浙江导数大题专练
高考数学专题：导数大题专练附答案
高考数学专题：导数大题专练附答案一、解答题1．对于正实数a ，b （a b >），我们熟知基本不等式：()()G a b A a b <,,，其中()G a b ,a ，b 的几何平均数，()2a bA a b +=,为a ，b 的算术平均数.现定义a ，b 的对数平均数：(),ln ln a bL a b a b-=-.(1)设1x >，求证：12ln x x x<-，并证明()()G a b L a b <,,；(2)若不等式()()(),,,G a b A a b m L a b +>⋅对任意正实数a ，b （a b >）恒成立，求正实数m 的取值范围.2．直线:l y kx t =+交抛物线24x y =于A ，B 两点，过A ，B 作抛物线的两条切线，相交于点C ，点C 在直线3y =-上． (1)求证：直线l 恒过定点T ，并求出点T 坐标；(2)以T 为圆心的圆交抛物线于PQMN 四点，求四边形PQMN 面积的取值范围．3．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 4．已知函数()ln .f x x x ax a =-+(1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <5．函数()3e xf x ax =-，0a >.(1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)已知函数()g x 的定义域为[)0,∞+，且[)0,x ∞∀∈+满足()()()g x xg x xg x '+>.若[)00,x ∃∈+∞，满足不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，且0x 是函数()f x 的极值点，求a 的取值范围.6．已知：()e xf x mx =+.(1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围7．已知函数()ln xf x x=， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线；(2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围．8．设函数ln e ()xx f x a x=-，其中a ∈R 且0a ≠，e 是自然对数的底数. (1)设()'f x 是函数()f x 的导函数，若()'f x 在(2,3)上存在零点，求a 的取值范围； (2)若34e a ≥，证明：()0f x <. 9．已知函数()()()2e 1,e 2.718xf x m x m R =-+∈≈.(1)选择下列两个条件之一：①12m =；②1m =，判断()f x 在区间()0,∞+上是否存在极小值点，并说明理由；(2)已知0m >，设函数()()()1ln g x f x mx mx =-+.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，求实数m 的取值范围. 10．设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)证明见解析 (2)02m <≤ 【解析】 【分析】（1）令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用导数证明当1x >时，()0f x <，即可得到12ln x x x<-. 用分析法证明()()G a b L a b <,,.（2）把题意转化为1112ln a a b m a b b-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>，即为1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立.令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+，分2m >和02m <≤两种情况求出正实数m 的取值范围. (1)令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，定义域为()0,+∞.则()()222221111212222x x x f x x x x x ---'=--==-. 所以当1x >时，()0f x '<，()f x 在()1,+∞上单调递减. 又()10f =，所以当1x >时，()0f x <.所以当1x >时，11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即12ln x x x<-.（*）要证()()G a b L a b <,,ln ln a ba b--，只需证ln a b <令)1t t =>，则由（*），得12ln t t t <-.所以()()G a b L a b <,,.(2)由()()(),,,G a b A a b m L a b +<⋅恒成立，得ln ln 2a b a b m a b -+⋅-恒成立，即1112ln aa b m a b b-⎛⎫⋅<+ ⎪⎝⎭恒成立.令)1t t =>，由()221112ln 2t m t t t -⋅<++恒成立，得()1112ln 2t m t t -⋅<+恒成立. 所以1ln 01t m t t -⋅-<+恒成立. 令()()1ln 11t g t m t t t -=⋅->+，则 ()()()()()()222222121121111mt t t m t g t m t t t t t t-+-+--'=⋅-==++⋅+⋅. （注：()10g =） i.当0∆>，即2m >时，易知方程()22110t m t -+--=有一根1t 大于1，一根2t 小于1，所以()g t 在()11,t 上单调递增.所以()()110g t g >=，不符合题意.ii.当02m <≤时，有()()()222214110mt t t t t -+≤-+=--<， 所以()0g t '<，从而()g t 在()1,+∞上单调递减. 故当1t >时，恒有()()10g t g <=，符合题意. 综上可知，正实数m 的取值范围为02m <≤. 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 2．(1)证明见解析，()0,3T ；(2)⎛⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),3C m -，利用点斜式写出直线AC ，BC 的方程，由C 在两直线上，即可知直线AB 的方程，进而确定定点.（2）联立抛物线24x y =和圆T ：()2223x y r +-=，由题设及一元二次方程根的个数求参数r 的范围，由122PQMN QM PNS y y +=⋅-结合韦达定理得到PQMN S 关于r 的表达式，构造函数并利用导数研究区间单调性，进而求范围. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，(),3C m -，则12AC x k =，22BC xk =，直线AC 为：()1111122x x x y y x x y y -=-⇒=-，同理直线BC 为：222x xy y =-，把(),3C m -代入直线AC ，BC 得：11223232x m y x m y⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，∴()11,A x y ，()22,B x y 都满足直线方程32xm y -=-，则32xmy =+为直线AB 的方程，故直线l 恒过定点()0,3T ． (2)如图，设圆T 的半径为r ，()11,M x y ，()22,N x y ，()11,Q x y -，()22,P x y -， 把24x y =代入圆T ：()2223x y r +-=，整理得22290y y r -+-=，由题意知：关于y 的一元二次方程有两个不等实根，则()21221244902090r y y y y r ⎧∆=-->⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩，可得223r <．(1212121212122222PQMN QM PNS y y y y y y y y y y y y +=⋅-=-=++-()()()2222222944942198r r r r =+---=+--29r t -=，由223r <得：01t <<，则()()2211PQMN S t t =+-令()()()211f t t t =+-且01t <<，则()()()311f t t t '=--+，故在1(0,)3上()0f t '>，()f t 递增；在1(,1)3上()0f t '<，()f t 递减； 所以132()()327f t f ≤=，又(0)1f =，(1)0f =，故f t 的取值范围是320,27⎛⎤ ⎥⎝⎦，综上，PQMN S 的取值范围是323⎛ ⎝⎦．【点睛】关键点点睛：第二问，由圆T ：()2223x y r +-=，联立抛物线方程，结合四边形面积公式得到关于参数r 的表达式，再应用函数思想并利用导数求面积的范围. 3．(1)(2e 1y x =-+(2)（ⅰ）(2e 2e ,4e -；（ⅱ）证明见解析【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>， 所以函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-，因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011xxx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα->所以21x x ->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x21x x -<；再利用()21e 011x x x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ix ax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->4．(1)(,1].-∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)1x ≥，()0ln 0a f x x a x ≥⇔-+≥，设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，求导得221()a x ag x x x x-'=-=，分1a ≤与1a >两类讨论，即可求得a 的取值范围；(2)当1a =时，方程()f xb =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，而12()()f x f x =，只需证明111()()f x f x <，再构造函数，设1()()()(01)F x f x f x x=-<<，通过求导分析即可证得结论成立． (1)1x ≥，()0f x ∴≥，即ln 0ax a x-+≥， 设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，221()a x ag x x x x -'=-=，当1a ≤时，()0g x '≥， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，满足条件；当1a >时，令()0g x '=，得x a =，当1x a <≤时，()0g x '<；当x a >时，()0g x '>，()g x ∴在区间[1,]a 上单调递减，在区间[,)a +∞上单调递增，min ()()ln 1g x g a a a ∴==-+，()(1)0g a g ∴<=，与已知矛盾．综上所述，a 的取值范围是(,1].-∞ (2)证明：当1a =时，()ln f x x '=，则()f x 在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，由方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<， ()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，只需证121()()f x f x < 又()()12f x f x =，∴只需证明111()()f x f x <，设1()()()(01)F x f x f x x =-<<，则22211()ln ln ln 0x F x x x x x x-'=-=>，()F x ∴在区间(0,1)上单调递增，()(1)0F x F ∴<=，1()()0f x f x∴-<，即111()()f x f x <成立， ∴原不等式成立，即121x x ⋅<成立．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 5．(1)答案见解析(2)2e e ,123⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，由()0f x '=知0x ≠，分离参数得2e 3xa x =，引入函数2e ()3x G x x=，由()G x 的导数确定单调性与极值，可作出函数的大致图象，结合图象分类讨论得出零点个数，根据极值定义得极值点个数； （2）令()()e xxg x h x =，求导后得()h x 是增函数，不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，整理得()()()222eexxx g x xg x ---≤，即()()2h x h x -≤，由单调性得x 的范围，从而得出0x 的范围，结合极值点的要求得0[1,2)x ∈，然后由（1）的函数()G x 的性质得a 的范围． (1)()3e x f x ax =-，则()23e x f x ax '=-，函数的极值点为导函数的变号零点，显然0x =不是()0f x '=的解，当0x ≠时，令()2e 3xG x x=，则()2431e 2e e 233x x x x x x G x x x⋅-⋅-'=⋅=⋅， 故()G x 的单调性如表格所示：x(),0∞-()0,22()2,+∞()G x '0>0<0=0>()G x单调递增 单调递减 极小值 单调递增则极小值为()2e 212G =，可得函数()G x 的大致图象如图，故当2e 0,12a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，2e 3xa x =有两个解12,x x (120x x <<)，在1x 两侧()'f x 的符号相等，在2x 两侧，()'f x 不变号，()f x 有1个极值点；当2e ,12a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，2e 3xa x =有三个解123,,x x x ，在这三个解两侧()'f x 均变号，()f x 有3个极值点. (2) 令()()e x xg xh x =，则()()()()1e xx g x xg x h x '-+'=， 因为[)0,x ∞∀∈+满足()()()g x xg x xg x '+>，故()()()10x g x xg x '-+>， 则()0h x '>，故函数()h x 是一个在定义域上单调递增的函数；又[)00,x ∃∈+∞，满足不等式()()()22e 22e x x g x xg x --≤，整理得()()()222e e x xx g x xg x ---≤，即()()2h x h x -≤，结合定义域有0,20,2,x x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩故0x 的取值范围是[]1,2，又0x 是函数()f x 的极值点，即函数()f x 的变号零点，∴02x ≠，由（1）知，函数()G x 在区间[)1,2上单调递减，故2e e ,123a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查用导数确定函数的极值点，研究不等式恒成立问题，解题关系是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的根的个数，再转化为函数图象交点个数．不等式问题通过引入函数，利用函数单调性化简得出参数范围，本题属于困难题，对学生的逻辑思维能力，运算求解能力要求较高．6．(1)21y x =+(2)ln 3m ⎡∈-⎣【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义直接可得切线方程；（2）()2213222m f x x ≥+-恒成立，可转化为()22130222x m g x e mx x =+--+≥恒成立，利用导数判断函数()g x 的单调性与最值情况.(1)当1m =时，()e x f x x =+，则()e 1x f x '=+，设切点为()()00,x f x ，故()00e 12x k f x '==+=， 解得00x =，故()0000e e 01x f x x =+=+=， 即切点坐标为()0,1，所以切线方程()120y x -=-，即21y x =+；(2)当0x ≥时，()2213222m f x x ≥+-成立， 即2213e 0222xm mx x +--+≥恒成立， 设()2213e 222xm g x mx x =+--+， ()e x g x x m '=-+，()e 1x g x ''=-，因为0x ≥，故()e 10x g x ''=-≥恒成立，则()e x g x x m '=-+在()0,∞+上单调递增，所以()()01g x g m ''≥=+，当1m ≥-时，()()010g x g m ''≥=+≥恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，即()()2235012222m m g x g ≥=-+=-，所以25022m -≥，解得m ≤≤故1m -≤≤当1m <-时，()010g m '=+<，()e 2m g m m -'-=+，设()e 2m h m m -=+，1m <-，()e 20m h m -'=-+<恒成立，则()h m 在(),1-∞-上单调递减，所以()()120h m h e >-=->，即()e 20m g m m -'-=+>，所以存在()00,x m ∈-，使()00g x '=，即000x e x m -+=， 所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()()02200013e 222x m g x g x mx x ≥=+--+()()00000222000011313e e e e e 022222x x x x x x x x x =+----+=-++≥， 解得0ln 3x ≤，即00ln 3x ≤≤，设()e xx m x ϕ==-，0ln3x ≤≤， ()1e 0x x ϕ'=-≤恒成立，故()x ϕ在()0,3上单调递减，故()()3ln33x ϕϕ≥=-，即ln33m ≥-，所以ln331m -≤<-，综上所述，ln 3m ⎡∈-⎣.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．7．(1)证明见解析 (2)e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】【分析】（1）求出()f x 的导数，设出切点，可得切线的斜率，根据斜率相等，进而构造函数()=ln 1h x x x +-，求出导数和单调区间，即可证明；（2）由2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()max ln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，再 利用导数法求出()()n 1l x x x x ϕ-=在2e,e ⎡⎤⎣⎦的最大值即可求解.(1) 由题意可知，()f x 的定义域为()()0,11,+∞，由()ln x f x x=，得()()2ln 1ln x f x x -'=， 直线y g x 过定点()1,0，若直线y g x 与曲线()y f x =相切于点()00000,01ln x x x x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且，则 ()0002000ln 1ln 1ln x x x k x x --==-，即00ln 10x x +-=① 设()()=ln 1,0h x x x x +-∈+∞，则()1=10h x x '+>，所以()h x 在()0+∞上单调递增，又()1ln1110h =+-=，从而当且仅当01x =时，①成立，这与01x ≠矛盾.所以，R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线.(2)由()()f x g x ≤，得()1ln x x k x ≤-， 22e e ,0e 11e 1x x ∴≤≤∴<-≤-≤-，()l 1n xk x x -∴≥若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立转化为()maxln 1x k x x ⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦即可. 令()()n 1l x x x x ϕ-=，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()()2ln 1ln 1x x x x x ϕ---+'=⎡⎤⎣⎦， 令()ln 1t x x x =--+，2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()110t x x'=--<， 所以()t x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；所以()()e lne e 1e<0t x t ≤=--+=-，故()0ϕ'<x()ϕx 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上是单调递减；当e x =时，()ϕx 取得最大值为()()e e e e 1ln e e 1ϕ==--，即e e 1k ≥-. 所以实数k 的取值范围为e ,e 1⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭ 【点睛】 解决此题的关键利用导数的几何意义及两点求斜率，再根据同一切线斜率相等即可证明，对于恒成立问题通常采用分离常数法，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法即可求解.8．(1)32322e e a <<； (2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，由()0f x '=分离参数并构造函数，求解其值域作答. （2）将不等式等价转化，构造两个函数，并分别探讨它们的最大、最小值即可推理作答.(1) 依题意，21(1)e ()x x f x ax x -'=-，由()0f x '=得：21(1)e 1(1)e x x x x ax x a x--=⇔=， 令1())(e x x x x ϕ-=，23x <<，则22()(1)e 0xx x x xϕ+'-=>，即()ϕx 在(2,3)上单调递增，当23x <<时，(2)()(3)x ϕϕϕ<<，即23e 2e ()23x ϕ<<， 由()'f x 在(2,3)上存在零点，则方程1(1)e xx a x-=在(2,3)上有根，因此有23e 12e 23a <<，解得32322e e a <<， 所以a 的取值范围是：32322e e a <<. (2) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当34e a ≥时，2ln e e ln ()000x x x a x f x a x x x<⇔-<⇔->， 令2e ()x a g x x =，0x >，求导得：3e ())(2x a x x g x'-=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，即函数()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，当2x =时，22min 3e 4e 1()(2)4e 4ea g x g ==≥⋅=， 令ln ()x h x x =，0x >，求导得：21ln ()x h x x -'=，当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，当e x =时，max 1()(e)eh x h ==， 因此，0x ∀>，min max 1()()()()eg x g x h x h x ≥≥=≥，而()g x 的最大值与()h x 的最小值不同时取得，即上述不等式中不能同时取等号，于是得：0x ∀>，()()g x h x >成立，即2e ln 0x a x x x ->成立， 所以()0f x <.【点睛】思路点睛：证明不等式常需构造辅助函数，将不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性、求最值等解决.9．(1)选择①不存在，理由见解析；选择②存在，理由见解析(2)[)1,+∞【解析】【分析】（1）若选择①，则()1x f x e x '=--，令()1x q x e x =--，由于()q x '在R 上单调递增，且()00f '=，从而可求出求出()f x '的单调区间，进而可求出()f x '的最小值非负，则()f x 无极值；若选择②，则()22x f x e x '=--,令()22x n x e x =--，由()n x '在R 上单调递增，且()ln 20n '=，可得()f x '的单调区间，从而得其最小值小于0 ，进而可判断函数的极值，（2）令()0g x =，则可得()()()1ln 1ln ln 0x x mx e x mx e x mx mx----+=--=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，即转化为10t e t --=有解，构造函数()1t h t e t -=-，由导数可得()1t h t e t -=-由唯一零点1t =，从而将问题转化为()1ln x mx =-在()0,∞+有解，即1ln ln m x x +=-，再构造函数()ln l x x x =-，利用导数求出函数的值域可得1ln m +的范围，从而可求出实数m 的取值范围(1)若选择①12m =，则()()2112x f x e x =-+，则()1x f x e x '=--. 令()1x q x e x =--，则()1x q x e '=-，由()q x '单调递增，且()00q '=，得()0q x '>在()0,∞+上恒成立，所以()f x '在()0,∞+上单调递增， 所以当()0,x ∈+∞时，()()00f x f ''>=，则()f x 在()0,∞+上单调递增，不存在极小值点.若选择②1m =，则()()21x f x e x =-+，则()22x f x e x '=--.令()22x n x e x =--，则()2x n x e '=-，()n x '单调递增，且()ln 20n '=，所以()f x '在()0,ln 2上单调递减，()ln 2,+∞上单调递增.又()ln 22ln 20f '=-<，()2260f e '=->，所以存在()0ln 2,2x ∈，满足()00f x '=.则()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()f x 存在极小值点0x .(2)令()0g x =，则()12ln 0x e mx mx mx --+=.又0mx >， 所以()()()()()11ln 1ln ln ln ln 0x x x mx mx e e x mx x mx e x mx mx e-----+=-+=--=⎡⎤⎣⎦. 令()ln t x mx =-，即可转化为10t e t --=有解.设()1t h t e t -=-，则由()110t h t e -'=-<可得1t <，则()h t 在(),1t ∈-∞上单调递减，在()1,t ∈+∞上单调递增.又()10h =，所以()1t h t e t -=-有唯一的零点1t =.若()g x 在区间()0,∞+上存在零点，则()1ln x mx =-在()0,∞+有解.整理得.设()ln l x x x =-，由()11l x x'=-，知()l x 在()0,1x ∈上单调递减，在()1,x ∈+∞上单调递增，又当0x +→时，()l x →+∞，则()()11l x l ≥=，所以1ln 1m +≥，得1m ≥.故实数m 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决零点问题，解题的关键是由()0g x =可得()()ln 1ln 0x mx e x mx ----=⎡⎤⎣⎦，令()ln t x mx =-，将问题转化为10t e t --=有解，构造()1t h t e t -=-利用导数讨论其解的情况即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题10．(1)单调递增区间为(2)-∞-，，(2)+∞，；单调递减区间为(22)-， (2)542542a -<<+【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）由（1）中所得函数的单调性，得极值，可结合函数的图象得其与直线y a =三个交点时的a 的范围．(1)由已知可得：2()36f x x '=-，令()0f x '=，即2360x -=，解得12x =-，12x =，所以当2x >或2x <-时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(2)-∞-，，(2)+∞，； 单调递减区间为(22)-，.(2)由（1）可知()y f x =的图象的大致走势及走向，如图所示，又(2542f -=-2542f =+所以当542542a -<+y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，方程()f x a =有三个不等实根.。
高考数学专题：导数大题专练(含答案)
高考数学专题：导数大题专练(含答案)一、解答题1．已知函数321()33f x x x ax =-+(1)若()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π，求a 的值； (2)若1a =-，求()f x 的单调区间.2．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 3．已知函数()ln .f x x x ax a =-+(1)若1≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)当1a =，01b <<时，方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：12 1.x x <4．已知函数()ln f x x =，()21g x x x =-+．(1)求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；(2)若直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，求直线l 的条数．5．求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.6．已知函数()1e xaxf x a=-+，0a ≠. (1)当1a =时，①求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； ②求证：()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点； (2)若()f x 没有零点，求a 的取值范围. 7．已知函数()e 1()x f x ax a =-+∈R . (1)讨论函数()f x 的单调性与极值；(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，求实数a 的取值范围.8．已知函数()323f x x ax x =-+.(1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值； (2)若()f x 在[)1,+∞上是单调递增的，求实数a 的取值范围.9．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值． 10．设函数3()65f x x x x R =-+∈，. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的方程()f x a =有三个不等实根，求实数a 的取值范围.【参考答案】一、解答题 1．(1)23(2)单调增区间为：(,1)-∞-，(3,)+∞ ；单调减区间为:(1,3)- 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）求出函数导数，解相应不等式，可得函数的单调区间. (1)由321()33f x x x ax =-+，可得2()23f x x x a '=-+，故由()f x 在点(1,(1))f 处切线的倾斜角为4π得(1)1f '=， 即21231,3a a -+==； (2)1a =-时，321()33f x x x x =--，2()23f x x x '=--，令2()230f x x x '=-->，则1x <- 或3x > ， 令2()230f x x x '=--<，则13x ，故()f x 的单调增区间为：(,1)-∞-，(3,)+∞ ；单调减区间为:(1,3)- .2．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>， 所以函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<-所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减， 所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x xx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα->所以21x x ->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x21x x -<；再利用()21e 011x x x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ix ax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->3．(1)(,1].-∞ (2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)1x ≥，()0ln 0a f x x a x ≥⇔-+≥，设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，求导得221()a x ag x x x x-'=-=，分1a ≤与1a >两类讨论，即可求得a 的取值范围；(2)当1a =时，方程()f xb =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，而12()()f x f x =，只需证明111()()f x f x <，再构造函数，设1()()()(01)F x f x f x x=-<<，通过求导分析即可证得结论成立． (1)1x ≥，()0f x ∴≥，即ln 0ax a x-+≥， 设()ln (1)ag x x a x x=-+≥，221()a x ag x x x x -'=-=，当1a ≤时，()0g x '≥， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，满足条件；当1a >时，令()0g x '=，得x a =，当1x a <≤时，()0g x '<；当x a >时，()0g x '>，()g x ∴在区间[1,]a 上单调递减，在区间[,)a +∞上单调递增，min ()()ln 1g x g a a a ∴==-+，()(1)0g a g ∴<=，与已知矛盾．综上所述，a 的取值范围是(,1].-∞ (2)证明：当1a =时，()ln f x x '=，则()f x 在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增，由方程()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ， 不妨设12x x <，则1201x x <<<，要证121x x ⋅<，只需证2111x x <<，()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，只需证121()()f x f x < 又()()12f x f x =，∴只需证明111()()f x f x <，设1()()()(01)F x f x f x x =-<<，则22211()ln ln ln 0x F x x x x x x-'=-=>，()F x ∴在区间(0,1)上单调递增，()(1)0F x F ∴<=，1()()0f x f x∴-<，即111()()f x f x <成立， ∴原不等式成立，即121x x ⋅<成立．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 4．(1)在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 (2)两条 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+，依题意可得()()12AB f x g x k '='=，即可得到方程组，整理得()211211ln 204x x x++-=，令()()221ln 24x F x x x +=+-，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解； (1)解：由题设，()()()2ln 1h x f x g x x x x =-=-+-，定义域为()0,∞+，则()()()221112121x x x x h x x x x x+---'=-+=-=- 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.(2)解：因为()ln f x x =，()21g x x x =-+，所以()1f x x'=，()21g x x '=-，设直线l 分别与函数()f x ，()g x 的图象相切于点()11,ln A x x ，()2222,1B x x x -+ 则()()12AB f x g x k '='=，即21222112ln 1121x x x x x x x -+-=-=- 由2122112ln 11x x x x x x -+-=-，得2121221ln 1x x x x x x -=-+- 即2212211ln 1x x x x x -=-+-，即221221ln 20x x x x x -++-= 由21121x x =-，得12112x x x +=，代入上式，得211112111111ln 20222x x x x x x x ⎛⎫+++-++-= ⎪⎝⎭即()211211ln 204x x x++-=，则()()2221117ln 2ln 4244x F x x x xx x +=+-=++- 设()()()()223332111112102222x x x x F x x x x x x x +---='=--=> 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.因为()()min 110F x F ==-<，()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>，则()F x 在()1,+∞上仅有一个零点.因为()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>，则()F x 在()0,1上仅有一个零点. 所以()F x 在()0,∞+上有两个零点，故与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线l 有两条.5．最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性与最值情况. 【详解】由()31443f x x x =-+，得()24f x x '=-令()0f x '=.得2x =±1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2x =-舍去，列表如下：()f x ∴的极小值为()23f =-又1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()31f =， 所以，()f x 的最小值为()423f =-，最大值为1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 6．(1)①112y x =-；②证明见解析 (2){}()210,e -⋃【解析】 【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令()e 1e x xg x x =+-，利用导数判断出()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，利用列表法证明出()f x 在(0,)+∞上有唯一极大值点；（2）令()e xh x a ax =+-.对a 分类讨论：①0a <，得到当1a =-时，()f x 无零点；②0a >，()f x 无零点，符合题意. (1)若1a =，则()1e 1x xf x =-+，()2e 1e (e 1)x x x x f x +-=+'.①在0x =处，()()21110211f '+==+，(0)1f =-. 所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为112y x =-.②令()e 1e x xg x x =+-，()e x g x x '=-，在区间(0,)+∞上，()0g x '<，则()g x 在区间(0,)+∞上是减函数.又(1)10,g =>()22e 10,g =-+<，所以()g x 在(0,)+∞上有唯一零点0x . 列表得：0x (2)()e e x x ax af x a--=+，令()e x h x a ax =+-，则()e xh x a '=-.①若0a <，则()0h x '>，()h x 在R 上是增函数.因为11e 10a h a a ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1 e > 0h =，所以()h x 恰有一个零点0x . 令0e 0x a +=，得0ln()x a =-.代入0()0h x =，得()ln 0a a a a -+--=， 解得1a =-.所以当1a =-时，()h x 的唯一零点为0，此时()f x 无零点，符合题意. ②若0a >，此时()f x 的定义域为R .当ln x a <时，()0h x '<，()h x 在区间(,ln )a -∞上是减函数； 当ln x a >时，()0h x '>，()h x 在区间(ln ,+)a ∞上是增函数. 所以min ()(ln )2ln h x h a a a a ==-. 又()010h a =+>，由题意，当2ln 0a a a ->，即20e a <<时，()f x 无零点，符合题意. 综上，a 的取值范围是{}()210,e -⋃.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 7．(1)答案见解析 (2)(,e 3]-∞+ 【解析】 【分析】（1）求导得到()x f x e a '=-，讨论0a 和0a >两种情况，分别计算得到答案.（2）0x >时，2e 1x x x a x +++≤，令2e 1()(0)x x x g x x x+++=>，求函数的最小值，得到答案. (1)()e 1x f x ax =-+，()e x f x a '∴=-.①当0a ≤时，()e 0x f x a '=->恒成立，()f x ∴在R 上单调递增，无极大值也无极小值；②当0a >，(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.∴函数()f x 有极小值为ln (ln )e ln 1ln 1a f a a a a a a =-+=-+，无极大值.(2)若对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，则2e 1x x x a x +++≤恒成立，即2min e 1(0)x x x a x x ⎛⎫+++≤>⎪⎝⎭. 设2e 1()(0)x x x g x x x +++=>，则()2(1)e 1()x x x g x x -++'=，令()2(1)e1()0xx x g x x -++'==，解得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，()(1)g x g ∴≥，min ()(1)e 3g x g ∴==+，∴当e 3a ≤+时满足对任意0x >，2()f x x x ≥--恒成立，∴实数a 的取值范围为(,e 3]-∞+.8．(1)最大值为15，最小值为9- (2)3a ≤ 【解析】 【分析】（1）由()30f '=可求得实数a 的值，再利用函数的最值与导数的关系可求得函数()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；（2）分析可知()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数a 的取值范围. (1)解：因为()323f x x ax x =-+，则()2323f x x ax =-+'，则()33060f a '=-=，解得5a =，所以，()3253f x x x x =-+，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，列表如下：所以，min 39f x f ==-，因为11f =-，515f =，则max 515f x f ==.(2)解：由题意可得()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，即312a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得313322x x ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，故3a ≤. 9．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调性和极值.(1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+，又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直，所以()1112f '⨯=-，解得3a =-.(2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞，令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ．又()22222e e ln e 3e 22e f =-+=-， 所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值．【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.10．(1)单调递增区间为(-∞，)+∞；单调递减区间为( (2)55a -<+【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）由（1）中所得函数的单调性，得极值，可结合函数的图象得其与直线y a =三个交点时的a 的范围．(1)由已知可得：2()36f x x '=-，令()0f x '=，即2360x -=， 解得12x =-，12x =， 所以当2x >或2x <-时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为(2)-∞-，，(2)+∞，； 单调递减区间为(22)-，.(2)由（1）可知()y f x =的图象的大致走势及走向，如图所示，又(2542f -=-2542f =+所以当542542a -<+y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，方程()f x a =有三个不等实根.。
历年高考招生浙江卷导数试题
历年普通高等学校招生浙江卷导数试题（文科）（2004）（21）已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=（Ⅰ）求导数)(x f '；（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[--2，2] 上的最大值和最小值；（Ⅲ）若)(x f 在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围。
（2005）（9）函数31y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =A ．18B ．14C ．12D ．1 20．已知函数)()(x g x f 和的图象关于原点对称，且.2)(2x x x f +=（Ⅰ）求函数)(x g 的解析式；（Ⅱ）解不等式|1|)()(--≥x x f x g ；（Ⅲ）若]1,1[1)()()(-+-=在x f x g x h λ上是增函数，求实数λ的取值范围. （2006）（6）函数f （x ）=x 3－3x 2+2在区间[－1，1]上的最大值是（A ）－2 （B ）0 （C ）2 （D ）4（20）设f （x ）=3ax 2+2bx+c ，若a+b+c=0，f （0）f （1）＞0，求证（Ⅰ）方程f （x ）=0有实根； （Ⅱ）12-<<-ab （Ⅲ）设x 1，x 2是方程f （x ）=0的两个实根，则32||3321<-≤x x （2007）(15)曲线32242y x x x =--+在点(1，一3)处的切线方程是___________ ． (22)(本题15分)已知22()|1|f x x x kx =-++． (I)若k ＝2，求方程()0f x =的解；(II)若关于x 的方程()0f x =在(0，2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明12114x x +<．（2008）（21）（本题15分）已知a 是实数，函数()2()f x xx a =-. （Ⅰ）若f 1(1)=3,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值。
导数大题经典练习及答案
导数大题专题训练1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立．2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.3．设函数f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x)的极值点.4、已知函数.(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.5、已知函数(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围；(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．6、已知函数．(1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围；(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则，在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.(Ⅱ)当，，由得.①当时，在上，在上因此，在处取得极小值，也是最小值. .由于因此，②当，，因此上单调递增，所以，……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，设，则，易知，当且仅当时取到，但从而可知对一切，都有成立.2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为，所以，所以a=1.所以. .由解得x＞0；由解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）（Ⅱ），由解得；由解得.所以f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数f (x)取得最小值，. 因为对于都有成立，所以即可. 则.由解得.所以a的取值范围是.（Ⅲ）依题得，则.由解得x＞1；由解得0＜x＜1.所以函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数在区间[e－1，e]上有两个零点，所以.解得.所以b的取值范围是.3．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（0，+∞）. 因为，所以f (x)在[1，e]上是增函数，当x=1时，f (x)取得最小值f (1)=1.所以f (x)在[1，e]上的最小值为1.（Ⅱ）解法一：设g (x)=2x2―2ax+1，依题意，在区间上存在子区间使得不等式g (x)＞0成立. 注意到抛物线g (x)=2x2―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或即可由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得，由，即，得，所以，所以实数a的取值范围是.解法二：，依题意得，在区间上存在子区间使不等式2x2―2ax+1＞0成立.又因为x＞0，所以.设，所以2a小于函数g (x)在区间的最大值.又因为，由解得；由解得.所以函数g (x)在区间上递增，在区间上递减.所以函数g (x)在，或x=2处取得最大值.又，，所以，所以实数a的取值范围是.（Ⅲ）因为，令h (x)=2x2―2ax+1①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h (x)＞0恒成立，f (x)＞0，此时函数f (x)没有极值点；②当a＞0时，（i）当Δ≤0，即时，在（0，+∞）上h (x)≥0恒成立，这时f (x)≥0，此时，函数f (x)没有极值点；（ii）当Δ＞0时，即时，易知，当时，h (x)＜0，这时f (x)＜0；当或时，h (x)＞0，这时f (x)＞0；所以，当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.综上，当时，函数f (x)没有极值点；当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.4．解：. (Ⅰ)，解得.(Ⅱ).①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.③当时，，故的单调递增区间是.④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.(Ⅲ)由已知，在上有.由已知，，由(Ⅱ)可知，①当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故.②当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，，，所以，，，综上所述，.5、解：(Ⅰ)直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的定义域为因为，所以，所以a＝1，所以由解得x＞2 ；由解得0＜x＜2所以f(x)得单调增区间是，单调减区间是(Ⅱ)，由解得由解得所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减所以当时，函数f(x)取得最小值因为对于任意成立，所以即可则，由解得；所以a得取值范围是(Ⅲ)依题意得，则由解得x＞1，由解得0＜x＜1所以函数g(x)在区间上有两个零点，所以解得所以b得取值范围是6、解：(1)因为，，则，当时，；当时，．∴在上单调递增；在上单调递减，∴函数在处取得极大值．………3分∵函数在区间(其中)上存在极值，∴解得．(2)不等式，即为，记∴，…9分令，则，∵，∴，∴在上递增，∴，从而，故在上也单调递增，∴，∴．。
浙江省普通高校招生学考科目考试导数及其应用多选题试题含答案
浙江省普通高校招生学考科目考试导数及其应用多选题试题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点. 【答案】ABD 【分析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x x ae -=，设sin (),(,)xxg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 【详解】A.当1a =时，()sin x f x e x =+，所以()cos x f x e x '=+，0(0)cos 02f e '=+=，0(0)01f e =+=，所以()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=，故正确；B. 因为()sin 0x f x e x ''=->，所以()'f x 单调递增，又()202f π'-=>，334433()cos 442f e e ππππ--⎛⎫'-=+-=- ⎪⎝⎭，又233442e e e ππ⎛⎫= ⎪⎝>>⎭，即34e π>，则3()04f π'-<，所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得0()0f x '=，即 00cos 0x e x +=，则在()0,x π-上()0f x '<，在()0,x +∞上，()0f x '>，所以()f x 存在唯一极小值点0x，因为000000()sin sin cos 4xf x e x x x x π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以03,44x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭()01,04x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故正确； C.令()sin 0x f x e a x =+=，当0a ≠时，可得1sin x xa e-=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，则cos sin 4()x xx x x g x e e π⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==，令()0g x '=，解得,,14x k k Z k ππ=+∈≥-当52,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时()0g x '<，当592,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()0g x '>，所以当524x k ππ=+，,1k Z k ∈≥-时，()g x 取得极小值，即35,,...44x ππ=-，()g x 取得极小值，又35 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为在3,4ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上，()g x 递减，所以()34342g x g e ππ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，所以当24x k ππ=+，,0k Z k ∈≥时， ()g x 取得极大值，即9,,...44x ππ=，()g x 取得极大值，又9 (44)g g ππ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以 ()442g x g e ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以(),x π∈-+∞时，()34422g x e ππ-≤≤，当3412e a π-<-，即4a e >()f x 在(,)π-+∞上不存在零点，故C 错误； D.当412ae π-=，即4a e π=时，1=-y a 与()sin x xg x e =的图象只有一个交点，所以存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点，故D 正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．2．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（ ） A ．(2)(3)f f >B．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25x y k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'= 令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增ln f f e ππ∴<<<∴>，故：B 正确 C ．()f x m =有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m ∴==不妨设120x e x <<<要证：212x x e <，即要证：221222,()e e x x e ef x x x<>∴<在(0,)e 单调递增，∴只需证：()212e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222e f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭只需证：()2220e f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭……① 令2()(),()e g x f x f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2211()(ln 1)g x x e x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当x e >时，2211ln 1,()0()x g x g x e x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增 ()22()0x e g x g e >∴>=，即：()2220e f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭这与①矛盾，故C 错D ．设25x y k ==，且,x y 均为正数，则25ln ln log ,log ln 2ln 5k kx k y k ==== 252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ∴== 1152ln 2ln 5ln 2,ln 525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln 2ln 52502525ln 2ln 5x y ∴>>∴<∴<，故D 正确． 故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x 的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x ，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．3．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ）A ．cos 2x x π+<B ．22xx <C ．sin 2x >D ．1ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，即可得sin 22x x ππ⎛⎫-<-⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2yx 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin2xf x =，()h x =的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以022x ππ<-<，令()sin f x x x =-，()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，所以sin 22x x ππ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正确， 对于选项B ：由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；对于选项C ：要证22sin 24xx x >+ 令()sin 2x f x =，()224xh x x =+()()f x f x -=-，()sin2xf x =是奇函数， ()()h x h x -=，()224x h x x =+是偶函数， 令2224144x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以2414t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()224x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：由图知当()0,1x ∈时22sin 24xx x >+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()221110x g x x x x-'=-=<， 所以()1ln 1x g x x=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x+->，可得1ln 1x x >-，故选项D 不正确.故选：ABC 【点睛】思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.4．已知函数()f x 对于任意x ∈R ，均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩，若函数()()2g x m x f x =--，下列结论正确的为（ ）A ．若0m <，则()g x 恰有两个零点B ．若32m e <<，则()g x 有三个零点 C ．若302m <≤，则()g x 恰有四个零点 D ．不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-，作出函数()g x 的图象，求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值，数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =，即()2m x f x -=，作出函数()f x 的图象如下图所示：令()2h x m x =-，则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数，()h x 的定义域为R ，且()()22h x m x m x h x -=--=-=，则函数()h x 为偶函数，且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-，当函数()h x 的图象过点()2,1A 时，有()2221h m =-=，解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线， 设切点为()00,ln x x ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 切线过点()0,2-，所以，02ln 1x --=-，解得01x e=，则切线斜率为e ， 即当m e =时，函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点，由图可得0m ≤或m e =，A 选项正确； 若函数()g x 恰有三个零点，由图可得32m e <<，B 选项正确；若函数()g x 恰有四个零点，由图可得302m <≤，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.5．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.6．经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点()()00,x f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()'f x 是()f x 的导数，()f x ''是()'f x 的导数.若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式(ln 1)x e e mx x -+32()3ef x x x e x ⎡⎤≥--+⎣⎦对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则（ ）A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【答案】ABC 【分析】求导得()62f x x a ''=+，故由题意得()1620f a ''=-+=-，()1112f a b -=-+-+=，即3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.进而将问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++<+，由于1x e x >+，故ln ln 1ee x x x x e e x e x --+=≥-+，进而得()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x ee x x --++--≥=-++，即m e ≤-，进而得ABC 满足条件.【详解】由题意可得()1112f a b -=-+-+=，因为()2321x ax f x =++'，所以()62f x x a ''=+，所以()1620f a ''=-+=-，解得3,1a b ==，故()3231f x x x x =+++.因为1x >，所以()()32ln []13xeee mx xf x x x e x -+≥--+等价于()1ln 1e x x e x e m x --++≤+. 设()()10xg x e x x =-->，则()10xg x e '=->，从而()g x 在()0,∞+上单调递增.因为()00g =，所以()0g x >，即1x e x >+， 则ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+（当且仅当x e =时，等号成立），从而()1ln ln 1ln 1e x x e x e e x e e x x --++--≥=-++，故m e ≤-.故选：ABC. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得()3231f x x x x =+++，进而将不等式恒成立问题转化为()1ln 1e x x e x e m x --++≤+恒成立问题，再结合1x e x >+得ln ln 1ee x xxx e e x e x --+=≥-+，进而得m e ≤-.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.7．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+- ()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意；③若02e a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减， 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦ (){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；④若2e a =-，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若 2e a <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增， 当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120x f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减， 当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120x f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=， 因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->，所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。
2023年浙教版数学导数高级应用练习题及答案
2023年浙教版数学导数高级应用练习题及答案【导序】数学导数作为高中数学课程的重要内容，是为了培养学生的分析问题、解决问题和创新思维能力而设置的。
浙江教育出版社发布的2023年浙教版数学导数高级应用练习题，旨在帮助学生进一步巩固和应用导数的知识，提高解决复杂数学问题的能力。
本文将介绍2023年浙教版数学导数高级应用练习题及答案。
【第一部分：数学导数的高级应用练习题】题目一：某草坪的面积为2000平方米，以点A为原点建立直角坐标系。
某时刻，点A上有一只兔子，它在草坪上移动，速度大小为\[v(t)\]米/秒(其中\[t\]为时间，单位为秒)。
已知\[v(t)=3t-2t^2\]，问兔子在\[t=3\]秒时，兔子到草坪对角线的距离是多少米？答案一：由题目可得，兔子在时刻\[t=3\]秒时的位置坐标为(3, 9)。
根据点到直线的距离公式，可得到直线Ax+By+C=0到一点\[P(x_0,y_0)\]的距离公式为\[d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]。
设对角线所在直线方程为\[2x-y=0\]，对应的A、B、C分别为2、-1、0。
带入坐标得\[d=12/\sqrt{5}\]米。
题目二：设函数\[f(x)=x^3-3x\]，求\[f'(2)\]的值。
答案二：对于\[f(x)=x^3-3x\]，求导得\[f'(x)=3x^2-3\]。
将\[f'(2)\]代入导函数中得\[f'(2)=3\cdot2^2-3=9\]。
【第二部分：数学导数的高级应用答案】1. 略2. 略【导语】通过以上的练习题及答案，我们可以看到2023年浙教版数学导数高级应用练习题的设计非常贴近实际问题，并能在解决实际问题中培养学生的分析和创新能力。
希望同学们能够认真学习并掌握数学导数的高级应用，提高数学解决问题的能力。
【总结】2023年浙教版数学导数高级应用练习题共涵盖了数学导数的高级应用问题，如点到直线的距离、函数求导等。
浙江历年高考真题导数
浙江历年高考真题导数(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1. (07浙江高考)已知()221f x x x kx =-++． (I)若k ＝2，求方程()0f x =的解；(II)若关于x 的方程()0f x =在(0，2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明12114x x +<2. （08浙江高考）已知a 是实数，函数()2()f x x x a =-. （Ⅰ）若f 1(1)=3,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线 方程；（Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值。
3.（09浙江高考）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．4.（10浙江高考）已知函数2()()f x x a =-（a-b ）(,,a b R a ∈<b)。
（I ）当a=1，b=2时，求曲线()y f x =在点（2，()f x ）处的切线方程。
（II ）设12,x x 是()f x 的两个极值点，3x 是()f x 的一个零点，且31x x ≠，32x x ≠ 证明：存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按某种顺序排列后的等差数列，并求4x5.（11浙江高考）设函数22()ln ,0f x a x x ax a =-+> （I ）求()f x 的单调区间（II ）求所有实数a ，使21()e f x e -≤≤对[]1,x e ∈恒成立。
注：e 为自然对数的底数。
6.（12浙江高考）已知,a R ∈函数2()42.f x x ax a =-+ ⑴求()f x 的单调区间⑵证明：当01x ≤≤时，()20.f x a +->||7.（13浙江高考）知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |＞1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．1. （Ⅰ）解：（1）当k ＝2时，()221f x x x kx =-++① 当210x -≥时，即x ≥1或x ≤－1时，方程化为22210x x +-=解得12x -=1012-<<，故舍去，所以12x --=． ②当210x -<时，－1＜x ＜1时，方程化为210x +=，解得12x =-由①②得当k ＝2时，方程()0f x =的解所以12x -=或12x =-．(II)解：不妨设0＜x 1＜x 2＜2，因为()22 1 x 11 x 1x kx f x kx ⎧+->⎪=⎨+≤⎪⎩所以()f x 在（0,1］是单调函数，故()0f x =在（0,1］上至多一个解， 若1＜x 1＜x 2＜2，则x 1x 2＝12-＜0，故不符题意，因此0＜x 1≤1＜x 2＜2． 由()10f x =得11k x =-，所以1k ≤-； 由()20f x =得2212k x x =-， 所以712k -<<-；故当712k -<<-时，方程()0f x =在(0，2)上有两个解． 当0＜x 1≤1＜x 2＜2时，11k x =-，222210x kx +-= 消去k 得2121220x x x x --= 即212112x x x +=，因为x 2＜2，所以12114x x +<． 2. ）解：2'()32f x x ax =-． 因为'(I)323f a =-=， 所以 0a =．又当0a =时，(I)1,'(I)3f f ==，所以曲线()(1,(I))y f x f =在处的切线方程为 3x y --2=0． （II ）解：令'()0f x =，解得1220,3a x x ==． 当203a≤，即a ≤0时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而 max (2)84f f a ==-． 当223a≥时，即a ≥3时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而 max (0)0f f ==． 当2023a <<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而 max84,0 2.0,2 3.a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩ 综上所述，max 84, 2.0, 2.a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩3. 解析：（Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f又⎩⎨⎧-=+-='==3)2()0(0)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a 4. Ⅰ)解：当a=1,b=2时， 因为f’(x)=(x -1)(3x-5) 故f’(2)=1 f(2)=0,所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2 （Ⅱ）证明：因为f ′（x ）＝3（x －a ）（x －23a b+）， 由于a <b . 故a <23a b+. 所以f （x ）的两个极值点为x ＝a ，x ＝23a b+. 不妨设x 1＝a ，x 2＝23a b+， 因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f （x ）的零点， 故x 3＝b .又因为23a b +－a ＝2（b －23a b+），x 4＝12（a ＋23a b +）＝23a b +，所以a ，23a b +，23a b+，b 依次成等差数列，所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝23a b+.5. （Ⅰ）解：因为22()ln f x a x x ax =-+，其中0x，所以2()(2)'()2a x a x a f x x a x x-+=+=-。
高考数学专题：导数大题专练含答案
高考数学专题：导数大题专练含答案一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围. 2．已知函数()ln f x x =．(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()12h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 3．已知函数()21si cos n 2f x x x a x x =-++．(1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求a 的取值范围．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．求下列函数的导数： (1)2cos x xy x -=； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-．6．已知函数()322f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.7．已知函数()323f x x ax x =-+.(1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；(2)若()f x 在[)1,+∞上是单调递增的，求实数a 的取值范围.8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”为了进一步了解普通大众对“碳中和”及相关举措的认识，某机构进行了一次问卷调查，部分结果如下：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.(2)经调查后，有关部门决定加大力度宣传“碳中和”及相关措施以便让节能减排的想法深入人心.经过一段时间后，计划先随机从社会上选10人进行调查，再根据检验结果决定后续的相关举措.设宣传后不了解“碳中和”的人概率都为()01p p <<，每个被调查的人之间相互独立.①记10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； ②现对以上的10人进行有奖答题，以①中确定的0p 作为答错的概率p 的值.已知回答正确给价值a 元的礼品，回答错误给价值b 元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用a ，b 表示即可）9．已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直．(1)求实数a 的值；(2)求()f x 的单调区间和极值．10．已知函数()222(0)e xmx x f x m +-=>. (1)判断()f x 的单调性；(2)若对[]12,1,2x x ∀∈，不等式()()1224e f x f x -≤恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】 【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+；②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈， 令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值， 令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =， 所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数，所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)单调递增 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；（2）直接由1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x =+-的两个零点得到1212122ln x xx x x x -=，分别解出1211212ln x xx x x -=，2121212ln xx x x x -=，再换元令12x t x =构造函数()12ln l t t t t=--，求导确定单调性即可求解. (1)由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x'=--+，又∵()0,1x ∈，∴11x>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)根据题意，()()1ln 02h x x b x x =+->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x=+-的两个零点，∴111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=． 两式相减，可得122111ln22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=， ∴1212122ln x x x x x x -=，则1211212ln x x x x x -=，2121212ln xx x x x -=． 令12x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=．记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()221t l t t-'=． 又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t-<．因为ln 0t <，可得112ln t t t->，∴121x x +>．【点睛】本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +-=，221ln 02x b x +-=作差，化简得到1212122ln x x x x xx -=， 分别得到12,x x 后，换元令12x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解． 3．(1)10y +=； (2)[)1,+∞. 【解析】 【分析】（1）将1a =-代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件可以将问题转化为恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解. (1)当1a =-时，()2cos 1sin 2f x x x x x =--+()2cos 10000sin 012f =⨯--+=-，所以切点为0,1，()1sin cos x f x x x '=-++，∴(0)01sin 0cos00f '=-++=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为(0)0k f '==， 所以曲线()y f x =在点0,1处的切线的斜率切线方程为()()100y x --=⨯-，即10y +=.(2)由()21si cos n 2f x x x a x x =-++，得()s 1co i s n f x x a x x '=--+因为函数()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 设()()1c s os in g x f x x a x x '==--+，则()cos 1sin g x a x x '=--. 因为si (n 0)001cos00g a =--+=， 所以使()0f x '≤对任意3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 则至少满足()00g '≤，即10a -≤，解得1a ≥. 下证明当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，因为3π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 0x ≥， 因为1a ≥，所以()sin 1cos f x x x x '≤--+.记s ()cos n 1i h x x x x =--+，则π()1sin 14cos h x x x x ⎛⎫'=-=+ ⎝-⎪⎭.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当π3π,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>. 所以函数()h x 在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在π3π,24⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增.因为ππ(),h h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭33001044， 所以()h x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)0h =. 即()()1sin cos 0f x h x x x x '≤=--+≤在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.所以a 的取值范围为[)1,+∞.4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x x x x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减， 所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011x xx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a-<<<-，所以βα-> 所以21x x->综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011x xx x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222m x ax ax =-++++21x x ->5．(1)'y ()31sin 2cos x x xx --=；(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--；(3)'y ()551ln 3x =-⋅.【解析】 【分析】根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1)因为2cos x x y x -=，故'y ()()()243sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x------==. (2)因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--.(3)因为()3log 51y x =-，故'y ()()155?51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅. 6．(1)()3232f x x x =+-(2)()2,2- 【解析】 【分析】（1）由已知可得()()2013f f ⎧-=⎪⎨-=-''⎪⎩，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；（2）分析可知，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，数形结合可得出实数λ的取值范围.(1)解：因为()322f x x ax bx =++-，则()232f x x ax b '=++，由题意可得()()212401323f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+=-''⎪⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，所以，()3232f x x x =+-.当3a =，0b =时，()236f x x x '=+，经检验可知，函数()f x 在2x =-处取得极值. 因此，()3232f x x x =+-.(2)解：问题等价于()f x λ=有三个不等的实数根，求λ的范围.由()2360f x x x '=+>，得2x <-或0x >，由()2360f x x x '=+<，得20x -<<，所以()f x 在(),2-∞-、()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减， 则函数()f x 的极大值为()22f -=，极小值为()02f =-，如下图所示：由图可知，当22λ-<<时，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点， 因此，实数λ的取值范围是()2,2-. 7．(1)最大值为15，最小值为9- (2)3a ≤ 【解析】 【分析】（1）由()30f '=可求得实数a 的值，再利用函数的最值与导数的关系可求得函数()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；（2）分析可知()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数a 的取值范围. (1)解：因为()323f x x ax x =-+，则()2323f x x ax =-+'，则()33060f a '=-=，解得5a =，所以，()3253f x x x x =-+，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，列表如下：所以，min 39f x f ==-，因为11f =-，515f =，则max 515f x f ==. (2)解：由题意可得()23230f x x ax '=-+≥对任意的1≥x 恒成立，即312a x x⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得313322x x ⎛⎫+≥⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时，等号成立，故3a ≤.8．(1)列联表见解析，没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关； (2)①0310p =；②()73a b + 【解析】 【分析】（1）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K 计算公式，将计算结果与195%0.05-=所对应的k 值比较大小即可；（2）①利用独立重复试验与二项分布的特点，写出10人中恰有3人不了解“碳中和”的概率为()f p ，再利用导数求出最值点； ②利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案. (1)由题中表格数据完成22⨯列联表如下：()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解‘碳中和’及相关措施”与“学生”身份有关. (2)①由题得，()()733101f p C p p =-，()0,1p ∈， ∴()()()()()763236321010C 3171C 1310f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦. 令()0f p '=，得310p =，当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>； 当3,110p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<， ∴当30,10p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调选增；当3,110p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f p '单调递减， ∴()f p 的最大值点0310p =. ②本题求要准备的礼品大致为多少元，即求10个人礼品价值X 的数学期望. 由①知答错的概率为310， 则()33101731010E X a b a b ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 故要准备的礼品大致为73a b +元. 9．(1)3a =-；(2)增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ，极小值22e -，无极大值.【解析】 【分析】（1）根据()1112f '⨯=-，代值计算即可求得参数值；（2）根据（1）中所求参数值，求得()f x '，利用导数的正负即可判断函数单调性和极值. (1)因为()ln 1f x x a '=++，在点()()1,1f 处的切线斜率为()11k f a '==+， 又()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线220x y 相互垂直， 所以()1112f '⨯=-，解得3a =-. (2)由（1）得，()ln 2f x x '=-，()0,x ∈+∞，令()0f x '>，得2e x >，令()0f x '<，得20e x <<，即()f x 的增区间为()2e ,+∞，减区间为()20,e ． 又()22222e e ln e 3e 22ef =-+=-，所以()f x 在2e x =处取得极小值22e -，无极大值． 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和极值，属综合中档题.10．(1)单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦ (2)20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间， （2）由函数()f x 在[]1,2上为增函数，求出函数的最值，则()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=，然后将问题转化为()224e 24e e m -+≥，从而可求出实数m 的取值范围. (1)()()()()221422(0)e e xxmx m x mx x f x m -+-+-+-=>'=令()0f x '=，解得2x m =-或2x =，且22m-< 当2,x m ∞⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()0f x '≤，当2,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当[)2,x ∞∈+时，()0f x '≤即()f x 的单调增区间为2,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减区间为[)2,,2,m ∞∞⎛⎤--+⎥⎝⎦(2)由（1）知，当[]0,1,2m x >∈时，()0f x '>恒成立 所以()f x 在[]1,2上为增函数， 即()()max min242()2,()1e em mf x f f x f +====. ()()12f x f x -的最大值为()()max min 24e 2()()e m g m f x f x -+=-=()()1224e f x f x ⎡⎤≥-⎣⎦恒成立()224e 24e e m -+∴≥ 即24em ≤-， 又0m > 20,4e m ⎛⎤∴∈ ⎥-⎝⎦ 故m 的取值范围20,4e ⎛⎤ ⎥-⎝⎦。
导数复习导数大题练习(含详解答案)
1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。
〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。
直击2024年高考——高三数学导数题型专练(全国版)
导数题型专练【利用公式和四则运算求导】 【例1】下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e x C.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D.⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2 【答案】 AD【解析】 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ， 故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故C 错误；⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确．【复合函数求导】 【例2】设函数，若，则．【答案】 1; 【解析】 函数， ， ，，解得， 故答案为：．【根据导数构造抽象函数】 【例3】已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）．A.B.C.D.【答案】 A; 【解析】 设，由，得：，故函数在递减，由为奇函数，得， ∴，即，∵不等式，∴，即， 结合函数的单调性得：， 故不等式的解集是．故选．【求在某点处的切线方程】【例4】曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．【答案】 5x －y ＋2＝0【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.【求过某点处的切线方程】【例5】y =2x 2+8过点P(1,2)的切线方程是( )． A. y =−4x +6B. y =12x −10C. y =−4x +6或y =12x −10D. y =4x +6或y =12x −10【答案】 C;【解析】 设切点坐标为(x 0 ,2x 02+8)，y ′=4x ，∴切线斜率k =4x 0，则2x 02+8−2x 0−1=4x 0，解得x 0=−1或3，∴所求切线方程为y =−4x +6或y =12x −10．【根据切线求参数问题】【例6】直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】 A【解析】 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝ax ， 由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.【例7】过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)【解析】 由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )， 则切线方程的斜率k ＝0'|x x y =＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)， 又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x (2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ， 又x →－∞时，φ(x )→0； x →＋∞时，φ(x )→－∞， ∴0<ea <e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)．【两曲线的公切线】【例8】已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3【答案】 D【解析】 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g x ＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.【利用导数确定函数图象】 【例9】已知函数，则的图象大致为（ ）．A. B.C. D.【答案】A;【解析】令，则，由，得，即函数在上单调递增，由得，即函数在上单调递减，所以当时，函数有最小值，，于是对任意的，有，故排除、，因为函数在上单调递减，则函数在上单调递增，故排除．故选．【利用导数求具体函数的单调性】【例10】函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)【答案】A【解析】∵f′(x)＝2x－2 x＝2(x＋1)(x－1)x(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝1，∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．【例11】若函数f(x)＝ln x＋1e x，则函数f(x)的单调递减区间为________．【答案】(1，＋∞)【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ln x－1e x，令φ(x)＝1x－ln x－1(x>0)，φ′(x)＝－1x2－1x<0，φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．【利用导数求含参函数的单调性】【例12】已知函数．讨论的单调性．【答案】当时，增区间为，无减区间；当时，增区间为，减区间为．【解析】函数的定义域为：，，①当时，恒成立，在上单调递增，无减区间；②当时，令，解得，∴增区间为，减区间为综上：当时，增区间为，无减区间；当时，增区间为，减区间为．【例13】已知函数是自然对数的底数）．讨论的单调性．【答案】 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【解析】，当时，，在上单调递减； 当时，由得，所以在上单调递减；由得，所以在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．【导数解决单调性的应用-比较大小】【例14】已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 【答案】 A【解析】 因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5.【导数解决单调性的应用-解不等式】【例15】已知函数f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，则不等式f (2x －3)>1的解集为________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞【解析】 f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，定义域为R ， f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当x ＝0时取“＝”， ∴f (x )在R 上单调递增， 又f (0)＝1，∴原不等式可化为f (2x －3)>f (0)， 即2x －3>0，解得x >32， ∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫32，＋∞.【导数解决单调性的应用-求参数范围】【例16】已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 ⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 【解析】 由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立， ∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.【根据函数图象判断极值】【例17】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(x －1)f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3) C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)【答案】D【解析】由题图知，当x∈(－∞，－3)时，y>0，x－1<0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－3,1)时，y<0，x－1<0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0⇒f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－1>0⇒f′(x)<0，f(x)单调递减．所以函数有极小值f(－3)和极大值f(3)．【利用导数求函数的极值】【例18】已知函数，其中．求函数的极值．【答案】当时，在单调递减，无极值，当时，在单调递增，上单调递减．∴有极大值．【解析】，，令得，，当时，在单调递减，无极值，当时，在单调递增，上单调递减．∴有极大值．【例19】已知函数．判断函数的极值点的个数，并说明理由．【答案】当时，函数有一个极值点；当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点．【解析】因为，所以．（）当时，有，令，得．当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数只有一个极值点．（）当时，令，得，．①当时，．当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数有两个极值点．②当时，恒成立，所以在上单调递增，所以当时，函数无极值点．③当时，，当变化时，和的变化情况如下：所以当时，函数有两个极值点，综上，当时，函数有一个极值点；当或时，函数有两个极值点，当时，函数无极值点．【已知极值(点)求参数】【例20】函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＋b 等于()A ．－7B ．0C ．－7或0D ．－15或6【答案】 A【解析】 由题意知，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为f (x )在x ＝1处取得极值10，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，检验知，当a ＝－3，b ＝3时，可得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，此时函数f (x )单调递增，函数无极值点，不符合题意；当a ＝4，b ＝－11时，可得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)，当x <－113或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－113<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ＝1时，函数f (x )取得极小值，符合题意．所以a ＋b ＝－7.【利用导数求函数的最值】【例21】函数的最小值为 ． 【答案】 ; 【解析】 当时，，，此时单调递减，此时．当时，，， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， ∴此时，∵，∴的最小值为． 【例22】已知函数g (x )＝a ln x ＋x 2－(a ＋2)x (a ∈R )．(1)若a ＝1，求g (x )在区间[1，e]上的最大值；(2)求g (x )在区间[1，e]上的最小值h (a )．【答案】(1) e 2－3e ＋1；(2) h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.【解析】 (1)∵a ＝1，∴g (x )＝ln x ＋x 2－3x ，∴g ′(x )＝1x ＋2x －3＝(2x －1)(x －1)x， ∵x ∈[1，e]，∴g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，e]上单调递增，∴g (x )max ＝g (e)＝e 2－3e ＋1.(2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a x ＋2x －(a ＋2)＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x＝(2x －a )(x －1)x. ①当a 2≤1，即a ≤2时，g (x )在[1，e]上单调递增，h (a )＝g (1)＝－a －1；②当1<a 2<e ，即2<a <2e 时，g (x )在⎣⎡⎭⎫1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎦⎤a 2，e 上单调递增，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ln a 2－14a 2－a ；③当a 2≥e ，即a ≥2e 时，g (x )在[1，e]上单调递减，h (a )＝g (e)＝(1－e)a ＋e 2－2e.综上，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a －1，a ≤2，a ln a 2－14a 2－a ，2<a <2e ，(1－e )a ＋e 2－2e ，a ≥2e.【数形结合法研究函数零点】【例23】已知函数f (x )＝e x －a (x ＋2)．(1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －(x ＋2)，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )<0，解得x <0，令f ′(x )>0，解得x >0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)令f (x )＝0，得e x ＝a (x ＋2)，即1a ＝x ＋2e x ，所以函数y ＝1a 的图象与函数φ(x )＝x ＋2e x 的图象有两个交点，φ′(x )＝－x －1e x ，当x ∈(－∞，－1)时，φ′(x )>0；当x ∈(－1，＋∞)时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(－1)＝e ，且x →－∞时，φ(x )→－∞；x →＋∞时，φ(x )→0，所以0<1a <e ，解得a >1e .所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.【利用函数性质研究函数零点】【例24】已知函数f (x )＝x －a ln x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)求函数g (x )＝12x 2－ax －f (x )的零点个数．【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －a ln x 可得f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，由f ′(x )>0可得x >a ；由f ′(x )<0可得0<x <a ，所以f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由g (x )＝12x 2－ax －x ＋a ln x＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x ，可得g ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x令g ′(x )＝0可得x ＝1或x ＝a ，因为g (1)＝12－a －1＝－a －12<0，g (2a ＋3)＝12(2a ＋3)2－(a ＋1)(2a ＋3)＋a ln(2a ＋3)＝a ＋a ln(2a ＋3)＋32>0，当a >1时，g (x )在(1，a )上单调递减，所以g (1)>g (a )，所以g (a )<0，所以g (x )有一个零点，当a ＝1时，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以g (x )有一个零点，当0<a <1时，g (x )在(0，a )上单调递增，在(a ,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，此时g (a )＝12a 2－(a ＋1)a ＋a ln a＝－12a 2－a ＋a ln a <0，g (x )只有一个零点，综上所述，g (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．【导数构造问题】【例25】已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x >0时，f ′(x )－f (x )x >0，若a＝2f (1)，b ＝f (2)，c ＝4f ⎝⎛⎭⎫12，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <b <c 【答案】 B【解析】 构造函数g (x )＝f (x )x (x >0)，得g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＝1x ⎣⎡⎦⎤f ′(x )－f (x )x ， 由题知当x >0时，f ′(x )－f (x )x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (2)2>f (1)1>f ⎝⎛⎭⎫1212，即f (2)>2f (1)>4f ⎝⎛⎭⎫12，即b >a >c .【例26】(多选)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)<e 2f (0)B ．f (2)>e 2f (0)C ．e 2f (－1)>f (1)D ．e 2f (－1)<f (1)【答案】 AC【解析】 构造F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x，导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )，则F ′(x )<0，F (x )在R 上单调递减，根据单调性可知A ，C 选项正确．【例27】(多选)定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫π6>2f ⎝⎛⎭⎫π4 B.3f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3 D.2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4 【答案】 CD【解析】 构造函数g (x )＝f (x )cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2. 则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x (cos x )2<0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， 所以g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π3，所以f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3， 同理g ⎝⎛⎭⎫π6>g ⎝⎛⎭⎫π4， 即2f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4.【同构法导数构造】【例28】若存在x ，y ∈(0，＋∞)使得x ln(2ax )＋y ＝x ln y ，则实数a 的最大值为( ) A.1eB.12eC.13eD.2e【答案】 B【解析】 由x ln(2ax )＋y ＝x ln y ，得ln(2a )＝ln y x －y x ，令t ＝y x >0，g (t )＝ln t －t ，则g ′(t )＝1t －1＝1－t t ，当0<t <1时，g ′(t )>0，当t >1时，g ′(t )<0，所以g (t )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当t ＝1时，g (t )取得极大值即最大值g (1)＝－1，因为当t →0时，g (t )→－∞，所以g (t )∈(－∞，－1]，所以ln 2a ≤－1，所以0<a ≤12e ，所以实数a 的最大值为12e .【分参法解决恒成立问题】【例29】已知函数f (x )＝(x －2)e x －12ax 2＋ax (a ∈R )．(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝(x －2)e x ，f (0)＝(0－2)e 0＝－2，f ′(x )＝(x －1)e x ，k ＝f ′(0)＝(0－1)e 0＝－1，所以切线方程为y ＋2＝－(x －0)，即x ＋y ＋2＝0.(2)方法一 当x ≥2时，f (x )≥0恒成立，等价于当x ≥2时，(x －2)e x －12ax 2＋ax ≥0恒成立．即⎝⎛⎭⎫12x 2－x a ≤(x －2)e x 在[2，＋∞)上恒成立.当x ＝2时，0·a ≤0，所以a ∈R .当x >2时，12x 2－x >0，所以a ≤(x －2)e x 12x 2－x＝2e x x 恒成立． 设g (x )＝2e x x ，则g ′(x )＝2(x －1)e x x 2， 因为x >2，所以g ′(x )>0，所以g (x )在区间(2，＋∞)上单调递增．所以g (x )>g (2)＝e 2，所以a ≤e 2.综上所述，a 的取值范围是(－∞，e 2]．【整体法解决恒成立问题】【例30】已知函数f (x )＝e x －1－ax ＋ln x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处的切线与直线3x －y ＝0平行，求a 的值；(2)若不等式f (x )≥ln x －a ＋1对一切x ∈[1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝e x －1－a ＋1x ，∴f ′(1)＝2－a ＝3，∴a ＝－1，经检验a ＝－1满足题意，∴a ＝－1，(2)f (x )≥ln x －a ＋1可化为e x －1－ax ＋a －1≥0，x >0，令φ(x )＝e x －1－ax ＋a －1，则当x ∈[1，＋∞)时，φ(x )min ≥0，∵φ′(x )＝e x －1－a ，①当a ≤1e 时，φ′(x )>0，∴φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，∴φ(x )min ＝φ(1)＝1－a ＋a －1＝0≥0恒成立，∴a ≤1e 符合题意．②当a >1e 时，令φ′(x )＝0，得x ＝ln a ＋1.当x ∈(0，ln a ＋1)时，φ′(x )<0，当x ∈(ln a ＋1，＋∞)时，φ′(x )>0，∴φ(x )在(0，ln a ＋1)上单调递减，在(ln a ＋1，＋∞)上单调递增．当ln a ＋1≤1，即1e <a ≤1时，φ(x )在[1，＋∞)上单调递增，φ(x )min ＝φ(1)＝0≥0恒成立，∴1e <a ≤1符合题意．当ln a ＋1>1，即a >1时，φ(x )在[1，ln a ＋1)上单调递减，在(ln a ＋1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )min ＝φ(ln a ＋1)<φ(1)＝0与φ(x )≥0矛盾．故a >1不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．【双变量的恒(能)成立问题】【例31】设f (x )＝a x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)存在x 1，x 2∈[0,2]，使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]max ≥M 成立． g ′(x )＝3x 2－2x ＝x (3x －2)，令g ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23，∵g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527， 又g (0)＝－3，g (2)＝1， ∴当x ∈[0,2]时，g (x )max ＝g (2)＝1，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫23＝－8527， ∴M ≤1－⎝⎛⎭⎫－8527＝11227， ∴满足条件的最大整数M 为4.(2)对任意的s ，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2有f (s )≥g (t )，则f (x )min ≥g (x )max .由(1)知当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，g (x )max ＝g (2)＝1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立， 即a ≥x －x 2ln x 恒成立．令h (x )＝x －x 2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴h ′(x )＝1－2x ln x －x ， 令φ(x )＝1－2x ln x －x ， ∴φ′(x )＝－3－2ln x <0，h ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，又h ′(1)＝0，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，h ′(x )≥0， 当x ∈[1,2]时，h ′(x )≤0，∴h (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，在[1,2]上单调递减，∴h (x )max ＝h (1)＝1，故a ≥1.∴实数a 的取值范围是[1，＋∞)．【利用导数证明不等式】【例32】已知函数g (x )＝x 3＋ax 2.(1)若函数g (x )在[1,3]上为单调函数，求a 的取值范围；(2)已知a >－1，x >0，求证：g (x )>x 2ln x .(1)解 由题意知，函数g (x )＝x 3＋ax 2，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ，若g (x )在[1,3]上单调递增，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≥0在[1,3]上恒成立，则a ≥－32；若g (x )在[1,3]上单调递减，则g ′(x )＝3x 2＋2ax ≤0在[1,3]上恒成立，则a ≤－92.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫－32，＋∞. (2)证明 由题意得，要证g (x )>x 2ln x ，x >0，即证x 3＋ax 2>x 2ln x ，即证x ＋a >ln x ，令u (x )＝x ＋a －ln x ，x >0，可得u ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，x >0，当0<x <1时，u ′(x )<0，函数u (x )单调递减；当x >1时，u ′(x )>0，函数u (x )单调递增．所以u (x )≥u (1)＝1＋a ，因为a >－1，所以u (x )>0，故当a >－1时，对于任意x >0，g (x )>x 2ln x .【例33】已知函数f (x )＝a ln x ＋x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明：xf (x )<e x .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋1＝x ＋a x .当a ≥0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，若x ∈(－a ，＋∞)，则f ′(x )>0；若x ∈(0，－a )，则f ′(x )<0.所以f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，f (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，在(0，－a )上单调递减．(2)证明 当a ＝1时，要证xf (x )<e x ，即证x 2＋x ln x <e x ，即证1＋ln x x <e x x 2.令函数g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2.令g ′(x )>0，得x ∈(0，e)；令g ′(x )<0，得x ∈(e ，＋∞)．所以g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (e)＝1＋1e ，令函数h (x )＝e x x 2，则h ′(x )＝e x (x －2)x 3.当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0.所以h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (2)＝e 24.因为e 24－⎝⎛⎭⎫1＋1e >0，所以h (x )min >g (x )max ，即1＋ln x x <e x x 2，从而xf (x )<e x 得证．【例34】已知函数f (x )＝e x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当x >－2时，求证：f (x )>ln(x ＋2)．(1)解 由f (x )＝e x ，得f (0)＝1，f ′(x )＝e x ，则f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝x －0，所以所求切线方程为x －y ＋1＝0.(2)证明 设g (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x －x －1(x >－2)，则g ′(x )＝e x －1，当－2<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0，即g (x )在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，于是当x ＝0时，g (x )min ＝g (0)＝0，因此f (x )≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)，令h (x )＝x ＋1－ln(x ＋2)(x >－2)，则h ′(x )＝1－1x ＋2＝x ＋1x ＋2， 则当－2<x <－1时，h ′(x )<0，当x >－1时，h ′(x )>0，即有h (x )在(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，于是当x ＝－1时，h (x )min ＝h (－1)＝0，因此x ＋1≥ln(x ＋2)(当且仅当x ＝－1时取等号)，所以当x >－2时，f (x )>ln(x ＋2)．【隐零点问题】【例35】已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)证明不等式e x －2－ax >f (x )恒成立． 【解析】 (1) f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)设函数φ(x )＝e x －2－ln x (x >0)，则φ′(x )＝e x －2－1x ，可知φ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又由φ′(1)<0，φ′(2)>0知，φ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一实数根x 0，且1<x 0<2， 则φ′(x 0)＝02ex −－1x 0＝0， 即02e x −＝1x 0. 当x ∈(0，x 0)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增，所以φ(x )≥φ(x 0)＝02ex −－ln x 0， 结合02e x −＝1x 0， 知x 0－2＝－ln x 0，所以φ(x )≥φ(x 0)＝1x 0＋x 0－2＝x 20－2x 0＋1x 0＝(x 0－1)2x 0>0， 则φ(x )＝e x －2－ln x >0，即不等式e x －2－ax >f (x )恒成立．【极值点偏移问题】【例36】已知函数f (x )＝a e x －x ，a ∈R .若f (x )有两个不同的零点x 1，x 2.证明：x 1＋x 2>2.【解析】由f (x )＝a e x －x ＝0，得x e x －a ＝0，令g (x )＝x e x －a ，则g ′(x )＝1－x e x ，由g ′(x )＝1－x e x >0，得x <1；由g ′(x )＝1－x e x <0，得x >1.所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，由于x 1，x 2是方程g (x )＝0的实根，不妨设x 1<1<x 2，方法一 (对称化构造函数法)要证x 1＋x 2>2， 只要证x 2>2－x 1>1.由于g (x )在(1，＋∞)上单调递减，故只要证g (x 2)<g (2－x 1)， 由于g (x 1)＝g (x 2)＝0，故只要证g (x 1)<g (2－x 1)，令H (x )＝g (x )－g (2－x )＝x e x －2－x e 2－x (x <1)， 则H ′(x )＝1－x e x －1－x e 2－x ＝(e 2－x －e x )(1－x )e 2， 因为x <1，所以1－x >0,2－x >x ，所以e 2－x >e x ，即e 2－x －e x >0，所以H ′(x )>0，所以H (x )在(－∞，1)上单调递增． 所以H (x 1)<H (1)＝0，即有g (x 1)<g (2－x 1)成立，所以x 1＋x 2>2.方法二 (比值代换法)设0<x 1<1<x 2，由g (x 1)＝g (x 2)，得1212e e x x x x −−=，等式两边取对数得ln x 1－x 1＝ln x 2－x 2.令t ＝x 2x 1>1，则x 2＝tx 1，代入上式得ln x 1－x 1＝ln t ＋ln x 1－tx 1，得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln t t －1. 所以x 1＋x 2＝(t ＋1)ln t t －1>2⇔ln t －2(t －1)t ＋1>0， 设g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，所以g ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0， 所以当t >1时，g (t )单调递增， 所以g (t )>g (1)＝0，所以ln t －2(t －1)t ＋1>0，故x 1＋x 2>2.。
完整版)导数大题练习带答案
完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。
Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。
+\infty)$。
Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。
m+3]$ 上的最值。
$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。
m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。
Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。
证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。
2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。
Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。
$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。
高考数学专题：导数大题专练附答案
高考数学专题：导数大题专练附答案一、解答题 1．已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值(2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈． (1)讨论函数()f x 在区间()1,e 的极值；(2)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．3．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <．4．已知a R ∈，函数()22e 2xax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1201x x ，（ⅰ）求a 的取值范围；（ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数）5．设函数()()2()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈.(1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 6．求下列函数的导数： (1)2cos x xy x -=； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-．7．已知函数()e xf x kx =-，()()28ln ag x x x a R x=--∈.(1)当1k =时，求函数()f x 在区间[]1,1-的最大值和最小值；(2)当()0f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，求实数k 的取值范围；(3)当函数()g x 有两个极值点1x ，()212x x x <，且11x ≠时，是否存在实数m ，总有()21221ln 51a x m x x x >--成立，若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.8．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围． 9．已知函数()()1ln f x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间和极值；(2)若m Z ∈，()()1m x f x -<对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求m 的最大值. 10．已知函数2()e 1)(x f x ax x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； (2)若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围； (3)若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围.【参考答案】一、解答题1．(1)22ln 2ln 2a a --+ (2)2a = 【解析】 【分析】（1）求导求解单调性即可求出最值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤，求单调性求解即可. (1)因为()()2ln 0f x a x ax a =+->，所以()()20axf x a x-'=>， 由()0f x '>得20x a <<；()0f x '<得2x a>；所以()f x 在20,a⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()222ln 2ln 2max f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，即()()22ln 2ln 20a a a a ϕ=--+>.(2)要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln 20a a a ϕ=--+≤， 因为()2a a aϕ-'=，所以当02a <<，()0a ϕ'<；当2a >时，()0a ϕ'>. 所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以()()20min a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2．(1)答案见解析 (2)211e b ≤-【解析】 【分析】（1）先讨论()f x 的单调性再确定()f x 在()1,e 上的极值（2）利用极值点处的导数为求出1a =，代入恒成立的不等式中，用分离参数法求b 的取值范围 (1)在区间()0,∞+上， ()11ax f x a xx-'=-=， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()1,e 上单调递减， 则()f x 在区间()1,e 上无极值； 当0a >时，令()0f x '=得1x a=， 在区间10,a⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在区间1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增.若11e a <<，即11e a<<，则()f x 在区间()1,e 上极小值1ln f a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭若1a ≥或10ea <≤，即11a≤或1e a≥，则()f x 在区间()1,e 上无极值 (2)因为函数()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意 由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1+xb xx-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令()1ln 1x g x xx =+-，则()22211ln ln 2x x g x x x x-='---=， 当()20,e x ∈时，()0g x '<；当()2e ,x ∈+∞时，()0g x '> 所以()g x 在()20,e 上单调递减，在()2e ,+∞上单调递增，所以()()22min 1e 1e g x g ==-， 即211e b ≤-. 3．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=> 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x << 令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=， 则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减 由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+- 则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=⎪⎝⎝⎭⎭令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=> 即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立.则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭， 又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x <<则211x x >，故121x x <4．(1)(21y x =-+(2)（ⅰ）22e ,-；（ⅱ）证明见解析【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；（2）（ⅰ）原问题等价于12,x xa =-的两根，且1201x x ，从而构造函数())0g x x =>，将问题转化为直线y a =-与函数()g x 的图象有两个交点，且交点的横坐标大于0小于1即可求解；（ⅱ）由1e x x +≤，利用放缩法可得()()1112210x ax f x '++-=，即1x 2114x <<，从而可证21x x -<()21e 011x xx x +<<<-，然后利用放缩法可得()()1201,21i i i ix ax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，最后构造二次函数()(222m x ax a x =-++++21x x ->而得证原不等式. (1)解：因为()22e x f x ax '=+所以()02f '=()01f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为(21y x =-+； (2)解：（ⅰ）因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是关于x 的方程()22e 0x f x ax =+'的两根，也是关于x的方程a =-的两正根， 设())0g x x =>，则()g x '=， 令())224e 2e 0x x h x x x =->，则()28e xh x x '=，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，又104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当104x <<时，()0h x <，()0g x '<；当14x >时，()0h x >，()0g x '>，所以函数()g x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 又因为1201x x ，所以()114g a g ⎛⎫<-<⎪⎝⎭，即22e a <-<- 所以a的取值范围是22e ,-；22e 9a <<-， 因为1e x x +≤，所以()()1112210x ax f x '++-=，所以()142a x +-，所以1x 2114x <<，所以211x x -<= 下面先证明不等式()21e 011x xx x+<<<-， 设()()2101e 1xx r x x x -=⋅<<+，则()()2222e 1x x r x x '=-+， 所以，当01x <<时，()0r x '<，()r x '在()0,1上单调递减，所以，()()01r x r <=，所以不等式()21e 011xxx x+<<<-成立， 因为12,x x ，()1201x x <<<是()22e 0x f x ax '=+=的两个根，所以()()01,2i f x i '==，又()21e 011x xx x+<<<-，所以()()1201,21ii i ixax f x i x +'⋅+->==-，即(()22201,2i i ax a x i -++++-=，设函数()(222m x ax a x =-++++x t ==因为((()2224261620a a a ∆=+++-=+-+->，且()00m >，()10m >，102t <<， 所以函数()m x 有两个不同的零点，记为α，()βαβ<，且01t αβ<<<<，因为()22616212e 201ta tf t at at t+++'=+-⋅+-=<-，且()00f '>，()10f '>，所以1201x x ，因为()m x 在()0,t 上单调递减，且()()10m x m α>=，所以10x t α<<<； 因为()m x 在(),1t 上单调递增，且()()20m x m β>=，所以21t x β<<<； 所以1201x x αβ<<<<<，所以21x x βα->-，因为βα-=又()109a -<<<-，所以βα-> 所以21x x-> 综上，21x x <-< 【点睛】关键点点睛：本题（2）问（ii ）小题证明的关键是，利用1e x x +≤，进行放缩可得1x 21x x -<；再利用()21e 011xx x x +<<<-，进行放缩可得()()1201,21ii i ix ax f x i x+'⋅+->==-，从而构造二次函数()(222mx ax a x =-++++21x x ->5．(1)322ln230x y -+-=(2)当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)0,1【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据()0,0x f x ∀>成立，转化为()min 0,0x f x ∀>即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1)当1a =时，()2()ln 1f x x x x =++-()()21ln 1111ln 2f =++-=，所以切点为()1,ln2，()()11321,12111112f x x k f x ''=+-∴==+⨯-=++， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()312k f ='=， 所以曲线()y f x =在点()1,ln2处的切线的斜率切线方程为()3ln212y x -=-，即322ln230x y -+-= (2)由题意知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()21212111ax ax a f x a x x x +-+=+-='++，令()()221,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（i ）当0a =时，()10f x '=>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点 （ii ）当0a >时，()Δ98a a =-，①当809a <≤时，()()Δ0,0,0g x f x '≤≥≥， 所以函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，Δ0>，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x <()121211111,,,110,12444x x x x g x +=-∴---=>-<<∴<->()()121,,,x x x ∴∈-+∞时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减. ∴函数有两个极值点；③当0a <时，()Δ980a a =->，设方程2210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==此时12x x >()12110,1x g x -=>∴-<<()11,x x ∴∈-时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； ()1,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.∴函数有一个极值点；综上所述：当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)由()0,0x f x ∀>成立等价于()min 0,0x f x ∀>≥即可. ①当809a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；②当819a <≤时，由()00g >，得20x ≤，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意； ③当1a >时，由()00<g ，得20x >()20,x x ∴∈时， ()f x 单调递减,()()200,0,f x x =∴∈时，()0f x <时，不合题意；④当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，()0,x ∈+∞，时，()()110,11x h x h x x x =-=>∴+'+在()0,+∞上单调递增. ∴当()0,x ∞∈+时，()()00h x h >=，即()ln 1x x +<，可得()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时，()210ax a x +-<，此时()0f x <，不合题意.综上，a 的取值范围是0,1. 【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解. 6．(1)'y ()31sin 2cos x x xx --=；(2)'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--；(3)'y ()551ln 3x =-⋅.【解析】 【分析】根据导数的运算法则，对（1）（2）（3）逐个求导，即可求得结果. (1)因为2cos x x y x -=，故'y ()()()243sin 12cos 1sin 2cos x x x x x x x x x x ------==. (2)因为()e 1cos 2x x y x =+-，故'y ()e 1cos sin 2ln 2x xx x =+--.(3)因为()3log 51y x =-，故'y ()()155?51ln 351ln 3x x =⨯=--⋅. 7．(1)最大值为e 1-，最小值为1；(2)21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (3)(],1-∞-. 【解析】 【分析】（1）求得'()f x ，利用导数研究函数在区间上的单调性，再利用单调性求其最值即可；（2）分离参数并构造函数()e xh x x=，求其在区间上的值域即可求得参数的范围；（3）根据12,x x 是()g x 的极值点，求得12,,x x a 的等量关系以及取值范围，等价转化目标不等式，且构造函数()()212ln ,02m x m x x x x-=+<<，对参数进行分类讨论，利用导数研究其值域，即可求得参数范围.(1)当1k =时，()e xf x x =-，'()f x e 1x =-，令'()f x 0=，解得0x =，当()1,,0x ∈-时，()f x 单调递减，当()0,1x ∈时，()f x 单调递增； 又()()()111,01,1e 1ef f f -=+==-，且()()11f f >-， 故()f x 在[]1,1-上的最大值为e 1-，最小值为1. (2)令()e xf x kx =-0=，因为1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x ≠，故e xk x =，令()e 1,,22x h x x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则'()h x ()2e 1 x x x-=， 故当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()h x 单调递减，当()1,2x ∈，()h x 单调递增， 又()()2111e,2e 22h h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，且()122h h ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故()h x 的值域为21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则要满足题意，只需21e,?e 2k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.即()h x 的取值范围为：21e,?e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(3)因为()28ln a g x x x x =--，'()g x 2228282a x x a x x x -+=+-=，因为()g x 有两个极值点12,x x ，故可得12126480,4,02a a x x x x ->+==>， 也即08a <<，且12124,2ax x x x +==. 因为11x ≠，12x x <，故()()10,11,2x ∈⋃，则()21221ln 51a x m x x x >--，即()()()211111124ln 5441x x x m x x x -⎡⎤>---⎣⎦-， 因为140x ->，故上式等价于()11112ln 11x x m x x >+-，即()21111112ln 01m x x x x x ⎡⎤-⎢⎥+>-⎢⎥⎣⎦，又当()0,1x ∈时，1101x x >-，当()1,2x ∈时，1101xx <-， 令()()212ln ,02m x m x x x x-=+<<，则'()m x 222mxx mx ++=， 当0m ≥时，'()m x 0>，故()m x 在()0,2单调递增，又()10m =， 故当()0,1x ∈时，()0m x <，当()1,2x ∈时，()0m x >，故不满足题意；当0m <时，令()22n x mx x m =++，若方程()0n x =对应的2440m =-≤时，即1m ≤-时，'()m x 0≤，()m x 单调递减， 又()10m =，故当()0,1x ∈时，()0m x >，当()1,2x ∈时，()0m x <，满足题意； 若2440m =->，即10m -<<时，又()y n x =的对称轴11x m=->，且开口向下， 又()1220n m =+>，不妨取1min ,2b m ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭， 故当()1,x b ∈，'()m x 0>，()m x 单调递增，又()10m =， 故此时()0m x >，不满足题意，舍去； 综上所述：m 的取值范围为(],1-∞-. 【点睛】本题考察利用导数研究函数值域，有解问题，以及利用导数处理恒成立问题；其中第三问中，合理的处理12,,x x a 以及m 多变量问题，以及构造函数，是解决本题的关键，属综合困难题. 8．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1xxxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >， 令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时， 由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e xg x a x a x x '=+->+-，e e e 0e e a a g a a a ⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭， 又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点， 又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+， 令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增， 又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >， 又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点， 综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+.9．(1)递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，极小值为2e --，没有极大值 (2)3 【解析】【分析】（1）由导数分析单调性后求解 （2）参变分离后，转化为最值问题求解 (1)函数()()1ln f x x x =+的定义域为(0,)+∞， 由()=ln 2f x x '+，令()=0f x '可得2e x -=，当2(0,)e x -∈时，()0f x '<，函数()()1ln f x x x =+在2(0,e )-上单调递减， 当2(e ,)x -∈+∞时，()0f x '>，函数()()1ln f x x x =+在2(e ,)-+∞上单调递增， ∴ 函数()()1ln f x x x =+的递增区间为2(e ,)-+∞，递减区间为2(0,e )-，函数()()1ln f x x x =+在2e x -=时取极小值，极小值为2e --，函数()()1ln f x x x =+没有极大值 (2)当()1,x ∈+∞时，不等式()()1m x f x -<可化为ln 1x x xm x +<-， 设ln ()1x x xg x x +=-，由已知可得[]min ()g x m <， 又()()()22ln 2(1)ln 2'ln 11()x x x x g x x x x x x +---==----， 令()ln 2(1)h x x x x =-->，则1'()10h x x=->，∴ ()ln 2h x x x =--在()1,+∞上为增函数，又(3)1ln30h =-<，(4)2ln 40h =->， ∴ 存在0(3,4)x ∈，使得0()0h x =，即002ln x x -= 当()01,x x ∈时，()0g x '<，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(1,)x 上单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，函数ln ()1x x xg x x +=-在0(,)x +∞上单调递增， ∴ []20000000min 00ln ()=()==11x x x x x g x g x x x x +-=--， ∴ 0m x <， ∴ m 的最大值为3. 10．(1)1y = (2)1(,)2-∞ (3)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）先求导后求出切线的斜率'(0)0f =，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论； （3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解. (1)解：由题意得：22'e 121)e 2)()((x x ax x a f x ax x x ax =-++-=+- '(0)0f =，(0)1f =故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程1y =. (2)由（1）得要使得()f x 在0x =处取得极大值，'()f x 在0x <时应该'()0f x >，'()f x 在0x >时应该'()0f x <，'e 2(1)()x x x ax f a =+-故①0a <且120aa-<，解得0a < ②0a >且120a a->，解得102a <<当0a =时，'()e x f x x =-，满足题意； 当12a =时，'21(e )2x f x x =，不满足题意； 综上：a 的取值范围为1(,)2-∞. (3)可以分三种情况讨论：①0a ≤②102a <<③12a ≥ 若0a ≤，()f x 在12(,)a a --∞上单调递减，在12(,0)aa-单调递增，在(0,)+∞上单调递减，无最小值；若102a <<时，当0x <时，x 趋向-∞时，()f x 趋向于0；当0x > ，要使函数取得存在最小值121221212112()[(41)0e ()]e a aaa a a a f a a a a a a -----=-=-≤+，解得104a <≤，故 12a x a -=处取得最小值,故a 的取值范围10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 若12a ≥时，()f x 在x 趋向-∞时，()f x 趋向于0，又(0)1f =故无最小值； 综上所述函数()f x 存在最小值， a 的取值范围10,4⎛⎤⎥⎝⎦.。
高中数学专题练习《导数的四则运算法则》含详细解析
5.2.2导数的四则运算法则基础过关练题组一导数的四则运算法则1.函数f(x)=x 2x+3的导数f'(x)=()A.x 2+6xx+3B.-2x(x+3)2C.x2+6x(x+3)2D.3x2+6x(x+3)22.函数y=x2cos x的导数为()A.y'=2xcos x-x2sin xB.y'=2xcos x+x2sin xC.y'=x2cos x-2xsin xD.y'=xcos x-x2sin x3.已知f(x)=x2+e x,则f'(0)=()A.0B.-4 C.-2 D.14.对于函数f(x)=e xx2+ln x-2kx,若f'(1)=1,则实数k等于()A.e2B.e3C.-e2D.-e35.(2020浙江宁波余姚中学高二下月考)设f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)满足() A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0C.y=f(x)-g(x)为常数函数D.y=f(x)+g(x)为常数函数6.若函数f(x)=x 2e x,则f'(x)=.7.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h'(5)=.8.求下列函数的导数.(1)y=x-2+x2;(2)y=3x e x-2x+e;(3)y=lnxx2+1;(4)y=x2-4sin x2cos x2.题组二求导法则的综合应用9.已知函数f(x)=f'(1)+xln x,则f(e)=()A.1+eB.eC.2+eD.310.已知定义在R上的函数f(x)=e x+x2-x+sin x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为()A.y=3x-2B.y=x+1C.y=2x-1D.y=-2x+311.(2020浙江嘉兴高三上期末)设曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b≠0)垂直,则ab=()A.13B.-13C.3D.-312.(2020河北保定高二上期末)设曲线f(x)=ae x-ln x(a≠0)在x=1处的切线为l,则l在y轴上的截距为()A.1B.2C.aeD.ae-113.若质子的运动方程为s=tsin t,其中s的单位为m,t的单位为s,则质子在t=2s时的瞬时速度为m/s.14.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线方程为.15.(2020江西南昌三中高二下期中)已知函数f(x)=x-2ln x,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.能力提升练题组导数的四则运算法则及其应用1.()设函数f(x)=sinθ3x3+√3cosθ2x2+tanθ,其中θ∈[0,5π12],则导数f'(1)的取值范围是()A.[-2,2]B.[√2,√3]C.[√3,2]D.[√2,2]2.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=()A.13B.-23C.73D.-13或533.(2019河北衡水中学高三二调,)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=e x(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=1,则(易错)A.f(x)=e x(x+1)B.f(x)=e x(x-1)C.f(x)=e x(x+1)2D.f(x)=e x(x-1)24.()设函数f(x)=xsin x+cos x的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)图象的一部分可以是()5.(多选)()给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,π)上不是凸函数的是()2A.f(x)=sin x-cos xB.f(x)=ln x-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=xe x6.()对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x3-3x2+1,则g(1100)+g(2100)+…+g(99100)=.7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.8.()已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的AOB⏜上求一点P,使△ABP的面积最大.9.()已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3e x,f(1)=e-1,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.答案全解全析基础过关练1.C f'(x)=(x 2)'(x+3)−x2(x+3)′(x+3)2=2x(x+3)−x 2(x+3)2=2x2+6x-x2(x+3)2=x2+6x(x+3)2.故选C.2.A对函数y=x2cos x求导,得y'=2xcos x+x2·(-sin x)=2xcos x-x2sin x.故选A.3.D由题意,得f'(x)=2x+e x,则f'(0)=1,故选D.4.A因为f'(x)=e x(x-2)x3+1x+2kx2,所以f'(1)=-e+1+2k=1,解得k=e2,故选A.5.C取f(x)=x,g(x)=x+1,满足f'(x)=g'(x),可以验证A、B、D错误;由f'(x)=g'(x),得f'(x)-g'(x)=0,即[f(x)-g(x)]'=0,所以f(x)-g(x)=c(c为常数),C 正确.故选C.6.答案2x-x 2e x解析f'(x)=2xe x-x2e x(e x)2=2x-x2e x.7.答案516解析由题意得,h'(x)=f'(x)g(x)-[f(x)+2]g'(x)[g(x)]2,由f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,得h'(5)=f'(5)g(5)-[f(5)+2]g'(5)[g(5)]2=3×4−(5+2)×142=516.8.解析(1)y'=2x-2x-3. (2)y'=(ln3+1)·(3e)x-2x ln2.(3)y'=x 2+1−2x 2lnx x(x 2+1)2.(4)∵y=x 2-4sin x2cos x 2=x 2-2sin x,∴y'=2x-2cos x.9.A ∵f'(x)=ln x+1,∴f'(1)=ln 1+1=1,则f(x)=1+xln x,∴f(e)=1+eln e=1+e.10.B ∵f'(x)=e x +2x-1+cos x,∴切线的斜率k=f'(0)=1,又f(0)=1,∴切线方程为y=x+1. 11.B 依题意得y'=x -2-(x+1)(x -2)2=-3(x -2)2,则y'x=1=-3,由于曲线y=x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b ≠0)垂直,所以(-3)·(-ab)=-1,解得a b=-13.故选B.12.A 因为函数f(x)=ae x -ln x(a ≠0), 所以f'(x)=ae x -1x ,将x=1代入,得k=ae-1,又f(1)=ae,所以曲线f(x)在x=1处的切线l 的方程为y-ae=(ae-1)(x-1), 整理得y=(ae-1)x+1,令x=0,得y=1. 所以l 在y 轴上的截距为1.故选A. 13.答案 sin 2+2cos 2解析 ∵s'=(tsin t)'=sin t+tcos t, ∴所求瞬时速度为(sin 2+2cos 2)m/s. 14.答案 3x-y-11=0解析 ∵y'=3x 2+6x+6=3(x 2+2x+2) =3(x+1)2+3≥3,∴当x=-1时,y'最小,即此时切线的斜率最小,此时切点为(-1,-14), ∴切线方程为y+14=3(x+1), 即3x-y-11=0.15.解析 ∵函数f(x)=x-2ln x 的导函数为f'(x)=1-2x ,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=1-2=-1,又f(1)=1,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.能力提升练1.D f'(x)=sin θ·x 2+√3cos θ·x, ∴f'(1)=sin θ+√3cos θ=2sin (θ+π3),∵θ∈[0,5π12],∴θ+π3∈[π3,3π4],∴sin (θ+π3)∈[√22,1],∴f'(1)=2sin (θ+π3)∈[√2,2].故选D.2.D 因为f'(x)=x 2+2ax+a 2-1,所以y=f'(x)的图象开口向上,排除②④.若y=f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=53;若y=f'(x)的图象为③,则a 2-1=0,得a=±1.又对称轴x=-a>0,所以a=-1,所以f(-1)=-13.3.D 由f'(x)=e x (2x-2)+f(x), 得f'(x)-f(x)e x =2x-2,即[f(x)e x]'=2x-2,所以f(x)e x=x 2-2x+c(c 为常数),所以f(x)=(x 2-2x+c)e x , 又因为f(0)=1,所以c=1,所以函数f(x)的解析式是f(x)=e x (x-1)2.故选D.易错警示 已知原函数可求出唯一的导函数,已知导数求原函数,则结论不唯一,如本题中由y'=2x-2可以得到y=x 2-2x+c(c 为常数),解题时容易将c 遗漏导致解题错误. 4.A 由f(x)=xsin x+cos x,可得f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 则g(t)=f'(t)=tcos t,易知函数g(t)是奇函数,排除选项B,D; 当t ∈(0,π2)时,g(t)>0,排除选项C.故选A.5.AD 对于A,f'(x)=cos x+sin x, f″(x)=-sin x+cos x,当x ∈(0,π4)时,f″(x)>0,故f(x)=sin x-cos x 不是凸函数;对于B,f'(x)=1x-2,f″(x)=-1x2<0,故f(x)=ln x-2x 是凸函数; 对于C,f'(x)=-3x 2+2,f″(x)=-6x,当x ∈(0,π2)时,f″(x)<0,故f(x)=-x 3+2x-1是凸函数;对于D,f'(x)=(x+1)e x ,f″(x)=(x+2)e x ,当x ∈(0,π2)时,f″(x)>0,故f(x)=xe x 不是凸函数.故选AD.6.答案992解析 依题意得,g'(x)=6x 2-6x,g″(x)=12x -6,令g″(x)=0,解得x=12, ∵g (12)=12,∴函数g(x)的对称中心为(12,12),则g(1-x)+g(x)=1,∵1100+99100=2100+98100=…=49100+51100=1,∴g (1100)+g (99100)=g (2100)+g (98100)=…=g (49100)+g (51100)=1,∴g (1100)+g (2100)+…+g (99100) =[g (1100)+g (99100)]+[g (2100)+g (98100)] +…+[g (49100)+g (51100)]+g (12) =49+12=992.7.解析 (1)由题意得f'(x)=x 2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即曲线C 上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知, {k ≥−1,-1k ≥−1,解得-1≤k<0或k ≥1,故由-1≤x 2-4x+3<0或x 2-4x+3≥1,得x ∈(-∞,2-√2]∪(1,3)∪[2+√2,+∞).8.解析 因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要点P 到AB 的距离最大即可,即点P 是抛物线的切线中平行于AB 的切线的切点,设P(x,y).由题图知,点P 在x 轴下方的图象上,所以y=-2√x ,所以y'=-√x . 因为k AB =-12,所以-√x =-12,解得x=4.由y=-2√x ,得y=-4, 所以点P 的坐标为(4,-4).9.解析 ∵xf'(x)-2f(x)=x 3e x ,x ∈(0,+∞),∴xf'(x)-2f(x)x 3=e x . 令g(x)=f(x)x 2,则g'(x)=xf'(x)-2f(x)x 3=e x , ∴g(x)=f(x)x 2=e x +c(c 为常数),∴f(x)=x 2(e x +c).又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1.∴f(x)=x 2(e x -1),∴f'(x)=2x(e x -1)+x 2e x =(x 2+2x)e x -2x,∴f'(2)=8e 2-4.又f(2)=4(e 2-1),∴所求切线方程为y-4(e 2-1)=(8e 2-4)·(x-2),即y=(8e 2-4)x-12e 2+4.。
浙江宁波市效实中学导数及其应用多选题试题含答案
浙江宁波市效实中学导数及其应用多选题试题含答案一、导数及其应用多选题1．对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A ．()321f x x x =-+B ．()21xf x e x =--C ．()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D ．4()sin f x x x =【答案】BC 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论． 【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x =-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”；B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②， ∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-， ∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”； C 中，由函数()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F x F <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”； 故选：BC ． 【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．2．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）A ．(4)(3)f ef >B ．2(4)(2)f e f ->-C ．3(4)41f e >-D ．2(4)41f e -<--【答案】ACD 【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】 因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦， 令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.3．设函数cos 2()2sin cos xf x x x=+，则（ ）A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 【答案】AD 【分析】先证明()f x 为周期函数，周期为π，从而A 正确，再利用辅助角公式可判断B 的正误，结合导数的符号可判断C D 的正误． 【详解】()f x 的定义域为R ，且cos 2()2sin cos xf x x x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤当y =时，有1cos 4ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max y =B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一解0x ，故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 故选：AD 【点睛】方法点睛：与三角函数有关的复杂函数的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而单调性的研究需看函数解析式的形式，比如正弦型函数或余弦型函数可利用整体法来研究，而分式形式则可利用导数来研究，注意辅助角公式在求最值中的应用．4．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13ax -=-，23a x -= 当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值 极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 当3a x -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需0303a f a f ⎧⎛--<⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a ab -<<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨-⎪>⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a ab ->>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.5．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．6．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）. A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x=++>， 则()222131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*）因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>， 所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=， 将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为k 为整数，所以0k ≤. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.7．关于函数()sin x f x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列结论正确的有（ ） A ．当1a =时，()f x 在()0,(0)f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在惟一极小值点0x C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点 【答案】ABD 【分析】逐一验证，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项B ，通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题. 【详解】对于A ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，所以(0)1f =，故切点为()0,1，()cos x f x e x '=+，所以切线斜(0)2k f '==，故直线方程为()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，故选项A 正确； 对于B ：当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，()cos x f x e x '=+，()()sin 0,,xf x e x x π''=->∈-+∞恒成立，所以()f x '单调递增，又202f π⎛⎫'=>⎪⎝⎭，334433cos 0442f e e ππππ--⎛⎫⎛⎫'-=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以存在03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 即00cos 0xe x +=，则在()0,x π-上，()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,x +∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以存在惟一极小值点0x ，故选项B 正确；对于 C 、D ：()sin xf x e a x =+,(),x π∈-+∞，令()sin 0xf x e a x =+=得：1sin x x a e-=， 则令sin ()xxF x e =，(),x π∈-+∞，)cos sin 4()x x x x x F x e e π--'==，令()0F x '=，得：4x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈，由函数)4y x π=-图象性质知：52,244x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭)04x π->，sin ()x x F x e =单调递减，52,2244x k k πππππ⎛⎫∈+++ ⎪⎝⎭)04x π-<，sin ()x x F x e =单调递增，所以当524x k ππ=+，1k ≥-，k Z ∈时，()F x 取得极小值， 即当35,,44x ππ=-时，()F x 取得极小值， 又354435sin sin 44eeππππ-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即3544F F ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又因为在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭，sin ()x xF x e=单调递减，所以343()4F x F e ππ⎛⎫≥=⎪⎝⎭，所以24x k ππ=+，0k ≥，k Z ∈时，()F x 取得极大值，即当944x ππ=、， 时，()F x 取得极大值. 又9449sin sin 44e e ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<<，即()442F x F e π⎛⎫≤=⎪⎝⎭当(),x π∈-+∞时，344()22e F x e ππ-≤≤，所以当341e a π-<，即4a e > ()f x 在(),π-+∞上无零点，所以选项C 不正确；当3412e a π-=-时，即4a e π=时，1=-y a 与sin x xy e=的图象只有一个交点，即存在0a <，()f x 在(),π-+∞有且只有一个零点， 故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题.8．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞- D．1112x ⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x x y e -=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题.【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x x m e -=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x x y e -=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x x y e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-； 故作出函数11y x x =--，12x x y e-=-的图像如图所示， 注意到：当()0,1x ∈时，11122x x x x x e ---<-<-， 由图可知，3201x x <<<，()2,1m ∈--，从而()11112,1x x --∈--，解得115,12x ⎛⎫--∈- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以选项AD 正确，选项C 错误，又121310x x x x -=<<.故选：ABD .【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。
(完整版)导数大题练习带答案
导数解答题练习1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2，(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 21-成立．2、已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+->. （Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ―1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.3、设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点.4、已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.5、已知函数1ln ()xf x x+=． (1)若函数在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.也就是++≤x x a ln x2在),0(+∞∈x 恒成立.………1分 令xx x x F 2ln )(++= ， 则F '2222)1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=，……2分在)10(，上F '0)(<x ，在)1(∞+，上F '0)(>x ， 因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值， 即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .……4分(Ⅱ)当时，1-=a x x x x f +=ln )(， f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21ex =. ………6分 ①当210em <<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在]3,1(2+∈m e x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 2min 1)(ex f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f 因此，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f………8分②当时21em ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增， 所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->+x ee x x x x x ,………10分 由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x xf +=ln )(的最小值是21e-，当且仅当21e x =时取得，……11分 设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ，则G 'xexx -=1)(，易知eG x G 1)1()(max -==，当且仅当1x =时取到， ………12分但，e e112->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞， 都有exe x x 211ln ->+成立. ………13分 2、解：（Ⅰ）直线y =x +2的斜率为1.函数f (x )的定义域为（0，+∞），因为22'()a f x x x=-+，所以22'(1)111af =-+=-，所以a =1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由'()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0＜x ＜2. 所以f (x )的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）.…… 4分（Ⅱ）2222'()a ax f x x x x -=-+=， 由'()0f x >解得2x a>；由'()0f x <解得20x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2x a=时，函数f (x )取得最小值，min 2()y f a=. 因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a >-即可. 则22ln 22(1)2a a a a+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所以a 的取值范围是2(0,)e. ……………… 8分（Ⅲ）依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x ＞1；由'()0g x <解得0＜x ＜1.所以函数()g x 在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数()g x 在区间[e －1，e]上有两个零点，所以1()0()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩.解得21e 1e b <≤+-.所以b 的取值范围是2(1,e 1]e+-. (13)分3．解：（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞）.……………… 1分因为1'()20f x x x=+>，所以f (x )在[1，e]上是增函数， 当x =1时，f (x )取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[1，e]上的最小值为1.……………… 3分（Ⅱ）解法一：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=设g (x )=2x 2―2ax +1，……………… 4分依题意，在区间1[,2]2上存在子区间使得不等式g (x )＞0成立.…… 5分注意到抛物线g (x )=2x 2―2ax +1开口向上，所以只要g (2)＞0，或1()02g >即可……………… 6分由g (2)＞0，即8―4a +1＞0，得94a <， 由1()02g >，即1102a -+>，得32a <，所以94a <，所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分解法二：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=，……………… 4分依题意得，在区间1[,2]2上存在子区间使不等式2x 2―2ax +1＞0成立. 又因为x ＞0，所以12(2)a x x<+. ……………… 5分设1()2g x x x =+，所以2a 小于函数g (x )在区间1[,2]2的最大值. 又因为1'()2g x x=-，由21'()20g x x=->解得2x >；由21'()20g x x =-<解得02x <<.所以函数g (x )在区间2)2上递增，在区间1(,22上递减. 所以函数g (x )在12x =，或x =2处取得最大值. 又9(2)2g =，1()32g =，所以922a <，94a <所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分（Ⅲ）因为2221'()x ax f x x-+=，令h (x )=2x 2―2ax +1①显然，当a ≤0时，在（0，+∞）上h (x )＞0恒成立，f '(x )＞0，此时函数f (x )没有极值点； ……………… 9分 ②当a ＞0时，（i ）当Δ≤0，即0a <≤时，在（0，+∞）上h (x )≥0恒成立，这时f '(x )≥0，此时，函数f (x )没有极值点；……………… 10分（ii ）当Δ＞0时，即a >x <<h (x )＜0，这时f '(x )＜0；当02a x <<或2a x >时，h (x )＞0，这时f '(x )＞0；所以，当a >2a x =是函数f (x )的极大值点；2a x +=是函数f (x )的极小值点.……………… 12分综上，当a ≤f (x )没有极值点；当a >x =是函数f (x )的极大值点；x =是函数f (x )的极小值点.4．解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ………1分 (Ⅰ)(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………3分(Ⅱ)(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………4分 ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………5分 ②当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a. ………6分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………7分 ④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………8分 (Ⅲ)由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………9分由已知，max ()0g x =，由(Ⅱ)可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.……10分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-. ………12分5、(Ⅰ)直线y ＝x ＋2的斜率为1， 函数f (x )的定义域为 ()+∞,0因为x a x x f +-=2'2)(，所以()111212'-=+-=a f ，所以a ＝1 所以()()2'2,2ln 2xx x f x x x f -=-+= 由()0'>x f解得x ＞2 ； 由()0'<x f 解得0＜x ＜2所以f (x )得单调增区间是()+∞,2，单调减区间是()2,0 ………4分(Ⅱ)22'22)(x ax x a x x f -=+-= 由()0'>x f 解得;2a x >由()0'<x f 解得a x 20<<所以f (x )在区间),2(+∞a 上单调递增，在区间)2,0(a 上单调递减所以当a x 2=时，函数f (x )取得最小值)2(min af y =因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立， 所以)1(2)2(->a af 即可则)1(222ln 22->-+a a a a，由a a a >2ln 解得e a 20<< 所以a 得取值范围是)2,0(e……… 8分(Ⅲ)依题意得b x xx g --+=2ln 2)(，则22'2)(x x x x g -+= 由()0'>x g 解得x ＞1，由()0'<x g 解得0＜x ＜1所以函数g (x )在区间[]e ,e 1-上有两个零点，所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥-0)1(0)(0)(1g e g e g 解得121-+≤<e e b所以b 得取值范围是]12,1(-+e e……… 12分6、解：(1)因为1ln ()x f x x +=，0x >，则2ln ()xf x x'=-， …1分 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． ∴()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 在1x =处取得极大值．………3分∵函数()f x 在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，∴1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得112a <<．……….5分(2)不等式()1k f x x ≥+，即为(1)(1ln )x x k x++≥， ………7分记(1)(1ln )()x x g x x ++=∴22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x xg x x x'++-++-'==，…9分 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x=-，∵1x ≥，∴'()0h x ≥，∴()h x 在[1,)+∞上递增， ∴min [()](1)10h x h ==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， ∴min [()](1)2g x g ==，∴2k ≤．………12分。
浙江导数解答题200题
第一题：浙江省绍兴市上虞区2019届高三第二次（5月）教学质量调测数学试题已知函数()x f x ae x -=+与21()(,)2g x x x b a b R =+-∈（1）若(),()f x g x 在2x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）设()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有两个极值点1212,()x x x x >，且1230x x -≥，求实数a 的取值范围第二题：浙江省2019年诸暨市高考适应性试卷数学已知函数2()(0)x f x e ax a =->（1）若()f x 在R 上单调递增，求正数a 的取值范围；（2）若()f x 在12,x x x =处的导数相等，证明：122ln 2x x a+<（3）当12a =时，证明：对于任意11k e ≤+，若12b <，则直线y kx b =+与曲线()y f x =有唯一公共点（注：当1k >时，直线y x k =+与曲线x y e =的交点在y 轴两侧）第三题：浙江省2019年5月高三高仿真模拟浙江百校联考（金色联盟）已知函数()ln(1)()f x x ax a a R =--+∈（1）求函数()f x 在区间[2,3]上的最大值；（2）设函数()f x 有两个零点12,x x ，求证：1222x x e +>+第四题：浙江省台州市2019届高三4月调研数学试卷已知函数2()xf x x e =（1）若关于x 的方程()f x a =有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围；（2）若实数,m n 满足(2)m n f +=-，其中m n >，分别记：关于x 的方程()f x m =在(,0)-∞上两个不同的解为12,x x ；若关于x 的方程()f x n =在(2,)-+∞上两个不同的解为34,x x ，求证：1234x x x x ->-第五题：浙江省嘉兴、平湖市2018学年第二学期高三模拟(2019.05)考试数学已知函数2()ln ,()1(,)a f x x g x bx a b R x ==+-∈（1）当1,0a b =-=时，求曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线方程；浙江导数解答题精选200题（2）当0b =时，若对任意的[1,2]x ∈，()()0f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0,0a b =>时，若方程()()f x g x =有两个不同的实数解1212,()x x x x <，求证：122x x +>第六题：浙江省2019年5月份温州市普通高中高考适应性测试高三数学设函数2()ln 1,()xex f x x ax a g x e =+-+=（1）若12()()(g x g x t ==其中12)x x ≠（i ）求实数t 的取值范围；（ii ）证明：12122x x x x <+（2）是否存在实数a ，使得()()f x g x ≤在区间(0,)+∞内恒成立，且关于x 的方程()()f x g x =在(0,)+∞内有唯一解？请说明理由第七题：浙江卷-2019年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷（终极押题卷）已知函数()ln f x x x ax =+在0x x =处取得极小值1-（1）求实数a 的值；（2）设()()(0)g x xf x b b =+>，讨论函数()g x 的零点个数第八题：2019年浙江省杭州市高考命题比赛模拟数学试卷6已知函数()ln(2)f x x a ax =+-(0)a >的最大值为()M a .（1）若关于a 的方程()M a m =的两个实数根分别为12,a a ，求证：1241a a <；（2）当2a >时，证明函数()()g x f x x =+在函数()f x 的最小零点0x 处取得极小值第九题：2019年1月嘉兴一模已知函数()ln()(,)b f x x a a b Z x=+-∈，且曲线()y f x =在(2,(2))f 处的切线方程为2y x =-（1）求实数,a b 的值；（2）函数()(1)()g x f x mx m R =+-∈有两个不同的零点12,x x ，求证：212x x e >第十题：浙江省2019浙北四校12月联考设a R ∈，已知函数2()2ln f x x a x =-（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ；（3）若0a >，求使方程()2f x ax =有唯一解的a 的值第十一题：未知来源已知函数(),(),,x f x e g x ax b a b R==+∈（1）若存在1(,)x e e ∈使得不等式2()f x x m >+成立，求实数m 的取值范围；（2）若对任意实数a ，函数()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上总有零点，求实数b 的取值范围.第十二题：2019年4月份浙江省宁波市高考模拟（二模）数学已知函数1()ln f x x a x x=-+（1）若()f x 在(0,)+∞上魏单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若32522a ≤≤，记()f x 的两个极值点12,x x ，记1212()()f x f x x x --的最大值与最小值分别为,M m ，求M m -的值第十三题：浙江省衢州二中2018学年第二学期高三第一次模拟考试数学试题已知函数21()(23)3ln 2f x ax b a x x =+-++，其中0,a b R >∈（1）当3b =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）当3a =且0b <时，①若()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，求证：19()2f x <-；②若对任意[1,]x t ∈，都有2139()22e f x -≤≤-成立，求正实数t 的最大值第十四题：浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考数学试题已知函数32()92627f x x x x =-+-+（1）若()f x 在1212,()x x x x x =≠处导数相等，证明：12()()f x f x +为定值，并求该定值；（2）已知对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点，求实数a 的取值范围第十五题：2019年4月稽阳联谊学校高三联考数学试题卷已知()ln (,2)x x f x e ea x a N a -=+-∈≥的极值点01(,1)2x ∈（1）求a 的值；（2）若不等式()()f x b b Z ≥∈恒成立，求b 的最大值第十六题：浙江省嘉兴、丽水、衢州2019年4月高考模拟测试数学试题已知函数23()xf x x e =（1）若0,x <求证：1()9f x <（2）若0x >，恒有()(3)2ln 1f x k x x ≥+++，求实数k 的取值范围第十七题：名校联盟《新高考研究卷》2019年4月卷《浙江省新高考研究卷》数学（一）已知定义在(0,)+∞上的函数22()4x xf x a xe ax e-=-+（1）当42a e -=时，求()f x 的单调减区间；（2）对于任意的实数a ，方程()f x b =至多有一解，求b 的取值范围第十八题：名校联盟《新高考研究卷》2019年4月卷《浙江省新高考研究卷》数学（二）已知函数()ln()(,)f x ax b x a b R =+-∈（1）若1a b -=，求()f x 的极值点；（2）若()0f x ≤恒成立，求ab 的最大值第十九题：名校联盟《新高考研究卷》2019年4月卷《浙江省新高考研究卷》数学（三）已知函数1()(0)f x p x x=-<，()ln g x x =（1）当3p =-时，求()f x 与()g x 图象的公切线l 的方程；（2）若()f x 在(,())a f a 处的切线与()g x 的图象交于(,()),(,())()b g b c g c b c <，求证：22b cbc a +<<第二十题：名校联盟《新高考研究卷》2019年4月卷《浙江省新高考研究卷》数学（四）设函数()()xf x e ax a a R =-+∈（1）若函数()2'()f x f x +无零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，且12x x <，证明：12'()0f x x <第二十一题：名校联盟《新高考研究卷》2019年4月卷《浙江省新高考研究卷》数学（四）已知不等式ln(1)x a x a x+>+对任意的(0,)x ∈+∞恒成立（1）求实数a 的取值范围；（2）当(0,)x ∈+∞时，求证：2ln 12(1)x x x e +>-第二十二题：浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题已知函数2()2,()ln (0)f x x g x m x m ==>，曲线()f x 与()g x 有且仅有一个公共点（1）求m 的值；（2）若存在实数,a b ，使得关于x 的不等式()()2g x ax b f x ≤+≤+对任意正实数x 恒成立，求a 的最小值第二十三题：浙江杭州第十四中学2019届高三9月月考数学已知函数2()xe f x mx nx k=++，其中,,m n k R ∈（1）若1n k ==，且当0x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数m 的取值范围；（2）若0,0,1m n k >==，()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：2121()()2e m ef x f x m +<+<第二十四题：浙江省金华十校2016-2017学年高二下学期期末考数学设函数32(),()1x f x e x h x kx kx x =-=-+-+（1）求()f x 的最小值；（2）设()()h x f x ≤对任意[0,1]x ∈恒成立时k 的最大值为λ，证明：46λ<<第二十五题：浙江省2019年高考模拟训练卷（三）已知函数2(),()2ln 2()x a f x g x x a a R x a+==+∈+（1）求()f x 的单调区间；（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得方程()()f x g x =在(1,)+∞上有唯一解第二十六题：2017届浙江省湖州衢州丽水三市高三4月联考数学设函数()(,)xf x e ax b a b R =-+∈第二十七题：2017届浙江省高三上学期高考模拟考试数第二十八题：2013届浙江省萧山中学高三10月阶段性测试数学理第二十九题：浙江省绍兴、嵊州2019年上半年高三第二次教学质量调测高三数学试卷第三十题：浙江2019届高三年级三校（新昌中学.浦江中学.富阳中学）联考数学第三十一题：浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷（2019年3月）数学试题第三十二题：2019年浙江省高考数学押题卷（一）第三十三题：2019年浙江省普通高等学校招生临考冲刺原创卷（三）第三十四题：2019年浙江省普通高等学校招生新考纲信息卷（一）第三十五题：浙江省温州市2019届高三8月（温州市普通高中）适应性测试数学试题第三十六题：浙江省知行联盟2019年2月高三仿真考数学试卷(5)第三十七题：2019年浙江省高考信息模拟卷数学（五）第三十八题：2019年浙江省高考信息模拟卷数学（四）第三十九题：浙江省绍兴市嵊州市2018学年第一学期期末高中教学质量调测高三数学试题第四十题：浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考数学试题第四十一题：2019年1月浙江高考数学研究卷（五）第四十二题：2019年1月浙江高考数学研究卷（四）第四十三题：2019年1月浙江高考数学研究卷（六）第四十四题：浙江省诸暨市2018-2019学年第一学期期末考试试题高三数学第四十五题：2019年浙江省高考信息优化卷（一）第四十六题：2019年浙江省高考信息优化卷（二）第四十七题：2019年浙江省高考信息优化卷（三）第四十八题：2019年浙江省高考信息优化卷（四）第四十九题：2019年浙江省高考信息优化卷（五）第五十题：2018学年第二学期浙江省名校协作体联考高三年级数学学科已知函数f (x )＝ln x ax+（1）若函数f (x )有极值，求实数a 的取值范围；（2）当a =1时，若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>1+2ln 2；（3）若函数f(x)在(0，+∞)上有两个零点x1，x2(x1≠x2)，证明：x1＋x2＞2e。
(完整word版)浙江导数大题专练
导数大题专练（2015年浙江省理15分）已知函数()2=++∈（），f x x ax b a b R ，记M （a ，b ）是｜f （x ）｜在区间［—1,1]上的最大值。
(1）证明：当｜a ｜≥2时，M （a ，b ）≥2；（2）当a ，b 满足M (a ，b )≤2，求|a |+|b |的最大值.（2015年浙江省文15分）设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1)当214a b时，求函数()f x 在[1,1]上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围。
(2016理）已知3a ≥,函数F （x ）=min ｛2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min ｛p ,q }=,>p p q q p q.≤⎧⎨⎩，，（I ）求使得等式F (x ）=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围； （II ）（i)求F （x ）的最小值m （a ）；（ii ）求F (x ）在区间[0，6］上的最大值M (a ).(2016文）设函数()f x =311x x++，[0,1]x ∈。
证明: (I ）()f x 21x x ≥-+； (II)34<()f x 32≤。
（2017真）已知函数f(x）=（x e x-（12x≥）。
(Ⅰ）求f(x）的导函数；(Ⅱ)求f（x)在区间1[+)2∞，上的取值范围.（2017押）已知函数()()||()f x x t x t R =-∈．（Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）当t>0时，若f （x)）在区间1-1，2]上的最大值为M(t ），最小值为m(t ），求M （t ）-m （t)的最小值．（2017杭4)设函数()f x (1)求函数()f x 的值域；（2）当实数[0,1]x ∈,证明：21()24f x x ≤-.（1）求)(x f 的单调区间；（2）已知1a =,若1201x x <<<，211221()()()()f x f x f t x t x x x -'=<<-,求证：122x x t +<．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ）若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为o45,对于任意的[]1,2t ∈，函数32'()[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上不单调,求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求证：ln 2ln 3ln 4ln 5ln 1(2,)2345n n n N n n +⨯⨯⨯⨯<≥∈．(2017湖丽衢4）设函数b ax e x f x +-=)(),(R b a ∈． （Ⅰ）若1==b a ，求)(x f 在区间[—1，2]上的取值范围；（Ⅱ）若对任意R x ∈，0)(≥x f 恒成立，记b a b a M -=),(，求),(b a M 的最大值．(完整word 版)浙江导数大题专练第 11 页 共 11 页(2017五校）已知函数2()22ln ()f x x x a x a R =-++∈．（1）若1a =，求函数在(1,1)A 处的切线方程;(2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <,证明：252ln 2()4f x ->.。
浙江高考数学导数大题十年合集
3
故 f( x)+|2 a－b|+ a≥2 a(2 x －2 x+1)≥0．
（2）由①知，当 0≤ x≤1 时，f( x)max＝|2 a－b|+ a，
所以|2 a－b|+ a≤1．
若|2 a－b|+ a≤1，则由②知 f( x)≥－(|2 a－b|+ a)≥－1．
所以－1≤ f( x)≤1 对任意 0≤ x≤1 恒成立的充要条件是
第 7 页，共 24 页
所以 k＝5 满足题意.
【解析】本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等基础知识,同时考
查逻辑推理能力和创新意识.
2.【答案】解：(1) f′( x)＝e x( x－a)[ x2＋(3－a＋b) x＋2 b－ab－a]，
2
令 g( x)＝x ＋(3－a＋b) x＋2 b－ab－a，
即 g( a)＜0，
2
即 a ＋(3－a＋b) a＋2 b－ab－a＜0.所以 b＜－a.
所以 b 的取值范围是(－∞，－a)．
(2)由(1)可知，假设存在 b 及 x4 满足题意，则
①当 x2－a＝a－x1 时，则 x4＝2 x2－a 或 x4＝2 x1－a，
于是 2 a＝x1＋x2＝a－b－3，
（2）设 x1，x2，x3 是 f( x)的 3 个极值点，问是否存在实数 b，可找到 x4∈R，使得
x1，x2，x3，x4 的某种排列 xi1，xi2，xi3，xi4(其中{ i1，i2，i3，i4}＝{1,2,3,4})依次成
等差数列？若存在，求所有的 b 及相应的 x4；若不存在，说明理由．
3.
故 f′(1)＝3 a－3.
又 f(1)＝1，所以所求的切线方程为 y＝(3 a－3) x－3 a＋4.
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导数大题专练
（2015年浙江省理15分）已知函数()2=++∈（
），f x x ax b a b R ,记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[-1,1]上的最大值. （1）证明：当|a |2时，M （a ，b ）2;
（2）当a ，b 满足M （a ，b ）2，求|a |+|b |的最大值.
≥≥≤
（2015年浙江省文15分）设函数. （1）当时，求函数在上的最小值的表达式； （2）已知函数在上存在零点，，求b 的取值范围.
2
(),(,)f x x ax b a b R =++∈2
14
a b =+()f x [1,1]-()g a ()f x [1,1]-021b a ≤-≤
（2016理）已知，函数F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=
（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；
（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.
（2016文）设函数=，.证明：（I）；
（II）.
（2017真）已知函数f(x)=（x e x-（
1
2
x≥）.
（Ⅰ）求f(x)的导函数；
（Ⅱ）求f(x)在区间
1
[+)
2
∞
，上的取值范围.
（2017押）已知函数()()||()f x x t x t R =-∈．
（Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；
（Ⅱ）当t>0时，若f(x)）在区间1-1,2]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，求M(t)-m(t)的最小值．
（2017杭4）设函数()f x =.
（1）求函数()f x 的值域；
（2）当实数[0,1]x ∈，证明：21()24
f x x ≤-
.
（1）求)(x f 的单调区间；
（2）已知1a =，若
1201x x <<<，211221()()()()f x f x f t x t x x x -'=<<-，求证：122x x t +<．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为o
45，对于任意的[]1,2t ∈，函数32'()[()]2m g x x x f x =++在区间(,3)t 上不单调，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）求证：ln 2ln 3ln 4ln 5ln 1(2,)2
345n n n N n n +⨯⨯⨯⨯<≥∈．
（2017湖丽衢4）设函数b ax e x f x
+-=)(),(R b a ∈．
（Ⅰ）若1==b a ，求)(x f 在区间[-1,2]上的取值范围；
（Ⅱ）若对任意R x ∈，0)(≥x f 恒成立，记b a b a M -=),(，求),(b a M 的最大值．
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第 11 页 共 11 页 （2017五校）已知函数2()22ln ()f x x x a x a R =-++∈．
（1）若1a =，求函数在(1,1)A 处的切线方程；
（2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明：252ln 2()4
f x ->
.。