布朗运动的计算机模拟代码
基于Player-Stage的分子随机运动模拟
Micr ocomputer Applica tions V ol.27,No.4,2011研究与设计微型电脑应用2011年第27卷第4期文章编号：1007-757X(2011)04-0028-02基于Player-Stage的分子随机运动模拟胡莹摘要：分子运动是典型的布朗运动，且受各种因素影响表现出个体运动速度、随机程度或熵的变化。
但传统的观测方法难以捕获快速且微小的分子运动轨迹，因而使得分子随机运动的观测和分析显得抽象。
基于Player-Stage模拟平台，通过编程模拟分子的随机运动，仿真了仿真分子的物理属性和逻辑属性，直观地展现了分子的随机运动过程。
为保证模拟的实时特性，采用了与一般的基于Player层的模拟方法不同的实现方式，即在Stage层更高效地仿真分子的物理属性；同时，基于开发的控制模块仿真分子随机运动的控制逻辑，实验分别针对50个和100个分子的随机运动给出了具体的模拟结果，实验结果很好地验证了分子运动的布朗特性。
关键词：分子随机运动；Player-Stage；软件模拟中图分类号：O56文献标志码：A0引言根据分子运动论，分子永不停息的做无规则运动[1]。
然而分子难以用肉眼观察，分子的随机运动现象显得抽象，尤其在物理学习或教学的过程中，这种抽象会对学习者造成一定困难。
随着计算机及其相关技术的普及和发展，利用计算机编程技术对物理现象进行模拟成为了一种有效手段，尤其对于分子无规则运动这样微观的物理现象，使得抽象的物理现象显得直观形象。
目前，在计算机模拟分子无规则运动方面，已经存在一些出色的工作[2][3]。
这些工作均基于编程语言C++编写，能够成功模拟几十个，上百个分子的运动。
然而，这些已有的模拟器可配置性不强，例如，如果要改变要模拟的分子的大小或分子数目时，需要重新改写源代码并重新编译模拟器。
因此，为了更方便、更容易的改变要模拟分子的个数或大小等因素，模拟器的可配置性需要被增强。
Pl ayer-St age模拟器[4]是由美国南加州大学一个机器人实验室开发，用于模拟大规模机器人节点的运动和相互协作等。
随机微分方程数值解法
f , g 均为 [ t 0 , T ]上的Borel可测函数，分别被称为漂移系数和扩散
系数。
方程(6)的积分形式为：
y( t ) y( t0 ) f ( s, y( s ))ds g( s , y( s ))dW ( s ),
t0 t0
t
t
(7)
其中的随机积分为Itó 型随机积分。 若将Itó 型随机积分替换为Stratonovich型随机积分，则(7)式 变为 t t y( t ) y( t 0 ) f ( s , y( s ))ds g( s , y( s )) dW ( s ), (8)
注：
1）布朗运动是处处连续的，并且它是处处是不可微的。直观 上来看，这意味着它的运动轨迹相当曲折。
W N (0, t ) ，即W t N (0,1), 2）对于标准布朗运动， 若记随机变量 N (0,1), 则有 W t . 形式上看，当 t 0时，如同普通微积分中的情形，有： dW dt , 由于布朗运动是处处不可微的，此处的 dW只能视为一种简单记 法。
0 t0 t1 t 2 t n t ,
令 t k t k t k 1 (1 k n), max t k ,
1 k n
若随机变量序列
X ( tk 1 )(W ( t k ) W ( t k 1 )), n 1, 2, 3
1 g f ( t , y ( t )) f ( t , y ( t )) ( t , y ( t )) g ( t , y ( t )), 2 y
在矢量情形下，令
1 m d gik f i ( t , y( t )) f i ( t , y( t )) ( t , y( t )) g jk ( t , y( t )), 2 j 1 k 1 y j
几种随机微分方程数值方法与数值模拟(李炜)
李 炜 姓名 黄樟灿 职称 教授 单位名称 理学院 姓名 单位名称 硕士 学科专业名称 职称 邮编 应用数学 邮编 学位 博士 430070
申请学位级别
论文提交日期 2006 年 10 月 论文答辩日期 2006 年 11 月 学位授予单位 武汉理工大学 学位授予日期 答辩委员会主席 评阅人
2006 年 11 月
研究生签名：_____________日期：_________
关于论文使用授权的说明
本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。
(保密的论文在解密后应遵守此规定)
研究生签名： ______________导师签名： _________________日期： ____________
武汉理工大学硕士学位论文
摘 要
随机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动化等领域，然而在 很长一段时间里， 由于缺乏有效的求解随机系统的数值方法以及足够强大的计算 机计算能力，在实际问题中，以随机微分方程(组)为代表的描述物理现象的许多 复杂的数学模型或者被束之高阁，或者被迫通过忽略随机因素而简化，均不能得 到很好的应用。可喜的是近十年来，在随机微分方程数值解方面已取得了一些成 就，这意味着由某些随机微分方程描述的数学模型可以借助于计算机进行研究。 本文首先介绍了随机微分方程的背景知识及其理论解的重要性质。 其中通过 随机积分导出了 Ito 型和 Stratonovich 型两种重要形式的随机微分方程，并给出 了计算随机积分期望的相关引理；介绍了随机微分方程强解的存在唯一性定理， 对于线性随机微分方程， 给出了解的解析表达式； 推导了解的随机 Taylor 展开式。 由于随机系统的复杂性，一般情况很难得到方程理论解的解析表达式。这样 一来，数值方法的构造显得尤为重要。现在对随机微分方程数值解的研究还处在 初级阶段。 为了构造有效的数值方法， 首先要考虑到数值方法的收敛性和稳定性。 本文介绍了随机微分方程理论解的随机渐进稳定性和均方(MS)稳定性， 同时介绍 了数值解的 MS-稳定性和 T-稳定性。 在主体部分， 本文分别通过直接截断随机 Taylor 展开式和比较理论解与随机 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式的方法分别得到了数值求解随机微分方程的 Taylor 方法和 Runge-Kutta 方法，并对具体方法进行了 MS-稳定性分析，对实际 算例进行了数值模拟。 其中显式 Euler-Mayaruma 方法和 Milstein 方法是求解 Ito 型随机微分方程的 基本方法。本文在此基础上介绍了相应的半隐式 Euler-Mayaruma 方法、Milstein 方法和隐式 Euler-Taylor 方法、Milstein 方法，并通过截断随机 Taylor 展开式的 方式推导了 1.5 阶 Taylor 方法。 在推导具体的 Runge-Kutta 方法时，本文首先介绍了 Runge-Kutta 方法在常 微分方程中的应用，形式上类比得到了随机 Runge-Kutta 方法。通过应用有根树 理论简化了 Runge-Kutta 格式的 Taylor 展开式，应用阶条件构造了 3 级显式(M2) 和 3 级半隐式(SIM1)两个具体的 Runge-Kutta 格式。 稳定性分析表明各种数值方法的隐式格式稳定性优于相应的显式格式和半 隐式格式。数值模拟表明新格式 M2 和 SIM1 与经典的 Runge-Kutta 格式(如 4 级 显式(M3)和 2 级对角隐式(DIM1))一样具有较高的数值精度。 关键词： 随机微分方程；收敛性；稳定性；Taylor 方法；Runge-Kutta 方法
物理问题的计算机模拟方法(2)—蒙特卡罗方法
第三章 随机性模拟方法—蒙特卡罗方法（MC ）§ 3.1 预备知识例：一个粒子在一个二维正方格点上跳跃运动随机行走：每一时间步上，粒子可选择跳到四个最近邻格点上的任何一个，而记不得自己来自何方；自回避行走：粒子记得自己来自什么地方，而回避同它自己的路径交叉。
随机行走的每一步的结果就是系统的一个状态，从一个状态到另一个状态的跃迁只依赖于出发的状态，这些状态形成一个序列，这就是一个马尔可夫链。
状态序列：x 0, x 1, …, x n , …已给出状态x 0, x 1, …, x n+1 的确定值，x n 出现的概率叫做条件概率 ()01,x x x -n n P 马尔可夫链的定义：如果序列x 0, x 1, …, x n , …对任何n 都有 ()()101,--=n n n n P P x x x x x 则此序列为一个马尔可夫链（或过程）。
§ 3.2 布朗动力学（BD ） 1．郎之万方程 v t R dtdvmβ-=)( 方程右边第一项为随机力，对粒子起加热作用；第二项为摩擦力，避免粒子过热。
将方程变形为：dt mvt R dt m v dv )(+-=β 于是，解可写为：])0()(11[)0( )0()(0)()(10⎰+≈⎰=---tt mt md v R m tm d ev R m ev eev t v tττββτττβ⎰+≈---t m t t md Re m ev 0)()(1)0( ττβτβ当随机力R(t)服从高斯分布时，上述方程的解描述的即为布朗运动，于是，布朗运动问题就化为在一些补充条件下求解郎之万方程，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧><=>=<>=<=+><--)( 2)()(2)0()(,0)()(222/2/12高斯分布R R B e R R P t T k R t R t R m t R m v dt dv πδββ 注：)()()(t t q t R t R '->='<δ 表示随机力R 在t 和t ’时刻没有关联, q 为噪声强度。
利用Matlab模拟布朗运动测量实验
与纯布朗运动的情况相比较
在显 微镜 下 的粒 子 跟 踪实 验 中 ， 由于 样 品池 内溶 液 的挥 发 或者热 对流等 等 原 因经 常会导 致粒 子产 生某 一方 向 的定 向运 动 ， 粒 子本 身 的 布 朗 与 运动耦 合在 一起 ， 实验误 差增 大 。 拟程序 稍加 使 模 改写 也可 模拟 这种 运 动 。 ４模 拟 了在 ｚ， 向 图 Ｙ方 上耦合 有 ０ １ ０ ２ ． ，．ａ幅度 定 向运 动 的 ＜ ＞ 一ｔ
方法再 生成 一组 随机 分布 向量 。
上 Ｕ
其 中 Ａ 一 ２ ４４× １一， 一 ２ ７８Ｃ 一 ．１ ０ Ｂ ４． ，
１０Ｔ是 开 尔 文 温 度 。 过该 式 求 得 室 温 ２ ８Ｋ ４， 通 ９ 下水 的粘 度 系数为 ８３ ５ ａＳ通 常 胶体粒 子 直 ９ ． Ｐ ． ｏ 径都 在 ｍ 量级 ， 文模拟 选取 直径 为 ２ｇ 大 小 本 ｍ
１ 。 Ｏ Ｊ・
十分吻合 。
本模 拟结果 也 可为显 微镜 下通过 粒子 跟踪 方 法测 量粒 子运 动轨迹 所需要 平 均 的粒 子个数 提供
即通过对多个这样 的布朗运动轨迹计算位移均方
差 然后 进行 统计平 均得 到 。 图 ２依次 显示 了通 过
对 １ ，０ ， ０ ０ １ ０ １０ ０和 １ ０ ００ ０个粒 子 的轨 迹 跟踪 测
据 越 来 越 接 近线 性 趋 势 ， 合 误 差 也 相 应 减 小 。 拟 当模拟 的粒 子个数 高达 １ ０ 个 以上 时 ， 拟数 ００ ０ 模 据 已几 乎 与理论预 测完 全一 致 了 。图 ３显示 了 多 次 测量 下 四种不 同个数 粒子 情况 下所得 到 的扩散
小误 差 。而计算 机模 拟可 只用 一个循 环过程 便可
应用随机过程7-布朗运动
a P{布朗运动在下降 b之前上升a} ab
作业：1. P142 1,2,4 2. 写本章小结
2010-7-30
理学院 施三支
例7.2.1 B (t ) 是布朗运动，求：(1) B (1) B ( 2) B (3) B ( 4) 的
分 布 ； (2)
1
1 1 3 B ( ) B ( ) B ( ) B (1) 的 分 布 ； (3) 4 2 4
理学院 施三支
2 P{ B (t ) dt }。 0 3 2010-7-30
2
2010-7-30
理学院 施三支
7.6
一、布朗桥
布朗运动的几种变化
定义7.6.1 设 B (t ), t 0 是一个布朗运动，令
B * (t ) B (t ) tB (1) ， 0 t 1 * * 则称随机过程 B {B (t ),0 t 1} 为布朗桥(Brown Bridge)
2010-7-30 理学院 施三支
五、有漂移的布朗运动
设 {B (t ), t 0} 是一个标准布朗运动， X (t ) B (t ) t ， 我 们称 { X (t ), t 0} 为有漂移的布朗运动。常数 称为漂移系数。
注： 利用有漂移的布朗运动 X (t ), t 0 可以算出
2010-7-30
理学院 施三支
7.5
可以计算出
布朗运动的最大值变量及反正弦律
记 Tx 为布朗运动首次击中 x 的时刻，即 Tx inf{t 0 : B (t ) x} ，我们
x 0 时 P{Tx t} 2 P{B (t ) x}
从而 P{Tx } lim P{Tx t} 1 ，但是
diffusion model 原理前向、逆向
Diffusion Model原理及前向、逆向一、Diffusion Model 原理Diffusion Model是一种广泛应用于物理学、化学、生物学等领域的模型，用于描述物质或其他性质在空间中的扩散过程。
该模型假设扩散过程为随机的，并且遵循一定的规律。
Diffusion Model的原理基于分子动力学理论和布朗运动理论，可以通过数学模型来描述扩散过程中的分子行为。
Diffusion Model的基本原理可以概括为：在一个给定的空间中，各个分子以随机的方式移动，并且与周围的分子相互作用，最终导致分子的集体运动，也就是所谓的扩散。
这种随机性运动是由于分子与周围环境不断发生的碰撞所导致的，而这种碰撞是无法完全预测的，因此需要使用随机过程来描述。
在Diffusion Model中，主要考虑了扩散过程中分子的位置和速度的变化，以及分子之间相互作用的力。
二、Diffusion Model的前向模拟1. 前向模拟的概念前向模拟是指根据初始条件，通过模拟分子扩散过程来预测未来某个时刻物质的分布情况。
在Diffusion Model中，通过前向模拟可以得到扩散过程中分子位置和速度的变化，从而可以得到物质扩散的轨迹和分布。
前向模拟一般采用数值模拟的方法，使用计算机来模拟大量分子在空间中的运动，通过数值计算来得到扩散过程的演化。
2. 前向模拟的步骤前向模拟主要包括以下几个步骤：（1）确定模拟空间和初始条件：首先需要确定模拟的空间范围，以及初始时刻各个分子的位置和速度。
（2）建立数值模型：根据Diffusion Model的基本原理，建立数值模型来描述分子之间的相互作用和移动规律。
这一步一般需要借助物理学、数学模型等知识来建立。
（3）进行数值计算：利用计算机等设备对建立的数值模型进行计算，模拟大量分子在空间中的运动，并且记录分子的位置和速度的变化。
（4）分析结果：根据模拟得到的数据，可以对扩散过程中分子的变化轨迹和分布情况进行分析，得到扩散过程的特征。
matlab蒙特卡洛模拟代码
标题：解密matlab蒙特卡洛模拟代码在工程科学和金融领域，蒙特卡洛模拟一直是一种强大的工具，用于估计复杂系统的性能、风险和价值。
而在matlab中，通过编写蒙特卡洛模拟代码，我们可以更好地理解和应用这一方法。
本文将从简入深地探讨matlab蒙特卡洛模拟代码的编写和应用，帮助大家更好地掌握这一强大的工具。
一、什么是蒙特卡洛模拟蒙特卡洛方法最早是由科学家利用赌场赌博游戏中的随机性来模拟物理试验，后来被引入到金融和工程科学中。
在matlab中，蒙特卡洛模拟就是利用随机数生成器来模拟系统的随机变量，通过重复随机抽样来估计系统的性能指标。
在matlab中，我们可以使用rand和randn 等函数来生成均匀分布和正态分布的随机数，进而进行蒙特卡洛模拟。
二、编写matlab蒙特卡洛模拟代码我们需要定义模拟的随机变量和模拟的次数。
在matlab中，我们可以使用for循环来进行多次模拟，然后将每次模拟的结果保存下来。
我们可以根据模拟结果计算系统的性能指标，比如均值、标准差、置信区间等。
我们可以将模拟结果可视化，比如通过绘制直方图、散点图或累计分布函数图来展示模拟结果的分布特征。
三、应用举例：股票价格模拟以股票价格的模拟为例，我们可以先定义股票价格的几何布朗运动模型，然后在matlab中编写蒙特卡洛模拟代码来模拟未来股票价格的变化。
在模拟过程中，我们可以设置股票价格的随机波动率、股票价格的初始值和随机变动的步长等参数，进而模拟股票价格在未来一段时间内的走势。
通过蒙特卡洛模拟，我们可以得到股票价格在不同情景下的可能走势，进而评估投资的风险和回报。
回顾总结本文从简入深地探讨了matlab蒙特卡洛模拟代码的编写和应用，希望对读者能有所启发。
通过学习和掌握matlab蒙特卡洛模拟，我们可以更好地理解和应用蒙特卡洛方法，进而在工程科学和金融领域中更好地解决实际问题。
个人观点和理解对于matlab蒙特卡洛模拟，我认为重点在于理解随机变量的模拟和系统性能指标的计算。
使用Matlab对布朗运动的模拟
科技风2019年10月电子信息DOI：10.19392/ki.1671-7341.201929086使用Matlab对布朗运动的模拟王富帅陈正昊孙琦沈阳航空航天大学辽宁沈阳110136摘要:根据朗之万方程，通过对朗之万方程的数值推导,得到单个布朗粒子布朗运动下的位移方程，位移方程可以反推至爱因斯坦平均差位移方程。
本文利用位移方程写出数值模拟下的布朗运动的轨迹。
通过Matlab软件编程，得到了布朗运动随机轨迹三维图。
关键词：布朗运动；朗之万方程；Matlab模拟仿真布朗运动是指微小粒子在溶剂中表现出的无规则运动。
自1827年英国的科学家布朗发现了花粉颗粒在水溶液中做永不停顿的无规则运动以来，人们关于布朗运动的研究层出不穷。
至1905年，由爱因斯坦根据统计理论和流体力学方法，给出了在t时间里，微粒在某一方向上位移的统计平均值,即方均根值此同时，斯莫卢霍夫斯基也独立得提岀自己的一套理论来解释布朗运动,并给出了相似的结果#)2*1908年，朗之万为单个粒子写岀在随机力作用下的“牛顿方程”，即著名的朗之万方程)3*2-'~ET=Mi~dt^(1(其中3为布朗颗粒的质量，兀为位移矢量，%：为布朗粒子受到的其他颗粒或外场的作用力之和/(2为布朗粒子周围液体分子的作用力,'字为粒子受到的粘滞阻力，其中'd是粒子的阻力系数，对于半径为a的球形粒子,按照斯托克斯公式计算阻力系数为：'=6«z)(2)其中)是液体在一定温度下的黏度。
朗之万方程是历史上以一个随机微分方程。
至此关于布朗运动的理论研究已经趋于完善。
通过前人的研究我们可以得知，粒子在溶液中所做的布朗运动是一种无规则轨迹运动，但又具备相应的统计学规律。
借助与现代计算机技术，我们可以对粒子做布朗运动做模拟与仿真。
Matlab软件是一款在数值计算和模拟分析领域非常出色的软件，通过语言编程，我们就可以轻松实现对单个粒子布朗运动的仿真模拟。
几何布朗运动
几何布朗运动几何布朗运动，也称为分形布朗运动，是一种空间随机标准布朗运动的推广，其路径不再是连续光滑的，而是具有分形结构的。
这个模型主要以欧几里得空间中的随机游走过程为基础，包含了随机性、无序性和自相似性等概念，描绘了一类具有分形结构的随机运动现象。
几何布朗运动是一种多分形现象，可以在任何尺度上看到相似的形态。
这种运动由多组随机变量表示，各个变量之间保持独立性，从而满足中心极限定理和伯努利大数定律。
在随机过程的模拟中，几何布朗运动是一种很重要的提高模拟精度的工具。
几何布朗运动以欧几里得空间中的随机游走为基础，通俗地讲，就是在一个二维平面上，一个物体根据某个规则随机移动，每次移动的距离和方向都是随机的，这样的过程一直进行下去，就形成了一个几何布朗运动的路径。
这个路径看起来就像随机波动的线条，在各个尺度上都有分形结构。
几何布朗运动的一个特点是具有自我相似性。
这意味着，无论以何种比例缩放几何布朗运动的路径，都可以看到相似的形态。
例如，在一个尺度上看，路径可能是一个很大的波峰，而在另一个尺度上看，路径可能是由很多小波峰组成的，而这些小波峰又由更细的小波峰组成。
几何布朗运动的自我相似性使得其在自然科学中有着很广泛的应用。
例如，在地理学中，如果测量一条岸线，可以发现，这条岸线无论衡量多少次，其长度都是无限的，这就可以用几何布朗运动来进行模拟。
在金融领域，几何布朗运动可以用来模拟股票价格，以及模拟复杂的随机波动性等等。
几何布朗运动的数学模型是分形，分形具有复杂性、不可规则性、形态相似性等特征。
几何布朗运动在应用中有以下几个特点：1. 几何布朗运动的路径有分形特征，即在任何尺度上看都有相似的结构，这种相似性的出现使得这种运动的刻画更为准确。
2. 几何布朗运动的路径是不连续的，这种不规则性使得这种运动更为真实。
3. 几何布朗运动的路径具有随机性，也就是说，每一步的方向和大小都是随机的，这种随机性使得这种运动更为真实。
随机运动实验设计：布朗运动与分子动力学模拟
深入分子动力学 模拟
分子动力学模拟是研 究分子之间相互作用 以及运动规律的重要 手段。通过模拟实验， 可以更深入地了解分 子在不同条件下的行 为，为相关领域的研 究提供重要参考。
● 05
第五章 随机运动实验的拓展 应用
生物领域
细胞内物质 运输
研究细胞内物质 的运输和扩散过
程
科学依据
为环境监测和治 理提供科学依据
新视角
为生物学研究提 供新的视角
环境科学
通过随机运动实验可 以研究微粒在大气、 水体中的运动行为， 为环境监测和治理提 供科学依据。随机运 动实验在纳米技术中 有着广泛的应用，可 以帮助研究纳米颗粒 的扩散和聚集行为， 拓展纳米材料的应用 领域。
纳米技术
01 广泛应用
在纳米技术中有广泛的应用
02 扩散与聚集
药物研发
03 纳米技术
纳米材料
模拟软件
目前常用的分子动力 学模拟软件包括 LAMMPS、 GROMACS、 NAMD等，它们提供 了丰富的功能和算法， 适用于不同类型的模 拟研究。
模拟软件功能
LAMMPS
分子动力学模拟 多尺度建模
GROMACS
蛋白质模拟 溶液模拟
NAMD
分子动力学模拟 生物大分子模拟
在环境科学研究中具有重要意义
● 02
第二章 布朗运动实验设计
实验材料与设备
01 显微镜
观察颗粒运动
02 水平放置的玻璃片
提供观察平台
03 水
作为运动介质
实验步骤
准备实验材 料和设备
确保实验顺利进 行
用显微镜观 察颗粒的运 动轨迹，并 记录观察结
果
记录实验数据
在玻璃片上 滴上水，并 加入颗粒或
10—3
[N（t） N（s）]与[N（t 相 互t）独N（立s ， t）] 则称 [N（t）为，独t>立0]增量计数过程。
（2）在计数随机过程中，如果 [t,t 内t] 出现事件A 的次数 [N(t 仅t)与 N时(t)]间差 有关，而t 与起 始时刻t无关，则称该随机过程为平稳增量计数 过程。
待时间是连续随机变量。
从图中可看出，计数 函数的值和相应的等待时 间序列之间存在一个明显
的关系。 FW（k t） P{Wk t}
计数函数曲线
注意到事件{Wk t }和{N（t）>k-1}是等价的。
Wn的分布函数FWn (t ) P{Wn t} 因为{Wn t} {N (t ) n}, 所以FWn (t) P{Wn t} 1 P{Wn t}
et
0
fti1 (ti1 )dti1
et
0 fti1 (ti1 )dti1
et , t 0,
fTi (t) 0, t 0.
et , t 0,
fTi (t ) 0,
t 0.
i 2, 3,.
结论
点间间距序列{Ti } 服从相同的指数分布. 理论上, T1, T2,,Ti ,是相互独立的随机变量.
记 Y(t) X(t) X (t).
当 X (t) 具有独立增量时 , Y (t) 也具有独立增量; Y (0) 0, E[Y (t)] 0, DY (t) E[Y 2 (t)] DX (t).
因此, 当 0 s t 时, 有
CY (s,t) E[Y (s)Y (t)]
E{[Y (s) Y (0)][(Y (t) Y (s)) Y (s)]}
布朗运动
数字特征 设 {Wt,t≥0}是标准布朗运动.则
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0, RW ( s, t ) = CW ( s, t ) = min( s, t ), s, t , ≥ 0
证明
由定义易知有
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0
令ξ = Wt1 , η = Wt 2 − Wt1 ,则ξ 服从N(0, t 1 )分布，η 服从N(0, t 2 − t 1 )分布 所以 F(t 1 ,t 2 ; x 1 , x 2 ) = P( ξ ≤ x 1 , ξ + η ≤ x 2 )
= ∫ P(η ≤x 2 -y )P(ξ ∈ dy )
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 自相似性 即对任意常数a>0固定的t>0， 有 a1/2Wt Wat
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T 则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程).
¾ 布朗运动{W(t),t≥0} 的轨道是不可微的
事实上，有
∆W t P ( lim > x) = 1 ∆t → 0 ∆ t
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
与布朗运动的相关的随机过程 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动， 1. d-维标准布朗运动 如果W1,…,Wd,是d个相互独立的标准布朗运动， 则称(W1,…,Wd)是d-维标准布朗运动.
例1 验证布朗运动是正态过程 证明 设 W={Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动，则由 0 ≤ t1 < t 2 < L < t n 定义，对任意的n≥1,及任意的
第7讲_模特卡罗模拟
33
一、基于Delta类方法的VaR计算
1. Delta类方法主要包括： Delta-正态方法 Delta-加权正态方法 Delta-混合正态方法 Delta-GARCH方法
34
一、基于Delta类方法的VaR计算(续)
-0.000515
Δr -1.89E-05
0.001305
0.000145
Δr* -0.000515
0.000145
0.011152
风险因子样本均值
ΔS
Δr
Δr*
0.00055
-0.000395
-0.010132
26
三、基于Monte Carlo模拟法计算 VaR的应用举例(续)
第二步 风险因子协方差矩阵的Cholesky分解
38
一、基于Delta类方法的VaR计算
—— (一) 基于Delta-正态方法的VaR计算(续)
风险因子收益 率协方差矩阵
ΔS/S ΔP*/P*
ΔP/P
风险因子暴露向量
第三步 利用Monte Carlo模拟方法生成三个风险因子的样本 第四、第五步 估值并计算VaR
风险因子的随机数
风险因子未来变化的可能取值
远期合约价值和损益的可能取值
e1 e2 e3 S（美元/英镑） r（%/年） r*（%/年）
(i)
VT
V (i（) 美元） T
1 2.35 -0.51 0.35 1.677164315 4.91E+00 5.757937795 233680.3677 140099.3677
四、基于Monte Carlo模拟法 VaR计算的评述
1布朗运动——精选推荐
1布朗运动1.1基本性质定义1.1.称一个0初值的实值随机过程B={B t,t≥0}是一维标准布朗运动(SBM),若(1)它有独立增量性:对任意的有限正数0=t0<t1<···<t n,随机变量B0,B t1−B t,···,B tn−B tn−1相互独立.(2)对任意的t>s,增量B t−B s∼N(0,t−s).(3)它的轨道连续,i.e.,P{ω:t−→B t(ω)连续}=1.设B i是d个标准的布朗运动,则称B=(B1,···,B d)是d-维标准布朗运动.一般地,称满足上面条件(1)-(2)的随机过程为一维布朗运动.对任意的x∈R,称B x=x+B t为初值为x的布朗运动.定义1.2.概率空间(Ω,F,P)上的随机过程X={X t,t∈}称为Gauss过程,若对任意的n≥1,t1,t2,···,t n∈,(X t1,···,X t n)服从Gauss分布(可以是退化的).定理1.3.设B={B t,t≥0}是零初值的实值随机过程.则它是布朗运动的充要条件是它是一个Gauss过程,并且E B t=0,E B t B s=t∧s.证明:必要性.首先证明:对任意的t1<t2<···<t n,(B t1,···,B tn)服从正态分布.由独立增量性(B t1,B t2−B t1,···,B tn−B tn−1)服从正态分布.又因为B t1B t2...B tn=100 0110 0.........···...111 (1)B t1B t2−B t1...B tn−B tn−1.因此,(B t1,···,B tn)服从正态分布.显然,E B t=0,对任意的t≥s≥0,E B t B s=E(B t−B s)B s+E B2s=s.充分性:先证独立增量性,即:对任意的t1<t2<···<t n,(B t1,B t2−B t1,···,B tn−B tn−1)相互独立.由于它们服从正态分布,所以只需要证明不相关性.事实上,对任意的i<j,E(B ti −B ti−1)(B tj−B tj−1)=E B tiB tj−E B tiB tj−1−E B ti−1B tj+E B ti−1B tj−1=t i−t i−t i−1+t i−1=0.1显然,对任意的t >s ,B t −B s 服从正态分布,均值为0,方差为E (B t −B s )2=E B 2t −2E B t B s +E B 2s =t −s.证明完毕.由布朗运动的定义和上定理可以直接验证下面的性质.定理1.4.设B 是一维标准布朗运动.则(1)对任意的s >0,过程{B t +s −B s ,t ≥0}是与σ{B u ,0≤u ≤s }独立的布朗运动.(2)对任意的c =0,{cB t/c 2}是布朗运动.特别地,{−B t ,t ≥0}是布朗运动.(3){tB 1/t ,t ≥0}是布朗运动.1.2Gauss 过程定理1.5.X ={X t ,t ∈T }称为Gauss 过程,当且仅当对任意的n ≥1,t 1,···,t n ≥0,αi ∈R ,随机变量∑k αk X t k 服从一维的Gauss 分布(可以是退化的).证明:设X ={X t ,t ∈T }是Gauss 过程,则E ei ∑kλk X t k=ei∑kλk µk −12∑nj,k =1λi σij λj,其中µk =E X t k ,σij =Cov (X t i ,X t j ).特别地,取λk =λαk ,得:Y =∑kαk X t k 的特征函数为E eiλY=eiλ∑kαk µk −12λ2∑nj,k =1αi σij αj=e iλE Y −12λ2Cov (Y,Y).故Y 服从一维Gauss 分布.反正,若对任意的t 1,···,t n ∈,α1,···,αn ∈R ,∑k αk X t k 服从一维Gauss 分布,其均值E ∑k αk X t k =∑k αk µk ,方差Cov(∑kαk X t k ,∑kαk X t k )=n ∑j,k =1αi σij αj ,其中µk =E X t k ,σij =Cov (X t i ,X t j ).则∑k αk X t k 的特征函数为:E eiλ∑kαk X t k=eiλ∑kαk µk −12λ2∑nj,k =1αi σij αj,∀λ∈R .取λ=1得,E ei∑k αk X t k=ei∑kαk µk −12∑nj,k =1αi σij αj.因此,(X t 1,···,X t n )服从n -维正态分布.2定义1.6.设X={X t,t∈T}是一个Gauss过程,分别称µ(t)=E X t,σ(s,t)=Cov(X s,X t).为X的均值函数和协方差函数.例子1.7.一维布朗运动是高斯过程,其µ(t)=0,σ(s,t)=s∧t.定理1.8.设{X n,n≥1}是一列Gauss分布.若X n依分布收敛到某个随机变量X,则E X n→E X,E X2n→E X2,并且X也服从Gauss分布.证明:记µn=E X n,σ2n=Cov(X n,X n).则由X n依分布收敛到某个随机变量X,可知X n的特征函数收敛到X的特征函数,即lim n→∞exp{iµn t−σ2n t22}=E e itX.由于E e itX是t的连续函数,所以{σ2n,n≥1}是有界的.否则,对任意的t=0,lim inf n→∞exp{iµn t−σ2n t22}=0,于是,对任意的t=0,E e itX=0,这与E e itX在t=0处的连续矛盾.由于{σ2n,n≥1}有界,不妨假设σ2n→σ2∈(0,∞)(否则抽取子列).设F是X的分布函数, x是它的一个连续点.由于标准正态分布函数的分布函数Φ严格单调增,所以x−µn σn =Φ−1(Φ(x−µnσn))=Φ−1(P(X n≤x))→Φ−1(F(x)).故µn→µ∈R,进而E e itX=exp {iµt−σ2t22},X服从正态分布.1.3布朗运动的构造如果不考虑样本的连续性,利用Kolmogorov延拓定理可以证明布朗运动的存在性.下面我们利用Fourier级数直接构造布朗运动.假设B是一个标准布朗运动.定义过程W t=B t−tB1,t∈[0,1].称它为[0,1]上的布朗桥.注意到W(0)=W(1)=0.将W在[0,1]上的Fourier展开W t=∞∑n=1X n sin(nπt),(L2意义下)其中系数X n是随机变量,表达式为X n=2∫tW t sin(nπt)dt.3则X n 服从Gauss 分布,可以计算E X n =0,E [X n X m ]=2π2n 2δmn .令Z 0=B 1,Z n =nπX n /√2,n ≥1.则{Z n }i.i.d.∼N (0,1).我们可以将布朗运动写成B t =tZ 0+√2π∞∑j =1Z nnsin(nπt ),t ∈[0,1].将上面的过程反过来,就可以把布朗运动可以用上面的随机级数表示.1.4轨道性质1.4.1二次变差定义 1.9.设X ={X t ,t ≥0}是一个实值随机过程,对任意的t >0,任何[0,t ]的一个分划∆:0=t 0<t 1<·<t n =t ,记T ∆t =∑i ∈∆|X i −X i −1|2,|∆|=sup i ∈∆|t i −t i −1|.若存在实值随机过程[X,X ]t ,对任意[0,t ]的一列分划(∆n )满足lim |∆n |→0P (|T δt −[X,X ]t |≥δ)=0,∀δ>0.则称X 具有有限的二次变差,[X,X ]t 为它的二次变差过程.定义布朗运动的二次变差为⟨B,B ⟩t =lim|δ|→0∑i ∈δ|B (t i −B (t i −1))|2,定理1.10.设B 是一个标准布朗运动,则⟨B,B ⟩t =t.4证明:设∆n:0=t(n)0<t(n)1<···<t(n)k n=t,则E(k n−1∑i=1(B ti+1−B ti)2−t)2=E(k n−1∑i=1[(B ti+1−B ti)2−(t i+1−t i)])2=(k n−1∑i=1E[(B ti+1−B ti)2−(t i+1−t i)])2=k n−1∑i=1E([(B ti+1−B ti)4−(t i+1−t i)2])=k n−1∑i=1[3(t i+1−t i)2−(t i+1−t i)2]=k n−1∑i=1(t i+1−t i)2≤2t sup0≤i≤t k n−1|t i+1−t i|→0,as|∆n|→0.设f:[0,∞]→R,V f[a,b]表示f在[a,b]上的全变差,i.e.,V f[a,b]=sup∆∑i∈∆|f(x i+1)−f(x i)|,其中∆是[a,b]的任意有限划分.若存在常数M>0,α>0使得|f(x)−f(y)|≤M|x−y|α,∀x,y∈[a,b],则称f在[a,b]上α-H¨o lder连续.推论1.11.对a.e.ω,B·(ω)在任意有限区间上的全变差为∞.证明:由于布朗运动的二次变差为t,存在Ω0⊂Ω满足:P(Ω0)=1,且对任意的有理数p<q,存在[p,q]的一列分划∆n,使得:|∆|→0且对任意的ω∈Ω0,lim n→0∑i∈∆n|B ti(ω)−B ti−1(ω)|2=q−p.5设V(ω)是B(ω)在[p,q]上的全变差,则∑i∈∆n |B ti(ω)−B ti−1(ω)|2≤(supi∈∆n|B ti(ω)−B ti−1(ω)|)V(ω)令n→∞.由布朗运动的连续性知:它在有限区间上一致连续,所以sup i∈∆n |B ti(ω)−B ti−1(ω)|→0.若V(ω)<∞,则右侧趋于0,而左侧趋于q−p,矛盾.推论 1.12.对任意的α>1/2,对a.e.ω,B·(ω)无处局部α-H¨o lder连续.特别地,对a.e.ω, B·(ω)无处连续可微.证明:设Ω0如前所述,α>1/2.若存在有理数p<q,使得对任意的p<s<t<q,|B t(ω)−B s(ω)|≤C|t−s|α则对[p,q]的任意划分∆nq−p←−∑i∈∆n |B ti(ω)−B ti−1(ω)|2≤C2(q−p)supi|t i+1−t i|2α−1−→0.矛盾.Kolmogorov连续修正定理定义1.13.设X t和Y t是定义在同一个概率空间(Ω,F,P)上的随机过程.称Y t是X t的一个修正,若对任意的t∈T,P(X t=Y t)=1.显然,若Y t是X t的一个修正,则X t和Y t有相同的有限维分布.定义1.14.设X t和Y t是定义在同一个概率空间(Ω,F,P)上的随机过程.称Y t和X t是无区别的,若存在全测度集Ω′使得X t(ω)=Y t(ω),t∈T,ω∈Ω′.(1)若指标集T是可数的,则两个过程是无区别的当且仅当它们互为修正.若T不可数的,则存在互为修正但不是无区别的两个随机过程.定理1.15.设X t,t∈[0,1]d是一个实值随机场.假设存在常数γ,c,ϵ>0满足E[|X t−X s|γ]≤c|t−s|d+ϵ.则存在X的一个修正˜X满足E [(sups=t|˜X t−˜X s||t−s|α)γ]<+∞,其中α∈(0,ϵ/γ).特别地,˜X是α-H¨o lder连续的.6对于布朗运动B,由于E|B t−B s|2n=(2n−1)!!|t−s|n,应用上面的定理可以得到定理1.16.对任意的α∈(0,1/2),布朗运动是局部α-H¨o lder连续的.证明:由上面的结果知道:布朗运动是局部α-H¨o lder连续的,其中α∈(0,n−12n),∀n≥1.令n→∞,得证.下面的定理表面,布朗运动的轨道不是12-H¨o lder连续的.定理1.17(L´e vy连续模定理).lim supϵ→0sup0≤t1<t2≤1,t2−t1<ϵ|B t2−B t1|√2t log1t=1, a.s.证明:见Theorem2.1in Chapter2of[Revuz-Yor].1.5马氏性和强马氏性设E是一个局部紧可分度量空间,E是它的所有开集生成的Borelσ-代数.随机过程X={X t,t≥0}是(F t)-适应过程.定义1.18.称X是一个马氏过程,若对任意的t≥s,f∈b E(等价地,f∈C c(E)),E[f(X t)|F s]=E[f(X t)|X s]定义1.19.称{P s,t(·,·),0≤s<t<∞}为(E,E)上的马氏转移函数(马氏半群),若满足,(1)对任意的x∈E,A→P s,t(x,A)是E上的概率测度;(2)对任意的A∈E,x→P s,t(x,A)是E可测的;(3)(Chapman-Kolmogorov方程)对任意的x∈E,A∈E,s<t<u,P s,u(x,A)=∫EP s,t(x,dy)P t,u(y,A).称它是时齐的,若P s,t(x,A)=P t−s(x,A).对任意的f∈B E,记P t f(x)=∫EP t(x,dy)f(y).7定义1.20.称{X t,F t}为转移函数为P t的马氏过程,若对若对任意的t≥s,f∈b EE[f(X t+s)|F t]=P s f(X t).给定初始分布µ,它的有限维分布为P(X0∈A0,X t1∈A1,···,X t n∈A n)=∫A0µ(dx0)∫A1P t(x0,dx1)···∫A nP tn−t n−1(x n−1,dx n).例如:布朗运动的转移密度函数为p t(x,y)=1√2πte−|y−x|22t.定义1.21.称X是一个强马氏过程,若对任意的停时τ,t≥0,f∈b E,E[f(Xτ+t)|Fτ]=E[f(Xτ+t)|Xτ]下面,我们介绍布朗运动的强马氏性.设B关于F∗是一个布朗运动,i.e.B t∈F t,B t+s−B s与F s独立,并且B t+s−B s∼N(0,t),∀t,s≥0.定理1.22.对任意的有限停时τ,过程τB={B t+τ−Bτ}是一个与Fτ独立的布朗运动.证明:首先证明对任意的τ∈Fτ,0≤t1<t2<···<t n,f∈C(R n,R),下式成立E[f(τB t1,···,τB tn);C]=P(C)E[f(τB t1,···,τB tn](2)eq strong我们首先证明上式对离散停时成立,然后通过逼近证明对一般的停时成立.假设τ的取值{s i,i=1,2,···}.由布朗运动的马氏性,我们知s B={B t+s−B s,t≥0}是与F s独立的布朗运动.由于C∈Fτ,则C i:=C∩{τ=s i}∈F s i.所以E[f(τB t1,···,τB tn);C]=∞∑i=1E[f(B t1+s i−B si,···,B tn+s i−B s n);C i]=∞∑i=1P(C i)E[f(B t1+s i−B si,···,B tn+s i−B si)]=∞∑i=1P(C i)E[f(B t1,···,B tn)]=P(C)E[f(B t1,···,B tn)].8对于一般的停时τ,取τn=[2nτ]+12n.则强马氏性对τn成立.设C∈Fτ.因为τ≤τn,Fτ⊂Fτm,所以C∈Fτm,进而下式成立E[f(τm B t1,···,τm B tn);C]=P(C)E[f(τB t1,···,τB tn].由布朗运动轨道的连续性,τm B t→τB t.由控制收敛定理,上式左端收敛,(2)得证.由于所有{f(τB t1,···,τB tn)}构成的空间在σ{τB t,t≥0}中稠密,所以τB与Fτ独立.取C=Ω可得,τB与B同分布.1.6强马氏性的应用在这一节,我们利用布朗运动的强马氏性,证明布朗运动的一些性质.回忆,对任意的有限停时τ,过程τB={B t+τ−Bτ}是一个与Fτ独立的布朗运动.设随机变量X∈σ{τB},Y∈Fτ,则X,Y独立,它们的联合分布一定是边缘分布的乘积测度.由Fubini定理,可以计算E f(X,Y)=∫f(x,y)P(X∈dx)P(Y∈dy)=E[E[f(x,Y]|x=X]=E[E[f(X,y]|y=Y].性质1.23.令M t=max0≤s≤t B s是布朗运动的最大值过程.则M t与|B t|同分布.证明:设b>0,τb=inf{t>0:B t=b}是布朗运动首次到达b的时间.利用Kolmogorov0-1律可以证明lim sup t→∞B t=∞a.s..因此τb<∞,a.s.,它是有限停时.下面我们利用强马氏性计算P(B t≥b,τb≤t).注意到{B t≥b}可以推出τb≤t,因此上面的概率为P(B t≥b).定义转移过程W t=B t+τb−Bτb= B t+τb−b.上面的概率可以重新表示成P(W t−τb≥0,τb≤t).9上面的概率可以看成某个随机变量W和τ的函数的期望.因为W∈σ{τB},τb∈Fτ,所以由强马氏性知道这两个随机变量独立.因此,由Fubini定理,取期望时,可以首先固定一个变量,然后取条件期望.这里,我们先把τ看成常数,因为W是布朗运动,P(W t−s≥0)=12,∀s.这推出了P(B t≥b)=P(B t≥b,τb≤t)=12P(τb≤t).另一方面,由于{τb≤t}={M t≥b},P(M t≥b)=2P(B t≥b)=P(|B t|≥b).这表明了M t与|B t|同分布.下面计算首中时τb的密度函数.从上面的定理知P(τb≤t)=22πt ∫∞be−x2/2t dx.关于t求导数,利用分部积分可得密度函数为pτb (t)=b√2πt3e−b2/2t.定理1.24.设B是标准布朗运动,τ是一个停时.设W是另外一个从0出发的,与Fτ独立的布朗运动.定义过程Z:Z t=B t if t≤τ; W t−τ+Bτif t>τ.则Z是一个布朗运动.证明:由强马氏性知τB是一个与(Bτ,τ)独立的布朗运动,其中Bτ={B t∧τ,t≥0}.由假设知:三元组(W,Bτ,τ)与(τB,Bτ,τ)同分布.过程Z,B是由这两个三元组用相同的方法构造的.精确到讲,存在可测函数F满足Z=F(W,Bτ,τ),B=F(τB,Bτ,τ).这证明了Z,B由相同的分布,所以Z是布朗运动.推论1.25.(Andr´e反射布朗运动)设τ是一个布朗运动的有限停时.在时刻τ后,对Bτ做反射,定义过程Z:Z t=B t if t≤τ; 2Bτ−B t if t>τ.则Z是一个布朗运动.10证明:和τB一样,−τB也是与Fτ独立的布朗运动,在上定理中取W t=−τB,得证结论.利用反射原理,可以得到B t与M t=max0≤s≤t B s的联合分布.性质1.26.B t与M t=max0≤s≤t B s的联合分布为P(B t∈da,M t∈db)=(2πt3)(2b−a)e−(2b−a)2/2t dadb,其中b>0,a<b.证明:设Z是布朗运动B在τb后经过反射得到的布朗运动.为了方便,我们记τBb 和τZb表示B和Z首次到达b的时刻.显然,这两个时刻相同.对b>0,a<b,我们有P(B t≤a,M t≥b)=P(B t≤a,τB b≤t)=P(Z t≤a,τZ b≤t)=P(B t≥2b−a,τB b≤t)=P(B t≥2b−a)=1√2πt∫∞2b−ae−x2/2t dx.关于a,b求导,就可以得到密度函数.推论1.27.对固定的t>0,M t−B t和|B t|同分布.证明:把密度函数p Mt,B t在区域b−a≥c上积分,可以发现它们的分布函数相同.注记 1.28.观察到M t−B t与M t同分布,因为它们都与|B t|同分布.过程|B t|称为反射布朗运动.我们在后面会详细介绍反射布朗运动.实际上,有更强的结果成立:过程{M t−B t,t≥0}与{|B t|,t≥0}同分布.下面的例子表面布朗运动在任意的区间(0,ϵ)内都会变号,不论ϵ多小.ex1例子1.29.计算P(B(t)≤0,∀t∈[0,ϵ]).由于P(B(t)≤0,∀t∈[0,ϵ])=P(sup0≤t≤ϵB(t)≤0)=1−P(sup0≤t≤ϵB(t)>0).而P(sup0≤t≤ϵB(t)>0)=2P(B(t)>0)=1.所以P(B(t)≤0,∀t∈[0,ϵ])=0.定理1.30.布朗运动的零点集L0是个随机不可数闭集,它没有孤立点,Lebesgue测度为0.11证明:根据上面的定理,我们知道布朗运动在任何一个小区间[0,t ]上变号,因此,在这个区间里面总是存在零点.这推出了,零点集是无限集,t =0可以是它右侧的一列零点的极限.另外,由于B (t )的轨道是连续的,零点集是闭集,即若B (τn )=0,τn →τ,则B (τ)=0.下证零点集是不可数的.由强马氏性知:若τ是一个停时,B (τ)=0,则τB (t ):=B (τ+t )−B (τ)=B (τ+t )也是一个布朗运动.因此,t =0是新的布朗运动τB 零点的极限.注意到B (τ+t )的零点是B (t )的零点.因此,如果一个零点是停时,则它一定是它右侧一列零点的极限,它是聚点.但是并不是所有的零点都是停时,比如说对于固定的t ,t 之前的最后的一个零点不是停时.下面用更复杂的方法证明每个零点都是聚点.对任意的t ≥0,t 之后的首个零点τ(t )是停时.则P (γ:τ(t )是它右侧一列零点的极限)=1.关于所有的有理数t 取交集,上面的集合仍然概率为1.因此,每个有理数之后的第一个零点都是聚点.这推出了L 0的每个点都是它的聚点,即L 0是perfect 集.由集合论的知识,我们知道L 0是不可数的.尽管L 0是不可数的,它的Lebesgue 测度为0.这是因为L 0的Lebesgue 测度|L 0|=∫10I (B (t )=0)dt ,它是非负随机变量.由Fubini 定理知E |L 0|=E ∫10I (B (t )=0)dt =∫10P (B (t )=0)dt =0.这推出P (|L 0|=0)=1.1.7布朗运动的零点.Arcsin 律若B (τ)=0,则称时刻τ为布朗运动的零点.由布朗运动极大值分布可以推出布朗运动零点的信息.记{B x (t )}为从x 点出发的布朗运动.定理1.31.对任意的x =0,{B x (t )}在区间(0,t )上至少一个零点的概率是|x |√2π∫t 0u −32e −x 22u du.证明:由对称性,我们仅对x <0证明.由布朗运动的连续性,P (B x 在(0,t )区间存在零点)=P (max 0≤s ≤tB x (t )≥0)=P 0(max 0≤s ≤t B (t )+x ≥0)=P 0(max 0≤s ≤t B (t )≥−x )=2P 0(B (t )≥−x )=2√2πt ∫∞−x e −u 22t du =−x √2π∫t 0v −32e −x22v dv.上式最后一步用到了变量替换u =−x √t/v .12利用上面的结果可以证明定理1.32.布朗运动B在区间(a,b)中至少存在一个零点的概率为2πarccos√ab.证明:记h(x)=P(B在区间(a,b)中至少存在一个零点|B a=x).由马氏性知h(x)=P(B x在区间(a,b)中至少存在一个零点).利用条件期望,得P(B x在(a,b)区间存在零点)=∫∞−∞P(B在区间(a,b)中至少存在一个零点|B a=x)P(B a∈dx)=∫∞−∞h(x)P(B a∈dx)=√2πa∫∞h(x)e−x22a dx.将上面定理中的h(x)代入上式,可得结论.定理1.33.布朗运动B在区间(a,b)中不存在一个零点的概率为2πarcsin√ab.下面的结果给出了t之前最后一个零点,和t之后第一个零点的分布.令γt=sup{s≤t:B(s)=0}=t之前最后一个零点,βt=inf{s≥t:B(s)=0}=t之后第一个零点.注意到βt是停时,γt不是.定理1.34.P(γt≤x)=2πarcsin√xt.P(βt≥y)=2πarcsin√ty.P(γt≤x,βt≥y)=2πarcsin√xy.证明:应用上面的定理可得结论.比如最后一个事件表示B在(x,y)之间没有零点.131.8布朗运动的极限行为下面考虑长时间的渐近行为.证明见Karatzas-Shreve.定理1.35(大数定律).lim sup t →∞B t t =0a.s.更精确地,有下面的重对数律.定理1.36(重对数律).lim sup t →∞B t√2t log log t =1 a.s.引理1.37.对任意的a >0,a a 2+1exp {−a 22}≤∫∞a exp {−x 22}dx <1a exp {−a 22}.证明:求导验算.证明:[重对数律](1)上界.首先对固定的θ>1,上界对子列B θk 成立.由上引理得P (B θk ≥√2θk log log θk (1+ε))≤exp {−(1+ε)2log log θk }=1(k log θ)(1+ε)2.所以∑k ≥1P (B θk ≥√2θk log log θk (1+ε))<+∞.由Borel-Cantelli 引理知lim sup k →∞B θk√2θk log log θk ≤1+ε, a.s.再由ε的任意性,可以选一列εn ↓0,得lim sup k →∞B θk√2θk log log θk ≤1, a.s.再证上界.对任意的t >θ,存在k =k (t ),使得θk≤t <θk +1.则有P (sup θk ≤s<θk +1|B s −B θk |>√(θ−1)θ√2θk log log θk)=P (sup 0≤s<θk +1−θk |B s −B θk |>√(θ−1)θ√2θk log log θk)=2P (|B θk +1−B θk |>√(θ−1)θ√2θk log log θk )≤2exp {−θlog log θk }=2(k log θ)θ.14由Borel-Cantelli 引理知lim sup k →∞sup θk ≤s<θk +1|B s −B θk |√2θk log log θk ≤√(θ−1)θ,a.s.再由B t ≤B θk +sup θk ≤s<θk +1|B s −B θk |,得lim sup t →∞B t √2t log log t ≤1+√(θ−1)θa.s.选θn ↓1,得上界成立.(2)下界.对固定的θ>1,由上界和布朗运动的对称性,有lim sup k →∞|B θk |√2θk log log θk ≤1, a.s.对任意的δ>0,对很大的k >1,P (B θk +1−B θk ≥(1−δ)√2θk (θ−1)log log θk )≥1(k log θ)(1−δ/2)2.由Borel-Cantelli 引理和δ的任意性,我们有lim sup k →∞B θk +1−B θk√2θk (θ−1)log log θk ≥1, a.s.再由B θk +1≥B θk +1−B θk −|B θk |,得:lim sup k →∞B θk +1√2θk (θ−1)log log θk ≥≥√θ−1θ−√1θ, a.s.所以lim sup t →∞B t √2t log log t ≥√θ−1θ−√1θ a.s.选θn →∞,得下界成立.15。
爱因斯坦对布朗运动的解释与现代统计动力学_张太荣
－∞
!Φ（ ｘ＇ ） ｄｘ＇＝１ ……（ ２）
＋∞ 由于空间的各向同性， Φ（－ ｘ＇ ）＝ Φ（＋ｘ＇ ）， 即 Φ （ｘ＇ ）关于原点具有对称性。 若 ｔ 时刻粒子随位置的 ＰＤＦ 为 ｆ （ｘ，ｔ）， 在 ｔ＋τ 时刻粒子的 Ｐ ＤＦ 应为 ｆ（ｘ，ｔ＋τ）。ｆ（ｘ，ｔ＋τ）应是 ｆ（ｘ，ｔ）在 τ时间间隔内， 粒子经位移 ｘ＇ 后而形成的 Ｐ ＤＦ， 所以有：
有通解， 形式为高斯分布函数：
２
－ｘ
ｆ
－
（ｘ，ｔ）＝（２πＤｔ）
１／２
ｅ
４Ｄｔ
……（８）
由此我们得出结论， ＢＭ 作为一个随机过程，
其 Ｐ ＤＦ 是高斯分布函数。对于初始的不均匀分
布， 从宏观来看， 将进行扩散过程。对于 ＢＭ， 由
于溶液分子对悬浮粒子的碰撞间隔极小且有不
确定性而难以测量， 因此我们不得不用 ＭＳ Ｄ 来
１ 引言 爱因斯坦关于相对论的辉煌成就， 掩盖了他 对非平衡统计物理领域的杰出贡献和重要影响。 爱因斯坦关于布朗运动的统计模型， 本质上是古 老的连续随机行走模型。从 ＣＴＲＷ 出发， 我们不 仅可以得到爱因斯坦关于 ＢＭ 粒子的扩散规律 ， 还可以得到现代非平衡统计物理的一些重要结 论和关系。 ２ 爱因斯坦对 ＢＭ 的解释 爱因斯坦在 １９０５ 年发表的文 章［１］中， 应用统 计的观点， 揭示了溶液中作布朗运动的悬浮粒子 的扩散规律， 得到了相应的扩散方程。并由此建 立起了 ＢＭ 粒子的 ＭＳ Ｄ 的数学公式描述， 为间 接测量阿伏加德罗常数提供了更为简洁的方法， 为物质的原子结构理论的最后确认［３］起到了至 关 重要的作用。爱因斯坦对 ＢＭ 粒子的描述基于三 个基本假设：（１）由于悬浮粒子浓度低， 因此 ＢＭ 粒 子的运动之间相互独立， 且 ＢＭ 粒子是全同粒子， 不可分辨， 因此可将多个粒子的问题转化为一个 粒 子 的 问 题 来 讨 论 ； （ ２） ＢＭ 粒 子 的 运 动 空 间 均 匀， 即各向同性； （ ３） 溶液分子对 ＢＭ 粒子的碰撞 呈随机性， 不同的连续碰撞之间的时间间隔是随 机的（ 可能不相同） 。
diffusion模型代码
diffusion模型代码本文将介绍diffusion模型的代码实现。
diffusion模型是一种常用的模拟物质扩散现象的模型，它可以用于研究气体、液体、固体的扩散行为，也可以用于模拟病毒、细菌等微生物的传播。
diffusion模型的核心是扩散方程，它描述了物质在空间中的扩散行为。
扩散方程可以写成：C/t = DC其中，C是物质的浓度，t是时间，D是扩散系数，C是浓度的拉普拉斯算子。
为了求解扩散方程，我们可以使用有限差分方法，将空间离散化为网格，时间离散化为时间步长。
具体来说，我们可以将扩散方程离散化为：C(i,j,k,n+1) = C(i,j,k,n) + DΔt/Δx(C(i-1,j,k,n) +C(i+1,j,k,n) + C(i,j-1,k,n) + C(i,j+1,k,n) + C(i,j,k-1,n) + C(i,j,k+1,n) - 6C(i,j,k,n))其中，C(i,j,k,n+1)是网格(i,j,k)上在时间步n+1时刻的浓度，D是扩散系数，Δt和Δx分别是时间步长和空间步长。
通过迭代求解上面的方程，我们就可以模拟物质在空间中的扩散过程。
下面是一个简单的Python代码实现：```import numpy as npdef diffusion_model(nx, ny, nz, nt, dx, dy, dz, dt, D,C0):# 初始化浓度场C = np.zeros((nx, ny, nz, nt))C[0, 0, 0, 0] = C0# 迭代求解扩散方程for n in range(nt-1):for i in range(1, nx-1):for j in range(1, ny-1):for k in range(1, nz-1):C[i, j, k, n+1] = C[i, j, k, n] + D*dt/dx**2*(C[i-1, j, k, n] + C[i+1, j, k, n] + C[i, j-1, k, n] + C[i, j+1, k, n] + C[i, j, k-1, n] + C[i, j, k+1, n] - 6*C[i, j, k, n])return C```该函数接受一些参数，包括网格的大小(nx, ny, nz)，时间的步数nt，网格的大小(dx, dy, dz)，时间步长dt，扩散系数D和初始浓度C0。