甘肃省兰大附中2020届高三5月月考数学(理科)试题及答案解析
甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析
甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的虚部是( )A．B．C．D．2.下列命题中，假命题是（）A．B．C．D．3.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数4.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．5.若在处取得最小值，则（）A．B．3C．D．46.设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则7.某程序的框图如右图所示，输入，则输出的数等于（ ）A ．B ．C ．D ．8.数列{}满足若=，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．9.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数y=a x (a>0, a≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是（ ） A ．[1,3]B ．[2,] C ．[2,9]D ．[,9]10.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图 A ． B ． C ．D ．11.已知F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．[2 +)C ．(1,3]D ．[3，+)12.函数的定义域为D ，若对于任意，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于( )A ．B ．C ．D ．无法确定二、填空题1.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 .2.记定义在R 上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上的“中值点”为____．3.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2,的面积为,则.三、解答题1.已知函数x ∈R 且,（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为偶函数？（列举出一种方法即可）．2.如图，在长方体，中，，点在棱AB 上移动.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求点到平面的距离；（Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为3.小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X,若就去打球；若就去唱歌；若就去下棋.（Ⅰ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.（Ⅱ）写出数量积X 的所有可能取值，并求X 分布列与数学期望4.已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．（Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．5.已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（Ⅲ）求证：（，e是自然对数的底数）.6.如图，、是圆的半径，且，是半径上一点：延长交圆于点，过作圆的切线交的延长线于点.求证：.7.已知曲线的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；（Ⅱ）设P为上任意一点，求的取值范围．8.已知函数，，且的解集为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求证：甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数的虚部是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】,复数的虚部为，故选B．【考点】复数的概念和运算2.下列命题中，假命题是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】特殊值验证，∴是假命题，故选D．【考点】命题真假的判断3.函数是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的偶函数【答案】C【解析】根据诱导公式将函数化简为，于是可判断其为最小正周期为的偶函数,选C..【考点】本小题主要考查诱导公式、三角函数的奇偶性4.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为,选C..【考点】向量共线.5.若在处取得最小值，则（）A．B．3C．D．4【答案】B【解析】由，当且仅当即时，取得等号，故选B.【考点】均值不等式6.设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，则【答案】B【解析】根据点、线、面的位置关系可知“若，，，则”，即不在平面内的直线平行于两个平行平面中的一个必平面另一个.【考点】本小题主要考查点、线、面的位置关系7.某程序的框图如右图所示，输入，则输出的数等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；此时不满足条件，输出，选D.【考点】算法与框图.8.数列{}满足若=，则的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为故所以故从而是以3为周期的周期数列，故，选A.【考点】本小题数列性质，数列问题函数化思想9.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=a x(a>0, a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是（）A．[1,3]B．[2,]C．[2,9]D．[,9]【答案】C【解析】画出题设中的线性区域如图中的阴影部分．可求得A(1,9),B(3,8)，当y=a x过A、B时，函数y=a x的图象过区域M ，分别解得a=9和a=2，∴a 的取值范围是[2，9]，故选C ．【考点】线性规划.10.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图 A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】由三视图可得该几何体为圆锥，且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5，则圆锥的底面积S 底面=π•r 2=9π侧面积S 侧面=π•r•l=15π故几何体的表面积S=9π+15π=24πcm 2，又由圆锥的高h==4故V=•S 底面•h=12πcm 3故选A. 【考点】由三视图求面积、体积11.已知F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]B ．[2 +)C ．(1,3]D ．[3，+)【答案】C【解析】由定义知：|PF 1|-|PF 2|=2a ，所以|PF 1|=2a+|PF 2|，+4a+|PF 2| ≥8a ，当且仅当=|PF 2|，即|PF 2|=2a 时取得等号,设P （x 0，y 0） （x 0a ），由焦半径公式得：|PF 2|=-ex 0-a=2a ，，又双曲线的离心率e ＞1，∴e ∈（1，3]，故选C ．【考点】本题主要考查双曲线的定义及几何性质，均值定理的应用12.函数的定义域为D ，若对于任意，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A 【解析】由，令，得，因为，所以.由②，令，得.由③，令，得，所以.再由②，令，得.②中再令，得.又函数在[0，1]上为非减函数，，所以，故.所以有=1+++++=.【考点】抽象函数的运算、新概念的理解二、填空题1.已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为 .【答案】15【解析】二项式展开式中含的项为其系数为．【考点】绝对值不等式的性质、二项式定理.2.记定义在R上的函数的导函数为．如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“中值点”．那么函数在区间[－2，2]上的“中值点”为____．【答案】【解析】由求导可得，设为函数在区间[－2，2]上的“中值点”则，即解得.【考点】新定义、导数，考查学生对新定义的理解、分析和计算能力.3.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2,的面积为,则 .【答案】.【解析】有得所以双曲线的渐近线为又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得在中，到的距离为..【考点】双曲线与抛物线的几何性质.三、解答题1.已知函数 x∈R且,（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为偶函数？（列举出一种方法即可）．【答案】（1）；（2）右平移个单位或向左平移个单位.【解析】（1）利用已知代入函数将函数解析式确定，在将其化为一角一函数形式，根据正弦函数性质解答；（2）根据图象平移即余弦函数的特征解答.试题解析：（1）由得∴（ 4分）因此，．（6分）故（7分）（2）由于或，（9分）于是将向右平移个单位或向左平移个单位，（ 11分）所得图象对应的函数均为偶函数．（其他正确答案参照给分）（12分）【考点】三角函数的性质、图像变换、两角和的正弦公式.2.如图，在长方体，中，，点在棱AB上移动.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求点到平面的距离；（Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）二面角的大小为.【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量数量积为零证明即可；（Ⅱ）求出平面的法向量解答；（Ⅲ）设平面的法向量，利用空间向量解答即可.试题解析：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则 2分（1） 4分（2）因为为的中点，则，从而， 5分，设平面的法向量为，则也即，得 6分从而， 7分所以点到平面的距离为 8分（3）设平面的法向量，∴由令，∴依题意∴（不合，舍去），.∴时，二面角的大小为. 12分【考点】线面、面面的垂直关系、二面角的求法、空间向量在立体几何中的应用.3.小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为：以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X,若就去打球；若就去唱歌；若就去下棋.（Ⅰ）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.（Ⅱ）写出数量积X 的所有可能取值，并求X 分布列与数学期望 【答案】（Ⅰ）小波去下棋的概率为，小波不去唱歌的概率．（Ⅱ）的所有可能取值为；【解析】（Ⅰ）的所有可能取值，即从，，，，，这六个向量中任取两个，共有种,的所有可能取值为,利用古典概型概率计算公式求解；（Ⅱ）由上表可知的所有可能取值为；数量积为-2的只有一种，数量积为-1的有六种，数量积为0的有四种，数量积为1的有四种，列出分布列，求期望.试题解析：（Ⅰ）的所有可能取值，即从，，，，，这六个向量中任取两个，共有种。
甘肃省2020届高三月考数学(理)试题
2020学期高三月考试题数 学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( ) A .(0，1] B .[1，＋∞) C .(0，1) D .(1，＋∞) 2.若复数z 满足()3443i z i -=+,则z 的虚部为( )A . 45i -B . 45-C . 45D . 45i3.已知直线:10(R)l x ay a +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( ) A .2 B .42 C .6 D .2104.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( ) A .直线AC 上 B .直线AB 上 C .直线BC 上D .△ABC 内部5.已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C .⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 D .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，236.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为( )A .7B .9C .10D .157.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为,x y ,则2log 1x y =的概率为( )A .16 B . 536C . 112D .12 8.若实数x ，y 满足条件402200x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则12x y-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的最大值为( ) A .116B . 12C . 1D .29.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( ) A .85 B .65 C .45D .2510.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( ) A .4B .5C .6D .711.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A .(－1，1) B .(－1，＋∞) C .(－∞，－1)D .(－∞，＋∞)12.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是( )A . 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B . 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C . 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D .1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分） 13.计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.14.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.15.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).16.已知实数e ,0()lg(),0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若关于x 的方程()2()0f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17.(12分)已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x =r r =函数().f x a b =⋅r r(1)求函数()f x 的单调增区间; (2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域.18.(12分)在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小;（2）已知2c =，AC 边上的高BD ABC △的面积S 的值.19. (10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2,{2x t y =--= (t 为参数),直线l 与曲线()22:21C y x --=交于,A B 两点.(1)求AB 的长;(2)在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭,求点P 到线段AB 中点M 的距离.20.(10分)已知()()20?f x ax ax a a =-+->. (1)当1a =时,求()f x x ≥的解集;(2)若不存在实数x ,使()3f x <成立,求a 的取值范围.21.(12分)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间;(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围.22.(14分)已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈ (1)若1a =,求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程; (2)若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立,求实数a 的取值范围;(3)若数列{}n a 的前n 项和231n S n n =+-,4n nb a =,求证:数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++ .2020学期月考试题答案数 学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( B ) A .(0，1] B .[1，＋∞) C .(0，1) D .(1，＋∞) 2.若复数z 满足()3443i z i -=+,则z 的虚部为 ( B )A . 45i - B . 45-C . 45D . 45i 3.已知直线:10(R)l x ay a +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( C )A .2B .42C .6D .2104.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( B ) A .直线AC 上 B .直线AB 上 C .直线BC 上D .△ABC 内部5.已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( D )A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C .⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 D .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，236.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为( A )A .7B .9C .10D .157.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为,x y ,则2log 1x y =的概率为( C )A .16 B . 536C . 112D .12 8.若实数x ，y 满足条件4022000x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则12x y -⎛⎫⎪⎝⎭ 的最大值为( D )A .116B . 12C . 1D .29.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( B ) A .85 B .65 C .45D .2510.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( C ) A .4B .5C .6D .711.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( B )A .(－1，1)B .(－1，＋∞)C .(－∞，－1)D .(－∞，＋∞)12.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是( D )A . 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B . 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C . 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D . 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分） 13.计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________π4＋1._..14.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为___655－1..15.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝____10____(用数字作答).16.已知实数e ,0()lg(),0x x f x x x ⎧≥⎨-<⎩，若关于x 的方程()2()0f x f x t ++=有三个不同的实根，则t的取值范围为 (,2]-∞-__________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17.(12分)已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x =r r =函数().f x a b =⋅r r(1)求函数()f x 的单调增区间;(2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域 ()22cos 2f x a b x x =⋅=r r2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得(),.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈2.由1知()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴当6x π=时, ()max 3f x =;当0x =时, ()min 2f x =18.(12分)在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小．（2）已知2c =，AC 边上的高BD =，求ABC △的面积S 的值． （1）∵(2)cos cos 0c a B b A --=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0C A B B A --=，∴2sin cos sin cos sin cos C B A B B A =+，即2sin cos sin C B C =. ∵πA B C +=-且sin 0C ≠，∴1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =． （2）∵11sin 22S ac B BD b ==⋅，代入,c BD B ==，得b由余弦定理得，22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-代入b ，得29180a a -+=，解得3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩6a b =⎧⎪⎨=⎪⎩又∵ABC △是锐角三角形∴222a c b <+，故3a =，b∴11sin 2322ABC S ac B ==⨯⨯=△19.(10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为2,{2x t y =--= (t 为参数),直线l 与曲线()22:21C y x --=交于,A B 两点.(1)求AB 的长;(2)在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭,求点P 到线段AB 中点M 的距离。
甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析
甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（）A．－1B．1C．－2D．22.已知集合，，若，则的子集个数为（）A．5B．4C．3D．23.在中，分别是三等分点，且，若，则（）A．B．C．D．4.已知函数，则函数的大致图象为（）5.如图，在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的左视图为（）6.已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7.已知：函数在上是减函数，恒成立，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.设函数为偶函数，且；满足，当时，，则当时，（）A．B．C．D．9.执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值是（）A．18B．50C．78D．30610.已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为（）A．B．C．D．二、填空题1.观察下列各式：…照此规律，当时，．2.已知函数，若，则 .3.已知中，分别为内角的对边，且，则．4.设实数满足不等式组，则的最大值为．5.已知抛物线的准线方程为，焦点为为抛物线上不同的三点，成等差数列，且点在轴下方，若，则直线的方程为．三、解答题1.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见右表,规定：三级为合格等级，为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照，的分组作出频率分布直方图如图1所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.（Ⅰ）求和频率分布直方图中的的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（Ⅱ）在选取的样本中,从两个等级的学生中随机抽取了2名学生进行调研，求至少有一名学生是等级的概率.2.已知函数在处取得最值，其中.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若为锐角，，求.3.如图，已知等腰梯形中，,是的中点，是与的交点，将沿向上翻折成，使平面平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为的中点，求证：平面.4.已知正项数列的前项和为，且，数列满足，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求.5.已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为30°的直线与圆相交所得弦的长度为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动直线交椭圆于不同两点，设，为坐标原点.当以线段为直径的圆恰好过点时，求证：的面积为定值，并求出该定值.6.函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若是极大值点.（ⅰ）当时，求的取值范围；（ⅱ）当为定值时，设（其中)是的3个极值点.问：是否存在实数，可找到，使得，的某种排列成等差数列？若存在求出的值及相应的，若不存在，说明理由.甘肃高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设是虚数单位，若复数是纯虚数，则（）A．－1B．1C．－2D．2【答案】D【解析】试题分析:因,故.应选D.【考点】复数的概念及运算.2.已知集合，，若，则的子集个数为（）A．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】试题分析:因,故的子集个数为.故应选B.【考点】集合的交集运算.3.在中，分别是三等分点，且，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析:因.故应选A.【考点】向量的几何形式的运算.4.已知函数，则函数的大致图象为（）【答案】B【解析】试题分析:因是偶函数，且当,.故应选B.【考点】函数的奇偶性及对称性等知识的综合运用.5.如图，在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的左视图为（）【答案】C【解析】试题分析:依据三视图的知识可知,其左视图的正面是直角梯形，且被遮挡看不见.故应选C．【考点】三视图的知识及运用.【易错点晴】三视图是立体几何中的重要题型之一，也是高中数学中的重要题型之一,也历届高考必考的题型之一.本题以正方体的直观图为背景，考查是三视图的识读能力和空间想象能力.解答时先搞清楚正方体中的剩余部分的形状，再从左视图的概念入手，对所给的四个选择支进行比对，从而获得答案.6.已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析:由题设因,故，即，则，应选B.【考点】双曲线的几何性质及运用.7.已知：函数在上是减函数，恒成立，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析:因,故.应选A.【考点】复合命题的真假及充分必要条件的判定.8.设函数为偶函数，且；满足，当时，，则当时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:由可得，则当时，即时，；当时，，应选D.【考点】分段函数的解析式及分类整合思想.【易错点晴】函数的周期性、奇偶性及分类整合思想不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从题设中的已知条件入手，探究出其周期为，再分类求出当时，和当时函数的解析表达式分别为和，从而使得问题巧妙获解．9.执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值是（）A．18B．50C．78D．306【答案】C【解析】试题分析:从题设中所提供的算法流程图可以看出：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，此时输出，且，即输入的整数的最大值是.故应选C．【考点】算法流程图的识读与理解.【易错点晴】算法流程图的识读和理解不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从题设中的算法程序框图入手，搞清算法的操作步骤及运算程序，进而按步求解最后算出当时，，此时输出，且，即输入的整数的最大值是，使得问题巧妙获解．10.已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析:令,则，，即，也即，同理可得，故，也即.故应选D.【考点】换元法及函数的零点等有关知识的综合运用.【易错点晴】函数的零点不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先将函数的零点问题转化为方程有解的问题，进而运用换元法转化为二次方程的根与系数之间的关系求解，然后运用这一条件,使得问题巧妙获解．二、填空题1.观察下列各式：…照此规律，当时，．【答案】【解析】试题分析:观察所给的几个不等式的左右两边可以看出：不等式的右边的分子是的形式，分母是的形式，故由归纳推理的模式可得该不等式的右边是.故应填答案.【考点】归纳推理及运用．2.已知函数，若，则 .【答案】【解析】试题分析:若，则由题设可得不合题意；当时，，解之得.故应填答案.【考点】分段函数的求值及指数对数方程的求解．3.已知中，分别为内角的对边，且，则．【答案】【解析】试题分析:由正弦定理可得，即.故应填答案.【考点】正弦定理及两角和的正弦公式的综合运用．4.设实数满足不等式组，则的最大值为．【答案】【解析】试题分析:画出不等式组表示的平面区域如图，结合图形可以看出：当动直线经过点时，动直线在轴上的截距最小，取最大值为.故应填答案.【考点】线性规划的知识及运用．【易错点晴】本题考查的是线性约束条件的与数形结合的数学思想的综合运用问题,解答时先准确的画出不等式组表示的区域,再搞清的几何意义,将问题转化为求动直线在轴上的截距最小，取最大值的问题。
甘肃省数学高三理数5月联考试卷
甘肃省数学高三理数5月联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设复数满足,则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·衡水开学考) 满足{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}的集合A的个数为（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 7个3. （2分） (2017高二上·定州期末) 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则的值为（）A .B .C .D .4. （2分）若为实数,表示不超过的最大整数,则函数在上为（）A . 奇函数B . 偶函数C . 增函数D . 周期函数5. （2分） (2020高二上·福州期中) 已知向量，，则以，为邻边的三角形的面积（）A .B .C . 2D . 46. （2分）(2017·成都模拟) 高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的ai（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A . 6B . 7C . 8D . 97. （2分） (2020高三上·库车月考) 下列说法错误的是（）A . 命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”B . “ ”是“ ”的充分不必要条件C . 若且为假命题，则，至少有一个假命题D . 命题：“存在使得”，则：“对于任意，均有”8. （2分）若a是从区间[0，2]中任取的一个实数，b是从区间[0，3]中任取的一个实数，则a＜b的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）设等差数列的公差不等于0，且其前n项和为。
若成等比数列，则A . 40B . 54C . 80D . 9610. （2分） (2016高二上·宜昌期中) 已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高三上·湛江期中) 已知F1 ， F2是双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1= ，则双曲线E的离心率为（）A .B .C . 2D . 312. （2分） (2020高三上·平顶山月考) 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分）已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)，则点D的坐标为________．14. （1分） (2020高三上·成都月考) 已知的展开式二项式系数和为64，则展开式中常数项是________．（用数字作答）15. （1分） (2020高三上·台州期中) 设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，则公差 ________﹔数列的前100项和 ________.三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC= ，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为________．四、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2016高一上·温州期末) 已知二次函数f（x）=x2﹣2x+3（Ⅰ）若函数的最小值为3，求实数m的值；（Ⅱ）若对任意互不相同的x1 ，x2∈（2，4），都有|f（x1）﹣f（x2）|＜k|x1﹣x2|成立，求实数k的取值范围．18. （10分）(2017·武邑模拟) 如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．19. （15分） (2017高二上·湖北期末) 某青年教师有一专项课题是进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的研究，他调查了某中学高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩，把成绩按优秀和不优秀分类得到的结果是：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有60人．附：P（K2≥k0）0.1000.0500.010k0 6.6357.87910.828K2= ．（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该中学学生的数学成绩与物理成绩有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取4名学生的成绩，记抽取的4份成绩中数学、物理两科成绩恰有一科优秀的份数为X，求X的分布列和期望E（X）．20. （10分） (2017高三下·武威开学考) 已知椭圆C： =1，（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ =0）且不垂直于x轴直线l椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求• 取值范围；（Ⅲ）若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．21. （10分） (2018高二下·甘肃期末) 已知函数 .（1）若，求函数的极值点；（2）若，函数有两个极值点，，且，求证： .22. （10分） (2020高二上·湖北月考) 已知椭圆．离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．23. （10分） (2019高三上·眉山月考) 设a＞0，b＞0，且a+b＝ab．（1）若不等式|x|+|x﹣2|≤a+b恒成立，求实数x的取值范围．（2）是否存在实数a，b，使得4a+b＝8？并说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、双空题 (共1题；共1分)答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共7题；共75分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。
甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷理科数学+全解全析
绝密 ★ 启用前 附中2020届高三五月下模拟试卷理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,1,2,3,5}A =-，2{|1log 40}B x x =∈<<N ，则A B =I （ ） A ．{3}B ．{2,3}C ．{2,3,5}D ．{1,1,5}-2．已知i 是虚数单位，复数z 满足2(1i)1i z-=+，则z =（ ）A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -3．正项等比数列{}n a 中，32a =，4664a a ⋅=，则91012a a a a ++的值是（ ）A ．256B ．128C ．64D ．324．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．2-5．“cos 0A =”是“sin 1A =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，12AA =，该三棱柱的外接球的体积为（ ）A ．3π B ．23π C ．43πD ．2821π7．已知向量()2,1=-a ，()6,x =b ，且//a b ，则2-=a b （ ） A ．5B ．25C ．5D ．48．若直线20(,0)ax by a b +-=>始终平分圆2224160x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为（ ）A ．72B ．4C ．92D ．329．已知函数()14sin cos f x x x =-，下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．曲线()y f x =关于直线π4x =-对称 C ．()f x 在π5π,412⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．方程()2f x =在[]π,π-上有4个不同的实根10．已知ABC △三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3cos sin 0c A a C +=，若角A 平分线段BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．3211．设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a α∥，b α∥，则a b ∥ B ．若a α∥，b α⊥，则a b ⊥C ．若a α∥，a β∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，a b ⊥，则αβ∥12．已知直线y m =分别与函数11x y e +=-和()220y x x x =+>交于,A B 两点，则,A B 两点之间的距离最小值是（ ）A ．1ln2-B ．2ln 2-C ．12ln2-D ．22ln 2-此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若61)x的展开式中的常数项是_________． 14．一个书架的其中一层摆放了7本书，现要把新拿来的2本不同的数学书和1本化学书放入该层，要求2本数学书要放在一起，则不同的摆放方法有________种．（用数字作答）15．轴截面为正方形的圆柱，它的两底面圆周上的各点都在一个直径为4的球的球面上，则该圆柱的体积为 ．16．已知椭圆22143x y +=的右焦点为,F A 为椭圆在第一象限内的点，连接AF 并延长交椭圆于点B ，连接AO （O 为坐原点）并延长交椭圆于点C ，若3ABC S =△，则点C 的坐标为______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1236a a a ++=，2a ，4a ，8a 成等比数列，若数列{}n b 满足1*12231133,22n n n b b b n a a a +++++=⨯-∈N L ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（12分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取3个产品，求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在多面体ABCGDEF 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，四边形ABED 是边长为2的正方形，AC DG EF ∥∥，且1AC EF ==，2DG =． （1）证明：CF ⊥平面BDG ； （2）求二面角F BC A --的余弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 两点为椭圆C 的左右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的一点，记直线PA ，PB 斜率分别为PA K ，PB K ，求PA PB K K ⋅的值．21．（12分）已知函数()221f x x ax =-+．（1）若函数()()log a g x f x a =+⎡⎤⎣⎦（0a >，1a ≠）的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）当0x >时，恒有不等式()ln f x x x>成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2x ty t=⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=． （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点A ，直线l 与曲线C 相交于点,M N ，求11||||AM AN +的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()()230f x x x a a =-++>． （1）若1a =，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()232f x a a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围．。
2020届甘肃省兰州市第二中学高三第五次月考理科数学试题及答案
2019-2020学年高三第二学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题1.设集合2{|log 0}A x x =≤，{|1327}xB x =<<，则()RC A B ⋂=（ ）A. (0,1)B. (1,3]C. (1,3)D. [1,3)2.已知i 为虚数单位，41iz =+，则复数z 的虚部为( ). A. 2i -B. 2iC. 2D. 2-3.命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A. 4a ≥B. 4a >C. 1a ≥D. 1a >4.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<5.若曲线ln y mx x =+在点(1，m)处的切线垂直于y 轴，则实数m = A. 1-B. 0C. 1D. 26.为得到2sin(3)3y x π=-的图象，只需要将23y cos x ＝函数的图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移518π个单位 D. 向右平移518π个单位 7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3612，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（ ）（参考数据：20.30lg ≈） A. 3010B. 2810C. 3610D. 93108.过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( )A. B. C.D. 9.2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( )A. 198B. 268C. 306D. 37810.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()2*121n n a S n n +=++∈N ，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则n T 的取值范围为（ ） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (0,1)C. 1(,1)2D. 1[,1)211.如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.212 B.212C. 61- D.31- 12.已知函数()2(43)3,0,log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >，且a 1≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. [23，34] C. [13，23]U {34} D. [13，23）U {34} 二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.22()nx x+展开式中只有第六项二项式系数最大，则n ＝_______，展开式中的常数项是_______. 14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足()13AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则 BP BC ⋅=u u u v u u u v______.15.在ABC ∆中，角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()222sin sin sin 2sin A c C A B +-=，且ABC ∆的面积14S abc =.则角B =__________．16.已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段2BF 的延长线交椭圆C 于点D ，若1F BD ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为______．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．18.某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100的为一等品；指标在区间[)60,80的为二等品.现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：()1若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；()2将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体.若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X ，求X 的分布列及数学期望．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（1）在PD 上是否存在一点F ，使得CF P 平面P AB ，若存在，找出F 的位置，若不存在，请说明理由；（2）求二面角B PD A --的大小．20.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x ya b+=的距离为4. （1）求椭圆C的方程；（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由. 21.已知函数1()()af x a R x+=∈. （1）设函数()ln ()h x a x x f x =--，求函数()h x 的极值；（2）若()ln g x a x x =-在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，求a 的取值范围.请从下面所给的22、23题两题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=. （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB -的值. 23.已知函数()|||1|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()4f x x ≥+的解集；（2）若不等式2()1f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.2019-2020学年高三第二学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题1.设集合2{|log 0}A x x =≤，{|1327}xB x =<<，则()RC A B ⋂=（ ）A. (0,1)B. (1,3]C. (1,3)D. [1,3)【答案】C 【解析】 【分析】先求集合A 和B ，再求R C A ，进而求两集合的交集. 【详解】由题得，(0,1]A =，(0,3)B =∴(,0](1,)R C A =-∞⋃+∞，∴()(1,3)R C A B ⋂=，选C.【点睛】本题考察集合的基本运算（交并补），及对数与指数不等式的求解（化为同底数解不等式）. 2.已知i 为虚数单位，41iz =+，则复数z 的虚部为( ). A. 2i - B. 2iC. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合复数的运算，化简z ，计算虚部，即可． 【详解】()()()()41414221112i i z i i i i --====-++-,故虚部即为i 的系数，为-2，故选D ． 【点睛】本道题看考查了复数的化简，关键在于化简z ，属于较容易的题．3.命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A. 4a ≥ B. 4a >C. 1a ≥D. 1a >【答案】B 【解析】 【分析】在命题为真命题的情况下求得a 的范围，在选项中找到所得范围的真子集即可. 【详解】命题为真命题，则2a x >对[)1,2x ∈恒成立 4a ∴≥{}4a a >Q 是{}4a a ≥的真子集 4a ∴>是命题为真的充分不必要条件本题正确选项：B【点睛】本题考查充分不必要条件的求解问题，关键是明确充分不必要条件与集合包含关系之间的关系.4.若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. a b c <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】32a ==,33322222log 3log 3log 2log 1b a ==>==>13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等． 5.若曲线ln y mx x =+在点(1，m)处的切线垂直于y 轴，则实数m = A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得k=0，解方程即可得到m 的值. 【详解】f （x ）的导数为f′（x ）=m +1x， 曲线y=f （x ）在点P （1，m ）处的切线斜率为k=m +1=0，可得m=﹣1． 故选A ．【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点()00,P x y 及斜率，其求法为：设()00,P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程为：()()000'y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点()()00,P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 6.为得到2sin(3)3y x π=-的图象，只需要将23y cos x ＝函数的图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位C. 向左平移518π个单位 D. 向右平移518π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用诱导公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论. 【详解】由题可知，2cos32sin(3)2y x x π==+的图象，将其向右平移α个单位有()2sin 32sin(33)22y x x ππαα⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦， 欲得到2sin(3)3y x π=-的图象，则335182ππαπα-+=-⇒=所以应向右平移518π个单位 故选：D【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换过程中解析式的变化，属于简单题7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3612，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是（ ）（参考数据：20.30lg ≈） A. 3010 B. 2810C. 3610D. 9310【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的性质可得：20.3021010lg ≈＝，代入M 将M 也化为10为底的指数形式，进而可得结果. 【详解】由题意：3612M ≈，8010N ≈， 根据对数性质有：2＝10lg 2≈100.30，3610.303611082(10)10M ∴≈≈≈， 1082880101010M N ∴≈=. 故选：B【点睛】本题考查指数式的性质与简单对数式的运算，属于中档题.8.过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( )A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线AB 的方程与双曲线方程联立消去y ，设两实根为1x ，2x ，利用韦达定理可表示出12x x +的值，根据P 点坐标求得12x x +＝8进而求得k ，则直线AB 的方程可得；利用弦长公式求得|AB |． 【详解】解：易知直线AB 不与y 轴平行，设其方程为y ﹣2＝k （x ﹣4）代入双曲线C ：2212x y -=，整理得（1﹣2k 2）x 2+8k （2k ﹣1）x ﹣32k 2+32k ﹣10＝0设此方程两实根为1x ，2x ，则12x x +()282121k k k -=-又P （4，2）为AB 的中点， 所以()282121k k k -=-8，解得k ＝1当k ＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，所求直线AB 的方程为y ﹣2＝x ﹣4化成一般式为x ﹣y ﹣2＝0．12x x +＝8，12x x ＝10|AB |=12x x -|==故选D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的应用，圆锥曲线与直线的关系，弦长公式等．考查了学生综合分析和推理的能力．9.2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( ) A. 198 B. 268C. 306D. 378【答案】A【解析】 【分析】根据题意，分两种情况讨论，①3人中有2名中国媒体和1名国外媒体，求出不同的提问方式的种数；②3人中有1名中国媒体和2名国外媒体，求出不同的提问方式的种数，由分类计数原理相加即得答案．【详解】分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有21263290C C A =种不同提问方式； 若选两个外国媒体一个国内媒体，有123633108C C A =种不同提问方式， 所以共有90+108=198种提问方式. 故选A.【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()2*121n na S n n +=++∈N ，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则n T 的取值范围为（ ） A .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (0,1)C. 1(,1)2D. 1[,1)2【答案】D 【解析】 【分析】先由2121n n a S n +=++，根据题意求出n a ，再由裂项相消法求出n T ，进而可得出结果. 【详解】因为2121n n a S n +=++，所以()2122n n a S n n -=+≥，因此()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+，即()2211n n a a +=+，又{}n a 为正项数列，所以11n n a a +=+，故数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =，()*n N ∈因此()1111111n n a a n n n n +==-++， 所以1111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为*n N ∈，所以112n T ≤<. 故选D【点睛】本题主要考查等差数列以及数列的求和，熟记等差数列的通项以及裂项相消法求和即可，属于常考题型.11.如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.212 B.212C. 61- D.31- 【答案】D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离13142d =-=，而截面到球体最低点距离为31，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为13311222⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.12.已知函数()2(43)3,0,log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >，且a 1≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. [23，34] C. [13，23]U {34} D. [13，23）U {34} 【答案】C 【解析】试题分析：由()f x 在R 上单调递减可知34013{313401a a a a -≥≥⇒≤≤<<，由方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知32,a ≤，1233a ≤≤，又34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的取值范围是123[,]334⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，故选C. 【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.22)nx+展开式中只有第六项二项式系数最大，则n ＝_______，展开式中的常数项是_______. 【答案】 (1). 10 (2). 180 【解析】 【分析】由22)nx +展开式中只有第六项二项式系数最大，可得n ＝10.再利用1022)x 的通项公式即可得出.【详解】22)nxQ 展开式中只有第六项二项式系数最大，10n ∴=. 1022)x ∴的通项公式：5101101052222()r r r r r rr T C C xx --+==，其中常数项，令5502r-=解得2r =. ∴常数项为：223102180T C ==.故答案为：(1). 10 (2). 180【点睛】本题考查求二项式指定项的系数，属于简单题. 14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足()13AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则 BP BC ⋅=u u u v u u u v______. 【答案】2 【解析】 【分析】由向量的加法有()121333A BP BA AP B AC AC BA BA +==+=++u u u u u r u u u r u u u r u u u r u r u u u r u u u r u u u r ,则BP BC ⋅=u u u r u u u r 21)3(3AC BA BC +⋅u u u u ur u r u u u r ,然后用向量数量积的运算法则和定义进行计算.【详解】在正三角形ABC 中，边长为2，()13AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r所以()121333A BP BA APB AC AC BA BA +==+=++u u u u u r u u u r u u u r u u u r u r u u u r u uu r u u u r , 则BP BC ⋅=u u u r u u u r 2121)33(33BA B A A C BC BC AC BC ⋅=⋅++⋅u uu r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u r u u u r .2122cos6022cos60233=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=o o 故答案为：2【点睛】本题考查向量的加法运算，数量积的定义和运算法则，属于基础题.15.在ABC ∆中，角, , A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()222sin sin sin 2sin A c C A B +-=，且ABC ∆的面积14S abc =.则角B =__________． 【答案】3π 【解析】 【分析】ABC ∆的面积14S abc =,结合面积公式，可得2sin c C =，代入已知等式中，得到222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，先用正弦定理，后用余弦定理，最后求出角B 的值.【详解】111sin 2sin 442S abc abc ab C c C =⇒=⇒=， 代入()222sin sin sin 2sin A c C A B +-=中，得222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==,可将上式化简为，222a c ac b +-=，由余弦定理可知： 2222cos b a c ac B =+-⋅,所以有1cos 2B =，又因为(0,)B π∈，所以角B =3π.【点睛】本题考查了面积公式、正弦定理、余弦定理.解题的关键在于对公式的模型特征十分熟悉.16.已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段2BF 的延长线交椭圆C 于点D ，若1F BD ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为______． 【答案】33【解析】 【分析】根据椭圆的定义及条件求出点D 的坐标，然后根据点D 在椭圆上可得223c a =，进而可求得椭圆的离心率． 【详解】如图，不妨设点B 是椭圆短轴的上端点，则点D 在第四想象内，设点(,)D x y ． 由题意得1F BD ∆为等腰三角形，且1||||DF DB =．由椭圆的定义得12||||2DF DF a +=，12||||BF BF a ==， 又1222||||||||||DF DB DF BF DF a =+==+， ∴22||(|)|2a DF DF a +=+，解得2|2|a DF =． 作DE x ⊥轴于E ，则有22|sin |22||=a b b DE DF DF E a ∠=⨯=，222|cos |22||=a c c F E DF DF E a ∠=⨯=， ∴22|3||22|||=c cOE OF F E c =+=+，∴点D 的坐标为3(,)22c b-．又点D 在椭圆上，∴22223()()221c ba b -+=，整理得223c a =， 所以33c e a ==．故答案为3． 【点睛】求椭圆离心率或其范围的方法(1)根据题意求出,,a b c 的值，再由离心率的定义2222222e ===1()c a b b a a a--直接求解． (2)由题意列出含有,,a b c 的方程(或不等式)，借助于222b a c ＝－消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．【答案】(1) 23n a n =- (2) 22n T n = 【解析】 【分析】（1）由题意，可知2324(1)a a S =⋅+，解得2d =，即可求解数列的通项公式；（2）由（1），可知12n n a a --=，可得()()()21234212...n n n T a a a a a a -=-++-+++-+，即可求解. 【详解】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列.则2324(1)a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =，所以数列的通项公式23n a n =-.（2）由（1），可知12n n a a --=，所以()()()21234212...2n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，以及“分组求和”的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确求得等差数列的公差是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100的为一等品；指标在区间[)60,80的为二等品.现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：()1若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；()2将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体.若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X ，求X 的分布列及数学期望． 【答案】（1）56；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求出对应的频率和频数，再计算所求的概率值； （2）由题意知随机变量X ～B （3，45），计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】()1由甲种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知， 这100件样本零件中有一等品：()0.040.030.01510040(++⨯⨯=件)， 二等品：1004060(-=件)，所以按等级，利用分层抽样的方法抽取的10件零件中有一等品4件，二等品6件． 记事件A 为“这10件零件中随机抽取3件，至少有1件一等品”，则()36310C 5P A 1C 6=-=；()2由乙种生产方式生产的100件零件的测试指标的频率分布直方图可知，这100件样本零件中，一等品的频率为()0.040.060.040.0250.8+++⨯=， 二等品的频率为0.2；将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体，则从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，其中所含一等品的件数4X B 3,5⎛⎫⎪⎝⎭～， 所以()0303141P X 0C ()()55125==⋅⋅=，()12131412P X 1C ()()55125==⋅⋅=， ()21231448P X 2C ()()55125==⋅⋅=，()30331464P X 3C ()()55125==⋅⋅=； X ∴的分布列为：X 0123P 1125 12125 48125 64125所以数学期望为()412E X 3.55=⨯= 【点睛】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的应用问题，是中档题,第二问关键是确定为二项分布.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（1）在PD 上是否存在一点F ，使得CF P 平面P AB ，若存在，找出F 的位置，若不存在，请说明理由； （2）求二面角B PD A --的大小．【答案】（1）在BC 上存在点F ，当13PF PD =u u u r u u u r 时，有CF P 平面P AB .（2）3π【解析】 【分析】（1）根据条件可得BA 、BC 、BP 两两垂直，以B 为原点建立坐标系，设PF PD λ=u u u r u u u r，从而得到()3,3,33F λλλ-，若CF P 平面PAB ，则CF uuu r与平面PAB 的法向量垂直，从而得到关于λ的方程，得到λ的值，确定出F 的位置；（2）利用空间向量求出平面PAD ，平面PBD 的法向量，根据向量夹角公式，得到两平面法向量的夹角，从而得到二面角B PD A --的大小.【详解】（1）∵PB ⊥平面ABCD ，,AB BC ⊂平面ABCD ， ∴PB BC ⊥，PB AB ⊥ 又,AD AB AD BC ⊥P ， ∴AB BC ⊥，则可以B 为坐标原点，BC u u u r 为x 轴，BA u u u r 为y 轴，BP u u u r为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，假设在PD 上存在一点F ，使得CF P 平面P AB ， 设PF PD λ=u u u r u u u r，由()()0,0,3,3,3,0P D ，得()3,3,3PD =-u u u r，由PF PD λ=u u u r u u u r可得()3,3,33F λλλ-，又()1,0,0C ，故()31,3,33CF λλλ=--u u u r.因为PB BC ⊥，AB BC ⊥，,AB BP ⊂平面PAB ，AB BP B =I 所以BC ⊥平面PAB ，故可取平面P AB 的一个法向量为()1,0,0BC =u u u r，若CF P 平面P AB ，则310CF BC λ⋅=-=u u u r u u u r，解得13λ=，故在BC 上存在点F ，当13PF PD =u u u r u u u r时，有CF P 平面P AB .（2）由（1）可知()()()()0,0,0,0,0,3,3,3,0,0,3,0B P D A∴()()()3,3,3,0,3,3,3,3,0PD PA BD =-=-=u u u r u u u r u u u r设平面P AD 的法向量()1111,,n x y z =u r则11111113330330n PD x y z n PA y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ， 令11z =，则111,0y x ==，此时()10,1,1n =u r设平面PBD 的法向量()2222,,n x y z =u u r则22222223330330n PD x y z n BD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v ， 令21x =，则221,0y z =-=此时()21,1,0n =-u u r∴1212121cos ,2n n n n n n ⋅===-u r u u ru r u u r u r u u r ， ∴122,3n n π=u r u u r∵二面角B PD A --为锐二面角， ∴二面角B PD A --的大小为3π. 【点睛】本题考查利用空间向量由线面平行求点所在的位置；利用空间向量求二面角的大小，属于中档题.20.已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b +=的（1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由.【答案】（1）22153x y +=；（2）存在，且方程为25y x =+或25y x =+.【解析】 【分析】（1）依题意列出关于a,b,c 的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到()22352050k xkx +++=，要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v，结合韦达定理可得到参数值. 【详解】（1）直线1x ya b+=的一般方程为0bx ay ab +-=.依题意2222ab a b c ⎧=⎪==+⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程式为22153x y +=. （2）假若存在这样的直线l ，当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+.由2223515y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()22352050k x kx +++=. 由()2240020350k k ∆=-+>，得,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 记A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则1222035k x x k +=-+，122535x x k =+， 而()()121222y y kx kx =++ ()2121224k x x k x x =+++.要使以AB 为直径的圆过椭圆C的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=u u u v u u u v，即(1212y y x x++ ()(()21212129k x x k x x =++++ 0=，所以()(2225201293535kk k kk+-+++ 0=，整理解得k =或k =所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，直线l 的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21.已知函数1()()af x a R x+=∈. （1）设函数()ln ()h x a x x f x =--，求函数()h x 的极值；（2）若()ln g x a x x =-在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）当1a >-时，()h x 极大值为ln(1)2a a a +--，无极小值；当1a ≤-时，()h x 无极值；（2）211e a e +≥-或2a ≤-. 【解析】 【分析】（1）求出()h x '，对a 分类讨论求出单调区间，即可求出结论；（2）()ln g x a x x =-在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，即为0)(0h x ≥，只需max ()0h x ≥，结合（1）中的结论对a 分类讨论求出min ()h x ，即可求解. 【详解】（1）依题意1()ln ah x a x x x+=--，定义域为(0,)+∞， ∴22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=-+=-=-， ①当10a +>，即1a >-时，令()0h x '>，∵0x >，∴01x a <<+， 此时，()h x 在区间(0,1)a +上单调递增， 令()0h x '<，得1x a >+.此时，()h x 在区间(1,)a ++∞上单调递减.②当10a +≤，即1a ≤-时，()0h x '<恒成立，()h x 在区间(0,)+∞上单调递减.综上，当1a >-时，()h x 在1x a =+处取得极大值(1)ln(1)2h a a a a +=+--，无极小值；当1a ≤-时，()h x 在区间(0,)+∞上无极值.（2）依题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得0)(0h x ≥， 故函数1()ln a h x a x x x+=--在[]1,e 上，有max ()0h x ≥. 由（1）可知，①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递增， ∴max 1()()0a h x h e a e e +==--≥，∴211e a e +≥-， ∵2111e e e +>--，∴211e a e +≥-. ②当011a <+≤，或1a ≤-，即0a ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递减，∴max ()(1)110h x h a ==---≥，∴2a ≤-.③当11a e <+<，即01a e <<-时，由（2）可知，()h x 在1x a =+处取得极大值也是区间(0,)+∞上的最大值，即max ()(1)ln(1)2[ln(1)1]2h x h a a a a a a =+=+--=+--，∵0ln(1)1a <+<，∴(1)0h a +<在[]1,e 上恒成立，此时不存在0x 使0)(0h x ≥成立.综上可得，所求a 的取值范围是211e a e +≥-或2a ≤-. 【点睛】本题考查函数和导数及其应用、不等式能成立等基础知识，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题题.请从下面所给的22、23题两题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB -的值. 【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为10x y --=，C 的普通方程229x y +=；（2. 【解析】【分析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程.利用22cos sin 1θθ+=将曲线C 的参数方程转化为直角坐标方程.（2）先求得M 点的坐标，写出直线l 的参数方程并代入C 的直角坐标方程，写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求解出所要求的表达式的值.【详解】解：（1）因为直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线C 的参数方程为33x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以曲线C 的普通方程229x y +=. （2）由题可知()0,1M -，所以直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，（t 为参数），代入229x y +=，得280t -=.设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=128t t =-. 11MA MB -=12128MB MA t t MA MB t t -+==. 【点睛】本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.23.已知函数()|||1|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()4f x x ≥+的解集；（2）若不等式2()1f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥；（Ⅱ）[1,2]-. 【解析】【分析】（Ⅰ）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；（Ⅱ）首先利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.【详解】（Ⅰ）不等式为114x x x ++-≥+，可以转化为： 1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩， 解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. （Ⅱ）()()()min 11f x x a x a =+--=+， 所以211a a +≥- 21,11a a a <-⎧⇔⎨--≥-⎩或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩， 解得a ∈∅或12a -≤≤.所以实数a 的取值范围是[]1,2-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.。
兰州市达标名校2020年高考五月大联考数学试卷含解析
兰州市达标名校2020年高考五月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ⋅为 A ．132i - B ．312i + C ．132i + D ．312i - 2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．33．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><5．复数()1z i i -=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分不必要条件7．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．8．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC-外接球的表面积是（ ） A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π9．已知非零向量,a b 满足0a b ⋅=，||3a =，且a 与a b +的夹角为4π，则||b =（ ） A ．6B ．32C ．22D ．310．执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A ．36B ．45C ．36-D ．45-11．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．1312．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）13．已知函数()y f x =的图象在点(3,(3))M f 处的切线方程是123=+y x ，则(3)(3)f f '+的值等于__________.14．将函数()sin cos (,R,0)f x a x b x a b a =+∈≠的图象向左平移6π个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba=________． 15．已知224()ln ,()()e f x x g x x a ==-，如果函数()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是____________16．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则AB =_____.三、解答题：共70分。
甘肃省兰大附中2020届高三数学5月月考试题 理(PDF)
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2020届甘肃省兰州市高三第五次月考数学（理）试题
所以
8k 2k 1
2k 2 1
8，
解得 k＝1 当 k＝1 时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△ ＞0，
所求直线 AB 的方程为 y﹣2＝x﹣4 化成一般式为 x﹣y﹣2＝0． x1 x2 ＝8， x1x2 ＝10
|AB| 2 | x1 x2 | 2 • 82 40 4 3 ．
故选 D． 【点睛】 本题主要考查了双曲线的应用，圆锥曲线与直线的关系，弦长公式等．考查了学生综合 分析和推理的能力． 9．2019 年 4 月 25 日-27 日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从 6 个国内媒体团和 3 个国外媒体团中选出 3 个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有
A． a 4
B． a 4
C． a 1
D． a 1
【答案】B
【解析】在命题为真命题的情况下求得 a 的范围，在选项中找到所得范围的真子集即可.
【详解】
命题为真命题，则 a x2 对 x 1, 2 恒成立 a 4
a a 4 是 a a 4 的真子集 a 4 是命题为真的充分不必要条件
A． 1
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【解析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得 k=0，解方程即可得到 m 的值.
【详解】
f（x）的导数为 f′（x）=m+ 1 ， x
曲线 y=f（x）在点 P（1，m）处的切线斜率为 k=m+1=0，可得 m=﹣1．
故选 A．
【点睛】
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点
8．过点 P 4，2作一直线 AB 与双曲线 C : x2 y2 1 相交于 A 、B 两点，若 P 为 AB
甘肃省甘南藏族自治州高三5月联考理科数学试题
甘肃省甘南藏族自治州高三5月联考理科数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·泸州模拟) 若集合A={x|x2﹣3x﹣10＜0}，集合B={x|﹣3＜x＜4}，全集为R，则A∩（∁RB）等于（）A . （﹣2，4）B . [4，5）C . （﹣3，﹣2）D . （2，4）2. （2分）已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC=150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（）A .B . 1-C .D . 1-3. （2分） (2017高一下·新余期末) 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组抽出的号码为28，则第8组抽出的号码应是a；若用分层抽样方法，则50岁以下年龄段应抽取b人，那么a+b等于（）A . 46B . 45C . 70D . 694. （2分） (2016高三上·朝阳期中) 设m∈R且m≠0，“不等式m+ ＞4”成立的一个充分不必要条件是（）A . m＞0B . m＞1C . m＞2D . m≥25. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为（）A . 6B . 7C . 8D . 96. （2分）（﹣）10式中含x正整数指数幂的项数是（）A . 0B . 2C . 4D . 67. （2分） (2020高二下·泸县月考) 在正四面体中，点，分别在棱，上，若且，，则四面体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A . f（x）=3﹣xB . f（x）=x2﹣3xC . f（x）=2xD . f（x）=9. （2分）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·上虞期末) 已知，则函数的最小值是（）A . 1B .C .D .11. （2分） (2020高一下·南宁期中) 函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（）A . 2B . 4C . 6D . 812. （2分）数列{an}满足a1=1，an+an+1=（）n（n∈N*），记Tn=a1+a2•4+a3•42+…+an•4n﹣1 ，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5Tn﹣4n•an=（）A . nB . n2C . 2n2D . n+1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为________ ．14. （1分） (2020高一下·崇礼期中) 已知向量 , 的夹角为 ,且 ,则=________．15. （1分）(2020·新沂模拟) 已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2 ，c≠0，则的取值范围为________．16. （1分）已知球的直径PC=4，A，B在球面上，AB=2，∠CPA=∠CPB=45°，则棱锥P﹣ABC的体积为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O所在平面外一点，PA垂直于⊙O所在平面，且PA=AB=10，设点C为⊙O上异于A、B的任意一点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若AC=6，求三棱锥C﹣PAB的体积．18. （10分） (2017高三下·岳阳开学考) 已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）= sin •cos +cos2 ，求f（B）的取值范围．19. （10分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车；在80mg/100ml（含80）以上时，属于醉酒驾车．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了300辆机动车，查处酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员共20人，检测结果如表：酒精含量[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]（mg/100ml）人数34142321（1）绘制出检测数据的频率分布直方图（在图中用实线画出矩形框即可）；（2）求检测数据中醉酒驾驶的频率，并估计检测数据中酒精含量的众数、平均数．20. （10分）已知双曲线C： =1的离心率为，点（，0）是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长．21. （10分）已知的图象经过点，且在处的切线方程是 .（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间.22. （10分）(2017·武邑模拟) 在直角坐标系xOy中，已知圆C1的参数方程为（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρcosθ+2=0．（1）求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；（2）若直线C3的极坐标方程为，设C3与C1的交点为M，N，P为C2上的一点，且△PMN的面积等于1，求P点的直角坐标．23. （10分） (2019高二上·佛山月考) 为数列的前项和，已知，．（1）求；（2）记数列的前项和为，若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
数学高考利器NO0027-含详细解析-2020届甘肃省兰州市第一中学高三下学期第5次月考数学理科试卷
2020届甘肃省兰州市第一中学高三下学期第5次月考数学理科试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设集合2{|log 0}A x x =≤，{|1327}x B x =<<，则()R C A B ⋂=（ ） A ．(0,1) B ．(1,3] C ．(1,3) D ．[1,3) 2．已知i 为虚数单位，41i z =+，则复数z 的虚部为( ). A ．2i - B ．2i C ．2 D ．2- 3．命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 4．若1294a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，83log 3b =，1323c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．b a c << D ．c a b << 5．若曲线ln y mx x =+在点(1，m)处的切线垂直于y 轴，则实数m =A ．1-B ．0C ．1D ．26．为得到2sin(3)3y x π=-的图象，只需要将23y cos x ＝函数的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移518π个单位 D ．向右平移518π个单位 7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3612，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N 最接近的是（ ）（参考数据：20.30lg ≈） A ．3010 B ．2810 C ．3610 D ．93108．过点()42P ，作一直线AB 与双曲线22:12x C y -=相交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则AB =( )A ．B ．C ．D ．9．2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )A ．198B ．268C ．306D ．37810．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()2*121n n a S n n +=++∈N ，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则n T 的取值范围为（ ） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．(0,1) C ．1(,1)2 D ．1[,1)211的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A．12B．12 CD12．已知函数()2(43)3,0,log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >，且a 1≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[23，34]C ．[13，23]U {34}D ．[13，23）U {34} 13．22)n x+展开式中只有第六项二项式系数最大，则n ＝_______，展开式中的常数项是_______.14．边长为2正三角形ABC 中，点P 满足()13AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则 BP BC ⋅=u u u v u u u v ______.15．在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，若2sin 2A +c (sin C −sin A )=2sin 2B，且ΔABC 的面积S =14abc .则角B =__________． 16．已知12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，B 是短轴的一个端点，线段2BF 的延长线交椭圆C 于点D ，若1F BD ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率为______．17．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}n n a -•的前2n 项和2n T ．18．某工厂采用甲、乙两种不同生产方式生产某零件，现对两种生产方式所生产的这种零件的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100的为一等品；指标在区间[)60,80的为二等品.现分别从甲、乙两种不同生产方式所生产的零件中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图如图所示：()1若在甲种生产方式生产的这100件零件中按等级，利用分层抽样的方法抽取10件，再从这10件零件中随机抽取3件，求至少有1件一等品的概率；()2将频率分布直方图中的频率视作概率，用样本估计总体.若从该厂采用乙种生产方式所生产的所有这种零件中随机抽取3件，记3件零件中所含一等品的件数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（1）在PD 上是否存在一点F ，使得CF P 平面P AB ，若存在，找出F 的位置，若不存在，请说明理由；（2）求二面角B PD A --的大小．20．已知椭圆：2222:1(0)x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b +=的距离为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点(0,2)P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以||AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程：若不存在，请说明理由. 21．已知函数1()()a f x a R x+=∈. （1）设函数()ln ()h x a x x f x =--，求函数()h x 的极值；（2）若()ln g x a x x =-在[1,]e 上存在一点0x ，使得00()()g x f x ≥成立，求a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||MA MB -的值.23．已知函数()|||1|f x x a x =++-.（1）当1a =时，求不等式()4f x x ≥+的解集；（2）若不等式2()1f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】先求集合A 和B ，再求R C A ，进而求两集合的交集.【详解】由题得，(0,1]A =，(0,3)B =∴(,0](1,)R C A =-∞⋃+∞，∴()(1,3)R C A B ⋂=，选C.【点睛】本题考察集合的基本运算（交并补），及对数与指数不等式的求解（化为同底数解不等式）. 2．D【解析】【分析】本道题结合复数的运算，化简z ，计算虚部，即可．【详解】()()()()41414221112i i z i i i i --====-++-,故虚部即为i 的系数，为-2，故选D ． 【点睛】本道题看考查了复数的化简，关键在于化简z ，属于较容易的题．3．B【解析】【分析】在命题为真命题的情况下求得a 的范围，在选项中找到所得范围的真子集即可.【详解】命题为真命题，则2a x >对[)1,2x ∈恒成立 4a ∴≥{}4a a >Q 是{}4a a ≥的真子集 4a ∴>是命题为真的充分不必要条件本题正确选项：B【点睛】本题考查充分不必要条件的求解问题，关键是明确充分不必要条件与集合包含关系之间的关系.4．D【解析】【分析】本道题结合指数,对数运算性质,结合1和对数单调性进行判断,即可.【详解】32a ==,33322222log 3log 3log 2log 1b a ==>==> 13213c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,故c a b <<,故选D.【点睛】本道题考查了指数、对数比较大小，可以结合1以及对数性质进行比较，难度中等。
2020届甘肃省兰州市高三一诊数学(理)模拟试题有答案(已审阅)
兰州市高三诊断考试数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则()U M C N =I （ ）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞2.已知复数512z i =-+（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）A ．复数z 的实部为5B ．复数z 的虚部为12iC ．复数z 的共轭复数为512i +D ．复数z 的模为133.已知数列{}n a 为等比数列，且22642a a a π+=，则35tan()a a =（ ）A ．．．4.双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．4D 5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（ ）A ．49-B ．43-C ．43D ．496.数列{}n a 中，11a =，对任意*n N ∈，有11n n a n a +=++，令1i i b a =，*()i N ∈，则122018b b b ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20171009B ．20172018C ．20182019D ．403620197.若1(1)n x x ++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n 内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）A ．11π- B ．21π- C ．31π- D ．128.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2:1，这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A．3π B．3π C．3π D．4π9.某程序框图如图所示，则程序运行后输出的S的值是（）A．1008 B．2017 C．2018 D．302510.设p：实数x，y满足22(1)[(22)]x y-+-322≤-；q：实数x，y满足111x yx yy-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件11.已知圆C：22(1)(4)10x y-+-=和点(5,)M t，若圆C上存在两点A，B使得MA MB⊥，则实数t 的取值范围是（）A．[2,6]- B．[3,5]- C．[2,6] D．[3,5]12.定义在(0,)2π上的函数()f x，已知'()f x是它的导函数，且恒有cos'()sin()0x f x x f x⋅+⋅<成立，则有（）A．()2()64fππ> B3()()63fππ> C．()3()63fππ> D．()3()64fππ>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin()45πα-=-，则cos()4πα+=．14.已知样本数据1a，2a，……2018a的方差是4，如果有2i ib a=-(1,2,,2018)i=⋅⋅⋅，那么数据1b，2b，……2018b 的均方差为． 15.设函数()sin(2)f x x ϕ=+()2πϕ<向左平移3π个单位长度后得到的函数是一个奇函数，则ϕ=． 16.函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，若函数()(3)(4)F x f x g x =+-，且函数()F x 的零点均在[,](,,)a b a b a b Z <∈内，则b a -的最小值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量(cos 2,sin 2)a x x =r ，(3,1)b =r ，函数()f x a b m =⋅+r r .（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，()f x 的最小值为5，求m 的值.18.如图所示，矩形ABCD 中，AC BD G =I ，AD ⊥平面ABE ，2AE EB BC ===，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.某地一商场记录了12月份某5天当中某商品的销售量y （单位：kg ）与该地当日最高气温x （单位：C o ）的相关数据，如下表：x 11 9 8 5 2y 7 8 8 1012 （1）试求y 与x 的回归方程y bxa =+； （2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地12月某日的最高气温是6C o ，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；（3）假定该地12月份的日最高气温2(,)X N μσ:，其中μ近似取样本平均数x ，2σ近似取样本方差2s ，试求(3.813.4)P X <<.附：参考公式和有关数据$1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$3.2≈1.8≈，若2(,)X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，且(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.20.已知圆C ：22(1)8x y ++=，过(1,0)D 且与圆C 相切的动圆圆心为P .（1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）设过点C 的直线1l 交曲线E 于Q ，S 两点，过点D 的直线2l 交曲线E 于R ，T 两点，且12l l ⊥，垂足为W （Q ，R ，S ，T 为不同的四个点）. ①设00(,)W x y ，证明：220012x y +<； ②求四边形QRST 的面积的最小值.21.已知函数1()1x x t f x e x -+=-，其中e 为自然对数的底数. （1）证明：当1x >时，①1，②1x e x ->； （2）证明：对任意1x >，1t >-，有1()ln )2f x x >+. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程是2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+. （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，并切线长的最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a x =-+，其中0a >.（1）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集；（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.兰州市高三诊断考试 数学（理科）试题参考答案及评分参考 一、选择题 1-5: CDADA 6-10: DBBAB 11、12：CC 二、填空题 13. 25- 14. 2 15. 3π 16. 10 三、解答题17.（1）由题意知：()cos(2,sin 2)f x x x =(3,1)m ⋅+3cos 2sin 2x x m =++2sin(2)3x m π=++， 所以()f x 的最小正周期为T π=.（2）由（1）知：()2sin(2)3f x x m π=++， 当[0,]2x π∈时，42[,]333x πππ+∈. 所以当4233x ππ+=时，()f x 的最小值为3m -+. 又∵()f x 的最小值为5，∴35m -+=，即53m =+.18.（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ，所以BC AE ⊥.因为BF ⊥面ACE ，所以BF AE ⊥.又BC BF B =I ，所以AE ⊥面BCF ，即AE ⊥平面BCE .（2）方法1：因为BF ⊥面ACE ，CE ⊂面ACE ，所以BF CE ⊥，又BC BE =，所以F 为CE 中点，在DEC ∆中，22DE CE CD ===DF CE ⊥，BFD ∠为二面角B CE D --的平面角，222cos 2BF DF BD BFD BF DF +-∠=⋅⋅3226==⋅⋅∴平面BCE 与平面CDE所成角的余弦值为3. 方法2： 以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，EA 所在直线为y 轴，过E 且垂直于平面ABE 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为(0,0,0)E ，(2,0,0)B ，(2,0,2)C ，(0,2,2)D ，设平面BCE 的法向量1n u r ，平面CDE 的法向量为2n u u r ，易知1(0,1,0)n =u r ，令2(,,)n x y z =u u r ，则2200n EC n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，故220220x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，2(1,1,1)n =-u u r ， 于是，12cos ,n n <>u r u ur 1212n n n n ⋅==u r u u r u r u ur =此即平面BCE 与平面CDE 所成角的余弦值.19.（1）由题意，7x =，9y =，1n i i i x y nx y =-∑28757928=-⋅⋅=-， 221n i i x nx =-∑22955750=-⋅=，280.5650b =-=-$，$a y bx =-$9(0.56)712.92=--⋅=. 所以所求回归直线方程为$0.5612.92y x =-+.（2）由0.560b=-<$知，y 与x 负相关.将6x =代入回归方程可得， $0.56612.929.56y =-⋅+=，即可预测当日销售量为9.56kg .（3）由（1）知7x μ≈=， 3.2σ≈=，所以(3.813.4)P X <<(2)P X μσμσ=-<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+0.8185=.20.解：（1）设动圆半径为r ，由于D 在圆内，圆P 与圆C 内切，则PC r =，PD r =，PC PD +=2CD >=，由椭圆定义可知，点P 的轨迹E是椭圆，a =1c =，1b ==，E 的方程为2212x y +=. （2）①证明：由已知条件可知，垂足W 在以CD 为直径的圆周上，则有22001x y +=，又因Q ，R ，S ，T 为不同的四个点，220012x y +<.②解：若1l 或2l 的斜率不存在，四边形QRST 的面积为2.若两条直线的斜率存在，设1l 的斜率为1k ，则1l 的方程为1(1)y k x =+， 解方程组122(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(21)4k x k x ++2220k +-=，则QS =，同理得RT = ∴12QSRT S QS RT =⋅2222(1)4(21)(2)k k k +=++2222(1)49(1)4k k +≥+169=， 当且仅当22212k k +=+，即1k =±时等号成立.综上所述，当1k =±时，四边形QRST 的面积取得最小值为169. 21.解：（1）令()ln1)m x =，则1'()2m x x =-1)0=<，()m x 为(1,)+∞上的减函数，而(1)0m =，所以()ln1)0m x =<，1<成立； 令1()x n x e x -=-，则1'()10x n x e -=->，()n x 为(1,)+∞上的增函数，而(1)0n =，所以1()0x n x ex -=->，1x e x ->成立. （2）1()ln )2f x x >+，即11x x t e x -+-1ln )2x >+ln =+， 由（1）1<，所以1+<，ln+x <=，所以，只需证11x x t x e x -+<-，即12()x x t e x x -+>-， 由（1）1x e x ->，所以只需证2()x x t x x +>-，只需证1x t x +>-，即1t >-， 上式已知成立，故原式成立，得证.22.解：（1）∵ρθθ=，∴2cos sin ρθθ=，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即22((122x y -++=，∴圆心直角坐标为22-.（2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是==≥， ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值是方法2：直线l的普通方程为0x y -+=，∴圆心C 到直线l|5++=， ∴直线l 上的点向圆C=23.解：（1）当2a =时，2221x x x -+≥+， 所以21x -≥，所以3x ≥或1x ≤，解集为(,1][3,)-∞+∞U .（2）3,(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，因为0a >，∴x a ≥时，320x a a -≥>恒成立， 又x a <时，当2x >-时，2x a a +>-+，∴只需20a -+≥即可，所以2a ≥.。
甘肃高三高中数学月考试卷带答案解析
甘肃高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合和集合，则A ．B ．C ．D ．2.设命题，则为（）A ．B ．C ．D ．3.已知向量，若，则A ．B ．C ．D ．4.已知函数的导函数为，且满足，则（ ）A ．B ．-1C ．1D ．5.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知数列{a n }是等差数列,其前 项和为S n ,若S 2017="4" 034,则a 3+ a 1 009+ a 2 015=A ．2B ．4C ．6D ．87.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移个单位长度,则所得图象的一个对称中心是 A ．(0,0)B ．C ．D ．8.在△ABC 中, BC =3,C =90°,且，则（ ）A ．2B ．3C ．4D ．69.已知是定义在上的偶函数，则下列不等关系正确的是A ．B ．C ．D ．10.已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为A．(0,1)B．C．D．11.已知是R上最小正周期为2的周期函数，且当时，，则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点个数为()A．5B．6C．7D．812.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f'(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是A．(0,e)B．(0, )C．(,e)D．(e,+∞)二、填空题1.等比数列的各项均为正数，且，则 .2.函数的最小正周期为．3.直线与函数的图象有三个相异的公共点，则的取值范围是__________．4.已知函数，若，则的取值范围是________.三、解答题1.已知命题，命题。
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；（2）若m=5，“”为真命题，“”为假命题，求实数x的取值范围。
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二选考题共!$分!请考生在第###3两题中任选一题作答!如果多做则按所做的第一题计分! ##!+选修,+,-坐标系与参数方程,(本小题满分!$分)
! 在直角坐标系#04 中"曲线, 的参数方程为 #*#<=>(为参数)"在以坐标原点为极点"# 4*#>2? 轴的正半轴为极轴的极坐标系中"直线<的极坐标方程为>2?(+3)*7! (!)若直线<与曲线, 至多只有一个公共点"求实数7 的取值范围& (#)若直线<与曲线, 相交于""$ 两点"且""$ 的中点为:"求点: 的轨迹方程! #3!+选修,+(-不等式选讲,(本小题满分!$分) 已知'"(为正实数"'#1(#*#! (!)证明-'1(5#'(! (#)证明-',1(,5#!
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/!第一场得分的极差大于第二场得分的极差
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<!*!本题考查函数的图象!因为.'0-(+.'-("所以.'-(为偶函数"排除 2"8 项"又因为.'!(+!!.0FF=B'槡$ 0!(&""所以排除 - 项!
模拟 数学卷
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"故双曲线的渐近线方程为2+6
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"众数为""极差为!;"第二
场得分的众数为
""极差为$,"所以选项 2的说法是错误的!
9!-!本题考查等差数列基本量的求解!设等差数列!%(#的公差为?"因为8!!+##"所以!!%#+##"解得%#+#!
7!-!本题考查三视图!根据三视图可知"该几何体是由
! ,
个
圆锥和
! 7
个球组
成的"
如图所示"其中球的半径为1"圆锥的底面半径也为1"高为,"故该几何体的体积为
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! 141$4,.
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4
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;!2!本题考查数学史与立体几何!由A+ !#?1"解得+?#A1 !选项 - 化简得?A1%!;#"
!$!已知5!"5# 分别为椭圆#!"#144#*!的左*右焦点"1 是椭圆上的一点"且在4 轴的左侧"过
点5# 作15!15# 的角平分线的垂线"垂足为 ="若#0=#*#(0 为坐标原点)"则#15##+
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3!若双曲线#'##+4(##*!('*$"(*$)的离心率为(3"则该双曲线的渐近线方程为
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.!4*5(,#
/!4*5,3#
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,!第!4届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于
2(#)的一个下界&若存在 1"使得2(#)$1 对任意#%8 恒成立"则函数2(#)在8 上有上
界"其中 1 为函数2(#)的一个上界!如果一个函数既有上界又有下界"那么称该函数有界!
下述四个结论-!不是函数2(#)*#1#!(#*$)的一个下界&函数2(#)*#:?# 有下
界"无上界&函数2(#)*#A##有上界"无下界&函数2(#)*#>2#?1#!有界!
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"第"!#"页" !"共""页""!
三解答题共8$分!解答应写出文字说明证明过程或演算步骤!第!8#!题为必考题每个 试题考生都必须作答!第###3题为选考题考生根据要求作答!
一必考题共"$分! !8!(本小题满分!#分)
在2"$, 中"'"(")分别为内角""$", 的对边"且('"*槡3(! (!)求角" 的大小&
!数学卷 """"
""第"!,"页" !"共""页""!
#!!(本小题满分!#分) 垃圾分类"是指按一定规定或标准将垃圾分类储存*分类投放和分类搬运"从而转变成公共 资源的一系列活动的总称!分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值"力争物尽其用! #$!6年"月#(日"生活垃圾分类制度入法!到#$#$年底"先行先试的,"个重点城市"要基 本建成垃圾分类处理系统&其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖!某机构欲组建 一个有关$垃圾分类%相关事宜的项目组"对各个地区$垃圾分类%的处理模式进行相关报道! 该机构从"$$名员工中进行筛选"筛选方法-每位员工测试""$", 三项工作"3项测试中至少 #项测试$不合格%的员工"将被认定为$暂定%"有且只有一项测试$不合格%的员工"将再测试 ""$ 两项"如果这两项中有!项以上(含!项)测试$不合格%"将也被认定为$暂定%"每位员工 测试""$", 三项工作相互独立"每一项测试$不合格%的概率均为3($)3)!)! (!)记某位员工被认定为$暂定%的概率为2(3)"求2(3)& (#)每位员工不需要重新测试的费用为6$元"需要重新测试的总费用为!($元"除测试费用 外"其他费用总计为!万元"若该机构的预算为4万元"且该"$$名员工全部参与测试" 问上述方案是否会超过预算. 请说明理由!
第一")%(.!)+)%(.!)通过两边平方转化为$%(+%($.!0%($0!"进一步利用累加求和的形式求数列前 (项和*
第二"! $)%$!$0!!)最小值的取得对整数的敏感性较强"后面需要简单验证取等号的条件"即列举某个特殊
#$!6年4月3!日至6月!(日在中国的北京*广州*南京*上海*武汉*深圳*佛山*东莞八座城
市举行!中国队!#名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示"则下列说法错误的是