导数与三角函数的结合

----导数与三角函数的结合
1.（导数与三角函数结合）已知函数3
2
1
()43cos 32
f x x x θ=-+，其中x R θ∈，为参数，且02
π
θ≤≤
.（1）当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；
（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数在区间（2a －1,a ）内都是增函数，求实数a 的取值范围.
【分析】定义域D 上的可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是0()0f x '=，且
()f x '在0x 两侧异号.
【解析】（1）当cos 0θ=时，3
1()432
f x x =+，则,012)('2
≥=x x f 函数()f x 在（－∞，＋∞）内是增函数，故无极值.
（2）2
()126cos f x x x θ'=-,令()0f x '=，得12cos 02
x x θ
==
，. 由02
π
θ≤≤
及（1）,只考虑cos 0θ>的情况.
当x 变化时，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：
因此，函数()f x 在2x =处取得极小值(
)2f ，且3()cos 2432
=-+f θ. 要使cos ()2f θ＞0,必有311cos 0432-+>θ，可得10cos 2θ<<，所以32
ππ
θ<<. （3）由（2）知，函数()f x 在区间（－∞，0）与cos ()2
θ
+∞，内都是增函数.由题设，函数()f x 在（2a －1,a ）内都是增函数，则a 需满足不等式组
21211
021cos 2
a a
a a a a θ-<⎧-<⎧⎪
⎨⎨≤-≥⎩⎪⎩或， 由（2）,参数ππθ∈（，）32时，10cos 2θ<<，要使不等式121cos 2a θ-≥关于参数θ恒成立，必有1
214a -≥.
综上，解得a ≤0或518a ≤<，所以a 的取值范围是（－∞，0］∪［5
8，1）.
2.已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R)，且在[0，π
2]上的最大值为π－32.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)判断函数f (x )在(0，π)内的零点个数，并加以证明．
【思路点拨】 (1)分a ＝0、a ＜0和a ＞0三种情况求函数f (x )的最大值； (2)先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数． 【规范解答】 (1)由已知得f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )， 对于任意x ∈(0，π
2)，有sin x ＋x cos x >0. 当a ＝0时，f (x )＝－3
2，不合题意．
当a <0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )<0，从而f (x )在(0，π
2)内单调递减．
又f (x )在[0，π2]上的图象是连续不断的，故f (x )在[0，π2]上的最大值为f (0)＝－3
2，不合题意；
当a >0，x ∈(0，π2)时，f ′(x )>0，从而f (x )在(0，π2)内单调递增，又f (x )在[0，π
2]上的图象是连续不断的，故f (x )在[0，π2]上的最大值为f (π2)，即π2a －32＝π－3
2，解得a ＝1.
综上所述，函数f (x )的解析式f (x )＝x sin x －3
2. (2)f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．
证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而有f (0)＝－32<0，f (π2)＝π－3
2>0. 又f (x )在[0，π2]上的图象是连续不断的，所以f (x )在(0，π
2)内至少存在一个零点． 又由(1)知f (x )在[0，π2]上单调递增，故f (x )在(0，π
2)内有且仅有一个零点． 当x ∈[π
2，π]时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x .
由g (π2)＝1>0，g (π)＝－π<0，且g (x )在[π2，π]上的图象是连续不断的，故存在m ∈(π2，π)，使得g (m )＝0.
由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈(π
2，π)时，有g ′(x )<0， 从而g (x )在(π
2，π)内单调递减．
当x ∈(π2，m )时，g (x )>g (m )＝0，即f ′(x )>0，从而f (x )在(π
2，m )内单调递增， 故当x ∈[π2，m ]时，f (x )≥f (π2)＝π－32>0，故f (x )在[π
2，m ]上无零点；
当x∈(m，π)时，有g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．
又f(m)>0，f(π)<0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．
综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．。