最新随机过程练习(第二章)
随机过程第二章
4、有限维分布族
定义：设
X t ; t T 为一个 S .P. ，其有限
维分布函数的全体（一维分布函数，二维分布函
数，n维分布函数）。
F Ft1 ,t2 ,,tn x1, x2 ,, xn ; xi R，ti T，n N, i 1,2,, n
称之为 S.P. X t 的有限维分布函数。
2、特点：
独立增量过程在零均值且二阶矩存在时，是正交增量过程。 注：独立增量过程在现实环境中大量存在（例2.10）
3、平稳独立增量过程（定义 2.8）
增量 X(t)-X(s) 的分布律仅依赖于区间长度t-s。(第三章) （三）马尔可夫过程（第四、五章） （四）正态过程 1、定义 2.10： X(t)的有限维分布律是n维正态随机向量的分布律. 2、特点： ①二阶矩过程 ②数字特征成为其参数。
状态空间：S .P. X t 的状态所有可能取值的 集合，称之为状态空间。
小结：
X e, t 是状态与参数的二元函数
若 若
e
t
确定 确定
X e, t 是时间函数
X e, t 是随机变量
是一个确定值 是随机过程 S .P.
r.v.
若 e, t 确定 若 e, t 不定
随机过程的分类
一维正态过程分布律：
X (t ) ~ N u(t ),
2 2
2
(t )
二维正态过程分布律：
X (t1 ), X (t2 ) ~ N u(t1 ),u(t2 ),
这里有5个参数。 其中 1
(t1 ), (t2 ), (t1 , t2 )
(t1 , t2 ) 1 为相关系数或归一化协方差函数
2随机过程(上课用)
xf ( x ) dx
n
[x
i 1
i
a ] P ( xi )
2
( x a ) f ( x ) dx
2
第二章 随机过程
3、随机变量的数字特征(续)
（3）相关函数
无论是离散的还是连续的随机变量，两个随机
变量的相关函数统一定义为
R ( 1 , 2 ) E [ 1 2 ]
第二章 随机过程
一维概率分布函数和密度函数
因为随机过程在任一时刻对应1个随机变量
把随机过程在时刻
则该随机过程在时刻 F1 ( x , t 1 ) P [ ( t 1 ) x ]
t 1 对应随机变量记为
t 1的一维概率分布函数定
( t1 )
义为
其一维概率密度函数定
义为 f 1 ( x , t 1 )
(t ) 都是是连续的随机变量
xf 1 ( x , t ) dx
第二章 随机过程
2、随机过程的方差
同理，随机过程的方差也是一个关于时间 的函数，可由下式计算
( t ) D [ ( t )]
2
E {[ ( t ) a ( t )] }
2
若每个时刻对应的 则 (t )
T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
1 T
T
li m
T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
第二章 随机过程
二、能量谱密度和功率谱密度
能量信号f(t)的能量谱密度E(ω)
随机过程-习题-第2章
2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<< 121。
试证明：)/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。
证明：首先，由条件概率的定义式得),,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++=根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得)()()/()()/()/()()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++==n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n于是，)/()(),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++==n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。
随机过程第二章作业及参考答案
第二章 平稳过程2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。
试证 （1）若t T ∈，而{}12T = ，，，则(){}12X t t = ，，，是平稳过程； （2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
证明：由题意，U 的分布密度为：()10220u f u ππ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其它数学期望()()[]sin X m t E X t E Ut ==⎡⎤⎣⎦()()2220001111sin sin cos cos 212222ut du ut d ut ut t t t t ππππππππ=⋅==-=--⎰⎰.相关函数()()()()()sin sin X X R R t t E X t X t E Ut U t ττττ=+=+=⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()2200111sin sin cos 2cos 222ut u t du ut u u du ππτττππ⎛⎫=⋅+⋅=⋅-+--⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰ ()()2220001111cos 2cos sin 2sin 442u t u du u t u t πππττττππττ⎡⎤=-+-=-+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦⎰()()11sin 22sin 2424t t πτπτπτπτ=-+++.（1）若t T ∈，而{}12T = ，，时，()0X m t =，()X R τ只与τ有关，二者均与t 无关，因此，(){}12X t t = ，，，是平稳过程。
（2）若t T ∈，而[)0T =+∞，时，()X m t 可能取到不是常数的值，所取到的值与t 有关，()X R τ取到的值也与t 有关，因此，(){}0X t t ≥，不是平稳过程。
3. 设随机过程()()0cos X t A t ωΦ=+，t -∞<<+∞其中0ω是常数，A 和Φ是独立随机变量。
随机过程第二章期末练习题
应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
<答案> X(t)的均值和相关函数都具有各态历经性 7、平稳过程 X(t)=u sin(ω t+ Φ)是否具有各态历经性？ m 0 <答案>具有各态历经性
计算题
1、已知随机过程 X(t)和 Y(t)的功率谱密度为
分别求 X ( t ) 和 Y ( t ) 的自相关函数和均方值。 2、随机过程 X ( t ) 定义为 X ( t ) = f ( t + ε ) ，其中 f ( t ) 是具有周期 T 的周期信号，ε是在 区间[0，T]内均匀分布的随机变量。证明 X ( t ) 是平稳随机过程。 （提示：利用周期函数的性 质 ）
3
1
应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
2 2 机变量序列，已知 E[X (k)]=0， E[X (k)] = σ 。则 X(t)既是广义平稳随机过程， X 又是狭义平稳随机过程。 （V）
填空题
1、自然界的信号通常可以分两大类：＿＿＿＿信号和＿＿＿＿信号。 2、随机过程 X(t)的一维分布函数取决于＿＿＿＿和＿＿＿＿。 3、随机过程的数学期望表示＿＿＿＿。 4、随机过程的方差描述了＿＿＿＿。 5、自相关函数反映了＿＿＿＿。 6、＿＿＿＿、＿＿＿＿与＿＿＿＿是刻画随机过程在某个孤立时刻状态的数字特征， 而＿＿＿＿和＿＿＿＿则是刻画随机过程自身在两个不同时刻状态之间的线性依从关系的 数字特征。 7、对于均值为 mX 、相关函数为 RX ( ) 的各态经历随机过程的任意样本函数 x(t ) ，必 有： lim
1 T 2T
T
T
《随机过程答案》第二章习题答案
第二章Markov 过程习题完整答案，请搜淘宝1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
2、 天气预拨模型如下：今日是否下雨依赖于前三天是否有雨（即一连三天有雨；前两天有雨，第三天是晴天；…），试将此问题归纳为马尔可夫链，并确定其状态空间。
如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率是0.8；过去三天连续为晴天，而今天有雨的概率为0.2；在其它天气情况时，今日的天气和昨日相同的概率为0.6。
试求此马氏链的转移概率矩阵。
3、 设}0;{≥n X n 是一齐次马氏链，状态空间为}2,1,0{=S ，它的初始状态的概率分布为：4/1}0{0==X P ，2/1}1{0==X P ，4/1}2{0==X P ，它的一步转移转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4341031313104341P （1） 计算概率：}1,1,0{210===X X X P ； （2） 计算)3(12)2(01,p p 。
4、 独立地连续抛掷一颗质地均匀的骰子，以n ξ表示前n 次抛掷出的最大点数，试证明}1;{≥n n ξ是一马氏链，并求其n 步转移概率矩阵。
5、 设有一个三个状态}2,1,0{=S 的齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33221100p q q p q p P 试求：（1） )3(01)2(01)1(01)3(00)2(00)1(00,,,,,f f f f f f ； （2） 确定状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。
南京大学随机过程练习题附中文解释及答案
8、(3.8)An unbiased die is successively rolled. Let X and Y denote, respectively, the number of rolls necessary to obtain a six and a five. Find (a) E[X], (b) E[X|Y=1] 相继地掷一颗不均匀的骰子。令 X 和 Y 分别记得到一个 6 和一个 5 所必须的抛 掷次数。求（a）E[X]，（b）E[X|Y=1]。 重要：E[E[X|Y]]=E[X]
3、(4.32) Each of two switches is either on or off during a day. On day n, each switch will independently be on with probability [1+#of on switches during day n-1]/4. For instance, if both switches are on during day n-1, then each will independently be on during day n with probability3/4. What fraction of days are both switches on? What fractions are both off? 在一天中两个开关或者开或者关。在第 n 天，每个开关独立地处于开的概率是[1+ 第 n-1 天是开的开关数]/4。例如，如果在第 n-1 天两个开关都是开的，那么在第 n 天，每个开关独立地处于开的概率是 3/4。问两个开关都是开的天数的比例是 多少？两个开关都是关的天数的比例是多少？
《随机过程》第二章补充习题
1、 设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其初始分布为),,,,()0(43210p p p p p =π一步转移矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000000000000000001p q p q p qP 试回答以下问题： （1） 求出该马氏链进入各常返类的概率；（2） 求出该马氏链平均多长时间进入常返类集；（3） 计算：nn P ∞→lim 。
2、 （网球比赛）：网球一局比赛在两个选手（发球者和接发球者）之间进行，网球的记分制是：15、30、40、和60分。
平分是指第五球后双方分数相同。
平分后，从第六球开始，如果发球者得分/失分，则此时发球者占先/接发球者占先。
如果发球者在发球占先后再得分，则发球者赢得该局。
如果接发球者在接发球后占先后再得分，则接发球者赢得该局。
若发球者发一球获胜的概率为p ，输的概率为q ，1=+q p ，试回答以下问题：（1） 试用马氏链建模网球一局比赛过程，确定其状态，画出状态转移图；（2） 分析各状态的性质；（3） 试确定一局网球比赛发球者获胜的概率；（4） 试确定一局比赛平均需要发几个球才能结束。
3、 设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其一步转移概率为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/10004/14/104/14/1002/12/10004/34/1000001P 试回答以下问题：（1） 研究此马氏链的状态性质，并对各状态进行分类；（2） 针对状态1和2，确定其平稳分布；（3） 若i 和j 是非常返状态，试求ii f 、ij f 、ji f 和jj f ；（4） 假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，试求该链进入常返状态集的期望步数；（5） 假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，求出该马氏链进入各常返类的概率；（6） 计算：}12{35==X X P ；（7） 计算：nn P ∞→lim 。
最新西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx随机过程习题解答第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即:(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ 0()k jtkk p q e∞==∑ ＝0()1jtkjt k pp qe qe ∞==-∑ 又20()kk k k q qE X kpq p kq pp p∞∞======∑∑ 222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑)令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 100()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰22201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰)2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。
随机过程第2章 平稳过程与二阶矩过程
2.1 相关函数
{
{
{
对于宽平稳过程 X (t )而言，其平均值定义为 η = E { X ( t )} = η x 其中 E ( X )表示对随机变量X取均值。 互相关函数为 R(τ ) = E{X(t +τ )X * (t)}= Rx (τ ) = Rxx(τ ) * 表示取共轭运算。 (τ ) 显然， R(−τ ) = R *。 若X(t) 是实的宽平稳过程，则R(τ)为偶函数。
R xy (t1 , t 2 ) = E ( X (t1 )Y (t 2 )) = R (t1 , t 2 + a ) − R (t1 , t 2 )
R yy (t1 , t 2 ) = E (Y (t1 )Y (t 2 )) = R xy (t1 + a, t 2 ) − R xy (t1 , t 2 ) = R (t1 + a, t 2 + a ) − R(t1 + a, t 2 ) − R(t1 , t 2 + a ) + R(t1 , t 2 )
平稳过程与二阶矩过程
第二章 平稳过程与二阶矩过程
授课教师：樊平毅 清华大学电子工程系 2012
内容简介
{ { { { { { { { { { {
2.1 相关函数 2.2 功率谱 2.3 功率谱与时域平均 2.4 线性系统 2.5 随机连续性 2.6 随机微分(均方意义) 2.7 Taylor级数 2.8 随机微分方程 2.9 随机积分 2.10 遍历性讨论 2.11 抽样定理与随机预测
推广 应用
思考: 0 在平稳分布中的作用
0 点的重要性,
1) 2) 3) 4)
连续性, 周期性, 有界性, 极值特性,
（解答）《随机过程》第二章习题
（解答）《随机过程》第二章习题第二章 Markov 过程习题解答1、设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。
（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323=== =========?======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====?========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ?====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。
随机过程第2章习题
= x m-1 • exp{− xm xm −1} ( xm ≥ 0, xm −1 ≥ 0)
4
fξ (m)/ξ (1),ξ (2),L,ξ (m-1) ( x m /x1 , x 2 , L, x m-1 ) 只与 ξ ( m − 1) 有关，该过程是马尔可夫过程。
第7题 有三个黑球和三个白球。把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中，并把甲袋中的白球数 定义为该过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3。现每次从甲、乙两袋中各取一球，然后 相互交换，即把从甲袋取出的球放入乙袋，把从乙袋取出的球放入甲袋，经过 n 次交换，过 程的状态为 ξ ( n ), n = 1,2,3, L 。 （1）试问该过程是否为马尔可夫链； （2）计算它的一步转移概率矩阵。 解（1） ： 该过程是马尔可夫链； 解（2） ：
⎧e − x1 ( x1 ≥ 0) f ξ (1) ( x1 ) = f1 ( x1 ) = ⎨ ⎩0 (其它xi 值)
ξ (1), ξ (2), L , ξ ( m) 的 m 维联合概率密度为
⎧f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m ) ⎪ ⎪ = x1x 2 L x m-1 • exp{−( xm xm −1 + xm −1 xm − 2 + L + x2 x1 + x1 )} ⎨ ( x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L , xm ≥ 0) ⎪ ⎪f1,2,L,m (x1 ,x 2 ,L ,x m ) = 0 (其它xi 值) ⎩
= ftm+2 / tm+1 ( xm + 2 / xm +1 ) ftm+1 / tm ( xm +1 / xm ) = ftm=1 ,tm+2 / tm ( xm +1 , xm + 2 / xm )
第2章 信号与噪声(习题答案)
第二章 信号与噪声1.随机过程)cos()()(0θω+=t t m t z ，其中)(t m 是广义平稳随机过程，且自相关函数)(τm R 为：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-+=其他0101011)(τττττm Rθ是服从均匀分布的随机变量，它与)(t m 彼此统计独立。
（1） 证明)(t z 是广义平稳的； （2） 绘出自相关函数)(τz R 的波形； （3）求功率谱密度)(ωz S 及功率P 。
解：（1）先求)(t z 的数学期望)(t a ：)]cos()([)]([)(0θω+==t t m E t m E t a因为θ与)(t m 彼此统计独立，所以00)]([21)cos()]([)][cos()]([)(2000=⋅=⋅+⋅=+⋅=⎰t m E d t t m E t E t m E t a θπθωθωπ再求)(t z 的自相关函数：(θ与)(t m 彼此统计独立)τωτθπθτωωθωτθτωωτθωτπ020000000cos 21)(21)cos()cos()]()([])cos()()cos()([),(m z R d t t t m t m E t t m t t m E t t R =⋅+++⋅+=⋅++++=+⎰ 因为)(t z 的数学期望与t 无关，是常数，且自相关函数与t 无关，只与时间间隔τ有关，所以)(t z 是广义平稳的随机过程。
（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤-==其他01cos )1(21cos )(21)(00ττωττωττm z R R设T πω20=，并取21=T ，则)(τz R 的图形如下图所示。
(3) 因为功率谱密度)()(τωz z R P ⇔，所以 ⎰∞∞---++==)]2(2([41)()(0202ωωωωττωωτSa Sa d e R P j z z 功率 ⎰∞∞-==21)(21ωωπd P S z 或 21)0(==z R S设输出过程为)(0t n ，则其均值为0)0()]([)]([0=⋅=H t n E t n E i 。
《随机过程》第二章题目与答案
第二章一、填空题1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为＿＿、＿＿、＿＿、＿＿四类.2、＿＿是随机过程{X(t)，t∈T}在时刻t的平均值，＿＿是随机过程在时刻t对均值m x(t)的偏离程度，而＿＿和＿＿则反映随机过程{X(t)，t∈T}在时刻s和t 时的线性相关度.3、若随机变量x服从（01）分布，即p k=p{x=k}=,k=0,1则其特征函数g(t)=＿＿.4、若随机变量X服从参数为的指数分布，则其特征函数g(t)=＿＿.5、若随机变量X服从退化分布，即p(X=c)=1，其中c为常数，则其特征函数g(t)=＿＿.二、计算题1、已知Γ分布，X～Γ(α，β)，若其中α，β>0，试求Γ分布的特征函数.2、设随机变量X服从泊松分布,即p k=p(X=k)=,k=0,1,…,n,求其特征函数.3、设随机过程X(t)=Y+Zt，t>0,其中Y，Z是相互独立的N（0，1）随机变量，求{ X(t)，t>0}的一，二维概率密度族.4、设随机过程：0),sin()cos()(>+=t t Z t Y t X θθ，其中Y 、Z 是相互独立的随机变量，且EY=EZ=0，DY=DZ=δ2，求{X(t)，t>0}的均值函数、协方差函数和方差函数.5、设随机变量Y 具有概率密度f(y)，令)0,0(,)(>>=-Y t t X eYt，求随机过程X(t)的一维概率密度及EX(t)，R x (t 1,t 2).6、设随机过程Z t =，t 0，其中X 1,X 2,…,X n 是相互独立的，且服从N(0,)的随机变量，ω1, ω2,…, ωn 是常数，求{Z t ，t}的均值函数m(t)和相关函数R(s,t).参考答案:一、填空题1、离散参数链，连续参数链，随机序列，随机过程2、均值函数m X(t)，方差函数D X(t)，协方差函数B X(s，t)，相关函数R X(s，t)3、q+p4、5、二、解答题1、1、g(t)===其中：Γ(α)=2、g(t)= = ===3、由于X与Z是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态随机变量，要计算{X(t)，t>0}的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征m x(t)，D X(t)，即可. m x(t)=E(Y+Zt)=EY+tEZ=0，D X(t)=D(Y+Zt)=DY+t2DZ=1+t2，B X(s,t)=EX(s)X(t)- m x(s) m x(t)=E(Y+Zs)(Y+Zt)=1+st，==，故随机过程{X(t)，t>0}的一、二维概率密度分别为f t(x)=exp{-}，t>0，f s,t(x1,x2)=.exp{[]}, s,t>0,其中4、由数学期望的性质)sin()cos()]sin()cos([)(=+=+=EZ t EY t t Z t Y E t EX θθθθ又因为Y 、Z 相互独立，故])cos[()()sin()sin()()cos()cos()]sin()cos()][sin()cos([)]()([),(),(σ222θθθθθθθθθs t Z E t s Y E t s t Z t Y s Z s Y E t X s X E t s t s RBxX-=+=++===DX(t)=5、有随机变量函数的概率密度公式知：X(t)的一维概率密度：0,/)/ln ()(/)()()()(>-='='=t tx t x f y x y f x y y f x fX(t)的均值函数和相关函数为：dy e y f E t EX ytYte ⎰∞--==0)()()( dy y f e eeE t X t X E t t R t t y Yt Yt x )(][)]()([),(0)(21212121⎰∞+---===6、m(t)=E(Z t )=E[]=0，R(s,t)=E(Zs )=E===。
南京大学随机过程练习题附中文解释及答案
南京⼤学随机过程练习题附中⽂解释及答案（以第九版为准）第⼆章Random Variables 随机变量1、（2.16）An airline knows that 5percent of the people making reservations on a certain flight will not show up.Consequently,their policy is to sell 52tickets for a flight that can hold only 50passengers.What is the probability that there will be a seat available for every passenger who shows up?航空公司知道预订航班的⼈有5%最终不来搭乘航班。
因此，他们的政策是对于⼀个能容纳50个旅客的航班售52张票。
问每个出现的旅客都有位置的概率是多少？答：05.0*95.0*52-95.0-15152）（）（2、(2.25略变动)Suppose that two teams are playing a series of games,each of which is independently won by team A with probability p and by team B with probability 1-p.The winner of the series is the first team to win i games.If i =4,find the probability that a total of 7games are played.Find the p that maximizes/minimizes this probability.假定两个队玩⼀系列游戏，A 队独⽴地赢的概率是p ，B 队独⽴地赢的概率是1-p 。
最新西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx随机过程习题解答第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即:(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ 0()k jtkk p q e∞==∑ ＝0()1jtkjt k pp qe qe ∞==-∑ 又20()kk k k q qE X kpq p kq pp p∞∞======∑∑ 222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑)令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 100()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰22201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰)2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数,其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布,关于参数p 具有可加性。
随机过程练习(第二章)
随机变量巩固练习―――重点：“函数的函数”相关运算 定理 1 设X 为连续型一维随机变量，其概率密度函数为()X f x ,则对于Y ＝g(X)的概率密度函数，有下列结果：（1）若g(x)是严格单调可微函数，则Y=g(X)的概率密度函数为(())'(),()0,X Y f h y h y y I f y y I ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中h(y)是y=g(x)的反函数.(2)若g(x)不是严格单调可微函数，则将g(x)在其定义与上分成若干个单调分支，在每个单调分支上应用(1)的结果得Y=g(X)的概率密度函数为1122(())'()(())'(),()0,X X Y f h y h y f h y h y y I f y y I ⎧++∈⎪=⎨∉⎪⎩其中I 是在每个单调分支上按照（1）确定的y 的取值公共部分。
练习1 设~[,],tan 22X U Y X ππ-=，试求Y 的概率密度函数()Y f y .练习2 设 随机变量X 在(0,1)区间内服从均匀分布，试求（1）XY e =的概率密度函数（2）2ln Y X =-的概率密度函数随机过程巩固练习1 设随机过程(),(0,),X t Vt b t b =+∈∞为常数，V 为服从正态分布N(0,1)的随机变量。
求：X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。
2 设随机变量Y 具有概率密度函数f(y),令(),0,0Yt X t e t Y -=>>求随机过程X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。
3 设有随机过程()cos()sin()X t A wt B Wt =+，其中w 为常数，A ，B 是相互独立的且服从正态分布2(0,)N σ的随机变量。
求随机过程的均值和相关函数。
4 已知随机过程X(t)的均值函数()X m t 和协方差函数12(,),()X B t t t ϕ为普通函数，令()()()Y t X t t ϕ=+，求随机过程Y(t)的均值和协方差函数。
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随机变量巩固练习―――重点：“函数的函数”相关运算 定理 1 设X 为连续型一维随机变量，其概率密度函数为()X f x ,则对于Y ＝g(X)的概率密度函数，有下列结果：
（1）若g(x)是严格单调可微函数，则Y=g(X)的概率密度函数为
(())'(),()0,
X Y f h y h y y I f y y I ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩
其中h(y)是y=g(x)的反函数.
(2)若g(x)不是严格单调可微函数，则将g(x)在其定义与上分成若干个单调分支，在每个单调分支上应用(1)的结果得Y=g(X)的概率密度函数为
1122(())'()(())'(),()0,
X X Y f h y h y f h y h y y I f y y I ⎧++∈⎪=⎨∉⎪⎩
其中I 是在每个单调分支上按照（1）确定的y 的取值公共部分。
练习1 设~[,],tan 22X U Y X ππ-=，试求Y 的概率密度函数()Y f y .
练习2 设 随机变量X 在(0,1)区间内服从均匀分布，试求
（1）X
Y e =的概率密度函数
（2）2ln Y X =-的概率密度函数
随机过程巩固练习
1 设随机过程(),(0,),X t Vt b t b =+∈∞为常数，V 为服从正态分布N(0,1)的随机变量。
求：X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。
2 设随机变量Y 具有概率密度函数f(y),令
(),0,0Yt X t e t Y -=>>
求随机过程X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。
3 设有随机过程()cos()sin()X t A wt B Wt =
+，其中w 为常数，A ，B 是相互独立的且服从正态分布2(0,)N σ的随机变量。
求随机过程的均值和相关函数。
4 已知随机过程X(t)的均值函数()X m t 和协方差函数12(,),()X B t t t ϕ为普通函数，令()()()Y t X t t ϕ=+，求随机过程Y(t)的均值和协方差函数。
5 设随机过程()cos()X t A wt =+Θ，其中,A w 为常数，随机变量Θ服从(,)ππ-上
的均匀分布。
令2()()Y t X t =
，求(,)Y R t t s + 6 设X(t)为实随机变量，x 为任意实数，令
1,()()0,()X t x Y t X t x ≤⎧=⎨>⎩
证明随机过程 Y(t)的均值函数和相关函数分别是X(t)的一维和二维分布函数。