麦克斯韦速率分布
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§2[1].3麦克斯韦速率分布
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∫ vdN = v=
∞
2.方均根速率: v2 方均根速率: 方均根速率
v =
2
v2dN ∫ N
=
2
v2 Nf (v)dv ∫ N
= ∫ v2 f (v)dv =
0
∞
3kT 3RT = m µ
3kT 3RT RT v = = ≈1.73 . m µ µ
3.三种速率之比: v p : v : v 2 = 1 : 1.128 : 1.224 三种速率之比: 三种速率之比 它们三者之间相差不超过 23%,而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大. 而以方均根速率为最大 右图表示了麦克斯韦速率分布 中的三种速率的相对大小. 中的三种速率的相对大小. 在§1.6理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 理想气体分子碰撞数及理想气体压强公式 证明中曾用到近似条件 v ≅ v 2
三.用麦克斯韦速率分布律求平均值
1.平均速率: 平均速率: 平均速率 (1)定义:大量分子速率的算术平均值. 定义:大量分子速率的算术平均值. 定义
(2)计算:* 计算:* 计算
由平均速率定义: 由平均速率定义:
∑ v ∆N v =
i
i
N
得:
∞ vNf (v)dv ∫0 N = ∫0 vf (v)dv N 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 将麦克斯韦速率分布函数代入上式可得: 8kT R 8RT RT v= ∵k = ∴v = ≈1.60 . πm NA πµ µ
l A S S ω B
φ P C
由于分子的速度大小不同,分子自 由于分子的速度大小不同,分子自B 到C 所需的时 间也不同,所以并非所有通过B 盘的分子,都能通过C 间也不同,所以并非所有通过 盘的分子,都能通过 盘狭缝射到P上 设分子的速率为v 盘狭缝射到 上.设分子的速率为 ,自B 到C 所需的时 间为 t ,
§2.3 麦克斯韦速率分布
• 麦克斯分布就可由上述量纲分析方法写出:
f
(v)
d
v
4
π (
2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
（三）理想气体分子的平均速率、方均根速率、 最概然速率
• (1) 平均速率
v
0
vf (v) d v
0
4
π
2
m πk
T
3
/
2
v3
exp
mv2 2kT
d
v
利用附录2-1中的公式可得
§2.3.2 麦克斯韦速率分布
• （一）气体分子速率分布不同于分子束 中分子的速率分布。
（二）麦克斯韦速率分布
• 早在1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想 气体分子在三个方向上做独立运动的假设导出了麦克 斯韦速率分布，其表达式如下：
f (v) d v 4 π(m)3/ 2来自mv2e 2kT
的概率.它等于曲线段下面的面积。
v2 v1
f (v) d v v2 v1
4
π ( 2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
• 计算积分时，可利用教材中 附录2-1中的积分公式。
exp( ax2 ) x2 d x π a3/ 2
0
4
•整个曲线下的面积为
0
f (v) d v 0
• (4)概率密度取极大值时的速率称为最概然速率（也
称最可几速率），以 vp 表示。
• 我们只要记住麦克斯韦速率分布的函数形式为
Av2
exp
mv 2 2k T
f
(v)
d
v
4
π (
2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
（三）理想气体分子的平均速率、方均根速率、 最概然速率
• (1) 平均速率
v
0
vf (v) d v
0
4
π
2
m πk
T
3
/
2
v3
exp
mv2 2kT
d
v
利用附录2-1中的公式可得
§2.3.2 麦克斯韦速率分布
• （一）气体分子速率分布不同于分子束 中分子的速率分布。
（二）麦克斯韦速率分布
• 早在1859年，英国物理学家麦克斯韦利用平衡态理想 气体分子在三个方向上做独立运动的假设导出了麦克 斯韦速率分布，其表达式如下：
f (v) d v 4 π(m)3/ 2来自mv2e 2kT
的概率.它等于曲线段下面的面积。
v2 v1
f (v) d v v2 v1
4
π ( 2
m π kT
)3/ 2
exp
mv2 2k T
v2
d
v
• 计算积分时，可利用教材中 附录2-1中的积分公式。
exp( ax2 ) x2 d x π a3/ 2
0
4
•整个曲线下的面积为
0
f (v) d v 0
• (4)概率密度取极大值时的速率称为最概然速率（也
称最可几速率），以 vp 表示。
• 我们只要记住麦克斯韦速率分布的函数形式为
Av2
exp
mv 2 2k T
5麦克斯韦速率分布
2.平均速率
v
气体分子在各种速率的都有，那么 平均速率是多大呢？ 假设：速度为v1的分子有 N1 个， 速度为v2的分子有N 2 个， 平均速率为： v N1v1 N 2v2 N nvn N n
i 1
N i v i
N
§6. 麦克斯韦速率分布律/三.麦克斯韦速率分布律应用
N 解得：a 8v 0
a ( v 5 v 0 )dv N v0 NF ( v )
M
• 2）速率分布在2v03v0 间隔内的分子数N
N N FM ( v )dv
2 v0 3 v0 3 v0 2 v0
a
3 3adv 3av0 N 8
v0
v
§6. 麦克斯韦速率分布律/五.例题
§6. 麦克斯韦速率分布律/四.麦克斯韦速率分布律验证
例4：假想的气体分子，其速率分布如图 所示。当v>5v0时分子数为零。试求 1）根据N和v0，表示常数a的值； 2）速率在2v0到3v0间隔内的分子数； 3）分子的平均速率。
解：根据速率分布 曲线，速率分布可 表示为
NFM ( v )
3a 2a
§6. 麦克斯韦速率分布律/ 二、麦克斯韦速率分布规律
1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他 的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的 经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验 物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室， 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任， 直到1879年11月5日在剑桥逝世。
2kT vp m
T1 T2
T2 T1
曲线的峰值右移, 由于曲线下面积 为1不变，所以峰 值降低。 o
麦克斯韦速率分布定律
麦克斯韦速率分布定律的说明说明：1> 条件：理想气体、平衡态2> 下式意义：对于曲线1，dv v v N dN dv v f +→=~)(这个区间内分子数dN 占总分子数N 的百分比。
对上式两端求积分v v f NN dv Ndv dN dv v f v v v v ∆≈∆==⎰⎰)()(2121，其物理意义是v 1到v 2这个速率区间内所含的分子数。
若取速率0~∞的积分归一化条件→===⎰⎰∞1)(0NN N dN dv v f N （曲线下的面积为1） 通过归一化条件可知，分布曲线并不一定是只有曲线1这一种分布，还可以有类似于曲线2这种分布，通过对比可知曲线峰值高的，速率区间宽度肯定会较窄，其原因就是两个曲线下的总面积都为1 。
三种特征速率1. 最可几速率p υ：由0)(=dv v df 、)(v f 最大值对应的v ，MRT M RT m kT v p 41.122≈==，其中m 为分子质量，M 为摩尔质量。
其物理意义：若把速率区间分成许多相等的区间，p υ所在的区间内分子数占总数的百分比最大。
需要注意：p υ不是最大速率，而是与分布曲线峰值对应的速率。
2. 平均速率v ：M RT M RT dv v vf N dN v N N v N N v N v v Niii 60.18)(02211≈===∆=+∆+∆=⎰⎰∑∞π ， 物理意义：在平衡状态下，气体分子速率的算术平均值，注意：平均速率不是平均速度。
因为分子都是作物规则的运动，所以其平均速度0=v 。
3. 方均根速率2v ：MRT M RT v 73.132≈=，物理意义：在平衡状态下，气体分子热运动速率的另一种统计平均值。
注意：22v v v v =∙≠，方均根速率是每个分子的速率平方后再累加求平均值。
4. 说明：1> 三种速率均由麦氏速率 分布率求得（理想气体 平衡态），2> 具有统计意义——属于大量分子整体，均正比与MRT ，且2v v v p <<。
麦克斯韦速率分布
2. 朗缪尔实验装置 v L
N
(总分子数 )
3. 实验原理
N
(v ~vv的分子数)
由于凹槽有一定宽度，因而速度选择器选择的不是某一个
速率大小，而是某一个速率范围：v ~ v+∆v
令N表示单位时间内穿过第一个凹槽进入速度选择器的总分子数 ，
∆N表示速率在v ~ v+∆v 范围的分子数，
⑵ 曲线下的细窄条面积
f (v)dv dN N
表示了分子出现在v ~ v+dv 区间段的概率
⑶ 曲线下v1 ~ v2 区间的阴影面积为：
vv12
f
(v)dv
vv12 4
(
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2dv
2 kT
2kT
表示分子速率处于v1 ~ v2 区间的概率
⑷ 对全部分子可出现的速率求和，即f(v)曲线下总面积：
这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 基人，气体动理论 的创始人之一。
《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它 是人类探索电磁规律的一个里程碑。 •在气体动理论方面，他还提出气体分子
按速率分布的统计规律。
§2.3.1 分子射线束实验
用实验方法测定麦氏速率分布的实验有很多。 最早是德国物理 学家斯特恩于1920年做的银蒸气分子射线束实验。 后来不断改进， 包括1934年葛正权测定铋蒸汽分子速率分布，1955年精确验证麦氏 分布率的密勒·库士的铊蒸汽原子束实验。
dN dv N dv
例如，取 v 10m/s
ΔN /( NΔv) o
04麦克斯韦速率分布律
速率分布函数
速率分布函数的物理意义： 附近， 速率分布函数的物理意义：表示在速率 v 附近，单位 速率区间内分子出现的概率， 速率区间内分子出现的概率，或单位速率区间内分子 数占总分子数的百分比。 数占总分子数的百分比。
由于全部分子百分之百地分布在由0到 由于全部分子百分之百地分布在由 到∞的整个速率范 围内， 取v = 0, v → ∞, 则有 : 围内， 1 2 ∞ N dN 归一化条件
dNv m 2 −mv2 2kT 2 π =4 v dv e N π 2 kT
3 2
麦克斯韦速率分布函数
m π f (v) = 4 e π 2 kT
−m 2 v
2kT 2
v
6
讨论： 讨论： 1. f(v)~v曲线 曲线
v = 0时 f (v) = 0 v → ∞时 f (v) → 0
M
∆N1v1 + ∆N 2 v2 + L + ∆N N v N n ∆N ivi 平均速率： 平均速率：v = =∑ i =1 N N N vdN ∞ dN Q = f (v) dv ∴ v = ∫ vf (v)dv v = ∫1 0 N N 11
v = ∫ vf (v)dv = ∫0
利用积分公式 ∫
麦克斯韦速率分布率
1
气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完 全是偶然的，但就大量分子的整体来看， 全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速率分布律。 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
∆N N∆v
4. ∆v → dv 速率间隔很小， 速率间隔很小， 该区间内分子数为dN， 该区间内分子数为 ， 在该速率区间内分子的概率
2.3麦克斯韦速率分布
S
o
v1 v2
v2
v
v2
N ( v1 v2 ) S N
v2
v1
F ( v)dv
速率位于 v1 v2 内分子数
N
v1
NF (v)dv N F (v)dv
v1
0
NF ( v)dv = N F ( v)dv N
0
二、麦克斯韦速率分布 说明：真空加热炉中金属分子蒸汽的速率分布f(v)dv 与从真空 加热炉壁小孔溢出的分子束中的分子速率分布F(v)dv 并非一 回事， 前者为“静态”的速率分布，后者为“动态”的速率分 布，但可以证明：
v N 2rms 508m / s v H 2rms 1900m / s
2.根据分子平均速率可以研究早期星系原始 大气。 根据万有引力定律，分子摆脱地球引力的最小速度vmin ：
GM E m GM E 1 2 mvmin 0 若 g 2 2 RE RE
8RT v M
vmin 2 gRE 11.2 10 m/s
2 2
ve
ve
原始地球大气为氢气和氦气，而如今氢气的体积百分含量仅占 5×10-5 %，说明H2易脱离（K值较小），而N2的K=22，可以长留， 但N2在地球上的来源不是很清楚。物理学不只是研究地球气体成 分，还研究其它星体成分。
麦克斯韦速率分布可以用于 定性分析行星原始大气组成， 但仅是定性分析而已。
m f (v)d v 4π( ) e 2πkT
3 2 mv2 2 kT
v2 d v
麦克斯韦速率分布 f(v)dv 反映理想气体在热动平衡条件下， 各速率区间分子数占总分数的百分比的规律。 分子速率分布概率密度 f(v) 与处 于平衡态的温度及分子种类有关， 函数曲线大致如右图所示：
麦克斯韦速率分布
一般气体、液体、固体及在恒定外场中的经典系统，
只要系统的能量可写成：
分子的动量分量
E
3N
i 1
Pi2 2m
U
(q1 , q2 ,
qi
,
)
广义坐标
分子间相互作用的能量及在外场中的势能之和
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克斯韦于1859年 在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中导 出，1920年斯特恩从实验中证实了麦克斯韦速率分布律。
但由前面 u2 u2 知，vrms v 总成立
例1．速率分布函数 f 的v物理意义为：
（Ａ）具有速率v 的分子占总分子数的百分比． （Ｂ）速率分布在v 附近的单位速率间隔中的
分子数占总分子数的百分比．
（Ｃ）具有速率v 的分子数． （Ｄ）速率分布在 v 附近的单位速率间隔中
的分子数．
3
)2
exp(
m1v12 2kT
)
v12dv1
注意
dN 2 N2
f (v2 )dv2
4
(
m2
2 kT
3
)2
exp(
m2v22 2kT
)
v22dv2
混合气中各组分的麦氏分布率不一样，但有一点一定相同：
混合气达到平衡后，各组分的温度T必然相同。
7. 统计物理证明，麦氏分布率不仅适用于理气，也适用于
速率分布函数为：
麦克斯韦速率分布概率密度
f (v) 4 (
m
)
3 2
exp(
mv
2
)
v
2
2 kT
2kT
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
麦克斯韦速率分布函数
器壁的碰撞次数，把nvxf(vx)dvx 在从0到的区间内积分，就能
得到分子通量J.
而从(6)式可以看出：式 中的两个积分内的被积函 数nvxf(vx)dvx和(n/4)vf(v)dv 的地位相当，它们的物理 意义相似，因而在这两者 之间可以进行类比推理。
现在既然(n/4)vf(v)dv在从0 到的区间内积分，也能得到 分子通量 J. 可见 (n/4)vf(v)dv 就表示速率取值在 v到 v+dv间 隔内的气体分子在单位时间内 对单位面积器壁的碰撞次数。 据此处理某些相关问题，有时 往往会比较简捷。
概率乘法定理： 互相独立事件同时 出现的概率等于各 事件单独出现时概 率的积。
五、麦克斯韦速 率分布曲线出现 极大值的点的轨
迹
f(v)=41/2[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2.
将vp=(2kT/m)1/2代入f(v) 可得：
f(vp)=41/2[m/(2kT)]3/2 exp[mvp2/(2kT)]vp2 =41/2exp[vp2-2]vp-3+2 =41/2e1vp-1.
利用(4)式可以把(2)式 化为
J=(n/4)u =(n/4)0vf(v)dv =0(n/4)vf(v)dv. (5)
由(2)和(5)式可得 0nvxf(vx)dvx=J
=0(n/4)vf(v)dv. (6)
在以上导出(2)式的过程中，
nvxf(vx)dvx 表示速度分量 vx 取 值在 vx 至 vx+dvx 间隔内的气体 分子在单位时间内对单位面积
由此可得：
vpf(vp)=41/2e1 =常量。
这是一条双曲线 的方程。
用麦克斯韦速率分 布函数的约化形式来 求速率分布曲线出现 极大值的点的轨迹， 似乎更简便。
得到分子通量J.
而从(6)式可以看出：式 中的两个积分内的被积函 数nvxf(vx)dvx和(n/4)vf(v)dv 的地位相当，它们的物理 意义相似，因而在这两者 之间可以进行类比推理。
现在既然(n/4)vf(v)dv在从0 到的区间内积分，也能得到 分子通量 J. 可见 (n/4)vf(v)dv 就表示速率取值在 v到 v+dv间 隔内的气体分子在单位时间内 对单位面积器壁的碰撞次数。 据此处理某些相关问题，有时 往往会比较简捷。
概率乘法定理： 互相独立事件同时 出现的概率等于各 事件单独出现时概 率的积。
五、麦克斯韦速 率分布曲线出现 极大值的点的轨
迹
f(v)=41/2[m/(2kT)]3/2 exp[mv2/(2kT)]v2.
将vp=(2kT/m)1/2代入f(v) 可得：
f(vp)=41/2[m/(2kT)]3/2 exp[mvp2/(2kT)]vp2 =41/2exp[vp2-2]vp-3+2 =41/2e1vp-1.
利用(4)式可以把(2)式 化为
J=(n/4)u =(n/4)0vf(v)dv =0(n/4)vf(v)dv. (5)
由(2)和(5)式可得 0nvxf(vx)dvx=J
=0(n/4)vf(v)dv. (6)
在以上导出(2)式的过程中，
nvxf(vx)dvx 表示速度分量 vx 取 值在 vx 至 vx+dvx 间隔内的气体 分子在单位时间内对单位面积
由此可得：
vpf(vp)=41/2e1 =常量。
这是一条双曲线 的方程。
用麦克斯韦速率分 布函数的约化形式来 求速率分布曲线出现 极大值的点的轨迹， 似乎更简便。
麦克斯韦速率分布律
理气
d(m )F (器 dt壁）
真实气体 d (m ) (F 器 壁 f 内 部 )d t 分 子
pi
β
a
修正为
RT
Pb Pi
由于分子之间存在引力 而造成对器壁压强减少 内压强 P i
基本完成了第二 步的修正
内压强 1) 与碰壁的分子数成正比 2) 与对碰壁分子有吸引力作用的分子数成正比
解： 已知 T27 K,3 p1.0at m 1.01 1350 P,a d3.51 0 1m 0
kT 2d 2 p
1 .4 1 3 .1 1 . 3 4 (3 .5 8 1 1 2 0 3 1 0 2 )0 1 7 .0 3 150 6 .9 1 8 0 m
空气摩尔质量为2910-3kg/mol
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 v p 的概念
下面哪种表述正确？
v （A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. v （B） p 是速率最大的速度值. v （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
例 计算在 27C时，氢气和氧气分子的方均
§7-5 麦克斯韦分子速率分布定律
平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速 度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦速率分布律: 1、速率分布率的实验测量 2、 分布函数及其意义 3、 麦克斯韦速率分布函数 4、 速率分布函数的应用
1.测定气体分子速率分布的实验
m ( H 2 ) m ( O 2 )
o
2000 v/ms1 vp(H 2)vp(O 2)
vp(H2) vp(O2)
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布
麦克斯韦速率分布是描述气体分子速度分布的概率分布函数之一。
它由麦克斯韦速度分布定律提出，该定律认为在一定温度下，分子速度的分布服从麦克斯韦速率分布。
麦克斯韦速率分布的表达式为：
f(v) = (m / (2 * π * k * T))^(3/2) * 4 * π * v^2 * exp(-(m * v^2) / (2 * k * T))
其中，f(v)是速度为v的气体分子出现的概率密度，m是分子的质量，k是玻尔兹曼常数，T是温度。
麦克斯韦速率分布描述了速率在不同范围内的分子数的相对比例。
麦克斯韦速率分布具有以下特点：
1. 最概然速率：在麦克斯韦速率分布曲线上，存在一个速度值，使得该速度值对应的气体分子出现的概率最高，这个速度就是最概然速率。
2. 平均速率：麦克斯韦速率分布曲线的面积下的整数倍等于总分子数，因此可以通过平均积分得到平均速率。
3. 方均根速率：方均根速率是指速率的平方取平均后开根号的值，它与麦克斯韦速率分布曲线的宽度有关。
麦克斯韦速率分布在解释气体的物理性质和进行气体动力学研究中起着重要的作用，尤其在理解气体温度、分子碰撞等方面具有较高的应用价值。
麦克斯韦速率分布律
dN m 3 / 2 mv 2 / 2 kT 2 f ( v) 4 ( ) e v Ndv 2 π kT
23 ´ 当m 2 10 g , T 273k , V 800m / s
f (800) 10 什么含义
6
在800-800+dv速率区间，单位速 率区间分子数占总分子数之比
f (v ) d v
0 v0 2 av d v 0
0
1 3 av 0 3
3 a 3 v0
（2）设总分子数为N， 则
v
v 0
Nf (v ) d v N
2
v 0
f (v ) d v
v0 v 0
a 4 1 3 4 3 av d v v 0 ( 3 )v 0 v 0 4 v0 4 4
m 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95
总人数1380 1.50-1.55m的人数130
30 25 20 15 10 5 0 25 26 26 26 27
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
50 40 30 20 10 0
N v d N v 0 N d Nv 0
i
N v 0
d Nv N
v 0
f (v ) d v
8kT 8RT 对麦氏速率分布经计算得： v πm π
v (v ) f (v ) d v
0
规律：任意v 的函数(v)对 全体分子的平均值都可以用 速率分布函数由上式求得：
课件：麦克斯韦速率分布律
Nf (v) a
o
解：（1）由图可写出分子速率分布函数：
v0
2v0 v
a
Nv0
v
f
(v)
a N
0
(0 v v0 )
(v0 v 2v0 ) (v v0 )
由归一化条件，得
f (v)dv 1
，即
0
v0 a vdv 2v0 a dv 1
0 Nv0
N v0
2N a
3v0
（2）速率在区间[1.5v0，2.0v0]内的分子数：
区间的分子数占总分子数的 百分比 .
归一化条件
N dN f ( v )dv 1
0N
0
f (v)
dN f (v)dv dS
N
S
速率位于v v dv 内分子数
o
v1 v2 v
dN Nf (v)dv
速率位于
v1
v2
区间的分子数 N
v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
v
v f (v)dv
v0 v f (v)dv
v v0 1 dv v0
0
0
0 v0
2
2、导体中自由电子的运动，可看作类似气体分子 的运动（称为电子气）。设导体中共有N个自由电
子，其中电子的最大速率为vF（称为费米速率）。
电子速率分布函数为
f
(v
)
4 A
N
v
2
0
0 v vF v vF
v v1dN1 v2dN2 vidNi vndNn N
N
vdN vNf (v)dv
v 0
0
麦克斯韦速率分布定律
υ 附近单位速率区
间的分子数
(5) nf ()d N dN dN
VN V
单位体积中速率在υ ~ υ+dυ区间的分子数
(6) 2 f ()d 1
dN N
N1 2 N
速率在υ1 ~ υ2区间的分
子数占总分子数的百分比
(7) 2 Nf ()d 1
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
(1) f () dN Nd
(2) f ( )d dN
N
υ附近单位速率区间的分子
数占总分子数的百分比
速率在υ ~ υ+dυ区间的分
子数占总分子数的百分比
(3) N f ()d N dN dN
N
速率在υ ~ υ+dυ
区间的分子数
(4) N f () N dN dN Nd d
f ()
T1
T2 T1
T2
p
2kT m
麦克斯韦速率分布定律
1859年, 麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布 定律，后由玻尔兹曼使用经典统计力学理论导出.
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
麦克斯韦速率分布定律ΔN
f(v) T1
T2(> T1)
f(v) μ2(> μ1) μ1
O
v p1 v p2
vO
v p2 v p1
v
例 氦气的速率分布曲线如图所示。
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况； (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率。
解 (2) v p
2RT M
RT 2 103
1、速率分布函数 f(v)
设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区
间内分子数的比率为
dN N
f
(v ) dv
f (v) dN Ndv
f(v)
称为速率分布函数
分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总分子数比率
讨论 分子束中的速率分布和容器中的是否相同？
2、 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下，分子速率分布函数
df (v ) 0 dv vvp
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
2. 平均速率
v
v
dN N
1 N
0 v Nf (v
)dv
v
v f (v )dv
8kT 1.60
RT
0
π
M
3. 方均根速率
v 2
v
2
f
(v
)dv
3kT
0
μ
说明
v 2 3kT 1.73 RT
分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
(7)曲线下面的总面积, 等
大学物理麦克斯韦速率分布课件
平均速率
v vf (v )dv
0
2
v0
0
v0 6 2 v (v0 v )dv 3 2 v0
v0 0
v0 vp 2
方均速率 v 方均根速率为
0
v f (v )dv
2
3 v v0 10
2
6 3 3 2 v (v0 v )dv v0 3 10 v0
① 同种气体，T, vp。 曲线顶点 移。曲线变 ② 温度相同，m, vp。 曲线顶点 移，曲线变 。 。
2kT 2 RT vp m M
2） 算术平均速率 把所有的分子速率求和再取平均
曲线下面积不变！
v
分子数目巨大，可认为 v 的取值是连续的：
0～
设速率在 v ~ v + dv 内的分子数 dN
0
RT 3RT 3kT 1.73 v M M m
设想有N个气体分子，其速率分布函数为
例
试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均 根；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于 0~v0/3之间的气体分子的平均速率。 解： (1)气体分子的分布曲线如图 f (v ) 由归一化条件
§11-5麦克斯韦速率分布
一、麦克斯韦速率分布
永恒运动、频繁碰撞。
O2分子 0℃，v =100m/s 速率区间 百分率
100以下 但总体（大量分子）存在统计规律 100~200 讨论分子按速率分布情况 设分子总数N ， 200~300 取相等的速率区间v ， 300~400 速率在v~v+v的分子数为N 400~500 ΔN 500~600 N ——该区间分子数占总分子的百分数 600~700 N N 700~800 百分 N N 1 率 800~900 900以上 中间多，两头少 总和
v vf (v )dv
0
2
v0
0
v0 6 2 v (v0 v )dv 3 2 v0
v0 0
v0 vp 2
方均速率 v 方均根速率为
0
v f (v )dv
2
3 v v0 10
2
6 3 3 2 v (v0 v )dv v0 3 10 v0
① 同种气体，T, vp。 曲线顶点 移。曲线变 ② 温度相同，m, vp。 曲线顶点 移，曲线变 。 。
2kT 2 RT vp m M
2） 算术平均速率 把所有的分子速率求和再取平均
曲线下面积不变！
v
分子数目巨大，可认为 v 的取值是连续的：
0～
设速率在 v ~ v + dv 内的分子数 dN
0
RT 3RT 3kT 1.73 v M M m
设想有N个气体分子，其速率分布函数为
例
试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均 根；(3)速率介于0~v0/3之间的分子数；(4)速率介于 0~v0/3之间的气体分子的平均速率。 解： (1)气体分子的分布曲线如图 f (v ) 由归一化条件
§11-5麦克斯韦速率分布
一、麦克斯韦速率分布
永恒运动、频繁碰撞。
O2分子 0℃，v =100m/s 速率区间 百分率
100以下 但总体（大量分子）存在统计规律 100~200 讨论分子按速率分布情况 设分子总数N ， 200~300 取相等的速率区间v ， 300~400 速率在v~v+v的分子数为N 400~500 ΔN 500~600 N ——该区间分子数占总分子的百分数 600~700 N N 700~800 百分 N N 1 率 800~900 900以上 中间多，两头少 总和
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v(m/s)
o
500 1000
不同温度下，氧气分子的速率分布曲线
前页 后页 目录
7
5.5 麦克斯韦速率分布
f (v )
O2 N2
2 RT vp M
o
v
同一温度下、不同气体分子的速率分布曲线
前页 后页 目录
8
5.5 麦克斯韦速率分布
(2)平均速率
v 0
0
N
vdN N
dN f (v )dv N
f (v ) 取极大值的速率
df ( v ) 0 dv
2kT 2 RT RT vp 1.41 m0 M M
得
意义：速率在vp附近的单位速率区间的分子数占总 分子数的比率最大。 某一分子处于速率vp附近的概率最大。
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6
5.5 麦克斯韦速率分布
f (v )
73K 273K
2 RT vp M
0
f (v )dv 1
前页 后页 目录
3
5.5 麦克斯韦速率分布
速率分布曲线下面积的物理意义
v1
v2
N f (v )dv N
f (v )
速率在v1~v2之间 的分子数占总分子数 的比率。
dN f (v )dv N
0
f (v )dv 1
总面积为1
o
v1 v2
v
前页 后页 目录
p n0
m gz 0 kTe kT
p0 RT z ln( ) gM p
本节完
前页 后页 目录
12
5.5 麦克斯韦速率分布
5.5 麦克斯韦速率分布
一. 分子速率的实验测定 G v dv d v
M
2R t v
dv 2 R
v
2 R
葛正权实验装置
前页 后页 目录
1
2
d
5.5 麦克斯韦速率分布
二. 速率分布函数 v~v+dv的分子数 占总分子数的比率
dN N 或某一分子处于 v~v+dv 的概率
f (v )
f (v )
o
v
v dv
v
dN f (v ) Ndv
速率分布曲线
前页 后页 目录
2
5.5 麦克斯韦速率分布
速率分布函数 （概率密度）
dN f (v ) Ndv
dN f (v )dv N
物理意义：v附近单位速率区间的分子数占总 分子数的比率。 或某一分子处于速率v附近的概率。 归一化条件
4
5.5 麦克斯韦速率分布
三. 麦克斯韦速率分布函数
3 m0 v 2 2 2 kT 2 e v
m0 f (v ) 4 π 2 π kT
式中m0 是分子质量，T 是热力学温度，k 是 玻尔兹曼常数。 麦克斯韦速率分布曲线
前页 后页 目录
5
5.5 麦克斯韦速率分布
(1)最概然速率 令
v f (v )dv
v
8kT RT 8 RT 1.60 π m0 M πM
前页 后页 目录
9
5.5 麦克斯韦速率分布
(3)方均根速率
v
2
0
N
v 2d N N
f (v )dv
2 v 0
3kT RT 3 RT v 1.73 m0 M M
2
前页 后页 目录
10
5.5 麦克斯韦速率分布
f (v )
vp v v
2
o
vp v
v
2
v
三个速率统计值比较前页 后页 目录11来自5.5 麦克斯韦速率分布
四. 玻尔兹曼分布
F ( x) e
E kT
重力场中分子的数密度
气体压强随高度的变化
n n0
m gz 0 e kT
p p0e
Mgz RT
p nkT