积分不等式的若干证明技巧
高等数学之微积分中不等式的证明方法总结
高等数学之微积分中不等式的证明方法总结
不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。
利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法。
有时需要两次甚至三次连续使用该方法，其他方法可作为该方法的补充，辅助函数的构造仍是解决问题的关键。
证明方法总结：
（1）利用函数单调性证明不等式
若在（a,b）上总有f（x）的导数大于零，则函数f（x）在区间(a,b)上单调增加；若在（a,b）上总有f（x）的导数小于零，则函数f （x）在区间(a,b)上单调减少。
（2）利用拉格朗日中值定理证明不等式
对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可考虑用拉格朗日中值定理先处理一下。
（3）利用函数的最值证明不等式
若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上存在最大值M和最小值m.
（4）利用泰勒公式证明不等式
如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。
不等式证明的难点也是辅助函数的构造，一般可以通过要证明的不等式分析得出要构造的辅助函数。
题型一：利用函数的单调性证明不等式
分析：对要证明的不等式进行如下化简：
解：
备注：构造适当的辅助函数是解决问题的基础，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对区间（a,b）进行分割，分别在小区间上讨论。
题型二：利用拉格朗日中值定理证明不等式
例2：
分析：
解：
备注：对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可以考虑使用拉格朗日公式先处理一下。
积分不等式证明技巧解析
∫
2 f ( x ) dx ≤
∫
0
b a
1
f(
1) 1 ( ) d x + f′ 3 3
(x ∫
0
1
2
-
1) 1 dx = f ( ) . 3 3
6 借助于参数表达式来证明积分不等式
引入参数 t , 构造辅助函数
[ f ( x) ∫
- tg ( x ) ] d x ≥ 0 , 得到关于 t 的二次多项式 , 利用判别
n- 1 n- 2
+ … + 6 cn- 3 x + …
例 4 求 ( x 4 - x3 + 2 x 2 - x + 1) co s x d x. 解 列竖式计算 :
x x
4 4 3
∫
- x - x
+ 2x
2 2 2
- x - 6x + 5x
+1 - 20 + 21
3 2
12 x
3
- 10 x
∫
第 12 卷第 6 期
杨和稳 : 积分不等式证明技巧解析
27
1 ( ξ ) < 0 , x ∈ [ 0 , 1 ] , 所以 , 其中ξ介于 与 x 之间 . 因为 f ″ 3
f ( x) < f (
1 0
1) 1 1) 1 1 1) 2 ( ) (x ( ) ( x2 + f′ , f ( x ) < f ( ) + f ′ , 3 3 3 3 3 3
a x
例 4 设 f ( x ) 在 [ a , b] 上有连续导数 , 且 f ( a) = f ( b) = 0 , 证明 : b 4 ( x) | ≥ max | f ′ | f ( x ) | d x. 2
《积分不等式_(全文)》
《积分不等式_（全文）》第1章积分不等式1.1 定积分不等式的证明定理1.1 方法1：柯西-施瓦茨不等式设f(x),g(x)在[a,b]上连续,则有∫b a f2(x)dx∫bag2(x)dx≥(∫baf(x)g(x)dx)2等号成立的必要条件是存在常数k使得 f(x)=kg(x). 习题1.1: 设f(x)在区间[0,1]上连续,且1≤f(x)≤3,证明:1≤∫10f(x)dx∫11f(x)dx≤43证明:由Cauchy-Schwarz不等式:∫1 0f(x)dx∫11f(x)dx≥(∫1√f(x)√1f(x)dx)2=1又由基本不等式得：∫1 0f(x)dx∫13f(x)dx≤14(∫1f(x)dx+∫13f(x)dx)2再由条件1≤f(x)≤3,有((f(x)-1)(f(x)-3)≤0,则f(x)+3f(x)≤4⇒∫1(f(x)+3f(x))dx≤4即可得1≤∫10f(x)dx∫k1f(x)dx≤43□定理1.2 方法2：琴声不等式连续的凸函数，则有：g(1b−a ∫baf(x)dx)≤1b−a∫bag(f(x))dx若g(x)是[m，M]上的连续凹函数时，上式中的不等号相反。
习题1.2: 证明:对于连续函数f(x)>0, 有ln∫10f(x)dx≥∫1lnf(x)dx证明:令g(x)=lnx,则. g′′(x)=1x ,g′′(x)=−1x2<0,所以g(x)为凹函数，可由上式琴声不等式定理，可得ln∫10f(x)dx≥∫1lnf(x)dx或利用定积分定义，将[0，1]分』等分，可取x=1n,由“算术平均数≥几何平均数“得：1 n ∑k=1n f(kn)≥√f(1n)⋯f(nn)n=e1n∑k=1n lnf(k n)⇒∫10f(x)dx≥e lim n→∞1n∑k=1n lnf(kn)=e∫10lnf(x)dx然后两边取对数即证.∫b a tf(t)dt≤2b−a6[(2b+a)f(b)+(2a+b)f(a)]事业证明：利用琴声不等式，对于任意R∈[0，1]，则有：Rf(x₁)+(1﹣R)f(x₂)≥f(Rx₁+(1﹣R)x₂) 所以再令t=xb+(1-x)a有:∫b a lf(t)dt=(b−a)∫1[xb+(1−x)a]f(xb+(1−x)a)≤(b−a)∫1[xb+(1−x)a][xf(b)+(1−x)f(a)]dx≤2b−n6[(2b+a)f(b)+(2a+b)f(a)]证明：对任意x∈[0,π2],有1-cosx ≤ sinx, 即得到∫x 0sintdt≤∫xcostdt,显然有∫π2sinxdx=∫π2cosxdx=1,且函数11+x2在[0,π2]上单调递减，所以可以利用斯蒂文森不等式,若f(x)在[a,b]上单调递减,则∫b a f(x)g1(t)dt≤∫baf(x)g2(t)dt,即有：∫n2sinx1+x2dx≤∫n2cosx1+x2dx习题1.4: 证明:∫π20sinx1+x2dx≤∫π2cosx1+x2dx习题1.5: 设a>0, f(x)在[0,a]上连续可导,证明:|f (0)|≤1a ∫a|f (x )|dx +∫a|f ′(x )|dx证明：由积分第一中值定理，有1a∫a 0|f (x )|dx =|f (ξ)|,ξ∈[0,a ] ∫z|f ′(x )|dx ≥∫z|f ′(x )|dx ≥|∫ḡf ′(ξ)dx|=|f (ξ)−f (0)|≥|f (0)|−|f (ξ)|习题1.6: 设 f(x)在[0,1]上连续可导,证明:|f (12)|≤∫10|f (x )|dx +12∫1|f ′′(x )|dx证明：由积分第一中值定理，有 [0,12],f (ξ)|dx =12|f (ξ)|,ξ∈[0,12]. 再由N-L 公式, f (12)=f (ξ)+∫12ξf ′(x )dx,04所以有：|f (12)|≤|f (ξ)|+∫120|f ′(x )|dx ≤2∫ℎ|f (x )|dx ∫1|f ′(x )|dx′(1)即1a ∫a|f (x )|dx +∫a|f ′(x )|dx ≥|f (ξ)|+|f (0)|−|f (ξ)|=f (0)|f (12)|≤|f (ξ)|+∫112|f ′(x )|dx ≤2∫112|f (x )|dx ∫112|f ′(x )|dx (2)用(1)与(2)式相加即证.习题1.7: 设f(x)在[a,b]上有一阶连续导数,f(a)=f(b)=0,求证:∫b a|f (x )|dx ≤(b−a )24M其中M 为|f'(x)|在[a,b]上的最大值。
利用微积分证明不等式的方法
利用微积分证明不等式的方法摘要微积分学是高等数学课程中的主要组成部分,本文通过具体实例阐述了应用微积分学理论证明不等式的4种方法。
关键词微积分;不等式;证明1 利用可导函数的单调性证明不等式法1.1依据此类方法根据可导函数的一阶导数的符号与函数单调性关系的定理来解决问题。
定理1,设函数在[a,b]连续,在(a,b)内可导,如果在(a,b)内(或),那么函数在[a,b]上单调增加(或单调减少)。
此定理反映了可导函数一阶导数的符号与函数单调性之间的关系,因此可以利用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性,利用导数来判断函数的增减性往往比用定义判断函数的增减性方便。
1.2证明方法1)构造辅助函数,取定闭区间[a,b];2)研究在[a,b]上的单调性,从而证明不等式。
1.3实例例1 ,证明不等式:。
证明令,易知在上连续,且有,由定理知在上单调增加,所以由单调性定义可知,即。
因此。
2 利用拉格朗日中值定理证明不等式法2.1依据此类方法根据拉格朗日中值定理。
定理2,(拉格朗日中值定理) 若函数满足下列条件:(i)在闭区间[a,b]上连续;(ⅱ)在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点,使得。
拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量与可导函数的一阶导数符号之间的关系。
2.2证明方法1)构造辅助函数,并确定施用拉格朗日中值定理的区间[a,b];2)对在[a,b]上施用拉格朗日中值定理;3)利用与a,b的关系,对拉格朗日公式进行加强不等式。
2.3实例例2 ,证明:当。
证明构造函数,因在上连续,(1,1+x)在上可导,f(t)在[1,1+x](x>0)上满足拉格朗日条件,于是存在,使,因,所以,即。
3 用定积分理论来证明不等式法3.1依据此类方法根据积分的性质和变上限的定积分理论。
性质1 ,设与为定义[a,b]在上的两个可积函数,若,则。
定理3,(微积分学基本定理)若函数在[a,b]上连续,则由变动上限积分,定义的函数在[a,b]上可导,而且。
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用一、积分不等式的证明方法：1.使用定积分定义证明：对于一个函数f(x)，如果在[a,b]上f(x)≥0，那么可以使用定积分的定义进行证明。
将[a,b]分成n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，那么对于每个小区间，存在一个ξi ∈ [x_{i-1}, x_i]，使得f(ξi)Δx_i≤∫_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)dx。
对于所有小区间，将不等式相加并取极限即可得到定积分不等式。
2.使用导数的性质证明：对于一个函数f(x)，如果能够表示出它的导数f'(x)，那么可以使用导数的性质进行证明。
首先计算f'(x)，然后判断f'(x)的正负性，再根据函数在[a,b]上的取值情况，可以得到相应的不等式。
例如，如果f'(x)≥0，那么f(x)在[a,b]上是单调递增的，可以得到∫_a^bf(x)dx≥∫_a^b f(a)dx=f(a)(b-a)。
3.使用恒等式和变量替换证明：对于一个复杂的积分不等式，有时可以通过引入合适的恒等式或进行变量替换来简化证明过程。
例如，对于形如∫_a^b f(x)g(x)dx≥0的不等式，可以通过将f(x)g(x)拆分为两个函数的平方和，然后应用恒等式a^2+b^2≥0进行证明。
或者，可以通过进行变量替换将不等式转化为更简单的形式，然后再进行证明。
二、积分不等式的应用：1.极值问题：2.凸函数与切线问题：3.平均值不等式：平均值不等式是积分不等式的一种特殊情况，它可以用于证明平均值与极值之间的关系。
例如，对于一个连续函数f(x)，可以通过证明(1/(b-a))∫_a^b f(x)dx≥ƒ(ξ)来得到平均值与极值之间的关系。
4.泛函分析问题：总结起来，积分不等式的证明方法包括定积分定义证明、导数性质证明、恒等式和变量替换证明等等。
而积分不等式的应用包括解决极值问题、研究凸函数的性质、平均值不等式以及泛函分析问题等。
积分不等式的证明方法
摘要在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better.Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality,integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized．Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem,Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty1.引言不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来．本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的．2.几个重要的积分不等式在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz 不等式,Young 不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．2.1 Cauchy-Schwarz 不等式无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz 不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间()P F ,,Ω中的以及n 维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．定理2.1[1] 设()f x , ()g x 在[,]a b 上连续,则有[()()b af xg x dx ⎰]2≤{2[()]b af x dx ⎰}⋅ {2[()]bag x dx ⎰}．证明：要证明原不等式成立,我们只需要证()()()()2220bbbaaa fx dx g x dx f x g x dx ⎡⎤⋅-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 成立． 设()()()()()222tttaa a F t f x dx g x dx f x g x dx ⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰,则只要证()()F b F a ≥成立,由()F t 在[,]a b 上连续,在(),a b 内可导,得()()()()()()()()()22222t t taaaF t f t g x dx g t f x dx f t g t f x g x dx'=+-⎰⎰⎰()()()()()()()()22222ta f t g x f t g t f x g x g t f x dx ⎡⎤=-+⎣⎦⎰ ()()()()20ta f t g x g t f x dx =-≥⎡⎤⎣⎦⎰． (2.1) 由(2.1)式可知()F t 在[,]ab 上递增,由b a >,知()()F b F a >,故原不等式成立． 证毕实际上关于Cauchy-Schwarz 不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz 不等式能够改写成以下行列式的形式()()()()()()()()0b baabbaaf x f x dxg x f x dx f x g x dxg x g x dx≥⎰⎰⎰⎰,由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出Cauchy Schwarz -不等式的推广形式．定理2.2[2] 设()f x ,()g x ,()h x 在[],a b 上可积,则()()()()()()()()()()()()()()()()()()0bbbaaabbbaaabbbaaaf x f x dxg x f x dxh x f x dxf xg x dx g x g x dxh x g x dx f x h x dxg x h x dxh x h x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．证明：对任意的实数1t ,2t ,3t ,有()()()()2123bat f x t g x t h x dx ++⎰()()()222222123bbbaaat f x dx t g x dx t h x dx=++⎰⎰⎰()()()()()()1213232220bbb aaat t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++≥⎰⎰⎰．注意到关于1t ,2t ,3t 的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为()()()()()()()()()()()()()()()2220bbbaaab bba aabbbaaaf x dxg x f x dxh x f x dxf xg x dxgx dxh x g x dx f x h x dx g x h x dxh x dx≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 证毕以上的推广是将Cauchy-Schwarz 不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz 不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．除了Cauchy-Schwarz 不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young 不等式,相较于Cauchy-Schwarz 不等式我们对Young 不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young 不等式进行一些研究．2.2 Young 不等式Young 不等式,以及和它相关的Minkowski 不等式,HÖlder 不等式,这些都是在现代分析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young 不等式的证明．定理 2.3[3] 设()f x 在[0,]c （0c >）上连续且严格递增,若(0)0f =,[0,]a c ∈且[0,()]b f c ∈,则100()()abf x dx f x dx ab -+≥⎰⎰,其中1f -是f 的反函数,当且仅当()b f a =时等号成立．证明：引辅助函数0()()ag a ab f x dx =-⎰, (2.2)把0b >看作参变量,由于()()g a b f a '=-,且f 严格递增,于是当 10()a f b -<<时,()0g a '>；当 1()a f b -=时,()0g a '=；当 1()a f b ->时,()0g a '<． 因此 当1()a f b -=时,()g a 取到g 的最大值,即()()()()b f g x g a g 1m ax -=≤ (2.3)由分部积分得11()()11(())()()()f b f b g f b bf b f x dx xdf x ----=-=⎰⎰,作代换()y f x =,上面积分变为110(())()bg f b f y dy --=⎰, (2.4)将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得110()()()a bbab f x dx f y dy f x dx ---≤=⎰⎰⎰,即10()()a bf x dx f x dx ab -+≥⎰⎰． 证毕3.定积分不等式常见的证明方法关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．3.1 利用函数的凹凸性在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．定理3.1 若()t ϕ定义在间隔(),m M 内,且()0t ϕ''>,则()t ϕ必为下凸函数．定理3.2 设()f x 在[,]a b 上为可积分函数,而()m f x M ≤≤．又设()t ϕ在间隔m t M ≤≤内为连续的下凸函数,则有不等式()()()11b b a af x dx f x dx b a b aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰． 例3.1[4] 设()f x 在[],a b 上连续,且()0f x >,求证：()()()21bba a f x dx dxb a f x ≥-⎰⎰． 证明: 取()u u 1=ϕ, 因为()210u u ϕ'=-<,()320u uϕ''=>,()0>u 即在0u >时,()y u ϕ=为凸函数,故有()()()11b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≤ ⎪--⎝⎭⎰⎰， 即()()1babadxf x b ab a f x dx-≤-⎰⎰，故()()()21b b a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 证毕 在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式．然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题．3.2 辅助函数法辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明的结论．在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz 不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨．例3.2.1[5] 设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减,证明：对)1,0(∈∀a 时, 有： ()1()af x dx a f x dx ≥⎰⎰．证明：令()01()xF x f t dt x =⎰ ()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导 则()()()02xf x x f t dtF x x ⋅-'=⎰ ()()2f x x f x x ξ⋅-⋅=()()f x f xξ-=, (0)x ξ<<． 因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,从而()0F t '<,()F x 在(0,1]上单调减少,则对任意(0,1)a ∈,有()(1)F a F ≥． 即()1001()af x dx f x dx a≥⎰⎰,两边同乘a ,即得()100()a f x dx a f x dx ≥⎰⎰． 证毕 本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间)1,0(上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.例 3.2.2 设函数()f x 在区间[]0,1上连续且单调递减非负,证明：对)1,0(,∈∀b a ,且10<≤<b a 时,有: ()0()aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰． 证明：令()01()xF x f t dt x=⎰,()01x <≤,由()x f 连续,得()x F 可导, 则 ()()()02x f x x f t dtF x x ⋅-'=⎰ ()()2f x x f x x ξ⋅-⋅=()()f x f xξ-=, (0)x ξ<<． 因为()f x 在[0,1]上单调减少,而0x ξ<<,有()()f x f ξ<,从而()0F t '<,()F x 在(0,1]上单调减少,则对任意10<≤<b a ,有()()F a F b ≥,即()()0011a bf t dt f t dt a b ≥⎰⎰． (3.1)由f 非负,可得()()dx x f dx x f bab⎰⎰≥0． (3.2)结合(3.1)式和(3.2)式可得 ()()011a ba f x dx f x dx a b≥⎰⎰． 即()()0abaa f x dx f x dxb ≥⎰⎰． 证毕例3.2.3[6] 函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21()()()bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰．在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程．证明: 构造辅助函数()()()()2xxa adt x f t dt x a f t φ=--⎰⎰, 则 ()()()()()()12xx aa dt x f x f t dt x a f t f x φ'=+⋅--⎰⎰()()()()2xx x aa af x f t dt dt dt f t f x =+-⎰⎰⎰()()()()20x af x f t dt f t f x ⎡⎤=+-≥⎢⎥⎣⎦⎰, 所以()x φ是单调递增的,即()()0b a φφ≥=,故()()()21b baaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 证毕 例3.2.4[7]设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf 2．证明: 原不等式即为()()02≥+-⎰⎰ba ba dx x fb a dx x xf ,构造辅助函数 ()()()2t ta a a t F t xf x dx f x dx +=-⎰⎰ ,[],t ab ∈, 则()()()()122t a a t F t tf t f x dx f t +'=--⎰ ()()()12t a t a f t f x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()()()()12t a f t f ζ=-- , (),a t ζ∈．因为a t ζ≤≤,()f x 单调增加,所以()0F t '≥．故()F t 在[],a b 上单调递增,且()0F a =, 所以对(,]x a b ∀∈,有()()0F x F a ≥=．当x b =时,()0F b ≥．即()()02bbaaa b xf x dx f x dx +-≥⎰⎰,故原不等式成立, 证毕通过以上几道题目的观察我们可以发现：1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明．2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法．在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论．3.3 利用重要积分不等式在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz 不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz 不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用．例3.3.1[8] 函数()f x 在[]0,1上一阶可导,()()100f f ==, 试证明：()()112214f x dx f x dx '≤⎰⎰．证明：由()()()00xf x f t dt f '=+⎰和()()()11x f x f t dt f '=-+⎰可得 ()()()()()21222201xx xfx f t dtdt f t dt x f x dx '''=≤≤⎰⎰⎰⎰, 1(0,)2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()()()()()21111222201(1)x x x fx f t dtdt f t dt x f x dx '''=≤≤-⎰⎰⎰⎰, 1(,1)2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因此 ()()112220018f x dx f x dx '≤⎰⎰, (3.3)()()112210218f x dx f x dx '≤⎰⎰． (3.4) 将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到()()1122014f x dx f x dx '≤⎰⎰． 证毕 例3.3.2[2]设()f x ,()g x 在[],a b 上可积且满足：()0m f x M <≤≤,()0bag x dx =⎰,则以下两个积分不等式()()()()()()()22222bbb baa a a f x g x dxfx dx g x dx m b a g x dx ≤--⎰⎰⎰⎰及()()()()()2222bbbaaaM m f x g x dxf x dxg x dx M m -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰成立．证明：取()1h x =,由()0b ag x dx =⎰及定理2.2知()()()()()()()()2200bb baaab baab afx dxg x f x dx f x dxf xg x dx g x dx f x dxb a-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()222220bbbbbaa a a ab a fx dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx=-⋅---≥⎰⎰⎰⎰⎰．因此()()()()()()()()222221bbbbbaaaaaf xg x dxfx dx g x dx f x dxg x dx b a≤--⎰⎰⎰⎰⎰． (3.5)由()m f x ≤可知()()()222baf x dxm b a ≥-⎰,因而()()()()()()()22222bbbbaaa a f x g x dxfx dx g x dx m b a g x dx ≤--⎰⎰⎰⎰．由于()0m f x M <≤≤,因此()2222M m M m f x +-⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得()()()2f x Mm M m f x +≤+, 两边同时积分得 ()()()()2b baaf x dx Mm b a M m f x dx +-≤+⎰⎰,由算数-几何平均值不等式可知()()2baf x dx Mm b a ≤+-⎰,于是()()()()()2224babab a f x dxM m Mmf x dx-+≤⎰⎰．则()()()221bbaaf x dxg x dx b a -⎰⎰()()()()()()2222bbbabaa af x dxfx dx g x dxb a f x dx=-⎰⎰⎰⎰()()()2224bbaaMmf x dxg x dx M m ≥+⎰⎰．(3.6) 由式(3.5)和式(3.6)可知()()()()()2222bbbaaaM m f x g x dxf x dxg x dx M m -⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭⎰⎰⎰． 证毕以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz 不等式及其推广形式．我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz 不等式颇为有用,但要注意选取适当的()x f 与()x g ,有时还需对积分进行适当的变形．3.4 利用积分中值定理积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明．定理 3.3（积分第一中值定理） 若()f x 在[,]a b 上可积且()m f x M ≤≤,则存在[,]u m M ∈使()()ba f x dx ub a =-⎰成立.特别地,当()f x 在[,]a b 上连续,则存在[,]c a b ∈,使()()()baf x dx f c b a =-⎰成立．定理 3.4（积分第一中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,()x f 连续,()x g 在[]b a ,上不变号,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立()()()()⎰⎰=babadx x g f dx x g x f ε．定理3.5（积分第二中值定理的推广） 若函数()x f ,()x g 在区间[]b a ,上可积,且()x f 为单调函数,则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ε,使得下式成立 ()()()()()()⎰⎰⎰+=εεabbadx x g b f dx x g a f dx x g x f ．例3.4.1 设函数()f x 在区间[]0,1上连续单调递减,证明：对)1,0(,∈∀b a ,且10<≤<b a 时,有()0()aba a f x dx f x dx b≥⎰⎰,其中()0≥x f ． 对于这道题目我们在3.2.2中给出了其利用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程．证明：由积分中值定理知 ()()10af x dx f a ξ=⋅⎰, []10,a ξ∈； ()()()2baf x dx f b a ξ=⋅-⎰,[]2,a b ξ∈；因为12ξξ≤,且()f x 递减,所以有()()12f f ξξ≥,即()()()0111a b ba a f x dx f x dx f x dx ab a b ≥≥-⎰⎰⎰, 故 ()()0a baa f x dx f x dxb ≥⎰⎰． 证毕例3.4.2 设()x f 在[]b a ,上连续且单调增加,证明：()()⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf 2． 同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程．证法一证明: ()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()()2222a bb a b a a b a b x f x dx x f x dx ++++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰．由定理3.4可知,分别存在1,2a b a ξ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2,2a b b ξ+⎛⎫∈⎪⎝⎭, 使得 ()()22122a ba baa ab a b x f x dx f x dx ξ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰,()()22222bb a b a b a b a b x f x dx f x dx ξ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰, 因此()()()()()22128ba ab a b x f x dx f f ξξ-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰,由于()x f 在[]1,0单调增加的,且1201ξξ<<<,所以有 ()()210f f ξξ-≥．从而()02ba ab x f x dx +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭⎰,故原不等式成立, 证毕 证法二证明:由定理3.5可知：存在(),a b ξ∈,使得 ()2ba ab x f x dx +⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰()()22b a a b a b f a x dx f b x dx ξξ++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()()()f a f b a b ξξ=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．由()x f 单调增加及(),a b ξ∈知()()0f a f b -<,0a ξ->,0b ξ-<．可得()02ba ab x f x dx +⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭⎰,故原不等式成立, 证毕 通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数．3.5 利用积分的性质关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理．例3.5.1[9] 设()f x 在[]0,1上导数连续,试证：[]0,1x ∀∈,有()()()10f x f x f x dx ⎡⎤'≤+⎣⎦⎰． 证明：由条件知()f x 在[]0,1上连续,则必有最小值,即存在[]00,1x ∈,()()0f x f x ≤,由()()()00xx f t dt f x f x '=-⎰⇔()()()00xx f x f x f t dt '=+⎰,()()()00xx f x f x f t dt '=+⎰≤()()00x x f x f t dt '+⎰≤()()100f x f t dt '+⎰()()1100f x dt f t dt '=+⎰⎰≤()()1100f t dt f t dt '+⎰⎰()()10f t f t dt ⎡⎤'=+⎣⎦⎰ ()()10f x f x dx ⎡⎤'=+⎣⎦⎰.故原不等式成立, 证毕3.6 利用泰勒公式在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法．定理 3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor 公式) 设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶连续导数,则对该邻域内异于0x 的任意点x ,在0x 与x 之间至少存在一点ξ,使得：20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ (1)其中(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+（ξ在x 与0x 之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公式．例3.6.1[10] 设()f x 在[],a b 上有二阶连续导数,()()0f a f b ==,[](),max x a b M f x ∈''=,试证明:()()312bab a f x dx M -≤⎰．证明：对(),x a b ∀∈,由泰勒公式得()()()()()()212f a f x f x a x f a x ξ'''=+-+- , (),a x ξ∈,()()()()()()212f b f x f x b x f b x η'''=+-+-, (),x b η∈,两式相加得 ()()()()()()22124a b f x f x x f a x f b x ξη+⎛⎫⎡⎤'''''=---+- ⎪⎣⎦⎝⎭,两边积分得 ()()()()()()22124b bb aaa ab f x dx f x x dx f a x f b x dx ξη+⎛⎫⎡⎤'''''=---+- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰, 其中 ()()()22b b b a a a a b a b f x x dx x df x f x dx ++⎛⎫⎛⎫'-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰, 于是有 ()()()()()2218bb a a f x dx f a x f b x dx ξη⎡⎤''''=-+-⎣⎦⎰⎰, 故()()()()223812bb aa M M f x dx a xb x dx b a ⎡⎤≤-+-=-⎣⎦⎰⎰． 证毕 例3.6.2[6] 设()f x 在[],a b 上有二阶导数,且()0f x ''>,求证 ()()2ba ab f x dx b a f +⎛⎫≥- ⎪⎝⎭⎰． 证明：将()f x 在02a bx +=处作泰勒展开得到()()2122222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ,2a b x ξ+⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 因为()0f x ''>,所以可以得到 ()222a b a b a b f x f f x +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'≥+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 对不等式两边同时积分得到 ()()222b b a a a b a b a b f x dx f b a f x dx +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫'≥-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰． 因为02ba ab x dx +⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰, 所以有()()2b a a b f x dx b a f +⎛⎫≥- ⎪⎝⎭⎰． 证毕通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征．一般情况下我们选定一个点o x ,并写出()x f 在这个点o x 处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题．3.7 利用重积分在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解．以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明．3.7.1 直接增元法命题一[11]：若在区间[,]a b 上()()f x g x ≥,则()()b ba a f x dx g x dx ≥⎰⎰．例3.7.1[11] 设()f x ,()g x 在[,]a b 上连续,且满足：()()xx aaf t dtg t dt ≥⎰⎰,[,]x a b ∈,()()b b a a f t dt g t dt =⎰⎰,证明：()()b ba axf x dx xg x dx ≤⎰⎰．证明：由题得()()x xaaf t dtg t dt ≥⎰⎰,从而可以得到()()b x b x aaaadx f t dt dx g t dt ≥⎰⎰⎰⎰,即[()()]0b xa adx f t g t dt -≥⎰⎰．左式[()()]b xaadx f t g t dt =-⎰⎰ [()()]Df tg t dxdt =-⎰⎰ (其中{(,)|,}D x t a x b a t x =≤≤≤≤)[()()]b b atdt f t g t dx =-⎰⎰ ()[()()]bab t f t g t dt =--⎰[()()][()()]b b b b aaaab f t dt g t dt tf t dt tg t dt =---⎰⎰⎰⎰[()()]0b baatf t dt tg t dt =--≥⎰⎰．则 ()()0b b aatf t dt tg t dt -≤⎰⎰ , 即()()b baaxf x dx xg x dx ≤⎰⎰． 证毕在本题中我们将一元积分不等式()()x xaaf x dxg x dx ≥⎰⎰的两边同时增加一个积分变量badx ⎰，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方法达到证明一元积分不等式的方法. 3.7.2 转换法在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.1.将累次积分转为重积分命题二[11] 若()f x 在[,]a b 上可积,()g y 在[,]c d 上可积,则二元函数()()f x g y 在平面区域{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤上可积,且()()()()()()b d b dacacDf xg y dxdy f x dx g y dy f x dx g x dx ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．其中{(,)|,}D x y a x b c y d =≤≤≤≤例 3.7.2[11] 设()p x ,()f x ,()g x 是[,]a b 上的连续函数,在[,]a b 上,()0p x >,()f x ,()g x 为单调递增函数,试证：()()()()()()()()bb b baaaap x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤⎰⎰⎰⎰．证明：由()()()()()()()()b bbbaaaap x f x dx p x g x dx p x dx p x f x g x dx ≤⎰⎰⎰⎰可知：()()()()()()()()0bb b baaaap x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx -≥⎰⎰⎰⎰,令()()()()()()()()b bbbaaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰,下证0I ≥；()()()()()()()()b b b baaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()b b b baaaap x dx p y f y g y dy p x f x dx p y g y dy =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()bbbba a aap x p y f y g y dxdy p x f x p y g y dxdy =-⎰⎰⎰⎰()()()[()()]bba ap x p y g y f y f x dxdy =-⎰⎰． (3.7)同理()()()()()()()()bbbbaaaaI p x dx p x f x g x dx p x f x dx p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()b b b baaaap y dy p x f x g x dx p y f y dy p x g x dx =-⎰⎰⎰⎰()()()[()()]bba a p y p x g x f x f y dxdy =-⎰⎰． (3.8)(3.7)+(3.8) 得 2()()[()()][()()]b baaI p x p y g y g x f y f x dxdy =--⎰⎰,因为()f x ,()g x 同为单调增函数,所以[()()][()()]0g y g x f y f x --≥ 又因为()0p x >,()0p y >,故2()()[()()][()()]0bbaaI p x p y g y g x f y f x dxdy =--≥⎰⎰,即0I ≥． 证毕2.将常数转换为重积分的形式在例3.7.2中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例3.7.3中我们将对常数转换为重积分来进行说明．我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数(,)f x y k =,则可得到2()Dkd k b a σ=-⎰⎰,其中{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤．例3.7.3函数()f x 在[,]a b 上连续,且()0>x f 试证：21()()()b baaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰． 本题与前面的例3.1以及例3.2.3是同一道题目,在这里我们将利用重积分证明此题． 证明：原题即为 1()()bba aDf x dx dy d f y σ≥⎰⎰⎰⎰,移项可得()(1)0()Df x d f y σ-≥⎰⎰,()()()2(1)(1)(1)0()()()DD Df x f x f y d d d f y f y f x σσσ-=-+-≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 所以即为证()()(2)0()()Df x f y d f y f x σ+-≥⎰⎰,因为()0f x ≥,()0f y ≥,所以()()20()()f x f y f y f x +-≥． 故 ()()(2)0()()Df x f y d f y f x σ+-≥⎰⎰ 恒成立,即21()()()b b a a f x dx dx b a f x ≥-⎰⎰成立, 证毕通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法．3.8 利用微分中值定理微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别．例3.8.1[12] 设()0f a =,()f x 在区间[],a b 上的导数连续,证明：()()[]()2,11max 2bax a b f x dx f x b a ∈'≤-⎰． 证明：应用Lagrange 中值定理,(),a x ξ∃∈,其中a x b <<,使得 ()()()()f x f a f x a ξ'-=-, 因为()0f a =, 所以()f x M x a ≤-, [](),max x a b M f x ∈'=,从a 到b 积分得 ()bba af x dx M x a dx ≤-⎰⎰()()222ba bM M x a dx x a =-=-⎰()()()221max 22M b a f x b a '=-=-．即()()[]()2,11max 2bax a b f x dx f x b a ∈'≤-⎰. 证毕例3.8.2[13] 设函数()f x 在[]0,1上可微,且当()0,1x ∈时,()01f x '<<,()00f =试证：()()()2113f x dx fx dx >⎰⎰．证明：令()()()2xF x f t dt =⎰,()()30xG x f t dt =⎰,()(),F x G x 在[]0,1上满足柯西中值定理,则()()()()()()()()()210131010f x dx F F F G G G fx dxξξ'-=='-⎰⎰()()()()()3222f f t dtf t dtffξξξξξ==⎰⎰()01ξ<<()()()()2220f t dt f t dtf fξξ-=-⎰⎰()()()22f f f ηηη='()11f η=>' , ()01ηξ<<<．所以()()()21120f x dxf x dx >⎰⎰． 证毕通过以上两道题目可以发现：1.在应用Lagrange 中值定理时先要找出符合条件的函数()f x ,并确定()x f 在使用该定理的区间[]b a ,,对()x f 在区间[]b a ,上使用该定理．若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange 中值定理．2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy 中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy 中值定理的两个函数()x f ,()x g ,并确定它们应用柯西中值定理的区间[]b a ,,然后在对()x f ,()x g 在区间[]b a ,上运用Cauchy 中值定理．无论是Cauchy 中值定理还是Lagrange 中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式．4．总结我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决．例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点．参考文献[1]王宇,代翠玲,江宜华．一个重要积分不等式的证明、推广及应用[J]．荆州师范学院学报(自然科学版),2000,23(5)：106[2] 张盈．Cauchy-Schwarz不等式的证明、推广及应用[J]．高师理科学刊,2014,34(3):34-37[3] 黄群宾．积分不等式的证明[J]．川北教育学院学报,1996,6(4):22-27[4] 李志飞．积分不等式的证明[J]．高等数学研究,2014,17(6)：50-51[5]郝涌,王娜,王霞,郭淑利．数学分析选讲[M]．北京：国防工业出版社,2014[6]张瑞,蒋珍．定积分不等式证明方法的研究[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2011,20(2)：18[7]林忠．一个积分不等式的几种证明方法[J]．成都教育学院学报,2006,20(12)：66[8]刘法贵．证明积分不等式的几种方法[J]．高等数学研究,2008,11(1):122[9] 苏德矿,李铮,铁军．数学强化复习全书[M]．北京：中国证法大学出版社,2015[10] 李小平,赵旭波．定积分不等式几种典型证法[J]．高等数学研究,2009,12(6):13-17[11] 黄云美．重积分在积分不等式证明中的应用[J]．杨凌职业技术学院学报,2014,13(3):27-33[12] 葛亚平．积分不等式证明的再认识[J]．河南教育学院学报(自然科学版),2015,24(3):18-20[13] 王丽颖,张芳,吴树良．积分不等式的证法[J]．白城师范学院学报,2007,21(3): 19-22。
利用积分的性质证明不等式
利用积分的性质证明不等式积分是微积分中非常重要的概念，它可以用来计算函数的面积、曲线的弧长、函数的平均值等等。
在解决实际问题时，我们经常会利用积分的性质来证明不等式，这种方法可以简化问题的分析过程，提高解题效率。
下面以证明柯西不等式为例，详细介绍如何利用积分的性质来证明不等式。
柯西不等式是一个非常著名的数学不等式，它的数学表达式如下：对于任意的实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1² + a2² + … + an²)(b1² + b2² + … + bn²) ≥ (a1b1 + a2b2 + … + anbn)²要证明柯西不等式，我们可以利用积分的性质，首先将函数f(x)进行平方，然后对其进行积分，进而推导出柯西不等式。
假设f(x)为定义在区间[a, b]上的连续函数，我们可以定义一个函数g(x) = f²(x)。
接下来我们对g(x)在区间[a, b]上求积分，表示为∫[a,b]g(x)dx。
由于g(x)是f(x)的平方，根据积分的性质，可以得到：∫[a,b]g(x)dx = ∫[a,b]f²(x)dx。
接下来我们对函数f(x)进行两次积分，得到的结果如下：∫[a,b]f²(x)dx = ∫[a,b][∫[a,b]f(x)du]dx。
我们可以看出，这个双重积分相当于对函数f(x)在区域C内进行了两次求面积的操作。
接下来，我们将C内部的每个小矩形区域的面积加起来，即得到整个区域C的面积。
设每一个小矩形的宽度为Δx，在区域C内任意选取一个点(ξ,x)。
根据微积分的定义，存在一点c，使得：f(ξ)-f(c)=f'(c)Δx。
根据上面的表达式，我们可以得到：f(ξ)-f(c)=f'(c)Δx≥0。
我们可以看出，f'(c)代表函数f(x)的导数，而根据导数的定义，它反映了函数f(x)在特定点的变化率，也可以理解为函数f(x)的斜率。
积分不等式如何通过积分不等式解决高中数学问题
积分不等式如何通过积分不等式解决高中数学问题积分不等式是高中数学中常见的一种重要方法，它通过对不等式两边同时进行积分，将不等式问题转化为求解等式的问题，从而解决高中数学中的各种问题。
本文将介绍积分不等式的概念、求解步骤以及应用案例。
一、积分不等式的概念积分不等式是指在某个区间上满足一定关系的函数不等式。
具体来说，如果在区间[a, b]上，函数f(x)和g(x)满足f(x)≤ g(x)，则对于[a, b]上连续函数φ(x)，如果有∫[a, b] f(x)φ(x)dx ≤ ∫[a, b] g(x)φ(x)dx，那么就称这个不等式为积分不等式。
二、积分不等式的求解步骤解决积分不等式的一般步骤如下：1. 将积分不等式两边的函数进行积分，得到对应的不等式。
2. 利用已知的数学方法和技巧，对不等式进行简化和变形。
3. 运用数学推理和变换，得到最终的解或结论。
下面通过一个具体的案例来说明积分不等式的求解过程。
案例：已知函数f(x) = x^2sinx在区间[0, π/2]上连续，求证：∫[0, π/2]x^2sinx dx ≥ (π-2)/2π。
解：根据题目中给出的函数f(x)和区间[0, π/2]上的连续函数φ(x)，将不等式转化为积分形式：∫[0, π/2] x^2sinx φ(x)dx ≥ ∫[0, π/2] (π-2)/2π φ(x)dx。
由于函数φ(x)的具体形式未知，难以直接求解。
因此我们需要借助于已知条件及数学推理来简化和变形不等式。
首先，根据积分的线性性质，我们可以将不等式右边的积分进行拆分：∫[0, π/2] x^2sinx φ(x)dx ≥ ∫[0, π/2] φ(x)dx - ∫[0, π/2] φ(x)/π dx。
接着，考虑利用积分区间[0, π/2]上函数x^2sinx的特点，我们可以使用分部积分法对不等式左边的积分进行简化。
按照分部积分法的公式，我们令u = x^2，dv = sinxφ(x)dx，那么du = 2xdx，v = -cosxφ(x)。
一个积分不等式的十种证明方法_倪华
ａ
∫
， ″（ ｘ）＞ ０ （ ０ ≤ ｘ ≤ ａ） ｆ 所以 ｆ（ 因此 ｘ）的图形在 ［ ０， ａ］上是凹的 ，
（ 证法 ８ 利用一阶导数的单调性 ） 因为
ｘ） ａ－ｘ） ａ ， ＋ｆ（ ｆ（ ≥ ｆ（ ） ２ ２
故有
ａ
″（ ｘ）＞ ０， ｆ
故有
∫
ａ
ａ ａ ｘ） ｄ ｘ≥ ２ ｄ ｘ ＝ａ ． ｆ（ ｆ（ ） ｆ（ ） ０ ０ ２ ２
关键词 定积分 ； 不等式 ； 证明方法 中图分类号 Ｏ １ ７ ８
积分不等式是微积分学中的一类常见而又重要 的不等式 ， 其证明的方法灵活多样 ， 通过对积分不等 式的多种不同证法 ， 能对学生开阔解题思路 ， 提高综 合应用数学知识的能 力 有 所 帮 助 ， 有助于学生对高 ］分 别 讨 论 文［ 等数学知 识 体 系 的 理 解 和 掌 握 ． １－ ２ 了一个定积分不等式 的 多 种 证 法 ． 本文也讨论另一 类积分不等式 ， 并给出十种证明方法 ． 江苏大学 ２ ０ ０ ８－２ ０ ０ ９年 度 第 一 学 期 期 末 考 试 高等数学试卷中有一道定积分证明题 ， 引为下例 ． 例 １ 设 ｆ（ ｘ）在 ［ ０， ａ］上二阶可导 ， ″（ ｘ）＞ ０， ｆ 证明
ａ
故有
ａ ， ′（ ｘ）≤ ｆ ′（ ａ－ｘ） ０≤ｘ ≤ ） （ ｆ ２
所以
ａ
ｘ ＝ｔ＋
则有
ａ
ａ， ２
ｘ） ｄ ｘ ＝ａ ａ） － ｆ（ ｆ（ ∫
０
∫
０
ｘ） ｄ ｘ＝ ｆ（
∫
ａ （ ） ｄ ｔ＝ ＋ｔ ａｆ －２ ２
０
ａ ２
∫
０
ａ ２
ａ
ｘ ′（ ｘ） ｄ ｘ－ ｆ
积分不等式的证明
积分不等式的证明
作者：张博
来源：《价值工程》2011年第24期
摘要：通过若干实例较系统地介绍了积分不等式的证明方法和技巧，以便使积分不等式的证明更为简捷。
Abstract: This paper introduces some methods and techniques of proving integral inequality from several examples,as the proof of integral inequality is a bit simpler.
关键词：积分不等式；中值定理；概率；证明
Key words:integral inequality；the mean value theorem；probability；prove
中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）24-0243-02
0引言
积分不等式的证明是高等数学诸多问题中难度较大、技巧性较强、涉及知识面较广的问题。
本文结合若干典型例题较全面地给出了一些证明积分不等式的方法以供大家参考。
1利用定积分的性质
利用定积分的比较定理，估值定理和绝对值不等式等定积分的性质分析证明积分不等式。
9利用概率方法
在概率论中，连续性随机变量的概率分布函数，数学期望与积分都有密切的联系，所以我们可以用构造概率分布函数、概率密度函数等概率方法证明某些积分不等式。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析.北京:高等教育出版社，2001.
[2]同济大学应用数学系.高等数学.北京:高等教育出版社，2002.。
定积分不等式的证明方法
定积分不等式的证明方法
作者：郭海明
来源：《商情》2013年第16期
【摘要】不等式是数学分析中在进行计算和证明时经常用到的非常重要的工具，同时也大学高等数学分析中主要研究的问题之一。
【关键词】定积分不等式证明方法
积分不等式的证明是大学高等数学学习中的一个难点，也是理工科研究生入学考试中常出现的一类试题。
用来证明定积分不等式的方法也比较杂，因此同学们大多数感到无从下手，现根据笔者平时的学习经验积累，结合若干范例总结定积分不等式证明的几种方法。
一、利用定积分的性质
主要利用定积分的比较定理，估值定理和绝对值不等式等定积分性质进行分析处理。
例1 已知f（x）在[0，1]上连续，对任意x，y，都有│f（x）-f（y）│
三、构造辅助函数法
该方法一般适用于被积函数f连续情形。
证明思路：
（1）将积分上限（或下限）换成x，式中相应字母亦换为x，移项使一端为0，另一端作为辅助函数F（x）。
（2）由F（x）的单调性得证。
四、泰勒公式法
该方法一般适用于被积函数f二阶可导或二阶以上可导且知最高阶导数符号情形。
证明思路：
（1）写出f的泰勒展开式。
（2）由定积分性质作不等式的适当放缩。
又f"（x）≥0，x∈[a，b]，
故f（y）≥f（x）+f"（x）（y-x），x，y∈[a，b]
参考文献：
[1]陈传璋，陈传临，朱学炎等.数学分析[M]北京：高等教育出版社， 2003.。
关于积分不等式证明方法的探讨
关于积分不等式证明方法的探讨【摘要】积分不等式是高等数学的重要内容之一，它反映了变量与变量之间的某种重要联系。
论证积分不等式的方法很多，本文的目的主要是利用微积分学性质、定理以及公式归纳总结高等数学中证明积分不等式的常用方法，探讨有关证题的技巧和规律。
【关键词】积分不等式；性质；定理；公式积分不等式的证明是高等数学诸多问题中难度较大、技巧性较强、涉及知识面较广的问题.本文结合若干典型例题较全面地给出一些证明积分不等式的方法，仅供读者参考。
1.利用积分的比较性质证明积分不等式利用积分的比较性质证明积分不等式的关键是得到被积函数在积分区间上的一个不等式。
例1 证明1nxdx0，Ax+2Bx+c≥0，则它的判别式△=4B-4AC=4（B-AC）≤0，即B-AC≤0.用判别式法证明积分不等式，其基本思路是建立一个恒正（或非负）二次三项式Aλ+2Bλ+C>0（或≥0），使它的判别式所满足的条件恰好是所需证明的不等式.例5 设f（x），g（x）均在区间a，b上连续，则有柯西不等式：f（x）g（x）dx2≤证对任意实数λ，有：λf（x）+g（x）=λf（x）+2λf（x）g（x）+g（x）≥0所以λf2（x）dx+2λf（x）g（x）dx+g（x）dx≥0利用关于λ的二次三项式的判别式△≤0，有：f（x）g（x）dx2≤.6.利用积分中值定理证明定积分不等式例6 设f（x）在[0，1]上可导，证明：对于x∈[0，1]，有：f（x）≤（f（t）+f’（t））dt证由积分中值定理，有：f（t）dt=f（ξ），0≤ξ≤1，又对任意的x∈[0，1]，有f（x）-f（ξ）=f’（t）dt，即f（x）=f（ξ）+f’（t）dt.于是当x>ξ时：f（x）≤f（ξ）+f’（t）dt≤f（ξ）+f’（t）dt≤f（ξ）+f’（t）dt=（f（t）+f’（t））dt当xa，故F（b）≤F（a）=0，即：（a+b）f（t）dt≤2tf（t）dt.注：本题辅助函数的构造是将常数b变易为变量x，这种方法叫做常数变易法，它是证明积分不等式的一个重要方法。
探讨定积分不等式的证明方法
探讨定积分不等式的证明方法摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效 证明方法。
关键词：定积分不等式证法不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明 却一直是一个难点。
要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定 证明方法。
本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证 法。
1 .运用定积分中值定理证明定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与 该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。
a例1 ：设f (x)在［0,1］上连续且单调不增，证明a € ［0,1］有°f(x)dx >a °f (x)dx .aa1证明：由原不等式变形得0f (x)dx>a( 0 f (x)dx 0f (x)dx),a1即是要证：(1 a)0f(x)dx > a 0f(x)dx ,对左式，f (x)在［0,1］上连续，故由定 积分中值定理 知：10, a 使a(1 a)0f (x)dxa(1 a)f( 1),冋理对右式：21a ,使 a 0f(x)dx a(1 a)f( 2),显然, 1< 2又f(x)在［0,1］上单调不增,二 f (1)> f (2)a1故原不等式o f(x)dx > a o f (x)dx 成立.定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握 2 .运用辅助函数证明构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限 (下限)换成x ,移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。
然后再求F 'x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。
例2:设f(x)在［a , b ］上连续，且f(x) >0.f(x) f(t)• f (X )> 0,.. f (t) f (x)又a < x ，二 F '(x)0 ,即F(x)单调不减，又F (a)bb12故 f (x)dx dx (b a) 故 a a f (x)该题构造出积分上限函数，其目的是用单调性来证明不等式。
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法第一种方法是基于初等数学推导的证明。
我们首先利用定积分的性质，将不等式转化为对于一组非负实数的不等式。
然后，利用求导的方法，求出该组函数的最值，得到最佳常数。
第二种方法是基于分析数学的证明。
我们首先将定积分不等式化为一个关于函数的不等式，然后利用分析数学中的一些技巧，如利用极值原理和平均值不等式等，得到最佳常数。
两种方法各有优缺点，但都能证明定积分不等式及其最佳常数的存在性和唯一性。
在实际应用中，根据具体情况选择不同的证明方法。
- 1 -。
利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式
利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式积分不等式在数学中有着非常重要的应用，其可以用来证明其他更加复杂的定理，同时也具有广泛的实际应用。
在本文中，我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式。
1. 变上限积分变上限积分，又称为广义积分，是指积分上限不确定的积分。
更具体地说，如果$f(x)$是在$[a,b)$上的可积函数，那么$f(x)$在$[a,b]$上的变上限积分定义为：$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)dx$$$t \to b^-$表示$t$从左侧逼近$b$，也就是说，$t$可以任意接近$b$但不等于$b$。
可以看出，如果$\int_a^t f(x)dx$无限趋近于一个确定的值，那么$\int_a^bf(x)dx$就存在。
反之，如果无限趋近于$\infty$或$-\infty$，那么$\int_a^b f(x)dx$就不存在。
2. 构造辅助函数下面我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数。
如果$f(x)$是一个连续可导的函数，那么我们可以通过构造辅助函数来研究$f(x)$的性质。
具体地说，我们定义函数$F(x)$如下：$a$是一个常数。
然后，我们利用$f(x)$和$F(x)$之间的关系，构造一个函数$g(x)$：我们可以通过对$g(x)$求导来研究$f(x)$的性质。
具体来说，我们有：于是，如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相同，那么$f(x)$就是单调递增或单调递减的。
如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相反，那么$f(x)$就在$x$处有极值。
这个结论非常有用，在证明一些积分不等式时经常会用到。
3. 应用举例下面我们将通过举例来演示如何使用上述方法证明一些积分不等式。
例1：证明斯特林公式：$$n! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$证明：定义函数：$$f(x) = ln(x)$$函数的图像如下所示：然后，我们计算$F(x)$：$$g(x) = ln(x)e^{-\lambda((x-1)ln(x)-x+1)}$$我们要证明的是：$$\int_1^n ln(x)dx - \frac{1}{2}(ln(2\pi)+ln(n)+ln(1-\frac{1}{n^2})) \to 0$$我们现在对$f(x)$和$g(x)$分别使用上面的结论。
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法
定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法本文介绍了定积分不等式及其最佳常数的两种证明方法。
定积分不等式是指对于连续函数f(x)，有如下不等式成立：
∫a^b f(x)dx ≤ (b-a) · max {f(x)} (a ≤ x ≤ b)
其中，a,b 为实数，f(x) 在区间 [a,b] 上连续。
这个不等式的证明可以采用两种方法，一种是通过构造函数的方法，另一种是通过利用积分中值定理的方法。
对于最佳常数的求解，可以采用类似于证明方法一的思路，构造一个特定的函数来达到最优解。
具体来说，我们需要构造一个函数，使得该函数在区间 [a,b] 上取到最大值，并且在该最大值处与 f(x) 相等。
通过求解该函数的表达式，可以得到最佳常数的值。
通过这两种方法的分析和证明，可以更加深入地理解定积分不等式及其最佳常数的概念和应用，加深对数学知识的掌握和理解。
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积分不等式的若干证明技巧
题目：积分不等式的若干证明技巧学院：数学科学学院专业班级：数学07－4实验班学生姓名：努尔艾拉.阿西木指导教师：塔实甫拉提副教授答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务处目录1引言 (1)2 利用有些定义证明积分不等式 (1)2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1)2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2)3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4)4利用微分中值定理证明积分不等式 (4)5利用积分中值定理证明积分不等式 (6)6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7)7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7)8利用将单积分化为重积分的方法 (8)9利用分部积分法来证明积分不等式 (9)10 结论 (10)参考文献： (11)致谢 (12)积分不等式的若干证明技巧摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。
论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。
关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理Integral inequality of several proof skillsAbstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law.Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem。
考研数学知识：柯西积分不等式及其分析证明
考研数学知识：柯西积分不等式及其分析证明在考研数学中，不等式的证明是一个常考点，它包括函数不等式和积分不等式的证明。
在积分不等式的证明中，有一些问题需要用到柯西积分不等式，大家可能对这个不等式不太熟悉，为了使大家了解和学会运用这个不等式，提高自己分析问题和证明问题的能力，下面中公考研老师对柯西积分不等式作些介绍说明，并运用它来证明一些例题，供各位考生参考。
考研数学复习需掌握的四大技能考研是比较煎熬但也是至关重要的时期。
各位考生如果能充分利用好这段时间，成绩是会有所提升的。
下面凯程教育对该期间的复习提供一些建议，以帮助广大考生学会这四大技能。
一、梳理基本知识点，理顺知识点间的联系经历了大量题型的练习，同学们在做题方法和技巧上都有所提高，但是却忽略一些基本概念、定义、公式等，在这些基本题目上丢分。
这期间同学们一定把基本知识点掌握牢固，并且梳理好知识点，理顺知识点间的联系。
这样做基本题和综合题目时，才能立马想到用到的知识点和方法，做起题来才能得心应手。
二、按时按计划完成真题，总结常考题型的方法和技巧真题是最有价值的练习题。
同学们做每套题时，尽量按照考试的要求，在规定的时间内完成题目，然后核对答案，估算分数。
务必把不会做的题目单独拿出来弄懂，并把没掌握好的一类题目重点复习一下，对应地再做几道题目加深记忆。
做完每套题，一定要总结常考题型的方法和技巧，这样才能在遇到类似题目时泰然自若。
三、巩固重点题型，做好最后的查缺补漏工作数学三天不做题，就会没有手感。
后期，同学们每天一定要定量做一些题目保持手感，可以把之前没有掌握牢固的重点题型拿出来巩固，一旦发现薄弱环节，马上弥补，不要因为觉得困难而放弃。
保持稳定的情绪和良好的心态，做好最后的查缺补漏工作。
四、注意饮食，合理休息，将生物钟调整到考试的状态考研这段时间身体和心理上都会忍受极大的折磨，同学们一定要注意饮食，合理休息，不要搞疲劳战，尤其是考前几天熬夜突击，这样往往会适得其反。
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题目：积分不等式的若干证明技巧学院：数学科学学院专业班级：数学07－4实验班学生姓名：努尔艾拉.阿西木指导教师：塔实甫拉提副教授答辩日期：2011年5月10日新疆师范大学教务处目录1引言 (1)2 利用有些定义证明积分不等式 (1)2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1)2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2)3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4)4利用微分中值定理证明积分不等式 (4)5利用积分中值定理证明积分不等式 (6)6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7)7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7)8利用将单积分化为重积分的方法 (8)9利用分部积分法来证明积分不等式 (9)10 结论 (10)参考文献： (11)致谢 (12)积分不等式的若干证明技巧摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。
论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。
关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理Integral inequality of several proof skills Abstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law.Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem。
1引言有人曾经说过这样的话,初等数学中的符号多,高等数学中的不等号多,现代数学中的箭头多。
这虽不是划分数学发展阶段的准则,但也道出了各个数学阶段的显著特征,以及不等式在高等数学中的地位和作用。
在高等数学的教学中,必须重视不等式教学。
下面就从一道题出发,来展示积分不等式的多种证法,以期抛砖引玉,开拓思路。
2 利用有些定义证明积分不等式2.1利用定积分的定义证明积分不等式定义 2.1（定积分）设f是定义在[]b a ,上的一个函数，J 是一个确定的实数。
若对任给的正数ε，总存在某一个正数δ，使得对[]b a ,任何分割T ,以及在其上任意选取的点集i ξ只要δ<T 就有,)(1εξ<-∆∑=J x f ini i则称函数f在区间[]b a ,上可积。
数J 称为f在[]b a ,上的定积分。
记作： ⎰=badx x f J )(比如下面我们利用定积分的定义来解决一些问题。
例1 设f(x)当1x ≥时为一非负的增函数，试证：证明：⎰⎰⎰⎰∑∑⎰----+++=≤≤n nn nk n k n dx x f dx x f dx x f dx x f k f dx x f k f 1213212111.)()()()()()()(因)x (f 当1x ≥时为非负的增函数，既[],1,),1()()(+∈+≤≤k k x k f x f k f所以 ⎰⎰⎰++++≤+≤111)1()1()(k kk kk kdx k f dx k f dx k f 即[]⎰++∈+≤≤1,1,),1()()(k kk k x k f dx x f x f 于是,)()1()()(11111111∑∑∑∑⎰-------+=+≤≤n k n kn k n k k kk f k f dx x f k f因此 ∑⎰∑---≤≤1112).()()(n k nnk k f dx x f k f2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式首先我们看一下凸函数的定义：定义2.2.1（凸函数）设)(x f 定义在区间I 上，若[]1,0,2,1∈∈∀R I x x ，恒有)()1()(])1([2121x f R x Rf x R Rx f -+≤-+,则成)(x f 为凸函数。
在这里我们利用凸函数的定义证明一些积分不等式。
例 2.设)(x f 是[]b a ,上连续的凸函数，试证：[]b a x x ,2,1∈∀，,21x x <有⎰+≤-≤+212()()(1)2()212121x x f x f dt t f x x x x f证明；令)1,0(),(121∈-+=λλx x x t ，则[]λλd x x xf dt t f x x x x ⎰⎰-+=-21112121)()(1 （2）同理，令)1,0(),(122∈--=λλx x x t 有从而 []⎰⎰-+=-21112121)(21)(1x x x x x f dt t f x x λ[]λλd x x x f )122(--+ （3）注意到)(121x x x -+λ与)(122x x x --λ关于中点221x x +对称，由于（3）)(x f 是凸函数[][]2))()((2121122121x x f x x x f x x x f +≥--+-+λλ 故由（3）得)2()(1212121x x fdt t f x x x x +≥-⎰另外，由（2），应用)(x f 的凸性，[][]⎰⎰⎰-+≤-+=-1121012121)()1()()()(121λλλλλd x f x f d x x x f dt t f x x x x2)((21x f x f +引理 2.2.1 设)(x f 在区间I 上是凸的，对于任意点,0,,,,,,212,1≥Λ∀I ∈Λn n r r r x x x 且不全为0，有例 5 设 )(),(x g x f 在[]b a ,上连续，⎰>≥ba dx x g x g ,0)(,0)(且)(,)(x M x f m ϕ≤≤在[]M m ,上游定义，并有二阶导数，0)(>''x ϕ试证；⎰⎰⎰⎰≤bababab adxx g dx x f x g dx x g dx x f x g )())(()()()()((ϕϕ 证明将[]n b a ,等分 记；因为)(,0)(x x n ϕϕ>为凸函数，有引力1知：nn n n n n g g g f g f g f g g g g f g f g f g +Λ++Λ++≤+Λ+++Λ++212211212211)()()()(ϕϕϕϕ 及 ∑∑∑∑--≤--nab x g n ab x f x g a a b x g n a b x f x g i ii i i i )()()()()()((ϕϕ 令+∞→n 取极限，使得到要证明的不等式。
3 利用函数的单调性证明积分不等式利用函数的单调性能不能处理积分不等式方面的问题那么我们看一下： 定理3.1(单调性定理)；设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在区间I 上递增（减）的充要条件)0)((0)(≤'≥'x f x f .例 2.)(x f 在[]1,0上可微，且当∈x （0,1）时,1)(0<<x f 0)0(=f 试证：210))((⎰dx x f d x f)(13⎰>x证明：令dt t dt t f x F xf⎰⎰-=0321)()(()()因0)0(=F 故只要证明在（0,1）内有0)(>x F ，，事实上，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰xx f dt t f X f x f dt t f X f x F 02103)()(2)()()()(2)(，已知1)(0,0)0(,<<=x f f 当（))1,0(x ∈故)1,0(∈x 时)(x f 0>一下证（1）中另一个因式也大于0. 记 ),()(2)(02x f dt t f X g x⎰-=则,0)0(=g]]0)(1)(2)().(2)(2)(,,,>-=-=x f x f x f x f x f x g 于是 0)()(2)(02>-=⎰x f dt t f x g x故当.0)(),1,0(,>∈x F x 从而原不等式成立。
4利用微分中值定理证明积分不等式微分学中三个基本定理为，拉格朗日中值定理。
罗尔定理，柯西中值定理，利用这三个定理可以证明一些不等式。
定理4.1 (Rolle 定理)设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,上可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf （1）定理4.2 （Lagrange 中值定理）如函数f 满足如下条件：（1）f 在区间],[b a 上连续； （2）f 在开区间),(b a 内可导，则在),(b a 上至少存在一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ 。
（2）定理4.3（Cauchy 中值定理）:设函数f 和g 满足 1.在],[b a 上都连续； 2.在),(b a 上都可导； 3.()x f '和()x g '不同时为零； 4.()()b g a g ≠， 则存在),(b a ∈ξ，使得()()=''ξξg f ()()()a gb g a f b f --)( 例 3 )(x f 在[]1,0上连续，在)01(上可微，且当∈x （0,1）时,1)(0≤'<x f 0)0(=f 试证；（210))(⎰dx x f d x f)(13⎰>x证明；令dt t x G dt t f x F xf⎰⎰==03210)()()(()()，由柯西中值定理有；存在)0(),01(εηε∈∈使得1)(1)()(2)(2)0()()(2)(2)()()(2)()()0()1()0()1()1()1(22020≥'=--==''=--=⎰⎰⎰ηηηηεεεεεεεf f f f f f dtt f dt t f f dtt f f G F G G F F G F ，即)1()1(G F ≥故从而原不等式成立。