥BC于F，交AC于P，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知E′F为PE+PF的最小值的最小值，过点B作BG⊥AD 于G，解直角三角形求出AB即可．【解答】解：如图，点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′F⊥BC于F，交AC于P，即E′F为PE+PF的最小值.过点B作BG⊥AD于G，易知BG=FE′=2，在Rt△ABG中，∠BAG=45∘，∴AB=BG÷sin45∘=2√2.故答案为：2√2.15.【答案】Q22．【考点】图形间的距离定义新图形路径最短问题坐标与图形性质【解析】（1）找到OA的垂直平分线即可找到对应的点．（2）利用“完美对称点”的特征，作出图象，从而确定最小值．【解答】解：(1)当点Q满足QO=QA时，Q为OA的“对称点”，∴ Q在线段OA的垂直平分线上，∵ A(4,0)，∴ 线段OA的垂直平分线是直线x=2，∵Q2(2,−4)，∴ 线段OA的“对称点”是Q2.故答案为：Q2．∵ Q(2,2√3)为线段OA的“完美对称点”，∴ QO=OA=QA，∴ △QOA是等边三角形，过点Q作QH⊥OA于H，则直线QH为线段AO的垂直平分线，如图：∵ B为线段OA的一个“对称点”，∴ BO=BA，∴ B是直线QH上的一点，显然，当Q、B重合时，BQ+BD有最小值，此时BQ+BD=BD，∵ Q(2,2√3)，∴ OQ=√22+(2√3)2=4，∵ D为线段OQ的中点，∴ DQ=12OQ=12×4=2，∴ BD=2，∴ BQ+BD的最小值为2. 故答案为：2.16.【答案】7【考点】轴对称——最短路线问题根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴B，C关于EF对称.设AC交EF于点D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∴△ABP周长的最小值是4+3=7.故答案为：7.17.【答案】【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答18.【答案】6cm【考点】轴对称——最短路线问题【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=12，解得AD=6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴BM+DM最小值为6cm.故答案为：6cm．19.2√17【考点】平面展开-最短路径问题【解析】将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．【解答】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB=√82+22=2√17，故答案为：2√17．20.【答案】2【考点】勾股定理路径最短问题【解析】【解答】解：当PQ//x轴时QB长度最小，设Q(m，n)，P(0，n)，△APQ为等边三角形，∴1+n2=(m−1)2+n2，解得m=2或m=0（舍），∴PQ=PA=m=2，∴1+n2=4，解得n=√3，故BQ=√3+1=2.故答案为：2.三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．从图上可看出△PEF的周长就是P1P2的长，∵∠AOB=30∘，∴∠P1OP2=60∘．∵OP1=OP2，∴△OP1P2是等边三角形．∴P1P2=OP1=OP=2cm．∴△PEF周长的最小值是2cm．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小，然后根据∠AOB=30∘，点P在∠AOB内，点E、F分别在边OA、OB上移动，如果OP=2cm，可求出值．【解答】解：作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点E，与OB交于点F，此时△PEF的周长最小．从图上可看出△PEF的周长就是P1P2的长，∵∠AOB=30∘，∴∠P1OP2=60∘．∵OP1=OP2，∴△OP1P2是等边三角形．∴P1P2=OP1=OP=2cm．∴△PEF周长的最小值是2cm．22.【答案】需要爬行的最短路程是6√2cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】要想求得最短路程，首先利用BC长等于底面圆的一半，即可求出BC的长．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【解答】解：利用展开图，根据题意可得：BC=2π≈6cm，AC=6cm，AB=√BC2+AC2=6√2(cm)，23.【答案】解：如图，点C即为所求．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B交直线m于点C，则CA+CB的值最小．【解答】解：如图，点C即为所求．24.【答案】解：展开后有三种不同的情况如图，如图1，AB=√(10+8)2+62=√360，如图2，AB=√102+(6+8)2=√296，如图3，AB=√82+(10+6)2=√320，∵√296<√320<√360，∴小蚂蚁爬行的最短路线为√296cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】根据题意画出不同数值的三种情况，根据勾股定理求出每种情况的AB，再比较即可．【解答】解：展开后有三种不同的情况如图，如图1，AB=√(10+8)2+62=√360，如图2，AB=√102+(6+8)2=√296，如图3，AB=√82+(10+6)2=√320，∵√296<√320<√360，∴小蚂蚁爬行的最短路线为√296cm．25.【答案】蜘蛛爬行的最短路径长是3√5cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】（1）划出符合条件的QP即可；（2）展开后构造直角三角形，根据勾股定理求出线段QP的长即可．【解答】解：（1）如图：（2）如图，沿AA1剪开，过Q作QM⊥BB1于M，连接QP，则PM=8−3−2=3(cm)，QM=A1B1=1×2×π×2=6(cm)，2在Rt△QMP中，由勾股定理得：PQ=√QM2+PM2=√32+62=3√5(cm)，答：蜘蛛爬行的最短路径长是3√5cm．26.【答案】解：（1）如图所示：∵正方形的棱长为2，∴AC=2AB=4，CG=2，AG=√AC2+CG2=√16+4=√20=2√5，∴蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是2√5；（2）如图所示：由题意可知：AN=AB+BN=3，MN=2，∴AM=√AN2+MN2=√32+22=√13，∴蚂蚁要吃到这粒米的最短距离是√13．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】（1）根据图形是立方体得出最短路径只有一种情况，利用勾股定理求出即可．（2）把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点M间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2长，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．【解答】解：（1）如图所示：∵正方形的棱长为2，∴AC=2AB=4，CG=2，AG=√AC2+CG2=√16+4=√20=2√5，∴蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是2√5；（2）如图所示：由题意可知：AN=AB+BN=3，MN=2，∴AM=√AN2+MN2=√32+22=√13，∴蚂蚁要吃到这粒米的最短距离是√13．27.【答案】解：(1)由题意可知，当PF=5时，P到x轴的距离为5，∴P(x,5)，将P(x,5)代入y=14x2+1，得5=14x2+1，解得，x=±4，∴点P的坐标为(4,5)或(−4,5).(2)过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示：∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，MF=√(√3−0)2+(3−2)2=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．【考点】路径最短问题二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征点到直线的距离垂线段最短【解析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F＝P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，【解答】解：(1)由题意可知，当PF=5时，P到x轴的距离为5，∴P(x,5)，将P(x,5)代入y=14x2+1，得5=14x2+1，解得，x=±4，∴点P的坐标为(4,5)或(−4,5).(2)过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示：∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E．又∵点到直线之间垂线段最短，MF=√(√3−0)2+(3−2)2=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．28.【答案】彩带至少应剪125cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】将灯管上缠的彩带展开，得到直角三角形，用勾股定理解答即可．【解答】解：如图，展开后可得AB=15×5=75cm，BC=100cm，AC=√AB2+BC2=√752+1002=125cm．29.【答案】解：如图所示：作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，R点即为所求．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，由两点之间线段最短可知△PQR 周长最小即为所求点．【解答】解：如图所示：作P点关于BC的对称点P′，连接P′Q，与BC交于点R，R点即为所求．30.【答案】解：使其所走路程最短的最佳行走路线QM→MN→NP如图：【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】解：使其所走路程最短的最佳行走路线QM→MN→NP如图：31.【答案】解：如图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】利用轴对称得出找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．【解答】解：如图，假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点．因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点A′，B′，连接A′B′，交两长条桌于C，D两点，则折线ACDB就是捷径．32.【答案】解：设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，由轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，∵AB=6cm，AD=12cm，∴AP=AP′=6−t，AQ=2t，QD=12−2t，∵AB // CD，∴△AP′Q∽△DCQ，∴AP′CD =AQQD，即6−t6=2t12−2t，整理得，t2−18t+36=0，解得t1=9−3√5，t2=9+3√5（舍去），所以，BP′=AB+AP′=6+(6−9+3√5)=3+3√5，所以，P′C=√BP′2+BC2=√(3+3√5)2+122=3√22+2√5，即PQ+QC最小值是3√22+2√5．【考点】轴对称——最短路线问题【解析】设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，表示AP′、AQ、QD，然后根据△AP′Q和△DCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出t，再表示出BP′，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：设t秒后PQ+QC最小，取点P关于AD的对称点P′，连接CP′与AD相交，由轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的使PQ+QC最小的点Q的位置，∵AB=6cm，AD=12cm，∴AP=AP′=6−t，AQ=2t，QD=12−2t，∵AB // CD，∴△AP′Q∽△DCQ，∴AP′CD =AQQD，即6−t6=2t12−2t，整理得，t2−18t+36=0，解得t1=9−3√5，t2=9+3√5（舍去），所以，BP′=AB+AP′=6+(6−9+3√5)=3+3√5，所以，P′C=√BP′2+BC2=√(3+3√5)2+122=3√22+2√5，即PQ+QC最小值是3√22+2√5．33.【答案】解：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．(2)作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+ BP是最小的．路径最短问题作图—应用与设计作图线段垂直平分线的性质【解析】根据中垂线和轴对称及三角形的三边关系求解．【解答】解：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．(2)作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+ BP是最小的．34.【答案】解：如图所示，点Q即为所求点．【考点】轴对称——最短路线问题作PH⊥CD于点H，延长PH到点P′，使P′H=PH，连接AP′交CD于点Q，连接PQ，则D点Q就是△APQ的周长最小的点．【解答】解：如图所示，点Q即为所求点．35.【答案】【考点】路径最短问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答36.【答案】解：如图所示，∵圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，∴AC=2π×1.5≈9cm，∴AB=√AC2+BC2=√92+122=15(cm)．答：蚂蚁所走过的最短路径是15cm．【考点】平面展开-最短路径问题【解析】根据题意画出圆柱的侧面展开图，再利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图所示，。
人教版八年级数学上册《13-4 课题学习 最短路径问题》作业同步练习题及参考答案
13.4 课题学习最短路径问题1.已知点A(-2,1),B(3,2),在x 轴上求一点P,使AP+BP 最小,下列作法正确的是( ).A.点P 与O(0,0)重合B.连接AB 并延长,交x 轴于点P,点P 即为所求C.过点A 作x 轴的垂线,垂足为P,点P 即为所求D.作点A 关于x 轴的对称点A',连接A'B,交x 轴于点P,点P 即为所求2.如图,OA,OB 分别是线段MC,MD 的垂直平分线,MD=5 cm,MC=7 cm,CD=10 cm,一只小蚂蚁从点M 出发爬到OA 边上任意一点E,再爬到OB 边上任意一点F,然后爬回点M 处,则小蚂蚁爬行的路径最短可为( ).A.12 cmB.10 cmC.7 cmD.5 cm3.如图,牧童在A 处放牛,其家在B 处,A,B 到河岸的距离分别为AC 和BD,且AC=BD,若点A 到河岸CD 的中点的距离为500 m,则牧童从A 处把牛牵到河边饮水再回家,所走的最短路程是m.4.如图,l 为河岸(视为直线),要想开一条沟将河里的水从A 处引到田地里去,应从河边l 的何处开口才能使水沟最短,找出开口处的位置并说明理由.5.如图,在四边形ABCD 中,∠C=50°,∠B=∠D=90°,E,F 分别是BC,DC 上的点,当△AEF 的周长最小时,∠EAF 的度数为( ).A.50°B.60°C.70°D.80°6.如图,某公路(视为x 轴)的同一侧有A,B,C 三个村庄,要在公路边建一货栈(即在x 轴上找一点)D,向A,B,C 三个村庄运送农用物资,路线是:D→A→B→C→D(或D→C→B→A→D).试问在公路上是否存在D 使送货路程之和最短?若存在,请在图中画出D 所在的位置;若不存在,请说明理由.7.某中学八(2)班举行文艺晚会,桌子摆成如图所示的两直排(图中的AO,BO),AO 桌面上摆满了橘子,BO 桌面上摆满了糖果,站在C 处的学生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D 处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短.答案与解析夯基达标1.D2.B 当CD 与OA 的交点为E,与OB 的交点为F 时,路径最短.因为OA,OB 分别是线段MC,MD 的垂直平分线,所以ME=CE,MF=DF,所以小蚂蚁爬行的路径最短为CD=10 cm,故选B.3.1 0004.解过A 向直线l 作垂线段,与l 相交于B,从B 处开口可满足要求.图略.理由:垂线段最短. 培优促能5.D 作点A 关于BC 和CD 的对称点A',A″,连接A'A″,交BC 于点E,交CD 于点F,则A'A″即为△AEF 周长的最小值.作DA 的延长线AH.∵∠C=50°,∴∠DAB=130°.∴∠HAA'=50°.∴∠AA'E+∠A″=∠HAA'=50°.∵∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,∴∠EAA'+∠A″AF=50°.∴∠EAF=130°-50°=80°.故选D.6.解存在D 使所走路线D→A→B→C→D 的路程之和最短.作法:(1)作点A 关于x 轴的对称点A';(2)连接A'C 交x 轴于D.则D(3,0)就是所要建货栈的位置,如图.创新应用7.解如图.作法:①作点C 关于OA 的对称点C1,点D 关于OB 的对称点D1;②连接C1D1,分别交OA,OB 于点P,Q,连接CP,DQ,小明沿C→P→Q→D 的路线行走时,所走的总路程最短.。
2022年人教版八年级数学上13.4课题学习 最短路径问题 同步练习 最新北京试题含答案解析
2022年人教版八年级数学上13.4课题学习最短路径问题一．选择题（共3小题）1．（2021春•丰台区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点，若AB＝13，△ABC的周长是36．则PB+PH的最小值为（）A．√69B．10C．12D．132．（2021春•南阳期末）如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．3．（2021秋•海淀区校级期中）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使P A+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（）A．B．C．D．二．填空题（共9小题）4．（2021秋•西城区校级期中）如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为．5．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，若BD＝5，AD＝3，P是直线MN上的任意点，则P A+PC的最小值是．6．（2021秋•浦城县期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，CA＝4，BD 是∠ABC的平分线．若P，Q分别是BD和AB上的动点，则P A+PQ的最小值是．7．（2021春•朝阳区校级期末）如图，∠BAC＝30°，M为AC上一点，AM＝2，点P是AB 上的一动点，点Q是AC上的一个动点，则PM+PQ的最小值为．8．（2021春•海淀区校级月考）已知：如图，AD是等边△ABC中∠BAC的平分线，P是AD 上一点，E为AC中点，连接PC，PE，若AB＝6，则PC+PE的最小值是．9．（2021春•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，3）、（3，5），欲在x轴上找一点P，使P A+PB最短，小白试了四个点（﹣3，0）、（−3 4，0）、（0，0）、（3，0）．你认为点P的坐标应该为，P A+PB的最小值为．10．（2021春•海淀区校级期中）已知A（0，2），B（3，1），在x轴找一点P，使P A+PB的值最小，则点P的坐标为．11．（2021春•朝阳区校级期末）已知a，b均为正数，且a+b＝8，求√a2+9+√b2+9的最小值．12．（2021秋•海淀区校级期中）如图，A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使AM+BM最小．小明的做法是：做点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点M，点M即为所求．请你写出小明这样作图的依据：．2022年01月03日初中数学13的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2021春•丰台区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点，若AB＝13，△ABC的周长是36．则PB+PH的最小值为（）A．√69B．10C．12D．13解：连接AP，AH，∵AB＝AC＝13，△ABC的周长为36，∴BC＝36﹣2×13＝10，∵H是BC中点，∴BH=12BC＝5，∵△ABC是等腰三角形，点H是BC中点，∴AH⊥BC，∴AH=√AB2−BH2=√132−52=12，∵MN是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线MN的对称点为点A，∴AP＝BP，∴BP+PH＝AP+PH≥AH，∴AH的长为BP+PH的最小值，∴BP+PH的最小值为12．故选：C．2．（2021春•南阳期末）如图，点M，N在直线l的同侧，小东同学想通过作图在直线l上确定一点Q，使MQ与QN的和最小，那么下面的操作正确的是（）A．B．C．D．解：先作点M关于直线l的对称点M′，再连接M′N交l于点Q，则MQ+NQ＝M′Q+NQ＝M′N，由“两点之间，线段最短”可知，点Q即为所求的点，故选：D．3．（2021秋•海淀区校级期中）如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使P A+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（）A．B．C．D．解：根据题意得，在公路l上选取点P，使P A+PB最短．则选项A符合要求，故选：A．二．填空题（共9小题）4．（2021秋•西城区校级期中）如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P 和Q 同时起步以相同的速度分别沿AH ，CA 向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B 点距离之和PB +QB 最小时，∠PBQ 的度数为 30° ．解：过点C 作CD ⊥BC ，取CD ＝AB ，连接BD ，∵△ABC 是等边三角形，AH 是BC 边上的高，∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，∠BAH ＝30°，∴∠ACD ＝30°，∴∠BAH ＝∠ACD ，在△ABP 和△CDQ 中，{AB =CD∠BAP =∠DCQ AP =CQ，∴△ABP ≌△CDQ （SAS ），∴BP ＝DQ ，∠CQD ＝∠APB ，∴当B 、Q 、D 共线时，PB +QB 最小，连接BD 交AC 于Q ，∴∠APB ＝∠AQB ，∴∠PBQ ＝∠QAH ＝30°，故答案为：30°．5．（2021秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，若BD＝5，AD＝3，P是直线MN上的任意点，则P A+PC的最小值是8．解：如图，连接PB．∵MN垂直平分线段BC，∴PC＝PB，∴P A+PC＝P A+PB，∵P A+PB≥AB＝BD+DA＝5+3＝8，∴P A+PC≥8，∴P A+PC的最小值为8．故答案为：8．6．（2021秋•浦城县期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，CA＝4，BD是∠ABC的平分线．若P，Q分别是BD和AB上的动点，则P A+PQ的最小值是125．解：如图，作点Q 关于直线BD 的对称点Q ′，作AM ⊥BC 于M ，∵P A +PQ ＝P A +PQ ′，∴根据垂线段最短可知，当A ，P ，Q ′共线，且与AM 重合时，P A +PQ 的值最小，最小值＝线段AM 的长．∵△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，∴AM =AB⋅AC BC =3×45=125， 故答案为：125．7．（2021春•朝阳区校级期末）如图，∠BAC ＝30°，M 为AC 上一点，AM ＝2，点P 是AB上的一动点，点Q 是AC 上的一个动点，则PM +PQ 的最小值为 √3 ．解：作点M 关于AB 的对称点N ，过N 作NQ ⊥AC 于Q 交AB 于P ，则NQ 的长即为PM +PQ 的最小值，连接MN 交AB 于D ，则MD ⊥AB ，DM ＝DN ，∵∠NPB ＝∠APQ ，∴∠N ＝∠BAC ＝30°，∵∠BAC ＝30°，AM ＝2，∴MD =12AM ＝1，∴MN ＝2，∵∠N ＝30°，∠NQM ＝90°，∴QM =12MN ＝1，∴NQ=√MN2−QN2=√3，故答案为：√3．8．（2021春•海淀区校级月考）已知：如图，AD是等边△ABC中∠BAC的平分线，P是AD 上一点，E为AC中点，连接PC，PE，若AB＝6，则PC+PE的最小值是3√3．解：如图，连接PB、BE，∵AD是等边三角形ABC中∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴PB＝PC，∴PC+PE＝PB+PE，由两点间线段距离最短可知，当点B，P，E在一条直线上时，PB+PE取值最小，最小值为BE，∵△ABC为等边三角形，且AB＝6，E为AC的中点，∴BC＝AB＝6，CE=12AC=12AB＝3，∴BE=√BC2−CE2=√62−32=3√3，即PC+PE的最小值为3√3，故答案为：3√3．9．（2021春•朝阳区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，3）、（3，5），欲在x轴上找一点P，使P A+PB最短，小白试了四个点（﹣3，0）、（−3 4，0）、（0，0）、（3，0）．你认为点P的坐标应该为（−34，0），P A+PB的最小值为10．解：作出A关于x轴的对称点C（﹣3，﹣3），则P A＝PC，∴P A+PB＝PB+PC，∴B、C、P三点共线时，P A+PB＝BC最小，作BD∥x轴交CA延长线于D，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC=√62+82=10，∴P A+PB的最小值为10，故答案为：（−34，0），10．10．（2021春•海淀区校级期中）已知A（0，2），B（3，1），在x轴找一点P，使P A+PB的值最小，则点P的坐标为（2，0）．解：作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于P，则P即为所求点，如图：∵A （0，2），A 关于x 轴的对称点A '，∴A '（0，﹣2），设直线A 'B 的解析式为y ＝kx +b ，把A '（0，﹣2），B （3，1）代入得，则{−2=b 1=3k +b， 解得{k =1b =−2， ∴直线A 'B 的解析式为：y ＝x ﹣2，当y ＝0时，x ＝2，∴点P 的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．11．（2021春•朝阳区校级期末）已知a ，b 均为正数，且a +b ＝8，求√a 2+9+√b 2+9的最小值 10 ．解：将a +b ＝8转化为a ＝8﹣b ，代入√a 2+9+√b 2+9得，√(b −8)2+(0−3)2+√(b −0)2+(0−3)2，可理解为点P （b ，0）到A （8，3）与C （0，3）的距离．如图：找到C 关于x 轴的对称点B （0，﹣3），可见，AB 的长即为求代数式√a 2+9+√b 2+9的最小值．∵AB =√82+(3+3)2=10，∴代数式√a 2+9+√b 2+9的最小值为10．故答案为：10．12．（2021秋•海淀区校级期中）如图，A 、B 两点在直线l 的同侧，在l 上求作一点M ，使AM +BM 最小．小明的做法是：做点A 关于直线l 的对称点A '，连接A 'B ，交直线l 于点M ，点M 即为所求．请你写出小明这样作图的依据： 两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短．解：两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短．故答案为：两点确定一条直线、线段垂直平分线上点到线段两个端点距离相等、两点之间线段最短。
人教版八年级数学上册同步练习13.4 课题学习 最短路径问题(word版,含答案解析)
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题一、选择题（共16小题；共80分）1. 如图，直线是一条河，，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是A. B.C. D.2. 如图，四边形是直角梯形，，，点是腰上的一个动点，要使最小，则点应该满足A. B.C. D.3. 四边形中，，，在，上分别找一点，，使三角形周长最小时，则的度数为A. B. C. D.4. 如图，直线外存在不重合的两点，，在直线上求作一点，使得的长度最短，作法为：① 作点关于直线的对称点；②连接与直线相交于点，则点为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是A. 转化思想B. 三角形的两边之和大于第三边C. 两点之间，线段最短D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角5. 如图，牧童在处放牛，其家在处，，到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A. 米B. 米C. 米D. 米6. 如图，已知直线，且与之间的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，．试在直线上找一点，在直线上找一点，满足且的长度最短，则此时A. B. C. D.7. 如图，正的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是A. B. C. D.8. 如图，在中，，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是A. B. C. D.9. 如图，在四边形中，，，在，上分别找一点，，使的周长最小，此时，A. B. C. D.10. 如图，，内有一定点，且，在上有一动点，上有一动点．若周长最小，则最小周长是A. B. C. D.11. 如图，四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为A. B. C. D.12. 如图，在中，，，面积是，的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为A. B. C. D.13. 如图，在中，，，，为上一点，且，平分交于．若是上的动点，则的最小值等于A. B. C. D.14. 如图，圆柱形容器高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为A. C. D.15. 如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为A. B. C. D.16. 如图，，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若周长的最小值是，则的值是A. B. C. D.二、填空题（共5小题；共25分）17. 与的最小公倍数是．18. 如图，在中，是边的中点，过点作边的垂线，是上任意一点，且，，则的周长的最小值为．19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，在直线上存在一点，使，，三点构成的的周长最小，则的周长最小值为．20. 已知，点在的内部，点是边上任意一点，点是边上任意一点，连接，，当的周长最小时，的度数为．21. 如图，是等腰直角三角形，，，为上的动点，则的最大值为．三、解答题（共3小题；共45分）22. 如图，已知直线及其同侧两点，，在直线上找一点，使得的长度最小．23. 如图，点，在的内部，为射线上的一个动点，为射线上的一个动点，求作点，，使得的长最短．作法：24. 如图，，两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向，两镇供水，铺设水管的费用为每千米万，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?答案第一部分1. D2. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接．根据轴对称的性质，得，根据对顶角相等知，所以．3. C4. D5. B6. B7. A 【解析】如图所示.过点作的对称点，连接，与的延长线交于点 .此时，为最小值 .点在线段上，点在点处.的最小值为．8. B 【解析】如图连接，，，，，，，，，共线时，的值最小，最小值为的长度．9. D10. B【解析】设，则，作与相交于，并将延长一倍到，即，作与相交于，并将延长一倍到，即，连接与相交于，与相交于，再连接，，连接，，则即为周长最短的三角形，是的垂直平分线，；同理，是的垂直平分线，，的周长，，且，是等边三角形，，即在保持的条件下的最小周长为．11. D 【解析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线 .，...，，..12. C 【解析】连接．是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最小值，13. D 【解析】如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，作于．，，，，，，，，，故选：D．14. D 【解析】如图：将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，．15. B【解析】分别作点关于，的对称点，，连接，分别交，于点，，如图所示：此时的周长取最小值．，，，，，，，．16. B第二部分17.18.19.【解析】如图，连接．，，的值最小时，的周长最小，垂直平分线段，，，的最小值为，的周长的最小值为．20.【解析】如图，过点作关于，的对称点，，连接，与，相交与点，，则此时的周长最小，为线段的长度；，，，，，，，，，，，解得：；故答案为：．21.第三部分22. 过点作直线的垂线，垂足为点，截取，连接，则与的交点就是点．23. 作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点交于，交于，则最短．24. 作关于的对称点，连接交于，点即为所求作的点，则可得：（千米），所以（千米），所以（千米），总费用为万元．。
八年级数学上册13.4《课题学习最短路径问题》同步训练(含解析)
最短路径问题·一．选择题（共6小题）;1．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为;（）A．50° B．60° C．70° D．80°2．（2015•黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是;（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边;C．两点之间，线段最短;D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角;3．（2015•同安区一模）如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD 上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）;A．3 B．4 C．5 D．64．（2015•芜湖三模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为;（）A．4 B．6 C．8 D．95．（2014•江西模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB⊥AC，AB=3，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF 上的任一点，则AP+BP的最小值是（）;A．4 B．5 C．6 D．76．（2014秋•监利县期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为;（）A．15° B．22.5°C．30° D．45°二．填空题（共6小题）;7．（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．;8．（2015•惠山区一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为; ．9．（2015春•沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE⊥OF，则△OEF周长的最小值是．;10．（2015•枣庄模拟）如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H 是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是．;11．（2015•许昌一模）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是．;12．（2015春•新泰市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，4），欲在x 轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为．;三．解答题（共4小题）13．（2014•清河区二模）已知直角坐标系中有两点A（﹣1，2）、B（5，4），要在x轴上找一点P，使得PA+PB 之和最小，求点P的坐标．;;14．（2014秋•嘉荫县期末）如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B 村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）（2014秋•沙河市校级期末）如图，已知A，B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，15．且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置？（保留痕迹，不写作法）此时所花费用最少为．16．（2015春•下城区期末）在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB=BC=2CD=4，P是线段BC 上的动点，连结AP，DP．（1）设BP=x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，并求当x=2的时候，AP+DP的值；（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．人教版八年级数学上册13.3.4《课题学习最短路径问题》同步训练习题（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2015•遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°考点：轴对称-最短路线问题．分析：据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，进而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．解答：解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF 的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故选：D．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．2．（2015•黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（）A．转化思想B．三角形的两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角考点：轴对称-最短路线问题．分析：利用两点之间线段最短分析并验证即可即可．解答：解：∵点B和点B′关于直线l对称，且点C在l上，∴CB=CB′，又∵AB′交l与C，且两条直线相交只有一个交点，∴CB′+CA最短，即CA+CB的值最小，将轴对称最短路径问题利用线段的性质定理两点之间，线段最短，体现了转化思想，验证时利用三角形的两边之和大于第三边．故选D．点评：此题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．（2015•同安区一模）如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD 上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．EG的长就是EP+FP的最小值，据此即可求解．解答：解：在DC上截取DG=FD=AD﹣AF=4﹣3=1，连接EG，则EG与BD的交点就是P．∵AE=DG，且AE∥DG，∴四边形ADGE是平行四边形，∴EG=AD=4．故选B．点评：本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键．4．（2015•芜湖三模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A．4 B．6 C．8 D．9考点：轴对称-最短路线问题；矩形的性质．专题：探究型．分析：先作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，再根据△CEF∽△BEA即可求出CF的长，进而得出DF的长．解答：解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，∵在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点E是BC中点，∴BE=CE=CE′=6，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴CD∥AB，∴=，即=，解得CF=3，∴DF=CD﹣CF=9﹣3=6．故选B．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出E点关于直线CD的对称点，再根据轴对称的性质求出CE′的长，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论．5．（2014•江西模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB⊥AC，AB=3，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF 上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：轴对称-最短路线问题．分析：根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可．解答：解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，连接AC交EF于D，∴当P和C重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，由勾股定理得：AC===4，故选A．点评：本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．6．（2014秋•监利县期末）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B．22.5°C．30° D．45°考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．解答：解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC=4，AE=2，∴EC=2=AE，∴AM=BM=2，∴AM=AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∴AD⊥EM，∵AM=AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC，∵AM=BM，∴∠ECF=∠ACB=30°，故选C．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．二．填空题（共6小题）7．（2015•攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．考点：轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．分析：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．解答：解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=2，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD=，在Rt△B′BG中，BG===3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，BD===．故BE+ED的最小值为．故答案为：．点评：本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．8．（2015•惠山区一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 4 ．考点：轴对称-最短路线问题．分析：因为EF=2，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=1，所以G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；根据勾股定理求得A′D=5，即可求得A′G=A′D﹣DG=5﹣1=4，从而得出PA+PG的最小值．解答：解：∵EF=2，点G为EF的中点，∴DG=1，∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；∵AB=2，AD=3，∴AA′=4，∴A′D=5，∴A′G=A′D﹣DG=5﹣1=4；∴PA+PG的最小值为4；故答案为4．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，判断出G点的位置是解题的关键．9．（2015春•沙坪坝区期末）如图，正方形ABCD中，AB=2，AC，BD交于点O．若E，F分别是边AB，BC上的动点，且OE⊥OF，则△OEF周长的最小值是2+．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF，再根据AE=BF，然后利用“SAS”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOF，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，∵点E、F的速度相等，∴AE=BF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SAS），∴∠AOE=∠BOF，∴∠AOE+∠BOE=90°，∴∠BOF+∠BOE=90°，∴∠EOF=90°，在Rt△BEF中，设AE=x，则BF=x，BE=2﹣x，EF===．∴当x=1时，EF有最小值为．∴OE=OF=1．∴△OEF周长的最小值=2+．故答案为：2．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟记正方形的性质，求出三角形全等的条件是解题的关键．10．（2015•枣庄模拟）如图，在对角线长分别为12和16的菱形ABCD中，E、F分别是边AB、AD的中点，H 是对角线BD上的任意一点，则HE+HF的最小值是10 ．考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：要求HE+HF的最小值，HE、HF不能直接求，可考虑通过作辅助线转化HE、HF的值，从而找出其最小值求解．解答：解：如图：作EE′⊥BD交BC于E′，连接E′F，连接AC交BD于O．则E′F就是HE+HF的最小值，∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴E′F AB，而由已知△AOB中可得AB====10，故HE+HF的最小值为10．故答案为：10．点评：考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．11．（2015•许昌一模）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（0，3）．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：根据轴对称做最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．解答：解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△A BC的周长最小，∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4，则B′E=4，即B′E=AE，∵C′O∥AE，∴B′O=C′O=3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．故答案为（0，3）．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键．12．（2015春•新泰市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣1，2）、（1，4），欲在x 轴上找一点P，使PA+PB最短，则点P的坐标为（﹣，0）．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，连接A′B，交x轴于P，则P即为所求的点，然后用待定系数法求出直线A′B的解析式，求出直线与x轴的交点即可．解答：解：∵点A（﹣1，2），∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，﹣2），∵A′（﹣1，﹣2），B（1，4），设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线A′B的解析式为y=3x+1，当y=0时，x=﹣．∴P（﹣，0）．故答案为（﹣，0）．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，待定系数法求一次函数的解析式，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．三．解答题（共4小题）13．（2014•清河区二模）已知直角坐标系中有两点A（﹣1，2）、B（5，4），要在x轴上找一点P，使得PA+PB 之和最小，求点P的坐标．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．分析：先求出点A关于x轴的对称点A′的坐标，连接A′B交x轴于P，此时PA+PB最小，用待定系数法求出直线A′B的解析式，然后求出直线与x轴的交点即可．解答：解：∵A（﹣1，2），∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣1，﹣2），∵A′（﹣1，﹣2），B（5，4），设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线A′B的解析式为y=x﹣1，当y=0时，x=1．∴P（1，0）．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．14．（2014秋•嘉荫县期末）如图，小河CD边有两个村庄A村、B村，现要在河边建一自来水厂E为A村与B 村供水，自来水厂建在什么地方到A村、B村的距离和最小？请在下图中找出点E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）考点：轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图．分析：利用轴对称求最短路线的方法得出A点关于直线CD的对称点A′，再连接A′B交CD于点E，即可得出答案．解答：解：如图所示：点E即为所求．点评：此题主要考查了应用设计与作图以及轴对称求最短路径，得出A点对称点是解题关键．（2014秋•沙河市校级期末）如图，已知A，B两个村庄在河流CD的同侧，它们到河流的距离AC=10km，BD=30km，15．且CD=30km．现在要在河流CD上建立一个泵站P向村庄供水，铺设管道的费用为每千米2万元，要使所花费用最少，请确定泵站P的位置？（保留痕迹，不写作法）此时所花费用最少为100万元．考点：轴对称-最短路线问题．分析：根据已知得出作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，再利用构造直角三角形得出即可．解答：解：依题意，只要在直线l上找一点P，使点P到A、B两点的距离和最小．作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P到A、B两点的距离和最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B．过点A′向BD作垂线，交BD的延长线于点E，在直角三角形A′BE 中，A′E=CD=30，BE=BD+DE=40，根据勾股定理可得：A′B=50（千米）即铺设水管长度的最小值为50千米．所以铺设水管所需费用的最小值为：50×2=100（万元）．故答案为100万元．点评：此题主要考查了轴对称﹣最短路线问题和勾股定理的应用，解题关键是构建直角三角形．16．（2015春•下城区期末）在如图所示的方格中，点A，B，C，D都在格点上，且AB=BC=2CD=4，P是线段BC 上的动点，连结AP，DP．（1）设BP=x，用含字母x的代数式分别表示线段AP，DP的长，并求当x=2的时候，AP+DP的值；（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）分别用x表示出BP、CD的长度，再根据勾股定理求出AP、DP的长即可；（2）作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，再由对称的性质及勾股定理即可求解．解答：解：（1）由题意结合图形知：AB=4，BP=x，CP=4﹣x，CD=2，∴AP==，DP===；当x=2时，AP+DP=+=2+2；（2）存在．如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，∴A′E=4，DE=6，则A′D====，∴最小值为2．点评：本题主要考查的是最短线路问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此类题目的关键．。
人教版初中数学八年级上册《13.4 课题学习 最短路径问题》同步练习卷(含答案解析
人教新版八年级上学期《13.4 课题学习最短路径问题》同步练习卷一．选择题（共2小题）1．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是（）A．15 km B．16 km C．17 km D．18 km2．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB 上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30二．解答题（共18小题）3．如图，一个牧童在距离小河岸南400米的A处牧马，而他的家正位于牧马处A的东800米（BC=800米），南700米，（AC=700米）处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？4．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则，，则问题即转化成求AC+CE的最小值．（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于，此时x=；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．5．如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河岸L的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河岸L上选择水厂的位置M（作图并标注出来），使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？6．如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？7．如图，铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A、B 两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出你找的点C来．8．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、BC，已知AB=5，DE=2，BD=12，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为．（2）请问点C在BD上什么位置时，AC+CE的值最小？为什么？并求出最小值．（3）根据（2）中规律和结论，请构图求出代数式的最小值．9．如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C 起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，请分别在边AB，AC上找到点E，F，使四边形PEFQ的周长最小．11．如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么地方可以使桥到两村的距离之和最短？12．如图，直线l同侧有A、B两点，请利用直尺和圆规在直线l上求作一点P，使AP+BP值最小．（不写作法，保留作图痕迹）13．如图，已知A、B两点在直线l的同一侧，根据题意，尺规作图．（1）在（图1）直线l上找出一点P，使PA=PB．（2）在（图2）直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．（3）在（图3）直线l上找出一点P，使|PA﹣PB|的值最大．14．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=400米，BD=200米，CD=800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少．15．高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km，BB′=4km，且A′B′=8km，要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短，求这个最短距离．16．著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17．如图，在旷野上，一个人骑着马从A到B，半路上他必须先到河岸l的P点去让马饮水，然后再让马到河岸m的Q点再次饮水，最后到达B点，他应该如何选择饮马地点P、Q，才能使所走路程AP+PQ+QB为最短（假设河岸l、m 为直线）．18．如图，角形铁架∠M0N小于60°，A，D分别是0M，0N上的点，为实际设计的需要，需在OM和0N上分别找出点C，B，使AB+BC+CD最短，问应如何找，并在图上表示出来．19．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？20．解答题①已知：如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足．求：AD的长．②如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？人教新版八年级上学期《13.4 课题学习最短路径问题》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是（）A．15 km B．16 km C．17 km D．18 km【分析】先作出点A关于小河MN的对称点A′，连接A′B，交河岸MN于点P，则A′B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程．在Rt△A′DB中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，作出A点关于小河MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程．在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B===17km．则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．故选：C．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题及两点之间线段最短的性质，并运用了勾股定理求解．2．如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB 上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．15C．20D．30【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．【解答】解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．故选：A．【点评】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．二．解答题（共18小题）3．如图，一个牧童在距离小河岸南400米的A处牧马，而他的家正位于牧马处A的东800米（BC=800米），南700米，（AC=700米）处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【分析】作出A点关于小河岸南的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．【解答】解：作A点关于小河岸南的对称点A′，连接BA′交河岸于点P，则PB+PA=PB+PA′=BA′最短．在△A′BC中，∠C=90°，BC=800，A′C=AA′+AC=400×2+700=1500，∴A′B==1700（米）．故他要完成这件事情所走的最短路程是1700米．【点评】此题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用．4．为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则，，则问题即转化成求AC+CE的最小值．（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于10，此时x=；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．【分析】（1）根据两点之间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度．过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点．在Rt△AEF中运用勾股定理计算求解．（2）由（1）的结果可作BD=12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式的最小值．【解答】解：（1）过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点，根据题意，四边形BDEF为矩形．AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．∴AE==10．即AC+CE的最小值是10．=10，∵EF∥BD，∴=，∴=，解得：x=．（2）过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，根据题意，四边形ABDF为矩形．EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12．∴AE==13．即AC+CE的最小值是13．【点评】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．5．如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河岸L的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米2万元，请你在河岸L上选择水厂的位置M（作图并标注出来），使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？【分析】此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点为M，点M即为所求作的点．则可得：DK=A′C=AC=10千米，∴BK=BD+DK=40千米，∴AM+BM=A′B==50千米，总费用为50×2=100万元．【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路线问题的知识点，解答本题的关键是找出点M的位置，此题难度不大．6．如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？【分析】作点A关于l的对出现A′，则MA=A′M，故此AM+BM=A′M+BM，然后依据两点之间线段最短的性质解答即可．【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点M，则点M 即为所求点．【点评】本题主要考查的是轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．7．如图，铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在路边建一个货物站C，使A、B 两厂到货物站C的距离之和最小，那么点C应该在l的哪里呢？画出你找的点C来．【分析】作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则点C即为所求点．【解答】解：如图所示：点C即为所求点【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．8．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、BC，已知AB=5，DE=2，BD=12，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为+．（2）请问点C在BD上什么位置时，AC+CE的值最小？为什么？并求出最小值．（3）根据（2）中规律和结论，请构图求出代数式的最小值．【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE ＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；（3）由（1）（2）的结果可作BD=24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值就是代数式的最小值．【解答】解：（1）AC+CE=+．故答案是：+；（2）当点C是AE和BD交点时，AC+CE的值最小．∵AB∥ED，AB=5，DE=2，∴==，又∵BC+CD=BD=12，则BC=CD，CD=BC，∴CD+CD=12，解得：CD=．BC+BC=12，解得：BC=，CD=．故点C在BD上距离点B的距离为时，AC+CE的值最小；（3）如右图所示，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=4，ED=3，DB=24，连接AE交BD于点C，∵AE=AC+CE=，∴AE的长即为代数式的最小值．过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=4，AF=BD=24．所以AE===25，即AE的最小值是25．即代数式的最小值为25．【点评】本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．9．如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C 起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球？为什么？【分析】可过点D作关于AB的对称点D′，连接CD′与AB交于点E，即为所求．【解答】解：如图，参赛者应向E点跑，因为AB所在直线是DD′的垂直平分线，所以ED=ED′，C，D′两点之间CE+ED′是最短的（两点之间线段最短），所以CE+ED是最短的．【点评】能够利用两点之间线段最短求解一些简单的实际问题．10．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，请分别在边AB，AC上找到点E，F，使四边形PEFQ的周长最小．【分析】根据轴对称图形的作法得出对称点，进而解答即可．【解答】解：分别作P关于AB，Q关于AC的对称点P'Q'，连接P'Q'，交AB于E，交AC于F，则E，F即为所求．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．11．如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座便民桥，桥修在什么地方可以使桥到两村的距离之和最短？【分析】如图作点A关于河岸的对称点C，连接BC交河岸于点P，点P就是桥的位置．【解答】解：如图作点A关于河岸的对称点C，连接BC交河岸于点P，点P就是桥的位置．理由：两点之间线段最短．【点评】本题考查轴对称﹣线段最短问题，两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用对称找到点P（桥）的位置，属于中考常考题型．12．如图，直线l同侧有A、B两点，请利用直尺和圆规在直线l上求作一点P，使AP+BP值最小．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′即可．【解答】解：作A点关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则P点为所求．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是正确画出图形，题型较好，难度适中．13．如图，已知A、B两点在直线l的同一侧，根据题意，尺规作图．（1）在（图1）直线l上找出一点P，使PA=PB．（2）在（图2）直线l上找出一点P，使PA+PB的值最小．（3）在（图3）直线l上找出一点P，使|PA﹣PB|的值最大．【分析】（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P，则点P即为所求；（2）作A关于l的对称点A'，连接BA′，线段BA′与l交于P，则P就是所求点．也可作B关于l的对称点B′；（3）过点A，B作直线AB与l交于P，则P就是所求点．【解答】解：（1）如图1所示：此时：PA=PB，如图所示：（2）此时：PA+PB最小；（3）如图所示：此时：|PA﹣PB|最大．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是正确画出图形，题型较好，难度适中．14．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC=400米，BD=200米，CD=800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少．【分析】作点B关于河岸的对称点B′，连接AB′交CD于点P，过点B′作B′E⊥AC，垂足为E，由轴对称的性质和两点之间线段最短可知AB′的长度即为最短路程．【解答】解：作点B关于河岸的对称点B′，连接AB′交CD于点P，过点B′作B′E ⊥AC，垂足为E．由轴对称的性质可知：PB=PB′，DB′=DB．∴PA+PB=AP+PB′．由两点之间线段最短可知；当点A、P、B′在一条直线上时，PA+PB最短．在Rt△AEB′中，AB′===1000．【点评】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用，明确当点A、P、B′在一条直线上时PA+PB最短是解题的关键．15．高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km，BB′=4km，且A′B′=8km，要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短，求这个最短距离．【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可．【解答】解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点C，再连结CB，交直线MN于点P，则此时AP+PB最小，过点B作BD⊥CA延长线于点D，∵AA′=2km，BB′=4km，A′B′=8km，∴AC=4km，则CD=6km，在Rt△CDB中，CB==10（km），则AP+PB的最小值为：10km．【点评】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．16．著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解答】解：作B点与河面的对称点B′，连接AB′，可得到马喝水的地方C，如图所示，由对称的性质可知AB′=AC+BC，根据两点之间线段最短的性质可知，C点即为所求．【点评】本题考查的是最短路线问题，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短．17．如图，在旷野上，一个人骑着马从A到B，半路上他必须先到河岸l的P点去让马饮水，然后再让马到河岸m的Q点再次饮水，最后到达B点，他应该如何选择饮马地点P、Q，才能使所走路程AP+PQ+QB为最短（假设河岸l、m 为直线）．【分析】作出点A关于l的对称点A′，点B关于m的对称点B′，连接A′B′，交于l，m于点P，点Q，则AP，PQ，QB是他走的最短路线．【解答】解：如图，分别作A点关于直线l的对称点A′、B点关于直线m的对称点B′连接A′B′，分别交l于点P，交m于点Q，连接AP、BQ，所以路程AP+PQ+BQ最短．【点评】本题考查了轴对称的性质﹣最短路线问题，利用两点之间线段最短的性质求解是解本题的关键．18．如图，角形铁架∠M0N小于60°，A，D分别是0M，0N上的点，为实际设计的需要，需在OM和0N上分别找出点C，B，使AB+BC+CD最短，问应如何找，并在图上表示出来．【分析】作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′依据两点之间线段最短可确定出点B、C的位置．【解答】解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．此时AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′为最短距离．【点评】此题考查了线路轴对称﹣最短的问题，利用轴对称的性质确定动点为何位置是解题的关键．19．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线，在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B===17km，答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km．【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．20．解答题①已知：如图，在△ABC中，∠CAB=120°，AB=4，AC=2，AD⊥BC，D是垂足．求：AD的长．②如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【分析】①过C作CE⊥BE交BA的延长线于E，求出∠ACE=30°，求出AE，CE，根据三角形面积公式得出AB×CE=CB×AD，代入求出即可；②根据题意画出P点的位置，得出A、C关于小河对称，求出BO、CO，根据勾股定理求出BC，即可求出答案．【解答】①解：过C作CE⊥BA交BA的延长线于E，∵∠CAB=120°，∴∠CAE=60°，∴∠ACE=30°∵AC=2，∴AE=AC=1∵在Rt△ACE中，由勾股定理可得：CE2=AC2﹣AE2=3，∴CE=，在Rt△BCE中，由勾股定理可得：BC2=CE2+BE2=28，∴BC=∵AB×CE=CB×AD，∴×4×=××AD，∴AD=；②解：作A关于小河（EF）的对称点C，连接BC交EF于P，则此时AP+BP最小，过B作OB⊥AC于O，则BO=8，CA=4+4=8，CO=8+7=15，则PA+PB=PC+PB=BC==17（km），答：要完成这件事情所走的最短路程是17km．【点评】本题考查了勾股定理、轴对称﹣最短路线问题、含30度角的直角三角形的应用，解（1）的关键是得出关系式AB×CE=CB×AD和求出CB、CE的长，解（2）的关键是找出P点的位置．。
八年级上册数学13.4课题学习 最短路径问题专项练习附答案 教师版
八年级上册数学13.4课题学习最短路径问题专项练习附答案一、单选题（共23题；共46分）1.如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB 上的动点，则BM＋MN的最小值是（）C. 5D. 6A. 4B. 245【答案】C【解析】【解答】如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴1×10•BE=25，2解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故答案为：C．【分析】本题关键是确定点M、N分别在什么位置时，BM+MN最小。
首先根据AD是∠BAC平分线可知点B的对称点B'必在AC上，再根据垂线段最短的原理从B'向AB边引垂线段，与AD、AB的交点即为M、N，因为此时B'N=MN+B'M=MN+MB。
最后利用AB=AB'，结合等腰三角形两腰上的高相等把求B'N的长转化为求△ABC边AC上的高BE，据此解答即可。
2.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时,则∠MPN的度数为（）A. 140°B. 100°C. 50°D. 40°【答案】B【解析】【解答】如图，分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.根据轴对称的性质可得OC=OP=OD，∠CON=∠PON，∠POM=∠DOM；因∠AOB=∠MOP+∠PON＝40°,即可得∠COD=2∠AOB=80°，在△COD中，OC=OD，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠OCD=∠ODC=50°；在△CON和△PON中，OC=OP，∠CON=∠PON，ON=ON，利用SAS判定△CON≌△PON，根据全等三角形的性质可得∠OCN=∠NPO=50°,同理可得∠OPM=∠ODM=50°,所以∠MPN=∠NPO+∠OPM=50°+50°=100°.故答案为：B.【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，此时△PMN周长取最小值.3.如图，在矩形ABCD中，AD=4，∠DAC=30°，点P、E分别在AC、AD上，则PE+PD的最小值是（）A. 2B. 2 √3C. 4D. 8√33【答案】B【解析】【解答】作D关于直线AC的对称点D′，过D′作D′E⊥AD于E，则D′E=PE+PD的最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∵AD=4，∠DAC=30°，∴CD= 4√3，3∵DD′⊥AC，∴∠CDD′=30°，∴∠ADD′=60°，∴DD′=4，∴D′E=2 √3，故答案为：B．【分析】找出定直线AC，D是定点，可作出D的对称点D'，连结D'E，当P点在交点时，由两点之间线段转化为D'E,且D'E与AD垂直时PE+PD的最小.4.如图，在锐角三角形ABC中，AC=6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC与点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【解答】解：如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．∵BM+MN=BM+MN′≤BN″，∴当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，∵1×AC×BN″=15，AC=6，2∴BN″=5，∴BM+MN的最小值为5，故选B．【分析】如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．因为BM+MN=BM+MN′≤BN″，所以当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，求出BN″即可解决问题．5.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2√3B. 2√6C. 3D. √6【答案】A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE 是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】设BE与AC交于点F（P′)，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2√3．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2√3故所求最小值为2√3故选：A．【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题6.如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC=2，点E是AC边上的动点，则BE+ED的和最小值为（）A. √5B. √7C. 3D. √3+1【答案】B【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD= √3，BD=CD=1，BB′=2AD=2 √3，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G=AD= √3，在Rt△B′BG中，BG= √BB′2−B′G2=√(2√3)2−(√3)2=3，∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，在Rt△B′DG中，BD= √DG2+9B′G2=√22+(√3)2=√7．故BE+ED的最小值为√7．故选B．【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE+ED=B′E+ED=B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值，故E即为所求的点．7.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2√3B. 2√6C. 3D. √6【答案】A【解析】【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE 是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】设BE与AC交于点F（P′)，连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2√3．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2√3故所求最小值为2√3故选：A．【点评】此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题8.如图，在锐角三角形ABC中AB= 4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 2【答案】A【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠EAM=∠NAM，在△AME与△AMN中，{AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，∴△AME≌△AMN（SAS），∴ME=MN．∴BM+MN=BM+ME≥BE，当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，此时BM+MN有最小值，∵AB=4 √2，∠BAC=45°，此时△ABE为等腰直角三角形，∴BE=4，即BE取最小值为4，∴BM+MN的最小值是4．故选A．【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．9.如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R。
人教版八年级数学上册课题学习最短路径问题1同步练习题
13.4 课题学习最短路径问题基础巩固1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB 上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？3．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．4．七年级(1)班同学做游戏，在活动区域边OP放了一些球(如图)，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A?能力提升5．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q 和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．6．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD 的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m.(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；(2)最短路程是多少？参考答案1．解：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB 于点E，则点E就是所求的点．2．解：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2；(2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N.因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M 处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少．3．解：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′；(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交OP于点B，则小明行走的路线是小明→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.5．解：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．6．解：(1)作法：如图作点A关于CD的对称点A′；连接A′B交CD于点M.则点M即为所求的点．证明：在CD上任取一点M′，连接AM′，A′M′，BM′，AM，因为直线CD是A，A′的对称轴，M，M′在CD上，所以AM＝A′M，AM′＝A′M′，所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B，在△A′M′B中，因为A′M′＋BM′＞A′B，所以AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即AM＋BM最小．(2)由(1)可得AM＝A′M，A′C＝AC＝BD，所以△A′CM≌△BDM，即A′M＝BM，CM＝DM，所以M为CD的中点，且A′B＝2AM，因为AM＝500 m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程为1 000 m.关注数学的解题过程数学是一门非常严谨的科目,在平时的学习中,同学们应该养成积极思考、重视细节、严谨计算、活学活用的好习惯,这是学好数学的前提高效学习经验——注重解答过程中考状元XX在中考中仅仅丢掉了6分。
人教版八年级数学上册同步练习题 第十三章轴对称 13.4 课题学习--最短路径问题
人教版八年级数学上册同步练习题第十三章轴对称13.4 课题学习--最短路径问题一、单选题1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间2．已知两点M（3（5（（N（1（（1），点P是x轴上一动点，若使PM（PN最短，则点P的坐标应为（）A．（12（（4（B．（23（0（C．（43（0（D．（32（0（3．平面直角坐标系xOy中，已知A(（1（0)（B(3（0)（C(0（（1)三点，D(1（m)是一个动点，当△ACD的周长最小时，则△ABD的面积为（（A．13B．23C．43D．834．x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|+|x+2|的值最小，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤﹣2C．﹣2≤x≤3D．﹣2＜x＜35．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．86．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④7．如图，ABC ∆中，BAC 90︒∠=，6AB =，10BC =，8AC =，BD 是ABC ∠的平分线.若P 、Q 分别是BD 和AB 上的动点，则PA PQ +的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．58．如图，在矩形ABCD 中8AB =，16BC =，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为( )A ．6B ．12C ．D ．9．A ，B ，C 三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在( )A ．在A 的左侧B ．在AB 之间C ．在BC 之间D ．B 处10．A（B 是直线l 上的两点，P 是直线l 上的任意一点，要使PA+PB 的值最小，那么点P 的位置应在（ ） A ．线段AB 上 B ．线段AB 的延长线上C ．线段AB 的反向延长线上D ．直线l 上二、填空题11．如图，在Rt（ABC中，（ACB（90°（（ABC（60°（BC（4（E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1（EF（____（（2）若D是BC边上一动点，则（EFD的周长最小值是____（12．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30°，OP=8cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值_____cm．13．如图，已知（AOB=45°（（AOB内有一点（M为射线OA上一动点，N为射线OB上一动点，则PM+MN+PN的最小值为________（14．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF=________度。
人教版八年级数学上册同步检测13.4 课题学习 最短路径问题(word版,含答案解析)
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题
一、选择题（共16小题；共80分）
1. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，
向P，Q两地供水，现有如下四种修建方案，图中实线表示修建的管道，则所需管道最短的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图，直线l是一条河，A，B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一
个水泵站，直接向A，B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，四边形ABCD中，∠C=50∘，∠B=∠D=90∘，E，F分别是BC，DC
上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )
A. 50∘
B. 60∘
C. 70∘
D. 80∘
4. 如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，
向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是( )
A. B.
C. D.。
部编版人教数学八年级上册《13.4课题学习 最短路径问题 同步训练习题(含答案)》最新精品
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13.4 课题学习最短路径问题
[学生用书P63]
1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( ) A．40° B．100° C．140° D．50°
图13-4-6
2．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A?
图13-4-7
3．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P.
(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？
(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．
图13-4-8
4．[2015·鄂尔多斯]如图13-4-9，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( D )。
八年级数学上册最短路径问题同步练习含解析
最短路径问题一、单选题（共10小题)1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人,15人，10人,且这三点在一条大道上（A，B,C三点在同一直线上)，已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在（)A．点A B．点B C．AB之间 D．BC之间【答案】A【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解:①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米)，②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m ＜300），则所有人的路程的和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m＞13500,⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600—n）=15000+35n＞13500．∴该停靠点的位置应设在点A；故选：A．【点睛】考查了比较线段的长短,此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．2．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN（假定河的两岸彼此平行,且桥与河岸互相垂直)，下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是（)A．B．C．D．【答案】C【解析】如图作AI∥MN,且AI=MN，连接BI，由两点之间线段最短可知此时从A点到B点的距离最短，所以AM∥BN。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13-4课题学习 最短路径问题》同步测试题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.4课题学习最短路径问题》同步测试题（附答案）一．选择题（共9小题，满分45分）1．如图，已知点D、E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．3B．6C．9D．122．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，D为AB上一动点，DE∥AC，DE＝2，则AE+CE的最小值等于（）A．4B．2C．3D．+23．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为（）A．B．3C．3D．24．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（）A．无法确定B．10C．13D．165．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC 于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．5C．3D．6．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（）A．5B．15C．20D．307．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°8．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（）A．7B．6C．9D．109．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）二．填空题（共6小题，满分30分）10．在锐角△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝2cm，BD平分∠ABC交AC于点D，点M，N 分别是BD和BC边上的动点，则MN+MC的最小值是．11．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．12．如图，∠AOB＝20°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为．13．如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．14．如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当BP＝时，四边形APQE的周长最小．15．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．三．解答题（共5小题，满分45分）16．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠MBC的度数是度；（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝2BC，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若AC＝3，在AC边上找一点H，使得BH+EH最小，并求出这个最小值．（并说明理由）18．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1，B1，C1；（2）若P为x轴上一点，则P A+PB的最小值为；（3）计算△ABC的面积．19．如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求证：∠ACB＝∠ACD；（2）过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．20．已知点D在△ABC外，∠BAC＝90°，AB＝AC，射线BD与△ABC的边AC交于点H，AE⊥BD，垂足为E，∠ABD＝∠ACD．（1）如图1，求证：2DE+DC＝BD；（2）如图2，已知∠ABE＝25°，BE＝4，点F在线段BC，且BE＝BF，点M，N分别是射线BC、BD上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子EM+MN+NF的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由．参考答案一．选择题（共9小题，满分45分）1．解：连接CE交AD于点F，连接BF，∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF，∴BF+EF＝CF+EF＝CE，此时BF+EF的值最小，最小值为CE，∵D、E分别是△ABC中BC、AB边的中点，∴AD＝CE，∵AD＝6，∴CE＝6，∴BF+EF的最小值为6，故选：B．2．解：如图所示，过E作EF∥AB交CA的延长线于点F，作点A关于EF的对称点A'，连接A'E和A'F，∴∠BAC＝∠AFE＝∠A'FE，AE＝A'E，∴AE+CE＝A'E+CE，由题可得，△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°，∴∠A'FC＝45°×2＝90°，∵AF∥DE，EF∥AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF＝DE＝2，A'F＝AF＝2，当点C，点E，点A'在同一直线上时，AE+CE的最小值等于A'C的长，如图所示．此时，Rt△A'FC中，A'C＝，∴AE+CE的最小值为，故选：B．3．解：过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，∵△ABC为等边三角形，边长为6，∴BF＝AB＝6＝3，∴CF＝3，∴CE+EF的最小值为3，故选：C．4．解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠B＝60°，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，∵∠B＝60°，∠BNG＝90°，∴∠G＝30°，∵BN＝9，∴BG＝2BN＝18，∴CM＝CG＝5，∴AC＝BC＝13，故选：C．5．解：在AB上取一点G，使AG＝AF，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴FE＝EG，∴CE+EF＝CE+EG，则最小值时CG垂直AB时，CG的长度，CG＝．故选：D．6．解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB 于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，连接OD，OE，∵P、D关于OA对称，∴OD＝OP，PM＝DM，同理OE＝OP，PN＝EN，∴OD＝OE＝OP＝15，∵P、D关于OA对称，∴OA⊥PD，∴∠DOA＝∠POA，同理∠POB＝∠EOB，∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∵OD＝OE＝15，∴△DOE是等边三角形，∴DE＝15，即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15，故选：B．7．解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN，∵∠B＝∠D＝90°，∴AN＝NF，AM＝EM，∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，∵∠F AN＝∠F，∠E＝∠EAM，∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，∵∠BAD＝130°，∴∠E+∠F＝50°，∴∠BAM+∠F AN＝50°，∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，故选：C．8．解：如图所示，连接BM，∵DE是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴AM+CM＝BM+CM，当B，M，C在同一直线上时，AM+CM的最小值为BC的长，又∵AC＝4，BC＝6，∴△AMC周长的最小值＝6+4＝10，故选：D．9．解：如图，将点E（8，2）往左平移2个单位得到F（6，2），则EF＝2＝PQ，EF∥PQ，∴四边形EFPQ是平行四边形，∴FP＝QE，作点F关于x轴的对称点F'，连接PF'，则PF'＝PF，F'（6，﹣2），∴当点A、P、F在同一直线上上时，AP+PF'最小，即AP+EQ最小，∵A（0，4），F'（6，﹣2），∴直线AF'解析式：y＝﹣x+4，∴P（4，0），故选：C．二．填空题（共6小题，满分30分）10．解：如图，在BA上截取BE＝BN，连接CE．因为∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠EBM＝∠NBM，在△BME与△BMN中，，所以△BME≌△BMN，所以ME＝MN．所以CM+MN＝CM+ME≥CE．因为CM+MN有最小值．当CE是点C到直线AB的距离时，即C到直线AB的垂线段时，CE取最小值为，所以CM+MN的最小值是．故答案为．11．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PC、PD．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝6．∵∠POC＝∠POD，∴OP⊥CD，∴OQ＝6×＝3，∴PQ＝6﹣3设MQ＝x，则PM＝CM＝3﹣x，∴（3﹣x）2﹣x2＝（6﹣3）2，解得x＝6﹣9，∴MN＝2MQ＝12﹣18，∵S△PMN＝MN×PQ，S△MON＝MN×OQ，∴S四边形PMON＝S△MON+S△PMN＝MN×PQ+MN×OQ＝MN×OP＝×（12﹣18）×6＝36﹣54．故答案为36﹣54．12．解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），∴β﹣α＝40°，故答案为40°．13．解：如图1所示：作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ 的周长最小，∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1，∴AA′＝6，AE′＝4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴DQ＝AE′＝2；CQ＝DC﹣DQ＝3﹣2＝1，∵BP∥AA′，∴＝，即＝，BP＝，CP＝BC﹣BP＝3﹣＝，S四边形AEPQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣S BEP＝9﹣AD•DQ﹣CQ•CP﹣BE•BP＝9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×＝．故答案为：．14．解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC 的平行线交DC的延长线于H点．∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，∴∠GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ＝EC，∴6﹣x＝2，解得x＝4．故答案为4．15．解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故答案为．三．解答题（共5小题，满分45分）16．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴MA＝MB，∴∠MBA＝∠A＝40°，∴∠MBC＝30°，故答案为：30；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，∴BC＝14﹣8＝6（cm）；②当P与M重合时，△PBC的周长最小．理由：∵PB+PC＝P A+PC，P A+PC≥AC，∴当P与M重合时，P A+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．17．（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝2BC，E为AB边的中点，∴BC＝EA，∠ABC＝60°，∵△DEB为等边三角形，∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，∴∠DEA＝∠DBC，在△ADE与△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS）；（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H，则点H即为符合条件的点，由作图可知：EH＝HE'，AE'＝AE，∠E'AC＝∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∴∠EAE'＝∠ABC＝60°，∴△EAE'为等边三角形，∴EE'＝EA＝AE'＝BC＝AB，∵AB＝BA，∴△ABE'≌△BAC（SAS）；∴BE'＝AC＝3，∴BH+EH的最小值为3．18．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由图知，A1的坐标为（﹣1，1）、B1的坐标为（﹣4，2）、C1的坐标为（﹣3，4）；（2）如图所示：作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置，则P A+PB的最小值＝A′B，∵A′B＝＝3，∴P A+PB的最小值为3；（3）△ABC的面积＝3×3﹣×3×1﹣×1×2﹣×2×3＝，故答案为：（﹣1，1），（﹣4，2），（﹣3，4），3．19．证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠ACB＝∠ACD；（2）①∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC＝∠CAD，∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∵∠EBA＝90°，∴∠BEA＝∠BAC＝∠CAE＝30°，∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC＝∠MAE＝30°，∵ME∥AB，∴∠MEB＝∠ABE＝90°，∴∠MEA＝90°+30°＝120°，∵∠MAE＝30°，∴∠EMA＝30°，∵CP⊥MP，CE⊥ME，∠MCP＝∠MCE＝60°，∴△NEC≌△NPC（SAS），∴EN＝PN，∴N是EP的中点，NC⊥PE，∴AM垂直平分PE；②延长PD、ME交于Q点，由①知，∠BEA＝30°，∠MEB＝90°，∴∠MEA＝120°，∴∠DEQ＝60°，∵PD⊥AE，∴∠EDQ＝90°，∴∠EQD＝30°，∵∠CPN＝30°，∴∠EPD＝∠DQE，∴PE＝EQ，∴ME+PE＝QE+ME≥MQ，此时ME+PE的值最小，∵点O是直线AE上的动点，∴当MO+PO的值最小时，E点与O点重合．20．（1）证明：如图1，作AF⊥CD于F，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴BE＝CF，AE＝AF，∵∠ABD＝∠ACD，∠AHB＝∠CHB，∴∠BDH＝∠BAC＝90°，∴∠AED＝∠F＝∠ADF＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∴矩形AEDF是正方形，∴DE＝DF，∴BD＝BE+DE＝CF+DE＝CD+DF+DE＝CD+2DE；（2）如图2，作点E关于BC的对称点V，作点F关于BD的对称点R，连接RV，交BD于N，BC于M，∴EM＝MV，NF＝NR，∠RBN＝∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝20°，∠VBF＝∠CBD＝20°，BR＝BF＝BE＝4，BV＝BE＝4，∴∠RBV＝60°，∴△BRV是等边三角形，∴RV＝BR＝4，此时（EM+MN+NF）最小＝MV+MN+RN＝RV＝4．。
人教版 八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径 同步培优(含答案)
人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径同步培优一、选择题1. 如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上的点P处建一个服务中心，使P A＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是()2. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为()A．10 B．11 C．11.5 D．133. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，P是AD边上的一动点，要使PC＋PB的值最小，则点P应满足()A．PB＝PC B．P A＝PDC．∠BPC＝90°D．∠APB＝∠DPC4. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为()A．130°B．120°C．110°D．100°5. 如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案()6. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在直线l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两村供水，现有如下四种铺设方案，图中PM，MQ表示铺设的管道，则所需管道最短的是()7. 如图，点P，Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形:△O1PQ，△O2PQ，…，△O n PQ，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长()A.不断变大B.不断变小C.先变小再变大D.先变大再变小8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为()A.8B.10C.12D.149. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为 ()A.80°B.90°C.100°D.130°10. 如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AC上，BD=6 cm，E，F分别是AB，BC边上的动点，△DEF周长的最小值为6 cm，则∠ABC的度数为()A.20°B.25°C.30°D.35°二、作图题11. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(－4，5)，(－1，3)．(1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；(2)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；(3)P是x轴上的动点，在图中找出使△A′BP周长最短的点P，直接写出点P的坐标．12. 如图，在河岸l的同侧有两个居民小区A，B，现欲在河岸边建一个长为a的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小.在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程.13. 河岸l同侧的两个居民小区A，B到河岸的距离分别为a米，b米(即图①中所示，AA′＝a米，BB′＝b米)，A′B′＝c米．现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．在图②中画出绿化带的位置，并写出画图过程．14. 如图，山娃星期天从A处赶了几只羊到草地l1放羊，然后赶羊到小河l2饮水，之后再回到B处的家，假设山娃赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置．15. 如图，已知牧马营地在点M处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水.(1)求到河边饮水的最短路线;(2)如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线.三、解答题16. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ACB＝30°，AC＝10，CD是角平分线．(1)如图①，若E是AC边上的一个定．点，在CD上找一点P，使P A＋PE的值最小；(2)如图②，若E是AC边上的一个动．点，在CD上找一点P，使P A＋PE的值最小，并求出这个最小值．17. 如图①所示，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A地到B地的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)[思考1]如图②，如果A，B两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是与河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的路径呢？[思考2]如图③，如果A，B两地之间有三条平行的河流呢？[拓展]如图④，如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行的，又该如何建桥呢？请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用实线画出来．链接听P30例2归纳总结人教版八年级数学上册13.4 课题学习最短路径同步培优-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] ∵直线m垂直平分AB，∴B，C关于直线m对称．设直线m交AB于点D，∴当点P和点D重合时，AP＋CP的值最小，最小值等于AB 的长，∴△APC的周长的最小值是6＋4＝10.3. 【答案】D4. 【答案】B[解析] 如图，分别作点A关于BC，DC的对称点A1，A2，连接A1A2交BC于点M，交DC于点N，则此时△AMN的周长最小．∵∠A1AA2＝120°，∴∠A1＋∠A2＝60°.∵MA＝MA1，NA＝NA2，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠A1＋∠A2)＝2×60°＝120°.5. 【答案】C[解析] 如图，作PP′垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于点N，将P′N沿竖直方向向上平移河宽个单位长度，得到PM，PM －MN－NQ即所求．根据“两点之间，线段最短”，QP′最短，即PM＋NQ最短．观察选项，选项C符合题意．6. 【答案】D7. 【答案】C[解析] 如图，作点P关于直线AB的对称点P'，连接P'Q交直线AB于点O.∵两点之间线段最短，且PQ的长为定值，∴当点O运动到此点时三角形的周长最短.∴这些三角形的周长先变小再变大.8. 【答案】D[解析] 如图，连接AD，MA.∵△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，∴AD⊥BC.∴S=BC·AD=×4AD=24，△ABC解得AD=12.∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC.∴MC+DM=MA+DM≥AD.∴AD的长为MC+MD的最小值.∴△CDM的周长的最小值为(MC+MD)+CD=AD+BC=12+×4=14.故选D.9. 【答案】C[解析] 如图，延长AB到点A'，使得BA'=BA，延长AD到点A″，使得DA″=AD，连接A'A″与BC，CD分别交于点M，N.∵∠ABC=∠ADC=90°，∴点A，A'关于BC对称，点A，A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小.∵BA=BA'，MB⊥AB，∴MA=MA'.同理NA=NA″.∴∠A'=∠MAB，∠A″=∠NAD.∵∠AMN=∠A'+∠MAB=2∠A'，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A″).∵∠BAD=130°，∴∠A'+∠A″=180°-∠BAD=50°.∴∠AMN+∠ANM=2×50°=100°.10. 【答案】C[解析] 如图，将△ABD和△DBC分别沿着AB和BC向外翻折，得△ABG和△HBC，连接GH，分别交AB，BC于点E，F，此时△DEF的周长最小，即为GH的长，∴GH=6 cm.∵BD=6 cm，∴BG=BH=BD=6 cm=GH.∴△BGH是等边三角形.∴∠GBH=60°.∴2∠ABD+2∠DBC=60°.∴∠ABD+∠DBC=30°.∴∠ABC=30°.故选C.二、作图题11. 【答案】解：(1)如图所示．(2)△A′B′C′如图所示，点B′的坐标为(2，1)．(3)如图所示，点P的坐标为(－1，0)．12. 【答案】解:如图，作线段AP∥l，使AP=a，且点P在点A的右侧;作点P关于直线l的对称点P'，连接BP'交l于点D;在l上点D的左侧截取DC=a，则CD就是所求绿化带的位置.13. 【答案】解：如图，作线段AP∥l，使AP＝s，且点P在点A右侧，取点P关于l的对称点P′，连接BP′交l于点D，在l上点D左侧截取DC＝s，则CD即为所求绿化带的位置．14. 【答案】解：如图，作点A关于l1的对称点E，作点B关于l2的对称点F，连接EF，分别交l1，l2于点C，D，则折线ACDB是所求的最短路线．15. 【答案】解:把河流抽象成直线a，把草地抽象成直线b.(1)如图①，过点M作MP⊥直线a于点P，则MP即为最短路线.(2)如图②，分别作点M关于直线a，b的对称点A，B，连接AB与直线a，b分别交于点C，D，则最短的牧马路线为M→C→D→M.三、解答题16. 【答案】解：(1)如图①，过点D作DF⊥BC于点F，连接EF交CD于点P，点P即为所求．(2)如图②，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE⊥AC交CD于点P，则此时PA＋PE的值最小，PA＋PE的最小值为线段EF的长．∵CD是角平分线，∠BAC＝∠DFC＝90°，∴DA＝DF.又∵DC＝DC，∴Rt△ADC≌Rt△FDC.∴CF＝AC＝10.∵∠ACB＝30°，∴EF＝12CF＝5，即PA＋PE的最小值为5.17. 【答案】如图①所示，MN即为所求．[思考1] 如图②所示，折线AMNEFB即为所求．[思考2] 如图③所示，折线AMNGHFEB即为所求．[拓展] 如图④所示，折线AMNEFB即为所求．。
八年级上《最短路径问题》同步练习含答案
八年级上《最短路径问题》同步练习含答案基础题知识点最短路径问题1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短；(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小．4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？中档题5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点．(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．(2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________．8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．综合题9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．参考答案1．60° 2.(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求．图略．(2)连接AB并延长，交直线l于点P.图略． 3.作B关于CD的对称点B′，连接AB′，交格线CD于Q，此时QA＋QB＝QA＋QB′＝AB′，根据两点之间线段最短，得此时QA＋QB最小． 4.①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′的长等于河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a 于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置．图略． 5.连接NC与AD的交点为M点．点M即为所求．图略． 6.(1)①作出点P关于AC、BC的对称点D、G.②连接DG交AC、BC于点M、N.点M、N即为所求．(2)设PD交AC于E，PG交BC于F，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°.∴∠C＋∠EPF＝180°.∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°.∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°，∴∠D＋∠G＝52°.由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN＋∠DPM＝52°.∴∠MPN＝128°－52°＝76°.7.(1)图略，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F.此时，△PEF的周长最小．(2)30°8.作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH.∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°.∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°.∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A ＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°.9.(1)图略，点A，B即为所求．画法：①作点M关于射线OP的对称点M′；②连接M′N交OP于点A；③作点N关于射线OQ的对称点N′；④连接N′M交OQ于点B.(2)AM＋AN＝BM＋BN.。
人教版八年级上册13.4《课题学习--最短路径问题》同步练习卷 含答案
人教版八年级上册13.4《课题学习--最短路径问题》同步练习卷一．选择题1．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．计划在l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（）A．B．C．D．2．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个给水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（）A．B．C．D．3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△P AB周长最小的是（）A．B．C．D．4．如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（）A．B．C．D．5．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使P A+PB的值最小，则点P坐标为（）A．（2，0）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（0，﹣2）6．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC8．如图，点E是正方形ABCD的边DC上的一点，在AC上找一点P，使PD+PE的值最小，这个最小值等于线段（）的长度．A．AB B．AC C．BP D．BE9．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．810．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．12二．填空题11．如图所示，∠AOB＝30°，角内有点P，PO＝10cm，两边上各有一点Q，R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是．12．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10cm，现要在OC、OA上分别找点Q、N，使QM+QN最小，则其最小值是．13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为．14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．15．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，面积65，AD是∠BAC的角平分线，E是AD上的动点，F是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为．三．解答题16．如图，P是∠AOB内任一点，分别在OA、OB上，求作两点P1，P2，使△PP1P2的周长最小（简要说明作法）．17．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．18．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．19．有人会说：“这也太简单了！”别着急，请看下面这道题（如图）有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近．这道题乍一看似乎无从下手．但经过观察可以发现此题依然可以利用“两点之间，线段最短”来解决问题，具体方法为：做B点与河面的对称点B′，连接AB′，可得到马喝水的地方C（如图）．再连接CB得到这道题的解A→C→B．这就是著名的“将军饮马”问题．不信的话你可以在河边任意取一点C′连接AC′和C′B，比较一下就知道了．20．已知：如图所示，（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使P A+PC最小．21．如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△P AB的周长最小．22．（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，则所需管道最短．故选：D．2．解：作点M关于直线m的对称点P′，连接nP′交直线L于P．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．3．解：分别在∠O的两边上找点A、B，使△P AB周长最小的是D选项，故选：D．4．解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项B修建的管道，所需管道最短．又由垂线段最短，可知铺设的管道最短的方案是选项A．故选：A．5．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB＝AP+PB′＝AB′的值最小，∵点B坐标为（1，﹣3），∴B′（﹣1，﹣3），∴B′C＝AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴PD＝B′D＝1，∵OD＝|﹣3|＝3，∴OP＝2，∴P（0，﹣2），故选：D．6．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN＝5，∴DM+CN+MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；故选：B．7．解：如图连接PC，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PB+PE＝PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴点D与点B关于直线AC对称，连接BE，则线段BE的长就是PD+PE的最小值．故选：D．9．解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，∴×4•CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值为4．故选：B．10．解：连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA＝MC，∵AD≤AM+MD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故选：C．二．填空题11．解：如图，作出点P关于OA的对称点E，作出点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于Q，交OB于R．连接PQ，PR，PE，PF，OE，OF．则PQ＝EQ，PR＝RF，则△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝EQ+QR+RF＝EF．∵∠AOP＝∠AOE，∠POB＝∠FOB，∠AOB＝∠AOP+∠POB＝30°，∴∠EOF＝60°，又∵OE＝OP，OF＝OP，∴OE＝OF＝10，即△EOF是等边三角形，∴EF＝OP＝10，所以△PQR的周长的最小值为10．故答案为：10．12．解：作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN 的值最小，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，∴OA、OB关于OC对称，∴P点在OB上，∴OP＝OM＝10cm，QM＝PQ，∠PNO＝90°，∵PN＝OP＝×10＝5cm，∴QM+QN＝PQ+QN＝PN＝5cm，故答案为5cm．13．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故答案为：10．14．解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，∵A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），∴C（2，﹣3），设直线BC的解析式是：y＝kx+b，把B、C的坐标代入得：解得．即直线BC的解析式是y＝﹣x﹣1，当y＝0时，﹣x﹣1＝0，解得：x＝﹣1，∴P点的坐标是（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）．15．解：如图，连接CE，过点C作CH⊥AB于H，∵S△ABC＝×AB×CH＝65，∴CH＝＝10，∵AB＝AC＝13，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BE＝EC，∴BE+EF＝CE+EF，∴当点E，点C，点F三点共线，且CF⊥AB时，BE+EF有最小值，即点E，点F都在线段CH上，∴BE+EF的最小值为10，故答案为：10．三．解答题16．解：（1）作点P关于OA、OB的对称点M、N；（2）连接M、N，分别交OA，OB分别于P1、P2，则△PP1P2即为所求的三角形．17．解：利用图形平移的性质及连接两点的线中，线段最短，可知：AC+CD+DB＝（ED+DB）+CD＝EB+CD．而CD的长度又是平行线PQ与MN之间的距离，所以AC+CD+DB最短．18．解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|P A﹣PB|的值最大的点，|P A﹣PB|＝A′B，连接A′C，∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°，∴∠CAA′＝15°，∵AC＝A′C，∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，∴∠ACA′＝150°，∵∠ACB＝90°，∴∠A′CB＝60°，∴△A′BC是等边三角形，∴A′B＝BC＝4．故答案为：4．19．解：在河边任意取一点C′连接AC′和C′B，∵CD是线段BB′的垂直平分线可求出BC＝B′C，∴AC+BC＝AC+B′C＝AB′，同理，BC′＝B′C′，∴AC′+BC′＝AC′+B′C′，∴AC′+B′C′＞AB′．∴C为所求的点．20．解：（1）分别作A、B、C的对称点，A′、B′、C′，由三点的位置可知：A′（﹣1，2），B′（﹣3，1），C′（﹣4，3）（2）先找出C点关于x轴对称的点C″（4，﹣3），连接C″A交x轴于点P，（或找出A点关于x轴对称的点A″（1，﹣2），连接A″C交x轴于点P）则P点即为所求点．21．解：作法：作A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P．则点P就是所要求作的点；理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′．∵A和A′关于直线l对称，∴P A＝P A′，P′A＝P′A′，而A′P+BP＜A′P′+BP′∴P A+BP＜AP′+BP′∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′即△ABP周长小于△ABP′周长．22．解：（1）如图1，作C关于直线AB的对称点C′，连接C′D交AB于点P．则点P就是所要求作的点．理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′、C'P'．∵C和C′关于直线l对称，∴PC＝PC′，P′C＝P′C′，而C′P+DP＜C′P′+DP′，∴PC+DP＜CP′+DP′∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′即△CDP周长小于△CDP′周长；（2）如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，连接PC，PD，则点E，F就是所要求作的点，理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P、PF′、DF′，E'F'，∵C和P关于直线OA对称，D和P关于直线OB对称，∴PE＝CE，CE′＝PE′，PF＝DF，PF′＝DF′，∴PE+EF+PF＝CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′＝CE′+E′F′+DF′，∵CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，∴PE+EF+PF＜PE′+E′F′+PF′；（3）如图3，作M关于OA的对称点C，作N关于OB的对称点D，连接CD，交OA 于E，OB于F，则点E，F就是所要求作的点．连接MC，ND．理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′F′，DF′，∵C和M关于直线OA对称，∴ME＝CE，CE′＝ME′，NF＝DF，NF′＝DF′，由（2）得知MN+ME+EF+NF＜MN+ME′+E′F′+F′D．。
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八年级上《最短路径问题》同步练习含答案
基础题
知识点最短路径问题
1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．
2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.
(1)在图1的直线上找一点P使PA＋PB最短；
(2)在图2的直线上找一点P，使PA－PB最长．
3．如图均是由相同的小正方形组成的网格图，点A、B、C、D均落在格点上．请只用无刻度的直尺在格线CD上确定一点Q，使QA与QB的长度之和最小．
4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？
中档题
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．
6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.
(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；
(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．
7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点．
(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．
(2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________．
8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．
综合题
9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.
(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；
(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．
参考答案
1．60° 2.(1)作点B关于直线l的对称点C，连接AC交直线l于点P，连接BP.点P即为所求．图略．(2)连接AB并延长，交直线l于点P.图略． 3.作B关于CD的对称点B′，连接AB′，交格线CD于Q，此时QA＋QB＝QA＋QB′＝AB′，根据两点之间线段最短，得此时QA＋QB最小． 4.①过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′的长等于河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D作DE∥AA′交a 于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置．图略． 5.连接NC与AD的交点为M点．点M即为所求．图略． 6.(1)①作出点P关于AC、BC的对称点D、G.②连接DG交AC、BC于点M、N.点M、N即为所求．(2)设PD交AC于E，PG交BC于F，∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°.∴∠C＋∠EPF＝180°.∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°.∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°，∴∠D＋∠G＝52°.由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN＋∠DPM＝52°.∴∠MPN＝128°－52°＝76°.7.(1)图略，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F.此时，△PEF的周长最小．(2)30°8.作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，连接AM，AN，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH.∵∠DAB＝120°，∴∠HAA′＝60°.∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°.∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A ＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°.9.(1)图略，点A，B即为所求．画法：①作点M关于射线OP的对称点M′；②连接M′N交OP于点A；③作点N关于射线OQ的对称点N′；
④连接N′M交OQ于点B.(2)AM＋AN＝BM＋BN.。