推导麦克斯韦速率分布函数的新方法
麦克斯韦速度分布函数的推导
麦克斯韦速度分布函数的推导：（由f05060699改正并完成）这里将讨论热平衡下的速度分布函数fM（v ）=fM(v x ,v y ,v z )，即热平衡下速度空间内，在v 处单位体积元内的概率。
用下标M 来表示区分其它速度分布函数。
用g M （v x ）dv x ，g M （v y ）dv y ，g M （v z ）dv z分别表示热平衡下分子代表点的速度分量在v x 到v x +dv x 、vy到v y +dv y 、v z 到v z +dv z 区间内的概率。
麦克斯韦假定：在热平衡状态下分子速度任一分量的分布应与其它分量的分布无关，即三个分量的分布是彼此独立的。
由独立事件概率公式知，气体分子在速度空间的代表点处于dv xdv ydv z内的概率等于它们速度分量分别处于dv x ，dv y ，dv z 区间内概率的乘积：fM(v x ,v y ,v z )dv xdv ydv z=g M（v x）dv xg M（v y ）dv yg M（v z ）dv z(1)f M (v x ,v y ,v z )=f M（v ）=fM (v 2)=f M (v v v z y x 222++) (2)由（1）（2）有f M (v v v z y x 222++)=g M（v x ）g M （v y ）g M（v z ）..................(3） 取上式的对数，得 ln f M (v v v z y x 222++)=ln g M（v x ）+ln g M （v y ）+ln g M（v z ）.........(4) 就上式对v x ，v y ，v z 求偏导,并注意到v =v v v z y x 222++,有：)(1v fM.dvv dfM)(.v 1=v v g v g v ii Mi Mi d d )(.)(1.1(其中i=x,y,z)，三个式子左边相同，又由三个分量的分布彼此独立知右边必为一常数D ，即v v g v g v ii MiMid d )(.)(1.1=D ，分离变量后积分得：ln g M （v i ）=A-B v i 2，即g M （v i ）=ciev i B-，c i=e A.由此按(3)式有fM(v x ,v y ,v z )=CeCev v v v BB z y x 2222)(-++-=，其中C=C i 3 (5)下面的任务是求出参量C 、B,它们由归一化条件决定.（注：这里我们假定C 、B 都是常量，其实C 是v 2的函数也可以满足(3)式或(4)式。
麦克斯韦气体速率分布律
麦克斯韦气体速率分布律Maxwell Velocity Distribution大家知道，由气体的温度公式可以得出气体分子的方均根速率。
例如在时，氦气。
氧气。
但我们要注意的是，方均根速率仅是运动速率的一种统计平均值，并非气体分子都以方均根速率运动。
事实上，处于平衡状态下的任何一种气体，各个分子均以不同的速率、沿各个方向运动着。
有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它们的速率可以取零到无穷大之间的任意值。
而且由于气体分子间的相互碰撞，每个分子的速度也在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。
然而就大量分子整体而言，在平衡状态下，分子的速率分布遵守一个完全确定的统计性分布规律又是必然的。
下面我们介绍麦克斯韦应用统计理论和方法导出的分子速率分布规律。
气体分子按速率分布的统计规律，最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中也导出该规律。
由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。
1920年斯特恩（O.Stern首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier和库士（Kusch测出钍蒸汽分子的速率分布。
斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。
限于数学上的原因和本课程的要求，我们不推导这个定律，只介绍它的一些基本内容。
*麦克斯韦（J. C. Maxwell，1831—1879）英国物理学家，经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。
他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，这个理论包括电磁现象的所有基本定律，并预言了以光速传播的电磁波的存在。
1873年，他的《电磁学通论》问世，这本书凝聚着杜费、富烂克林、库仑、奥斯特、安培、法拉第……的心血，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。
麦克斯韦平均速率公式推导
麦克斯韦平均速率公式推导作文一：给中学生的麦克斯韦平均速率公式推导同学们，今天咱们来聊聊麦克斯韦平均速率公式的推导。
你们知道吗，这就好比咱们在操场上跑步。
假设操场上有很多同学在乱跑，速度都不一样。
那怎么算大家的平均速度呢？麦克斯韦平均速率公式就像是个神奇的工具，能帮咱们找到答案。
咱们先假设这些同学的速度分布有一定的规律。
想象一下，就像把不同速度的同学分组，然后计算每组的人数。
比如说，速度在 1 米每秒到 2 米每秒的有 10 个人，2 米每秒到 3 米每秒的有 8 个人。
然后呢，把每组的速度乘以人数，再把所有组的结果加起来，除以总人数，就能得到平均速度啦。
麦克斯韦就是通过这样巧妙的思考，得出了这个厉害的公式。
同学们，是不是感觉挺有趣的？以后咱们学更多知识，就能更好地理解这个世界啦！作文二：给大学生的麦克斯韦平均速率公式推导嘿，大学生朋友们！今天咱们来深入探究一下麦克斯韦平均速率公式的推导。
想象一下，咱们处在一个充满分子的房间里，这些分子就像一群调皮的小精灵，到处乱跑，速度各不相同。
那怎么算出它们的平均速率呢？这就得靠麦克斯韦的智慧啦。
咱们先从简单的情况入手。
假如只有几个分子，速度分别是 3 米每秒、5 米每秒和 7 米每秒。
那平均速率就是把这几个速度加起来除以分子的个数。
但实际情况中分子数量太多啦，成千上万！这时候就得用统计学的方法。
就好比咱们统计一个班级同学的考试成绩平均分一样，把不同速度区间的分子数量算清楚，再按照一定的规则计算，就能得出麦克斯韦平均速率公式啦。
这个公式在物理学中可重要了，能帮助我们理解很多热现象呢！作文三：给物理爱好者的麦克斯韦平均速率公式推导亲爱的物理爱好者们，今天咱们一起来揭开麦克斯韦平均速率公式推导的神秘面纱！咱们先来讲个小故事。
假设在一个神奇的世界里，充满了各种快速运动的微小粒子。
这些粒子的速度千差万别，有的像闪电一样快，有的则慢悠悠的。
那怎么搞清楚它们整体的平均速度呢？麦克斯韦就开动脑筋啦。
麦克斯韦速率分布函数
=21/2N0xexp(x2)xdx2 =21/2N0xxd[exp(x2)] =21/2N[xexp(x2)|0x
+0xexp(x2)dx]
=N[21/2xexp(x2) +21/20xexp(x2)dx]. 定义误差函数erf(x)为
erf(x)=21/20xexp(x2)dx,
器壁的碰撞次数，把nvxf(vx)dvx 在从0到的区间内积分，就能
得到分子通量J.
而从(6)式可以看出：式 中的两个积分内的被积函 数nvxf(vx)dvx和(n/4)vf(v)dv 的地位相当，它们的物理 意义相似，因而在这两者 之间可以进行类比推理。
现在既然(n/4)vf(v)dv在从0 到的区间内积分，也能得到 分子通量 J. 可见 (n/4)vf(v)dv 就表示速率取值在 v到 v+dv间 隔内的气体分子在单位时间内 对单位面积器壁的碰撞次数。 据此处理某些相关问题，有时 往往会比较简捷。
f(v).
三、速率分布函 数类比质点运动 中的时间分布函 数
类比法是一种在物理学 研究中常用的逻辑推理方 法。使用类比法时，根据 两类对象之间在某些方面 的相似或相同，来推出它 们在其他方面也可能相似 或相同.
为了描述处于平衡态下的气体 的分子数在不同的速率间隔内的 分布情况，可以取分子速率 v 为 横坐标值，画出速率取值在v至v ＋v间隔内的分子数 N 占总分 子数 N 的比率的直方图（条形统 计图）。
因此，如果在热学 中学习速率分布函数 时，类比力学中的速 率－时间函数，就能 够比较容易地认识到 其物理意义。
不仅如此，用 f(v) 类比 f(t)，还利于正确理解为什 么说 “不应该问速率刚 好等于特定值 v 的分子有 多少个？如果非要这样问， 那这种分子其实一个都没 有。”
(完整版)麦克斯韦速率分布律的推导与验证
麦克斯韦速度分布律的推导与实验验证摘要：本文对麦克斯韦速度分布律的内容及其历史来历做了简略概述，重点是用初等方法 推导了麦克斯韦速度分布律，同时简单地描述了一下它的实验验证。
关键词：速度分布函数，实验验证。
一. 内容1麦克斯韦速度分布律的内容当气体处于平衡态时，气体分子的速度在 v~v dv 间隔内，及分子速度分量在V x ~ V x dV x , V y ~ V y dV y , J dV z 间隔内的分子数dN(v)占总分子数 N的比率为：其中m 为分子的质量，T 为气体温度，k 为波尔兹曼常数，-m(v 2 v ： v ；) - mv 22 2为气体分子平动能。
dN °)表示速度矢量的端点在速度体元d 内的分子数占总 N 分子数的比率，换言之，一个分子取得 v~v dv 间隔内速度的几率。
2、分子速度分布函数3m 2 m& V： v Z)/ 2kT ( )2e y2 kTf (v )的物理意义是：分子速度在 v 附近，单位时间间隔内的分子数占总分 子数的比率。
3、速度分量分布函数3、麦克斯韦速率分布律dN ( v)m(v X v y v Z )/ 2kTdv x dV y dv Z ,dN(v) NdydV y dV z=( Nd*2 kTdN(V y )NdV y(2 kTdN(V z ) ,m ,(1m 7mv X /2kT )2e xf (VX ) f( V y )fz1 x 2mv Z /2kT)e詁mv y /2kT)e热学研究（论文）将以V x ，V y ,V z 为轴的笛氏坐标进行坐标变换，变为球坐标V,,2v sin d d dv4、分子速率分布函数3i m ,2 ( )2e 2 kT物理意义：分子速率在v 附近，单位速率间隔内的几率。
二. 历史1859年4月，麦克斯韦偶然的读到克劳修斯关于平均自由路程的那篇论文， 很受鼓舞，重燃了他原来在土星卫环问题上运用概率理论的信念，认为可以 用所掌握的概率理论对动理论进行更全面的论证。
麦克斯韦最概然速率推导
麦克斯韦最概然速率推导好了，今天咱们来聊一聊麦克斯韦最概然速率的推导。
别被这名字吓到，其实就跟我们平时遇到的“速度”差不多，关键是麦克斯韦（嗯，老哥是个物理学的大牛）搞了点数学操作，把这个速度的概念弄得非常精细，差不多可以说，速度的“概率”都被他算得明明白白。
你想啊，咱们通常知道的速度就是“这辆车跑了多少公里”，“那个人跑步有多快”之类的，对吧？但是要是你考虑的是气体分子、分子之间的碰撞速度，哎，这事儿就不简单了。
因为分子和分子之间可不是简单的前进，而是乱七八糟地碰来碰去，方向、速度啥的都可能随时变化。
怎么能准确地知道它们的平均速度呢？要是让我们去测量，估计得累死。
你看，麦克斯韦不愧是大佬，竟然通过一些聪明的数学方法，给出了一个能够描述气体分子速度分布的公式，真是佩服得五体投地。
首先呢，想象一下，空气中的分子其实不是一成不变地在直线飞行，它们可是一会儿往左飞，一会儿往右飞，完全是个乱七八糟的状态，碰到一个分子，它可能会朝这个方向飞，然后又会碰到另一个分子，再换个方向。
是不是有点像我们走在拥挤的街头，步伐乱七八糟，跟人撞来撞去？不过这条街的“人”是看不见的。
麦克斯韦就是根据这些“看不见的撞击”，推导出了一个公式，把这些分子的速度分布搞得清清楚楚。
说到这个公式，它叫“麦克斯韦速率分布公式”。
你可以理解成，它其实就是一种描述速度“分布”的方式。
这就好比你去参加一个跑步比赛，比赛结束后，大家不是都有一个跑步成绩嘛，速度也有快有慢，但这些成绩会有一个大致的规律。
如果一群人中大部分人的速度在一个范围内，只有少数人跑得飞快或者慢悠悠的，那你就能画出个大概的“速度曲线”，这就是麦克斯韦所说的“速率分布”。
这时候，你可能会问：“那这和我的日常生活有啥关系？”嘿嘿，没错，说到这里，可能有人已经觉得这有点抽象。
其实呢，麦克斯韦的这套理论，搞清楚了气体分子的速度分布，咱们就能推算出很多实际问题，像是气体的温度、压强之类的。
麦克斯韦气体速率分布律推导
麦克斯韦气体速率分布律推导麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律描述了理想气体中分子速度的统计分布。
以下是该分布律的推导过程。
首先，考虑一个由大量相同分子组成的理想气体，这些分子在容器中随机、无序地运动。
由于分子间的碰撞非常频繁，我们可以假定每个分子的运动是相互独立的。
我们的目标是求出分子速率的分布函数。
1. 假设分子的运动是三维的随机运动，并且分子间无相互作用力。
2. 假设分子的运动是各向同性的，即在任何方向上运动的概率都是相等的。
3. 假设分子的运动是稳定的，即分子的速率分布不随时间改变。
4. 引入分子速度的微分元素d³v，表示速度在v到v+dv之间的分子数。
5. 引入微元体积元素dV和微元时间元素dt。
接下来，我们将使用微元分析法来推导速率分布律。
对于一个具有速率v的分子，在时间dt内，它将沿着速度方向移动的距离为v·dt。
因此，它所扫过的体积元素为dV = v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv·dt，其中θ是速度方向与某一选定方向（通常是x轴）的夹角。
现在，考虑在dt时间内所有具有速率v的分子所扫过的体积总和，即所有可能的方向θ的贡献。
由于θ的取值范围是0到π，我们可以将上述体积元素乘以角度元素dθ（从0到π）并积分，以得到总的体积元素dV_total：dV_total = ∫(v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv)·dθ·dt由于cos²(θ)·sin(θ)是关于θ的偶函数，而在0到π的范围内积分，它的积分结果为零。
为了解决这个问题，我们需要考虑在速度方向上的微小位移。
在速度方向上的微小位移为v·cos(θ)·dt，因此，在dt时间内，具有速率v的分子在速度方向上的微小体积元素为dV_v = v·cos(θ)·dv·dt。
麦克斯韦分子速率分布定律的推导
麦克斯韦分子速率分布定律的推导麦克斯韦分子速率分布定律是分子运动理论中一个重要的概念，它用来描述分子或微粒在一定条件下的速率分布情况。
它表明，当以相同速率出射分子时，在不同瞬间可以得到不同的分子速度，而这些分子速度是具有特定分布函数的随机变化，这个分布函数就是麦克斯韦分子速率分布函数。
一般来说，微粒的运动属于无序性运动。
在实验中，出射的分子速度的分布状况不容易分析，只能藉助于实验结果推断出微粒速度的分布规律。
而麦克斯韦分子速率分布定律是1859年俄国物理学家麦克斯韦（Maxwell）推导出来的一个概念，他结合热力学原理和拉格朗日机械统计原理，以蒙特卡洛方法推导出了质点和分子在不同温度下的速率分布情况，结果发现分子速度都符合高斯分布，即可以用一个正态分布概率密度函数来对分子速度进行分析，而这就是麦克斯韦分子速率分布定律。
f(v) = 4πa^3v^2exp(-a^2v^2)其中f(v)是速度为v的粒子数，a是系统的温度模式，用a^3来表示。
其定义概括地表示出温室质点和分子在温度T下的速度分布情况。
而推导时最重要的一个步骤就是综合考虑热力学和机械统计原理，通过这两个原理，可以使得统计模型的概率守恒，即有能量的分配都是满足守恒定律的，从而可得到正态分布，即f(v)为高斯分布函数，最后积分得到麦克斯韦分子速率分布定律。
总的来说，麦克斯韦分子速率分布定律可以较为完整地描述出温室质点或分子在某一温度下的运动规律，统计是一种相对稳定的状态。
它在应用到能量或物质传输等实际场合中有重要作用，比如应用到气体流体动力学中。
历史上，麦克斯韦分子速率分布定律有很多改进版本，比如上面函数中的指数可以做出改变，也可以对新的分子进行同样的推导，从而求出其对应的概率分布函数。
因此，麦克斯韦分子速率分布定律仍然是理解物理世界中的质点运动、热力学和机械统计的重要工具，是实验物理学的理论基础。
推导麦克斯韦速度分布律、速率分布律的简单方法
推导麦克斯韦速度分布律、速率分布律的简单方法麦克斯韦速度分布律是量子力学中重要的一部分。
1860年，麦克斯韦发现在粒子系统中，粒子运动的速度都遵循一定的分布关系，即概率密度函数与速度成反比，这就是麦克斯韦速度分布律。
那么，如何推导出麦克斯韦速度分布律和速率分布律？
首先，考虑一个温度为T的系统，采用能量有限的情况下可以把粒子的运动视为马尔可夫链的形式。
由于能量有限，可以认为处在同一状态的粒子的总体数量就构成了该状态的热平衡状态。
由此可推出粒子的速度分布概率：
P(v) = e^(-mv^2/2kT)
其中，m为粒子的质量，T为温度，k为Boltzmann常数。
将此式作为粒子的速度分布函数，即可推出其速率分布函数。
即：
f(v) = e^(-mv^2/2kT) * Usqrt(m/2πkT)
此式也叫麦克斯韦分布，概率密度与粒子速率成反比，即概率密度随着粒子速率的增加而减少。
通过此式，可以推导出麦克斯韦速度分布律和速率分布律。
以上便是推导麦克斯韦速度分布律以及速率分布律的简单方法。
虽然在实际应用中，还有许多根据环境情况改变相关参数的变体，但基础思想是一致的：概率密度随着粒子运动速度的增加而减少。
玻尔兹曼对于麦克斯韦速度分布律的推导
1876年，玻尔兹曼提 出以下证明思路：在均 匀重力场中恒温理想气 体的分子数密度为n(h)
= n(0)exp[mgh/(kT)].
但是，速度分量vz的分 布函数f(vz)应该仅由温度 T决定而与重力场强g或 高度h无关。高处的n(h) 之所以会比较小，是由于 低处那些vz小的分子不能 克服重力场而飞到高处。
Rlg$L%+j9(4ZO)0e%AqYm9NowrBg#Wu48(%sSpE SmF&PoaBWsJ%F1FKFSBjpb1oxTIr v9Z)X W kJdo x%4j&q+afDCB$0fA( cWA# DbpS0PC5+&x k+gJW u7x9T- tV2bD DD$-b Vj*coW(9P5!#-Y6p ky Hi7SZ 1$8dsqy 6EjG!AYioM Xu8Bj0p*t8+7 Wy y c*aa9uW&rY&ixksQKBPGCEt6h zzYe l3%gs TPYJSWxowi( $x2(Z7 $ZIWu xc&5vqTmHkBcD0& V#r- kF-Sm0je%1pEy y &kZ#)PDsJWO6IF#9Pv6lODZ4DT J8Z0#F(v)cVnltz2OtK $(Ha k31!rFu( %V% zlZ2hPxseZRnczGXk%7d(0tNMOcXfm7VW O7c#v8 2$t&xqlu9RdrF3C%bFMwBZ 5wxw Mrw!0N %QJW nB5f8 W&pS9NMO3 *J87hM gYtjNJwK2!X IJVBN ZK82C1u8pqL 2rg0-# e9MDRO+R1 w6N!PTeCoo zx hBeY$ I4%PZ4Qas# G
麦克斯韦速率分布律的推导
麦克斯韦速率分布律的推导
麦克斯韦速率分布律是一种有用的概念，其可以帮助我们对问题的复杂性进行评估，
包括对问题的解决方案的可行性进行评估。
通常，当我们正在设计一个程序，并面临着复
杂和不可预测的问题时，麦克斯韦速率分布律就可以派上用场了。
麦克斯韦速率分布律是由美国数学家麦可·斯韦尔博士提出的。
斯韦尔提出了一套基
于序列分析法的分析工具，以对 inerconnected events 的速率进行统计分析。
他认为，
复杂系统中的事件有若干 nested stages：这些阶段之前的事件可能会影响后续的事件，
产生一种 cascade effect。
因此，他提出了一种分布式的统计模型，来描述这种指数级
跌落的现象，即 ------------->
麦克斯韦速率分布律。
该模型指出，问题的复杂性在问题维度上是以指数方式递增的，这一模型可以以下形式表达： problem complexity = C * z ^ n , 其中C 为一个常数，
z 为问题的附加复杂维度， n 为问题的基础复杂度等级。
这种模型可以帮助我们评估问题的复杂性是否可控、可维护，以及是否满足事件驱动
的应用通用性要求。
例如，如果一个系统的维度太多，其复杂程度就会指数级增长，那么
就需要对这一系统进行重构，以简化其复杂性并可持续维护。
此外，它也可以帮助我们推
断出某些系统是否有效解决会议解决方案。
总而言之，麦克斯韦速率分布律有助于识别可能会遇到的问题，并给出比较有效的解
决方案。
这种概念可以为我们设计可持续高性能系统提供一定的指导作用，进而有助于实
现系统的稳定和可靠性。
基于matlab讲解的麦克斯韦速率分布的教与学
基于matlab讲解的麦克斯韦速率分布的教与学麦克斯韦速率分布（Maxwell-Boltzmann分布）是一种与物理学、材料科学和化学相关的理论。
它是M. J.Maxwell和Ludwig Boltzmann在1860年分别以微分方程和最大熵原理推出的分布函数。
它表示给定温度、分子数和分子质量的条件下，由气体构成的有限系统中，每一种质量个体的平均速度分布。
也就是说，麦克斯韦速率分布可以描述一定状态下，均匀分子系统中每一种分子速度的分布情况。
基于Matlab的麦克斯韦速率分布的教学主要基于独立和自由度的思想。
第一步是构建一个可以计算每一种分子速度的方程，并建立恒定温度、分子数和分子质量的系统。
在Matlab中，可以使用函数randpdf分别计算每一种分子速度的分布情况：Vm = randpdf (M, k, U);其中M是分子质量，k是常数，U是系统中的温度，Vm代表每一种分子的速度的分布。
第二步是基于质量和动能的分布计算每一种分子的平均速度：ν = ∫ Vm (U)× dU其中，Vm(U)是均匀系统中每一种分子的速度的分布，dU代表的是比例。
最后，可以利用以上所述的Matlab函数，以及给定的参数来求解麦克斯韦速率分布函数：f (u) = (4πk) −½ × U-½ × exp (−kU v2)其中，k和U分别为常数和温度，f(u)表示每一种分子的速度的分布情况，u表示速度。
最后，基于Matlab麦克斯韦速率分布的教学可以将理论和实践结合起来，使学生了解麦克斯韦速率分布的概念，掌握如何使用Matlab计算。
熟练建立Matlab计算麦克斯韦速率分布的模型，可以为该分布在各种场合的应用提供重要的佐证。
麦克斯韦二维速率分布推导
麦克斯韦二维速率分布推导麦克斯韦二维速率分布是描述气体分子速率分布的一种模型，它是在二维空间中考虑分子速率的概率分布。
麦克斯韦二维速率分布的推导过程是基于统计力学和概率论的。
我们假设气体分子在二维平面内运动，平面内的速度可以被分解成两个分量，即x方向和y方向的分量。
假设分子的质量为m，x方向的速度为v_x，y方向的速度为v_y。
根据统计力学的理论，气体分子的速率分布是服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布的。
而麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个二维速度空间的分布函数，可以表示为：f(v_x, v_y) = A * exp(-m(v_x^2 + v_y^2) / (2kT))其中，A为归一化常数，k为玻尔兹曼常数，T为气体的温度。
为了求解归一化常数A，我们需要对速率分布函数进行归一化处理。
由于速率分布函数是关于v_x和v_y的概率密度函数，所以它满足以下条件：∬f(v_x, v_y) dv_x dv_y = 1对上式进行积分，可以得到：A * ∬exp(-m(v_x^2 + v_y^2) / (2kT)) dv_x dv_y = 1为了简化计算，我们可以先对v_x进行积分，再对v_y进行积分。
这样，可以将二重积分转化为两个一重积分。
首先对v_x进行积分：∫exp(-m(v_x^2 + v_y^2) / (2kT)) dv_x利用高斯积分的公式，可以得到：√(πm/(kT)) * exp(-mv_y^2 / (2kT))接下来，对v_y进行积分：∫(√(πm/(kT)) * exp(-mv_y^2 / (2kT))) dv_y同样利用高斯积分的公式，可以得到：√(πm/(kT))将上述结果代入归一化条件式中，可以得到：A * ∬exp(-m(v_x^2 + v_y^2) / (2kT)) dv_x dv_y = A * ∫√(πm/(kT)) dv_x * √(πm/(kT)) = 1化简上式可以得到：A * πm/(kT) = 1解得归一化常数A为：A = kT / (πm)将A代入速率分布函数中，可以得到麦克斯韦二维速率分布函数：f(v_x, v_y) = (kT / (πm)) * exp(-m(v_x^2 + v_y^2) / (2kT))麦克斯韦二维速率分布函数描述了二维速度空间中气体分子的速率分布情况。
14.6 麦克斯韦速率分布律
o
v1 v2
v
dN = Nf ( v )dv
v v1 → v2 区间的分子数 ∆N = ∫v 2 N f ( v )dv 速率位于 1
区间的分子数占总数的百分比： 速率位于 v1 → v2 区间的分子数占总数的百分比：
∆ N ( v1 → v 2 ) v2 ∆S = = ∫v f ( v )d v 1 N
气体在一定温度下分布在最概然 速率 v p 附近单位速率间隔内的相对 分子数最多 .
2）平均速率 ）
v (mean speed)
∞ 0
∫ v=
N
0
vdN N
∫ =
vNf (v)dv N
8kT πm
f (v)
v = ∫ v f ( v )dv =
0
∞
=
8 RT πM mol
o
v
v ≈ 1 .6 0
kT = 1 .6 0 m
df (v) = 0 决定 (2)最概然速率由 最概然速率 dv v p
df (v) = A(v0 − 2v) v = 0 p dv vp
v0 vp = 2
v0
v0 6 2 平均速率： 平均速率： v = vf (v)dv = ∫ v (v0 − v)dv = 3 0 0 2 v0 ∞ v 6 3 2 3 2 2 v = v f (v)dv = ∫0 3 v (v0 − v)dv = v0 而 0 v0 10
三种统计速率 1）最概然速率 ）
vp
(most probable speed)
f max
f v)
df ( v) =0 dv v=vp
根据分布函数求得
v ∵Mmol = mNA , R = NA k
麦克斯韦速率分布律的一种推导方法
麦克斯韦速率分布律的一种推导方法安海东（天水师范学院，物理与信息科学学院,物理系，甘肃，天水，741000）摘要：运用基本的初等方法推导出了麦克斯韦速率分布律，同时，对分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值积分运算中对积分限可以取分子速率无限大作了定量的解释和说明。
关键词：麦克斯韦速率分布律；分布函数；推导方法；分子数比率分类号：O552.3+1One of the Derivation Methods of Maxwell Velocity Distribution LawAn Haidong(School of physics and information science，Tianshui Normal University，Tianshui Gansu，741000)Abstract: Maxwell velocity distribution law is derived by the basic methods, meanwhile, why molecular speed can take the infinite quantity in the normalized of distribution function and the infinitesimal calculus of the average value of the mechanical quantity. In this thesis, the reasonable explanation is put forward by quantitative analysis.Key wards: Maxwell velocity distribution law，distribution function，derivation methods，number ratio of molecule1引言麦克斯韦速率分布律是热学中的重要知识点，但大学热学教材没有作详细的推导，而是直接给出了麦克斯韦速率分布律，对在分布函数的归一化表达式中和求力学量平均值的积分运算中，为什么能对积分限取分子速率为无限大（根据狭义相对论，分子速率不能达到光速，更不能达到无限大）作了定量的分析，并得出结论，这种取法是合理的，可行的。
普通物理PPT课件4.3 麦克斯韦速率分布律
v2 区间的分子数N 占分子总数
v2 N ＝ f (v )dv v1 N
它对应于曲线下阴影部分的面积
0
f (v )dv＝1
——速率分布函数的归一化
*由麦克斯韦速率分布函数表示一些平均值
v
v
2
vdN N
2
0
0
dN v N
vf (v )dv
0
在v = vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1）内 的分子数总数为
6.02 1023 105 0.2 0 0 1.2 1026 个
在v = 10vp 附近单位速率区间（v =1m· s-1） 内的分子数总数为
6.02 1023 105 2.0 1042 0 0 1.2 10
速率在区间的分子数占分子总数的百分比为它对应于曲线下阴影部分的面积速率分布函数的归一化432最概然速率平均速率和方均根速率最概然速率定义速率分布曲线上速率分布函数f最大值对应的速率叫做最概然速率
4.3 麦克斯韦速率分布律
4.3.1 麦克斯韦速率分布律 4.3.2 最概然速率 平均速率和方均根速率 4.3.4 例题分析
v2
k 玻耳兹曼常数 m 分子的质量 T－热力学温度
以v为横坐标，f (v)为纵坐标画出的曲线叫 做气体分子的速率分布曲线．
f (v )
dN f ( v )dv N
o
vp
v v dv
v
麦克斯韦速率分布曲线
3.麦克斯韦速率分布曲线
面积：
f(v)
意义：分布在区间v~ v+v 内的分子数的百分率 面积：
麦克斯韦速率分布函数的简单推导和讨论
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ４ － Ｏ ４ ． １ ２
基金项 目： 安徽 省优秀青年人才基金项 目（ ２ ０ １ ０ Ｓ Ｑ Ｒ Ｌ ０ ５ ３ ） （２ ０ １ ２ Ｑ Ｒ Ｌ ０ ５ １ ）
作者简介 ： 高娟 （ １ ９ ８ ０ 一 ） ， 女， 安徽淮北人 ， 讲师 ， 硕士 ， 主要从事凝聚态物理和热学 教学 方面的研 究。
第２ ４卷
第 ８期
长
春
大
学
学
报
Ｖ０ ｌ ＿ ２ ４ Ｎｏ ． ８ Ａｕ ｇ ．２ ０１ ４
２ ０ １ ４年 ８月
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ Ｃ ＨＡＮＧＣ ＨＵ Ｎ Ｕ ＮＩ ＶＥ ｌ ｑ Ｓ Ｉ ［ Ｔ Ｙ
麦克斯韦速率分布 函数 的简单推导和讨论
高 娟 ，汤永 新 ，汪月琴
（ 安徽理工大学 摘 理学院 ，安徽 淮南 ２ ３ ２ ０ ０ １ ）
要： 利用 气体分子动 力和统计假设 的观 点对麦克斯 韦速 率分布 函数及 约化 形式进行 简单的推 导 ， 并给 出最概
然速 率与速 率分布 曲线的定性关 系， 讨论 了速 率分布 曲线 出现极 大值的点的轨迹 。 关键词 ： 麦克斯韦速率分布 函数 ； 约化 形式 ； 最概 然速 率
区间 内 ， 即 ） ＝１ 。 下 面 我们根 据 速率分 布 曲线 的的 特点对 分 布 函数 进行 推导 。
表１ １ ４ ０ ０ Ｋ温 度 下 铊 分 子 速 率 分 布
１ ． ２ 公 式推 导
速率分布函数为， （ ）： ａ ｌ ｖ ， 表示单位速率 区间内出现的粒子 占总粒子数的概率。 考虑到气体分子动理
大学的密勒和库士才通对这个定律进行 了高精确的实验证明。 由于速率分布函数的推导 比较复杂 ， 很多热学教材 仅仅给出分布函数的具体形式 ， 很少涉及推导过 程。在讲述速率分布曲线时 ， 对最概然速率和速率分布曲线的关系也只有简单 的定性分析。本文根据气体 分 子动 理论 和平衡 状 态下 气体 分子 运 动 的统 计 假设 ＿ ４ Ｊ ， 对 速率 分 布 函数 进行 了推 导 ， 并 给 出 最 概然 速 率 与 速率分布曲线的定性关系， 讨论 了速率分布曲线出现极大值 的点 的轨迹。
麦克斯韦速率分布推导
麦克斯韦速率分布推导在一个阳光明媚的日子里，想象一下你在公园里，周围飞舞着各种小虫子。
它们像是无数个小颗粒，各自忙忙碌碌地穿梭着，似乎有自己的节奏和目标。
这个场景就像是气体分子在运动，真是有趣又令人好奇呢。
我们今天要聊聊麦克斯韦速率分布，这可是个神奇的话题哦，听起来复杂，但其实简单得很。
说白了，麦克斯韦就是在研究这些分子运动的速度，看看它们各自是多快。
想象一下，空气中的分子就像是参加一个竞赛，虽然都是在同一个地方，但每个分子的速度可不一样。
有的分子像是飞奔的赛车，动得飞快；而有的则像慢悠悠的散步者，完全不着急。
麦克斯韦通过数学公式，把这些不同速度的分子画了一张“速度图”，就像我们平时看天气预报时，看到不同区域的气温差异一样。
这一切听起来是不是特别酷？这个分布图告诉我们，绝大多数的分子其实都是中等速度，只有少数是飞快的或者慢得出奇的。
再说说这个速度分布的秘密。
想象一下你在一家蛋糕店，看到各式各样的蛋糕。
每种蛋糕都有自己的味道和造型，速度分布也是如此。
在麦克斯韦的世界里，分子速度分布就像是蛋糕的种类。
我们可以通过一个简单的公式来描述这些速度。
就像你去市场买水果，选择香蕉、苹果或是橙子，每种选择都有它的理由。
同样，不同速度的分子也有各自的特点。
有些分子因为轻而快，有些分子则因为重而慢，真是妙不可言。
说到这里，或许你会好奇，为什么速度分布这么重要呢？这就像是在了解一场运动比赛。
你知道球员的表现，才能预测比赛的结果。
速度分布帮助科学家了解气体的性质，从而对很多物理现象有更深入的认识。
比如，为什么气体在加热时会膨胀，为什么气体会流动得那么快，为什么气体的压力和温度有关系。
这些看似简单的问题，背后却有麦克斯韦的理论在默默支撑。
生活中处处有麦克斯韦的影子。
你知道吗，空气的流动、风的速度，甚至是你喝的汽水里气泡的上升，都能用他的理论来解释。
这种感觉就像是把平常的现象变成了科学的魔法。
想想你喝汽水时看到气泡一颗颗冒出，那些气泡就是在展示速度分布的精彩。
麦克斯韦速率分布律的推导方式探讨
麦克斯韦速率分布律的推导方式探讨
麦克斯韦速率分布律（Maxwell-Boltzmann velocity distribution law）是物理学中定义不同温度下气体中粒子速率的一种定律。
它探究分体系中粒子速度的相对频率，并用于描述热力学中的温度分布。
麦克斯韦-波尔兹曼速度分布律的基本原理是物理分子最终升温达到某一温度时，它们的惯性力已经玄学之谜，采用热力学上的易动理论推出的，它表明物理分子的空间分布和速度分布的规律。
麦克斯韦-波尔兹曼速率分布律的推导大致可以分为两个步骤：第一步，假设某一分子的力学效用函数为U（r），其实际能量为E，且两者满足基础力学定律Q⋅∇U（r）=2E。
接着将热力学参数对力学变量做出无穷细划，推导出（∂E）
/(∂Q)=KT；第二步，根据低效率推导出K(n−1/2)=（2πmkT）n/2，从而得出库伦分布公式。
由此可以得出麦克斯韦-波尔兹曼速率分布律：在假设所有分子能量相等的假定条件下，某种温度下，各温度及分子速率分布与最大权重应是统一的。
麦克斯韦-波尔兹曼速率分布律虽然简单，但是有其重要性，它提供了热力学上分子速度分布的框架，可以运用于拓宽热力学理论，以及研究物质在较高温度时的原子布局和化学性质的研究。
总之，麦克斯韦-波尔兹曼速率分布律是对温度、分子速度及动能的一种重要概括性定律，它可以详细描述热力学及分子运动规律，是研究物理热力学性质和分子性质的重要工具。
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(
v
)
=4πm2πkT3/2v2e-
mv22kT1
限于技术条件,直到1924年,斯特
恩(1888-1969)才首次从实验上验证了这个定律;1934年,我国物理学家葛正权测定了铋蒸汽分子射
线的速率分布;1956年,密勒-库士实验以及后来的朗缪尔实验都以较高的精度进一步证实了这个分布律1对于麦克斯韦分布律及其分布函数这一微观方法的统计规律,人们总是从各种实验测得的若干数据来予以验证,而从未由实验出发去加以推导,这是否算是一种思维禁锢呢?现在就利用他们的实
,可表达为f
(ν)
=lim△V→0△N
N△V
=1N
dN
dν
1下面的
图1任务就是从曲线的特点出发,推导出f
(ν)的表达式
12 推导2.1 通过分析可知,图1中的曲线有如下特点:1)曲线的一端过原点,另一端以横轴为渐近线,且是非对称曲线
12)曲线有一个峰值,即f
的铊分子速率分布的一组实验数据[1]1
表1 1400K平衡态铊分子速率分布速率区间(
m?s-1)平衡态
△N
N
%速率区间(
m?s-1)平衡态
△N
N
%100以下2.7500～60012.7
100～20011.0600～7006.5200～30020.3700～8002.7300～40023.5800以上0.9400～50019.7 利用这组数据绘制的实验曲线如图1(见下页)中实线所示
)Abstract:Thispaperallowsforphysicsisanexperimentalscience,theorizestheMaxwell’sfunctionofspeeding
distributioncapitalizeonexperimentaldata.Theyarecoequalconsequenceasthemethodofexperimentalgraphas
(ν)
=4π
ν-3pν2e-ν2/ν2p……(5)4
22.3.3 确定vp用概率求平均值的方法,得
ν2=∫∞0ν2f(
v
)
dν=4π
ν-3p∫∞0ν4e-ν2/ν2pdν=4π
ν2p∫∞0x4e-x2dx……(6)利用积分公式①
Ξ知:∫∞0x4e-x2dx=3π8将其代入(6)式得
ν2ν2pe-ν2νp2dν=1利用换元法将dν
换成dν
νp1
令x=ν
νp,则dx=1νpdν,于是(2)式变为
Cν3p∫∞0x2e-x2dx=1……(3)利用积分公式①知: ∫∞0x2e-x2dx=π4……(4)将(4)代入(3)
,得:
C=4π
ν-3p将n,C之值代入(1)式,得: f
验数据,绘制出实验曲线,用微积分知识对此加以推导,这与麦克斯韦纯理论的推导比起来,简单了许
多,也更直观
11 实验数据1956年,密勒-库士用一个速率选择器筛选出在某一速率附近v—v+△V的铊分子(
m=3139×10-25kg,T=1400K
)
,令其进入一个分子计数器,由此测得表1中所列的在1400K温度下处于平衡态
(ν)
dνν=νp=Cnνn-1e-ν2ν2p+Cνne-ν2ν2p-2ν
ν2p=Cνn-1e-ν2ν2pn-2ν2ν2pν=νp=Cνn-1e-1(
n-2)=0由此得n-2=0,n=2
2.3.2 确定C由归一化条件
∫∞0f
(ν)
dν=1……(2)将(1)式代入(2)得:∫∞0Cν2e-ν2ν2pdν=∫∞0Cν2p?
高等教育出版社,1994,67～701TheNewMethodofTheorizingtheMaxwell’sFunctionofSpeedingDistribution
ZHAOXiao-yu(
Dept.ofPhysics&ElectronicInformationEngineer,WesternChongqingUniversity,YongchuanChongqing402168,China
=0,故推设含有因子
νn(
n为正实数),由此得到推理表达式
f
(ν)
=Cνne-ν2/ν2p……(1)其中,n、
νp为待定量,C为归一化常数
12.3 确定表达中各未定量2.3.1 确定n由于当
ν=νp时函数存在极大值,故df(ν)
dνν=νp=0 即
df
1图中,纵坐标为单位速率区间原子(分子)占总数的比率
△N
N△V
,横坐标为速率
ν
1微积分知识告诉我们,△V越小,描述越精确1当△V→32Ξ[收稿日期]2003—04—23
[作者简介]赵晓雨(
1966—),男,山东苍山人,高级讲师
10时,直方图就变成一条连续的曲线(如图1虚线所示)
(
2003
)
03—0023—03前言
“分子作永恒的无规则热运动”,这是分子运动论的基本论点之一,而处于平衡态的气体分子会按
照一定的统计规律来分布,如分子按速率分布(麦克斯韦分布律)、在重力场中分子按高度分布(玻尔
兹曼分布律)1
早在1859年,麦克斯韦就运用概率论从理论上预言处于平衡态气体中分子按速率分布
n=1,f
(
1
)
=
1
2b
;n=2,f
(
2
)
=
1
4πb3n=3,f
(
3
)
=
1
2b2;n=4,f
(
4
)
=
3
8πb5
themethodofprobabilitytheory.ButitismoreeasyandvisualthanthetheoreticalcoursethatMaxwellcapitalizes
probabilitytheory.Thekeyisfoundingthemodeloffunction.
KeyWords:balance;probabilitytheory;molecularspeed;experimentalgraph;calculus.
52Ξ①所用积分公式[2]为:f
(
n
)
=∫∞0νne-bν2dν,式中当n=0,f
(
0
)
=
1
2πb
2003年9月渝西学院学报(自然科学版)
Sep1,2003
第2卷 第3期JournalofWesternChongqingUniversity
(
NatureSciencesEditi斯韦速率分布函数的新方法赵晓雨(渝西学院 物理学与电子信息工程系,重庆 永川 402168
(ν)有极大值
1将此值对
应的速率
νp称为最概然(最可几)速率
13)曲线满足归一化条件,0Φ
ν
Φ∞12.2 建立函数模型
首先根据曲线的形状,推想为二次函数且服从指
数规律,由不对称性可排除因子(ν-νp)2,于是设为-ν2ν2p1
其次曲线过原点,即
ν=0时,f(ν)
)[摘 要]作者考虑到物理学是一门实验科学的特点,试探性地利用实验数据推导麦克斯韦的
速率分布函数,比用概率论的推导更直观,易于理解,而其结果却完全相同
1其中的关键是函
数模型的建立1[关键词]平衡态;概率论;分子速率;实验曲线;微积分[中图分类号]O411 [文献标识码]A [文章编号]1671—7538
的《物理学》上册)1
本方法从最后的结果来看,是与理论结果一致的,因此应该是可行的
1由实验曲线得到推理表达
式即(1)式是至关重要的一步,这一点的数学跨度和难度较大,需要思维中的数学因子
1[参考文献][1]梁绍荣,刘昌年,盛正华1热学(第二版)
[A]1
普通物理学(第二分册)
[M]1
mν22kT=4πm2πkT3/2ν2e-
mν22kT3 结语
从实验曲线出发推出的气体分子速率分布函数,与麦克斯韦用统计理论推导出的表达式完全相同1此方法的关键是由图1曲线反推函数,因此曲线的正确性是很重要的
1对于由表1数据绘制出的
图1,还可由其它实验数据来加以佐证
1例如在273K时氧分子速率分布情况的数据表(见屠庆铭主编
ν2=3
2ν2p……(7)又知气体分子的平均平动动能
εk=3
2kT=12mν2,即
ν2=3kT
m1
与(7)式相比,知
νp=2kT
m2.3.4 确定f
(ν)的最终表达式
将
νp=2kT
m代入(5)式,即得f
(ν)
=4πm2kT3/2ν2e-