甘肃省兰大附中2020届高三5月月考数学(理科)试题及答案解析

#!8!本题考查二项展开式!因为'-! 0!(9 展开式的通项 @+.!+2+9'-! (90+'0!(+'++""!"$"1","9("当++1 时"219-'0!(1+0!"!
<!*!本题考查函数的图象!因为.'0-(+.'-("所以.'-(为偶函数"排除 2"8 项"又因为.'!(+!!.0FF=B'槡$ 0!(&""所以排除 - 项!
称中心"则*!!!!! ,#+41,5$
!(!若#"4 满足约束条件+#14+#5$"则&*+##14 的最大值为!!!!! -#+35$
!"!在正三棱柱"$,+"!$!,! 中""$*#槡3"""!*#"9"5 分别为"$!""!,! 的中点"平面 过点,!"且平面4平面"!$!,"平面&平面"!$!,!*<"则异面直线95 与< 所成角的余 弦值为!!!!!
#$!6年4月3!日至6月!(日在中国的北京*广州*南京*上海*武汉*深圳*佛山*东莞八座城
市举行!中国队!#名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示"则下列说法错误的是
-!第一场得分的中位数为(# .!第二场得分的平均数为!36


!"#$$$$$ $ $$$$%&'""
"&($ ) $$
!数学卷 """"
"第"!#"页" !"共""页""!
三解答题共8$分!解答应写出文字说明证明过程或演算步骤!第!8#!题为必考题每个 试题考生都必须作答!第###3题为选考题考生根据要求作答!
一必考题共"$分! !8!(本小题满分!#分)
在2"$, 中"'"(")分别为内角""$", 的对边"且('<=>,1)<=>")BC?"*槡3(! (!)求角" 的大小&
!*
/!第一场得分的极差大于第二场得分的极差
0!第一场与第二场得分的众数相等
(!已知数列!'*#是等差数列"其前* 项和为+*"若+!!*"""则'"*
-!"
.!,
/!!!
0!3
"!(#!+!)( 展开式中含#+#的系数是
-!!(
.!+!(
/!!$
0!+!$
8!函数2(#)*!!1+AA##:?(槡##1!+#)的图象大致为
+>$0!+$;90!+!;#"即%'
+
, 1
"故Fra Baidu bibliotek曲线的渐近线方程为2+6
, 1-!
,!2!本题考查茎叶图!由茎叶图可知"第一场得分的
中位数为
9 $
"众数为""极差为!;"第二
场得分的众数为
""极差为$,"所以选项 2的说法是错误的!
9!-!本题考查等差数列基本量的求解!设等差数列!%(#的公差为?"因为8!!+##"所以!!%#+##"解得%#+#!

/$B"且 )* 平分(/!)/$"所以))/$)+))B)"* 为/$B 的中点"又因为 C 为

/!/$ 的中点"所以C*7 !$/!B"因为)C*)+$"所以)/!B)+,"))/$)0))/!)




+,!

!!!*!本题考查函数的最值!当-&"时".'-(+-. -! $$&!"所以!是函数.'-(+
!数学卷 """"
"!"第"!("页" !"共""页""!
二选考题共!$分!请考生在第###3两题中任选一题作答!如果多做则按所做的第一题计分! ##!+选修,+,-坐标系与参数方程,(本小题满分!$分)
! 在直角坐标系#04 中"曲线, 的参数方程为 #*#<=>(为参数)"在以坐标原点为极点"# 4*#>2? 轴的正半轴为极轴的极坐标系中"直线<的极坐标方程为>2?(+3)*7! (!)若直线<与曲线, 至多只有一个公共点"求实数7 的取值范围& (#)若直线<与曲线, 相交于""$ 两点"且""$ 的中点为:"求点: 的轨迹方程! #3!+选修,+(-不等式选讲,(本小题满分!$分) 已知'"(为正实数"'#1(#*#! (!)证明-'1(5#'(! (#)证明-',1(,5#!
从而求出牟合方盖的体积等于#3?3(? 为球的直径)"并得到球的体积为
/*!"?3"这种算法比外国人早了一千多年!人们还用过一些类似的近
似公式"根据*3!!,!(6#"'"判断下列公式中最精确的一个是
槡 -!?( 3!6"/
.!?( 槡3#/
槡 /!?( 33!$ ($ 8/
槡 0!?( 3!4(/
模拟 数学卷
!#$分钟!!($分
一选择题本题共!#小题每小题(分共"$分!在每小题给出的四个选项中只有一项是符
合题目要求的!
!!!!若!集!合!"*!!##!+!#!)#!$!#!#"$!*!!!##!+!!)!#!)!3!#"!则!"!.$!*!!!
-!++#"3)
.!(+!"#,
/!(+#"#,
















4!某几何体的三视图如图所示"三个视图中的曲线都是圆弧"则该几何

体的体积为



-!!(# /!!#!
.!!#

0!#!#
!数学卷 """"
""第"!!"页" !"共""页""!
6!图为祖冲之之子祖暅$开立圆术%中设计的立体模型!祖暅提出$祖氏原 理%"他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差"






!数学卷 """"
"!"第"!3"页" !"共""页""!
!6!(本小题满分!#分) 已知函数2(#)*:?#+'#1("'"(%! (!)讨论函数2(#)的单调性& (#)若2(#)$$恒成立"'7$"求'( 的最大值!
#$!(本小题满分!#分) 已知点:(4"A)(A)$)是抛物线,-4#*#3#(3*$)上一点"点 5 为抛物线, 的焦点"#:5# *!$! (!)求直线:5 的方程& (#)若直线:5 与抛物线, 的另一个交点为B"曲线, 在点: 与点B 处的切线分别为7"*" 直线7"*相交于点@"求点@ 的坐标!
!数学卷 """"
"!"第"!""页" !"共""页""!
$"$"年普通高等学校招生全国统一考试
数学模拟测试参考答案
!!8!本题考查集合的运算!由题知 ",#+'0$"1(!
$!2!本题考查复数的模!因为$+$0/"所以)$)+ 槡$$.'0!($ +槡9!
1!2!本题考查双曲线的渐近线!'%$$
所以
%#!4#;+1!1<9*选项
*化简得?A1
%
! $
"所以
%
# $
+1*选项
2
化简得?A1
%!19"<""
所以%#41"!"9<+1!!,*选项 8化简得?A1%!79"所以%#!497+1!$!所以选项 2的公式最精确!
!"!-!本题考查椭圆的性质!如图"延长 /$*")/! 并相交于 B 点"由题知")*0
).'-()*!"故函数.'-(+-A/$B.-!有界"即正确! !$!2!本题考查数列的综合!因为)%(.!)+)%(.!)"所以%($.!+%($.$%(.!"故$%(+%($.!0%($0!"又因为%!+
""所以%$$+!"$'%!.%$.).%!!(+%$ !$0%$ !0!!+%$!$0!!"所以)%!.%$.).%!!)+ ! $)%$!$0!!)"由题
!数学卷 """"
""第"!,"页" !"共""页""!
#!!(本小题满分!#分) 垃圾分类"是指按一定规定或标准将垃圾分类储存*分类投放和分类搬运"从而转变成公共 资源的一系列活动的总称!分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值"力争物尽其用! #$!6年"月#(日"生活垃圾分类制度入法!到#$#$年底"先行先试的,"个重点城市"要基 本建成垃圾分类处理系统&其他地级城市实现公共机构生活垃圾分类全覆盖!某机构欲组建 一个有关$垃圾分类%相关事宜的项目组"对各个地区$垃圾分类%的处理模式进行相关报道! 该机构从"$$名员工中进行筛选"筛选方法-每位员工测试""$", 三项工作"3项测试中至少 #项测试$不合格%的员工"将被认定为$暂定%"有且只有一项测试$不合格%的员工"将再测试 ""$ 两项"如果这两项中有!项以上(含!项)测试$不合格%"将也被认定为$暂定%"每位员工 测试""$", 三项工作相互独立"每一项测试$不合格%的概率均为3($)3)!)! (!)记某位员工被认定为$暂定%的概率为2(3)"求2(3)& (#)每位员工不需要重新测试的费用为6$元"需要重新测试的总费用为!($元"除测试费用 外"其他费用总计为!万元"若该机构的预算为4万元"且该"$$名员工全部参与测试" 问上述方案是否会超过预算. 请说明理由!
参考答案!第!! 页共,页!
知"数列!%(#为整数列"所以 !$)%$ !$0!!)$ !$)1$0!!)+!"当%!$+1时"等号成立"下面举例说明%!$可以
取到1"
%$+%,+%#+%7+%!"+!"%1+%9+%<+%;+0$"%!!+$"%!$+1"所以)%!.%$.).%!!)的最小值为!! 思路点拨本题是以绝对值为背景的数列的综合应用"综合性较强"本题有两个难点.
其中所有正确结论的编号是
-!
.!
/!
0!
!#!已知数列!'*#满足条件'!*$"#'*1!#*#'*1!#"*%6 "则#'!1'#1'1'!!#的最小值为
-!3
.!#
/!!
0!$
题序 ! # 3 , ( " 8 4 6 !$ !! !#
答案
二填空题本题共,小题每小题(分共#$分!把答案填在答题卡中的横线上! !3!已知向量*(!"#)"*(+!")"若4"则实数等于!!!!! !,!已知函数2(#)*>2?(#1)(*$)"点(#3"$)和(8""$)是函数2(#)图象上相邻的两个对
!$!已知5!"5# 分别为椭圆#!"#144#*!的左*右焦点"1 是椭圆上的一点"且在4 轴的左侧"过
点5# 作15!15# 的角平分线的垂线"垂足为 ="若#0=#*#(0 为坐标原点)"则#15##+
#15!#等于
-!,
.!#
/!槡#3
0!3#槡3
!!!若存在7"使得2(#)57 对任意#%8 恒成立"则函数2(#)在 8 上有下界"其中 7 为函数
7!-!本题考查三视图!根据三视图可知"该几何体是由
! ,
个
圆锥和
! 7
个球组
成的"
如图所示"其中球的半径为1"圆锥的底面半径也为1"高为,"故该几何体的体积为
! ,
4
! 141$4,.
! 7
4
,1411+1.
;$+!$9!
;!2!本题考查数学史与立体几何!由A+ !#?1"解得+?#A1 !选项 - 化简得?A1%!;#"
第一")%(.!)+)%(.!)通过两边平方转化为$%(+%($.!0%($0!"进一步利用累加求和的形式求数列前 (项和*
第二"! $)%$!$0!!)最小值的取得对整数的敏感性较强"后面需要简单验证取等号的条件"即列举某个特殊
(#)若'*槡3"求()的最大值!
!4!(本小题满分!#分)
如图"在四棱锥:+"$,8 中":"3底面 "$,8"底面 "$,8 为直角梯形""$3"8"$,4
"8""8*#$,*#:"*#""$*!"9"5"@ 分别为线段"8"8,":$ 的中点!
(!)证明-平面 :954平面 @",!

(#)求直线@, 与平面:,8 所成角的正弦值!
-.
! -
'-&"(的下界"故错
误*因为'-=B-(4+!.=B-"所
以
函数
.'-(+-=B-
在
区
间
'""F0!(上
单
调
递
减"在区间'F0!".E(上单调递增"所以.'-(+-=B-$.'F0!(+0F0!"故.'-(+-=B- 有下界"无上界"即
正确*.'-(+-F-$ &""所以函数 .'-(有下界"故 错误*因为-A/$B.-!*)-A/$B.-!)*-$!.!*!"所 以 函 数
2(#)的一个下界&若存在 1"使得2(#)$1 对任意#%8 恒成立"则函数2(#)在8 上有上
界"其中 1 为函数2(#)的一个上界!如果一个函数既有上界又有下界"那么称该函数有界!
下述四个结论-!不是函数2(#)*#1#!(#*$)的一个下界&函数2(#)*#:?# 有下
界"无上界&函数2(#)*#A##有上界"无下界&函数2(#)*#>2#?1#!有界!
0!(+#"3)
#!2是虚数单位"&*#+2"则#&#*
-!槡3
.!#
/!槡(
0!槡"
3!若双曲线#'##+4(##*!('*$"(*$)的离心率为(3"则该双曲线的渐近线方程为
-!4*5,(#
.!4*5(,#
/!4*5,3#
0!4*53,#
,!第!4届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于