河南大学高等数学下期末考试试卷
(完整版)高等数学下册期末考试试题及答案,推荐文档
又
1 zx2
z
2 y
a
a2 x2 y2 ，…..………【３】
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高数
故
dS z
Dxy
adxdy a2 x2 y2
a
2 d
0
a2 h2 0
d a2 2
2
a
1 2
ln(a2
2
)0
a2 h2
2 a ln a ..【7】 h
三、【9 分】解：设 M (x, y, z) 为该椭圆上的任一点，则点 M 到原点的距离为 d x2 y2 z2 ……【1】
n1
n
4、设 z f (xy, x ) sin y ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z ,
2z
．
y
x xy
5、计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的顶部．
z
三、（本题满分 9 分） 抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离
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的最大值与最小值．
高数
（本题满分 10 分）
计算曲线积分 (ex sin y m)dx (ex cos y mx)dy ， L
其中 m 为常数， L 为由点 A(a, 0) 至原点 O(0, 0) 的上半圆周 x2 y2 ax (a 0) ．
四、（本题满分 10 分）
xn
3 , 1 2
3 ,2
3),
1 M2( 2
3 , 1 2
3 ,2
3). …………………【7】
又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
高等数学下册的期末考试及试卷试题包括答案.docx
高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题大题一二三四五 六七小题12345得分一、填空题：（本题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分， 把答案直接填在题中横线上 ）r rr rrr rrr1、已知向量 a 、 b 满足 a b0 ， a2， b2 ，则 a b．2、设 zx ln( xy) ，则3z．x y23、曲面 x 2 y 2z 9 在点 (1, 2, 4) 处的切平面方程为．4、设 f ( x) 是周期为2 的周期函数，它在 [, ) 上的表达式为 f (x) x ，则 f ( x) 的傅里叶级数在 x3 处收敛于，在 x处收敛于．5、设 L 为连接 (1, 0) 与 (0,1) 两点的直线段，则(xy)ds．L※以下各题在答题纸上作答， 答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上： 姓名、学号、班级．二、解下列各题：5 小题，每小题 7 分，满分 35 分）（本题共 1、求曲线2x 2 3y 2 z 2 91,2)z23x2y2在点 M 0 (1, 处的切线及法平面方程．2、求由曲面 z2x 2 2 y 2 及 z 6 x 2 y 2 所围成的立体体积．3、判定级数( 1)nlnn1 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？n 1n4、设 zf (xy, x) sin y ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求z , 2z ．yxx y5、计算曲面积分dS ,其中 是球面 x 2y 2z 2 a 2 被平面 zh (0 h a) 截出的顶部．z三、（本题满分 9 分） 抛物面 zx 2 y 2 被平面 x yz 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分 10 分）计算曲线积分( e x siny m dx ( e x cos y mx dy ，L其中 m 为常数， L 为由点 A(a,0) 至原点 O(0,0) 的上半圆周 x 2y 2ax (a 0) ．四、（本题满分 10 分）x n 求幂级数的收敛域及和函数．n 13n n五、（本题满分 10 分）计算曲面积分I2x3dydz 2y3dzdx 3(z21)dxdy ，其中为曲面 z 1 x2y 2 ( z0) 的上侧．六、（本题满分 6分）设 f ( x) 为连续函数， f (0) a ， F (t )[ z f ( x2y2z2 )]dv ，其中t是由曲面 zx2y2t与 zt2x22所围成的闭区域，求lim F (t)y t 3 ．t 0-------------------------------------备注：①考试时间为 2 小时；②考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。
天津市2020〖河大版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期高一级期末考试
开始 输入x m x =除以2的余输出“x 是偶是 输出“x 是奇否结束第3题图天津市2020年〖河大版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期高一级期末考试创作人：百里要主 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂张员创作单位： 博恒中英学校一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是是正确的,将正确答案填写在答题卷相应位置．）1组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数 10 13 x 14 15 13 12 9 A ．114和0.14B ．13和114 C ．14和0.14D ．0.14和142. 从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S 12= 13.2，S 22=26．26，则A ．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B ．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C ．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D ．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度 3．右边的程序框图(如右图所示),能判断任意输入的数x 的奇偶性：其中判断框内的条件是A.0x = ?B.0m =?C.1x = ?D.1m =?4. 将十进制数31转化为二进制数为A. 1111B. 10111C.11111D.11110 5. 有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，怎可以中奖，小明希望中奖，则他应该选择的游戏是6.已知A 是△ABC 的一个内角，且32cos sin =+A A ,则△ABC 是 A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .形状不能确定 7．在第16届广州亚运会上，我国代表团的金牌数雄踞榜首。
右图是位居金牌榜前十二位的代表团获得的金 牌数的茎叶图，则这十二代表团获得的金牌数的平均数 （精确到0.1）与中位数的差为A ．22.6B ．36.1C ．13.5D ．5.2 8．下列说法正确的是A ．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关B ．方差和标准差具有相同的单位C ．从总体中可以抽取不同的几个样本D ．如果容量相同的两个样本的方差满足S 12<S 22，那么推得总体也满足S 12<S 22是错的 9. 已知：数列{}n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+，则na n的最小值为 A ．8 B ．7 C ．6 D ．510.在函数)(x f y =的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数)(x f y =的解析式可能为 A ．12)(+=x x f B ．24)(x x f =C ．x x f 3log )(=D ．xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=43)(二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷上 11.不等式0)21(22<--+x x 的解集为_________________. 12.若x>0,y>0且281x y+=，则xy 的最小值是 ____； 13．为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 米的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是___________米。
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
2020-2021某大学《高等数学》(下)期末课程考试试卷合集1(含答案)
1
，……6 分
n=1
2n −1
n=1
1+ x2
S(x) = S(x) − S(0) = − arctan x, x [−1,1] ……10 分
五、利用高斯公式计算曲面积分 xdydz + ydzdx + zdxdy ，其中 S 为界于 z = 0 ， S
和 z = 3 之间的圆柱体 x2 + y2 9 的整个表面的外侧。
三、计算题：（共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分）
1、已知： z = eu sin v, 其中 u = xy,v = x + y ，求 z , z 。 x y
解： z = eu sin v ， z = eu cos v ，……2 分
u
v
u = y ， u = x ， v = v = 1，……4 分
。
三、计算题：（共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分）
1、已知： z = eu sin v, 其中 u = xy,v = x + y ，求 z , z 。 x y
2、求函数 z = x3 y3 的所有二阶偏导数。
专业班级： 装
院系：
4、球面 x2 + y2 + z2 = 14 在点 (1, 2, 3) 处的切平面方程为
2
dx
2
f (x, y)dy =
0
x2
.
4.函数 u=xyz 在点(1,1,1)处从点(1,1,1)到点(2,3,4)的方向导数
是.
5.
设以 2
为周期函数
f
(x)
傅里叶级数为
a0 2
+
[an
n=1
cos nx + bn
河大高等数学同济下册期末考试题及答案
咼等数学(下册)考试试卷 (一、填空题(每小题 3分，共计24分)1、 z = log a (x 2 y 2)(a 0)的定义域为 D= ____________________2 22、 二重积分In(xy )dxdy 的符号为 ______________ 。
|x| |y| 13、 由曲线 y In x 及直线x y e 1， 为 ___________ 。
x(t) 4、 设曲线L 的参数方程表示为y(t)2 25、 设曲面刀为x y 9介于z 0及zy 1所围图形的面积用二重积分表示为( x ),则弧长元素ds ______________223间的部分的外侧，贝U (x y 1)ds6、 微分方程dy y tan#的通解为 _______________________dx x x7、 方程y ⑷ 4y 0的通解为 ___________________ 。
、选择题(每小题 2分，共计16分)1、二元函数z f (x, y)在(X 0,y °)处可微的充分条件是()(A ) f (x, y)在(x °, y °)处连续;f x (x, y) , f y (x, y)在(X 0,y °)的某邻域内存在;(C ) f x (x 0,y 。
) x f y (x 0,y 。
)y 当,(x)2 y)20时，是无穷小;(D) limxf x (x °,y °) x f y (x °,y °) y i 2 2 (x) ( y) 2、设U yf(-) y xf(2),其中 x f 具有二阶连续导数，则ux 2 y xU 2 y等于 (A ) x y ；(B ) x ;(C) y ;(D)0 。
3、设2 :x 2 y z 2 1,z0,则二重积分 I zdV 等于()(A ) 4和2d13 .r sincos dr ; (B )0 .1 2 .d r sin0 0dr ;2 2y，其值8级数1n 1n(n 1)的和为(B)2 - 1 3(C) d 2 d r sin cos dr ； ( D)0 0 0 ? v2 2 2 鼻 2 —丄、亍2 2 4、球面x y z 4a与柱面x y2a cos ----------- 2 2(A) 4 2 d . 4a r dr ；o o ，a cos(C) 8 2 d r .. 4a2r2dr ；o o ，2d d0 013r sincos dr。
高等数学期末考试试题及解答
高等数学（下）期末试题（2）二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a ＝______。
2、若曲面2222321x y z ++=的切平面平行于平面46250x y z -++=，则切点坐标为______________________。
3、二重积分3110x ydyye dx -蝌的值为______________。
5、微分方程2yy x y ¢=+的通解为_____________________。
三、计算题（每题７分，总计３５分）。
2、设(,)z f x y xy =-具有连续的二阶偏导数，求2z x y¶抖。
3、将函数23()2f x x x=--展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
4、设)(x y y 满足方程322x y y y e ⅱ?-+=，且其图形在点)1,0(与曲线21y x x =-+相切，求函数)(x y 。
5、计算222Ldsx y z++ò，其中L 是螺旋线8cos ,8sin ,x t y t z t ===对应02t p＃的弧段。
四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、设0a >，计算极限23123lim ()n n na a a a??++++的值。
2、计算z dv W蝌?，其中W 由不等式z ?22214x y z ?+?所确定。
4、将函数()(11)f x x x =-＃展开成以2为周期的傅立叶级数。
5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足(1)3f =，计算曲线积分22(())(())Ly f x x dx x f x y dy +++ò的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。
五、本题５分。
对0p >，讨论级数11(1)nn n n p¥+=-å的敛散性。
河大高等数学同济下册期末考试题及答案
高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰212sin ππϕϕθdr r d d ； （C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
大一下学期高等数学期末考试试题及答案
z 2z
,
．
x xy
5、计算曲面积分
dS , 其中
是球面
2
x
2
y
2
z
2
a 被平面 z
h (0
h
a) 截出的顶部．
z
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大一下学期高等数学期末考试试题及答案
三、 （本题满分 9 分） 抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．
四、 （本题满分 10 分）
备注：①考试时间为 2 小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面 不得带走试卷。
答题纸
草稿纸由表及里依序对折上交；
2/5
大一下学期高等数学期末考试试题及答案
高等数学 A( 下册 ) 期末考试试题 【A 卷】
参考解答与评分标准
一、填空题 【每小题 4 分，共 20 分】 1、 4 ； 2、
1 y2
； 3、
3/5
大一下学期高等数学期末考试试题及答案
故
dS
adxdy
z
a2
D xy
x2
y2
2
ad 0
a2 h2
d
0
a2
2
2a
1 ln( a2 2
a2 h2
2)
0
a 2 a ln ..【 7】
h
三 、【 9 分 】解：设 M ( x, y, z) 为该椭圆上的任一点，则点 M 到原点的距离为 d 令 L ( x, y, z) x2 y 2 z2 ( z x2 y 2 ) ( x y z 1) ，
57 (1, , )
1 (8,10,7). ………… .【. 5】
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河南大学《高数提高》试卷
试卷（一）一、1、下列等式中成立的是（ B ）.(A) e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→21lim (B) e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→211lim (C) e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim (D) e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→211lim2、函数()x f 在点0x 处连续是在该点处可导的（ ）.(A) 必要但不充分条件 (B) 充分但不必要条件 (C)充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 3、设函数()x f 可导，并且下列极限均存在，则下列等式不成立的是（ ）.(A) ()()()00limf x f x f x '=-→ (B) ()()()0000lim x f x x x f x f x '=∆∆--→∆(C) ()()()a f h a f h a f h '=-+→2lim(D) ()()()00002lim x f xx x f x x f x '=∆∆--∆+→∆ 4、若(),00='x f 则点0x x =是函数()x f 的（ ）.(A) 极大值点 (B) .最大值点 (C) 极小值点 (D) 驻点5、曲线12+=x x y 的铅直渐近线是（ ）.（A ）y =1 （B ）y =0 （C ）1-=x （D ）x =0 6、设xe-是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(（ ）.（A ）c x e x+--)1( （B ）c x e x++-)1( （C ）c x e x+--)1( （D ） c x e x++--)1( 二、1、当0x →时，(1cos )x -与2sin2xa 是等价无穷小，则常数a 应等于______ _. 2、若82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx b x b x ，则=b .3、函数123++=x x y 的拐点是 .4、函数()x y y =是由方程y x y +=tan 给出，则='y ______________________.5、双曲线1xy =在点()1,1处的曲率为 .6、已知)(x f 在),(∞+-∞上连续，且2)0(=f ，且设2sin ()()x xF x f t dt =⎰，则(0)F '= .三、 1、求极限()xx x x x sin tan cos 1lim20-→ .2、设曲线的方程为33190x y (x )cos(y ),π++++=求此曲线在1x =-处的切线方程.3、求不定积分⎰++322x x xdx.4、求不定积分dx x x ⎰+31. 5、求定积分dx x x ⎰22cos π.6、求定积分⎰--+11242dx xx .四、1、求抛物线12+=x y 与直线1-=x y 所围成的图形. 2、设()f x ''连续，()1f π=，()()0sin 3f x f x xdx π''+=⎡⎤⎣⎦⎰，求()0f .试卷（二）一、1、=+→xx x 2)31(lim ．2、当=k 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=00e)(2x kx x x f x 在0=x 处连续．3、设x x y ln +=,则=dydx． 4、曲线x e y x -=在点)1,0(处的切线方程是 ．5、设两辆汽车从静止开始沿直线路径前进，下图中给出的两条曲线)(1t a a =和)(2t a a =分别是两车的速度曲线．那么位于这两条曲线和直线T t = )0(>T 之间的图形的面积A 所表示的物理意义是 ．二、1、若函数xx x f =)(，则=→)(lim 0x f x （ ）．A 、0B 、1-C 、1D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）.A 、 x 1ln（当+→0x ） B 、x ln （当1→x ） C 、x cos （当0→x ） D 、 422--x x （当2→x ） 3、满足关系式0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）.A 、极大值点B 、极小值点C 、驻点D 、间断点 4、下列函数)(x f 在]1,1[-上适合罗尔中值定理条件的是（ ）.A 、32)(x x f =B 、x x x f 2)(=C 、32)(+=x x fD 、x x f sin )(= 5、下列无穷积分收敛的是（ ）.A 、⎰∞+ 0sin xdx B 、dx x ⎰∞+ 01C 、dx e x ⎰∞+- 0 2D 、dx x⎰∞+ 0 1三、1、求极限 xx x 2sin 24lim-+→ . 2、求极限 2cos 2cos 0lim x dte xx t x ⎰-→.3、设)1ln(25x x e y +++=，求y '.4、设)(x y f =由已知⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2，求22dx y d . 5、求不定积分dx xx x ⎰+)sin (ln 2.6、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0011)(2x xe x x x f x ， 求⎰-20d )1(x x f .四、1、设函数21)(xxx f +=，分别求其单调区间、极值、凹凸性与拐点. 2、设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导)0(>a .试证在),(b a 内至少存在一点ξ满足：)(][)]()([2012201220122011ξξf a b a f b f '-=-.试卷（三）一、1．设)sin (cos )(x x x x f +=，则在0=x 处有（ ）.(A)2)0(='f (B) 1)0(='f (C) 0)0(='f (D) )(x f 不可导 2．设333)(,11)(x x xxx ⋅-=+-=βα，则当1→x 时（ ）. (A) )(x α与)(x β是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B) )(x α与)(x β是等价无穷小； (C) )(x α是比)(x β高阶的无穷小； (D) )(x β是比)(x α高阶的无穷小.3．函数2)4(121++=x xy 的图形（ ）. (A) 只有水平渐近线； (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线； (C) 只有铅直渐近线； (D) 无渐近线.4．设函数nn x xx f 211lim)(++=∞→，则下列结论正确的为（ ）.(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x .5．设函数)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ，则)(x f = ( ).(A) 22x (B)222+x (C) 1-x (D) 2+x 6.广义积分)0( >⎰∞+a xdxap 当（ ）时收敛. (A) 1>p (B) 1<p (C) 1≥p (D) 1≤p二、1．=+→xx x sin 20)31(lim .2．曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在t=2处的切线方程为 . 3．方程0162=-++x xy e y 确定隐函数)(x y y =，则)0(y '= .4．⎰--+2121 2211arcsin dx xx x = .5．已知x x cos 是)(x f 的一个原函数，则dx xxx f ⎰cos )(= . 6.=⎰→22 0sin lim2xtdt e xt x .三、1．（6分）已知tt t x x f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→2sin 1lim )(，求)(x f '. 2．（6分）求不定积分dx xx⎰++cos 1sin 1. 3．（8分）设函数⎩⎨⎧≤<-≤=-1010)(2x x x xe x f x ，，，求dx x f ⎰-1 3 )(. 4．（8分）已知2)3(lim 2=++-∞→c bx ax x x ，求常数b a ,.5.（8分）求由曲线)1(2,4,22≥===x x y x y xy 所围图形的面积.6.（8分）由方程)ln(arctan22y x x y +=确定隐函数)(x f y =，求0=y dx dy . 7.（8分）设函数)(x f 在[0,1]上连续且单调递减，证明：对任意的],1,0[∈q ⎰⎰≥qdx x f q dx x f 01)()(.试卷（四）一、1.方程23cos2x y y y e x '''--=的特解形式为（ ）（A ）cos 2xaxe x ； （B ）cos 2sin 2xxaxe x bxe x +； （C ）cos 2sin 2xxae x be x +； （D ）22cos 2sin 2xxax e x bx e x +.2. 设a 不是π的整数倍，极限ax a x a x -→⎪⎭⎫⎝⎛1sin sin lim 的值是（ ）.（A ） 1 （B ）e （C ）a e cot （D ）ae tan3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0 ,0 ,1sin )(2x a x xe x xf ax 在0=x 处连续，则=a （ ）. （A ）1 （B ） 0 （C ）e （D ）1-4. 设2()()lim1()x af x f a x a →-=--，则在x a =处有（ ） （A ）()f x 的导数存在，且()0f a '≠； （B ）()f x 取得极大值； （C ）()f x 取得极小值； （D ）()f x 取得最大值.5. 设函数)(x f 在点0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→xx f x ，则点0=x （ ）.（A ）是)(x f 的极大值点（B ）是)(x f 的极小值点(C)不是)(x f 的驻点（D ）是)(x f 的驻点但不是极值点二、1. 设tan 21, 0sin 2(), 0xx e x x f x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩在0x =连续，则a =____________.2. 极限xaa x x ln )ln(lim0-+→（0>a ）的值是 .3. 设()(1)(2)(99)f x x x x x =---L ，则(0)f '=____________.4. 曲线21x xe y =的铅直渐近线是 . 5. 函数)4ln(x x y -=的单调递增区间为 .三、1. 计算极限412921612lim 2332-+-+-→x x x x x x . 2. 求不定积分10arctan d x x x ⎰. 3. 求定积分⎰+41)1(x x dx . 4. 求函数122+=x xy 的极值与拐点.5. 求微分方程52d 2(1)d 1y y x x x -=++的通解. 6. 设1>a ，函数a a x x a x a x y +++=，求dxdy . 四、证明题（本题8分）证明：当02x <<时，有24ln 240x x x x --+>.试卷（五）一、 1. 下列各式正确的是（ ）.(A)1)11(lim 0=++→x x x (B) e x x x =++→)11(lim 0(C) e x x x -=-∞→)11(lim (D)e xxx =+-∞→)11(lim 2. 设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，若欲使()0F x x =在可导，则必有 （ ）.（A ）(0)0f '=（B ）(0)0f = （C ）(0)(0)0f f '+=（D ）(0)(0)0f f '-=3.为，则 又设已知 )()20( d )()(21 110 )(12x F x t t f x F x x x x f x ⎰≤≤=⎩⎨⎧≤≤<≤=（ ）.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤21 10 31)(3x x x x A ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-21 10 3131)(3x x x x B ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤21 110 31)(3x x x x C ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-21 1103131)(3x x x x D 4.当0→x 时，与x ex cos 22-等价的无穷小是（ ）.（A ）2x . （B ）223x . （C ）22x . （D ）225x . 5.x e y y y x2cos 52=+'-''的一个特解应具有形式（ ）.（A ）x Ae x2cos （B ）)2sin 2cos (x B x A e x+（C ）)2sin 2cos (x B x A xe x+ （D ）)2sin 2cos (2x B x A e x x+ 二、1. 已知2sin ()d x f x x e C =+⎰,则()f x =____________.2.设函数22, 1()ln(1), 1a x x f x x x x ⎧+>-=⎨++≤-⎩在1x =-处连续，则a = . 3. 设),tan ln(sec x x y +=则='y .4. 设()f x 是连续函数，则dt t f a x x xaa x ⎰-→ )(lim= .5. 已知⎰+=C x dx x f arcsin )(，则=-⎰dx x f x )(12. 6. 由0 , 0)( , , =≥===y x f y b x a x 所围曲边梯形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积公式为：V = . 则（应用你给的公式计算）由],[,)(22R R x x R x f y -∈-==与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转而成的立体的体积=V . 三、1. (6分) 1.求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值.2. (6分)设arctany x= 求dx dy .3.（6分）求微分方程满足初始条件的特解1,sin ==+=πx y xx x y dx dy . 4. (6分) 设由方程2cos()1x y e xy e +-=-确定y 是x 的函数，求d .0d yx x =5. (7分) 求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值. 6 若函数)(x f 在]1,0[上连续，证明：=⎰π)(sin dx x xf ⎰)(sin 2ππdx x f ，并计算dx xxx ⎰+π2cos 1sin . 8. 过原点(0,0)O 作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成一平面图形，求此平面图形的面积.《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3. 设有直线1158:121x y z L --+==-和26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（ ） （A ）6π； （B ）4π； （C ）3π； （D ）2π. 4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1-6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7. 级数1(1)(1cos ) (0)nn n αα∞=-->∑是（ ）（A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关.8.幂级数∑∞=1n n n x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________.4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分2(22)d (4)d Lxy y x xx y -+-=⎰Ñ____________.5. .级数1(2)nn x n ∞=-∑的收敛区间为____________.三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.．计算1d d yxy x x⎰.试卷6参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121. 5.()x e x C Cy 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e x z xy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z y y z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R . 5.x x e e y 23-=. 四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷7（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 4.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定10. ．考虑二元函数(,)f x y 的下列四条性质：（1）(,)f x y 在点00(,)x y 连续； （2）(,),(,)x y f x y f x y 在点00(,)x y 连续 （3）(,)f x y 在点00(,)x y 可微分； （4）0000(,),(,)x y f x y f x y 存在. 若用“P Q ⇒”表示有性质P 推出性质Q ，则有（ ）（A ）(2)(3)(1)⇒⇒； （B ）(3)(2)(1)⇒⇒ （C ）(3)(4)(1)⇒⇒； （D ）(3)(1)(4)⇒⇒ 二.填空题（4分⨯5）1. 级数1(3)nn x n ∞=-∑的收敛区间为____________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x +的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4. 设∑是锥面1)z z =≤≤下侧，计算y z 2d d 3(1)d d xd d y z x z x y ∑++-⎰⎰四.应用题（10分⨯2） 试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷7参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ .3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.xx e C e C y --+=221. 四.应用题 1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π） A 、R 2A B 、2R 2A C 、3R 2A D 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ）A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
高数 大一 下册期末考试复习试卷
高等数学A2 试卷（ A 卷） 适用专业： 全校本科一年级1、过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是（ ） A. 37540x y z -+-= B. 37550x y z -+-= C. 375100x y z -+-= D. 375110x y z -+-=2、直线124x y z x y z -+=-⎧⎨++=⎩与平面2340x y z --+=的位置关系是（ ）A. 相交但不垂直B. 直线在平面内C. 平行D. 垂直 3、函数3226z x y x =+-的极小值点为（ ）A. ()1,0-B. ()1,0C. ()2,0-D. ()2,04、级数()11112n n n n∞--=-∑ 的收敛性是 ( )A .条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 不能确定 5、二次积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰的次序可以转化为（ ）A. 101(,)xdx f x y dy ⎰⎰B. 011(,)xdx f x y dy -⎰⎰C.11(,)xdx f x y dy ⎰⎰D.11(,)xdx f x y dy -⎰⎰6、设2I zdxdy ∑=⎰⎰，∑是长方体{}(,,)01,02,03x y z x y z Ω=≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧，则I =（ ）A . 0 B. 10 C. 12 D. 14 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）. 1、函数ln z xy y =的全微分dz = .2、函数u xyz =在点()5,1,2处由点()5,1,2到点()9,4,14方向的方向导数为 .3、设2ln z u v =，而u x y =+，32v x y =-，则zy∂=∂ . 4、微分方程x dyy e dx-+=的通解是 . 5、周期为2π的函数()f x 在[,)ππ-的表达式为1,0()1,0x f x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩，它的傅里叶（Fourier ）展开式中系数n b = . 6、对弧长的曲线积分()22Lxy ds +=⎰ ，其中L 是圆周cos x a t =，sin y a t = ()02t π≤≤.三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）. 1、已知微分方程20y y y '''++=， （1）求出20y y y '''++=的通解； （2）求出满足02x y ==，01x y ='=的特解.2、设z y x z y x 32)32sin(-+=-+，求yz x z ∂∂+∂∂3、求曲线23121y x z x ⎧=-⎨=-⎩在点(1,2,1)处的切线方程和法平面方程.4、计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由三条坐标平面及平面 1x y z ++=所围成的区域.5、利用格林公式，计算曲线积分()536Lydx y x dy ++-⎰，其中L 为上半圆周22(1)1x y -+=，0y ≥沿逆时针方向.6、已知幂级数21121n n x n -∞=-∑，（1）求出收敛域（先求收敛半径，再讨论端点）；（2）求出幂级数的和函数（先求导、后积分）.四、应用题（本题共2小题，每小题8分，共16分）1、求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体.（利用拉格朗日乘数法求解）2、计算抛物面226z x y =--和锥面z =.高等数学A2 试卷（ A 卷）参考答案及评分标准一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）1. ()ln 1ln dz y ydx x y dy =++2. 98133. 22()2()ln(32)32x y x y x y x y ++---4. ()x e x C -+5. 2[1(1)]n n π-- 或4,1,3,5,......0,2,4,6,.....n n n π⎧=⎪⎨⎪=⎩ 6. 32a π三、计算题（本题共6小题，每小题8分，共48分）1、计算微分方程20y y y '''++=满足初值条件02x y ==，01x y ='=的特解。
2019-2020学年河南省南阳市河南大学附属高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析
2019-2020学年河南省南阳市河南大学附属高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为，则的系数为（）A．45 B．15 C.405 D．135参考答案：D2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx参考答案：D【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D3. 设x0为函数f（x）=sinπx的零点，且满足|x0|+f（x0+）＜33，则这样的零点有（）A．61个B．63个C．65个D．67个参考答案：C【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】分类讨论；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的定义，先求出x0的值，进行求出f（x0+）的值，然后解不等式即可．【解答】解：∵x0为函数f（x）=sinπx的零点，∴sinπx0=0，即πx0=kπ，k∈Z，则x0=k，则f（x0+）=sin（x0+）π=sin（x0+）π=sin（πx0+）=cosπx0，若k是偶数，则f（x0+）=1，若k是奇数，则f（x0+）=﹣1，当k是偶数时，则由|x0|+f（x0+）＜33得|x0|＜﹣f（x0+）+33，即|k|＜﹣1+33=32，则k=﹣30，﹣28，…28，30，共31个，当k是奇数时，则由|x0|+f（x0+）＜33得|x0|＜﹣f（x0+）+33，即|k|＜1+33=34，则k=﹣33，﹣31，…31，33，共34个，故共有31+34=65个，故选：C．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据三角函数的性质，求出函数的零点，利用分类讨论思想是解决本题的关键．4. 设，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略5. 设是的展开式中项的系数（），若，则的最大值是（）A．B．C．D．参考答案：6. 已知向量a，b满足，且，则的取值范围是(A)[4,5] (B)[5,6] (C)[3,6] (D)参考答案：D略7. (理科)函数在点处的切线的斜率为A．B． C．D．1参考答案：C8. 在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油，假若在海域中任意一点钻探，那么钻到油层面的概率是 ( ）A． B． C．D．参考答案：C9. 若曲线关于点对称，则A.或B. 或C. 或D. 或参考答案：A10. 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案：答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数的虚部为参考答案：答案：-212. 设函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的体积为．参考答案：π解：由题意可知函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体是由一个半球与一个圆锥组成，球的半径为：1，圆锥的底面半径为1，高为1，所以所求几何体的体积为：=π．故答案为：π13. 边长为2正三角形ABC中，点P满足，则______.参考答案：2【分析】根据向量的数量积的运算公式，结合正三角形的数量关系，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据向量的数量积的运算公式，可得：．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14. 若且，则 .参考答案：略15. 已知α，β为三角形的内角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．参考答案：充要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在三角形中，不妨设α，β对应的边分别为a，b，根据大边对大角知a＞b?α＞β成立，由正弦定理=得α＞β?sinα＞sinβ，即“α＞β”是“sinα＞sinβ”的充要条件，故答案为：充要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据正弦定理是解决本题的关键．16. 已知，且与垂直，则的值为__________.参考答案：因为与垂直，所以，即，所以，整理得，解得或。
河南省部分名校2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（PDF）答案
2020—2021学年度下学期期末考试高一数学试题卷答案1．B 因为121sin,cos 6232ππ===-，所以点的坐标为11(,22-，所以tan 1y xα==-，故选B 2．B解：()cos 70k -︒=()sin 70∴-︒=()()()sin 70tan 70cos 70k -︒∴-︒==-︒()()tan110tan 18070ta 1n 70k k ︒︒︒︒∴-===-3．A根据题意画出扇形，设圆的半径为：OB=r,根据直角三角形直角边与斜边之比为对应角的正弦，得到1sin sin 0.5BE OB BOE ==∠，弧长为1sin 0.5l r α==.4．B 5．C6．A 7．A ，由几何概型可知235a π=，则235a π=.8、C 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立．在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立；9.C 六十四卦中符号“”表示二进制数的010110，转化为十进制数的计算为01234502121202120222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=..10.解：将函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像向右平移16个单位长度后得到函数()y g x =为()sin(())sin()1g x 2x 2x 66ωωϕωϕ=-+=-+，因为ABC 是等腰直角三角形，所以1AC k =，即()C 201x 1-=--，解得1C x =，所以周期24T =，即8T =，故28πω=，解得4πω=，当1x =-时，()0g x =，即sin(())10424ππϕ⨯--+=，解得：,7k k z 24πϕπ-+=∈，因为||2πϕ≤，所以724πϕ=，故选D.11．因为对任意(),6x f x f π⎛⎫∈≤⎪⎝⎭R 恒成立，所以sin 163f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2π6k ϕ=+或()7π2π6k k Z ϕ=+∈，当π2π6k ϕ=+时，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()11222f f ππ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭（舍去），当7π2π6k ϕ=+时，()7sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()11222f f ππ⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，符合题意，即()7sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令375222262k x k πππππ+≤+≤+，解得263k x k ππππ-≤≤+，即()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎣⎦Z ；故选C.12．B 作出两个函数的图象，易得共有7个交点，即127,,,x x x 不妨设127x x x <<< ，127S x x x =+++ ，两个函数均以(1,0)为对称中心，∴71625342,2,2,1x x x x x x x +=+=+==，∴3217S =⨯+=.故选：B.13．系统抽样的抽样间隔为6003020=，又第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为2，则第4组抽取的号码为303030292+++=.故答案为：9214．由题意,根据茎叶图可知5,6x y ==，成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率：23257110C P C =-=．故答案为710．15.216．(0,1)解:画出函数y=cosx+2|cosx|,以及直线y=k 的图象,如图所示;由f(x)的图象与直线y=k 有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1.故答案为:(0,1).17．（1）由题意，//AB x 轴，可得3AOB BAO π∠=∠=，所以3COA π∠=，所以23COB π∠=，则31sin tan 22COB COB COB ∠=∠=-∠=-.................................5分（2）由（1）得sin tan 2θθ==又由sin()cos()2sin sin 2sin 222tan sin tan sin tan()cos()2ππθθθθθπθθθθπθθ+--⨯--===---+-++..................5分18.解：解（1）先后抛掷两次正四面体的基本事件：1,1,1,2,1,3,1,42,1,2,2,2,3,2,43,1,3,2,3,3,3,44,1,4,2,4,3,4,4共16个基本事件．............3分用 表示满足条件“ 为整数”的事件，则A 包含的基本事件有：1,1,2,1,2,2,3,1,3,3,4,1，4,2,4,4，共8个基本事件．...................................6分所以 =816=12．..................................................................7分故满足条件“ 为整数”的事件的概率为12．（2）用 表示满足条件“ − <2”的事件，则 包含的基本事件有：1,1,1,2,1,3,1,42,1,2,2,2,3,2,43,2,3,3,3,4,4,34,4，共13个基本事件．...................................10分则 =1316，........................................11分故满足条件“ − <2”的事件的概率为1316． (12)19.20．(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075.-------------3分(2)月平均用电量的众数是2202402+＝230.-------------5分因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224.------------8分(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户，-------------10分抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．--12分21．（1）由表可知A ＝5，3πω+φ2π=①，56πω+φ32π=②，联立①②解得ω＝2，φ6π=-，x ωϕ+02ππ32π2πx12π3π712π56π1312πsin()A x ωϕ+0505-0()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.................................................................................................................................4分（2） 5sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平行移动(0)θθ>个单位后可得：5sin 226x y x θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变）可得：5sin 426y x θπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令542,246k k Z πθππ⨯+-=∈∴1,23k k Z πθπ=-∈∴当1k =时，此时θ最小值为6π；.....................................................8分（3）因为()5sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，所以11,62122k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又02x π≤≤，∴012x π≤≤或32x ππ≤≤，∴()f x 增区间为0,,,1232πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦......................................................12分22．（1)因为0ω>，根据题意有342{02432ππωωππω-≥-⇒<≤≤.............................................................4分(2)()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++4π-πk x =或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，...........................................10分故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=．...................12分。
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高等数学试题A
一、填空题（每小题4分，共20分）
(1) 若，则（ ）
(2) 设当时, 与是等价无穷小,
则常数（ ）
(3)
＝（ ）
(4)
（ ）
(5)
二、选择题（毎小题4分，共40分）
(1) 下列广义积分收敛的是
(2) 函数
的连续区间为
(A)；(B) ； (C) ；(D)
(4) 下列各命题中哪一个是正确的
在内的极值点，必定是的根
的根，必定是的极值点
在取得极值的点处，其导数必不存在
(D) 使的点是可能取得极值的点
(5) 已知则＝ .
(A) (B) (C) 1 (D)
5
)
81ln(sin lim
0=+→x
kx
x =k 0x →2
1ax
e -cos 1x -=a ⎰
-+π
π
dx x x 3
)cos (sin =+++∞
→)1000
sin 2sin 1(sin
lim n n n n n )
(,)(
022>=-⎰
-a dx x a a
a
________
⎰
∞
1
1)
(dx x
A ⎰1
1)
(dx x
x
B ⎰
∞
2
1
)
(dx x C ⎰∞
1
1)(dx
x
x
D ⎩⎨⎧≤<-<≤-=211
01)(x e e x x
x f x
________)1,0[]2,0[]2,1()1,0[ ]2,1(=⎰dx x π
500
sin )
3(________
;
50)(;100)(;
110)(;200)(D C B A ________)()(x f A ),(b a 0)('=x f 0)(')
(=x f B )(x f )()
(x f C ),(b a )('x f 0)('=x f )(x f 2)3('=f h f h f h 2)
3()3(lim
--→2323
-
1-
(6) 设函数由参数方程确定，则
(A) 1 (B) 2 (C) 2t (D)
(7) 设函数
,则方程实 根的个数为
(A) 个 (B) 个 (C) 个 (D) 个
(8) 已知椭圆绕轴和轴旋转的体积分别为
，则有
(A) (B) (C) (D)
(9) 点是函数
的间断点 (A) 振荡间断点 (B) 可去间断点 (C) 跳跃间断点 (D) 无穷间断点
(10) 曲线
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线
三、（6分）求极限
四、（6分）已知存在，且，求
五、（6分）
，求 六、（6分）已知星形线
围成的图形为, 求的面积
七、（6分）证明：方程只有一个正根。
)(x y y =⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==424
2t y t x )(''x y ________2
t 2
()(32)(3)(4)(5)f x x x x x x =-+---0)('=x f ________2345t
y t x sin 3,cos 2==)20(π≤≤t x y y
x V V ,________π2=-y x V V π
4=-y x V V π
8=-y x V V π
10=-y x V V 0x =11
()2x
f x e =
+________2
2
11x
x e e y ---+=
________
x x x x e x sin 1
0)23(lim +-+→)0('f )
3sin (3)(lim 300⎰+=→x dx x x dx d x x f x )0('f ⎰+-+=x
dt
t t t t x y 0
1001000]100)12(cos [sin )()()
1001(x y
t a y t a x 3
3sin ,cos ==A A S 0199
101=-+x x
八、（6分）已知是由参数表示式x=所确定
的函数， 求
九、（4分） 设
证明在处连续且可微，但在处不连续。
)(x y y =⎰⎰=t
u t du
te y udu 0
,arcsin dx dy t 0lim
→⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin
)(2
x x x
x x f )(x f 0=x )('x f 0=x。