推导麦克斯韦速率分布函数的新方法

　2003年9月渝西学院学报(自然科学版)
Sep1,2003
第2卷　第3期JournalofWesternChongqingUniversity
(
NatureSciencesEdition
)
Vol12　No13Ξ推导麦克斯韦速率分布函数的新方法赵晓雨(渝西学院　物理学与电子信息工程系,重庆　永川　402168
)[摘　要]作者考虑到物理学是一门实验科学的特点,试探性地利用实验数据推导麦克斯韦的
速率分布函数,比用概率论的推导更直观,易于理解,而其结果却完全相同
1其中的关键是函
数模型的建立1[关键词]平衡态;概率论;分子速率;实验曲线;微积分[中图分类号]O411　[文献标识码]A　[文章编号]1671—7538
(
2003
)
03—0023—03前言
“分子作永恒的无规则热运动”,这是分子运动论的基本论点之一,而处于平衡态的气体分子会按
照一定的统计规律来分布,如分子按速率分布(麦克斯韦分布律)、在重力场中分子按高度分布(玻尔
兹曼分布律)1
早在1859年,麦克斯韦就运用概率论从理论上预言处于平衡态气体中分子按速率分布
的规律———麦克斯韦速率分布率,即f
(
v
)
=4πm2πkT3/2v2e-
mv22kT1
限于技术条件,直到1924年,斯特
恩(1888-1969)才首次从实验上验证了这个定律;1934年,我国物理学家葛正权测定了铋蒸汽分子射
线的速率分布;1956年,密勒-库士实验以及后来的朗缪尔实验都以较高的精度进一步证实了这个分布律1对于麦克斯韦分布律及其分布函数这一微观方法的统计规律,人们总是从各种实验测得的若干数据来予以验证,而从未由实验出发去加以推导,这是否算是一种思维禁锢呢?现在就利用他们的实
验数据,绘制出实验曲线,用微积分知识对此加以推导,这与麦克斯韦纯理论的推导比起来,简单了许
多,也更直观
11　实验数据1956年,密勒-库士用一个速率选择器筛选出在某一速率附近v—v+△V的铊分子(
m=3139×10-25kg,T=1400K
)
,令其进入一个分子计数器,由此测得表1中所列的在1400K温度下处于平衡态
的铊分子速率分布的一组实验数据[1]1
表1　1400K平衡态铊分子速率分布速率区间(
m?s-1)平衡态
△N
N
%速率区间(
m?s-1)平衡态
△N
N
%100以下2.7500～60012.7
100～20011.0600～7006.5200～30020.3700～8002.7300～40023.5800以上0.9400～50019.7 利用这组数据绘制的实验曲线如图1(见下页)中实线所示
1图中,纵坐标为单位速率区间原子(分子)占总数的比率
△N
N△V
,横坐标为速率
ν
1微积分知识告诉我们,△V越小,描述越精确1当△V→32Ξ[收稿日期]2003—04—23
[作者简介]赵晓雨(
1966—),男,山东苍山人,高级讲师
10时,直方图就变成一条连续的曲线(如图1虚线所示)
,可表达为f
(ν)
=lim△V→0△N
N△V
=1N
dN
dν
1下面的
图1任务就是

从曲线的特点出发,推导出f
(ν)的表达式
12　推导2.1　通过分析可知,图1中的曲线有如下特点:1)曲线的一端过原点,另一端以横轴为渐近线,且是非对称曲线
12)曲线有一个峰值,即f
(ν)有极大值
1将此值对
应的速率
νp称为最概然(最可几)速率
13)曲线满足归一化条件,0Φ
ν
Φ∞12.2　建立函数模型
首先根据曲线的形状,推想为二次函数且服从指
数规律,由不对称性可排除因子(ν-νp)2,于是设为-ν2ν2p1
其次曲线过原点,即
ν=0时,f(ν)
=0,故推设含有因子
νn(
n为正实数),由此得到推理表达式
f
(ν)
=Cνne-ν2/ν2p……(1)其中,n、
νp为待定量,C为归一化常数
12.3　确定表达中各未定量2.3.1　确定n由于当
ν=νp时函数存在极大值,故df(ν)
dνν=νp=0　即
df
(ν)
dνν=νp=Cnνn-1e-ν2ν2p+Cνne-ν2ν2p-2ν
ν2p=Cνn-1e-ν2ν2pn-2ν2ν2pν=νp=Cνn-1e-1(
n-2)=0由此得n-2=0,n=2
2.3.2　确定C由归一化条件
∫∞0f
(ν)
dν=1……(2)将(1)式代入(2)得:∫∞0Cν2e-ν2ν2pdν=∫∞0Cν2p?
ν2ν2pe-ν2νp2dν=1利用换元法将dν
换成dν
νp1
令x=ν
νp,则dx=1νpdν,于是(2)式变为
Cν3p∫∞0x2e-x2dx=1……(3)利用积分公式①知: ∫∞0x2e-x2dx=π4……(4)将(4)代入(3)
,得:
C=4π
ν-3p将n,C之值代入(1)式,得: f
(ν)
=4π
ν-3pν2e-ν2/ν2p……(5)4
22.3.3　确定vp用概率求平均值的方法,得
ν2=∫∞0ν2f(
v
)
dν=4π
ν-3p∫∞0ν4e-ν2/ν2pdν=4π
ν2p∫∞0x4e-x2dx……(6)利用积分公式①
Ξ知:∫∞0x4e-x2dx=3π8将其代入(6)式得

ν2=3
2ν2p……(7)又知气体分子的平均平动动能
εk=3
2kT=12mν2,即
ν2=3kT
m1
与(7)式相比,知
νp=2kT
m2.3.4　确定f
(ν)的最终表达式
将
νp=2kT
m代入(5)式,即得f
(ν)
=4πm2kT3/2ν2e-
mν22kT=4πm2πkT3/2ν2e-
mν22kT3　结语
从实验曲线出发推出的气体分子速率分布函数,与麦克斯韦用统计理论推导出的表达式完全相同1此方法的关键是由图1曲线反推函数,因此曲线的正确性是很重要的
1对于由表1数据绘制出的
图1,还可由其它实验数据来加以佐证
1例如在273K时氧分子速率分布情况的数据表(见屠庆铭主编
的《物理学》上册)1
本方法从最后的结果来看,是与理论结果一致的,因此应该是可行的
1由实验曲线得到推理表达
式即(1)式是至关重要的一步,这一点的数学跨度和难度较大,需要思维中的数学因子
1[参考文献][1]梁绍荣,刘昌年,盛正华1热学(第二版)
[A]1
普通物理学(第二分册)
[M]1
高等教育出版社,1994,67～701TheNewMethodofTheorizingtheMaxwell’sFunctionofSpeedingDistribution
ZHAOXiao-yu(
Dept.ofPhysics&ElectronicInformationEngineer,WesternChongqingUniversity,Y

ongchuanChongqing402168,China
)Abstract:Thispaperallowsforphysicsisanexperimentalscience,theorizestheMaxwell’sfunctionofspeeding
distributioncapitalizeonexperimentaldata.Theyarecoequalconsequenceasthemethodofexperimentalgraphas
themethodofprobabilitytheory.ButitismoreeasyandvisualthanthetheoreticalcoursethatMaxwellcapitalizes
probabilitytheory.Thekeyisfoundingthemodeloffunction.
KeyWords:balance;probabilitytheory;molecularspeed;experimentalgraph;calculus.
52Ξ①所用积分公式[2]为:f
(
n
)
=∫∞0νne-bν2dν,式中当n=0,f
(
0
)
=
1
2πb
n=1,f
(
1
)
=
1
2b
;n=2,f
(
2
)
=
1
4πb3n=3,f
(
3
)
=
1
2b2;n=4,f
(
4
)
=
3
8πb5