高三数学复习必修二课时练习题1

新教材人教A版高中数学必修第二册全册课时练习(一课一练,含解析)

人教A版高中数学必修第二册全册课时练习6.1 平面向量的概念 .............................................................................................................. - 2 - 6.2.1 向量的加法运算........................................................................................................ - 5 - 6.2.2 向量的减法运算........................................................................................................ - 8 - 6.2.3 向量的数乘运算...................................................................................................... - 11 - 6.2.4 向量的数量积............................................................................................................ - 14 - 6.3.1 平面向量基本定理.................................................................................................... - 18 - 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示.............................................................................. - 24 - 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示.................................................................................. - 27 - 6．4 平面向量的应用........................................................................................................ - 30 -7.1.1 数系的扩充和复数的概念...................................................................................... - 34 - 7.1.2 复数的几何意义...................................................................................................... - 37 - 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义.......................................................................... - 39 -7.2.2 复数的乘、除运算.................................................................................................. - 43 -8.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 46 - 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征................................................ - 49 - 8.2 立体图形的直观图........................................................................................................ - 51 - 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 55 - 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.............................................................. - 59 - 8.4.1 平面 ......................................................................................................................... - 62 - 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 66 - 8.5.1 直线与直线平行...................................................................................................... - 69 - 8.5.2 直线与平面平行...................................................................................................... - 73 - 8.5.3 平面与平面平行...................................................................................................... - 76 - 8.6.1 直线与直线垂直...................................................................................................... - 80 - 8.6.2 直线与平面垂直...................................................................................................... - 85 -8.6.3平面与平面垂直 ....................................................................................................... - 89 -9.1.1简单随机抽样 ........................................................................................................... - 94 - 9.1.2 分层随机抽样 ............................................................................................................. - 96 - 9.1.3 获取数据的途径 ......................................................................................................... - 96 - 9.2.1总体取值规律的估计 ............................................................................................. - 100 - 9.2.2 总体百分位数的估计 ............................................................................................... - 105 - 9.2.3 总体集中趋势的估计 ............................................................................................... - 105 -9.2.4 总体离散程度的估计 ............................................................................................... - 105 -10.1.1有限样本空间与随机事件.................................................................................... - 110 - 10.1.2事件的关系和运算 ............................................................................................... - 112 - 10.1.3古典概型 ............................................................................................................... - 115 - 10.1.4概率的基本性质 ................................................................................................... - 118 - 10.2事件的相互独立性 .................................................................................................. - 121 - 10.3频率与概率 .............................................................................................................. - 126 -6.1 平面向量的概念一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．【答案】D2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |.A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．【答案】D3．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →； PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →. EP →与PF →的模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.【答案】D4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形【解析】由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形．【答案】C 二、填空题5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.【解析】因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 【答案】 2 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解析】因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →. 【答案】BA →，CD →7．给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确；对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④不正确．【答案】②③ 三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如下图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解析】(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．10．如图，在△ABC 中，已知向量AD →＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF →.证明：由DF →＝EC →，可得DF ＝EC 且DF ∥EC ，故四边形CEDF 是平行四边形，从而DE ∥FC . ∵AD →＝DB →，∴D 为AB 的中点． ∴AE →＝EC →，∴AE →＝DF →.6.2.1 向量的加法运算一、选择题1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →【解析】因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A. 【答案】A2．设a 表示“向东走5 km”，b 表示“向南走5 km”，则a ＋b 表示( ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2 km 【解析】如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°. 【答案】D3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．【答案】A4．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →【解析】设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则OP 与OQ 之间的对角线对应的向量即向量a ＝OP →＋OQ →，由a 和FO →长度相等，方向相同，得a ＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →. 【答案】C 二、填空题5．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________.【解析】由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 【答案】06．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.【解析】原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 【答案】AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 【解析】在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 【答案】1 三、解答题8．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .【解析】(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)； (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)； (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．9.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.【解析】(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →，所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．【解析】如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N. 所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150 (N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6.2.2 向量的减法运算一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA → D.AB →－AB →＝0【解析】根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.【答案】C2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D.PA →＋AB →－BQ →【解析】D 中，PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →＝PB →＋QB →不能化简为PQ →，其余选项皆可．【答案】D3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD → D.DC →【解析】在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 【答案】C4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c【解析】DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 【答案】A 二、填空题5.EF →＋DE →－DB →＝________.【解析】EF →＋DE →－DB →＝EF →＋BE →＝BF →. 【答案】BF →6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线同向，所以|a －b |＝2. 【答案】0 27．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.【解析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平行四边形ABCD 为矩形，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点， ∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.【答案】2 三、解答题8．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解析】方法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .9．化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解析】(1)方法一原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 方法二原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →. (2)方法一原式＝DB →－DC →＝CB →.方法二原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →. 10．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解析】由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .6.2.3 向量的数乘运算一、选择题1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b【解析】原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →【解析】如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →. 【答案】D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4【解析】因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m ，解得m ＝－1或m ＝3. 【答案】A 4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 【解析】AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .【答案】D5．已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 【解析】由于|a |＝4，b ＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a . 【答案】26．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.【解析】因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB ＝35，BC AB ＝25，所以AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 【答案】35 －257．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________．【解析】由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5， ∴|λ|＝35，即λ＝±35.【答案】±35三、解答题 8．计算(1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 【解析】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 9．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.【解析】如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线，所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．10．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．【解析】(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．6.2.4 向量的数量积一、选择题1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为45°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2 D ．－12【解析】m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝24×22＝12 2. 【答案】B2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3【解析】a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 【答案】C3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【解析】因为|a |＝2，a ·(b －a )＝－1，所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1，所以a ·b ＝3.又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】C4．若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 【解析】因为a ·b ＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.【答案】A 二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是________．【解析】方法一 AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠B )＝－|AB →||BC →|cos∠B ＝－|AB →||BC→|·|AB →||BC →|＝－|AB →|2＝－1.方法二 |BA →|＝1，即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos∠B ，而|BC →|·cos∠B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1. 【答案】－16．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．【解析】设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】π37．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________．【解析】向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.【答案】32三、解答题8．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2；(2)(2a －b )·(a ＋3b )．【解析】(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.(2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3×42＝－60. 9．(1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |；(2)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值；(3)如图，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．【解析】(1)a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝53，|a －b |＝a －b2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝25＝5， |3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝325＝513.(2)∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ，又|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25，则a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a ＋b |＝20. (3)设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC →2＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，|DB →|＝DB →2＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，BD ＝7.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？【解析】(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1. 又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， ∴λ＝47.6.3.1 平面向量基本定理一、选择题1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．不确定【解析】∵a ＋b ＝3e 1－e 2， ∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．【答案】B2．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a【解析】如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD→－AB →＝2b －a . 【答案】B3．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 【解析】如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 【答案】D4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45【解析】∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.【答案】C 二、填空题5．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．【解析】因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线，因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【答案】36．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.【解析】AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . 【答案】2a －b7．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.【解析】BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .【答案】b －12a三、解答题8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .【解析】因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．【解析】NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值．【解析】(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1 4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示一、选择题1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8)【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)，所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．【答案】D2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)【解析】3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．【答案】D3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)【解析】b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．【答案】A4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．【答案】A 二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.【解析】由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)．【答案】(1，－2)6．如右图所示，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．【解析】设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|·sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)．【答案】(23，6)7．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.【解析】易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.【答案】－1 三、解答题8．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．【解析】由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．9．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．【解析】(1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15b .10．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b|＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .【解析】如图，以O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B (cos 150°，sin 150°)，C (3cos 240°，3sin 240°)．即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，又∵A (2,0)，故a ＝(2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎪⎫2λ1－32λ2，12λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，∴⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－33，∴c ＝－3a －33b .6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)【解析】由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．【答案】C2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2【解析】a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A.【答案】A3．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1) C ．(9,1) D ．(－9，－1) 【解析】设点C 的坐标是(x ，y )，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C. 【答案】C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3【解析】向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， ∴AB →＝(3,1)，∵OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →， ∴3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3，故选D.【答案】D 二、填空题5．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．【解析】因为向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 【答案】16．已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．【解析】①因为OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．【答案】①③④7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，c ＝(3,4)．若a ＋b 与c 共线，则实数λ＝________. 【解析】因为a ＋b ＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a ＋b 与c 共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝23.【答案】23三、解答题8．已知a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a 与b 共线且方向相同，求x . 【解析】∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a ∥b . ∴x 2－4＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，a 与b 共线且方向相同；当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，a 与b 共线且方向相反． ∴x ＝2.9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∵BF →＝13BC →，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∵AE →＝(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，∵BF →＝(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF →∥AB →. 10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．【解析】(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6【解析】依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D. 【答案】D2．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 【答案】C3．已知a ，b 为平面向量，且a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13， ∴cos〈a ，b 〉＝165×13＝1665.【答案】C4．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(k,4)，且(a －b )⊥c ，则k ＝( ) A ．－6 B ．－1 C ．1 D ．6【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，∴a －b ＝(－4,1)，∵(a －b )⊥c ，∴－4k ＋4＝0，解得k ＝1. 【答案】C 二、填空题5．a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________. 【解析】因为a ＝(－4,3)，所以2|a |2＝2×(－42＋32)2＝50.a ·b ＝－4×1＋3×2＝2.所以2|a |2－3a ·b ＝50－3×2＝44. 【答案】446．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.【解析】由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1.【答案】－17．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.【解析】c ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a |＝5，|b |＝25，设c ，a 的夹角为α，c ，b 的夹角为θ，又因为cos α＝c ·a |c ||a |，cos θ＝c ·b |c ||b |，由题意知c ·a |a |＝c ·b |b |，即5m ＋85＝8m ＋2025. 解得m ＝2. 【答案】2 三、解答题8．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解析】(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， |a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， |a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 5.9．已知向量a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，－1)． (1)若|c |＝32，且c ∥a ，求向量c 的坐标；(2)若b 是单位向量，且a ⊥(a －2b )，求a 与b 的夹角θ.【解析】(1)设c ＝(x ，y )，由|c |＝32，c ∥a 可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ＝0，x 2＋y 2＝18，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3，故c ＝(－3,3)或c ＝(3，－3)．(2)因为|a |＝2，且a ⊥(a －2b )，所以a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，∴a ·b ＝1，故cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π4.10．在△PQR 中，PQ →＝(2,3)，PR →＝(1，k )，且△PQR 的一个内角为直角，求k 的值．【解析】(1)当∠P 为直角时，PQ ⊥PR ， ∴PQ →·PR →＝0，即2＋3k ＝0，∴k ＝－23.(2)当∠Q 为直角时，QP ⊥QR ，易知QP →＝(－2，－3)，QR →＝PR →－PQ →＝(－1，k －3)．由QP →·QR →＝0，得2－3(k －3)＝0，∴k ＝113.(3)当∠R 为直角时，RP ⊥RQ ，易知RP →＝(－1，－k )，RQ →＝PQ →－PR →＝(1,3－k )．由RP →·RQ →＝0，得－1－k (3－k )＝0，∴k ＝3±132.综上所述，k 的值为－23或113或3＋132或3－132.6．4 平面向量的应用一、选择题1．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2)【解析】F 4＝－(F 1＋F 2＋F 3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．【答案】D2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.24 B ．－24C.34 D ．－34【解析】由题意得，b 2＝ac ＝2a 2，即b ＝2a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋2a 2－4a 22a ×2a＝－24.【答案】B3．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．10 m/s B ．226 m/s C ．4 6 m/s D ．12 m/s【解析】由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如右图． ∴小船在静水中的速度大小|v |＝102＋22＝104＝226 (m/s)．【答案】B4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】因为BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB →，所以BD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2，即14AC →2＝1，所以|AC →|＝2，即AC ＝2. 【答案】B 二、填空题5．如图所示，一力作用在小车上，其中力F 的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F 做的功为________焦耳．【解析】设小车位移为s ，则|s |＝10米，W F ＝F ·s ＝|F ||s |·cos 60°＝10×10×12＝50(焦耳)．【答案】506．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________．【解析】由AB →＝3e ，DC →＝5e ，得AB →∥DC →，AB →≠DC →，又因为ABCD 为四边形，所以AB ∥DC ，AB ≠DC . 又|AD →|＝|BC →|，得AD ＝BC ，所以四边形ABCD 为等腰梯形．【答案】等腰梯形7．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________ km.【解析】如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．【答案】3 2 三、解答题 8.如图所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连接DP ，EF ，求证：DP ⊥EF .证明：方法一设正方形ABCD 的边长为1，。

人教版高中数学必修第二册课时作业(一) 【含解析】

数学必修第二册课时作业(一)【原卷版】1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有()A．4个B．5个C．6个D．7个2．【多选题】下列结论正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－bB．非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量D．与非零向量a平行的单位向量有1个3．设O是△ABC的外心，则AO→，BO→，CO→是()A．相等向量B．模相等的向量C．平行向量D．起点相同的向量4．【多选题】如图，O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是()A.AO→＝OC→B.AO→∥AC→C.AB→与CD→共线D.AO→＝BO→5．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.AB→与AC→共线B.DE→与CB→共线C.AD→与AE→相等D.AD→与BD→相等6．四边形ABCD中，AB→＝2DC→，则四边形ABCD为()A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形7．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．8．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD→|＝________．9．某人向正东方向行进100m后，再向正南方向行进1003m，则此人位移的方向是________．10.如图，若四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与AB →共线的向量有________________________________________________________________；(2)图中与AB →相等的向量有________；(3)图中与AB →的模相等的向量有_______________________________________；(4)图中与EC →相等的向量有________．11.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则以A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量是________．12．若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．13．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2km 到达D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6km 到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2km 才到达B 地．(1)在图中画出向量AD →，DC →，CB →，AB →；(2)描述B 地相对于A 地的位置．14．如图，在四边形ABCD 中，已知M ，N 分别是BC ，AD 的中点，且AB →＝DC →，求证：CN 綉MA .15．中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．1．O 是△ABC 内一点，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的()A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心2．【多选题】下列命题中是真命题的是()A ．向量AB →∥CD →(AB →，CD →为非零向量)就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．零向量与任一向量平行C ．相等向量一定是平行向量D ．平行向量一定是相等向量3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，O 是两条对角线的交点，设点集M ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{PQ →|P ∈M ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，求集合T 中元素的个数．4．对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？(1)把所有单位向量的起点平行移动到同一点P ；(2)把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 上的点P ；(3)把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的点P .5．民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个平行四边形，如图所示．试写出图中与FE →模相等的向量．6．指出下图中的平行向量和相等向量．7.如图所示，在四边形ABCD中，AB→＝DC→，N，M是AD，BC上的点，且CN→＝MA→.(1)求证：DN→＝MB→；(2)试写出图中与向量DN→共线的向量．数学必修第二册课时作业(一)【解析版】1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度．其中是向量的有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个答案A解析速度、位移、力、加速度这4个物理量是向量，它们都有大小和方向．2．【多选题】下列结论正确的是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bB ．非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量D ．与非零向量a 平行的单位向量有1个答案BC解析A 中两个向量未必共线；D 中与非零向量a 平行的单位向量有2个．3．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是()A ．相等向量B ．模相等的向量C ．平行向量D ．起点相同的向量答案B4．【多选题】如图，O 是正方形ABCD 的中心，则下列结论正确的是()A.AO →＝OC →B.AO →∥AC →C.AB →与CD →共线 D.AO →＝BO→答案ABC解析根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量作出判断，只有D 是错误的，AO →与BO →只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．5．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()A.AB →与AC →共线 B.DE →与CB →共线C.AD →与AE →相等D.AD →与BD →相等答案B解析如图，因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以由三角形的中位线定理可得DE ∥BC .所以DE →与CB →共线．6．四边形ABCD 中，AB →＝2DC →，则四边形ABCD 为()A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形答案C解析∵AB →＝2DC →，∴AB ∥DC 且AB ≠DC .∴四边形ABCD 为梯形．7．在坐标平面上，把所有单位向量的起点平移到坐标系的原点，则它们的终点所构成的图形是________．答案单位圆8．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________．答案23解析由题意知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC ，BD 交点为O ，在Rt △ABO 中，|BO →|＝|AB →|·cos 30°＝2×32＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝23.9．某人向正东方向行进100m 后，再向正南方向行进1003m ，则此人位移的方向是________．答案南偏东30°解析如图所示，此人从点A 出发，经点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝BC BA ＝1003100＝3，∵∠BAC 是三角形的内角，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是南偏东30°.10.如图，若四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形，则：(1)图中与AB →共线的向量有________________________________________________________________；(2)图中与AB →相等的向量有________；(3)图中与AB →的模相等的向量有_______________________________________；(4)图中与EC →相等的向量有________．答案(1)DC →，BE →，BA →，CD →，EB →，AE →，EA →(2)DC →，BE→(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →(4)BD→11.如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，则以A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量是________．答案BA →，FE →，CD→解析由平行四边形的性质，可知AB 綉EF 綉DC .则与向量EF →方向相反的向量有BA →，FE →，CD →.12．若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．答案西北方向52km解析根据题意画出图形如图所示，由图可知|BC →|＝52km ，且∠ABC ＝45°，故C 地相对于B 地的位移是西北方向52km.13．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2km 到达D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6km 到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2km才到达B 地．(1)在图中画出向量AD →，DC →，CB →，AB →；(2)描述B 地相对于A 地的位置．解析(1)作向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，所以四边形ABCD 为平行四边形，所以AB →＝DC →，所以B 地相对于A 地的位置为“北偏东60°，相距6km ”．14．如图，在四边形ABCD 中，已知M ，N 分别是BC ，AD 的中点，且AB →＝DC →，求证：CN 綉MA .证明因为AB →＝DC →，所以AB ＝DC ，且AB ∥DC .所以四边形ABCD 是平行四边形．所以AD →＝BC →.又因为M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以AN ＝MC ，且AN ∥MC .所以四边形AMCN 是平行四边形．所以CN 綉MA .15．中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解析根据规则，作出符合要求的所有向量，如图．1．O 是△ABC 内一点，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则O 是△ABC 的()A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心答案C解析由条件知点O 到△ABC 三个顶点的距离相等，所以O 是△ABC 的外心．2．【多选题】下列命题中是真命题的是()A ．向量AB →∥CD →(AB →，CD →为非零向量)就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．零向量与任一向量平行C ．相等向量一定是平行向量D ．平行向量一定是相等向量答案BC解析向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 是假命题；零向量的方向是任意的，因此与任一向量平行，故B 是真命题；相等向量的方向相同，因此相等向量一定是平行向量，故C 是真命题；平行向量的长度不一定相同，即使长度相同，方向也有可能相反，因此平行向量不一定是相等向量，故D 是假命题．3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，O 是两条对角线的交点，设点集M ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{PQ →|P ∈M ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，求集合T 中元素的个数．解析从模和方向两个角度考虑，以下向量是互不相等的向量：AB →，BA →，AD →，DA →，AO →，OA →，AC →，CA →，BO →，OB →，BD →，DB →，其他向量都与它们中的某一个相等，故集合T 中有12个元素．4．对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？(1)把所有单位向量的起点平行移动到同一点P ；(2)把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 上的点P ；(3)把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的点P .解析(1)是以P 点为圆心，以1个单位长度为半径的圆．(2)是直线l .(3)是直线l 上与点P 的距离为1个单位长度的两个点．5．民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个平行四边形，如图所示．试写出图中与FE →模相等的向量．解析与FE →模相等的向量有EF →，DO →，OD →，GH →，HG →，OB →，BO →，AO →，OA →，共9个．6．指出下图中的平行向量和相等向量．解析平行向量有CD →∥AB →∥IJ →∥MN →，EF →∥GH →∥KL →.相等向量有CD →＝MN →，AB →＝IJ →.7.如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 是AD ，BC 上的点，且CN →＝MA →.(1)求证：DN →＝MB →；(2)试写出图中与向量DN →共线的向量．解析(1)证明：因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|，且AB ∥CD .因此四边形ABCD 是平行四边形，所以|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB .同理，由CN →＝MA →，可证四边形CNAM 是平行四边形，所以CM →＝NA →.所以|MB →|＝|DN →|，即DN →与MB →的模相等，又DN →与MB →的方向相同，故DN →＝MB →.(2)图中与向量DN →共线的向量有NA →，AN →，ND →，CM →，MC →，MB →，BM →，CB →，BC →，DA →，AD →.。

高三数学试题-高三数学复习必修二课时练习题22 最新

学科：数学专题：空间直角坐标系题1在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点1P 的坐标特点为，在Oy 轴上的点2P 的坐标特点为，在Oz 轴上的点3P 的坐标特点为 .题2题3 在空间直角坐标系中，点（3，－4，1）关于y 轴对称的点的坐标是．题4题5点(235)P ，-，-到平面xOz 的距离为．题6在空间直角坐标系O －xyz 中，点P （2，3，4）在平面xOy 内的射影的坐标为．题7判断以(419)A ---，，，(1016)B --，，，(243)C ---，，为顶点的三角形的形状．题8求到两定点(230)A ，，，(510)B ，，距离相等的点的坐标()x y z ，，满足的条件．题9给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点0(412)P ，，题10在空间直角坐标系O －xyz 中，设点M 是点N （2，－3，5）关于坐标平面xoy 的对称点，则线段MN 的长度等于．题11在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且边长为2a ，棱PD ⊥底面ABCD ，PD =2b ，取各侧棱的中点E ，F ，G ，H ，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．题12在空间直角坐标系中，已知点A (1，0，2)，B (1，－3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．题13在空间直角坐标系O xyz -中，1z =的所有点构成的图形是．题14若向量a 在y 轴上的坐标为0，其他坐标不为0，那么与向量a 平行的坐标平面是（）Ａ．xOy 平面Ｂ．xOz 平面Ｃ．yOz 平面Ｄ．以上都有可能课后练习详解题1答案：1(00)P x，，，2(00)P y，，，3(00)P z，，．详解：由空间坐标系的定义知：在Ox轴上的点P1的坐标特点为（x，0，0），在Oy轴上的点P2的坐标特点为（0，y，0），在Oz轴上的点P3的坐标特点为（0，0，z）．故答案应依次为1(00)P x，，，2(00)P y，，，3(00)P z，，．题2答案：（－2，－1，2）．详解：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标、纵坐标、竖坐标都互为相反数，可得点P（2，1，－2）关于坐标原点的对称点的坐标为（－2，－1，2），故答案为（－2，－1，2）．题3答案：（－3，－4，－1）．详解：∵在空间直角坐标系中，点（3，－4，1）关于y轴对称，∴其对称点为：（－3，－4，－1），故答案为：（－3，－4，－1）．题4答案：（2，－3，－5）．详解：点（x，y，z）关于xOy平面的对称点的坐标是（x，y，－z），∴点A（2，－3，5）关于xOy平面的对称点的坐标是B（2，－3，－5）．题5答案：3．详解：点(235)P，-，-到平面xOz的距离与其横、竖坐标无关，只与其纵坐标有关，由于平面xOz的方程为y=0，故点(235)P，-，-到平面xOz的距离为|－3－0|=3故答案为3．题6答案：（2，3，0）．详解：∵P （2，3，4）在平面xOy 内射影为P ′则P ′与P 的横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标为0故P ′的坐标为（2，3，0）故答案为：（2，3，0）．题7答案：等腰直角三角形．详解：()7d A B ==，，()7d A C ==，，()d B C ==，∵222()()()d A B d A C d B C +=，，，且()()d A B d A C =，，．ABC ∴△为等腰直角三角形．题8答案：64130x y --=详解：设()P x y z ，，为满足条件的任一点，则由题意，得PA =PB = PA PB =∵，64130x y --=∴即为所求点所满足的条件．题9答案：(900)，，或(100)-，，．详解：设点P 的坐标是(00)x ，，，由题意，0P P ==， 2(4)25x -=∴．解得9x =或1x =-．∴点P 坐标为(900)，，或(100)-，，．题10答案：10．详解：∵M 是N 关于坐标平面xoy 的对称点∴M 点坐标为（2，－3，－5）∴|MN |=|5－（－5）|=10故答案为：10．题11答案：E （a ，0，b ），F （a ，a ，b ），G （0，a ，b ），H （0，0，b ）．详解：由图形知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，建立空间坐标系D －xyz ．因为E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面EFGH 与底面ABCD 平行，从而这4个点的竖坐标都为P 的竖坐标的一半，也就是b ，由H 为DP 中点，得H （0，0，b ）. E 在底面面上的投影为AD 中点，所以E 的横坐标和纵坐标分别为a 和0，所以E （a ，0，b ），同理G （0，a ，b ）；F 在坐标平面xOz 和yOz 上的投影分别为点E 和G ，故F 与E 横坐标相同都是a ，与G 的纵坐标也同为a ，又F 竖坐标为b ，故F （a ，a ，b ）．题12答案：M (0,－1,0).详解：设M (0,y,0).由12+y 2+4=1+(－3－y )2+1,可得y=－1, 故M (0,－1,0).题13答案：过点(001)，，且与z 轴垂直的平面详解：1z =表示方程0x +0y +1z =, 所以z =1表示一个平面，其与xOy 平面平行且距离为1，故z =1的所有点构成的图形是过点（0，0，1）且与z 轴垂直的平面．题14答案：Ｂ．详解：设a=（a，0，b），（a≠0，b≠0）∴a＝a i+b j（i，j分别是x，z轴上的单位向量），∴与向量a平行的坐标平面是xOz平面．故选B．。

高中数学选择性必修二 4 2 2第1课时等差数列的前n项和-练习

第四章数列4.2 等差数列4.2.2 等差数列的前n 项和公式第1课时等差数列的前n 项和课后篇巩固提升基础达标练1.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 5=4,S 7=21,则a 7的值为( )A.6B.7C.8D.9{a n }的公差为d ,则{a 1+d +a 1+4d =4,7a 1+7×62d =21,解得{a 1=-3,d =2,所以a 7=a 1+6d=-3+6×2=9,故选D .2.(多选)(2020山东高三月考)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则下列正确的是( )A.a 1=-2B.a 1=2C.d=4D.d=-4{a 4+a 5=2a 1+7d =24,S 6=6a 1+15d =48,所以{a 1=-2,d =4.故选AC .3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a n 等于( )A.nB.n 2C.2n+1D.2n-1n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1,且a 1=1适合上式,故a n =2n-1(n ∈N *).4.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驽马多行( ) A.1 125里 B.920里 C.820里 D.540里{a n },则{a n }是以103为首项,以13为公差的等差数列,其前n 项和为A n ,驽马每天所行路程为{b n },则{b n }是以97为首项,以-12为公差的等差数列,其前n 项和为B n ,设共用n 天二马相逢,则A n +B n =2×1 125,所以103n+n (n -1)2×13+97n+n (n -1)2(-12)=2 250, 化简得n 2+31n-360=0,解得n=9.A 9=103×9+9×82×13=1 395,B 9=2 250-1 395=855,A 9-B 9=1 395-855=540.5.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n+1,令b n =1n (a 1+a 2+…+a n ),则数列{b n }的前10项和T 10=( )A.70B.75C.80D.85a n =2n+1, ∴数列{a n }是等差数列,首项a 1=3,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2=n (3+2n+1)2=n 2+2n ,∴b n =1n S n =n+2,∴数列{b n }也是等差数列,首项b 1=3,公差为1.∴其前10项和T 10=10×3+10×92×1=75,故选B .6.已知等差数列{a n}中,a10=13,S9=27,则公差d=,a100=.9=9a5=27⇒a5=3,d=a10-a55=13-35=2,∴a100=a10+90d=13+90×2=193.1937.(2019全国Ⅲ,理14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=.{a n}的公差为d.∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.∴S10S5=10a1+10×92d5a1+5×42d=100a125a1=4.8.已知数列{a n}的前n项和为S n=n·2n-1,则a3+a4+a5=.3+a4+a5=S5-S2=(5×25-1)-(2×22-1)=152.9.设数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S nn)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{a n}的通项公式.,得S nn=3n-2,即S n=3n2-2n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.因为a1=S1=1,满足a n=6n-5,所以a n=6n-5(n∈N*).10.已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.∵a n+2=2a n+1-a n+2,∴a n+2-a n+1=a n+1-a n+2,即b n+1=b n+2.又b1=a2-a1=2-1=1,∴数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,a n+1-a n=1+2(n-1)=2n-1,∴a n-a n-1=2(n-1)-1,a n-1-a n-2=2(n-2)-1,……a2-a1=2×1-1,累加,得a n-a1=2×n(n-1)-(n-1)=n2-2n+1,2∴a n=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,∴数列{a n}的通项公式为a n=n2-2n+2.能力提升练1.在等差数列{a n}中,2a4+a7=3,则数列{a n}的前9项和S9等于()A.3B.6C.9D.12{a n}的公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,即a5=1,所以S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=9.2.若公差不为0的等差数列{a n }的前21项的和等于前8项的和,且a 8+a k =0,则正整数k 的值为( )A.20B.21C.22D.23{a n }的前n 项和为S n ,由题意,得S 21=S 8,即a 9+a 10+…+a 21=0.根据等差数列的性质,得13a 15=0,即a 15=0.故a 8+a 22=2a 15=0,即k=22.故选C .3.已知等差数列{a n },a 2=6,a 5=15,若b n =a 2n ,则数列{b n }的前5项和等于( )A .30B .45C .90D .186{a n }易得公差d 1=3.又b n =a 2n ,所以{b n }也是等差数列,公差d 2=6.故S 5=b 1+b 2+b 3+b 4+b 5=a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=5×6+5×42×6=90.4.(2020河北正定中学高一月考)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,已知S 14>0,S 15<0,下列选项正确的是( ) A.a 1>0,d<0B.a 7+a 8>0C.S 6与S 7均为S n 的最大值D.a 8<0,有S 14=14×(a 1+a 14)2=7(a 1+a 14)=7(a 7+a 8)>0,即a 7+a 8>0,S 15=15×(a 1+a 15)2=15a 8<0,即a 8<0,则a 7>0;故等差数列{a n }的前7项为正数,从第8项开始为负数,则a 1>0,d<0.则有S7为S n的最大值.故A,B,D正确.故选ABD.5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N*),则a5=.n≥2时,由S n=2a n-1,得S n-1=2a n-1-1.两式相减,得a n=2a n-2a n-1,所以a n=2a n-1.因为a1=2a1-1,所以a1=1,故a5=2a4=22a3=23a2=24a1=16.6.(2019北京,理10)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为.{a n}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差数列{a n}的性质得当n≤5时,a n≤0,当n≥6时,a n大于0,所以S n的最小值为S4或S5,即为-10.-107.已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:{1S n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.-a n=2S n S n-1(n≥2),∴-S n+S n-1=2S n S n-1(n≥2).又S n≠0(n=1,2,3,…),∴1S n −1S n-1=2.又1S1=1a1=2,∴{1S n}是以2为首项,2为公差的等差数列.(1)可知1S n =2+(n-1)·2=2n,∴S n=12n.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n −12(n -1)=-12n (n -1)或当n ≥2时,a n =-2S n S n-1=-12n (n -1);当n=1时,S 1=a 1=12.故a n ={12,n =1,-12n (n -1),n ≥2. 素养培优练设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =λa n -1(λ为常数,n=1,2,3,…).(1)若a 3=a 22,求λ的值.(2)是否存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.因为S n =λa n -1,所以a 1=λa 1-1,a 2+a 1=λa 2-1,a 3+a 2+a 1=λa 3-1. 由a 1=λa 1-1,可知λ≠1,所以a 1=1λ-1,a 2=λ(λ-1)2,a 3=λ2(λ-1)3. 因为a 3=a 22,所以λ2(λ-1)3=λ2(λ-1)4,解得λ=0或λ=2.(2)假设存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列,则2a 2=a 1+a 3,由(1)可得2λ(λ-1)2=1λ-1+λ2(λ-1)3, 所以2λ(λ-1)2=2λ2-2λ+1(λ-1)3=2λ(λ-1)2+1(λ-1)3,即1(λ-1)3=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列.。

高中数学必修2全册课时同步练习题及答案

高中数学必修2全册课时同步练习题及答案第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．2．一般地，有一个面是多边形，其余各面都是________________________________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．3．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫________．4．以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体叫做圆锥．5．(1)用一个________________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．(2)用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．6．以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．一、选择题1．棱台不具备的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点2．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台3．下列说法正确的是()A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线4．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱6．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下二、填空题7．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是________．三、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．能力提升12．下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个正方体的图形的是()13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化，即把三维图形化归为二维图形求解．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连接两点的线段长求解．第一章空间几何体§1．1空间几何体的结构1．1．1柱、锥、台、球的结构特征答案知识梳理1．互相平行2．有一个公共顶点的三角形3．圆柱4．直角边5．(1)平行于棱锥底面(2)平行6．直径作业设计1．C[用棱台的定义去判断．]2．C[A、B的反例图形如图所示，D显然不正确．]3．C[圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．]4．D[两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B不正确，C不符合棱台的定义，所以应选D．] 5．C6．B7．48．圆锥9．①②10．解截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′．其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．11．解圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°．∴SO ＝AO ＝3x cm ，OO 1＝2x cm ．∴12(6x ＋2x)·2x ＝392，解得x ＝7，∴圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝2OO 1＝14 2 cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm ．12．C13．解把圆柱的侧面沿AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB ′，则AB ′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB ＝A ′B ′＝2，AA ′为底面圆的周长，且AA ′＝2π×1＝2π， ∴AB ′＝A ′B ′2＋AA ′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

人教版高中数学(必修2)全套训练习题含答案

高中数学必修二训练集锦目录：数学2（必修）数学2（必修）第一章：空间几何体[ 基础训练A组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 基础训练A组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 综合训练 B 组] 数学 2（必修）第四章：圆和方程 [ 提高训练 C 组]33 3 （数学 2 必修）第一章空间几何体[ 基础训练 A 组] 一、选择题1 ．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个 ()A . 棱台B . 棱锥C . 棱柱 D. 都不对主视图左视图俯视图2 ．棱长都是 1 的三棱锥的表面积为（）A .B .2 C .3 D.43 ．长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4 ,5 ，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A ． 2 5B ． 5 0C ． 1 2 5D ．都不对4 ．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A ．: 1 B ． : 2C ． 2 :D ． 35 ．在 △ A B C 中， AB 2 , B C 1 . 5 , AB C1 2 0 ,若使绕直线 B C 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）9 7 5 3 A .B .C .D.22226 ．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 5 ，它的对角线的长分别是 9 和 1 5 ，则这个棱柱的侧面积是（） A ． 1 3 0B ． 1 4 0C ． 1 5 0D ． 1 6 0二、填空题1 ．一个棱柱至少有 _____ 个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱。

高中数学必修二第1课时余弦定理、正弦定理 (2)

6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理、正弦定理基础过关练题组一余弦定理1.△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=1,c=2,cos B=12,则b=( )A.√2B.√3C.2D.32.在△ABC 中,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-32B.32C.-152D.1523.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.150° B.90° C.135°D.120°4.在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,若(a-b-c)(a-b+c)+ab=0且sin A=12,则B=( ) A.π2B.π3C.π4D.π65.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a=10,b=15,A=30°,则此三角形( )A.无解B.有一个解C.有两个解D.解的个数不确定6.(2020福建厦门双十中学高三上期中)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=8,a=b+2,那么△ABC 的周长等于( ) A.12 B.20 C.26 D.10√37.(2020山东济宁高一上期末)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos ∠BAC=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010 D .-3√10108.(2019山东菏泽一模)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=√2,cos A=-√24,则b 的值为 .9.在△ABC 中,abca 2+b 2+c 2(cosA a+cosB b+cosC c)= .10.在△ABC 中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC 边上的中线长为 . 11.如图,在△ABC 中,已知点D 在边BC 上,且∠DAC=90°,sin ∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3.求BD 的长.12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=2,2cos2A+B-cos22C=1.(1)求C的大小;的值.(2)求cb题组二正弦定理13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列关系式中一定成立的是()A.a>bsin AB.a=bsin AC.a<bsin AD.a≥bsin A14.(2020安徽淮北师范大学附属实验中学高二上期末)在△ABC中,AC=2√2,∠ABC=135°,则△ABC的外接圆的面积为()A.12πB.8πC.16πD.4π15.在△ABC中,a=2√3,b=2√2,∠B=45°,则∠A=()A.30°或150°B.60°或120°C.60°D.30°16.(2020北京西城高三上期末)在△ABC中,若a=6,A=60°,B=75°,则c=()A.4B.2√2C.2√3D.2√617.(多选)(2019山东济南高一月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形,其中有两解的是()A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°18.△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若3b ·cos C=c(1-3cos B),则c ∶a=( ) A.1∶3 B.4∶3 C.3∶1D.3∶219.(2020湖北名师联盟高三上期末)在△ABC 中,a=3,b=2√6,B=2A,则cos A= .20.在△ABC 中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为 . 21.(2020湖南邵阳武冈二中高二月考)在△ABC 中,AC=6,cos B=45,C=π4.(1)求AB 的长; (2)求cos (A -π6)的值.22.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,a=2√3,tan A+B2+tan C2=4,sinBsin C=cos2A2.求A,B及b,c.题组三利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状23.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2bcos C,则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形24.(2020湖南大学附属中学高二上期末)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定25.在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形26.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定27.(多选)在△ABC中,若acos A=bcos B,则△ABC的形状为(易错)A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形能力提升练题组一利用余弦定理、正弦定理解三角形1.(2020河南洛阳高二上期末,)在△ABC中,已知A=60°,a=2√3,b=2,则B=(易错)A.30°B.45°C.30°或150°D.45°或135°2.()在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶6,则sin B等于()A.2√149B.√149C.√115D.2√1153.(2020河北石家庄高一期中,)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2ab =sinBcosC,且sin(A-C)=sin B-34,则sin B=.4.()如图所示,设P是正方形ABCD内部的一点,P到顶点A,B,C的距离分别是1,2,3,求正方形的边长.深度解析题组二利用余弦定理、正弦定理求最值或取值范围5.(2020广东深圳实验学校高一上期末,)△ABC的内角A,C的对边分别为a,c,若∠C=45°,c=√2,且满足条件的三角形有两个,则a的取值范围为()A.(√22,1) B.(√2,2) C.(1,2) D.(1,√2)6.(2020安徽阜阳高二上期末,)在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2=√3ac+b2,则cos A+sin C的取值范围为()A.(√32,32) B.(√22,2) C.(12,32) D.(√3,2)7.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二上月考,)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b+ca =cos B+cos C,bcsinA=8,则△ABC的周长的最小值为()A.3B.3+3√2C.4D.4+4√28.(2020辽宁锦州高一期末,)锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=2A,则ccosA=,边长c的取值范围是.9.(2020山西大同第一中学高三线上考试,)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,c=2,A=π3,则asin C=,a+b的取值范围是.题组三余弦定理、正弦定理的综合应用10.(2020广东深圳中学高一上期末,)秦九韶是我国南宋著名的数学家,在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则S=√14[a2c2-(a2+c2-b22)2].若c2sin A=4sin C,B=π3,则用“三斜求积术”求得的△ABC的面积为()A.√3B.2C.2√3D.411.(2020辽宁沈阳一中高一下期末,)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知三个向量m=(a,cos A2),n=(b,cos B2),p=(c,cos C2)共线,则△ABC为()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形12.()在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若lg a-lg c=lg sin B=-),则△ABC的形状是()lg√2,且B∈(0,π2A.等边三角形B.锐角三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形13.()在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(√3,-1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则B=.14.(2019天津,)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;)的值.(2)求sin(2B+π6答案全解全析基础过关练1.B 由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2accos B=12+22-2×1×2×12=3,所以b=√3(负值舍去),故选B.2.C∵cos C=|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |22|CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=52+32-722×5×3=-12, ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos C=3×5×(-12)=-152.故选C.3.D 设长度为5、7、8的边所对的角分别为角A 、B 、C,由三角形的性质易知A,C 分别为最小角,最大角,B 为中间角,所以B 为锐角,因为cos B=52+82-722×5×8=12,所以B=60°,所以A+C=120°.故选D.4.A 由(a-b-c)(a-b+c)+ab=0,可得a 2+b 2-c 2=ab,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab =12,又C ∈(0,π),所以C=π3.因为sin A=12,A ∈(0,π),所以A=π6或A=5π6.当A=π6时,B=π2;当A=5π6时,A+C>π,不合题意.故选A.5.C 由a 2=b 2+c 2-2bccos A,得102=152+c 2-2×15×ccos 30°,∴c 2-15√3c+125=0,解得c=15√3±5√72∈(5,25), ∴c 有两解,即△ABC 有两个解,故选C. 6.B 根据cos A=b 2+c 2-a 22bc 及已知得12=b 2+64-(b+2)216b,解得b=5,所以a=b+2=7,所以△ABC 的周长等于7+5+8=20.故选B.7.C 设BC 边上的高为AD,则BC=3AD,又知B=π4,所以AD=BD,所以DC=2AD,所以AC=√AD 2+DC 2=√5AD,AB=√2AD.在△ABC 中,由余弦定理的推论,知cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =2222×√2AD×√5AD =-√1010,故选C.8.答案 1解析由余弦定理的推论可得cos A=b 2+c 2-a 22bc =22√2b =-√24,整理得b 2+b-2=0,解得b=1或b=-2(舍去). 9.答案 12 解析原式=abc a 2+b 2+c 2·bccosA+accosB+abcosCabc=bc (b 2+c 2-a 22bc )+ac (a 2+c 2-b 22ac )+ab (a 2+b 2-c 22ab)a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 22(a 2+b 2+c 2)=12.10.答案 7解析由余弦定理的推论及已知得cos A=AB 2+AC 2-BC 22·AB ·AC =92+82-722×9×8=23.设AC 边上的中线长为x,由余弦定理,得x2=(AC 2)2+AB 2-2·AC 2·ABcos A=42+92-2×4×9×23=49,所以x=7(负值舍去).所以AC 边上的中线长为7. 11.解析 ∵∠DAC=90°,∴sin ∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos ∠BAD, ∴cos ∠BAD=2√23. 在△ABD 中,由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos ∠BAD,即BD 2=18+9-2×3√2×3×2√23=3,∴BD=√3.12.解析 (1)∵在△ABC 中,2cos 2A+B 2-cos 2C=1,∴2sin 2 C2-cos 2C=1, ∴cos 2C+1-2sin 2 C2=cos 2C+cos C=0,∴2cos 2C+cos C-1=0,解得cos C=12或cos C=-1(舍去). 又∵0<C<π,∴C=π3. (2)∵a=3,b=2,∴在△ABC 中,由余弦定理,得c=√a 2+b 2-2abcosC =√9+4-6=√7, ∴c b =√72.13.D 由a sinA =b sinB ,得a=bsinA sinB .在△ABC 中,∵0<sin B ≤1,∴1sinB ≥1,∴a ≥bsin A. 14.D 设△ABC 的外接圆的半径为R, 则由正弦定理可得ACsin ∠ABC =2R, 即2R=2√2sin135°=√2√22=4,所以R=2,所以△ABC 的外接圆的面积S=πR 2=4π.故选D. 15.B由a sinA =bsinB ,得sin A=asinB b =2√3×√222√2=√32,∵0°<A<135°,∴∠A=60°或∠A=120°. 16.D ∵a=6,A=60°,B=75°, ∴C=180°-60°-75°=45°, ∴由asinA =csinC ,得c=asinC sinA =6×sin45°sin60°=2√6.故选D.17.BC 选项A:因为A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三个角是确定的值,故只有一解.选项B:因为sin C=csinB b=8√315<1,且c>b,所以角C 有两解.选项C:因为sin B=bsinA a=4√27<1,且b>a,所以角B 有两解.选项D:因为sin B=bsinAa<1,且b<a,所以角B 仅有一解.故选BC.18.C 由3bcos C=c(1-3cos B)及正弦定理可得3sin Bcos C=sin C(1-3cos B),化简可得sin C=3sin(B+C).又A+B+C=π,∴sin C=3sin A,∴c ∶a=sin C ∶sin A=3∶1.故选C. 19.答案√63解析 ∵a=3,b=2√6,B=2A,∴由正弦定理可得a sinA =b sinB =b2sinAcosA , ∴cos A=b 2a =2√62×3=√63. 20.答案 2√3-2解析 ∵A=60°,C=45°,∴B=75°,∴最小边长为c.由正弦定理,得2sin75°=csin45°.又sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°·cos 30°+cos 45°sin 30°=√6+√24,∴c=2sin45°sin75°=2×√22√6+√24=2√3-2.21.解析 (1)∵cos B=45,0<B<π,∴sin B=√1-cos 2B =√1-(45)2=35.由正弦定理,得ACsinB =ABsinC ,∴AB=AC ·sinC sinB =6×√2235=5√2.(2)在△ABC 中,A+B+C=π,∴A=π-(B+C),∴cos A=-cos(B+C)=-cos (B +π4) =-cos Bcos π4+sin Bsin π4. 又cos B=45,sin B=35, ∴cos A=-45×√22+35×√22=-√210.∵0<A<π,∴sin A=√1-cos 2A =7√210. ∴cos (A -π6)=cos Acos π6+sin Asin π6 =-√210×√32+7√210×12=7√2-√620.22.解析由tan A+B 2+tan C2=4, 得tanπ-C 2+tan C2=4, 即sin π-C2cos π-C 2+sin C2cos C 2=4, 整理得cos 2 C2+sin 2 C2sin C2cos C2=4,又∵sin C=2sin C2·cos C 2,∴2sinC=4, ∴sin C=12.又C ∈(0,π),∴C=π6或C=5π6.又sin Bsin C=cos 2 A 2=1+cosA 2=1-cos(B+C)2,即2sin Bsin C=1-cos(B+C)=1-cos Bcos B+sin BsinC,∴cos Bcos C+sin Bsin C=1, ∴cos(B-C)=1, ∵B ∈(0,π),∴B-C=0, ∴B=C=π6,故A=2π3. 由正弦定理得bsinB =csinC =asinA =2√3sin 2π3=4,所以b=c=4sin π6=2.故b=c=2,A=2π3,B=π6. 23.C 解法一:由余弦定理,得cos C=a 2+b 2-c 22ab =a2b ,整理得b 2=c 2,即b=c,故该三角形一定为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C. 解法二:∵a=2bcos C,∴由正弦定理得sin A=2sin Bcos C. 又∵A+B+C=π, ∴sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C. ∴2sin Bcos C=sin Bcos C+cos Bsin C. ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即sin(B-C)=0.∵0<B<π且0<C<π,∴-π<B -C<π. ∴B-C=0,即B=C.∴△ABC 为等腰三角形.无法判断其是不是直角三角形.故选C.24.B 解法一:由bcos C+ccos B=asin A 及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin 2A,即sin(B+C)=sin 2A,即sin A=sin 2A.易知0<A<π,sin A ≠0,所以sin A=1,即A=π2,所以△ABC 为直角三角形.故选B.解法二:由余弦定理的推论及已知得b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac =a ·sin A,整理得2a 2=2a 2sin A,易知a 2≠0,所以sin A=1,又0<A<π,所以A=π2,所以△ABC 为直角三角形.故选B. 25.B 由cos 2 B 2=a+c2c 可得,1+cosB 2=a+c2c ,即cos B=ac .解法一:由余弦定理的推论可得a 2+c 2-b 22ac =ac ,整理,得a 2+b 2=c 2,∴△ABC 为直角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.故选B. 解法二:由正弦定理可得cos B=sinAsinC ,即cos Bsin C=sin A. 又A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C),∴cos Bsin C=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,即sin Bcos C=0, ∴sin B=0或cos C=0. ∵B,C ∈(0,π), ∴cos C=0,C=π2.∴△ABC 为直角三角形.无法判断其是不是等腰三角形.故选B.26.A 设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a 2+b 2=c 2,令三边都增加x(x>0),则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a 2+b 2+2x 2+2(a+b)x-c 2-2cx-x 2=2(a+b-c)x+x 2>0,所以新三角形中最大边所对的角是锐角,所以新三角形是锐角三角形. 27.AB 解法一:∵acos A=bcos B,∴由余弦定理的推论得,a ·b 2+c 2-a 22bc =b ·a 2+c 2-b 22ac ,整理得a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2),∴a 2c 2-a 4-b 2c 2+b 4=0, ∴c 2(a 2-b 2)+(b 2+a 2)(b 2-a 2)=0, ∴(b 2-a 2)(a 2+b 2-c 2)=0, ∴b 2=a 2或a 2+b 2-c 2=0, ∴b=a 或∠C=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选AB.解法二:由正弦定理及已知,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B. 因为2A,2B ∈(0,2π), 所以2A=2B 或2A+2B=π,即A=B 或A+B=π2,所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选AB. 易错警示注意区分等腰直角三角形和等腰或直角三角形,等腰直角三角形是等腰且直角三角形,理解“或”和“且”的区别.能力提升练1.A 由asinA =bsinB ,得sin B=bsinA a =2√3=12, ∵b<a,∴B<A,∴B=30°,故选A. 易错警示本题易错选C.要注意题中的隐含条件“b<a,即B<A ”,故B 只能等于30°.2.A 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.由sin A ∶sin B ∶sin C=3∶5∶6及正弦定理,得a ∶b ∶c=3∶5∶6,则可设a=3k,b=5k,c=6k,k>0. 由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac =9k 2+36k 2-25k 22×3k×6k =59,则sin B=√1-cos 2B =2√149.3.答案 12解析因为sin(A-C)=sin B-34, 所以sin(A-C)=sin(A+C)-34, 所以2cos Asin C=34.因为2a b =sinBcosC ,所以2sin Acos C=sin 2B, 所以2(sin Acos C+cos Asin C)=sin 2B+34,整理得sin 2B-2sin B+34=0,解得sin B=12或sin B=32(舍去).故答案为12. 4.解析设正方形的边长为x(1<x<3),∠ABP=α,则∠CBP=90°-α.在△ABP 中,cos ∠ABP=x 2+22-124x =x 2+34x ,在△CBP 中,cos ∠CBP=x 2+22-324x =x 2-54x ,又cos 2∠ABP+cos2∠CBP=1,∴(x 2+34x )2+(x 2-54x )2=1,即x 4-10x 2+17=0,∴x 2=5+2√2或x 2=5-2√2.如果x 2=5-2√2,那么AC=√10-4√2<3,∴点P 到点C 的距离不可能为3,∴x 2=5-2√2舍去,∴x=√5+2√2,即正方形的边长为√5+2√2. 主编点评当已知条件中边的关系较多时,可考虑用余弦定理,同时方程思想的运用在本题中得到了充分的体现.5.B 因为满足条件的三角形有两个,所以asin C<c<a,所以√22a<√2<a,所以√2<a<2. 6.A 由题意得a 2+c 2-b 2=√3ac, ∴由余弦定理的推论得cos B=√3ac 2ac =√32. 又B 为锐角三角形ABC 的内角,∴B=π6.∴cos A+sin C=cos A+sin (5π6-A)=√32sin A+32cos A=√3sin (A +π3).∵△ABC 为锐角三角形,∴{0<A <π2,0<5π6-A <π2, ∴π3<A<π2.∴2π3<A+π3<5π6,∴12<sin (A +π3)<√32,∴√32<√3sin (A +π3)<32.故cos A+sin C 的取值范围为(√32,32).7.D 根据余弦定理的推论得b+c a =cos B+cos C=a 2+c 2-b 22ac +a 2+b 2-c 22ab ,整理得2b 2c+2bc 2=a 2b+bc 2-b 3+a 2c+b 2c-c 3,即b 2c+bc 2=a 2b+a 2c-(b 3+c 3),所以(b+c)(b 2+c 2-a 2)=0,所以b 2+c 2=a 2,所以A=90°,sin A=1,则bc=8,所以a+b+c=√b 2+c 2+(b+c)≥√2bc +2√bc =4+4√2,当且仅当b=c=2√2时取等号,所以△ABC 的周长的最小值为4+4√2.故选D.8.答案 4;(2√2,2√3)解析因为C=2A,所以sin C=2sin Acos A,由正弦定理得c=2acos A,所以c cosA =2a=4.因为△ABC 是锐角三角形,所以C=2A ∈(0,π2),B=π-A-C=π-3A ∈(0,π2),所以A ∈(π6,π4),所以cos A ∈(√22,√32),所以c=4cos A ∈(2√2,2√3).9.答案 √3;(1+√3,4+2√3)解析由正弦定理,可得asin C=csin A=2sin π3=√3.由a sinA =b sinB =c sinC ,可得a=c ·sinA sinC =√3sinC ,b=c ·sinB sinC =2sin (2π3-C )sinC ,所以a+b=√3sinC +√3cosC+sinC sinC=1+√3(1+cosC)sinC =1+2√3cos 2 C 22sin C 2cos C 2=1+√3tan C 2.由△ABC 是锐角三角形,可得0<C<π2,0<2π3-C<π2,所以π6<C<π2, 所以π12<C 2<π4,所以2-√3<tan C 2<1.所以1<1tan C 2<2+√3, 所以1+√3<1+√3tan C 2<4+2√3,即1+√3<a+b<4+2√3.10.A 因为c 2sin A=4sin C,所以c 2a=4c,即ac=4.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+c 2-4,所以a 2+c 2-b 2=4. 所以S △ABC =√14[a 2c 2-(a 2+c 2-b 22)2]=√14[42-(42)2]=√3.故选A.11.A ∵向量m=(a,cos A 2),n=(b,cos B 2)共线,∴acos B 2=bcos A 2.由正弦定理得sin Acos B 2=sin Bcos A 2.∴2sin A 2cos A 2cos B 2=2sin B 2cos B 2·cos A 2.∵cos A 2≠0,cos B 2≠0,∴sin A 2=sin B 2.∵0<A 2<π2,0<B 2<π2,∴A 2=B 2,即A=B,同理可得B=C,∴△ABC 为等边三角形.故选A.12.C ∵lg a-lg c=lg sin B=-lg √2,∴a c =sin B=√22.∵B ∈(0,π2),∴B=π4.由正弦定理,得a c =sinA sinC =√22,∴sin C=√2sin A=√2sin (3π4-C)=√2(√22cosC +√22sinC),化简得cos C=0,∵C ∈(0,π),∴C=π2,∴A=π-B-C=π4,∴△ABC 是等腰直角三角形.故选C.13.答案 π6解析 ∵m ⊥n,∴√3cos A-sin A=0,∴tan A=√3.又0<A<π,∴A=π3.∵acos B+bcos A=csin C,∴由正弦定理,得sin Acos B+sin Bcos A=sin 2C, ∴sin(A+B)=sin 2C,∴sin C=sin 2C.又sin C ≠0,∴sin C=1,∴C=π2,∴B=π6.14.解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理得bsin C=csin B, 又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a. 又因为b+c=2a,所以b=43a,c=23a.由余弦定理的推论可得cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a =- 14. (2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√154, 从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158,cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78, 故sin (2B +π6)=sin 2Bcos π6+cos 2B ·sin π6=-√158×√32-78×12=-3√5+716.。

高中数学必修二 9 2 1 总体取值规律的估计(第1课时)频率分布直方图同步练习(含答案)

9.2.1 总体取值规律的估计第1课时频率分布直方图（用时45分钟）【选题明细表】基础巩固1．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A．计算机行业好于化工行业B．建筑行业好于物流行业C．机械行业最紧张D．营销行业比贸易行业紧张【答案】B【解析】就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值，比值越大，就业形势越好，故选B ． 2．在一次模拟考试后，从高三某班随机抽取了20位学生的数学成绩，其分布如下：分组[)90,00 [)100,110 [)110,120 [)120130, [)130140, []140,150 频数 1 2 6 7 3 1分数在130分（包括130分）以上者为优秀，据此估计该班的优秀率约为（） A ．10% B ．20%C ．30%D ．40%【答案】B【解析】由表可知：优秀的人数为314+=，则优秀率为：420%20= 据此估计该班的优秀率约为20% 故选：B3．某工厂对一批元件进行抽样检测.经检测，抽出的元件的长度（单位：mm ）全部介于93至105之间.将抽出的元件的长度以2为组距分成6组：[)93,95，[)95,97，[)97,99，[)99,101，[)101,103，[]103,105，得到如图所示的频率分布直方图.若长度在[)97,103内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批元件的合格率是（）A ．80%B ．90%C ．20%D ．85.5%【答案】A97,103内的频率为：【解析】由频率分布直方图可知元件长度在[)()++⨯=-，102.80.02750.02750.0450故这批元件的合格率约为80%.故选：A.4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588B．480C．450D．120【答案】B【解析】据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=4805．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所50,60的同学有30人，则n的值为（）示，其中支出在[)A ．100B ．1000C ．90D ．900【答案】A【解析】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为：0.03100.3⨯=301000.3n ∴== 本题正确选项：A6．为了解某校今年准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，其中第2小组的频数为12，则报考飞行员的总人数是________．【答案】48【解析】设图中从左到右的第1小组的频率为x ，则第2小组的频率为2x ，第3小组的频率为3x ，由频率分布直方图的性质，得：230.03750.01351x x x +++⨯+⨯=，解得：0.125x =，∴第2小组的频率为20.25x =，又已知第2小组的频数为12， ∴报考飞行员的学生人数是：120.2548÷=.故答案应填：48.7．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20，则a 的估计值是__________.【答案】133【解析】由题意可知：90﹣100分的频率为0.005×10=0.05，频数为5人则100﹣110分的频率为0.018×10=0.18，频数为18人110﹣120分的频率为0.03×10=0.3，频数为30人120﹣130分的频率为0.022×10=0.22，频数为22人130﹣140分的频率为0.015×10=0.15，频数为15人140﹣150分的频率为0.010×10=0.05，频数为10人而优秀的人数为20人，140﹣150分有10人，130﹣140分有15人，取后10人∴分数不低于133即为优秀，8．调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170168160174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161（1）作出频率分布表；（2）画出频率分布直方图.【答案】（1）分布表见解析（2）直方图见解析【解析】（1）最低身高151 cm,最高身高180 cm,它们的差是18015129-=,即极差为29.确定组距为4,组数为8,频率分布表如下：（2）组距为4,结合频率分布表,可计算各组的频率组距,即可得频率分布直方图如下图所示.能力提升9．某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg ），将所得数据整理后画出了频率分布直方图如图所示，体重在[)45,50内适合跑步训练，体重在[)50,55内适合跳远训练，体重在[]55,60内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（）A ．4：3：1B ．5：3：1C ．5：3：2D ．3：2：1【答案】B【解析】体重在[)45,50内的频率为0.150.5⨯=，体重在[)50,55内的频率为0.0650.3⨯=，体重在[]55,60内的频率为0.0250.1⨯=，0.5:0.3:0.15:3:1=，可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远投掷三项训练的人数之比为5：3：1，故选：B10．某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计.若下面是尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），则a bx y+的值为______ . 分组频数频率[)50,60 8 0.16[)60,70 a■[)70,80 20 0.40[)80,90■ 0.08[]90,1002b合计■ 1【答案】510【解析】设样本量为N ，则20500.40N ==，所以[)80,90的频数为500.084⨯=，则508204216a =----=，20.0450b ==，由频率分布直方图的纵轴为频率/组距可得,16500.03210x ==，0.040.00410y ==，所以160.045100.0320.004a b x y +=+=. 故答案为:51011．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m.【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）3【解析】（1）频率分布直方图如下图所示：0.35m的频率为（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于3⨯+⨯+⨯+⨯=；0.20.110.1 2.60.120.050.48因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 ()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m-⨯=．素养达成 12．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【答案】（1）0.3；（2）3.6万；（3）2.9.【解析】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30．（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12="36" 000．（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5≤x<3．由0.3×(x–2.5)=0.85–0.73，解得x=2.9．所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．。

新教材人教A版高中数学必修第二册全册课时练习(一课一练,含解析)

人教A版高中数学必修第二册全册课时练习6.1 平面向量的概念 .............................................................................................................. - 2 - 6.2.1 向量的加法运算........................................................................................................ - 5 - 6.2.2 向量的减法运算........................................................................................................ - 8 - 6.2.3 向量的数乘运算...................................................................................................... - 11 - 6.2.4 向量的数量积............................................................................................................ - 14 - 6.3.1 平面向量基本定理.................................................................................................... - 18 - 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示............................................................................ - 21 - 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示.............................................................................. - 24 - 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示.................................................................................. - 27 - 6．4 平面向量的应用........................................................................................................ - 30 -7.1.1 数系的扩充和复数的概念...................................................................................... - 34 - 7.1.2 复数的几何意义...................................................................................................... - 37 - 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义.......................................................................... - 39 -7.2.2 复数的乘、除运算.................................................................................................. - 43 -8.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征................................................................................ - 46 - 8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征................................................ - 49 - 8.2 立体图形的直观图........................................................................................................ - 51 - 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积...................................................................... - 55 - 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.............................................................. - 59 - 8.4.1 平面 ......................................................................................................................... - 62 - 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系.................................................................. - 66 - 8.5.1 直线与直线平行...................................................................................................... - 69 - 8.5.2 直线与平面平行...................................................................................................... - 73 - 8.5.3 平面与平面平行...................................................................................................... - 76 - 8.6.1 直线与直线垂直...................................................................................................... - 80 - 8.6.2 直线与平面垂直...................................................................................................... - 85 -8.6.3平面与平面垂直 ....................................................................................................... - 89 -9.1.1简单随机抽样 ........................................................................................................... - 94 - 9.1.2 分层随机抽样 ............................................................................................................. - 96 - 9.1.3 获取数据的途径 ......................................................................................................... - 96 - 9.2.1总体取值规律的估计 ............................................................................................. - 100 - 9.2.2 总体百分位数的估计 ............................................................................................... - 105 - 9.2.3 总体集中趋势的估计 ............................................................................................... - 105 -9.2.4 总体离散程度的估计 ............................................................................................... - 105 -10.1.1有限样本空间与随机事件.................................................................................... - 110 - 10.1.2事件的关系和运算 ............................................................................................... - 112 - 10.1.3古典概型 ............................................................................................................... - 115 - 10.1.4概率的基本性质 ................................................................................................... - 118 - 10.2事件的相互独立性 .................................................................................................. - 121 - 10.3频率与概率 .............................................................................................................. - 126 -6.1 平面向量的概念一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小而没有方向，所以不是向量．【答案】D2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |.A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．【答案】D3．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →【解析】由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →； PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →. EP →与PF →的模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.【答案】D4．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形【解析】由BA →＝CD →，知AB ＝CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 为菱形．【答案】C 二、填空题5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.【解析】因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 【答案】 2 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．【解析】因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →. 【答案】BA →，CD →7．给出下列命题：①若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中所有正确命题的序号为________．【解析】AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确；对于④，当b ＝0时，a 与c 不一定平行，故④不正确．【答案】②③ 三、解答题8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a . (1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如下图所示． (2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如下图所示．9．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100千米到达B 点，然后又改变了方向向北偏西40°走了200千米到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D 点． (1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.【解析】(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，即AB ∥CD . 又|AB →|＝|CD →|，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以|AD →|＝|BC →|＝200(千米)．10．如图，在△ABC 中，已知向量AD →＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF →.证明：由DF →＝EC →，可得DF ＝EC 且DF ∥EC ，故四边形CEDF 是平行四边形，从而DE ∥FC . ∵AD →＝DB →，∴D 为AB 的中点． ∴AE →＝EC →，∴AE →＝DF →.6.2.1 向量的加法运算一、选择题1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →【解析】因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A. 【答案】A2．设a 表示“向东走5 km”，b 表示“向南走5 km”，则a ＋b 表示( ) A ．向东走10 km B ．向南走10 km C ．向东南走10 km D ．向东南走5 2 km 【解析】如图所示，AC →＝a ＋b ，|AB →|＝5，|BC →|＝5，且AB ⊥BC ，则|AC →|＝52，∠BAC ＝45°. 【答案】D3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定【解析】如果a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；如果它们的方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．【答案】A4．如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH →B.OG →C.FO →D.EO →【解析】设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则OP 与OQ 之间的对角线对应的向量即向量a ＝OP →＋OQ →，由a 和FO →长度相等，方向相同，得a ＝FO →，即OP →＋OQ →＝FO →. 【答案】C 二、填空题5．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________.【解析】由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 【答案】06．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.【解析】原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 【答案】AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 【解析】在菱形ABCD 中，连接BD ， ∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 【答案】1 三、解答题8．如图，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .【解析】(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)； (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)； (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．9.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： (1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.【解析】(1)由图可知，四边形OABC 为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得OA →＋OC →＝OB →.(2)由图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →，所以BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．【解析】如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N. 所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝1503(N)， |OB →|＝|OC →|cos 60°＝150 (N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.6.2.2 向量的减法运算一、选择题1．下列运算中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B.AB →－CD →＝DB → C.OA →－OB →＝BA → D.AB →－AB →＝0【解析】根据向量减法的几何意义，知OA →－OB →＝BA →，所以C 正确，A 错误；B 显然错误；对于D ，AB →－AB →应该等于0，而不是0.【答案】C2．下列四式中不能化简为PQ →的是( ) A.AB →＋(PA →＋BQ →) B ．(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →) C.QC →－QP →＋CQ → D.PA →＋AB →－BQ →【解析】D 中，PA →＋AB →－BQ →＝PB →－BQ →＝PB →＋QB →不能化简为PQ →，其余选项皆可．【答案】D3．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A.CB → B.BC → C.CD → D.DC →【解析】在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →. 【答案】C4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( ) A ．a －b ＋c B ．b －(a ＋c ) C ．a ＋b ＋c D ．b －a ＋c【解析】DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 【答案】A 二、填空题5.EF →＋DE →－DB →＝________.【解析】EF →＋DE →－DB →＝EF →＋BE →＝BF →. 【答案】BF →6．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.【解析】若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，所以|a ＋b |＝0，又a ＝－b ，所以|a |＝|－b |＝1，因为a 与－b 共线同向，所以|a －b |＝2. 【答案】0 27．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC →|＝4，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________.【解析】以AB ，AC 为邻边作平行四边形ACDB ，由向量加减法几何意义可知，AD →＝AB →＋AC →，CB →＝AB →－AC →，∵|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，平行四边形ABCD 为矩形，∴|AD →|＝|CB →|，又|BC →|＝4，M 是线段BC 的中点， ∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.【答案】2 三、解答题8．如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .【解析】方法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .方法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ，则OC →＝a ＋b －c .9．化简下列各式：(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解析】(1)方法一原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＝AO →＋OB →＝AB →. 方法二原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0＝AB →. (2)方法一原式＝DB →－DC →＝CB →.方法二原式＝AB →－(AD →＋DC →)＝AB →－AC →＝CB →. 10．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解析】由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝a ＋d ＋e . (2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .6.2.3 向量的数乘运算一、选择题1．4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b【解析】原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .2．点C 在直线AB 上，且AC →＝3AB →，则BC →等于( ) A ．－2AB → B.13AB →C ．－13AB →D ．2AB →【解析】如图，AC →＝3AB →，所以BC →＝2AB →. 【答案】D3．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为( )A ．－1或3 B. 3 C ．－1或4 D ．3或4【解析】因为向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以m ＝－32－m ，解得m ＝－1或m ＝3. 【答案】A 4.如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝( ) A ．a ＋34bB.34a ＋14bC.14a ＋14bD.14a ＋34b 【解析】AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b .【答案】D5．已知|a |＝4，|b |＝8，若两向量方向同向，则向量a 与向量b 的关系为b ＝________a . 【解析】由于|a |＝4，b ＝8，则|b |＝2|a |，又两向量同向，故b ＝2a . 【答案】26．点C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.【解析】因为C 在线段AB 上，且AC CB ＝32，所以AC →与AB →方向相同，BC →与AB →方向相反，且AC AB ＝35，BC AB ＝25，所以AC →＝35AB →，BC →＝－25AB →. 【答案】35 －257．已知向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，且a ＝λb ，则实数λ的值是________．【解析】由a ＝λb ，得|a |＝|λb |＝|λ||b |.∵|a |＝3，|b |＝5， ∴|λ|＝35，即λ＝±35.【答案】±35三、解答题 8．计算(1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )； (2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2b－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 【解析】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b ＝712a ＋23b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. 9．已知E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.【解析】如图所示，取AB 的中点P ，连接EP ，FP .在△ABC 中，EP 是中位线，所以PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是中位线，所以PF →＝12AD →＝－12DA →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF →＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．10．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．【解析】(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．6.2.4 向量的数量积一、选择题1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为45°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2 C ．－12 2 D ．－12【解析】m ·n ＝|m ||n |cos θ＝4×6×cos 45°＝24×22＝12 2. 【答案】B2．已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |＝( ) A ．12 B ．3 C ．6 D ．3 3【解析】a ·b ＝|a ||b |cos 135°＝－122，又|a |＝4，解得|b |＝6. 【答案】C3．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，a ·(b －a )＝－1，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2【解析】因为|a |＝2，a ·(b －a )＝－1，所以a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝a ·b －22＝－1，所以a ·b ＝3.又因为|b |＝3，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】C4．若a ·b ＞0，则a 与b 的夹角θ的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 【解析】因为a ·b ＞0，所以cos θ＞0，所以θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.【答案】A 二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，则AB →·BC →的值是________．【解析】方法一 AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(180°－∠B )＝－|AB →||BC →|cos∠B ＝－|AB →||BC→|·|AB →||BC →|＝－|AB →|2＝－1.方法二 |BA →|＝1，即BA →为单位向量，AB →·BC →＝－BA →·BC →＝－|BA →||BC →|cos∠B ，而|BC →|·cos∠B ＝|BA →|，所以AB →·BC →＝－|BA →|2＝－1. 【答案】－16．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为________．【解析】设a 与b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |＝21×4＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【答案】π37．已知|a |＝3，向量a 与b 的夹角为π3，则a 在b 方向上的投影为________．【解析】向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝3×cos π3＝32.【答案】32三、解答题8．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求： (1)a 2－b 2；(2)(2a －b )·(a ＋3b )．【解析】(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝32－42＝－7.(2)(2a －b )·(a ＋3b )＝2a 2＋5a ·b －3b 2＝2|a |2＋5|a ||b |·cos 120°－3|b |2＝2×32＋5×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3×42＝－60. 9．(1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |；(2)已知|a |＝|b |＝5，且|3a －2b |＝5，求|3a ＋b |的值；(3)如图，已知在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，∠DAB ＝π3，求对角线AC 和BD 的长．【解析】(1)a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝53，|a －b |＝a －b2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝25＝5， |3a ＋b |＝3a ＋b2＝9a 2＋b 2＋6a ·b ＝325＝513.(2)∵|3a －2b |2＝9|a |2－12a ·b ＋4|b |2＝9×25－12a ·b ＋4×25＝325－12a ·b ，又|3a －2b |＝5，∴325－12a ·b ＝25，则a ·b ＝25.∴|3a ＋b |2＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a ＋b |＝20. (3)设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝1，a 与b 的夹角θ＝π3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝32.又∵AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， ∴|AC →|＝AC →2＝a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，|DB →|＝DB →2＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.∴AC ＝13，BD ＝7.10．已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 方向上的投影为－1. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求(a －2b )·b ；(3)当λ为何值时，向量λa ＋b 与向量a －3b 互相垂直？【解析】(1)由题意知|a |＝2，|b |＝1. 又a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝－1， ∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.(2)易知a ·b ＝－1，则(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3. (3)∵λa ＋b 与a －3b 互相垂直，∴(λa ＋b )·(a －3b )＝λa 2－3λa ·b ＋b ·a －3b 2 ＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0， ∴λ＝47.6.3.1 平面向量基本定理一、选择题1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( ) A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．不确定【解析】∵a ＋b ＝3e 1－e 2， ∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线．【答案】B2．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a【解析】如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD→－AB →＝2b －a . 【答案】B3．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 【解析】如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 【答案】D4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A.165 B.125 C.85 D.45【解析】∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.【答案】C 二、填空题5．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．【解析】因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线，因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【答案】36．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.【解析】AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . 【答案】2a －b7．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.【解析】BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .【答案】b －12a三、解答题8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .【解析】因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC→＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．【解析】NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值．【解析】(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1 4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN ，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示一、选择题1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8)【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)，所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．【答案】D2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2)【解析】3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．【答案】D3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0)【解析】b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．【答案】A4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．【答案】A 二、填空题5．在平面直角坐标系内，已知i 、j 是两个互相垂直的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示a ＝________.【解析】由于i ，j 是两个互相垂直的单位向量，所以a ＝(1，－2)．【答案】(1，－2)6．如右图所示，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，则向量OA →的坐标为________．【解析】设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|·cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|·sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)．【答案】(23，6)7．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.【解析】易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.【答案】－1 三、解答题8．如图，取与x 轴、y 轴同向的两个单位向量i ，j 作为基底，分别用i ，j 表示OA →，OB →，AB →，并求出它们的坐标．【解析】由图形可知，OA →＝6i ＋2j ，OB →＝2i ＋4j ，AB →＝－4i ＋2j ，它们的坐标表示为OA →＝(6,2)，OB →＝(2,4)，AB →＝(－4,2)．9．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c . (1)求p 的坐标；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．【解析】(1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，所以p ＝－212a －15b .10．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b|＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .【解析】如图，以O 为原点，OA →为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得B (cos 150°，sin 150°)，C (3cos 240°，3sin 240°)．即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，又∵A (2,0)，故a ＝(2,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎪⎫2λ1－32λ2，12λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，∴⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－33，∴c ＝－3a －33b .6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示一、选择题1．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10)【解析】由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，解得m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．【答案】C2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13 C ．1 D ．2【解析】a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )，可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12，故选A.【答案】A3．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9,1) B ．(9，－1) C ．(9,1) D ．(－9，－1) 【解析】设点C 的坐标是(x ，y )，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C. 【答案】C4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( ) A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3【解析】向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)， ∴AB →＝(3,1)，∵OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →， ∴3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3，故选D.【答案】D 二、填空题5．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．【解析】因为向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 【答案】16．已知A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．【解析】①因为OC →＝(－2,1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0,2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．【答案】①③④7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，c ＝(3,4)．若a ＋b 与c 共线，则实数λ＝________. 【解析】因为a ＋b ＝(1,2)＋(1，λ)＝(2,2＋λ)，所以根据a ＋b 与c 共线得2×4－3×(2＋λ)＝0，解得λ＝23.【答案】23三、解答题8．已知a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a 与b 共线且方向相同，求x . 【解析】∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，a ∥b . ∴x 2－4＝0，解得x 1＝2，x 2＝－2.当x ＝2时，a ＝(2,1)，b ＝(4,2)，a 与b 共线且方向相同；当x ＝－2时，a ＝(－2,1)，b ＝(4，－2)，a 与b 共线且方向相反． ∴x ＝2.9．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →.证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意有AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，AB →＝(4，－1)． ∵AE →＝13AC →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∵BF →＝13BC →，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.∵AE →＝(x 1＋1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，∵BF →＝(x 2－3，y 2＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， ∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23.又∵4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－83×(－1)＝0，∴EF →∥AB →. 10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．【解析】(1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.(2)因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.6.3.5 平面向量数量积的坐标表示一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6【解析】依题意得6－m ＝0，m ＝6，选D. 【答案】D2．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【解析】a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 【答案】C3．已知a ，b 为平面向量，且a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665【解析】∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)， ∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16. 又|a |＝5，|b |＝13， ∴cos〈a ，b 〉＝165×13＝1665.【答案】C4．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(k,4)，且(a －b )⊥c ，则k ＝( ) A ．－6 B ．－1 C ．1 D ．6【解析】∵a ＝(－1,2)，b ＝(3,1)，∴a －b ＝(－4,1)，∵(a －b )⊥c ，∴－4k ＋4＝0，解得k ＝1. 【答案】C 二、填空题5．a ＝(－4,3)，b ＝(1,2)，则2|a |2－3a ·b ＝________. 【解析】因为a ＝(－4,3)，所以2|a |2＝2×(－42＋32)2＝50.a ·b ＝－4×1＋3×2＝2.所以2|a |2－3a ·b ＝50－3×2＝44. 【答案】446．设向量a ＝(1,0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.。

高中必修二数学练习题及讲解答案

高中必修二数学练习题及讲解答案### 高中必修二数学练习题及讲解答案#### 练习题一：函数的性质题目：已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) ，求该函数的单调区间。

解答：首先，我们需要找到函数的导数来确定其单调性。

对 \( f(x) \) 求导得到 \( f'(x) = 4x - 3 \)。

令 \( f'(x) = 0 \) 求得极值点：\[ 4x - 3 = 0 \]\[ x = \frac{3}{4} \]接下来，我们分析 \( f'(x) \) 的正负来确定单调性：- 当 \( x < \frac{3}{4} \) 时，\( f'(x) < 0 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, \frac{3}{4}) \) 上单调递减。

- 当 \( x > \frac{3}{4} \) 时，\( f'(x) > 0 \)，所以 \( f(x) \) 在 \( (\frac{3}{4}, +\infty) \) 上单调递增。

因此，函数 \( f(x) \) 的单调递减区间为 \( (-\infty,\frac{3}{4}) \)，单调递增区间为 \( (\frac{3}{4}, +\infty) \)。

#### 练习题二：三角函数的图像与性质题目：已知 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且 \( \alpha \) 位于第一象限，求 \( \cos(\alpha) \) 的值。

解答：根据正弦和余弦的关系，我们知道：\[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \]已知 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，代入上式得：\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \]\[ \frac{9}{25} + \cos^2(\alpha) = 1 \]\[ \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} \]\[ \cos^2(\alpha) = \frac{16}{25} \]因为 \( \alpha \) 在第一象限，余弦值为正，所以：\[ \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \]#### 练习题三：不等式的解法题目：解不等式 \( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。

高中必修2数学试题及答案

高中必修2数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(2) \)的值。

A. 5B. 3C. 1D. -12. 如果\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)3. 直线\( y = 3x + 2 \)与直线\( y = -4x + 6 \)的交点坐标是：A. (-1, 1)B. (1, 3)C. (2, 8)D. (-2, 4)4. 已知\( a \)，\( b \)为正整数，且\( a^2 + b^2 = 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。

A. (3, 6)B. (6, 3)C. (5, 5)D. (以上都不是)5. 圆\( x^2 + y^2 = 25 \)的半径是：A. 5B. 10C. 15D. 256. 函数\( y = \log_{10}x \)的定义域是：A. \( x > 0 \)B. \( x < 0 \)C. \( x \geq 0 \)D. \( x \leq 0 \)7. 已知\( \tan(\theta) = 2 \)，求\( \sin(\theta) \)的值。

A. \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)B. \( -\frac{2}{\sqrt{5}} \)C. \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)D. \( -\frac{1}{\sqrt{5}} \)8. 抛物线\( y = x^2 - 2x + 1 \)的顶点坐标是：A. (1, 0)B. (-1, 0)C. (1, 1)D. (-1, 1)9. 已知\( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \)，求\( \cos(2\theta) \)的值。

2022版人教A版高中数学必修第二册练习题--专题强化练1 平面向量数量积及其应用

2022版人教A 版高中数学必修第二册--专题强化练1 平面向量数量积及其应用一、选择题1.(2020浙江杭州学军中学高一上期末,)对任意向量a ,b ,下列关系式不恒成立的是 ( ) A.|a ·b |≤|a ||b | B.(a +b )2=|a +b |2 C.|a -b |≤||a |-|b || D.(a+b )·(a -b )=|a |2-|b |2 2.(2020北京房山高三上期末,)设a ,b 均为单位向量,则“a 与b 的夹角为π3”是“|a +b |=√3”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.(2021安徽卓越县中联盟高一下期中,)已知a ,b 是单位向量,且|a +b |=√2|a -b |,向量e 是与a -b 同向的单位向量,则向量a 在向量a -b 上的投影向量为 ( ) A.√33e B.√33C.√63eD.√634.(2021安徽亳州二中高一下期中,)已知向量a =(sin θ,-2),b =(1,cos θ),且a ⊥b ,则sin 2θ+2cos 2θ的值为 ( ) A.1 B.85C.65D.3 5.(2021江苏镇江一中高一下期中,)已知等边三角形ABC 的边长为6,点P 满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )A.√32B.2√3C.3√3D.4√36.(2020湖南师范大学附属中学高一上期末,)在△ABC 所在的平面内,使|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的值最小的点P 是△ABC 的 ( ) A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心二、填空题 7.()如图,在四边形ABCD 中,AB =CD =1,B ≠C ,点M 和点N 分别是边AD 和BC 的中点,延长BA 和CD ,分别交NM 的延长线于点P ,Q ,则(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的值为 .三、解答题8.(2021黑龙江龙西北地区八校高一下联考,)已知向量a ,b 满足|a |=2|b |=2,单位向量e 与向量b 方向相同且向量a 在向量b 上的投影向量为-e . (1)求a 与b 的夹角θ; (2)求|a -2b |;(3)当λ为何值时,向量λa +b 与向量a -3b 互相垂直?9.(2021江苏无锡太湖高级中学高一下期中,)在直角梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,∠DAB =90°,AB =4,AD =CD =2,对角线AC ,BD 交于点O ,点M 在AB 上,且满足OM ⊥BD.(1)求AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值; (2)若N 为线段AC (含端点)上任意一点,求AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值.答案全解全析一、选择题1.C 对于A ,设a ,b 的夹角为θ,则|a ·b |=|a |·|b |·|cos θ|≤|a ||b |,故A 中关系式恒成立; 对于B ,(a +b )2=(a +b )·(a +b )=|a +b ||a +b |cos 0=|a +b |2,故B 中关系式恒成立; 对于C ,|a -b |≥||a |-|b ||,只有取等号时,|a -b |≤||a |-|b ||才成立; 对于D ,(a +b )·(a -b )=a 2-b 2=|a |2-|b |2,故D 中关系式恒成立. 故选C .2.C 由题可得,|a |=|b |=1.若a ,b 的夹角为π3,则|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=1+2×1×1×12+1=3,即|a +b |=√3;若|a +b |=√3,则(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=3,即a ·b =12,设a ,b 的夹角为θ,θ∈[0,π],则cosθ=a ·b |a ||b |=12,所以θ=π3.所以“a 与b 的夹角为π3”是“|a +b |=√3”的充要条件.故选C . 3.A ∵|a +b |=√2|a -b |,∴a 2+2a ·b +b 2=2(a 2-2a ·b +b 2),∴6a ·b =a 2+b 2, ∵a ,b 为单位向量,∴|a |=|b |=1,a ·b =13,∴a ·(a -b )=a 2-a ·b =1-13=23,|a -b |=√(a -b )2=√a 2-2a ·b +b 2=2√33,∴向量a 在向量a -b 上的投影向量为a ·(a -b )|a -b |e =23×2√3×e =√33e .故选A .4.C ∵向量a =(sin θ,-2),b =(1,cos θ),且a ⊥b , ∴a ·b =sin θ-2cos θ=0, ∴tan θ=sinθcosθ=2,∴sin 2θ+2cos 2θ=2sinθcosθ+2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=2tanθ+2tan 2θ+1=4+24+1=65.故选C .5.C 因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =62+14×62−6×6×12=27,故|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√3.故选C .6.D 设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -a ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -b ,所以|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(m -a )2+(m -b )2+m 2=3m 2-2(a +b )·m +a 2+b 2=3[m -13(a +b )]2−13(a +b )2+a 2+b 2,所以当m =13(a +b )时,|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的值最小,此时PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(a -m )+(b -m )+(-m )=a +b -3m =a +b -(a +b )=0,故点P 为△ABC 的重心,故选D . 二、填空题 7.答案 0解析解法一:由题意知P ,Q ,M ,N 四点共线,可设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由题图可得{MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,①MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ .②因为M ,N 分别为AD ,BC 的中点,所以①+②可得2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +0,即MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),故(PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=λ2(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|DC⃗⃗⃗⃗⃗ |2)=0. 解法二:由于这类求值问题的结果是一个定值,角度对答案无影响,所以不妨设特殊值简化运算.设B =90°,C =60°,BC =2,以点B 为原点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略).过D 作DD'⊥BC 于D',则B (0,0),C (2,0),A (0,1),D (32,√32),故M (34,12+√34),N (1,0),所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,-12-√34),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-√32),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12,-1+√32,故MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14×(-12)+(-12-√34)×(-1+√32)=0.由于P ,Q ,M ,N 四点共线,所以可设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故原式=λ×0=0. 三、解答题8.解析 (1)∵|a |=2|b |=2,∴|a |=2,|b |=1.又向量a 在向量b 上的投影向量为|a |·cos θe =-e , ∴|a |cos θ=-1,∴cos θ=-12,∵θ∈[0,π],∴θ=2π3.(2)由(1)得a ·b =|a ||b |cos θ=-1,∴|a -2b |=√a 2-4a ·b +4b 2=√4+4+4=2√3. (3)∵λa +b 与a -3b 互相垂直,∴(λa +b )·(a -3b )=λa 2-3λa ·b +b ·a -3b 2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,∴λ=47.9.解析解法一:(1)在直角梯形ABCD 中,因为AB ∥CD ,AB =2CD ,所以AO =2OC , AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23×(4-2×4×1)=-83.(2)设AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1), 则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−16λ=−83,解得λ=16,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos 45° =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−16×|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos 45°=|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−√23|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. 令|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ,则0≤t ≤2√2, AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t2−√23t =(t -√26)2−118,所以当|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√26时,AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−118. 解法二:(1)以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.则A (0,0),B (4,0),C (2,2),D (0,2),所以BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2), 由相似三角形易得O (43,43).设M (m ,0),0<m <4,则OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m -43,-43),所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m -43)×(-4)+(-43)×2=−4m +83=0,解得m =23.所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,0),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×(-4)+0×2=-83.(2)设N (a ,a ),0≤a ≤2, 则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,a )·(a -23,a) =2a 2-23a =2(a -16)2−118, 所以当a =16时,AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值−118.。

高中数学必修二高考训练练习习题课时作业(一)

课时作业(一) 平面向量的概念[练基础]1．下列命题中，正确命题的个数是( )①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a |a |. A ．3 B ．2C ．1D ．02.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD→＝BC → B.AC →＝BD → C.PE→＝PF → D.EP →＝PF → 3．若|AB→|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形4．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA→|＝________.5. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF→方向相反的向量为________． 6.如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为始点与终点构成向量．(1)写出与DA→平行的向量； (2)写出与DA→模相等的向量． (3)写出AB→与CB →的夹角．[提能力]7．(多选)给出下列条件，能使a ∥b 成立的是( )A ．a ＝bB ．|a |＝|b |C ．a 与b 方向相反D ．|a |＝0或|b |＝08．如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD的交点．设点集M ＝{O ，A ，B ，C ，D }，向量的集合T ＝{PQ →|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．9．如图，在△ABC 中，已知向量AD→＝DB →，DF →＝EC →，求证：AE →＝DF→.[战疑难]10．一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1 m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角α，继续按直线方向前进1 m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角α，然后继续按直线方向前进 1 m……按此方法继续操作下去．(1)作图说明当α＝45 °时，最少转向几次可使赛车的位移为零？(2)按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的情况．。

高三数学试题-高三数学复习必修二课时练习题24 最新

学科：数学专题：空间几何体及三视图题1如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()．A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中有1个为四边形，另外8个为三角形题2如下图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()．A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定题3已知四棱锥P－ABCD水平放置如图所示，且底面ABCD是正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，P A＝AB．试画出该几何体的三视图．题4cm．若正三棱锥（底面是正三角形）的主视图与俯视图如下，则左视图的面积为2题5一个三棱柱的底面是正三角形，三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积．题6如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由几块木块堆成．题7长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（）A．3 B．4 C．12 D．16题8某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）．A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台题9某个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是完全相同的图形，则这个几何体的体积为多少？题10某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）(A) 8 (B) (C)10 (D)题11一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱题12如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试分别画出其三视图，并比较它们的异同．课后练习详解题1答案：D ．详解：四个选项中C 、D 矛盾，所以答案从这两个里选一个，又根据图形几何体有8个面．题2答案：A ．详解：当固定AB 或CD 中的一边时，可形成以左右侧面为底面的棱柱；当固定AD 或BC 中的一边时，可形成以前后侧面为底面的棱柱．题3答案：见详解．详解：该几何体的三视图如下：注意侧视图的直角顶点位置．题4 答案：342cm ．详解:三棱锥的左视图肯定还是三角形，需求三角形的底边长和高．的三角形，又由主视图知，这个三角形的高为，1324S ∴==2cm ．题5答案：这个三棱柱的表面积为（48+83）cm 2,体积为163cm 3. 详解：由三视图易知，该三棱柱的形状如图所示：由左视图可得三棱柱的高为4cm,正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为23cm.∴正三角形ABC的边长为|AB1×42sin60°2).∴该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2×21×42sin60°×3).体积为V=S底·|AA′|=2故这个三棱柱的表面积为2,体积为3.题6答案：4．详解:画出三视图复原的几何体，即可判断长方体的木块个数．由直视图知，由4块木块组成．故答案为：4．题7答案：A．详解：根据物体的主视图与俯视图可以得出，物体的长与高以及长与宽，进而得出左视图面积=宽×高．由主视图易得高为1，由俯视图易得宽为3．则左视图面积=1×3=3．题8答案：B．详解：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥．题9答案：3cm3详解：几何体是正四棱锥，底面是对角线长为2cm1122323V=⨯⨯⨯=cm3题10答案：C．详解：由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是∆PAC，面积为10，选C．题11答案：①②③⑤．题12详解：如图：。

人教A版新教材高中数学第二册课时作业1：模块综合

模块综合一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则z ＝i1－2i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面3．如图所示的直观图，其平面图形的面积为( )A ．3B ．6C ．3 2 D.3224．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层随机抽样法从中抽取容量为20的样本，则在一级品中抽取的比例为( ) A.124B.136C.15D.165．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体验中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要求在0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为( )A ．10B ．20C ．8D ．166．一组数据的平均数、众数和方差都是2，则这组数可以是 ( ) A ．2，2，3，1B ．2，3，－1，2，4C ．2，2，2，2，2，2D ．2，4，0，27．已知a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，且(a ＋λb )⊥a ，则λ＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－18．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29D.199．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.12 B.35 C.23 D.3410．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为( )A ．－3B ．3C ．2D ．－211．如图是由16个边长为1的菱形构成的图形，菱形中的锐角大小为π3，a ＝AB →，b ＝CD →，则a ·b ＝( )A ．－5B ．－1C ．－3D ．－612．如图，在矩形ABCD 中，EF ∥AD ，GH ∥BC ，BC ＝2，AF ＝FG ＝BG ＝1.现分别沿EF ，GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )A ．24πB ．6π C.163π D.83π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．4，4，6，7，7，8，9，9，10，10的30%分位数为________，75%分位数为________． 14．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．15．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为________．16．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1.边DC 上的动点P (包含点D ，C )与CB 延长线上的动点Q (包含点B )满足|DP →|＝|BQ →|，则P A →·PQ →的最小值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知a ，b ，c 是同一平面的三个向量，其中a ＝(1，3)． (1)若|c |＝4，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，求a 与b 的夹角θ.18．(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝π6，a ＝2，△ABC 的面积为3，F 为边AC 上一点． (1)求c ；(2)若CF ＝2BF ，求sin ∠BFC .19．(本小题满分12分)如图所示，凸多面体ABCED 中，AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，AC ＝AD ＝AB ＝1，BC ＝2，CE ＝2，F 为BC 的中点． (1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：平面BDE ⊥平面BCE .20．(本小题满分12分)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？21．(本小题满分12分)为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组，第1组『20，25)，第2组『25，30)，第3组『30，35)，第4组『35，40)，第5组『40，45』，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人．(1)分别求出第3，4，5组志愿者的人数，若在第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA＝SC，SA⊥BD.(1)求证：SO⊥平面ABCD；(2)设∠BAD＝60°，AB＝SD＝2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A-PCD 的体积．模块综合一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．『『解析』』选B.z ＝i 1－2i ＝i （1＋2i ）1－（2i ）2＝－2＋i 5＝－25＋15i ，其对应的点⎝⎛⎭⎫－25，15位于第二象限． 2．『『解析』』选B.对于A ，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A 不正确；对于B ，根据两平面平行的判定定理与性质知，B 正确；对于C ，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C 不正确；对于D ，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D 不正确．综上可知选B .3．『『解析』』选B.由直观图可得，该平面图形是直角边边长分别为4，3的直角三角形，其面积为S ＝12×4×3＝6.4．『『解析』』选D.由题意知抽取的比例为20120＝16，故选D.5．『『解析』』选B.由频率分布直方图，可得视力在0.9及以上的频率为(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.4，人数为0.4×50＝20.故选B.6．『『解析』』选D.易得这四组数据的平均数和众数都是2，所以只需计算它们的方差就可以．第一组数据的方差是0.5；第二组数据的方差是2.8；第三组数据的方差是0；第四组数据的方差是2.7．『『解析』』选D.因为a ＋λb ＝(1，0)＋(λ，λ)＝(1＋λ，λ)，所以(a ＋λb )·a ＝(1＋λ，λ)·(1，0)＝1＋λ.由(a ＋λb )⊥a 得1＋λ＝0，得λ＝－1，故选D. 8．『『解析』』选D.个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类： (1)当个位为奇数时，有5×4＝20个，符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25个，符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45个符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.9．『『解析』』选D.设A i (i ＝1，2)表示继续比赛时，甲在第i 局获胜，B 事件表示甲队获得冠军．法一：B ＝A 1＋A －1A 2，故P (B )＝P (A 1)＋P (A －1)P (A 2)＝12＋12×12＝34.法二：P (B )＝1－P (A －1A －2)＝1－P (A －1)P (A －2)＝1－12×12＝34.10．『『解析』』选B.因为AD →＝23AC →，所以BP →＝13BD →＝13(AD →－AB →)＝29AC →－13AB →.所以AP →＝AB →＋BP →＝23AB →＋29AC →，又AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，从而λμ＝3，故选B.11．『『解析』』选B.设菱形中过A 点的两邻边对应的向量分别表示为i ，j ，且i 的方向水平向右，则|i |＝|j |＝1，〈i ，j 〉＝60°，从而i ·j ＝12.因此a ＝i ＋2j ，b ＝－3i ＋2j ，所以a ·b ＝(i ＋2j )·(－3i ＋2j )＝－3i 2－4i ·j ＋4j 2＝－3×12－4×1×1×12＋4×12＝－1，故选B.12．『『解析』』选C.由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为23×12－⎝⎛⎭⎫122＝33.因为三棱柱的高BC ＝2，所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1，则三棱柱外接球的半径为R ＝⎝⎛⎭⎫332＋12＝233，所以三棱柱外接球的表面积S ＝4πR 2＝163π.故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．『『解析』』因为10×30%＝3，10×75%＝7.5，所以30%分位数为x 3＋x 42＝6＋72＝6.5，75%分位数为x 8＝9.『『答案』』6.5 914．『『解析』』设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A 1A 2A 3∪A 1A －2A 3∪A －1A 2A 3发生，故所求概率为P ＝P (A 1A 2A 3∪A 1A －2A 3∪A －1A 2A 3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A －2)·P (A 3)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3) ＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46. 『『答案』』0.4615．『『解析』』连接A 1B .因为AA 1⊥底面ABC ，则AA 1⊥BC ，又AB ⊥BC ，AA 1∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为∠CA 1B ＝30°.又AA 1＝AC ＝2，所以A 1C ＝22，BC ＝ 2.又AB ⊥BC ，则AB ＝2，则该三棱柱的侧面积为22×2＋2×2＝4＋4 2.『『答案』』4＋4 216．『『解析』』以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，1)，Q (2，y )，由题意知0≤x ≤2，－2≤y ≤0. 因为|DP →|＝|BQ →|，所以|x |＝|y |，所以x ＝－y . 因为P A →＝(－x ，－1)，PQ →＝(2－x ，y －1)，所以P A →·PQ →＝－x (2－x )－(y －1)＝x 2－2x －y ＋1＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34，所以当x ＝12时，P A →·PQ →取得最小值为34.『『答案』』34三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：(1)因为c ∥a ，所以存在实数λ(λ∈R )，使得c ＝λa ＝(λ，3λ)，又|c |＝4，即λ2＋3λ2＝4，解得λ＝±2. 所以c ＝(2，23)或c ＝(－2，－23)．(2)因为(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，所以(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫a －52b ＝0，即a 2－32a ·b －52b 2＝0，所以4－32×2×1×cos θ－52＝0，所以cos θ＝12，因为θ∈『0，π』，所以θ＝π3.18．解：(1)因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2b ×sin π6＝3，所以b ＝2 3.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋12－2×2×23×cos π6＝4，所以c ＝2.(2)由(1)得a ＝c ＝2，所以A ＝C ＝π6，∠ABC ＝π－A －C ＝2π3.在△BCF 中由正弦定理得CF sin ∠CBF ＝BFsin ∠BCF ，所以sin ∠CBF ＝sin π6·CF BF .又因为CF ＝2BF ，所以sin ∠CBF ＝22，又因为∠CBF ≤2π3，所以∠CBF ＝π4，所以sin ∠BFC ＝sin(∠CBF ＋∠BCF )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64. 19．证明：(1)取BE 的中点G ，连接GF ，GD ，因为AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，所以AD ∥EC ，且平面ABC ⊥平面ACED . 因为GF 为三角形BCE 的中位线，所以GF ∥EC ∥DA ，GF ＝12CE ＝DA ＝1.所以四边形GF AD 为平行四边形，所以AF ∥GD ，又GD ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)因为AC ＝AB ＝1，BC ＝2，所以AC 2＋AB 2＝BC 2，所以AB ⊥AC . 所以F 为BC 的中点，所以AF ⊥BC .又GF ⊥AF ，BC ∩GF ＝F ，所以AF ⊥平面BCE .因为AF ∥GD ，所以GD ⊥平面BCE .又GD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面BCE .20．解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3. (3)法一：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1. 所以如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．法二：从统计表可以看出，同时购买了甲和乙的顾客，也都购买了丙；同时购买了甲和丁的顾客，也都购买了丙；有些顾客同时购买了甲和丙，却没有购买乙或丁．所以，如果顾客购买了甲，那么该顾客同时购买丙的可能性最大．21．解：(1)由题意，因为第1组有5人，则0.01×5n ＝5，n ＝100，所以第3组有0.06×5×100＝30(人)，第4组有0.04×5×100＝20(人)，第5组有0.02×5×100＝10(人)．所以利用分层随机抽样在第3，第4，第5组中分别抽取3人，2人，1人．(2)记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，第5组的1名志愿者为C 1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共15种．其中第3组的3名志愿者A 1，A 2，A 3至少有一名志愿者被抽中的有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，共12种．则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为1215＝45. 22．解：(1)证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .又因为BD ⊥SA ，SA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面SAC ，又因为SO ⊂平面SAC ，所以BD ⊥SO .因为SA ＝SC ，AO ＝OC ，所以SO ⊥AC .又因为AC ∩BD ＝O ，所以SO ⊥平面ABCD .(2)连接OP .因为SB∥平面APC，SB⊂平面SBD，平面SBD∩平面APC＝OP，所以SB∥OP. 又因为O是BD的中点，所以P是SD的中点．由题意知△ABD为正三角形，所以OD＝1.由(1)知SO⊥平面ABCD，所以SO⊥OD.又因为SD＝2，所以在Rt△SOD中，SO＝ 3.所以P到平面ABCD的距离为3 2，所以V A-PCD＝V P-ACD＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×2sin 120°×32＝12.。

高中数学选择性必修修二第1课时函数的极值

5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值基础过关练题组一函数极值的概念及其求解1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),则“f'(x0)=0”是“x=x0是函数f(x)的一个极值点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)()A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点,两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点x2,则f(x)()3.(2019天津高二上期末)已知函数f(x)=ln x-12A.有极小值,无极大值B.无极小值,有极大值C.既有极小值,又有极大值D.既无极小值,又无极大值4.函数f(x)=x+2cos x在[0,π2]上的极大值点为()A.0B.π6C.π3D.π25.求下列函数的极值.(1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)=2xx2+1-2;(3)f(x)=x2-2ln x.题组二含参函数的极值问题6.(2019海南海口高二上期末)已知f(x)=ln x+ax(a≠0),则()A.当a<0时,f(x)存在极小值f(a)B.当a<0时,f(x)存在极大值f(a)C.当a>0时,f(x)存在极小值f(a)D.当a>0时,f(x)存在极大值f(a)7.(2020浙江湖州高二上期末)若函数y=e x-2mx有小于零的极值点,则实数m 的取值范围是()A.m<12B.0<m<12C.m>12D.0<m<18.(2020浙江杭州七校高二下联考)若函数f(x)=x3+ax2+ax(x∈R)不存在极值点,则a的取值范围是.9.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m=,n=.10.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=ln x-12ax2+x,a∈R.(1)当a=0时,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的极值.题组三函数极值的综合应用11.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.912.(2019云南昆明高三月考)已知函数f(x)=(x2-m)·e x,若函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,则f(x)的极大值是()A.4e-2B.4e2C.e-2D.e213.(2019辽宁省实验中学高二上期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n=n2+k+12(n∈N*),则f(x)=x3-kx2-2x+1的极大值为()A.52B.3C.72D.214.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则f'(1)f'(0)=.15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在点x0处取得极小值-5,其导函数y=f'(x)的图象经过点(0,0),(2,0).(1)求a,b的值;(2)求x0及函数f(x)的表达式.16.(2020山西吕梁高二上期末)已知函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+c在x=1及x=2处取得极值.(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)=0有三个不同的实根,求c的取值范围.深度解析17.已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求出f(x)的极大值.能力提升练题组一函数极值的求解及其应用1.(2020湖南长沙麓山国际学校高二上检测,)函数f(x)的定义域为(a,b),其导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图,则函数f(x)在区间(a,b)内的极小值点有()A.1个B.2个C.3个D.4个 2.()已知函数f(x)=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴相切于(1,0)点,则f(x)的极小值为( )A.0 B .-427C.-527D.13.(多选)()如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则下面判断正确的是( )A.f(x)在(-3,1)上是增函数B.f(x)在(1,3)上是减函数C.f(x)在(1,2)上是增函数D.当x=4时, f(x)取得极小值 4.(2019北京大兴高三上期末,)已知函数f(x)=√x -aln x.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,求a 的值; (2)求函数y=f(x)在区间[1,4]上的极值.题组二含参函数的极值问题 5.(2019福建泉州高三月考,)已知函数f(x)=ax 3-bx+2的极大值和极小值分别为M,m,则M+m=( ) A.0 B .1 C.2 D .46.(2020浙江杭州高三检测,)已知a>0且a ≠1,则函数f(x)=(x-a)2ln x( ) A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值,又有极小值 D.既无极大值,又无极小值7.(2019湖南湘潭高三一模,)若函数f(x)={x 2-(3m +1)x +3,x ≤0,mx 2+xlnx,x >0恰有三个极值点,则m 的取值范围是( ) A.(-12,-13)B.(-12,0))C.(-1,-13)D.(-1,-128.(2020河北保定高二上期末,)已知x=1是函数f(x)=a+x2的极值点,则实数xa的值为.易错9.(2020北京海淀高三上期末,)已知函数f(x)=e x(ax2+1)(a>0).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若函数f(x)有极小值,求证:f(x)的极小值小于1.x2-ax+ln x(a∈R). 10.(2020江西高安中学高二上期末,)已知函数f(x)=12(1)若f(x)在定义域上不单调,求a的取值范围;,m,n分别是f(x)的极大值和极小值,且S=m-n,求S的取值范围.(2)设a<e+1e题组三函数极值的综合应用11.(2020福建三明高二上期末质量检测,)函数y=1x-x2的图象大致是()12.(2020河北邯郸高三上期末,)已知函数f(x)为定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,当x>0时,f(x)=(x-2e)ln x.若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点,则m的取值范围是(深度解析)A.(-e,e)B.[-e,e]C.(-1,1)D.[-1,1]13.(2020山东济宁高二上期末质量检测,)已知点A,B为曲线y=1x上两个不同的点,A,B的横坐标x1,x2是函数f(x)=12ax2-ax-ln x的两个极值点,则直线AB与椭圆x 24+y2=1的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.不确定14.(多选)()已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,则下列结论正确的是()A.0<x0<1e B.x0>1eC.f(x0)+2x0<0D.f(x0)+2x0>015.(多选)()已知函数f(x)=ax-ln x(a∈R),则下列说法正确的是()A.若a≤0,则函数f(x)没有极值B.若a>0,则函数f(x)有极值C.若函数f(x)有且只有两个零点,则实数a的取值范围是(-∞,1e)D.若函数f(x)有且只有一个零点,则实数a的取值范围是(-∞,0]∪{1e}16.(2020山东青岛高三上期末,)已知函数f(x)=ln x-x+2sin x,f'(x)为f(x)的导函数.求证:(1)f'(x)在(0,π)上存在唯一零点;(2)f(x)有且仅有两个不同的零点.答案全解全析基础过关练1.B 由极值点的定义可以得出,可导函数f(x)的极值点为x 0,则f'(x 0)=0,必要性成立;反过来不成立.故选B.2.C 设y=f'(x)的图象与x 轴的交点从左到右的横坐标依次为x 1,x 2,x 3,x 4,则f(x)在x=x 1,x=x 3处取得极大值,在x=x 2,x=x 4处取得极小值,故选C.3.B 由题可得, f'(x)=1x -x=1−x 2x(x>0),当x>1时, f'(x)<0, 当0<x<1时, f'(x)>0,所以f(x)在x=1处取得极大值,无极小值. 故选B.4.B 由题意得, f'(x)=1-2sin x, 令f'(x)=0,得x=π6,当0<x<π6时, f'(x)>0;当π6<x<π2时, f'(x)<0.∴当x=π6时,f(x)取得极大值.5.解析(1)由题意得,f'(x)=3x2-6x-9,令f'(x)=0,即3x2-6x-9=0,解得x=-1或x=3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:∴当x=-1时,函数f(x)有极大值,且f(-1)=10;当x=3时,函数f(x)有极小值,且f(3)=-22. (2)由题意得,函数f(x)的定义域为R,f'(x)=2(x 2+1)−4x2(x2+1)2=-2(x-1)(x+1)(x2+1)2.令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:∴当x=-1时,函数有极小值,且极小值为f(-1)=-3;当x=1时,函数有极大值,且极大值为f(1)=-1. (3)由题意得, f'(x)=2x-2x ,且函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍去), 当x ∈(0,1)时, f'(x)<0, 当x ∈(1,+∞)时, f'(x)>0,∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f(1)=1,无极大值. 6.C 由题意得, f'(x)=1x -ax 2=x -a x 2,且函数f(x)的定义域是(0,+∞).当a>0时,令f'(x)>0,解得x>a, 令f'(x)<0,解得0<x<a,∴f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 故f(x)的极小值为f(a),无极大值,当a<0时, f'(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.故选C.7.B 由y=e x -2mx,得y'=e x -2m.由题意知e x -2m=0有小于零的实根,即e x =2m,得m=12e x .∵x<0,∴0<12e x <12,∴0<m<12.8.答案 [0,3]解析由f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R), 得f'(x)=3x 2+2ax+a.∵函数f(x)=x 3+ax 2+ax(x ∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上, ∴f'(x)≥0对x ∈R 恒成立, ∴Δ=4a 2-12a ≤0,解得0≤a ≤3, ∴a 的取值范围是[0,3].9.答案 2;9解析由题可得, f'(x)=3x 2+6mx+n, ∴{f'(-1)=3-6m +n =0,f(-1)=-1+3m -n +m 2=0, 解得{m =1,n =3或{m =2,n =9.当{m =1,n =3时,f'(x)=3x 2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立,不满足题意.故m=2,n=9.10.解析 (1)当a=0时, f(x)=ln x+x,所以f'(x)=1x+1,则切线斜率k=f'(1)=2,又f(1)=1,所以切点坐标为(1,1), 所以切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)由题知,g(x)=f(x)-(ax-1)=ln x-12ax 2+(1-a)x+1(x>0),所以g'(x)=1x-ax+(1-a)=-ax 2+(1−a)x+1x(x>0),当a ≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,无极值. 当a>0时,g'(x)=-a(x -1a)(x+1)x ,令g'(x)=0,得x=1a或x=-1(舍去),所以当x ∈(0,1a )时,g'(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g'(x)<0,所以当a>0时,函数g(x)的单调递增区间是(0,1a ),单调递减区间是(1a ,+∞),所以当x=1a 时,g(x)有极大值g (1a )=12a -ln a,综上,当a ≤0时,函数g(x)无极值;当a>0时,函数g(x)有极大值12a -ln a,无极小值.11.D f'(x)=12x 2-2ax-2b, ∵f(x)在x=1处有极值, ∴f'(1)=12-2a-2b=0,∴a+b=6. 又a>0,b>0,∴a+b ≥2√ab ,∴2√ab ≤6, ∴ab ≤9,当且仅当a=b=3时等号成立, ∴ab 的最大值为9.12.A 因为函数f(x)=(x 2-m)e x ,所以f'(x)=e x (x 2-m+2x),由函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为3e,得f'(1)=e(1-m+2)=e(3-m)=3e,所以m=0.则f'(x)=e x (x 2+2x)=e x (x+2)x,因为e x >0,所以函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的极大值为f(-2)=4e -2.故选A. 13.A 由于等差数列前n 项和公式中,常数项为0,所以k+12=0,所以k=-12,所以f(x)=x 3+12x 2-2x+1,所以f'(x)=3x 2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数f(x)在(-∞,-1)和(23,+∞)上单调递增,在(-1,23)上单调递减,故当x=-1时,f(x)取得极大值,为f(-1)=52.故选A.14.答案 1解析由题意得,m ≠0,且f'(x)=3mx 2+2nx+p,由题图可知,x=2是函数的极大值点,x=-1是极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根,由{f'(-1)=3m -2n +p =0,f'(2)=12m +4n +p =0, 解得{p =−6m,2n =−3m,∵f'(0)=p=-6m, f'(1)=p=-6m, ∴f'(1)f'(0)=1.15.解析 (1)由题意可得f'(x)=3x 2+2ax+b. ∵f'(x)的图象过点(0,0),(2,0), ∴{b =0,12+4a +b =0,解得{a =−3,b =0. (2)由(1)知f'(x)=3x 2-6x, 令f'(x)>0,得x>2或x<0, 令f'(x)<0,得0<x<2.∴f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,∴f(x)在x=2处取得极小值.∴x 0=2.由f(2)=-5,得c=-1,∴f(x)=x 3-3x 2-1. 16.解析 (1)由题意得, f'(x)=6x 2+6ax+3b,由函数f(x)在x=1及x=2处取得极值,得{f'(1)=6+6a +3b =0,f'(2)=24+12a +3b =0,解得{a =−3,b =4,经检验a,b 均符合题意. (2)由(1)可知,f(x)=2x 3-9x 2+12x+c, f'(x)=6x 2-18x+12=6(x-2)(x-1), 令f'(x)=0,得x=1或x=2,当x<1或x>2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当1<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,∴f(x)在x=1处取得极大值,在x=2处取得极小值.又f(x)=0有三个不同的实根,∴{f(1)=5+c >0,f(2)=4+c <0,解得-5<c<-4. 方法技巧解决一元三次方程的实数根问题,常常要考虑两个方面:一是导数为零时一元二次方程实根的个数;二是一元二次方程有两个不等实根时,三次函数有极大值点和极小值点,判断极大值、极小值与0的大小关系. 17.解析 (1)由题可得,f'(x)=e x (ax+a+b)-2x-4. 由已知得{f(0)=b =4,f'(0)=a +b -4=4,解得{a =4,b =4.(2)由(1)知,f(x)=4e x (x+1)-x 2-4x, f'(x)=4e x (x+2)-2x-4 =4(x+2)(e x -12).令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0;当x ∈(-2,-ln 2)时,f'(x)<0. 故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e -2).能力提升练1.A 设y=f'(x)的图象与x 轴交点的横坐标从左到右依次为x 1,x 2,x 3,x 4.由题图知,当a<x<x 1时,f'(x)>0,当x 1<x<x 2时,f'(x)<0,所以x 1是极大值点;同理,x 2是极小值点,x 4是极大值点.又当x 2<x<x 3时, f'(x)>0,当x 3<x<x 4时, f'(x)>0,所以x 3不是极值点,所以f(x)在(a,b)内有1个极小值点.故选A. 2.A 由题知f'(x)=3x 2-2px-q, f'(1)=3-2p-q=0, f(1)=1-p-q=0, 联立{3−2p -q =0,1−p -q =0,解得{p =2,q =−1.∴f(x)=x 3-2x 2+x, f'(x)=3x 2-4x+1. 令f'(x)=3x 2-4x+1=0, 解得x=1或x=13,经检验知x=1是函数f(x)的极小值点, ∴f(x)极小值=f(1)=0.3.CD f'(x)的图象在(-3,1)上先小于0,后大于0,故f(x)在(-3,1)上先减后增,因此A 错误;f'(x)的图象在(1,3)上先大于0,后小于0,故f(x)在(1,3)上先增后减,因此B 错误;由题图可知,当x ∈(1,2)时, f'(x)>0,所以f(x)在(1,2)上单调递增,因此C 正确;当x ∈(2,4)时, f'(x)<0,当x ∈(4,5)时, f'(x)>0,所以当x=4时, f(x)取得极小值,因此D 正确.故选CD.4.解析 (1)因为f(x)=√x -aln x, 所以f'(x)=2√x -ax (x>0),所以f'(1)=12-a.因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-2y+1=0,所以12-a=12,解得a=0.(2)f'(x)=2√x -a x =√x -2a2x.①当2a ≤1,即a ≤12时, f'(x)≥0在[1,4]上恒成立,所以y=f(x)在[1,4]上单调递增, 所以y=f(x)在[1,4]上无极值;②当2a ≥2,即a ≥1时, f'(x)≤0在[1,4]上恒成立, 所以y=f(x)在[1,4]上单调递减, 所以y=f(x)在[1,4]上无极值;③当1<2a<2,即12<a<1时,令f'(x)=0,得x=4a 2.当x 变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:因此, f(x)的单调递减区间为(1,4a 2),单调递增区间为(4a 2,4),所以当x=4a 2时, f(x)在[1,4]上取得极小值,且极小值为f(4a 2)=2a-2aln 2a,无极大值.5.D 由题意得, f'(x)=3ax 2-b,设方程3ax 2-b=0的两个根分别为x 1,x 2,则f(x)在x 1,x 2处取到极值,则M+m=4-b(x 1+x 2)+a(x 1+x 2)[(x 1+x 2)2-3x 1x 2],又x 1+x 2=0,x 1x 2=-b3a ,所以M+m=4,故选D.6.C 由题意得, f'(x)=2(x-a)ln x+(x -a)2x=(x-a)(2lnx +1−ax)(x>0),令f'(x)=0,得x=a 或2ln x+1-a x=0.作出g(x)=2ln x+1和h(x)=a x的图象(图略),易知g(x)=2ln x+1和h(x)=ax的图象有交点,所以方程2ln x+1-ax=0有解,所以根据函数的单调性和极值的关系可得,函数f(x)=(x-a)2ln x 既有极大值又有极小值,故选C.7.A 由题可知f'(x)={2x -(3m +1),x ≤0,2mx +lnx +1,x >0,当x>0时,令f'(x)=0,得-2m=lnx+1x,令g(x)=lnx+1x,则g'(x)=-lnx x 2,则函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,g(x)的图象如图所示, 所以当0<-2m<1,即-12<m<0时, f'(x)=0有两个不同的根.当x ≤0时,令f'(x)=0,得x=3m+12<0,解得m<-13.综上,m ∈-12,-13.8.答案 2解析由f(x)=ax+x 2,得f'(x)=-ax2+2x.因为x=1是f(x)的极值点,所以f'(1)=0,即-a+2=0,所以a=2. 此时f'(x)=2(x 3-1)x 2,当x<1时, f'(x)<0;当x=1时, f'(x)=0;当x>1时, f'(x)>0.因此x=1是极小值点,即a=2符合题意.易错警示已知极值点求参数的值,先计算f'(x)=0,求得x 的值,再验证极值点.由于导数为0的点不一定是极值点,因此解题时要防止遗漏验证导致错误.9.解析 (1)由已知得f'(x)=e x (ax 2+2ax+1),因为f(0)=1, f'(0)=1, 所以所求切线的方程为y=x+1.(2)证明: f'(x)=e x (ax 2+2ax+1),令g(x)=ax 2+2ax+1,则Δ=4a 2-4a. (i)当Δ≤0,即0<a ≤1时,∀x ∈R,f'(x)≥0,所以函数f(x)在R 上是单调递增函数,此时函数f(x)在R 上无极小值. (ii)当Δ>0,即a>1时,记x 1,x 2是方程ax 2+2ax+1=0的两个根,不妨设x 1<x 2,则{x 1+x 2=−2<0,x 1x 2=1a>0,所以x 1<x 2<0.当x 变化时, f'(x),f(x)的变化情况如下表:所以函数y=f(x)的极小值为f(x 2),又因为函数y=f(x)在[x 2,0]上单调递增,所以f(x 2)<f(0)=1. 所以函数y=f(x)的极小值小于1.10.解析 (1)由已知得f'(x)=x+1x -a(x>0,a ∈R).①若f(x)在定义域上单调递增,则f'(x)≥0,即a ≤x+1x在(0,+∞)上恒成立,又x+1x∈[2,+∞),所以a ≤2.②若f(x)在定义域上单调递减,则f'(x)≤0,即a ≥x+1x在(0,+∞)上恒成立,又x+1x∈[2,+∞),所以a ∈⌀.因为f(x)在定义域上不单调,所以a>2,所以a ∈(2,+∞).(2)由(1)知,要使f(x)在(0,+∞)上有极大值和极小值,必须满足a>2. 又a<e+1e,所以2<a<e+1e.设f'(x)=x+1x -a=x 2-ax+1x =0的两根分别为x 1,x 2,即x 2-ax+1=0的两根分别为x 1,x 2,于是{x 1+x 2=a,x 1x 2=1.不妨设0<x 1<1<x 2,则f(x)在(0,x 1)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在(x 2,+∞)上单调递增,所以m=f(x 1),n=f(x 2), 所以S=m-n=f(x 1)-f(x 2)=(12x 12-ax 1+ln x 1)-(12x 22-ax 2+ln x 2) =12(x 12-x 22)-a(x 1-x 2)+(ln x 1-ln x 2) =-12(x 12-x 22)+ln x1x 2 =-12(x 1x 2-x2x 1)+ln x1x2. 令t=x 1x 2,t ∈(0,1),则S=-12(t -1t)+ln t. 又t+1t=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2=a 2-2∈(2,e 2+1e 2),所以1e 2<t<1.所以S'=-12(1+1t 2)+1t =-12(1t-1)2<0, 所以S=-12(t -1t )+ln t 在(1e 2,1)上为减函数.所以S ∈(0,e 4-4e 2-12e 2).11.D 令y=1x -x 2=0,得x 3=1,解得x=1.因此选项A 、C 中的图象不正确;y'=-1x2-2x,令y'=0,得2x 3+1=0,解得x=-√123,因此,x=-√123是函数y=1x-x 2的唯一的极大值点,因此,当x<-√123时,y'>0,当-√123<x<0时,y'<0,故B 错误,D 正确.故选D.12.A当x>0时,f'(x)=ln x+1-2ex ,f″(x)=1x+2ex2>0,故f'(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.f(x)的大致图象如图所示.由g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点知,直线y=m与y=f(x)的图象有四个不同的交点,故m∈(-e,e),故选A.解题模板利用导数解决函数的极值问题,常见的解题步骤是:求导、求驻点(令导数为0时方程的解)、列表、回答问题,由表可得出函数的大致图象,借助数形结合可解决函数的极值问题.13.C由f(x)=12ax2-ax-ln x,得f'(x)=ax-a-1x =ax2-ax-1x,因为A,B的横坐标x1、x2是函数f(x)=12ax2-ax-ln x的两个极值点,所以x1、x2是方程ax2-ax-1=0的两根,因此{x1+x2=1, x1x2=−1a, a≠0,又点A,B为曲线y=1x 上两个不同的点,所以k AB=1x1-1x2x1-x2=-1x1x2=a,因此直线AB的方程为y-1x1=a(x-x1),即y=ax-ax1+1x1=ax-ax1-ax2=ax-a(x 1+x 2)=ax-a=a(x-1), 即直线AB 恒过定点(1,0),显然点(1,0)在椭圆x 24+y 2=1内,因此直线AB 与椭圆x 24+y 2=1必相交.故选C.14.AD ∵函数f(x)=xln x+x 2(x>0), ∴f'(x)=ln x+1+2x,易得f'(x)=ln x+1+2x 在(0,+∞)上单调递增,f'(1e )=2e >0,∵当x →0时, f'(x)→-∞,∴0<x 0<1e ,∴A 正确,B 错误. ∵f'(x 0)=ln x 0+1+2x 0=0,∴f(x 0)+2x 0=x 0ln x 0+x 02+2x 0=x 0(ln x 0+x 0+2)=x 0(1-x 0)>0,∴C 错误,D 正确.故选AD.15.ABD 由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a-1x =ax -1x,当a ≤0时, f'(x)<0恒成立,此时f(x)单调递减,没有极值.又当x 趋近于0时, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞时, f(x)趋近于-∞,∴f(x)有且只有一个零点.当a>0时,在(0,1a )上f'(x)<0, f(x)单调递减,在(1a ,+∞)上f'(x)>0, f(x)单调递增,当x=1a 时, f(x)取得极小值,同时也是最小值,∴f(x)min =f (1a )=1+ln a,当x 趋近于0时,ln x 趋近于-∞, f(x)趋近于+∞,当x 趋近于+∞时, f(x)趋近于+∞,当1+ln a=0,即a=1e时, f(x)有且只有一个零点;当1+ln a<0,即0<a<1e时, f(x)有且仅有两个零点,综上可知ABD 正确,C 错误.故选ABD. 16.证明 (1)设g(x)=f'(x)=1x -1+2cos x,当x ∈(0,π)时,g'(x)=-2sin x-1x 2<0,所以g(x)在(0,π)上单调递减, 又因为g (π3)=3π-1+1>0,g (π2)=2π-1<0,所以g(x)在(π3,π2)上有唯一的零点α,即f'(x)在(0,π)上存在唯一零点α. (2)①由(1)知,当x ∈(0,α)时, f'(x)>0,f(x)在(0,α)上单调递增; 当x ∈(α,π)时, f'(x)<0, f(x)在(α,π)上单调递减, 所以f(x)在(0,π)上存在唯一的极大值点α(π3<α<π2),所以f(α)>f (π2)=ln π2-π2+2>2-π2>0,又因为f (1e 2)=-2-1e 2+2sin 1e 2<-2-1e 2+2<0, 所以f(x)在(0,α)上恰有一个零点, 又因为f(π)=ln π-π<2-π<0, 所以f(x)在(α,π)上也恰有一个零点, ②当x ∈[π,2π)时,sin x ≤0, f(x)≤ln x-x, 设h(x)=ln x-x,则h'(x)=1x -1<0,所以h(x)在[π,2π)上单调递减, 所以h(x)≤h(π)<0,所以当x ∈[π,2π)时, f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立, 所以f(x)在[π,2π)上没有零点. ③当x ∈[2π,+∞)时, f(x)≤ln x-x+2, 设φ(x)=ln x-x+2,φ'(x)=1x -1<0,所以φ(x)在[2π,+∞)上单调递减,所以φ(x)≤φ(2π)<0,所以当x∈[2π,+∞)时,f(x)≤φ(x)≤φ(2π)<0恒成立,所以f(x)在[2π,+∞)上没有零点.综上,f(x)有且仅有两个零点.。

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