等角螺线及其它汇总
等角螺旋线
浅谈等角螺旋线作者：09公管丁刘泽隆王海玥阚萍摘要：本文主要对等角螺线（logarithmic spiral）进行了研究，建立了等角螺线的数学模型，探讨了等角螺线的性质、数学模型的特点以及在生活，尤其是在工业生产中的应用。
关键词：等角螺线黄金比应用引言：等角螺线又叫对数螺线（logarithmic spiral ）是由笛卡儿在1683年发现的。
雅各布·伯努利()后来重新研究之。
他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。
他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”( d m m t t surgo)。
可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。
等角螺线用指数形式表达：ρ=αe^(kφ)其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。
为了讨论方便，我们把e 或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。
等角螺线在自然界规律和工业生产中都有着广泛的应用，如抽水机的涡轮叶片；鹦鹉螺外壳的等角螺线形图案。
已有的文献和成果：文献《螺线》等。
一、模型的建立(1) 螺线特别是美学意义可以用指数的形式来表达：ρ=αe^(kφ)其中，α和k为常数，φ是极角（polar angle），ρ是极径（polar Radius），e是自然对数（ natural logarithm）的底。
为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。
因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。
(2)如何得到一条等角螺线-----等角螺线与黄金比（golden ratio）首先画一个黄金矩形ABCD，即一个长比宽为φ的矩形，。
如果拿掉最大的正方形ABEF，我们能得到一个新的小黄金矩形FECD。
（证明略）数学提供给我们的生活经验以是，一旦我们发现一个思想，我们往往可以通过将这个细想推到极端来发展出新的洞见。
等角螺线及其它详解
等角螺线及其它・何谓等角螺线・等角螺线的方程式・趣史一则・等角螺线上的相似性质・黄金分割与等角螺线・等角螺线的弧长・等角螺线的再生性质・其它螺线举例儿何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，儿何学一词棋至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。
曾儿何时，因为某些内在与外在的因素，儿何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，儿何题材一次乂一次地被删除。
这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多儿何原理，不了解这些儿何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，乂是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中儿何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。
在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。
基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些儿何题材。
在内容方面，笔者首先选上曲线。
因为曲线的讨论不仅是儿何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。
例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。
在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点4、3、C、D上。
狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着屮狗。
一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向1_1标。
假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的LI标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为川、Bi、Ci. D i（见图一），则根据四只□AiEiCi D I狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形口ABUD的中心O。
更进一步地，山于在川点的屮狗系冲向在Bi点的乙狗，所以，屮狗在此一时刻的速度方向在向量上。
或者说，中狗所跑的路径在Ai点的切线与直线形成45°的夹角。
同理，乙狗所跑的路径在Bi点的切线与直线OBi形成45°的夹角等等。
MathStudio37 对数螺线面面观
MathStudio for iPad使用方法入门（37）对数螺线面面观（1）2016年6月12日对数螺线亦称等角螺线★等角螺线极坐标方程式：ρ=a*bθ=a*e ln(b)*θ=a*e k*θk=ln(b)等角螺线是笛卡儿在1638年发现的；也称为对数螺线★设 C 为以原点为圆心的任意圆，C 与等角螺线相交的角(倾斜度)为φ因为tanφ=ρ/d(ρ)=ae k*θ/a*k*e k*θ=1/k，所以k=cot(φ),或φ=arccot(k)即等角螺线与过极点射线的交点夹角φ永远相等，而其值为arccot(k)★等角螺线是什么样子的曲线？等角螺线是一条“无头无尾”的曲线，当k > 0时，它始于设定的θ最大值，θ可以是无限大，终端趋近极点，但永远到不了极点0对数螺线是一种奇特怪异的曲线族，说它奇特，因为它的形状：千姿百态-φ角在不同数域，有不同的图形跳跃转向-k为正值时，螺线是顺时针绕极点转动，θ由外向内减小k为负值时，螺线是逆时针绕极点转动，θ由外向内增大藕断丝连-ρ=a*e k*θ与ρ=a*e-k*θ两支曲线不像阿基米德螺线那样互相嵌套，而是内外包容，首尾“相连”疏密有序-当k趋近0（φ趋近π/2），曲线趋于密集，反之则稀疏；任意缩放依然故我–对数螺线两端都无止境，且有等比性，故任意缩放其形不变变化多端难以捉摸–当φ角=0时，k为不定值，什么图形都没了当φ角=±π/2时，k=0,螺线“消失”了，圆出现了当φ角=±π时，k=∞ ，什么图形都没了万变不离其宗–等角性、等比性是对数螺线的基本特性继续看，欣赏一下对数螺线的奇异幻境吧p=±π/2=±1.571附近是对数螺线的“活跃区”，“敏感区”a为正，顺时针方向a为负，逆时针方向上图p=-1.582 < -1.571红色螺线在外，蓝色螺线在内外层螺线顺时针绕极点转动内层螺线逆时针绕极点转动下图p=-1.552 > -1.571蓝色螺线在外，红色螺线在内p=1.558 < 1.571红色螺线在外，蓝色螺线在内p=1.588 > 1.571蓝色螺线在外，红色螺线在内两种极端情况左图p=0 右图p=πa=NaN →∞ a →∞当对数螺线与射线交角为0或π时，没有图形显示p = 3.028 <π 交角接近πa = -8.7655 >-∞螺线近似直线没有典型对数螺线的样子ρ=e -a*θ什么原因成这样子？ρ=e 8.7655*θ公比=e 8.7655*2π =8.2963*1023 巨大的公比使我们无法得到与之适应的放大图，只看到它近似直线迅速趋近0b = 2.124a = -0.6175公比= 0.02θ = 1.043b = 2.124a = -0.6175公比= 0.02θ = 31.355 ≈ 10π螺线逆时针快速趋近0，θ由外向内增大b = 1.688a = -0.1177公比=0.48 比1小得多，较稀疏b = 1.628a = -0.0573公比=0.7 接近1 较密集左图图中a=0时，等角螺线变为圆这儿a=cot(b)即b=acot(a)=acot(0)=π/2=1.5708右图b=1.571(=π/2)时等角螺线“消失”，变为圆φ=π/2=1.571 cot(φ)=0 图形为圆直线θ=π/3与圆的交点，可以是多点重合，依θ的取值范围而定θ=1.043θ=7.34=1.043+2πθ=19.9=1.043+6πb=1.583 >1.571a=-0.0122<0逆时针方向，公比=0.93 曲线较密集θ由外向内增大b=1.565 < 1.571 a=0.0058 >0顺时针方向θ由外向内减小公比=1.04 接近1曲线密集能看出来不是等距离φ=0.782 a=cot(0.782)=1 与X轴交点θ=4πρ=sqrt(x2+y2)=314243a=ln(ρ)/θ=ln(314243)/4π≈1φ=acot(1)=0.785=π/4³180/π=45°这是φ=0.782时的等角螺线及φ=π/3直线相交图形a=cot(0.782)=1.0068≈1曲线自外向内顺时针绕极点迅速趋近极点公比= 558.87曲线稀疏Trace显示数据与按公式计算数据基本一致过极点射线φ=π/3,与等角螺线交点Y 轴与等角螺线交点φ=0.782 等角螺线ρ=sqrt(x 2+y 2)=1501773a=ln(ρ)/θ=ln(1501773)/4.5π=1φ=acot(1)=0.785=π/4×180/π=45°ρ=sqrt(x 2+y 2)=897714a=ln(ρ)/θ=ln(897714)/4.3π=1φ=acot(1)=0.785=π/4×180/π=45°Trace 显示数据与按公式计算数据基本一致观察对数螺线与过极点直线各交点间的间距状况这是φ=1.505时的等角螺线及φ=π/3直线相交图形曲线自外向内顺时针绕极点旋转起点x=10π，终点趋近0φ=1.505=1.505×180/π=86°a=cot(1.505)=0.0659ρ1=sqrt(x2+y2)=5.64看一看φ=1.505 的螺线与θ=π/3射线的各交点数据ρ2 =sqrt(x 2+y 2)=3.72ρ3=sqrt(x 2+y 2)=2.45ρ4 =sqrt(x 2+y 2)=1.62ρ5 =sqrt(x 2+y 2)=1.07ρ1=sqrt(x 2+y 2)=5.64 θ1=26.18 = 8π + π/3ρ2 =sqrt(x 2+y 2)=3.72 θ2=19.9 = 6π + π/3ρ3=sqrt(x 2+y 2)=2.45 θ3=13.6 = 4π + π/3ρ4 =sqrt(x 2+y 2)=1.62 θ4=7.34 = 2π + π/3ρ5 =sqrt(x 2+y 2)=1.07 θ5=1.04 = π/3ρ1 –ρ2 =1.92 = 1.27×1.51ρ2 –ρ3 =1.27 = 0.83×1.53ρ3 –ρ4 =0.83 = 0.55×1.51ρ4 –ρ5 =0.55ρ1、ρ2、ρ3、ρ4、ρ5 是等比级数公比=e 2πa = e 2π*cot（1.505）Trace 显示数据与按公式计算数据基本一致b=1.687 a=-0.1167 <0 公比=e 2πa =0.48b=1.687 a=-0.1167 <0 公比=e 2πa =0.48b=1.687 a=-0.1167 <0 公比=e 2πab=1.687a=-0.1167 <0公比=e 2πa =0.48逆时针方向θ由外向内增大Trace显示数据与按公式计算数据基本一致π/2 – b = 0.003红色螺线在外顺时针绕极点蓝色螺线在内逆时针绕极点增大θ取值范围0～72π ρ=e±aθ，两条对数螺线曲线φ 取邻近π/2 的值b=1.568 < 1.571b = 1.558a =0.0128公比=1.0837b = 1.548a =0.0228公比=1.154π/2 – b = 0.013蓝色螺线只能看到一个小圆π/2 – b = 0.023蓝色螺线只能看到一个小点b=1.578 > 1.571π/2 - b = -0.007a=-0.0072公比=0.9558b > π/2蓝色螺线在外顺时针绕极点红色螺线在内逆时针绕极点b=1.598>1.571a=-0.0272公比=0.8429b=1.588>1.571a=-0.0172公比=0.8976π/2 – b = -0.027红色螺线看不到了π/2 – b = -0.017红色螺线只能看到一个点π/2 两侧是“敏感区”，φ角微变，图形大变！用了半个多月时间，探索对数螺线的奥秘，现在该告一段落了。
新高中数学数列多选题专项训练100及解析(1)
一、数列多选题1．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0答案：ABD 【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题2．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．65答案：ABC 【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列满足，，依次取代入计算得， ，，，，因此继续下去会循环解析：ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.3．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23 C ．32D ．3答案：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．4．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 答案：ABCD 【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为，故A 正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，，……，，可得：.故是斐波那契数列中的第解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-， 可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a =B ．911a a =C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S =答案：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确；∵，，故有，故B 正确； 该数解析：ABD 【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果. 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =答案：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】 因为， 所以．因为，，所以公差． 故选：BD解析：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD7．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．8答案：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD 【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解. 【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n+-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题. 8．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列答案：AC 【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由， 得， 所以时，， 得时，， 即时，， 当时，由解析：AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】 解：由112222n n nn a a a H n-+++==，得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，②得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错， 所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确．25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 9．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >答案：ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确； C. 若解析：ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题． 10．已知数列{}n a 是递增的等差数列，5105a a +=，6914a a ⋅=-．12n n n n b a a a ++=⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，下列结论正确的是（ ）A ．320n a n =-B ．325n a n =-+C ．当4n =时，n T 取最小值D ．当6n =时，n T 取最小值答案：AC 【分析】由已知求出数列的首项与公差，得到通项公式判断与；再求出，由的项分析的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列中， 由，得， 又，联立解得，， 则，． ．故正确，错误；可得数列的解析：AC 【分析】由已知求出数列{}n a 的首项与公差，得到通项公式判断A 与B ；再求出n T ，由{}n b 的项分析n T 的最小值． 【详解】解：在递增的等差数列{}n a 中， 由5105a a +=，得695a a +=，又6914a a =-，联立解得62a =-，97a =， 则967(2)3963a a d ---===-，16525317a a d =-=--⨯=-． 173(1)320n a n n ∴=-+-=-．故A 正确，B 错误；12(320)(317)(314)n n n n b a a a n n n ++==---可得数列{}n b 的前4项为负，第5项为正，第六项为负，第六项以后均为正． 而5610820b b +=-=>．∴当4n =时，n T 取最小值，故C 正确，D 错误．故选：AC ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题．。
阿基米德螺线和三等分角
阿基米德螺线和三等分角数学家对螺线的探索最早可以追溯到古希腊时代，阿基米德就在他的著作《论螺线》中对等速螺线的性质做了详细的讨论，于是后世的数学家们也把等速螺线称为“阿基米德螺线”。
（最早发现等角螺线的其实是阿基米德的老师柯农，在他死后阿基米德继承了他的工作。
）什么是阿基米德螺线呢？想象有一根可以绕着一点转动的长杆，有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。
当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。
阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是ρ = aθ。
阿基米德螺线生活中随处可见。
在早期的留声机中，电机带动转盘上的唱片匀速转动，沿着一条直线轨道匀速向外圈移动的唱头在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺线。
同理，由匀速盘香机生产出来的盘状蚊香也是阿基米德螺线的形状。
等螺距的螺钉从钉头方向看去也是阿基米德螺线。
就连缝纫机中也有阿基米德螺线出没，一般的机械缝纫机中有一个凸轮，手轮旋转的时候用来带动缝纫针头直线运动，这个凸轮的轮廓就是把阿基米德螺线的一部分经过对称得到的。
一个很有趣的事情是，在阿基米德螺线的配合下，尺规就能完成三等分一个任意角θ。
步骤如下：1、将θ角的一边与极轴重合，顶点与原点O重合2、延长角的另一边与阿基米德螺线交于A3、尺规三等分OA得到三等分点B’、C’4、分别以OB’、OC’为半径，O为圆心画圆交螺线于B、C5、根据ρ=aθ 容易证得OB、OC三等分θ当然，只利用尺规是无法画出阿基米德螺线的，所以我们大可不必担心关于尺规三等分任意角不可能的证明就此被推倒。
渐开线和机械齿轮另一种有名的螺线叫做渐开线。
当一根绳沿着另一曲线绕上或脱下时，它描出一条渐伸线。
许多曲线都有自己的渐开线，把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子与圆周始终相切，绳子端点的轨迹就是圆的渐开线。
与阿基米德螺线相比，渐开线在日常生活中出场的机会似乎要少一点，但仔细寻找还是能发现它的踪迹，例如棕榈等一些植物叶尖的轮廓就是渐开线。
等角螺线及其它详解
等角螺线及其它▪何谓等角螺线▪等角螺线的方程式▪趣史一则▪等角螺线上的相似性质▪黄金分割与等角螺线▪等角螺线的弧长▪等角螺线的再生性质▪其它螺线举例几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。
曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。
这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。
在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。
基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。
在内容方面，笔者首先选上曲线。
因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。
例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。
何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。
狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。
一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。
假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。
更进一步地，由于在A1点的甲狗系冲向在B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。
或者说，甲狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。
同理，图一乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。
此曲线称为黄金螺线等角螺线课件
工程设计：黄金螺线在工程设计中有着广泛的应用，如 螺旋桨的设计、涡轮机的制造、管道的铺设等。其自类 似的特性使得它在这些领域中具有特殊的优势。
等角螺线
材料科学：等角螺线在材料科学中也有所应用，如金属 疲劳、材料断裂等问题的研究。其曲线的变化特性可以 帮助科学家更好地理解材料的性能和行为。
研究发展比较
02 许多图形软件都提供了绘制等角螺线的工具，如
AutoCAD、MATLAB等。
手动画图
03
使用圆规、直尺和量角器等工具，根据等角螺线的性
质手动绘制。
等角螺线的美学价值
自然界中的美
等角螺线在自然界中广泛存在，如海螺、旋涡等，被认为是一种 具有美感的曲线。
艺术创作
等角螺线经常被用于艺术创作，如建筑设计、雕塑、绘画等，可以 营造出特殊的视觉效果。
黄金螺线的美学价值
艺术表现
黄金螺线在艺术领域有着广泛的应用，如装饰图 案、雕塑等。
建筑设计
建筑设计中也会用到黄金螺线作为设计元素，如 螺旋楼梯、旋转餐厅等。
平面设计
在平面设计中，黄金螺线可用于制作富有艺术感 的标志、图标等。
04 等角螺线的性质与绘制方法
等角螺线的性质
对称性
等角螺线具有旋转对称性 ，即绕其中心旋转任意角 度后，曲线形状保持不变 。
黄金螺线的发展
在随后的几个世纪中，黄金螺线在数学、物理学、工程学等多个领域得到了广泛的应用和研究。人们发现了它在 光学、电磁学、工程设计等多个领域具有特殊的性质和应用价值。
黄金螺线的应用领域
光学领域
黄金螺线的等角性质使其在光学领域具有重要应用价值。 例如，它可以用来设计光学仪器和光学元件，具有优秀的 光学性能。
06 黄金螺线与等角螺线的应用实例
等角螺线及其它——赵文敏
等角螺线及其它赵文敏▪何谓等角螺线▪等角螺线的方程式▪趣史一则▪等角螺线上的相似性质▪黄金分割与等角螺线▪等角螺线的弧长▪等角螺线的再生性质▪其它螺线举例几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。
曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。
这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。
在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。
基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。
在内容方面，笔者首先选上曲线。
因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。
例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。
何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。
狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。
一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。
假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。
更进一步地，由于在A点的甲狗系冲向在B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。
或者说，甲狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。
同理，图一乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。
数学的有趣图形-等角螺线
数学的有趣图形-等⻆螺线
定义
极坐标⽅程
pyt h on画图
⾃然现象
等⻆螺线、对数螺线或⽣⻓螺线是在⾃然界常⻅的螺线，在极坐标系(r, θ)中，这个曲线可以写
为
或
因此叫做“对数”螺线
⼀般
的
取
定义
极坐标⽅程
python画图
1from matplotlib import pyplot as plt 2import numpy as np
3import math
4i = np.linspace(0,4*math.pi,500)
5r=np.power(1.2,i)
6x=r*np.cos(i)
7y=r*np.sin(i)
8plt.plot(x,y)
⾃然现象
鹦鹉螺的⻉壳像等⻆螺线
菊的种⼦排列成等⻆螺线
鹰以等⻆螺线的⽅式接近它们的猎物
昆⾍以等⻆螺线的⽅式接近光源
蜘蛛⽹的构造与等⻆螺线相似
旋涡星系的旋臂差不多是等⻆螺线。
银河系的四⼤旋臂的倾斜度约为 12°。
低⽓压(热带⽓旋、温带⽓旋等)的外观像等⻆螺线。
阿基米德螺旋线与对数螺旋线1212
阿基米德螺旋线与对数螺旋线1212母线在绕轴线做匀速圆周运动的同时，做匀速或变速轴向运动，母线的运动轨迹形成等螺距或变螺距螺旋面。
螺旋面与同轴的圆柱面或同轴圆锥面的交线，称为圆柱螺线或圆锥螺线。
[4] 混凝土搅拌车中常用的螺旋线是直纹正螺旋面和直纹斜螺旋面。
直纹：母线为直线。
正螺旋和斜螺旋：母线与轴线垂直或斜交。
螺旋角螺旋线上某点（取正对着的那一点）的切线与圆柱面或圆锥面的母线之间的夹角称为螺旋角，一般用β表示[6]升角螺旋线上某点（取正对着的那一点）的切线与通过该点的圆柱截面在该点的切线之间的夹角，称为螺旋升角，简称升角，常用δ表示[6]=+90βδ相当于在圆柱面上有一张白纸，并转动，铅笔紧靠白纸，并作轴向运动，形成的轨迹，称为螺旋线。
把白纸展开，即可得螺旋升角。
图片来自文献[15]阿基米德螺旋线：螺距相等的螺旋线。
既做匀速转动又做等速直线运动（两速度要同步），而形成的轨迹，称为“阿基米德螺旋”，又称等螺距螺线。
[8]圆锥的阿基米德螺线的螺旋角是变化的。
[6]如果选用阿基米德螺线，在筒体的几何参数和螺旋角选定的情况下，螺旋角是从圆锥小端至圆锥大端递增的对数螺旋线：对数螺旋线又称等角螺旋线或等升角螺旋线或等螺旋角螺旋线，其螺距是变化的。
[6]如果选择对数螺线，在筒体的几何参数和螺旋角选定的情况下，螺距是随各截面处直径的变化而成正比变化的，这时的螺旋角可以设计为不变。
阿基米德螺旋叶片螺距相等，但是螺旋角不等；对数螺旋叶片的螺距不相等，但是螺旋角相等。
螺旋角越大，升角就越小，搅拌性能就越差，出料性能越好；螺旋角越小，升角就越大，搅拌性能就越好，出料性能越差。
搅拌性性能差，容易离析所以罐车的两头的螺旋角大，中间的螺旋角小。
面积元对地的最大倾斜线用S 表示；对地倾斜角α螺旋线的切线用τ表示；对地倾斜角τα；螺旋面的母线用n 表示；对地倾斜角n α图片来自文献4，注意出料方向。
等角圆锥螺旋线的形成原理及投影图的绘制方法
等角圆锥螺旋线的形成原理及投影图的绘制方法
用正投影原理研究它的图示、图解方法,并得出结论:等角圆锥螺旋线的水平投影是对数螺线,其方程为ρ=ne^(mt)。
本法只需计算曲线上的一个点,即可用几何作图方法把它的三面投影绘制出来。
此方法简单、方便、准确。
把它用于工程设计上,亦能满足设计的精度要求。
等倾角变螺距圆锥螺旋线展开后是对数螺线,只需计算一个参数值,即可用几何作图方法画出展开图;以双圆锥等角螺旋天线为例,介绍了天线CAD模型的建立方法,详细论述了圆锥等角螺旋天线的三种制造技术:曲线掩膜法、微带粘接法和激光立体扫描曝光成像法,在工程上进行了成功应用.尤其采用激光立体扫描曝光成像法,天线制造精度高、一致性好、加工周期短等优点,并为类似的天线制造提供了比较可靠的加工方法.。
螺线角度的计算
螺线角度的计算阿基米德"论螺线"定义及其方程式的局限性(2009-08-2523:45:56)标签:阿基米德螺旋线渐开线论螺线凸轮齿轮卡盘杂谈阿基米德"论螺线"定义及其方程式的局限性(关键词:旋进线，旋进比，同步，等距螺线，通用极坐标方程式)阿基米德(Archimedes，约公元前287~前212)，古希腊著名的数学家、物理学家，静力学和流体静力学的奠基人。
《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。
《论螺线》中，明确了以其名字命名的"阿基米德螺线"的定义:"当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为"阿基米德螺线"。
它的极坐标方程式为:r=a*θ，螺线的每条臂间的距离永远相等于2π*a。
请注意定义中至为关键的一句"动射线OP"!也就是说阿基米德螺线仅限于沿动射线OP(过回转中心的直线)上点的轨迹。
只有在这条射线上螺线的每条臂间的距离永远相等于2πa。
我们将思维开放一些，跳出动射线OP这个限定条件，将动射线OP变换为任意直线，定义就变成"动点P沿任意直线以等速率运动的同时，这直线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为…螺线"?有人将阿基米德螺线形象地描述为:蚂蚁在均匀回转的唱片上等速的向中心爬去时的轨迹，就是阿基米德螺旋线。
那么蚂蚁不向中心爬，而是沿着任意方向的一条直线爬去，其轨迹会是什么螺线呢?出于论述需要，我把绕中心旋转并供动点沿其自身同步、定旋比运动的任意直线称为旋进线;把动点旋转运动与直线运动之间的比例关系称为旋进比(简称旋比)-即:动点旋转一周时相应在旋进线上移动的距离(螺距S)。
旋比ix=S/360(角度制-单位mm/度)，或ix=S/2π。
把动点旋转运动与直线运动之间的运动关系限定为同步，即两者的关系是随动关系，即你动我动、你快我快、你慢我慢、你停我停。
此曲线称为黄金螺线等角螺线
一個莖枝模型,其中滿足 AC 1 5 1
AB 2
經過自我複製後,可生長成美麗的黃金樹.
C 120 A
自我複製
b a
A
B
b 5-1
B
樹的分枝不會接觸是因為 a = 2
維納斯雕像,被視為女性體型美的標準. (1)人的肚臍位於人體身高的黃金分割點. (2)肚臍以上,頸部是黃金分割點.
A
平分線交AB於D,以D為圓心,
線段AD為半徑,作弧AC；
如此重複此步驟,即可得一 螺旋狀曲線,此曲線稱為黃 金螺線(等角螺線).
D G HE F
B
C
直角的黃金三角形三邊長 的比例滿足1: :
若tan X cscX,則X 38.17
C 38.17
若tanY cscY,則Y 51.82
C P
A
G
B
過B點作CB AB,且CB 1 AB 2
以C點為圓心,過B畫弧,交AC於P點.
以A點為圓心,過P畫弧,交AB於G點.
已知線段AB. 以A為圓心,過B畫圓C1;
以B為圓心,過A畫圓C2, C1和C2交於D點. 以C為圓心,過B畫圓C3, C3和C2交於E點. 連ED,交AB於G點. G點為線段AB的黃金分割點.
(5)
(a) (b)
Q
(4)
(c)
P
(3)
(2)
(1)
推動浪和調整浪經常出現延伸浪等變化型態 和複雜型態,使得對浪的準確劃分更加難以界 定,這構成了波浪理論實際運用的最大難點.
艾略特的波浪理論是一套主觀分析工具,市場 運行卻是受情緒影響而並非機械運行. 波浪 理論套用在變化萬千的股市會有危險.
摆线-星行线-阿基米德螺线-心形线-双纽线20150922
心形线
心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且 半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其 形状像心形而得名。
摆线和星行线
摆线
一个圆在一条定直线上滚动时，圆周上一个定点的轨迹，又称旋轮线。
星行线
一轴承，坡面如图，小圆表示滚轴，半径为a，大圆 表示轴瓦，半径为R=4a，在理想状态下大圆固定而小 圆在大圆内相切滚动，
阿基米德螺线（阿基米德曲线）
阿基米德螺线（阿基米德曲线） ，亦称“等速螺线”。当一点 P沿动射线OP以等速率运动的同时，该射线又以等角速度绕 点O旋转，点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。其首次由阿基米 德在著作《论螺线》中给出了定义 应用：为解决用罗河水灌溉土地 的难题，他发明了圆筒状的螺旋扬 水器，后人称它为“阿基米德螺旋”。 除了杠杆系统外，值得一提的还有 举重滑轮、灌地机、扬水机以及军 事上用的抛石机等。被称作“阿基 米德螺旋”的扬水机至今仍在埃及 等地使用。一些喷淋冷却塔所用的 螺旋喷嘴喷出喷淋液的运动轨迹也 为阿基米德螺线。
(完整版)各种线形公式
1. 名称：正弦曲线建立环境：Pro/E软件、笛卡尔坐标系x=50*ty=10*sin(t*360)z=02. 名称：螺旋线(Helical curve)建立环境：PRO/E；圆柱坐标（cylindrical）r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*33. 蝴蝶曲线球坐标PRO/E方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 84.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)*********************************圆内螺旋线采用柱座标系theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)5. 渐开线的方程r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06. 对数曲线z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)7. 球面螺旋线（采用球坐标系）rho=4theta=t*180phi=t*360*208. 名称：双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360) Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)9. 名称：星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^3 没有分加吗？10. 名称:心脏线建立环境:pro/e,圆柱坐标a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*36011. 名称:螺纹线建立环境:笛卡儿坐标a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))x = 4 * cos ( t *(5*360))y = 4 * sin ( t *(5*360))13. 一抛物线x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =014. 名称:碟形弹簧建立环境:pro/e圆柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+241.碟形弹簧(柱坐标)方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t2.葉形线.方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.锥形螺旋线(Helical curve)圆柱方程方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线(球坐标)方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 85.渐开线方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=0(相似形：69、78)6.圆柱螺旋线.方程：x = 4 * cos ( t *(5*360))y = 4 * sin ( t *(5*360))7.对数曲线方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)9.双弧外摆线方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360)Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)10.星形线方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^311.心脏线方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*36012.圆内螺旋线方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)13.正弦线方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=014.太阳线(发光的太阳，见73)15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r= a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r= -a*sqrt(theta*180/pi)Pro/e只能做连续的曲线，所以要分两次做16.Talbot 曲线方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b17.四叶线(一个方程，比三叶线多一个叶子)18.Rhodonea 曲线方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta) 19. 抛物线方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2)z =020.螺旋线方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t21.三叶线圆柱方程方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)22.外摆线方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+B)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta)y=(a+B)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta)z=023. Lissajous 曲线方程：theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)24.长短幅圆内旋轮线方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-B)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-B)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta) z=025.长短幅圆外旋轮线方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+B)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+B)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta) z=026. 三尖瓣线方程：a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))27.概率曲线！方程：x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线方程：a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)29.阿基米德螺线圆柱方程方程：a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线圆柱方程方程：theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)31.蔓叶线方程：a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x32.正切线方程：x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦y = (exp(x)+exp(0-x))/234.双曲正弦方程：x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切方程：x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x)) 36.一峰三驻点曲线方程：x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+137.”8”字曲线方程：x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = 0(同形：55，相似：43)38.螺旋线方程：r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=t(其它螺旋线方程：3、6、20、41、53、62) 39.圆方程：x=cos(t*5*180)y=sin(t*5*180)z=040.封闭球形环绕曲线球方程方程：rho=2theta=360*tphi=t*360*10(相似形：22、24、25)41.螺旋线方程：x = 100*t * cos ( t *(5*180))y = 100*t * sin ( t *(5*180))z = 0(其它螺旋线方程：3、6、20、38、53、62) 42.蛇形线方程：x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)43.墨镜线圆柱方程方程：theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^2(相似形：37、55)44.椭圆线b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)45.梅花线(圆角五星)圆柱方程方程：theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^246.直叶六叶线圆柱方程方程：theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^247.弯叶六叶线（圆柱方程）方程：theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^248.空间螺旋椭圆线方程：a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*1249.空间螺旋梅花线（圆柱方程）方程：theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2z = t*1650 鼓形线（圆柱方程）方程：r=5+3.3*sin(t*180)+t theta=t*360*10z=t*1051.长命锁线方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(B)+rr3*cos© y=rr1*sin(a)+rr2*sin(B)+rr3*sin© 52 簪形线（球方程）方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*1053.锁呐线（圆柱方程）方程：r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3z=t^3*(t+1)(其它螺旋线方程：3、6、20、38、41、62) 54.蘑菇线（球方程）方程：rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*2055.“8”字线方程：a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360)y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)(同形：37，相似：43)57.桃形线（球方程）方程：rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*10(相似形：54)59.环形二次曲线方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)60 蝶线（球方程）方程：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2) theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*36061.正弦周弹簧方程：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2)z=sin(ang2)62.环形螺旋线方程：x=(50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360) y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360)z=10*cos(t*360*5)(其它螺旋线方程：3、6、20、38、41、53) 63.内接弹簧方程：x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)z=t*664.多变内接式弹簧方程：x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8) y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)z=t*865.柱面正弦波线方程：r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)66. UFO（漩涡线）（球方程）方程：rho=t*20^2theta=t*log(30)*60phi=t*720067. 手把曲线方程：thta0=t*360thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1)x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=068.无底篮子方程：r=5+0.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*30z=t*569. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：方程：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，0~60，10为基圆半径70.对数螺旋曲线(唱片)圆柱方程方程：r=sqrt(theta)theta=t*360*30z=071.球面螺旋线(罩形)（球方程）方程：rho=4theta=t*60phi=t*360*1072. 向日葵线（圆满柱方程）方程：theta=t*360r=30+10*sin(theta*30)z=073. 太阳线（圆满柱方程）方程：r=1.5*cos(50*theta)+1 theta=t*360z=074 塔形螺旋线（圆柱方程方程：r=t*80+50theta=t*360*10z=t*8075.九瓣花（球方程）方程：rho=t*20theta=t*360*90phi=t*360*1076 双元宝线（圆柱方程方程：r=sin(t*360*10)+30theta=sin(t*360*15)z=sin(t*3)77 变形阿基米德螺线(双向)方程：theta=360*2*(t-0.5)r=10*thetaz=0(相似形：29)78渐开线方程r=20ang = t*360x=r*cos(ang)+2*pi*r*t*sin(ang)y=r*sin(ang)-2*pi*r*t*cos(ang)z=0(相似形：5、69)79 双鱼曲线（球方程方程：rho=30+10*sin(t*360*10) theta=t*180*cos(t*360*10)phi=t*360*3080 蝴蝶结曲线方程：x=200*t*sin(t*3600)y=250*t*cos(t*3600)z=300*t*sin(t*1800)81.“两相望”曲线（球方程式方程：rho=30theta=t*360*cos(t*360*20)phi=t*360*2082 小蜜蜂方程：x=cos(t*360)+cos(3*t*360) y=sin(t*360)+sin(5*t*360)83 弯月方程：x=cos(t*360)+cos(2*t*360) y=sin(t*360)*2+sin(t*360)*284 热带鱼方程：a=5x=(a*(cos(t*360*3))^4)*ty=(a*(sin(t*360*3))^4)*t85 燕尾剪方程：x=3*cos(t*360*4)y=3*sin(t*360*3)z=t86 天蚕丝方程：theta=t*3600r=(cos(360*t*20)*.5*t+1)*t87 心电图方程：r=sin(t*360*2)+.2theta=10+t*(6*360)z=t*388.变化后的星形线方程：theta=t*360x=10*cos(theta)^3y=10*sin(theta)^3z=cos(theta)89.小白兔方程：theta=t*360-90r=cos(360*(t/(1+t^(6.5)))*6*t)*3.5+5 90.手掌方程：theta=t*360+180r=cos(360*t^3*6)*2+591.锁呐线方程：x=2*cos(t*360*3)*ty=2*sin(t*360*3)*tz=(sqrt(sqrt(sqrt(t))))^3*5(同形：53)92.五环方程：theta=t*360*4r=cos(t*360*5)+193.蜘蛛网方程：theta=t*360*5r=t*sin(t*360*25)*5+894.次声波方程：x=t*5y=t*cos(t*360*8)95.十字渐开线方程：theta=t*360*4r=(cos(t*360*16)*0.5*t+1)*t96.内五环方程：theta=t*360*4x=2+(10-5)*cos(theta)+6*cos((10/6-1)*theta) y=2+(10-5)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta) 97.蜗轨线方程：theta=t*360*2r=cos(t*360*30)*t*0.5+t*2星形线：数学方程：x=a*cos3(t)y=a*sin3(t)心脏线：数学方程：r = 2a(1+cos(θ))悬链线：数学方程：y=a*cosh(x/a)克莱线：数学方程：r=4a*cos3(θ/3)蜗牛线：数学方程：r=a*sin(θ)/θ（做不出来？Why）蔓叶线：数学方程：r=2a*tan(θ)sin(θ)（分2段做）曳物线：数学方程：x=1/cosh(t)y=t-tanh(t)(分两段做)平摆线：数学方程：x=at-h*sin(t)y=a-h*cos(t)(做出来形状不对？)外摆线：数学方程：x=(a+b)cosθ-lcos((a+B)/bθ)y=(a+b)sinθ-lsin((a+B)/bθ)(abl基圆、滚圆、摆点半径，θ公转角)内摆线：数学方程：x=(a-b)cosθ+lcos((b-a)/bθ)y=(a-b)sinθ+lsin((b-a)/bθ)(abl基圆、滚圆、摆点半径，θ公转角)蚌线：数学方程：a(r*cosθ-a)=k2cos2θ(做不出全360度的？)三尖瓣线：数学方程：x=a(2cost+cos2t)y=a(2sint-sin2t)(将2变为n-1即扩展为n尖瓣线)Devils曲线：数学方程：r=((25-24tan2θ)/(1-tan2θ))1/2 (做不出)8字曲线：数学方程：r2=a2cos2θsec4θ(做不出)双叶线：数学方程：r=4a*cosθ*sin2θ费马线：数学方程：r2=a2θ(分两段做)对数螺线(等角螺线)：数学方程：r=aemθ阿基米德螺线(等径螺线)数学方程：r=aθ叶形线：数学方程：r=4a*cosθsin2θ-bcosθ迪卡尔叶形线：数学方程：x=3at/(1+t3)y=3at2/(1+t3)肾形线：数学方程：r=a(1+2sin(θ/2))双曲螺线：数学方程：r=a/θ(做不出？)渐开线：数学方程：x=a(cost+t*sint)y=a(sint-t*cost)杖头线：数学方程：r=b2/(a*cos2θ)(做不出)双扭线：数学方程：r2=a2cos(2θ)(做不出)Lissajous曲线：数学方程：x=a*sin(nt+c)y=b*sint连锁螺线：数学方程：r2=a2/θ(做不出)数学方程：x=a(3cost-cos3t)y=a(3sint-sin3t)半立方抛物线：数学方程：y3=ax2(做出形状不对？)梨形四次曲线：数学方程：b2y2=x3(a-x)(形状不对)平稳曲线：数学方程：x=a*sin(m+n)t/sin(m-n)ty=2a*sin(mt)sin(nt)/sin(m-n)t(做不出)Rhodonea曲线(柱坐标)：数学方程：r=asin(kθ)追踪曲线：数学方程：y=ax2-log(x)正环索线：数学方程：r=a*cos(2θ)/cosθ(做不出)Talbot曲线：数学方程：x=(a2+f2+sin2t)cost/ay=(a2+f2sin2t-2f2)sint/b蛇状线：数学方程：x2y+aby-a2x=0瓦特曲线：数学方程：r2=b2-(a*sinθ±(c2-a2cos2θ)1/2)2 (做不出)三等分角线：数学方程：r=2a*sin3θ/sin2θ(做不出)三叶线：数学方程：r=a*cosθ*(4sin2θ-1)魔线：数学方程：x=aty=a/(1+t2)L曲线：数学方程：(x/a)n+(y/B)n=1三叶线：数学方程：r=a*cos3t四叶线：数学方程：r=a*cos2tGernono曲线：数学方程：x=cost箕舌线：数学方程：x=tanty=cos2t梨形线：数学方程：x=1+sinty=a*cost*(1+sint)抛物线：数学方程：x=2pt2y=2ptpro/e关系式、函数的相关说明数据？关系中使用的函数数学函数下列运算符可用于关系（包括等式和条件语句）中。
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等角螺线及其它▪何谓等角螺线▪等角螺线的方程式▪趣史一则▪等角螺线上的相似性质▪黄金分割与等角螺线▪等角螺线的弧长▪等角螺线的再生性质▪其它螺线举例几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。
曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。
这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。
在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。
基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。
在内容方面，笔者首先选上曲线。
因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。
例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。
何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。
狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。
一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。
假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。
更进一步地，由于在A点的甲狗系冲向在B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。
或者说，甲狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。
同理，图一乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。
一般而言，若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral)，O点称为它的极点 (pole)。
前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此等角螺线中的定角是（或，因为切向量可选成相反方向），而其极点是正方形的中心O。
等角螺线的方程式在坐标平面上，若极坐标方程式表示一等角螺线（），其极点是原点O，定角为α( )，则因在点的切向量为所以，可得即由此可得下述结果：换言之，此等角螺线的极坐标方程式为在前面所提的四狗追逐问题中，若中心O是极点而点A的极坐标为，则甲、乙、丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上：, ,,前面所提的，就是等角螺线的极坐标方程式。
由于在导出此方程式的过程中曾经引用了自然对数，所以，等角螺线也称为对数螺线 (logarithmic spiral)。
趣史一则等角螺线的性质，笛卡儿（R. Descartes, 1596～1650）在1638年就已经考虑过，但没有获得特殊结果。
托里拆利（E. Torricelli, 1608～1647年）却在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质，这项性质在下文中将会介绍。
对于等角螺线的探讨，以伯努利（J. Bernoulli, 1654～1705年）的成果最为丰硕。
他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。
这些变换包括：求等角螺线的垂足曲线 (pedal curve)；求等角螺线的渐屈线(evolute)；求等角螺线反演曲线 (inversive curve)；求等角螺线的焦线(caustic curve)；将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换 (dilation)，由于这些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话：「Eadem mutata resurgo」（虽然某些状况改变了，我却保持不变）。
这是继阿基米德（纪元前三世纪）之后，另一位在墓碑上表现其成果的数学家。
等角螺线上的相似性质根据等角螺线的方程式，可以看出：对每个θ值，都有一个对应的r值；而且不同的θ值所对应的r值也不同（因为）。
这种现象表示：从等角螺线上某个点出发，随着θ值的无限制增大与无限制减小，此曲线会环绕它的极点形成无数多圈，一面是愈绕愈远，一面是愈绕愈聚集在极点附近。
若，则当时，曲线聚集在极点附近。
若，则当时，曲线愈绕越远。
图二是等角螺线的一部分。
图二图三若辐角,,,… 构成一个等差数列，则由指数的性质，对应的向径，，，… 就构成等比数列。
若令P n表示极坐标的点，则上述结果表示, , ,… 构成一个等比数列。
又因，所以可知与相似。
由此可知：构成一个等比数列。
, P2, P3,… 等乃是过极点的一若上述等差数列,,,… 的公差是，P射线与等角螺线的交点。
可见：过极点作任意射线，则此射线与等角螺线的交点必以等比数列的形式排列在射线上。
对于一般的几何图形，若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小，则可得到一个相似的图形，在等角螺线的情形中，若伸缩中心是它的极点，则不论放大或缩小多少倍，所得的不只是相似图形而已，它是与原等角螺线全等的一个等角螺线。
为什么呢？若以极点为伸缩中心将等角螺线伸缩m倍，则所得的图形是等角螺线。
因为，所以可找到一个实数使得。
于是伸缩后的图形为，这个图形其实就是等角螺线绕极点顺时针旋转角所得，它自然与原等角螺线全等。
根据前段的说明，我们可以了解：等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后，必与该等角螺线上的另一弧全等。
事实上，若等角螺线经伸缩成，则在等角螺线，辐角θ满足的弧，经伸缩后必与该等角螺线上辐角θ满足的弧全等。
等角螺线的这项特性，使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。
例如：许多贝壳都很接近等角螺线的形状，因为生活在壳内的动物在成长过程中都是均匀地长大，这就像相似地放大，所以，新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似。
象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形。
在植物中，向日葵、菠萝与雏菊上的螺旋纹也都呈等角螺线形。
图四是鹦鹉螺的横截面，这么美的线条，令人不得不佩服造物之奇。
图四黄金分割与等角螺线环绕某个定点而相似地缩小，这是等角螺线在其极点附近呈现的形状。
假如我们将多边形环绕一定点而相似地缩小，是不是会与等角螺线生关联呢？图五在图五中，、、、、、… 等是一系列的矩形，这些矩形中每两个都相似（亦即：边的比值相等），而且后一矩形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。
如：是由挖掉正方形而得的。
此时，上列矩形的第一个顶点A、C、E、G、I、K…等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是、、、等共交的点O。
若以O为极点，射线为极轴，且A的极坐标为，则此等角螺线的极坐标方程式为其中。
此等角螺线通常称为黄金螺线。
为什么会扯上呢？原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之比。
因为由与可得若线段上的一点C满足，则称C点将黄金分割。
当C点将黄金分割时，（或）的值是，此数称为黄金分割比。
若一矩形的长边与短边的比值为，则此矩形称为黄金矩形。
由黄金矩形可引出等角螺线，将矩形改成三角形，也会有同样的结果吗？在图六中、、、、、、……等是一系列的等腰三角形，这些等腰三角形中每两个都相似，而且后一等腰三角形，都规定是由其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。
例如：是由挖掉等腰三角形而得的。
图六此时，上列等腰三角形的顶点A、B、C、D、E、F、G、H、……等会落在一等角螺线上，此等角螺线的极点是与的交点O。
若以O为极点、射线为极轴、且A的极坐标为，则此等角螺线的极坐标方程式为其。
此等角螺线也称为黄金螺线。
此等角螺线也扯上，其理由如下：上述的相似等腰三角形ABC等，可证明其顶角为36°，而底角为72°，所以，。
此种三角形称为黄金三角形。
等角螺线的弧长假定我们想计算等角螺线上，辐角θ满足那段弧的长，利用前面所提的相似性质，我们可将区间等分成n等分，设每一等分的长为h，即。
又令P i表示极坐标 ( ) 的点，i=0,1,2,…,n，先考虑所得折线的长+ + … + 。
若这个和在（或）时的极限存在，则其极限值就是所欲求的弧长。
上述的折线长怎么计算呢？因为与相似，所以= = 由此可得另一方面，利用余弦定律可求得再根据微积分中的L'Hospital法则，可得由此可得由此可知：在等角螺线上，辐角θ 满足那段弧的长为：此值等于该弧的两端点向径之差与的乘积。
在的情形中，因为当时，可得，所以，极点可以看成是等角螺线的一个终极位置。
我们也因此可以问：由点绕回极点O的长度为多少？这段弧是辐角θ满足所对应的部分，它的长度可以分别考虑θ满足、、… 等部分的弧长，然后相加而得。
因此，由至O的弧长等于前面所得的结果，可以做一项有趣的几何解释：过O作一直线与垂直，因为过P的切线与不垂直，所以，上述垂直线与切线交于一点T。
由于，于是，可得。
换言之，由P点绕回O点的弧长与的长相等，这就是托里拆利所发现的性质（见图七）。
图七前段所提的性质，还可作如下的解释：设想等角螺线在直线PT上作不滑的滚动，则极点O最后会移动到T，而且在滚动过程中，O点的运动路径就是。
等角螺线的再生性质垂足曲线设C为一曲线而O为一定点，自O向C的所有切线作垂直线，则所有垂足所成的图形称为曲线C对定点O的垂足曲线。
若C是等角螺线，则C对其极点的垂足曲线是一个全等的等角螺线，为什么呢？在图七中，若是在切线PT上的垂足，则，而是P的辐角（设）。
因此，可得换言之，所有H点构成等角螺线。
焦线设C为一曲线而O为一定点，将过O的所有直线都对曲线C作反射，若反射所得的所有直线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线C对定点O的焦线。
若C是等角螺线，则C对其极点的焦线是一个全等的等角螺线，我们说明如下。
设P是等角螺线C上一点，是极点O对于过P之法线的对称点，则直线OP对等角螺线C反射，所得的直线就是直线PR（见图七）。
显然，，而且是点P的辐角（设）。
因此，可得换言之，所有R点构成等角螺线。
因为此等角螺线过R点的切线与直线OR的夹角等于α，而直线PR正具有这项性质。
也就是说，直线PR就是此等角螺线在R点的切线。
因此，此等角螺线就是原等角螺线对极点O的焦线。
渐屈线设C为一曲线，作C的所有法线，若所有法线都是某曲线的切线，则此曲线称为曲线C的渐屈线。
若C是等角螺线，则C的渐屈线是一个全等的等角螺线，我们说明如下。
设P是等角螺线C上一点，在过P的法线上而且（见图七）。
显然，，而且是点P的辐角（设）。
因此，可得换言之，所有N点构成等角螺线。
因为此等角螺线过N点的切线与直线ON的夹角等于α，而法线PN正具有这项性质。