运筹学 单纯形法应用问题
运筹学单纯形法
运筹学单纯形法
运筹学单纯形法，又称单纯性法，是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它在运筹学中发挥着重要作用。
它主要应用于决策及资源分配问题，可以帮助决策者更好地把握资源的优化配置，并寻求最优解。
单纯性法是以线性规划问题作为理论基础，它是将该问题转化为一系列形如Ax=b的线性方程组的运筹学方法。
在这个方程组通过调整方程中的系数和右面常数而变换为形如Cx≤d的不等式形式，而这种不等式系统称为单纯性约束条件。
单纯性法从不等式中寻找一系列基向量，并通过改变基向量来实现改变不等式的求解方程之间的关系，从而求出最优解的问题。
传统的单纯性法分为有界单纯性和无界单纯性两种情形。
无界单纯性以简单费用曲线方法、扩展的简单费用曲线方法和增广次数法三大类。
有界单纯性主要是对对角单纯性和非对角单纯性这两类单纯性系统分别使用不同的方法进行求解。
单纯性求解方法在线性规划问题求解中具有重要应用，它能通过求解线性规划问题中的一系列互不相关的子问题来求出最优解。
使用该方法，可以以最少的成本达到最优的收益，它包括费用最低优化、网络流优化、全格研究和数学优化模型等。
运筹学 线性规划问题的单纯形法
线性规划的单纯形法
由上表可知：
S=100*X1+80*X2
约束条件：
2*X1+4*X2<=80
3*X1+1*X2<=60
X1,X2>=0
由此可以引入松弛变量：
2*X1+4*X2+k1<=80
3*X1+1*X2+k2<=60
S=100*X1+80*X2+(0)*k1+(0)*k2〃k1和k2为闲置时间不产生利润
可建表
注：Zj为Cj列的每行数分别与XI，X2，k1，k2列相乘然后加的结果（例如：0=0*2+0*3）由表可知X1所在列为最有列，所以K2退出基变组（列表下，红字部分表示交换格）
而由表可知要消去图中绿字所在行必须是图中绿字所在行-2*红字所在行。
消去后的表的情
注：此时由上表可知X2所在列是最有解，切Cj-Zj依旧为正。
所以，此时K1出基（将k1行中各数据*3/10）得到如下表：
注：由表可知此时Cj-Zj为零，如果接续下去此值将会为负所以此时由最大利润为2560即：当摩托车生产16辆，自行车生产12辆是有最大利润。
本题只是为了让和我有一样迷惑的人有一个解题案例，如若真正搞懂线性规划问题的单纯形法还得去以参考书为准。
运筹学原理单纯形法练习题
四、把下列线性规划问题化成标准形式：2、minZ=2x1-x2+2x3五、按各题要求。
建立线性规划数学模型1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。
月销售分别为250，280和120件。
问如何安排生产计划，使总利润最大。
2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间 服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—24 8 10 7 12 4每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。
并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。
已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10XlX2 X3 X4 —10 b-1 f g X3 2 C O 1 1／5 Xlade1(1)求表中a ～g 的值 (2)表中给出的解是否为最优解?（1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2） 表中给出的解为最优解 第四章 线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3六、已知线性规划问题应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25七、已知线性规划问题maxZ=2x1+x2+5x3+6x4其对偶问题的最优解为Yl﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。
运筹学 第二章 单纯形法
按最小非负比值规则：
5 0 1 1/ 3 1 1 2 1
x2 x3
5 0 1 1/ 3 0 2/3 0 1/ 3 1
0 15 0 1/ 6 0 4 0 1/ 6 1 1 0 1/ 3 0 8 0
至此，检验行已没有负数， 当前解即为最优解。
0
此时对应的LP问题为：
min S 0 x1 0 x2 x3 x4 0 x5 1
x4 1 x1 2 x2 2 x3 s.t 0 x1 3x2 3x3 x4 x5 5 x 0 (i 1,2,3,4,5) i
i 1, ,5
可行基{ x1 , x 2 , x 3 }
令非基变量 x4 , 最优值：
x 5为0，得到最优解
17 max Z 2
15
7 3 15 X 3 ( , , ,0,0)T 2 2 2
此基本可行解对应可行域的顶点(7 / 2, 3 / 2) 其结果与图解法一致。 总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能保证基 可行解的非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行的初等变换不能把0变成1。
此时，
x4
已经从24降到了0，达到了非基的取值，变
成非基变量。从而得到新的可行基{x1 , x3 , x5 } 。 由此得到一个新的基本可行解： X 1 ( 4,0,15,0,1)T
8
此基本可行解对应可行域的顶点(4,0)
目标函数值： ( X1 ) 2 4 8 Z ( X 0 ) 0. Z
T
X 0 (0,0,15,24,5)
(对应可行域的 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
运筹学单纯形法例题求解过程
运筹学单纯形法例题求解过程（原创版）目录一、运筹学单纯形法的基本概念二、运筹学单纯形法的求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解2.编制初始单纯形表3.判断基本可行解是否为最优解4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解5.重新计算机会费用和检验数三、运筹学单纯形法的应用实例正文一、运筹学单纯形法的基本概念运筹学单纯形法是一种求解线性规划问题的方法，它是基于数学和统计学的理论基础，通过逐步优化算法，寻找线性规划问题中最优解的一种方法。
线性规划问题是指在一定约束条件下，寻求目标函数的最小值或最大值的问题。
而单纯形法是线性规划问题中最常用的求解方法之一，它通过迭代计算，不断优化基变量，从而得到问题的最优解。
二、运筹学单纯形法的求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解在求解线性规划问题时，首先需要确定问题的基变量，即在所有变量中选择若干个变量作为基变量。
基变量的选取可以通过寻找单位矩阵的方法来确定。
确定基变量后，可以求出初始基本可行解，即满足所有约束条件的变量值组合。
2.编制初始单纯形表根据初始基本可行解和线性规划模型提供的信息，可以编制初始单纯形表。
单纯形表是一个包含基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件常数项和检验数等元素的矩阵表。
3.判断基本可行解是否为最优解在求解过程中，需要判断基本可行解是否为最优解。
这可以通过检验数来进行。
检验数是指非基变量与对应约束条件的乘积，如果所有非基变量的检验数都小于等于 0，说明已经达到最优解。
否则，需要继续迭代求解。
4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解如果基本可行解不是最优解，需要通过迭代求解来寻找下一个使目标函数更优的基本可行解。
迭代过程中，需要确定换入变量和换出变量，然后根据换入变量和换出变量生成新的单纯形表，并重新计算机会费用和检验数。
5.重新计算机会费用和检验数在迭代过程中，需要重新计算机会费用和检验数，以便判断新的基本可行解是否更优。
如果新的基本可行解的检验数满足条件，说明已经找到最优解，可以结束迭代求解过程。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
运筹学单纯形法的对偶问题
可以为负，即 y3 没有非负限制。
这样我们把原规划的对偶问题化为
min f 440 y1 100 y2 200 y3
s.t. 2 y1 6 y2 5y3 3,
3y1 4 y2 3y3 4,
6 y1 y2 y3 6,
y1, y2 0, y3 没有非负限制。
对照原线性规划问题，我们可以知道：
解：设x1为产品 的计划产量，x2 为产品Ⅱ的计划产量，则有
目标函数： 约束条件：
Max z=50 x1 + 100 x2
x1 x2 300
2x1 x2 400
x2 250
x1, x2 0
管理运筹学
1
§1 线性规划的对偶问题
现在我们从另一个角度来考虑这个问题。假如有另外一个工厂要求租用该厂的设备A、B、 c，那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
管理运筹学
14
§1 线性规划的对偶问题
首先在写对偶问题之前，我们先把第二个约束条件两边乘以-1得
2x1 3x2 x3 60
然后按照上面的规则，我们可以得到其对偶问题为
max z 180 y1 60 y2 240 y3;
y1 2 y2 5 y3 3
s.t.
2 y1 3y2 3y3 9
管理运筹学
16
§2 对偶规划的基本性质
3．最优性。如果 Xˆ是原问题的可行解，Yˆ 是对偶问题 的可行解，并且cXˆ bTYˆ，则 Xˆ 和 Yˆ分别为原问题和 对偶问题的最优解。
4．强对偶性。即若原问题及其对偶问题都有可行解，
则两者都有最优解，且它们的最优解的目标函数都 相等。
5．互补松弛性。在线性规划问题的最优解中，如果
决策变量都来源于原问题的第三个约束条件，记为
单纯形法求解线性规划问题例题
单纯形法求解线性规划问题例题线性规划问题（LinearProgrammingProblem,LPP）是指由一系列约束条件和优化目标函数组成的数学最优化模型，它可以用于解决各种单位时间内最高效率的分配问题。
在求解LPP的过程中，单纯形法（Simplex Method）是最主要的优化算法之一。
单纯形法的原理是采用一组基本变量的拿破仑表示法，一步步构造出线性规划问题的最优解。
下面我们来看一个例子：有公司向农户出售两种农药，甲和乙，每瓶甲农药售价3元，每瓶乙农药售价2元，公司每天有200瓶甲农药和150瓶乙农药，问该公司售出多少瓶甲农药和乙农药，能每天获得最大收益？该问题可表示为下述线性规划模型：最大化 $3x_1+2x_2$约束条件：$x_1+x_2le 200$$2x_1+x_2le 150$$x_1,x_2ge 0$由上述模型可知，有两个未知量$x_1$和$x_2$，它们分别代表出售的甲农药和乙农药的瓶数。
单纯形法的基本思想是采用一组基本变量表示未知量，将未知量$x_1$和$x_2$表示为由两个基本变量$y_1$和$y_2$组成的拉格朗日变换系数矩阵形式，即：$x_1+x_2=y_1+y_2$$2x_1+x_2=m(y_1+y_2)$其中，m是一个系数，根据上面的约束条件，m取200/150=4/3，则：$x_1=y_1+frac{1}{3}y_2$$x_2=y_2-frac{1}{3}y_2$由此可以得到该问题的新的线性规划模型：最大化 $3y_1+2(frac{4}{3})y_2$约束条件：$y_1+y_2le 200$$y_2le 150$$y_1,y_2ge 0$可以看出，该问题所构建出来的新的线性规划模型比原来的模型更加容易求解。
我们将建立单纯形表，以便求出最优解。
首先列出单纯形表：$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}hline& y_1 & y_2 & S_1 & S_2 & f & b hline1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 200 hline2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4/3 & 150 hlineend{array}$其中，$y_1$和$y_2$是基本变量，$S_1$和$S_2$是可行解系数，$f$是目标函数系数，$b$是右端项。
运筹学 线性规划 单纯形法
1．xk替换xl 2．列出新的单纯形表
① 对主元素行（第l行）
bl bl / alk , alj alj / alk
②其它行i（i≠l）
bi bi aik bl / alk , aij aij aik alj / alk
唯一最优解
例1：某糖果厂用原材料A、B、C加工成三种不同牌号的糖 果甲、乙、丙。已知各种牌号的糖果中A、B、C含量，原 料成本，各种原料每月限制用量，三种牌号糖果的单位加 工费及售价如下表所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果 多少kg，使该厂获利最大。试建立该问题的LP的数学模型。
解：若用变量 xij 表示捷运公司在第 i(i 1,2,3,4)个月初签定的租借期为
j( j 1,2,3,4)个月的仓库面积的合同（单位为100 m）2 。因5月份起该公司不需 要租借仓库，x24 x33 x34 x42 x43 x44 均为零。该公司希望总的租借费用为最
小，故有如下的数学模型：
10 x1 2 1 0 1 1 1 1
8 x2 2 0 1 2 1 2 1
cjzj 0 0 1 2 6 M+2
答：最优解为 x1=2, x2=2, x3=0, OBJ=36
3.大M法的一些说明
（1）人工变量被迭代出去后一般就不会再成为基变量
（2）大M法实质上与原单纯形法一样，M 可看成一
个很大的常数 （3）当检验数都满足最优条件，但基变量中仍有人工
添加松弛变量、人工变 量 列出初始单纯形表
3.对目标函数求极大值标准型线性规 划问题，单纯形法计算步骤的框图
计算各列检验数бj
所有бj0
基变量中
是
有非零的 人工变量
否
某非基变
管理运筹学,用单纯形法求解以下线性规划问题
管理运筹学,用单纯形法求解以下线性规划问题管理运筹学是处理决策问题的重要科学，不仅根据不同目标和条件制定策略，而且可以更有效地识别和解决问题。
有些决策问题往往是非线性复杂性，涉及多个因素和变量之间的复杂关系，因此，以线性规划模型的形式来处理这些问题被认为是最有效的方法之一。
但是，线性规划模型的求解可能会非常困难，尤其是规模较大的问题。
而单纯形法作为其中一种有效的求解方法，其有效性和灵活性，使其在管理运筹学的研究中具有重要的意义。
单纯形法是指将原始线性规划问题转换为单纯形问题，然后利用相应的单纯形算法求解该问题，以求解线性规划问题。
单纯形法最早由威廉伯恩斯特（William B.Von Neumann）提出，它是利用单纯形理论把原始线性规划问题转化为单纯形问题，然后求解单纯形问题，得到原始线性规划问题的最优解。
单纯形算法的基本步骤包括：首先，根据原始线性规划问题的约束条件，构造单纯形方程组；其次，可以以此单纯形方程组为基础，进行单纯形法的迭代；最后，根据迭代的结果来求解原始的线性规划问题。
单纯形法在管理运筹学中的应用非常广泛，它不仅可以用来求解比较复杂的线性规划问题，而且可以用来解决某些约束条件下的非线性规划问题，从而解决管理运筹学中的相关问题。
另外，单纯形法还可以在企业资源规划（ERP）等管理运筹学领域的应用中发挥重要作用。
在实际应用中，单纯形法有其优缺点。
优点主要有以下几点：首先，它是一种有效的求解线性规划问题的方法，可以用来解决比较复杂的问题；其次，求解步骤简单，可以在较短的时间里求得最优解；最后，它适用性强，也可以用来解决某些约束条件下的非线性规划问题。
然而，单纯形法也有一些缺点，比如具有结构性特征，可能不能求解一些复杂的问题；另外，在求解比较大的问题时，运算负荷较大，效率较低。
总之，单纯形法是一种求解线性规划问题的有效方法，在管理运筹学中，它具有重要的意义和应用价值，它可以有效地解决复杂的线性规划问题，也能够解决某些特定条件下的非线性规划问题。
运筹学单纯形法例题求解过程
运筹学单纯形法求解过程运筹学单纯形法是一种常用的线性规划问题求解方法，它通过迭代计算求解问题的最优解。
在本文中，我们将以一个例题来介绍单纯形法的求解过程。
问题描述假设有一个生产企业需要在两个工厂A和B中生产产品X和Y，企业的目标是以最小的成本满足产品的需求。
已知每个工厂每天的产量以及生产不同产品的成本如下表所示：工厂产量限制X产品成本Y产品成本A 6 5 4B 4 2 3同时，产品的需求量为：•X产品需求量为5•Y产品需求量为4现在，我们的目标是最小化生产成本。
构建线性规划模型首先，我们需要将问题转化为线性规划模型。
根据题目要求，我们可以定义以下变量：•x1：工厂A生产的X产品数量•x2：工厂A生产的Y产品数量•x3：工厂B生产的X产品数量•x4：工厂B生产的Y产品数量则我们的目标是最小化成本，即最小化目标函数：Z=5x1+4x2+2x3+3x4需要满足以下约束条件：•工厂A产量限制：x1+x2≤6•工厂B产量限制：x3+x4≤4•产品X需求量：x1+x3≥5•产品Y需求量：x2+x4≥4同时，对变量的取值有非负约束条件：x1,x2,x3,x4≥0单纯形表格接下来，我们将构建单纯形表格来进行求解。
首先，我们将目标函数和约束条件转化为等式形式，引入人工变量以使得所有约束条件均为“≤”形式。
转化后的模型如下：目标函数：Z=5x1+4x2+2x3+3x4+Mx5+Mx6约束条件：x1+x2+x5=6x3+x4+x6=4x1+x3−x7=5x2+x4−x8= 4其中，M为充分大的正数。
根据以上模型，构建初始单纯形表格如下：基变量x1x2x3x4x5x6x7x8基变量列解x5 1 1 0 0 1 0 0 0 x5 6x60 0 1 1 0 1 0 0 x6 4x7 1 0 1 0 0 0 -1 0 x7 5x80 1 0 1 0 0 0 -1 x8 4Z-5 -4 -2 -3 0 0 0 0 目标函数行0单纯形法的迭代过程根据初始单纯形表格，我们可以使用单纯形法进行迭代计算。
用单纯形法求解线性规划问题
目录一．摘要 (2)二．实验目的 (2)三．实验内容 (2)四．建立数学模型 (3)五．实验原理 (5)六．MALTAB程序代码及注释 (7)七．结果运行测试 (13)八．心得与感悟 (15)一．摘要：线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法,英文缩写LP。
自1946年G.B.Dantizig提出单纯形法以来，它一直是求解线性规划问题的最有效的数学方法之一。
单纯形法的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n 维向量空间Rn中的多面凸集,其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
通过引入普通单纯形法，依次迭代并判断，逐步逼近，最后得到最优解。
若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。
因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
如果问题无最优解也可用此法判别。
关键字：线性规划，单纯形法，最优值，最优解二．实验目的：1.加强学生分析问题能力，锻炼数学建模能力。
2.了解并掌握MATLAB软件中的线性规划问题的编程、求解和分析。
3.利用所学的MALTAB语言，完成对单纯形法问题的编程设计。
三．实验内容：某商场决定，营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息，据统计，商场每天需要营业员如下：星期一：300，二：300；三：350，四：400，五：480，六：600；日：500；（1）商场人力资源部应如何安排每天上班的人数才能使商场总的营业员最少（2）若商场可以雇佣临时工，上班时间同正式工，若正式工每天工资80，临时工每天100，问商场是否应雇佣临时工及雇佣多少名？四．建立数学模型：从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤：1.根据影响所要达到目的的因素找到决策变量；2.由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；3.由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
单纯形法基本原理及实例演示
③计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ′，若所有j≤0，则问题已得
到最优解，停止计算，否则转入下步。
④在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk≤0，则此问
题是无界解，停止计算，否则转入下步。
⑤根据max{j｜j＞0}=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按 规则计算：=min{bi/aik| aik＞0}=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建 立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。
⑥以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即 aik变为1，同列中其它元素为0，转第③ 步。
线性规划的例子
max z 4x1 3x2 2x1 2x2 1600 5x1 2.5x2 2500 x1 400 x1, x2 0
线性规划--标准化
● 引入变量：s1,s2,s3
检验系数区
Z=CBB-1b
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
x2
s1
s2
s3
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 Zj=CBNj j cj zj
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
X2
s1
s2 S3
量
50 100 0 0 0
比值
b bi ai 2
1 1 1 0 0 300
C向量
max z 50 100 0 0
CB
CN
x1
x2
0•
1 1 1
1 0 0
0 1 0
用单纯形法解决线性规划问题
盐城师范学院运筹学期末论文题目: 用单纯形法解决线性规划问题**: **二级学院: 数学科学学院专业: 数学与应用数学班级: 111 班学号: ********成绩评定:前言线性规划问题是数学以及日常生活中最基本的问题之一，如何快速有效的解决线性规划问题是数学家也在努力研究的科目之一。
以前中学时我们解决线性规划问题一般采用的是图解法，即画出所给条件的可行域，找出目标函数的最优解。
这种方法的优点是直观性强，计算方便，但缺点是只适用于问题中有两个变量的情况。
下面我们介绍另外一种方法—单纯形法，来解决图解法不能解决的问题。
1 单纯形法1.1 单纯形法的基本思路利用求线性规划问题基本可行解的方法求解较大规模的问题是不可行的。
有选择地取基本可行解，即从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移动到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。
在线性规划的可行域中先找出一个可行解，检验它是否为最优解，如果是最优解，计算停止；如果不是最优解，那么可以判断线性规划无有限最优解，或者根据一定步骤得出使目标函数值接近最优值的另一个基本可行解。
由于基本可行解的个数有限，所以总可以通过有限次迭代，得到线性规划的最优基本可行解或判定线性规划无有限最优解。
1.2 单纯形法的基本步骤第1步求初始基可行解，列出初始单纯形表。
对非标准型的线性规划问题首先要化成标准形式。
由于总可以设法使约束方程的系数矩阵中包含一个单位矩阵（P1,P2，…，Pm），以此作为基求出问题的一个初始基可行解。
为检验一个基可行解是否最优，需要将其目标函数值与相邻基可行解的目标函数值进行比较。
为了书写规范和便于计算，对单纯形法的计算设计了一种专门表格，称为单纯形表（见表1—1）。
迭代计算中每找出一个新的基可行解时，就重画一张单纯形表。
含初始基可行解的单纯形表称初始单纯形表，含最优解的单纯形表称最终单纯形表。
第2步：最优性检验如表中所有检验数c j−z j≤0，且基变量中不含有人工变量时，表中的基可行解即为最优解，计算结束。
运筹学习题2-单纯形法
《运筹学》习题（二）班级 姓名一、 判断题1、 无约束的变量x j ，通常令j j j x x x ''-'=，其中00≥''≥'j j x x ,，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现00>''>'j j x x ,。
2、用单纯形法求解标准形的线性规划问题时，与0>σj 对应的变量都可以被选作换入变量。
3、单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
4、单纯形法计算中，选取最大正检验数k σ对应的变量x k 作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长。
答：二、 单纯形法迭代中，任何从基变量中替换出来的变量，在紧接着的下一次迭代中，会不会再进入基变量中？为什么？答：三、 下表为用单纯形法计算时某一步的表格，已知该线性规划问题中目标函数为2135max x x z +=，约束条件均用“≤”关系连接，3x , 4x 为松弛变量，该表中解代入目标函数可得z =10。
求a ---g 的值；问此表所给的解是否为最优解。
答：四、 用单纯形法求解下述问题： max S=x 1+x 22x 1+x 2≤8 2x 1+5x 2≤20 x 1+x 2≤5 x 1, x 2≥0解：加入松弛变量，用单纯形法解得如下：五、 试利用两阶段法第一阶段的求解，找出下述方程组的一个可行解，并利用计算得到的最终单纯形表说明该方程组有多余方程。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+-=++-=+-074321322 321321321321x x x x x x x x x x x x ,, 解：附《运筹学》习题（二）答案一、1、对（因为j j x x '''与的系数列向量只差一个符号，所以它们线性相关，不可能是某个可行基中的两列，因此在同一个基可行解中不可能出现00>''>'j j x x ,）；2、对；3、对；4、错。
线性规划中的单纯形法求解问题
线性规划中的单纯形法求解问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它的应用范围非常广泛，包括经济、工程、网络、交通等领域。
在实际问题中，我们通常会需要求解一个线性规划问题，而单纯形法是解决线性规划问题的一种常用方法。
1. 线性规划线性规划是一类优化问题，通常在最小化或最大化某个线性函数的同时，满足一组线性约束条件。
一个线性规划问题可以表示为：$$\begin{array}{lll}\textrm{min/max} & c^Tx & \\ \textrm{s.t.} & Ax &\leq b \\ & x &\geq 0\end{array}$$其中，$c$ 是一个 $n$ 维列向量，$A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$b$ 是一个 $m$ 维列向量，$x$ 是一个 $n$ 维列向量，代表问题的决策变量。
我们称 $Ax\leq b$ 是问题的约束条件，称 $x\geq0$ 是问题的非负性条件。
线性规划问题的求解可以分为两种基本方法，分别为单纯形法和内点法。
其中，单纯形法是一种经典的方法，应用广泛，是大多数线性规划软件的基础算法之一。
2. 单纯形法基本思想单纯形法的基本思想是通过对问题中的决策变量进行调整，使得目标函数值不断减小（最小化问题）或增大（最大化问题），并且在满足约束条件的前提下，最终找到最优解。
单纯形法的具体步骤如下：步骤1：初始化。
我们从一组基本解开始，即 $m$ 个基本变量和 $n-m$ 个非基本变量构成的向量 $x$。
在最初的阶段，我们需要选择一组基变量，并计算出它们的取值。
这个基变量集合构成了问题的起始基。
步骤2：检查最优性。
首先，我们需要对当前解进行检验，判断它是否为最优解。
如果是最优解，则停止算法；否则，进行下一步。
步骤3：选择进入变量。
我们需要选择一个非基变量，使得将它加入到基变量集合后，目标函数值有最大的增长量。
如果这个增长量为负数，则问题无界。
单纯形法的简述及应用
单纯形法的简述及应用摘要自1947年G.B.Dantzig提出单纯形法以来，他一直是求线性规划的最有效的计算方法。
但是，单纯形法要求已知一个基本可行解，且线性规划需化典式。
而在一般情况下，线性规划问题并无明显的可行解。
如用两阶段法获得基本可行解，必须增加人工变量，从而增加计算量。
针对这一问题，本文提出了改进单纯形法（一），在不增加人工变量的前提下，采用较简单的方法，求出一基本可行解，并在求解过程中剔除多余约束，判断问题是否有解，同时将线性规划的约束方程化为典式。
此方法减少了比较次数，且简单易行，容易在计算机上实现。
本文针对线性规划问题在变量和约束的个数较多时，传统单纯形法占据较大的内存空间，且有不少多余计算的情况提出改进单纯形法（二），能以较少的计算量及较小的占用存储空间方法从基的逆矩阵计算出新基的逆矩阵。
从而既能使迭代过程持续进行下去，又能克服上述单纯形法的不足，是解决这些问题的一种实用且较有效的方法。
关键词：线性规划、单纯形法、基本可行解、初等变换。
绪论引言运筹学是近六十年发展起来的一门学科。
运筹学在生产管理、工程技术、军事作战、科学实验。
财政经济。
社会科学以及自然科学和其他学科都应经取得了很多令人瞩目的成果。
线性规划是运筹学的一个重要分支，是运筹学中最重要的一种数量方法，其应用范围非常广泛。
主要用于研究解决有限资源的最佳分配问题，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有力的使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。
从数学的角度来说，也就是在对决策变量施加一组线性等式、不等式以及等号的约束下，求决策变量的线性目标函数的最大化和最小化。
与其他的数学学科相比，线性规划是一个相当年轻又非常活跃的应用数学分支。
自从一般线性规划问题求解的方法——单纯形法被提出之后，线性规划在理论上趋向成熟，在使用中日益广发与深入。
线性规划的广泛应用以及涉及到的数学理论和计算方法，都引起了专业人员和学者们的很大兴趣。
运筹学_单纯形法_应用举例
《运筹学》
4
用xj表示第j个计划阶段新购的工具数； yj表示第j阶段末送去慢修的工具数； zj表示第j阶段末送去快修的工具数； sj表示j阶段木工具的存储数。 则每个阶段需用的工具数rj有以下关系式 rj= yj+ zj + sj + sj-1 (j=1,…,n) rj= xj (j=1,…,q+1) rj= xj+ zj-q-1 (j=q+2,…,p+1) rj= xj+ zj-q-1 +yj-p-1 (j=p+2,…,n) 且yn-p= yn-p+1=…= yn=0 zn-q= zn-q+1=…= zn=0
2010年8月
管理工程学院
《运筹学》
18
解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始 休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 +
x7
约束条件：s.t.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
+ + + + + + +
x11+ x12+ x13+
x21 + x22 + x23 +
x31 ≤ 100 x32 ≤ 100 x33 ≤ 60
(供应量限制） (供应量限制） (供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
2010年8月
管理工程学院
《运筹学》
12
例.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定 量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、 3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合， 可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于 表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油 的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？
运筹学单纯形法讲解
运筹学单纯形法讲解一、单纯形法基本概念在运筹学中，单纯形法是一种在给定点搜索可行解集合的一种技术。
设有m个点x、 y、 z分布在两点P、 Q，它们是相互独立的，这样的点组成了单纯形。
单纯形是可以用于求解最优化问题的一种简单的对象，因而又称为对象或对象群。
由单纯形求出的最优解就叫做单纯形的最优解。
在实际应用中，一般用来求最优解的都是单纯形。
二、单纯形法适用条件和范围在运筹学中，单纯形法常用于求解线性规划、非线性规划和整数规划等，还可以求解网络的流量、质量等。
但当运输问题用单纯形法求解时，解不存在，无最优解，也无单纯形。
非线性规划只能得到对象最优解。
三、单纯形法具体步骤和算法介绍1、明确问题的目标。
2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。
3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。
四、单纯形法的误差和精度1、明确问题的目标。
一般在最优化问题中，用最小值对准目标是最理想的，但是在实际工程应用中，人们往往要求越多越好，甚至有时只要求几个较小的值。
但要注意所得结果的可靠性和正确性，也要尽可能减少计算过程中的误差。
2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。
首先，找出最优解，再在这个最优解附近寻找另外的比最优解更好的最优解，直到所有点都达到满意的精度。
这种方法称为“穷举法”。
穷举法通常用于没有更好的方法时，常用于工程实际中。
3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。
4、单纯形法的误差：由于人们认识上的错误或操作不当造成的，如排除法的计算次数与数据采集次数之比，以及采样值的平均数与真值之比，与取值的个数有关，与取值的精度也有关，必须合理确定取值范围。
5、单纯形法的精度：根据问题的规模，计算数据量和计算次数，反复调整取值点，改进计算方法，从而得到尽可能高的精度。
单纯形法的精度可达0．01或0．05。
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0 -2 0 1/4
1 0 B1b 4 1
0 0
-
1 2
8
2
2
16
8
1 4
12
3
注意：B 的列顺序 和 XB 的下标顺序 相同。
1 0 B1P2 4 1
0 0
-
1 2
2
0
2
出售,单价=16
=0.75，工 时=1.5
B=2M
出售B,单价=7
第三车间加工费用=4，
工资=0.5，工时=1
出售,单价=12
设 x1 =A出售的数量；x2=A在第2车间加工后的出售数量；x3=B的出售数 量 ；x4=B在第3车间加工后的出售数量；x5=第1车间所用原料数量
Max Z=8 X1+8.5 X2+7 X3+7.5 X4-2.75 X5
3 x2 3 0 1 0 0 1/4
-z -13 0 0 -2 0 1/4
1 0 2
第三张表：B 4 1
0
，
0 0 4
1 0
-
1 2
B-1 4 1
2
0 0
1 4
0.3
(5)
01
3 6.6
0.8
设按方案1、2、3、4、5各截取x1,x2,x3，x4 ，x5根原料，则
Min Z 0x1 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5
x1 2x2 x4 ( ?)100
2x3 2x4 x5 ( ?)100
3x1 x2 2x3
4
3
令
y
min(
7
x1
6x2
8x3
,
5x1
9x2
4
x3 )
4
3
7x1 6x2 8x3 y 4
5x1 9x2 4x3 y 3
目标函数
max z y
9.城市间汽车运输问题
某汽车运输公司经营A、B、C三个城市之间的货物运 输业务，任两个城市间都有公路连通，货运量及每年 利润如下表。公司有汽车250辆，每周每辆车最多在两 个城市间单程运行4次，由于技术原因，全部汽车每周 末必须停留在A城。汽车回空没有利润，也不记成本， 建立最大利润的线性规划模型。
利润=收入-成本
原料用量约束（A ）
原料用量约束（B ） 原料用量约束（C ）
x1
x4
x7
2000
原料成本（元/千克)
2.00
x2 x5 x8 2500
1.50
x3 x6 x9 1200
1.00
Z=(3.4-0.5)(x1+x2+x3)+(2.85-0.40)(x4+x5+x6)+(2.25-0.30)(x7+x8+x9)
- [x1 x4 x7 *2.00 x2 x5 x8 * 1.50 x3 x6 x9 * 1]
4. 连续加工问题
某工厂在第1车间用1单位原料M加工成3单位产品A及2单 位产品B. A可以按单位售价8元出售，也可以在第2车间继续 加工，单位生产费用要增加6元，加工后单位售价为16元。 B可以按单位售价7元出售，也可以在第3车间继续加工，单 位生产费用要增加4元，加工后单位售价为12元。原料的单 位购入价为2元，上述生产费用均不包括工资在内。
2. 现要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m和1.5m的元钢各一 根。已知原料长7.4m，问如何下料，使用的原材料最省？
可能的方案: 2.9m 2.1m 1.5m 用料长m 余料(m)
（1） 1
0
3 7.4
0
（2） 2 0
1 7.3
0.1
（3） 0 2
2 7.2
0.2
（4） 1 2
0 7.1
线性规划的应用
1. 生产2#岩石铵梯炸药和3#露天铵梯炸药，配比如下：
品种 配比（%） 原料
硝酸铵 梯恩梯 木粉 售价（元 / 吨）
2#岩石铵梯炸药
85
3#露天铵梯炸药
88
原料可用量(吨)
400
11 4
3
9
44 36
1200 800
该厂应如何规划下个月的生产，才能使产值最高。
品种 配比（%） 原料 2#岩石铵梯炸药
在哪里设厂，生产能力多大，使总费用（生产费、原料费 和运输费）最少?
地点 年原料产量(万t) 年成品销量(万t) 每万t成品加工费(千元)
A 30
7
5.5
B 26
13
4
C 24
0
3
7 .生产问题
某公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工
和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件既可以外包协作，也可
3#露天铵梯炸药 原料可用量(吨)
硝酸铵 梯恩梯 木粉 售价（元 / 吨）
85
11 4
1200
883Biblioteka 9800400
44 36
设下月生产两种产品分别为x1,x2吨，所获产值为Z,
max Z 1200x1 800x2
0.85x1 0.88x2 400 0.11x1 0.03x2 44 0.04x1 0.09x2 36 x1 ,x2 ,x3 0
3个车间每月最多有20万工时，每小时工资为0.5元。每 加工1单位M需1.5工时，如A继续加工，每单位需3工时， 如B继续加工，每单位需1工时。每月最多能够得到原料 M10万单位，问如何安排生产，使工厂获利最大？
出售A,单价=8
A=3M
第一车间加
第二车间加工费用=6，
M
工，购入费 用=2，工资
工资=1.5，工时=3
原料供应限制 X5 ≤ 100000 工时限制 3X2+X4+1.5X5 ≤200000 A产品数量的限制 X1+X2-3X5=0 B产品数量的限制 X3+X4-2X5=0
5.连续投资问题
某部门有现金10万元，在今后五年内考虑给下面项目投资，已知：
项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115% 项目B，第三年初需要投资，到第五年末回收本利125%，但最大投资额不 超过4万元 项目C，第二年初需要投资，到第五年末回收本利140%，但最大投资额不 超过3万元 项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%
0
0
1 4
4
1
CBB-1 称为单
纯形乘子向量。
1
3 c3 CBB1P3 0 [2 0 3] 4 2
0
cj
2
3
00
0
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 1 0 1 0 -1/2 0 x4 8 0 0 -4 1 [2]
X5：由外协铸造再由本公司机加工和装配的乙产品数； c5=18-（6+1+2）
8.非线性规划问题
某工厂有3个车间生产同一种产品。每件产品由4个零件1和 3个零件2组成。这两种零件需耗用两种原材料。已知这两种原 材料的供应量分别为300公斤和500公斤。由于3个车间拥有的 设备及工艺条件不同，每个工班原材料用量和零件产量也不同， 具体情况如下表。建立产量最多的线性规划模型。
以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有关的数据
如表。问公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多
少件？
甲乙丙
工时限制
单件铸造工时/h
5
10 7
单件机加工工时/h
6
4
8
单件装配工时/（元/件） 3
2
2
自产铸件成本/（元/件） 4
5
4
外协铸件成本/（元/件） 5
6
-
机加工成本/（元/件） 2
每月应生产这三种型号的糖果各多少千克，使该厂获利最大？
设每月生产三种糖果分别为x1,x2,x3 千克，所获利润为
Z 3.40 0.50x1 2.85 0.40x2 2.25 0.30x3
2.90x1 2.45x2 1.95x3
利润=收入-成本
产品 原料
货运量
ABC
A
150 250
B 100
200
C 500 100
利润
ABC
A
150 200
B 50
300
C 100 150
第二章 对偶理论和灵敏度分析
§1 单纯形法的矩阵描述
本节重点： 单纯形表各部分的数量关系
方程组中，非基变量为 0，基变量系数矩阵为 单位矩阵，故
XB=B-1b
z CB B1b
j c j CB B1Pj c j CB P'j
P'j B1Pj
可知，XS 的系数总对应B1 ；已知B1 ，就能求出 整个表。
单纯形表的矩阵形式
基变量
非基变量
XB
XN
XS
I
B-1 N
B-1
B-1b
0
CN-CBB-1N -CBB-1 -CBB-1b
如例1 的初始表和第三张表
X2C ≤ 30000
Max Z=1.15X4A+ 1.40X2C +1.25 X3B +1.06 X5D
6.工厂选址问题
有A、B、C三个原料产地，其原料要在工厂加工，制成成 品，再在销售地出售。A、B两地又是销售地。已知有关数据 如下表。4t原料制成1t成品。AB间距离150km，BC间距离 200km，CA间距离100km。原料运费为300元/万tkm，成品运 费为250元/万tkm。如在B地设厂，每年生产成品不能超过5万 t,在A、C设厂，生产规模不受限制。