第2章 1.1 随机过程定义与分布族

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随机过程第二章

4、有限维分布族
定义：设
X t ; t T 为一个 S .P. ，其有限
维分布函数的全体（一维分布函数，二维分布函
数，n维分布函数）。
F Ft1 ,t2 ,,tn x1, x2 ,, xn ; xi R，ti T，n N, i 1,2,, n
称之为 S.P. X t 的有限维分布函数。
2、特点：
独立增量过程在零均值且二阶矩存在时，是正交增量过程。注：独立增量过程在现实环境中大量存在（例2.10）
3、平稳独立增量过程（定义 2.8）
增量 X(t)-X(s) 的分布律仅依赖于区间长度t-s。(第三章) （三）马尔可夫过程（第四、五章）（四）正态过程 1、定义 2.10： X(t)的有限维分布律是n维正态随机向量的分布律. 2、特点： ①二阶矩过程 ②数字特征成为其参数。
状态空间：S .P. X t 的状态所有可能取值的集合，称之为状态空间。
小结：
X e, t 是状态与参数的二元函数
若若
e
t
确定确定
X e, t 是时间函数
X e, t 是随机变量
是一个确定值是随机过程 S .P.
r.v.
若 e, t 确定若 e, t 不定
随机过程的分类
一维正态过程分布律：
X (t ) ~ N u(t ),
2 2
2
(t )

二维正态过程分布律：
X (t1 ), X (t2 ) ~ N u(t1 ),u(t2 ),
这里有5个参数。其中 1
(t1 ), (t2 ), (t1 , t2 )

(t1 , t2 ) 1 为相关系数或归一化协方差函数

随机过程-第二章随机过程

同样地， k 维随机过程的
n 维联合分布函数具有对称性和相容性。
i 1 i
k
例 2.1 设随机变量 X b(n, p) ，求 X 的特征函数
解：当 n 1 时， X 服从 0-1 分布，
P( X k ) p k (1 p)1k , k 0,1
所以
(t ) eitk P( X k ) peit (1 p)
自协方差函数与自相关函数之间的关系：
CX (s, t ) RX (s, t ) X (s) X (t )
注：自相关函数与自协方差函数均具有对称性和非负定性的性质。
2.3.2 二维随机过程
两个随机过程 X (t ), t T 和 Y (t ), t T 的互协方差函数

n

Ft1 ,,tm ,tm1 ,,tn ( x1 ,, xm , ,, ) Ft1 ,,tm ( x1 ,, xm )
对应具有有限分布族的随机过程 X (t ), t T 的特征函数
t ,,t (u1 ,, un ) E (ei (u X (t )u X (t )) ) ei (u X (t )u X (t )) dFt ,,t ( x1 ,, xn )
解：先求 Y
X

的特征函数。因为 Y N (0,1) ，所以
2 2
Y (t ) e
由于 ixe
itx x2 2
itx
x itx 1 x2 1 2 e dx e dx 2 2
x2 2
xe
，且
2
xe

x2 2
dx ห้องสมุดไป่ตู้ ，所以

随机过程知识点汇总3

第一章随机过程的基本概念与基本类型一. 随机变量及其分布1随机变量X，分布函数F(x)二P(X < x)X连续型随机变量X的概率分布用概率密度 f (x) 分布函数F(x)二f (t)dt2. n维随机变量X =(X i,X2，…，X n)其联合分布函数F(x) H F a’X?，…，X n) =P(X1空X-X2乞x2,…，X n乞x n,)离散型联合分布列连续型联合概率密度3 .随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X EX =二x k p k连续型随机变量X EX二"xf (x)dx匚方差：DX = E(X -EX)2二EX2-(EX)2反映随机变量取值的离散程度协方差(两个随机变量X,Y )：B XY =E[(X — EX)(Y —EY)] =E(XY) — EX .EY独立=不相关：=:-=0予oO 予离散g(t)二' e iX k P k 连续g(t) e iX f (x)dx'J重要性质：g(0)=1 , g(t) <1 , g(—t)=g(t) , g k(0)=i k EX k5 •常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差0 —1分布P(X =1) =p,P(X =0) =q EX二p DX = p q二项分布k k n -kP(X = k) = C n p q EX=np DX=n pq泊松分布-kP(X =k) =e EXk!DX=扎均匀分布略离散型随机变量X的概率分布用分布列P k 二P(X 二X k)分布函数F(x) = 7 P k相关系数(两个随机变量X,Y )：B XYDX DY若'=0，则称X,Y不相关。

4 .特征函数g(t)二E(e itX)6.N 维正态随机变量 X =(X ,,X 2^ ,X n )的联合概率密度II T A.f(X i ,X 2, ,X n )二 ---------- n-exo{(x-a) B (x-a)} 2 (2 二)2|B|2a =(a .,a 2,…，aj , x =(x i , X 2，…，X n ), B = (b ij )nn 正定协方差阵二•随机过程的基本概念 1•随机过程的一般定义设r 1, P)是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个r T ,都有一个随机变量 X 与之对应, 则称随机变量族fx (t,e),t ・T /是 (JP)上的随机过程。

第2讲第二章随机过程的概念

它们的互相关函数定义为
RXY ( s, t ) E[ X ( s)Y t ]
互协方差函数为
BXY ( s, t ) Cov[ X ( s), Y t ]
E{[ X ( s) mX ( s)][Y (t ) mY (t )]}
例7 已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t), 令 Y(t)=X(t+a)－X(t) 求RXY(s, t), RYY(s, t).
设m n,
j 1
BY (n, m) min n, m pq,
RY (n, m) BY (n, m) E[Yn ]E[Ym ]
min n, m pq nmp 2
定义设 X t , t T 和 Y t , t T 是两个随机过程,
2 1 2

x 1 t2
2 2
1 t 1 s
2
2 x1 x2
s, t 0, s t
例4 若从t=0开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币做试验，定义一个随机过程： t时出现正面； cos t , X (t ) t时出现反面. 2t 求 1) 一维分布函数F(1/2；x)和F(1,x); 2) 二维分布函数F(1/2, 1;x, y). 解（1）这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量相互独立），所以过程的有限维统计特性由一维确定。 X(t cosπt 2t ) p 1/2 1/2
X t 的值称为随机过程在t时所处的状态。 X t 所有可能的值的集合，称状态空间，记为I.
根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为四类： 1) T, I 均为离散;
2) T 离散, I 连续;

随机过程课程第二章随机过程的基本概念

第二章随机过程的基本概念
第一节随机过程的定义及其分类第二节随机过程的分布及其数字特征第三节复随机过程第四节几种重要的随机过程简介
第一节随机过程的定义及其分类
一、直观背景及例
例1 电话站在时刻t时以前接到的呼叫次数一般情况下它是一个随机变数X ，并且依赖时间t，即随机变数X（t），t[0，24]。
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（4）平稳随机过程
平稳过程的统计特性与马氏过程不同，它不随时间的推移而变化，过程的“过去”可以对 “未来”有不可忽视的影响。
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第二节随机过程的分布及其数字特征
一、随机过程的分布函数
设{ X (t) ，t T }是一个随机过程，
一维
分布对于固定的t1 T ，X (t1) 是一个随机变量，
F (t1,t2；x1, x2 ) =
x1
x2
f (t1, t2；y1, y2 )dy1dy2
则称 f (t1,t2；x1, x2 ) 为 X (t) 的二维概率密度
n维
n 维随机向量（X (t1 ) ，X (t2 ) ，…， X (tn ) ）
分布函数
联合分布函数
F (t1,t2 , ,tn；x1, x2 , , xn )
分布函数
FXY (t1, ,tn ；t1, ,tm ；x1, , xn ； y1, , ym ）
P{X (t1) x1, , X (tn ) xn；Y（t1） y1, ,Y（tm ） ym }
称为随机过程和的n + m维联合分布函数
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相互设 X (t) 和Y (t) ，t1,t2 , ,tn ，t1,t2 , ,tm T
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2．方差函数
随机过程{ X (t) ，t T }的二阶中心矩

随机过程随机过程的基本概念ppt课件

个“呼叫次数—时间函数”是不可能预先确定的，只有通过测量才能得到. 由于呼叫的随机性，在相同条件下，每次测量都产生不同的“呼叫次数—时间函数”.
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2.1 随机过程的定义
例2.1.2 电子元件或器件由于内部微观粒子（电子）的随机热噪声引起的端电压称为热噪声电压，它在任一确定时刻的值是随机变量，记为V(t). 如果t 从0变到+∞，t 时刻的热噪声电压需要用一族随机变量{V(t), t ∈[0, +∞]}来表示，则该随机变量就是一个随机过程. 对某种装置做一次试验，便可得到一个 “电压—时间函数”v(t) . 这个“电压—时间函数”是不可能预先确知的，只有通过测量才能得到. 如果在相同的条件下独立地再进行一次测量，则得到的记录是不同的.
; 取V=0,则
x(t)=0;取V3=1，则x(3t)=cosωt. 这些都是 t 的
确定函数，即随机过程的样本函数.
12
2.1 随机过程的定义
(2) 当t=0时，X(0)=V，故X(0)的概率密度函数就是V的概率密度函数，即
1,0 x 1 fX (0) (x) 0,其他
当故
1,0 v 1 fV (v) 0,其他
(1) 画出{X(t) ,﹣∞<t<+∞}的几条样本曲线；
(率2)密求度t 函 0数, 4;
,
3 4
,

时随机变量X(t)的概
(3)求
t
2
时X(t)的分布函数
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2.1 随机过程的定义
解
(1) 取 V 2 则x(t) 2 cost
定义2.1.3 设{X(t), t ∈T }是随机过程，则当ω ∈ Ω固定时， X(t)是定义在上T不具有随机性的普通函数，记为x(t), 称为随机过程的一个样本函数. 其图像成为随机过程的一条样本曲线（轨道或实现）.

第二章随机过程的基本概念

个子女形成第一代，每一个子女再生子女，他们合在一起形成第二代，等等，假定第n代的个体数目为Xn，则 {Xn, n=0,1,2….}是随机过程。
例: 英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动。这种运动叫做Brown运动，它是分子大量随机碰撞的
结果。记 X t ,Y t 为粒子于时刻t在平面
为t T 的函数，x(t,ω0 )是一个定义在T 上的
普通函数.
X(t1,ω)
X(t2,ω)
x(t,ω1) x(t,ω2) x(t,ω3)
t1
t2
tn
例5 X(t,ω) = acos(bt+Θ), Θ~U(0, 2π)
ω1 =5.4938 ω2 = 1.9164
ω3 = 2.6099
定义2.1.2 对每一固定ωΩ，称Xt (ω) 是随机过程 {X (t,), t T }的一个样本函数.
是相互独立的，
则称 X (t) 为具有独立增量的随机过程。
（3）马尔可夫过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
且 t1 t2 tn1 tn P( X (tn ) xn | X (tn1 ) xn1 ，…，X (t1 ) x1 )
X (t)

t, 3
et ,
如果t时取得红球如果t时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析先求概率密度
解对每一个确定的时刻 t，X (t) 的概率密度为
t
X (t)
3
t
e
P
所以
F (t1；x1 ) P( X (t1 ) x1 )
21

第二章随机过程基本概念

随机过程的基本概念
第二章随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的定义 §2.2 随机过程的分布与数字特征 §2.3 随机过程的分类
§2.1 随机过程的定义
引入：
初等概率论的研究对象
§2.1 随机过程的定义
引例1
某电话交换台在时间段[0,t]内接到的电话次数记为X(t),
随机现象某个时刻或有限个时刻静态的结果即一个或有限个随机变量(随机向量). 问描述随机现象的整个变化过程，需要多少个随机变量？
Fn ( xi1 , xi2 ,, xin , ti1 , ti2 ,, tin ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1, t2 ,, tn )
(2)相容性对任意自然数m<n,随机过程的m维分布函数与n维分布函数之间有关系：
Fm ( x1 , x2 ,, xm , t1 , t2 ,, tm ) Fn ( x1 , x2 ,, xm , ,, , t1 , t2 ,, tn )
解
X(t ) A (t (T0 kT )), T0 kT t T0 (k 1)T (k 0, 1, 2) T
§2.2 随机过程的分布与数字特征
2、随机过程的二维分布函数
定义设{ X ( t ), t T }是一个随机过程，对任意固定的
T 故有，T0 X (t ) t kT h( X (t )), T0 kT t T0 (k 1)T A
29 November 2015
随机过程
§2.2 随机过程的分布与数字特征
例1 设X ( t ) X cos(at ), t ，其中a为常数，
X服从标准正态分布，试求X(t)的一维概率密度函数。

随机过程第2章随机过程的概念与基本类型

其n+m 维联合概率密度为
f ( x1 , , x n , s1 , , s n ; y1 , , y n , t1 , , t n ) F ( x1 , , x n , s1 , , s n ; y1 , , y n , t1 , , t n ) x1 x n y1 y n
X ( , t ) E{e
j X
}

f ( x , t ) e j x d x
n 维分布律
[定义] 设 XT ={X (t), t T } 是随机过程，对任意 n 1 和 t1, t2, …, tn T ，随机过程 XT 的 n 维分布函数为
F ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t 2 , , t n ) P{ X (t1 ) x1 , , X (t n ) xn }

样本函数——对于固定样本点e ，X (t, e) 是定义在T
上的普通函数，称之为随机过程 { X (t), t T }的一个样本函数或轨道。样本函数的全体称为样本函数空间。
随机过程的分类

连续随机过程
参数连续，状态连续

离散随机过程
参数连续，状态离散

连续随机序列
参数离散，状态连续

均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 是最基本的两个数字特征。 “相关理论”——在随机过程理论中，仅研究 mX (t) 和 RX (s, t)有关的理论。

例1（习题二2.6）

已知随机相位正弦波 X (t) = a cos(t + )，其中 a >0，为常数，为在（0, 2）内均匀分布的随机变量。求随机过程 { X (t), t (0, ) } 的均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 。

第二章随机过程的概念和类型

第二章随机过程的概念和基本类型2.1 随机过程的基本概念随机过程是随机数学一个十分广泛的分支，它研究的是客观世界中随机现象演变过程的统计规律性.随机过程理论不仅广泛应用于自然科学的各个领域（例如物理学、生物学、电子技术等），而且在社会科学的许多领域也日益受到重视.我们都知道，初等概率论的主要研究对象是随机现象，可以用一个或有限个随机变量来描述随机试验所产生的随机现象.但是，随着科学技术的不断发展，我们必须对一些随机现象的过程进行研究，也就是要考虑无穷多个随机变量，而且解决问题的出发点不是随机变量的独立样本，而是无穷个随机变量的一次具体观测.这时，必须用一簇随机变量才能刻画这种随机现象的全部统计规律，这种随机变量簇就是随机过程.下面先考察几个例子.例 2.1 某人不断地掷一颗骰子，设()X n 表示第n 次掷骰子时出现的点数，1,2,n =⋅⋅⋅，对于任意一个n ，在第n 次掷骰子前不知道试验的结果会出现几点，因此，()X n 是一个随机变量.这样，随机现象可以用一簇随机变量{(),1}X n n ≥来描述.例2.2 设()X t 表示某流水线从开工（0t =）到时刻t 为止的累计次品数，在开工前不知道时刻t 的累计次品数将有多少，因此，()X t 是一个随机变量，假设流水线不断工作，随机现象可以用一簇随机变量{(),0}X t t ≥来描述.例2.3 在天气预报中，若以()X t 表示某地区第t 次统计所得到的该天最高气温，则()X t 是一个随机变量，为了预报未来该地区的气温，我们必须用一簇随机变量{(),0}X t t ≥来描述它的统计规律性.例2.4 在海浪分析中，需要观测某固定点海平面的垂直振动，设()X t 表示在时刻t 该点海平面相对于平均海平面的高度，则()X t 是一个随机变量，我们可以用一簇随机变量{(),0}X t t ≥来描述它的统计规律性.上述例子的共同点是，不是静止地研究某种随机现象，从而研究个别随机变量，而是动态地关心某种随机现象如何随时间变化而发展的，也就是说，需要研究许多随机变量组成的一簇随机变量.一般地，这簇随机变量包含无限多个随机变量，如果这簇随机变量包含有限多个随机变量（例如例 2.1），那么，这类问题用初等概率论中多维随机变量来解决.一簇随机变量描述了随机现象的变化发展过程.为了更深入地研究随机过程的相关性质，我们先给出随机过程的一般定义.定义2.1 设(,ΩF ，)P 是一概率空间，T 是给定的参数，若对于任意t T ∈，有一个随机变量(,)X t ω与之对应，则称随机变量簇{(,),}X t t T ω∈是(,ΩF ，)P 上的随机过程(stochastic process ),简记为随机过程{(),}X t t T ∈，在不致引起混淆的情况下，也可记为()X t .T 为参数集（或指标集），通常表示时间，t 为参数（或指标）.需要说明的是：上述定义中的参数集T 可以是时间集，也可以是长度、重量、速度等物理量的集合，随机过程本来通称随机函数，当参数集T 是时间集时称为随机过程，但现在将参数集不是时间集的随机函数也称随机过程，对参数集T 不再有时间限制.在例2.1中，{1,2,}T =⋅⋅⋅，在例2.2, 例2.3和例2.4中[0,)T =+∞，一般地，如果T 由有限多个或可列无限个元素组成的集合，则称{(),}X t t T ∈为离散时间（或离散参数）的随机过程，例2.1是离散时间的随机过程，当T 为有限集时，{(),}X t t T ∈就是概率论中多维随机变量；如果T 是一区间，则称{(),}X t t T ∈为连续时间（或连续参数）的随机过程，例2.2, 例2.3 和例2.4都是连续时间的随机过程.从数学的角度看，随机过程{(),}X t t T ∈是定义在T R ⨯上的二元函数，对固定的t ，(,)X t ω是(,ΩF ，P ）上的随机变量，随机变量()X t 所取的值称为随机过程在时刻t 所处的状态(state )，随机过程{(),}X t t T ∈所有随机变量的全体称为随机过程的状态空间(state space )，记为I ；对固定ω，(,)X t ω是定义在T 上的函数，称为随机过程{(),}X t t T ∈的一个样本函数（sample function ）或轨道（orbit ），样本函数的全体称为样本函数空间.在例2.1中，{1,2,3,4,5,6}I =；在例2.2中，{0,1,2,}I = ；在例2.3中，(,)I =-∞+∞，在例2.4中[0,)I =+∞.不难看出，在上述例子中，把状态空间作适当扩大，仅仅是为了数学上处理的方便，如果I 是由有限个或可列无限个元素组成的集合，则称{(),}X t t T ∈为离散状态的随机过程，例2.1和例2.2都是离散状态的随机过程；如果I 是一个区间，则称{(),}X t t T ∈为连续状态的随机过程，例2.3和例2.4都是连续状态的随机过程.现将这一分类列表如下：表2-1随机过程的分类随机过程的分类，除了按照参数集和状态集是否可列外，还可以进一步根据过程之间的概率关系进行分类，如独立增量过程、Poisson 过程、Markov 过程、平稳过程、鞅过程等.2.2 随机过程的分布概率论基本内容之一是研究随机变量的分布，随机变量的分布刻画了随机变量的统计规律，分布的表现形式是分布函数（或离散型随机变量的概率函数，或连续型随机变量的概率密度）.我们知道，随机过程{(),}X t t T ∈由一簇随机变量组成，当参数集T 为有限集时，随机过程{(),}X t t T ∈由有限个随机变量组成，它本质上与概率论中的多维随机变量相同，可以用多维随机变量的分布函数（或概率函数，或密度函数）来表示随机过程{(),}X t t T ∈的分布；当T 为无限集时，也可以借助有限个随机变量的联合分布来刻画随机过程{(),}X t t T ∈的分布.对于任意一个t T ∈, ()X t 是一维随机变量，其分布函数为(;){()},F x t P X t x x R =≤∈称(;)F x t 为随机过程{(),}X t t T ∈的一维分布函数，显然，对于不同的t ，()X t 是不同的随机变量，因此，(;)F x t 一般也不同，全体一维分布函数组成的集合{(;),:}F x t x R t T ∈∈ F 1称为随机过程{(),}X t t T ∈的一维分布函数簇.对于任意两个12,t t T ∈, ()12(),()X t X t 是二维随机变量，其分布函数为{}21212112212(,;,)(),(),(,)F x x t t P X t x X t x x x R ≤≤∈称1212(,;,)F x x t t 为随机过程{(),}X t t T ∈的二维分布函数，显然，对于不同的12,t t ，()12(),()X t X t 是不同的随机变量，因此，1212(,;,)F x x t t 一般也不同，全体二维分布函数组成的集合212121212{(,;,),(,):,}F x x t t x x R t t T ∈∈ F 2称为随机过程{(),}X t t T ∈的二维分布函数簇.一般地，对于任意n 个12,,,n t t t T ∈ , ()12(),(),,()n X t X t X t ⋅⋅⋅是n 维随机变量，其分布函数为{}121211(,...;,,,)(),,(),n n n n F x x x t t t P X t x X t x ≤⋅⋅⋅≤ 1(,,)n n x x R ⋅⋅⋅∈称11(,,;,,)n n F x x t t 为随机过程{(),}X t t T ∈的n 维分布函数，显然，对于不同的12,,,n t t t ，()1(),,()n X t X t ⋅⋅⋅是不同的随机变量，因此，11(,,;,,)n n F x x t t 一般也不同，全体n 维分布函数组成的集合1111{(,,;,,),(,,):,,}n n n n n F x x t t x x R t t T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈⋅⋅⋅∈ F n 称为随机过程{(),}X t t T ∈的n 维分布函数簇.定义2.2 {(),}X t t T ∈全体一维分布函数簇F 1、二维分布函数簇F 2⋅⋅⋅的并集F 1n n F ∞== 11111{(,,;,,),(,,):,,,1}n n n n n n F x x t t x x R t t T n ∞=∈⋅⋅⋅∈≥称为随机过程{(),}X t t T ∈的有限维分布函数簇.如果随机过程{(),}X t t T ∈是一个连续状态的随机过程，对于任意,()t T X t ∈通常是连续型随机变量，其密度函数为(;)f x t .称(;)f x t 为随机过程{(),}X t t T ∈的一维密度函数，全体一维密度函数组成的集合称为随机过程{(),}X t t T ∈的一维密度函数簇；一般地，称()1(),,()n X t X t 的密度函数11(,,;,,)n n f x x t t 为随机过程{(),}X t t T ∈的n 维密度函数，全体n 维密度函数组成的集合称为随机过程{(),}X t t T ∈的n 维密度函数簇. 随机过程{(),}X t t T ∈一维密度函数簇、二维密度函数簇的并集111{(,,;,,:,,,1)}n n n f x x t t t t T n ∈≥ 称为随机过程{(),}X t t T ∈的有限维密度函数簇.类似可以得到离散状态随机过程{(),}X t t T ∈的有限维概率函数簇.随机过程{(),}X t t T ∈有限维分布函数簇、有限维密度函数簇、有限维概率函数簇统称为随机过程{(),}X t t T ∈的有限维分布簇.随机过程{(),}X t t T ∈有限维分布函数簇满足如下两条性质：（1）（对称性）设12,,,n i i i 为1,2,,n 的任意排列，12,,,n t t t T ∀∈ ，则1111(,,;,,)(,,;,,)n n n n i i i i F x x t t F x x t t =（2）（相容性 consistent ）设121,,,,,,,m m n m n t t t t t T +<∀∈ ，则1111(,,,,;,,)(,,;,,)m n m m F x x t t F x x t t ∞∞=反之，对于给定的满足对称性和相容性的分布函数簇，是否存在一个以它作为其有限维分布函数簇随机过程？Kolmogorov 在1931年证明了下述定理肯定地回答了.定理2.1 （Kolmogorov 存在定理）设已知参数集T 满足对称性和相容性的分布函数簇F ，则必存在一概率空间(,ΩF ，P ）及定义在上的随机过程{(),}X t t T ∈，它的有限维分布函数簇是F .下面举例说明求随机过程的一维、二维分布.例2.4 设随机过程(),0X t tV t =≥，V 为随机变量，概率函数为{1}0.4,P V =-= {1}0.6P V == 求随机过程()X t 的一维分布函数();12F x 与(;2)F x 及二维分布函数()12,;12,2F x x解当12t =时，(12)2X V =是离散型随机变量；当2t =时，(2)2X V =是离散型随机变量，它们的概率函数分别为分布函数分别为 0,121;0.4,121221,12x F x x x <-⎧⎪⎛⎫=-≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪≥⎩ 和 0,2(;2)0.4,221,2x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩当1212,2t t ==时，()()(12),(2)2,2X X V V =是二维离散型随机变量，它的概率函数为因此，()(12),(2)X X 分布函数为 (){}1212,;12,2(12),(2)F x x P X x X x =≤≤=121212121220,0.4,12122,12221,122x x x x x x x x <-<-⎧⎪-≤<≥-≥--≤<⎨⎪≥≥⎩或且且且2.3 随机过程的数字特征定义2.3 随机过程{(),}X t t T ∈，如果对于任意,()t T EX t ∈存在，称()(),X m t EX t t T =∈ （2.1）为随机过程{(),}X t t T ∈的均值函数（expectation function ），简记()m t .定义 2.4 随机过程{(),X t t T ∈，如果对于任意,,s t T ∈ [()()][()()]E X s m s X t m t --存在，称(,)[()()][()()],X C s t E X s m s X t m t -- ,s t T ∈ （2.2）为{(),}X t t T ∈的自协方差函数（self covariance - function ），简称协方差函数，简记(,)C s t ；称 (,)[()()],X R s t E X s X t ,s t T ∈ （2.3）为随机过程{(),}X t t T ∈的自相关函数（self correlation - function ），简称相关函数，简记为(,)R s t .自协方差函数(,)C s t 是随机过程{(),}X t t T ∈本身在不同时刻状态之间线性关系程度的一种描述，特别地，当s t =时，称为随机过程{(),}X t t T ∈的方差函数（variance function ）.2()(,)[()()],X X D t C t t E X t m t t T =-∈ （2.4）由Schwarz 不等式知，随机过程{(),}X t t T ∈的协方差函数和相关函数一定存在，且有下面的关系式(,)(,)()()X X X X C s t R s t m s m t =-.特别地，当均值函数()0X m t ≡时，(,)(,)X X C s t R s t =.从定义可以知道，均值函数()m t 是反映随机过程{(),}X t t T ∈在时刻t 的平均值；方差函数()X D t 是反映随机过程{(),}X t t T ∈在时刻t 对均值函数()m t 的偏离程度，而协方差函数(,)C s t 和相关函数(,)R s t 反映的是随机过程{(),}X t t T ∈在时刻s 和t 的线性相关程度.例2.5 设随机过程()cos()sin(),0X t Y t Z t t θθ=+>，其中,Y Z 是相互独立的随机变量，且20,EY EZ DY DZ σ====，求{(),0}X t t >的均值函数()m t 和协方差函数(,)C s t .解由数学期望的性质()[cos()sin()]cos()sin()0EX t E Y t Z t t EY t EZ θθθθ=+=+=又由,Y Z 的相互独立，因此(,)(,)[()()]X X C s t R s t E X s X t ==[cos()sin()][cos()sin()]E Y s Z s Y t Z t θθθθ=++222cos()cos()sin()sin()cos[()]s t EY s t EZ t s θθθθσθ=+=-类似可以定义两个随机过程的互协方差函数和互相关函数.定义2.5 设随机过程{(),}X t t T ∈，{(),}Y t t T ∈，称(,)[()()][()()],,XY X Y C s t E X s m s Y t m t s t T --∈ （2.5）为{(),}X t t T ∈与{(),}Y t t T ∈的互协方差函数（mutual covariance function ），称(,)[()()],,XY R s t E X s Y t s t T ∈ （2.6）为{(),}X t t T ∈与{(),}Y t t T ∈的互相关函数（mutual correlation function ）.如果对任意,s t T ∈，有(,)0XY C s t =，则称{(),}X t t T ∈与{(),}Y t t T ∈互不相关.显然有(,)(,)()()XY XY X Y C s t R s t m s m t =- （2.7）例 2.6 设(),Z t X Yt t R =+∈，若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求()Z t 的协方差函数. 解由数学期望的性质121122(,){[()()][()()]}Z X Y X Y C t t E X Yt m m t X Yt m m t =+-++-+1122{[()()][(()]}X Y X Y E X m Yt m t X m Yt m t =-+--+-2[()()][()()]X X X Y E X m X m E X m t Y m =--+--112[()()][()()]Y X Y Y E t Y m X m E t t Y m Y m +--+--222112112122()XY XY XX YY C t C t C t t C t t t t σρσ=+++=+++例 2.7 设两个随机过程()sin()X t A t ωθ=+与()sin()Y t A t ωθϕ=+-，其中,,,A B ωϕ为常量ϕ为[0,2]π上的均匀分布的随机变量，求12(,)XY R t t .解设12t t <，则212121201(,)[()()]sin()sin()2XY R t t E X t Y t A t B t d πωθωθϕθπ==++-⎰ 211211210sin(){sin()cos[()]cos()sin[()]}2AB t t t t t t t d πωθωθωϕωθωϕθπ=++--++--⎰222110{cos[()]()2AB t t sin t d πωϕωθθπ=--+⎰ 221110sin[()]sin()cos()}t t t t d πωϕωθωθθ+--++⎰ 21cos[()]2AB t t ωϕ=-- 例 2.8 设()X t 为信号过程，()Y t 为噪音过程，令()()()W t X t Y t =+，则()W t 的均值函数为()()()w X Y m t m t m t =+其相关函数为(,)[()()][()()]w R s t E X s Y s X t Y t =++[()()][()()]E X s X t E X s Y t =+[()()][()()]E Y s X t E Y s Y t ++(,)(,)(,)(,)X XY YX Y R s t R s t R s t R s t =+++上式表明两个随机过程之和的相关函数可以表示为各个随机过程的相关函数之和.特别地，若两个随机过程的均值函数恒为0且互不相关时，有(,)(,)(,)W X Y R s t R s t R s t =+2.4 复值随机过程在工程技术上，常把随机过程表示成复数的形式进行研究更为方便.例如，在许多有关谱函数的运算要用到Fourier 变换，就需要复数形式.定义2.6 设{(),}X t t T ∈，{(),}Y t t T ∈是取值实数的两个随机过程，若对于任意t T ∈， ()()()Z t X t iY t =+其中i =，则称{(),}Z t t T ∈为复随机过程.类似可以定义复随机过程的均值函数、协方差函数、相关函数、方差函数如下：均值函数： ()[()]()(),Z X Y m t E Z t m t im t t T ==+∈相关函数： 121212(,)()(),,Z R t t E Z t Z t t t T ⎡⎤=∈⎣⎦协方差函数：{}121122(,)[()()][()()]Z Z Z C t t E Z t m t Z t m t =--=121212(,)()(),,Z Z Z R t t m t m t t t T +∈ 方差函数：2()[|()()|](()())(()())(,)Z Z Z Z Z D t E Z t m t E Z t m t Z t m t C t t ⎡⎤=-=--=⎣⎦对于两个随机过程可以定义互相关函数和互协相关函数.互相关函数：12121122(,)[()()]Z Z R t t E Z t Z t =互协相关函数：(){}1212121122111222(,)(),()[()()][()()]Z Z Z Z C t t Cov Z t Z t E Z t m t Z t m t ==--2.5 随机过程的主要类型随机过程可以根据状态空间和参数集离散或连续进行分类，现在我们将根据随机过程的统计特征进一步将随机过程分类，这些常见的随机过程在以后的章节中将作进一步说明，这里只作简单介绍如下：2.5.1 二阶矩过程（two order - moment process ）定义2.7 设{(),}X t t T ∈是（取值实数或复值）的随机过程，若对于任意t T ∈，都有2[|()|]E X t <∞（二阶矩存在），则称{(),}X t t T ∈是二阶矩过程二阶矩过程{(),}X t t T ∈的均值函数()()X m t EX t =一定存在，一般假定()0X m t =，这时，协方差函数化为(,)[()()],,X C s t E X s X t s t T =∈.二阶矩过程的协方差函数具有以下性质：（1）（Hermite 性）(,)(,),X X C s t C t s = ,s t T ∈（2）（非负定性）对任意i t T ∈及复数,1,2,,,1i i n n α=≥ 有11(,)0n n X i j i j i j Ct t αα==≥∑∑2.5.2正交增量过程（orthogonal incremental process ）定义2.8 设{(),}X t t T ∈是零均值的二阶矩过程，若对于任意1234t t t t T <≤<∈，有 2143[()()][()()]0E X t X t X t X t ⎡⎤--=⎣⎦（2.8）则称{(),}X t t T ∈为正交增量过程.从定义可以看出，正交增量过程的协方差函数可由其方差确定，且()2(,)(,)min(,)X X X C s t R s t s t σ== （2.9）事实上，不妨设[,]T a b =为有限区间，且规定()0X a =，取12340,,t t t s t b ====，则当a s t b <<<时，有()(()()E X s X t X s ⎡⎤-⎣⎦()()()()(()()E X s X a X t X s ⎡⎤=--⎣⎦0= 因此，(,)(,)()()(,)X X X X X C s t R s t m s m t R s t =-= =()()()()()()()E X s X t E X s X t X s X s ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦ ()2()(()()()()()X E X s X t X s E X s X s s σ⎡⎤⎡⎤=-+=⎣⎦⎣⎦ 同理，当b s t a >>>时，2(,)(,)()X X X C s t R s t t σ==于是 ()2(,)(,)min(,)X X X C s t R s t s t σ== 2.5.3 独立平稳增量过程（independent stationary incremental process ）定义2.9 给定随机序列{,1}n X n ≥，如果随机变量12,,X X 相互独立，那么随机序列{,1}n X n ≥为独立过程（或独立随机序列）.在例2.1中，如果骰子每次出现的点数是相互独立的，那么得到一个独立随机过程.值得注意的是，就物理意义来说，连续参数独立过程是不存在的，因为，当1t 和2t 很接近时，我们完全有理由说1()X t 和2()X t 有一定的依赖关系，因此，连续参数独立过程只是理想化的随机过程.定义2.10 设随机过程{(),}X t t T ∈，若对任意正整数n 和12n t t t T <<<∈ ，随机变量21321()(),()(),,()()n n X t X t X t X t X t X t ----相互独立，则称随机过程{(),}X t t T ∈为独立增量过程.同独立过程一样，独立增量过程中的参数集T 可以是离散的，也可以是连续的.独立增量过程的直观含义是：随机过程{(),}X t t T ∈在各个不相重叠的时间间隔上状态的增量是相互独立的.在实际应用中，某服务系统在某时间间隔的“顾客”数，电话传呼站的“电话”次数等都可用这种过程来描述.正交增量过程与独立增量过程都是根据不相重叠的时间间隔上增量的统计相依性来定义的，前者增量是不相关，后者增量是独立的.显然，正交增量过程不一定是独立增量过程；而独立增量过程只有在二阶矩存在，且均值为零的条件下才是正交增量过程.定理2.2 设二阶矩过程{(),}X t t T ∈是独立增量过程，若[,),()0T a X a =+∞=，则{(),}X t t T ∈的协方差函数为()2(,)min{,},,X X C s t s t s t a σ=≥. 证明假设s t <，由()()(),()()()X s X s X a X t X t X a =-=-相互独立性， ()()(,)(),()(),[()()()]X C s t Cov X s X t Cov X s X t X s X s ==-+()()(),()()(),()Cov X s X t X s Cov X s X s =-+2()()X DX s s σ==定义2.11 设随机过程{(),}X t t T ∈，对于任意,,,s t T s t T ττ∈++∈，增量()()X s X s τ+-与()()X t X t τ+-服从相同的分布，则称{(),}X t t T ∈为平稳增量过程.平稳增量过程的直观含义是：随机过程{(),}X t t T ∈在时间间隔(,]t t τ+上状态的增量()()X t X t τ+-仅仅依赖终点和起点的时间差τ，与时间起点无关.如果一个独立增量过程同时又是平稳增量过程，则称它为平稳独立增量过程.平稳独立增量过程是一种很重要的随机过程，后面将反复提到.定理2.3 设随机序列{,0}n X n ≥，且00X =（1）{,0}n X n ≥是独立增量过程的充要条件是n X 可以表示为独立随机变量序列的部分和(1)n ≥；（2）{,0}n X n ≥是平稳独立增量过程的充要条件是n X 可以表示为独立同分布随机变量序列的部分和(1)n ≥.证明充分性由定义直接得到，下面证明必要性.令随机变量 1,1n n n U X X n -=-≥，则1,1nn ii X U n ==≥ （1）{,0}n X n ≥是独立增量随机过程，对任意n ,增量12,,,n U U U 相互独立，因此，12,,U U 是独立随机变量序列；（2）{,0}n X n ≥是平稳独立增量过程时，对任意,m n ，增量,m n U U 同分布，因此，12,,U U 是独立同分布随机变量序列.2.5.4 维纳过程（W i e n e r process ）在概率论中我们都知道，正态分布是一种十分重要的分布，正态过程在随机过程中的地位类似于正态随机变量在概率论中的地位，尤其在电讯技术中，正态过程有着十分广泛的应用.定义2.12 设随机过程{(),}X t t T ∈，对任意正整数n 和12,,,,n t t t T ∈()12(),(),,()n X t X t X t 是n 维正态分布，即有密度函数2121211()exp ()()(2)||2n f x x B x B μμπ-⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭其中()1212(,,,),(),(),,()T T n n x x x x EX t EX t EX t μ== ，()ij n n B b ⨯=为正定矩阵，{[()()][()()]}ij i i j j b E X t EX t X t EX t =--.则称{(),}X t t T ∈为正态过程或Gauss 过程.19世纪英国植物学家布朗(Brown )发现，浸在水中的微小花粉粒子，受到作不规则运动的水分子的随机碰撞在水面上做不规则的运动，后来，人们把这种运动称为布朗运动.爱因斯坦（Einstein ）于1905年第一次给出它的物理解释.1918年，控制论创始人维纳（Wiener ）首先对这个随机过程进行了严格的数学论证，奠定了研究这类随机过程的基础.定义2.13 设随机过程{(),}X t t T ∈满足下列条件：（1）(0)0X =；（2）()X t 是独立增量过程；（3）对任意0s t ≤<，增量()2()()0,()X t X s N t s σ-⋅- ，其中，常数20σ>，则称随机过程{(),}X t t T ∈为参数为2σ的Wiener 过程.从定义可以看出，Wiener 过程的参数集[0,)T =∞，状态空间(,)I =-∞+∞，而且Wiener 过程也是平稳增量过程，因此，Wiener 过程是平稳独立增量过程，另外，当s t ≥时，2()()(0,||)X t X s N t s σ-- 依然成立，特别地，当21σ=时，随机过程{(),}X t t T ∈为标准Wiener 过程.定理2.4设随机过程{(),}X t t T ∈为参数为2σ的Wiener 过程.则（1） Wiener 过程是一个正态过程；（2） 22()0,()X X m t t t σσ==； 0t > 且 2121212(,)(,)min(,),X X R t t C t t t t σ==⋅ 12,0t t ≥ （2.10）证明：（2）()()[()(0)]0X m t EX t E X t X ==-=当12t t <时，1212(,)[()()]X R t t E X t X t =1211[()(0)][()()()(0)]E X t X X t X t X t X =--+-21211[()(0)][()()][()(0)]E X t X X t X t E X t X =--+-21t σ=当12t t >时，同样可以得到2122(,)X R t t t σ=因此 21212(,)min(,)X R t t t t σ=例 2.9 设随机过程{(),}X t t T ∈为参数为4的Wiener 过程，定义随机过程()2(3),0Y t X t t =>，则有()Y t 的均值函数为： ()()2(3)0Y m t EY t EX t ===；()Y t 的相关函数为：121212(,)()()4(3)(Y R t t EY t Y t EX t X t ==12121644min(3,min(,)3t t t t =⨯= 2.5.5 泊松过程（Poisson process ）在现实世界中有很多例子，例如：盖格记数器上的粒子数，二次大战时，伦敦空袭的弹着点，电话总机所接听的呼唤次数，交通流中事故数，某地区地震发生次数等.这类过程有如下两个性质：一是时间和空间上的均匀性，二是未来的变化与过去的变化没有关系，为了描述这类过程的特性，我们来建立Poisson 过程的模型.定义2.14 给定随机过程{(),0}N t t ≥，如果()N t 表示时间段[0,]t 出现的质点数，状态空间{0,1,2,}I = ，且满足（1）(0)0N =；（2）当s t <时，()()N s N t ≤，则称{(),0}N t t ≥为记数过程（counting process ）.记数过程的样本函数是单调不减的右连续函数（阶梯函数），当跳跃度为1时，称为简单记数过程.简单记数过程表示同一时刻至多出现一个的记数过程.记数的对象不仅仅是电话呼叫次数、来到商店的顾客数，也可表示质点流. 记数过程是时间连续状态离散的随机过程.定义2.15 设随机过程{(),0}N t t ≥是记数过程，如果()N t 满足条件：（1）(0)0N =；（2）()N t 是独立增量过程；（3）对任意0a ≥，0t >，区间(,]a a t +（0a =是应理解为[0,]t ）上的增量()()N a t N a +-服从参数为t λ的Poisson 分布，即(){()()},0,1,2,!kt t P N a t N a k e k k λλ-+-=== （2.11）则，称{(),0}N t t ≥为参数为λ的泊松过程（Poisson process ）.0λ>条件（3）表明，()()N a t N a +-的分布只依赖时间t 而与时间起点a 无关，因此，Poisson 过程具有平稳增量性，当0a =时，(){()},0,1,2,,0!kt t P N t k e k k λλλ-===> 因此，Poisson 过程的均值函数为()()N m t EN t t λ==，它表明在时间段[0,]t 出现的平均次数为t λ，λ称为Poisson 过程的强度. 因此，Poisson 过程表明前后时间的独立性和时间上的均匀性，强度λ描述了随机时间发生的频率.有关Poisson 过程的更多结果，后面将进一步论述.2.5.6 马尔可夫过程（Markov process ）定义 2.16 设随机过程{(),}X t t T ∈，对于任意正整数n 及12,n t t t <<< 1111{(),,()}0n n P X t x X t x --==> ，且条件分布1111{()|(),,()}n n n n P X t x X t x X t x --≤== 11{()|()}0n n n n P X t x X t x --=≤=> 则称{(),}X t t T ∈为马尔可夫过程（Markov process ）.定义中给出的性质称为马尔可夫性，或称无后效性，它表明若已知系统“现在”的状态，则系统“未来”所处状态的概率规律性就已确定，而不管系统“过去”的状态如何.也就是说，系统在现在所处状态的条件下，它将来的状态与过去的状态无关.Markov 过程{(),}X t t T ∈的状态空间和参数集可以是连续的，也可以是离散的.有关Markov 过程的进一步讨论，我们将在第四章进行.2. 5.7 鞅过程（martingale process ）最近几十年才迅速发展起来的现代鞅（过程）论是概率论的一个重要分支，它给随机过程论、随机微分方程等提供了基本工具.定义2.17 设参数集{0,1,2,}T = ，如果随机序列{(),0}X n n ≥对任意0,n ≥，且|()|E X n <∞，若[](1)|(1),(2),,()()E X n X X X n X n += （2.12）则称{(),0}X n n ≥为离散参数鞅（discrete parameter martingale ）.定义 2.15 设参数集[0,)T =∞，如果随机过程{(),}X t t T ∈对任意|()|,E X t t T <∞∈，若[()|(),](),,..E X s X u u t X t s t a s ≤=> （2.13）则称{(),}X t t T ∈为连续参数鞅（continuous parameter martingale ）.上式中，如果将“=”换成“≤”或“≥”，则分别称为离散参数（连续参数）上（或下）鞅.鞅是用条件期望来定义的，关于离散时间鞅，我们可以作下面的直观解释：设()X n 表示赌徒在第n 次赌博时的资本，(1)X 表示最初赌本（这是一常数）而()X n (2)n ≥由于赌博的输和赢是一个随机变量，如果赌博是公平的，那么每次他的资本增益的期望为零，在以后的赌博中，他资本的期望值还是他最近一次赌完的资本数()X n ，用数学模型表示，就是定义中的等式，因此，鞅表示一种“公平”的赌博，上鞅和下鞅表示一方赢利的赌博.例 2.8 设{(),0}Y n n ≥相互独立的随机变量序列，(0)0,Y = 且|()|,E Y n <∞ ()0,0EY n n =≥，令1(0)0,()(),1ni X X n Y i n ===≥∑，则{(),0}X n n ≥是鞅.证明因为11|()||()||()|n ni i E X n E Y i Y i ===≤<∞∑∑，且[(1)|(0),(1),,()][()(1)|(0),(1),,()]E X n X X X n E X n Y n X X X n +=++[()|(0),(1),,()][(1)|(0),(1),,()]E X n X X X n E Y n X X X n =++()[(1)]()X n E Y n X n =++=定理2.5 设{(),0}X t t ≥是Wiener 过程，则它是鞅.证明：对于任意0s t <<，由独立增量性得 [()()|()][()()]0E X t X s X s E X t X s -=-=因此，对于任意参数01,,,,n t t t t ，01(0)n t t t t =<<<< 有[()|(),0][()()()|(),0]i n n i E X t X t i n E X t X t X t X t i n ≤≤=-+≤≤[()()]()()n n n E X t X t X t X t =-+=习题二2.1 设随机变量Y 具有概率密度()f y ,令(),(0,0)Yt X t e t Y -=>>,求随机过程()X t 的一维概率密度及12(),(,)X EX t R t t .2.2 设随机过程()cos()sin()X t A t B t ωω=+,其中ω为常数,,A B 是相互独立且服从正态2(0,)N σ的随机变量,求随机过程的均值和相关函数.2.3 随机过程()X t 的均值函数()X m t 和协方差函数12(,),()X C t t t ϕ为普通函数,令()()()Y t X t t ϕ=+,求随机过程()Y t 的均值和相关函数.2.4 设随机过程2()X t X Yt Zt =++,其中,,X Y Z 是相互独立的随机变量,且均值为0,方差为1,求随机过程()X t 的协方差函数.2.5 设()f t 是一个周期为T 的周期函数,随机变量Y 在(0,)T 上均匀分布,令()()X t f t Y =-,证明：随机过程()X t 满足 01[()()]()()T E X t X t f t f t dt T ττ+=+⎰ 2.6 设随机过程()X t 和()Y t 的互协方差函数为12(,)XY C t t ,证明1212|(,)|()()XY X Y C t t t t σσ≤2.7 设{(),0}X t t ≥是实正交增量过程,(0)0,X V =是标准正态随机变量,对任意的0t ≥,()X t 与V 相互独立,令()()Y t X t V =+,求随机过程{(),0}Y t t ≥的协方差函数.2.8 设,Y Z 是独立同分布随机变量,12{1}{1}P Y P Y ===-=, ()cos()sin(),X t Y t Z t θθ=+t -∞<<∞,其中θ为常数,证明：随机过程()X t 是广义平稳过程，但不是严平稳过程.。

第二章、随机过程的基本概念

{V (t),t 0}。 1、设已给概率空间(, F, P)及参数集T (,),则称
{X (,t), ,t T},
2020年5月6日星期三
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随机过程(西电版) 2.1 随机过程的定义
第2章随机过程的基本概念
为该概率空间上的随机过程，简记为 {X (t),t T}。
随机过程(西电版)
2.4 复随机过程
第2章随机过程的基本概念
设 {X (t),t T},{Y (t),t T}为两个实随机过程,则称
{Z(t) X (t) iY(t),t T}
为复随机过程.
1、复随机过程的数字特征设复随机过程 {Z (t),t T} 称
(1)均值函数为 mZ (t) E[Z (t)] mX (t) imY (t);
x2
P
A
x1,
A 2
x2
PA x1, A 2x2
3•
x1 2x2
2•
P( P(
A A
x1), x1 2x2 ), x1
2
x2 2x2
1•
•
•
•
1 23
x1
0,
x1
2x2 ,
x1
1或x1
2x2 ,
x2
1 2
F
0,
3
;
x1,
x2
1 3
,
x1
2x2,1
x1
2或x1
2x2 ,
0,
3
;
x1,
x2
.
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随机过程2(西.电2版随) 机过程的有限维分布函数族第2章随机过程的基本概念

第二章随机过程基本概念.

(1若有的一维密度函数。
为称使可积
}: ({ , ( , ( , (, 0 , (1111T t t X t x f dx
t x f t x F t x f x
Î=³ò¥-(2若有的一维概率分布。
为称满足}: ({}{1
, 0} ({T t t X p p
p p x t X P k k k k k
k Î=³==å
¥¥-k k iux X k k iux X p e
u t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k , ( (( ( 2 , ( , ( , ( (111jj则有分布列若(,则
有密度若(
有时也需要利用常用的一些特征函数来求随机变量的分布函数,由特征函数与分布函数的一一对应性有:
cos(
(Q
+
=t
a
t
X w
的均值函数,方差函数和自相关函数。其中, a , w为常数, Q是在(0, 2p上均匀分布的随机变量。例4试求随机相位余弦波
2随机过程的特征函数
的一维特征函数。
为称为随机变量,记
由于给定( , ( ( ( , ( (, ( (t X u t u e
E u t t X T t X t X t iuX X jjjÙ==Îåò====
为X (t的有限维分布函数族。
为随机过程的n维分布函数。称关于随机过程X (t的所有有限维分布函数的集合
注意:随机过程的n维分布函数描述了随机过程在任意n不同时刻的状态之间的联系。
随机过程X (t的有限维分布函数族的意义何在?随机过程的n维分布函数(或概率密度能够近似地描述随机过程的统计特性,而且, n越大,则n维分布函数越趋完善地描述随机过程的统计特性。

随机过程知识点

第一章：预备知识§1.1 概率空间随机试验，样本空间记为Ω。

定义1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。

如果（1）∈ΩF ；（2）∈A 若F ，∈Ω=A A \则F ；（3）若∈n A F ，，，21=n ，则∞=∈1n nAF ；则称F 为-σ代数(Borel 域)。

(Ω,F )称为可测空间，F 中的元素称为事件。

由定义易知： .216\,,)5)4(111F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈∅∞=== ，，则，，，）若（；则若（；定义1.2 设(Ω,F )是可测空间，P(·)是定义在F 上的实值函数。

如果()()()()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∅=⋂≠=Ω≤≤∈1121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有时，当）对两两互不相容事件（；）（；任意则称P 是()F ,Ω上的概率，（P F ，，Ω）称为概率空间，P(A)为事件A 的概率。

定义1.3 设（P F ，，Ω）是概率空间，F G ⊂，如果对任意G A A A n ∈,,,21 ，,2,1=n 有： (),11∏===⎪⎪⎭⎫⎝⎛ni i n i i A P A P则称G 为独立事件族。

§1.2 随机变量及其分布随机变量X ，分布函数)(x F ，n 维随机变量或n 维随机向量，联合分布函数，{}T t X t ∈,是独立的。

§1.3随机变量的数字特征定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，若⎰∞∞-∞<)(||x dF x ，则称)(X E ＝⎰∞∞-)(x xdF为X 的数学期望或均值。

上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。

方差，()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差，而 DYDX B XYXY =ρ为X 、Y 的相关系数。

第二章随机过程

• 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。 • 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过
程孤立的时间点上的统计特性。 • 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反
映随机过程的起伏程度, 故采用两时刻或更多时刻状态的相关性去描述起伏程度。
4.自相关函数
设和
分别是随机过程在时刻
和的状态，称它们的二阶原点混合矩
统计特性也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、均方值、方差等； 2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数； 3.频率域描述: 功率谱密度函数、互功率谱密度函数；
2.2.1.随机过程的概率分布
随机过程 , 在任意固定时刻 , 都是随机变量。随机事件:
发生概率:
1.一维分布函数
与和都有直接的关系，是二元函数，记为：
7、当平稳随机过程含有均值 , 那它的自相关函数也将会含有一个常数项。
8、平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在整个频率轴上是非负的，即
且对于所有都成立。注: 即不含有阶跃函数的因子，如: 平顶、垂
直边或幅度上的任何不连续。
用平稳过程的自相关函数表示数字特征: (1).数学期望
(2) 均方值 (3) 方差 (4).协方差
• 随机过程具有以下四种含义：
1.若和在发生变一族时间函数，或化一，族则随随机机变过量程，是构成了随机过程的完整概念； 2.若和都固定，则随机过程是一个确定值；
3.若取固定值，则随机过程是一个确定的时间函数，即样本函数,对应于某次试验的结果；
4.若取固定值，则随机过程是一个随机变量；
图随机过程数字特征
例2-14.设随机过程的自相关函数为
求它的均值、均方值、方差和自协函数方差。解:

随机过程随机过程的基本概念

2.2 随机过程的分类和举例
随机过程可以根据参数集 T 和状态空间 S 是离散集还是
连续集分为四大类.
1、离散参数、离散状态的随机过程这类过程的特点是参数集是离散的，同时固定t ∈T， X(t)是离散型随机变量即其取值也是离散的。

例 2.2.1（贝努利过程）考虑抛掷一颗骰子的试验，设Xn
是第n(n≥1)次抛掷的点数,对于n=1,2,…的不同值， Xn是
，它不能用一个或几个随机变量来刻画，而要用一族无穷多
个随机变量来描绘，这就是随机过程. 随机过程是概率论的继续和发展. 被认为是概率论的“动力学
”部分. 它的研究对象是随时间演变的随机现象.
事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t 的确定的函数来加以描述. 对事物变化的全过程进行一次观察得到的结果是一个时间t 的函数，但对同一事物的变化过程独立地重复进行多次观察所得的结果是不同的，而且每次观察之前不能预知试验结果.
(3) 当 t
的分布函数为
1, x 0 F ( x) X( ) 0, x 0 2
第2章随机过程的基本概念
2.1 随机过程的定义 2.2 随机过程的分类和举例 2.3 随机过程的有限维分布函数族 2.4 随机过程的数字特征 2.5 两个随机过程的联合分布和数字特征 2.6 复随机过程 2.7 几类重要的随机过程
“电压—时间函数”是不可能预先确知的，只有通过测量
才能得到. 如果在相同的条件下独立地再进行一次测量，则得到的记录是不同的.
2.1 随机过程的定义
所谓一族随机变量，首先是随机变量，从而是该试验样
本空间上的函数；其次形成一族，因而它还取决于另一
个变量，即还是另一参数集上的函数. 所以，随机过程就是一族二元函数. 定义2.1.1 设(Ω, F , P)是一个概率空间，T 是一个实的参数集，定义在Ω 和T 上的二元函数 X(ω,t)，如果对于任

随机信号分析第二章随机信号概论

C XY (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{Y (t 2 ) mY (t 2 )}]

[x m
X
(t1)][ y mY (t 2 )] p XY ( x, y; t1 , t 2 )dxdy
且有 C
XY (t1 , t 2 )
（2）如果X(t)和Y(t)的互协方差函数CXY(t1,t2)=0,我们称他们互不相关的.并有 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) （3）若两个过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即对任意t1,t2有RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=0, 则称两个过程正交。
2 X (t ) D[ X (t )] D[V sin w0t ] sin 2 w0tD[V ] sin 2 w0t
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[V sin w0t1 V sin w0t 2 ]
.
sin w0t1. sin w0t 2 E[V 2 ] sin w0t1. sin w0t 2 C X (t1 , t 2 ) E[( X (t1 ) m X (t1 ))(X (t 2 ) m X (t 2 ))] E[ X (t1 ) X (t 2 )] RX (t1 , t 2 ) sin w0t1. sin w0t 2
FX ( x1 , t1 ) p X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.

二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函数

随机过程课件-第二章

例题2.8：
设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值
函数和相关函数。
14复Βιβλιοθήκη 机过程定义：设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
Zt X t iYt
其中 i 1 ，则称{Zt, t∈T}为复随机过程。复随机过程的数字特征函数
Ft1,,tn (x1, x2 ,, xn ) P{X (t1) x1, X (tn ) xn}
这些分布函数的全体
F {Ft1,tn (x1, x2 , xn ),t1, t2 ,, tn T , n 1}
称为XT={Xt,t ∈T}的有限维分布函数。
10
数字特征
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意t∈T，EX(t)存在，则称函数
def
mx (t) EX (t), t T
为XT的均值函数，反映随机过程在时刻t的平均值。
若对任意t∈T，E(X(t))2存在，则称XT为二阶矩过程，而称
def
BX (s,t) E[{X (s) mX (s)}{X (t) mX (t)}], s,t T
为XT的协方差函数，反映随机过程在时刻t和s时的线性相关程度。
随机过程{X(t,e),t ∈T}可以认为是一个二元函数。对固定的t，X(t,e)是（Ω,F,P）上的随机变量；对固定的e， X(t,e)是随机过程{X(t,e),t ∈T}的一个样本函数。
5
X(t)通常表示为在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间。
通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机过程的类型。

第二章随机过程的基本概念

（4）连续参数，连续状态的随机过程
二、有限维分布族：定义：对于任意的t1 , t 2 , , t n T ,
F ( x1, x2 , , xn ; t1, t2 , , tn ) P X (t1) x1, , X (tn ) xn
称为随机过程X (t) 的n 维分布函数. 定义随机过程X(t) 的 n 维分布密度
而 0 ，若 t 从 0 变到，时刻 t 来到的
呼叫次数需用一族随机变量 X (t),t [0,) 表示，X(t)是一个随机过程.
对电话交换站作一次观察 E 可得到一条表示 t 以前来到的呼唤曲线 x1(t) ，它为非降的阶
梯曲线，在有呼唤来到的时刻阶跃地增加，（假定在任一呼唤来到的时刻不可能来到多于一次呼唤）.
程 X (t,) 在时刻t 的状态或截口. 若固定，它
是 t 的函数，称为随机过程的样本函数或样本曲线，亦称之为现实（曲线）.
Remark：①上述定义中样本空间通常可理
解为样本函数的全体，而每一条样本曲线作为一个基本事件；例3：样本曲线 x i (t )
作为i(i 1,2,,n,) 改写为 X(t,i) ；全体样本函数x(t) 构成样本空间，即X(t,) 全体构成样本空间当 i 时，X(t,i) 即为 xi(t),i 1,2
的结果是一个随机过程，可用一族相互独立 r v X 1 ，X2，或 Xn,n 1表示.
，
Xn
0
n
n
0
……
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8Hale Waihona Puke 910例2．当 t(t 0)固定时，电话交换站在 [ 0 , t ] 时间内来到的呼叫次数是 r v ，记X (t ) ，X(t) P(t) ，其中是单位时间内平均来到的呼叫次数，

第2章 1.1 随机过程定义与分布族

随机过程第二章

随机过程-第二章 随机过程

随机过程知识点汇总3

第2讲 第二章随机过程的概念

随机过程课程第二章 随机过程的基本概念

随机过程随机过程的基本概念ppt课件

第二章随机过程的基本概念

第二章 随机过程基本概念

随机过程 第2章 随机过程的概念与基本类型

第二章 随机过程的概念和类型

第二章、随机过程的基本概念

第二章随机过程基本概念.

随机过程知识点

第二章 随机过程

随机过程随机过程的基本概念

随机信号分析 第二章随机信号概论

随机过程课件-第二章

第二章随机过程的基本概念

随机过程-第二章随机过程

第2讲第二章随机过程的概念

随机过程课程第二章随机过程的基本概念

第二章随机过程基本概念

随机过程第2章随机过程的概念与基本类型

第二章随机过程的概念和类型

第二章随机过程

随机信号分析第二章随机信号概论