麦克斯韦速率分布律

2 e 1.10 f ( v 2 ) dv f ( v 2 ) 3
f ( v p ) dv
f (v p )
四、分子速率的实验测定
1920年，史特恩从实验上证实了麦克斯韦分子按速率分布的统 计规律. 1934年，中国科学家葛正权对实验装置进行了改进。 接抽气泵
金属 蒸汽

狭 缝
显 示 屏
2

3RT RT 1.73 M mol M mol
三个速率的比较
8
f (v )
三种速率均与 T 成正比,与 M mol 成反比，但三者有一个确定的比例 关系;三种速率使用于不同的场合。
O
vp v
v
2
v
三种速率的使用场合 vp --- 用于讨论速率分布
v
--- 用于讨论分子碰撞
2 ---用于计算分子的平均平动动能
中的极大值对应的分子速率
f (v )
O
vp
v
求解得

2kN AT m NA
平衡态下的理想气体,在一定温度下分布在最概然速 率 v p 附近单位速率间隔内的相对分子数最多。
(2)平均速率：
气体分子速率的算术平均值。
f (v )
(3)方均根速率： 气体分子速率平方的平均值的平方根。
O
vp
v
3kT 3kN AT v m m NA
f (v p 1 )
f (v p 2 )
f (v p 3 )
比较 T1
T2
T3 的高低
T1
T2
T1 T2 T3
T3
温度越高，速率 大的分子数越多
O
v p1 v p 2 v p 3
v
讨论：2、同一温度下不同种气体速率分布比较
比较
m1 m2
m3 的大小
f (v)
m1
m2
m1 m2 m3
第四章
f (v)
m1
气体动理论
§4-2 麦克斯韦速率分布律
m2
m3
O
vp vp
1
2
vp 3
v
内燃机式普列车
回顾上一节平衡态与理想气体状态方程
一 热力学系统的平衡
平衡条件：系统内部压强、温度、化学组分处处相同。
二 态参量和态函数
三、状态方程 pV
体积V
温度T
压强p
1pa=1N· m-2
M RT M m ol
速率分布函数 f(v)可写为
m 32 f (v) 4 ( ) v e 2 kT 2 2 1 v v v 4 v v 4 3 2 3 e e 3 vp vp
2 2 p
mv 2 2 2 kT
2
v2 p
4 v 2 v 2 f (v ) e 3 vp
在上式中取v=vp ,得
N 1 某 处单位速率间隔内分子数与总数之比 N v
N N
+

f (v )
（1）速率分布函数 f (v) 意义是v处单位速率间隔内的分子数占总 数的比值。
（2）如果分布函数 f (v)确定，则处于速率 v1 v2 内的分子数占总 v N 数的比值为 f (v )dv
2
N
v1

（3）速率在0到∞所有分子出现的概率为100%

0
f (v )dv 1
三、麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦 1859年用概率论证明。在平衡态下，气体 分子速率分布函数为 f (v )
f (v )
也称麦克斯韦速率分布律
O
v vp
v
说明： （1） m 气体分子（原子）的质量；
（2）
v 气体分子（原子）的速率；
§4-2 麦克斯韦速率分布律
f x
f ( x)
x x
N i f ( x ) x N
0
x
x
x x
f (v )
f ( x)
0 5 0
30 40 50 60 70 80 90 100
6
7
8
9
10
v
x
百米时间 20s 16.6s 14s 12.5s 11s 10s
f ( x)
f ( x)
f ( v)
O2
H2
o v
po
vp
H
v
例4
试求分子在最概然速率vp 附近与在方均根速
率 v 2 附近出现的概率之比。 解：分子速率在最概然速率 vp附近dv 速率区间的 概率为f(vp)dv ，在方均根速率 v 2 附近 dv速率区 间的概率为 f ( v 2 )dv 。利用v2p =2kT/m，麦克斯韦
理想气体状态方程
速率分布函数
pV RT
或
p nkT
麦克斯韦速率分布率
vp
三个速率
2 kT m

2 RT M mol
f (v )
v
v2
8 kT m


8 RT M mol
3 RT M mol
f (v )
3kT m
O
v vp
v
讨论：1、同一气体不同温度下速率分布比较
f (v)
（3） T 为气体的热力学温度； （4） k 为波尔兹曼常数。
麦克斯韦速率分布律讨论：
1）f (v ) 的意义
f ( v)
表示分子速率在v附近， 单位速率间隔内的分子数占 总分子数的百分比。 2）f (v ) dv的意义
f ( v)
面积
O
dv
v
表示分子速率在v—v+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比。 f (v ) dv为速率分布图上的一个窄条面积
p nkT
气体中分子是怎么样运动的？
热运动
§4-2 麦克斯韦速率分布律
个
cm3
(1000万倍于我国人口数量级）
500 m/s 碰 1010 次 / s 个
热运动
热力学系统中大量分子、不停地作无规则的热运动。分 子速度的大小、方向千变万化。但是分子的速率分布有无规 律?—速率分布函数
单个分子的速率无规则，但从大量 分子的整体来看，在平衡状态下，分子 的速率分布遵循一定的统计规律。
L υt
实验说明：速度选择器两盘 都有一个小凹槽，它们的夹 角为θ，约20，都以角速度ω 金属 旋转，分子束通过两盘，它 蒸汽 的速率须满足：
接抽气泵

显 示 屏
因凹槽有一定的宽度，故所选择的是某一速率 范围内的分子数。 调节ω，不同速率的分子会沉积在显示屏上。 沉积的厚度不同,对应不同速率区间内的分子数.
解:
表示单位体积内分布在速率区间 内的分子数。
表示分布在速率区间
内的分子数。
表示分布在单位体积内，速率区间
内的分子数。
四、气体的三种统计速率
(1)最概然速率: 速率分布函数 极值条件
mv 2 3 df (v) d m 2 e 2 kT v 2 0 4 2 kT dv dv
m3
分子质量越小，速率 大的分子数越多。
O
v p v p vp 3
1 2
v
例2 N2 分子在不同温度下的速率分布曲线 如图所示，已知 T1 300K T 1200K
2
在曲线上标出温度
f ( v)
T1 300K
T2 1200K
o
vp
1
vp
2
v
例3 同一温度下两种气体 O 2 和 H 2 的速率 分布曲线如图所示，在曲线上标明气体。
v
地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很多 H2分子和He原子的方均根速率超过了地球表面的逃逸速 率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有氢和氦了。
N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速率的1/25，故地 球大气中有大量的氮气 (占大气质量的76%)和氧气(占大 气质量的23%)。
上节基本概念回顾
f x 例 伽尔顿板实验中, 设粒子总数为N， i为小槽的序号，Ni为落入第i个小槽 的粒子数
每个槽内的钢球数与总数之比：
N i 为确定值 N
N i N 1 N 2 , N N N
1）与狭槽的宽度有关 2）与狭槽的位置有关
N i f ( x ) x N
f ( x)
f ( x)
L v
狭ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ缝
L υt
粒子速率分布实验曲线如下所示 相 对 粒 子 数
O
粒子速率分布实验曲线
v
结论：气体分子速率分布符合麦克斯韦分布率
完
1 atm = 1.013105pa = 760mmHg
或
pV RT
R 8.31J mol k (摩尔气体常数 )
M Nm M mol N Am
N 令： n V
理想气体状态方程
R k 1.38 10 23 J/K NA
N R p T V NA
k : 波尔兹曼常数
v2 p
（1式）
4 1 1 f (v p ) e （2式） vp
3kT 3 2kT 3 2 v vp m 2 m 2
2
取
v v
2
，并注意到
2 3 2 v 即 2 vp
代入（1式）
3
4 3 1 2 2 f( v ) e 2 vp
（3式）
1 2
概率之比即为（2式）比（3式）
3）
的意义
f ( v)
面积
面积
是速率分布曲线下 的一个有限面积，表示 速率在v1v2范围内分子 数与总分子数之比。
f ( v)
O

dv
v1
v2
v
4）
的意义

0
f ( v)dv 1
1）速率分布曲线下面积为1； 2）所有分子在所有速率范围内出现的概率为100%；
例1
n分子数密度， 说明下式的物理意义： 为速率分布函数，
x
是位置的函数
f ( x)
称为概率分布函数
概率分布函数表示随机变量 x 处 单位区间内的概率，所以概率分布函 数又称为概率密度。
0
x
x x
x
N N
dN N
速率分布函数表达式 f ( x) 的意义
把速率分成很多相等的间隔
o
统计出每个间隔内的分子数N 间隔内分子数与分子总数N之比