等角螺旋线
空间曲面等角螺旋线的几个例子
引入参数ｔ ，球Ｎ＿ ｋ 等角螺旋线的参数方程为ｒ （ ｆ ） ＝（ ｘ （ ｆ ） ， （ ｆ ） ， ｚ （ ｆ ） ） 辟 见【 ２ 】 ：
） ＝ ｒ （ １ ＋ ｃ ｏ ｓ ０ ） ｃ ｏ ｓ 专（ １ 一ｓ ｏ ｓ （
根 据等角螺旋 线 的定义 ， ＝ｃ ｏ ｓ ｃ 这里 ＜ ， ＞为欧 氏空 间中向量 的标 准内积 ，从 而有
’ （ ｚ ） ＝＿ ＿ ＿ ａ ｃ ｏ ｔ ０。 直接积分得 （ ， ） ＝＋ ａ ｃ ｏ ｔ Ｏ ｔ ＋Ｃ。不妨设Ｃ＝０， 我们得到了圆柱等角螺旋线的参 数方程： ， （ ， ） ＝ａ （ ｃ ｏ ｓ ｔ ， ｓ ｉ ｎ ｔ ， ±ｃ ｏ ｔ Ｏ ｔ ） （ Ｏ∈ （ ｏ ， ） ） （ １ ）
） ＝ ｒ （ １ ＋ｃ ｏ ｓ ｓ ｉ ｎ ｔ － ｒ （ １ － ｃ ｏ ｓ ０ ） Ｓ ｉ ｎ （ ｚ （ ｆ 其中角度满足 ∈（ ｏ ， ） 。
例３ ． 若球 面等角螺旋线参数方程为
， ）
（ ３ ）
ｓ ｉ ｎ ｓ （
ｆ １
厂 （ ， ） ＝ （ ３ ｃ ｏ ｓ ｔ － ｃ ｏ ｓ （ ３ ， ） ， ３ ｓ ｉ ｎ ｌ － Ｓ ｉ ｎ （ ３ ， ） ， ２ ， ５ｃ 。 ｓ ） ， 则 所夹角度 为 ３。
０∈（ ， ，Ｃ 为正的积分常数 。囚此 圆锥等角螺旋线参数方程为
— ： ：
ｒ （ ｔ ） ＝Ｃ ｅ ４ 啪 。 ’ （ ｃ ｏ ｓ ｔ ， ｓ ｉ ｎ ｔ ， １ ）（ Ｃ＞０ ）
例２ ．若圆锥等角螺旋线参数方程 为
， ． （ ｆ ） ＝Ｐ ‘ （ ｃ ｏ ｓ ｔ ， ｓ ｉ ｎ ｔ ， １ ） ，则所夹角度 ０ 为 。 若圆锥等角螺旋线参数方程为 ｒ （ ｆ ） ＝ｅ ｔ （ ｃ ｏ ｓ ｔ ， ｓ ｉ ｎ ｔ ， １ ） ，则角度０为 ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ｘ ／ ２。
MathStudio37 对数螺线面面观
MathStudio for iPad使用方法入门（37）对数螺线面面观（1）2016年6月12日对数螺线亦称等角螺线★等角螺线极坐标方程式：ρ=a*bθ=a*e ln(b)*θ=a*e k*θk=ln(b)等角螺线是笛卡儿在1638年发现的；也称为对数螺线★设 C 为以原点为圆心的任意圆，C 与等角螺线相交的角(倾斜度)为φ因为tanφ=ρ/d(ρ)=ae k*θ/a*k*e k*θ=1/k，所以k=cot(φ),或φ=arccot(k)即等角螺线与过极点射线的交点夹角φ永远相等，而其值为arccot(k)★等角螺线是什么样子的曲线？等角螺线是一条“无头无尾”的曲线，当k > 0时，它始于设定的θ最大值，θ可以是无限大，终端趋近极点，但永远到不了极点0对数螺线是一种奇特怪异的曲线族，说它奇特，因为它的形状：千姿百态-φ角在不同数域，有不同的图形跳跃转向-k为正值时，螺线是顺时针绕极点转动，θ由外向内减小k为负值时，螺线是逆时针绕极点转动，θ由外向内增大藕断丝连-ρ=a*e k*θ与ρ=a*e-k*θ两支曲线不像阿基米德螺线那样互相嵌套，而是内外包容，首尾“相连”疏密有序-当k趋近0（φ趋近π/2），曲线趋于密集，反之则稀疏；任意缩放依然故我–对数螺线两端都无止境，且有等比性，故任意缩放其形不变变化多端难以捉摸–当φ角=0时，k为不定值，什么图形都没了当φ角=±π/2时，k=0,螺线“消失”了，圆出现了当φ角=±π时，k=∞ ，什么图形都没了万变不离其宗–等角性、等比性是对数螺线的基本特性继续看，欣赏一下对数螺线的奇异幻境吧p=±π/2=±1.571附近是对数螺线的“活跃区”，“敏感区”a为正，顺时针方向a为负，逆时针方向上图p=-1.582 < -1.571红色螺线在外，蓝色螺线在内外层螺线顺时针绕极点转动内层螺线逆时针绕极点转动下图p=-1.552 > -1.571蓝色螺线在外，红色螺线在内p=1.558 < 1.571红色螺线在外，蓝色螺线在内p=1.588 > 1.571蓝色螺线在外，红色螺线在内两种极端情况左图p=0 右图p=πa=NaN →∞ a →∞当对数螺线与射线交角为0或π时，没有图形显示p = 3.028 <π 交角接近πa = -8.7655 >-∞螺线近似直线没有典型对数螺线的样子ρ=e -a*θ什么原因成这样子？ρ=e 8.7655*θ公比=e 8.7655*2π =8.2963*1023 巨大的公比使我们无法得到与之适应的放大图，只看到它近似直线迅速趋近0b = 2.124a = -0.6175公比= 0.02θ = 1.043b = 2.124a = -0.6175公比= 0.02θ = 31.355 ≈ 10π螺线逆时针快速趋近0，θ由外向内增大b = 1.688a = -0.1177公比=0.48 比1小得多，较稀疏b = 1.628a = -0.0573公比=0.7 接近1 较密集左图图中a=0时，等角螺线变为圆这儿a=cot(b)即b=acot(a)=acot(0)=π/2=1.5708右图b=1.571(=π/2)时等角螺线“消失”，变为圆φ=π/2=1.571 cot(φ)=0 图形为圆直线θ=π/3与圆的交点，可以是多点重合，依θ的取值范围而定θ=1.043θ=7.34=1.043+2πθ=19.9=1.043+6πb=1.583 >1.571a=-0.0122<0逆时针方向，公比=0.93 曲线较密集θ由外向内增大b=1.565 < 1.571 a=0.0058 >0顺时针方向θ由外向内减小公比=1.04 接近1曲线密集能看出来不是等距离φ=0.782 a=cot(0.782)=1 与X轴交点θ=4πρ=sqrt(x2+y2)=314243a=ln(ρ)/θ=ln(314243)/4π≈1φ=acot(1)=0.785=π/4³180/π=45°这是φ=0.782时的等角螺线及φ=π/3直线相交图形a=cot(0.782)=1.0068≈1曲线自外向内顺时针绕极点迅速趋近极点公比= 558.87曲线稀疏Trace显示数据与按公式计算数据基本一致过极点射线φ=π/3,与等角螺线交点Y 轴与等角螺线交点φ=0.782 等角螺线ρ=sqrt(x 2+y 2)=1501773a=ln(ρ)/θ=ln(1501773)/4.5π=1φ=acot(1)=0.785=π/4×180/π=45°ρ=sqrt(x 2+y 2)=897714a=ln(ρ)/θ=ln(897714)/4.3π=1φ=acot(1)=0.785=π/4×180/π=45°Trace 显示数据与按公式计算数据基本一致观察对数螺线与过极点直线各交点间的间距状况这是φ=1.505时的等角螺线及φ=π/3直线相交图形曲线自外向内顺时针绕极点旋转起点x=10π，终点趋近0φ=1.505=1.505×180/π=86°a=cot(1.505)=0.0659ρ1=sqrt(x2+y2)=5.64看一看φ=1.505 的螺线与θ=π/3射线的各交点数据ρ2 =sqrt(x 2+y 2)=3.72ρ3=sqrt(x 2+y 2)=2.45ρ4 =sqrt(x 2+y 2)=1.62ρ5 =sqrt(x 2+y 2)=1.07ρ1=sqrt(x 2+y 2)=5.64 θ1=26.18 = 8π + π/3ρ2 =sqrt(x 2+y 2)=3.72 θ2=19.9 = 6π + π/3ρ3=sqrt(x 2+y 2)=2.45 θ3=13.6 = 4π + π/3ρ4 =sqrt(x 2+y 2)=1.62 θ4=7.34 = 2π + π/3ρ5 =sqrt(x 2+y 2)=1.07 θ5=1.04 = π/3ρ1 –ρ2 =1.92 = 1.27×1.51ρ2 –ρ3 =1.27 = 0.83×1.53ρ3 –ρ4 =0.83 = 0.55×1.51ρ4 –ρ5 =0.55ρ1、ρ2、ρ3、ρ4、ρ5 是等比级数公比=e 2πa = e 2π*cot（1.505）Trace 显示数据与按公式计算数据基本一致b=1.687 a=-0.1167 <0 公比=e 2πa =0.48b=1.687 a=-0.1167 <0 公比=e 2πa =0.48b=1.687 a=-0.1167 <0 公比=e 2πab=1.687a=-0.1167 <0公比=e 2πa =0.48逆时针方向θ由外向内增大Trace显示数据与按公式计算数据基本一致π/2 – b = 0.003红色螺线在外顺时针绕极点蓝色螺线在内逆时针绕极点增大θ取值范围0～72π ρ=e±aθ，两条对数螺线曲线φ 取邻近π/2 的值b=1.568 < 1.571b = 1.558a =0.0128公比=1.0837b = 1.548a =0.0228公比=1.154π/2 – b = 0.013蓝色螺线只能看到一个小圆π/2 – b = 0.023蓝色螺线只能看到一个小点b=1.578 > 1.571π/2 - b = -0.007a=-0.0072公比=0.9558b > π/2蓝色螺线在外顺时针绕极点红色螺线在内逆时针绕极点b=1.598>1.571a=-0.0272公比=0.8429b=1.588>1.571a=-0.0172公比=0.8976π/2 – b = -0.027红色螺线看不到了π/2 – b = -0.017红色螺线只能看到一个点π/2 两侧是“敏感区”，φ角微变，图形大变！用了半个多月时间，探索对数螺线的奥秘，现在该告一段落了。
等角螺线及其它详解
等角螺线及其它▪何谓等角螺线▪等角螺线的方程式▪趣史一则▪等角螺线上的相似性质▪黄金分割与等角螺线▪等角螺线的弧长▪等角螺线的再生性质▪其它螺线举例几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。
曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。
这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。
在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。
基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。
在内容方面，笔者首先选上曲线。
因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。
例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。
何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。
狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。
一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。
假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。
更进一步地，由于在A1点的甲狗系冲向在B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。
或者说，甲狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。
同理，图一乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。
奥数 对数螺旋
奥数对数螺旋
奥数中的对数螺旋是一个令人着迷的数学概念，它将指数函数与螺旋形状完美结合，揭示出自然界中隐藏的美丽和秩序。
对数螺旋，也被称为等角螺旋或等角螺线，是一种特殊的曲线，其特点是在任意一点上的切线方向与半径之间的角度保持不变。
在数学上，对数螺旋的方程可以表示为 r = ae^(bθ)，其中 r 是从原点到曲线上一点的距离，θ是该点与正x轴之间的夹角，a 和 b 是常数。
这个方程描述了曲线如何随着角度θ的变化而展开，形成了一个无限延伸的螺旋形状。
对数螺旋的美妙之处在于它与指数函数的紧密联系。
指数函数是数学中一种基本而重要的函数，它描述了增长和衰减的过程。
而对数螺旋则将这种增长和衰减的过程转化为一种优美的几何形状。
除了数学上的美丽，对数螺旋还在自然界中广泛存在。
例如，在植物学中，许多植物的叶子和花朵的排列都呈现出对数螺旋的形式，如向日葵的花瓣和菠萝的鳞片。
这种排列方式有助于植物最大化地利用阳光和空间，展现出自然界的智慧和优雅。
此外，对数螺旋还在艺术和设计领域得到广泛应用。
建筑师和艺术家们常常利用对数螺旋的形状和特性来创造出富有动感和美感的作品。
例如，一些现代建筑的外墙和雕塑作品就采用了对数螺旋的形状，让人在欣赏的同时也能感受到数学和自然的魅力。
总之，奥数中的对数螺旋是一个充满神秘和美丽的数学概念。
它不仅揭示了自然界中的秩序和智慧，也为我们提供了一种全新的视角来欣赏和理解数学、艺术和自然界中的美。
此曲线称为黄金螺线等角螺线课件
工程设计：黄金螺线在工程设计中有着广泛的应用，如 螺旋桨的设计、涡轮机的制造、管道的铺设等。其自类 似的特性使得它在这些领域中具有特殊的优势。
等角螺线
材料科学：等角螺线在材料科学中也有所应用，如金属 疲劳、材料断裂等问题的研究。其曲线的变化特性可以 帮助科学家更好地理解材料的性能和行为。
研究发展比较
02 许多图形软件都提供了绘制等角螺线的工具，如
AutoCAD、MATLAB等。
手动画图
03
使用圆规、直尺和量角器等工具，根据等角螺线的性
质手动绘制。
等角螺线的美学价值
自然界中的美
等角螺线在自然界中广泛存在，如海螺、旋涡等，被认为是一种 具有美感的曲线。
艺术创作
等角螺线经常被用于艺术创作，如建筑设计、雕塑、绘画等，可以 营造出特殊的视觉效果。
黄金螺线的美学价值
艺术表现
黄金螺线在艺术领域有着广泛的应用，如装饰图 案、雕塑等。
建筑设计
建筑设计中也会用到黄金螺线作为设计元素，如 螺旋楼梯、旋转餐厅等。
平面设计
在平面设计中，黄金螺线可用于制作富有艺术感 的标志、图标等。
04 等角螺线的性质与绘制方法
等角螺线的性质
对称性
等角螺线具有旋转对称性 ，即绕其中心旋转任意角 度后，曲线形状保持不变 。
黄金螺线的发展
在随后的几个世纪中，黄金螺线在数学、物理学、工程学等多个领域得到了广泛的应用和研究。人们发现了它在 光学、电磁学、工程设计等多个领域具有特殊的性质和应用价值。
黄金螺线的应用领域
光学领域
黄金螺线的等角性质使其在光学领域具有重要应用价值。 例如，它可以用来设计光学仪器和光学元件，具有优秀的 光学性能。
06 黄金螺线与等角螺线的应用实例
此曲线称为黄金螺线等角螺线
一個莖枝模型,其中滿足 AC 1 5 1
AB 2
經過自我複製後,可生長成美麗的黃金樹.
C 120 A
自我複製
b a
A
B
b 5-1
B
樹的分枝不會接觸是因為 a = 2
維納斯雕像,被視為女性體型美的標準. (1)人的肚臍位於人體身高的黃金分割點. (2)肚臍以上,頸部是黃金分割點.
A
平分線交AB於D,以D為圓心,
線段AD為半徑,作弧AC；
如此重複此步驟,即可得一 螺旋狀曲線,此曲線稱為黃 金螺線(等角螺線).
D G HE F
B
C
直角的黃金三角形三邊長 的比例滿足1: :
若tan X cscX,則X 38.17
C 38.17
若tanY cscY,則Y 51.82
C P
A
G
B
過B點作CB AB,且CB 1 AB 2
以C點為圓心,過B畫弧,交AC於P點.
以A點為圓心,過P畫弧,交AB於G點.
已知線段AB. 以A為圓心,過B畫圓C1;
以B為圓心,過A畫圓C2, C1和C2交於D點. 以C為圓心,過B畫圓C3, C3和C2交於E點. 連ED,交AB於G點. G點為線段AB的黃金分割點.
(5)
(a) (b)
Q
(4)
(c)
P
(3)
(2)
(1)
推動浪和調整浪經常出現延伸浪等變化型態 和複雜型態,使得對浪的準確劃分更加難以界 定,這構成了波浪理論實際運用的最大難點.
艾略特的波浪理論是一套主觀分析工具,市場 運行卻是受情緒影響而並非機械運行. 波浪 理論套用在變化萬千的股市會有危險.
等角螺线及其它——赵文敏
等角螺线及其它赵文敏▪何谓等角螺线▪等角螺线的方程式▪趣史一则▪等角螺线上的相似性质▪黄金分割与等角螺线▪等角螺线的弧长▪等角螺线的再生性质▪其它螺线举例几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。
曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。
这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。
在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。
基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。
在内容方面，笔者首先选上曲线。
因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。
例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。
何谓等角螺线在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。
狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。
一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。
假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。
更进一步地，由于在A点的甲狗系冲向在B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。
或者说，甲狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。
同理，图一乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。
d代数螺线
d代数螺线
D代数螺线：数学之美与自然的和谐
当我们深入探索数学与自然的交融时，D代数螺线以其独特的形式和深远的意义引起了我们的注意。
D代数螺线，这一数学概念的魅力，不仅在于其精确的数学描述，更在于其在自然界中的广泛存在。
D代数螺线，也被称为对数螺线或等角螺线，是一种特殊的曲线，其特性在于任何一点到原点的距离与该点到原点的连线与正x轴之间的夹角成正比。
这种独特的性质使得螺线在视觉上呈现出一种连续而流畅的旋转效果，仿佛在诉说着宇宙的奥秘。
在自然界中，我们可以找到许多D代数螺线的实例。
例如，在植物界，许多植物的叶子和花朵的排列都遵循着这种螺线规律，如向日葵的花盘和松树的松针。
而在动物界，蜗牛壳的螺旋形状也是D代数螺线的一个生动体现。
这些自然现象的螺线结构，不仅美观，而且有助于植物和动物在生长和生存中达到最优的效果。
除了自然界，D代数螺线在科技和工程领域也有着广泛的应用。
在建筑设计中，螺线结构被用于创造既美观又坚固的建筑，如著名的巴黎艾菲尔铁塔。
在机械工程中，螺线齿轮和螺线弹簧等部件的设计和制造都离不开D代数螺线的理论支持。
D代数螺线的数学描述和其在自然界、科技领域的应用，都体现了数学与自然的和谐统一。
它让我们看到，数学不仅仅是一种抽象的符号体系，更是一种揭示自然规律、指导科技发展的有力工具。
D代数螺线，无疑是数学与自然完美结合的典范之一。
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浅谈等角螺旋线
作者：09公管丁刘泽隆王海玥阚萍
摘要：本文主要对等角螺线（logarithmic spiral）进行了研究，建立了等角螺线的数学模型，探讨了等角螺线的性质、数学模型的特点以及在生活，尤其是在工业生产中的应用。
关键词：等角螺线黄金比应用
引言：等角螺线又叫对数螺线（logarithmic spiral ）是由笛卡儿在1683年发现的。
雅各布·伯努利()后来重新研究之。
他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。
他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”( d m m t t surgo)。
可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。
等角螺线用指数形式表达：ρ=αe^(kφ)其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。
为了讨论方便，我们把e 或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。
等角螺线在自然界规律和工业生产中都有着广泛的应用，如抽水机的涡轮叶片；鹦鹉螺外壳的等角螺线形图案。
已有的文献和成果：文献《螺线》等。
一、模型的建立
(1) 螺线特别是美学意义可以用指数的形式来表达：
ρ=αe^(kφ)
其中，α和k为常数，φ是极角（polar angle），ρ是极径（polar Radius），e是自然对数（ natural logarithm）的底。
为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。
因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。
(2)如何得到一条等角螺线-----等角螺线与黄金比（golden ratio）
首先画一个黄金矩形ABCD，即一个长比
宽为φ的矩形，。
如果拿掉最大的正方形
ABEF，我们能得到一个新的小黄金矩形
FECD。
（证明略）数学提供给我们的生活经验
以是，一旦我们发现一个思想，我们往往可以
通过将这个细想推到极端来发展出新的洞见。
我们可以从新得到的黄金矩形FECD中再拿
掉最大的正方形FGHD，并继续这个过程，如
此产生出一个不断缩小的黄金矩形的无穷集
合。
连接其中的B、F、H、I、J、K等点，我
们就可以(粗略地)等到一条等角螺线（logarithmic spiral）了。
参考资料《数学爵士乐》【美】爱•德华伯格迈克•尔斯塔伯德著
二、模型的性质
(1)等角螺线的臂的距离以几何级数（geometric progression）递增。
(2)设L为穿过原点的任意直线，则 L 与等角螺
线的相交的角永远相等（故其名），而此值
为 cot-1 ln b。
从螺线的心向螺线上任一点
引一条线段，该线段与螺线上该点的切线间的夹角处处相等（图片来自 ）
(3)设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与等角螺线的相交的角永远相等，而此值为
tan -1 ln b ，名为“倾斜度”
(4)等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。
（以上来自维基百科）
(5)等角螺线的渐屈线（asymptotic curve ）和垂足线都是等角螺线。
(6)从原点到等角螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。
这是由 Torricelli 发现的。
（7）等角螺线的渐屈线是同样的等价螺线，所以也是它关于原点的反演曲线
（ inversional curve ）。
如果把光源放在原点，那么它由反射和折射得到的焦散曲线也是同样的等角螺线。
（8）如果等角螺线在一条直线上滚动，那么该螺线的成为极的原点的极是另一条直线。
曲线上从极（即O 点）到X 点的长等于XT ，这里T 是极的出发点，∠TOX 是直角。
（见下图 来自《神奇而有趣的几何》【英】戴维•韦尔斯 著 余应龙 译）
三、 模型的应用
1、 自然界中的对数螺线
（1）鹦鹉螺的外壳像等角螺线
(2)旋涡星系的旋臂像等角螺线
(3)蜗牛的外壳像等角螺线
(4)低气压的外观像等角螺线
（5）蜘蛛织的网成等角螺线：蜘蛛在结网的过程
中，腿发挥了关键的作用。
它们先用腿从抽丝器中抽
丝，固定到树干上，把整个轮廓勾勒出来。
之后，沿
着已经建好的轮廓向中心爬，再在合适的地方加上几
根幅线固定，为了保持平衡，再在对称的地方加上相
应的幅线。
这样，之中就用幅线把圆周分成了几部分，
相邻幅线间的圆周角大体相同。
最后，蜘蛛用丝在半
径（幅线）上，从外圈盘旋着走向中心，同时在半径
上安上最后成网的螺旋线。
这根螺旋线，形如等角螺
线的图像：越接近中心，每周的间距就越密，螺线上
的任意一点和中心的连线与螺线上这点的切线所形成
的角是一个定角。
（摘自：好父母教育咨询网）
2、工业中的对数螺线
（1）在工业生产中，
把抽水机的涡轮叶片的曲面
T X
作成对数——螺线的形状，抽水就均匀；
（2）在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好；
（3）工业生产中使用的一种用于砖瓦轮窑焙烧或锅炉助燃的离心式引风机，采用了扩张宽度的呈对数螺线形状的风箱和后向机翼形叶轮等设计，减少了风量损失，提高了空气动力性能，具有结构紧凑、移动方便、能量消耗小；
（4）混凝土搅拌机的叶片设计：螺旋叶片的前、后锥采用非等角对数螺旋线, （如图2 所示, ）中圆采用等角对数螺旋线。
（如图3所示,）（摘自：中国混凝土网）
四、参考文献
《数学爵士乐》【美】爱•德华伯格迈克•尔斯塔伯德著
《数学万花镜》【波】胡•施坦豪斯著裘光明译
《邮票上的数学》罗宾•J•威尔逊著李心灿邹建成郑权译
《神奇而有趣的几何》【英】戴维•韦尔斯著余应龙译。