重庆市永川中学高中数学第18周练习一(立体几何1)

立体几何（1）

1.设m,n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（B ）

A ．若m//,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则

B ．若m//,,//,n m n αβαβ⊥⊥则

C ．若m//,,,//n m n αβαβ⊥⊥则

D ．若m//,,//,//n m n αβαβ⊥则

2.直三棱柱111ABC A B C -中，0

90=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，

1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（D ）

A ．110

B ．25

C D 3.在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为（D ）

A ．23

B ．2

1 C ．33 D ．

63 4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是面对角线1A B 上的动点，则

1AM MD + 5．在正四面体A －BCD 中，棱长为4，M 是BC 的中点，点P 在线

段AM 上运动(P 不与A ，M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题：

①BC ⊥平面AMD ； ②Q 点一定在直线DM 上； ③V C －AMD ＝4 2.

其中正确的是_①② ______

6.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为__.8π __

7,已知两异面直线a ，b 所成的角为π

3，直线l 分别与a ，b 所成的角都是θ，则θ的取

值范围是________．

[答案] [π6，π

2

]

1． 若正四面体S —ABC 的面ABC 内有一动点P 分别到平面SAB 、平面SBC 、平面SAC 的距

离成等差数列，则点P 的轨迹是（A ）

A ．一条线段

B ．一个点

C ．一段圆弧

D ．抛物线的一段

8,如图，在平行四边形ABCD 中，CD ＝1，∠BCD ＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF 和平面ABCD 成直二面角，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．

(1)求证：BD⊥平面CDE ；

(2)求证：GH∥平面CDE ； (3)求三棱锥D －CEF 的体积．

答案：(1)证明：平面ADEF⊥平面ABCD ，交线为AD ， ∵ED ⊥AD ，∴ED ⊥平面ABCD.∴ED⊥BD. 又∵BD⊥CD，CD ∩ED ＝D ，∴BD ⊥平面CDE. (2)证明：连接EA ，则G 是AE 的中点， 在△EAB 中，GH ∥AB ，

又∵AB∥CD，∴GH ∥CD.又∵GH 平面CDE ，∴GH ∥平面CDE. (3)解析：设Rt △BCD 中BC 边上的高为h ，

依题意：12×2×h ＝1

2×1×3，

∴h ＝

32，即点C 到平面DEF 的距离为32

. ∴V D －CEF ＝V C －DEF ＝13×12×2×2×32＝33

.

9,已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．

(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；

(2)设二面角C －AF －E 的大小为θ，求tan θ的最小值．

9,解法1：(1)建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得

A (0,0,0)，

B (23，2,0)，

C (0,4,0)，A 1(0,0,4)，E (3，3,0)，F (0,4,1)，

于是CA 1→＝(0，－4,4)，EF →

＝(－3，1,1)，

则CA 1→·EF →

＝(0，－4,4)·(－3，1,1)＝0－4＋4＝0，故EF ⊥A 1C .

(2)设CF ＝λ，(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由(1)得

F (0,4，λ)，

AE →

＝(3，3,0)，AF →＝(0,4，λ)，于是由m ⊥AE →，m ⊥AF →

可得

⎩⎪⎨

⎪⎧

m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，

即⎩⎨

⎧

3x ＋3y ＝0，

4y ＋λz ＝0.

取m ＝(3λ，－λ，4)．

又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1的一个法向量为n ＝(1,0,0)， 于是由θ为锐角可得cos θ＝|m ·n ||m |·|n |＝3λ2λ2＋4，sin θ＝λ2

＋16

2λ2

＋4， 所以tan θ＝

λ2

＋163λ

＝

13＋163λ

2. 由0<λ≤4，得1λ≥1

4

，即tan θ≥

13＋13＝63

， 故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值

63

. 10,如图，在ABC ∆中，0

90C ∠=，AC BC a ==，点P 在边AB 上，

设(0)AP PB λλ=>，过点P 作//PE BC 交AC 于E ，作//PF AC 交BC 于F 。沿PE 将APE ∆翻折成,A PE '∆使平面A PE '⊥平面ABC ；沿PF 将BPF ∆翻折成,B PF '∆使平面B PF '⊥平面ABC 。 （1）求证：//B C '平面A PE '；

（2）是否存在正实数λ，使得二面角C A B P ''--的大小为0

90？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

10解析：(1)以G 点为原点，GP GC GB 、、为x 轴、y 轴、