16-5圆幂定理.讲义教师版

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(完整)圆幂定理讲义(带答案)

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1 / 29圆幂定理STEP 1:进门考理念：1。

检测垂径定理的基本知识点与题型。

2。

垂径定理典型例题的回顾检测。

3. 分析学生圆部分的薄弱环节.(1）例题复习。

1.（2015•夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=cm．【考点】M3：垂径定理的应用；KQ:勾股定理；T7：解直角三角形．【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E,首先求得CD的长，即OE的长，在直角△A OE中，利用勾股定理求得半径OA的长,则MN即可求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D,取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E．在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中,∠B=90°﹣∠A=60°，∴CD=BC•sinB=4×=2(cm), ∴OE=CD=2,在△AOE中，AE=AB=4cm,则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4．2 / 29【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中,常用的方法是转化为解直角三角形．3 / 292.（2017•阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．2cm D．2cm【考点】M2：垂径定理;PB：翻折变换(折叠问题）．【分析】通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA,∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm）,∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选:D．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．3.（2014•泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a）（a＞3），半径为3,函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）4 / 295 / 29A ．4B ．C ．D ．【考点】M2：垂径定理;F8：一次函数图象上点的坐标特征；KQ:勾股定理．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】PC⊥x 轴于C ，交AB 于D ，作PE⊥AB 于E ，连结PB ，由于OC=3，PC=a ，易得D 点坐标为（3，3)，则△OCD 为等腰直角三角形,△PED 也为等腰直角三角形．由PE⊥AB ，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE 中,利用勾股定理可计算出PE=1,则PD=PE=,所以a=3+．【解答】解:作PC⊥x 轴于C,交AB 于D ，作PE⊥AB 于E ，连结PB ，如图，∵⊙P 的圆心坐标是（3，a ）， ∴OC=3，PC=a ，把x=3代入y=x 得y=3， ∴D 点坐标为(3,3）， ∴CD=3,∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴△PED 也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB, ∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE 中，PB=3, ∴PE=， ∴PD=PE=, ∴a=3+．故选：B ．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．4.（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A （13，0)，直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．【考点】FI:一次函数综合题．【专题】16 :压轴题．【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4)，求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案．【解答】解：∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4, ∴k（x﹣3）=y﹣4，∵k有无数个值, ∴x﹣3=0,y﹣4=0,解得x=3，y=4，∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4）, ∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A(13，0），∴圆的半径为13,∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24; 故答案为:24．【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置．STEP 2：新课讲解6 / 297 / 291、熟练掌握圆幂定理的基本概念。

五大圆幂定理证明

五大圆幂定理证明五大圆幂定理是指：1. 圆内接正多边形的边数是多边形周长与直径之比的平方。

2. 圆外切正多边形的边数是多边形周长与直径之比的平方。

3. 任意一个正n边形的内切圆半径等于半径与n之和的1/n。

4. 任意一个正n边形的外接圆半径等于半径的n倍。

5. 任意一个正n边形的周长等于n倍的外接圆周长。

下面给出五大圆幂定理的证明：1. 周长与直径之比的平方设正n边形的周长为P，直径为d，则n个边的长度之和为2P/n。

因为每个边上的弧长等于周长除以360度，所以每个边的长度为(2P/n)/360度。

因为正n边形的每个内角都相等，所以内角和为(180度/n) * n，即180度。

因此，每个边所对的圆心角为180度除以n，即36度。

又因为圆周角的大小与圆心角的大小成正比，所以每个圆周所对的圆心角为36度，即每个圆周的长度为2πr，其中r为圆的半径。

因此，每个边的长度等于2πr * (2/360) * n，即πr/3。

因此，直径d等于πr/3，周长P等于3πr，所以正n边形的边数n等于周长P除以直径d的平方，即n=3P/d²。

2. 外切正多边形的边数是周长与直径之比的平方证明同上，只是将周长P替换为周长与直径之比的平方P/d²。

3. 内切圆半径等于半径与n之和的1/n设正n边形的边长为a，内接圆的半径为r，则内接圆的周长为2πr，因为内接圆与正n边形相切，所以内接圆的周长等于正n边形的周长除以n，即2πr=P/n。

因此，πr=P/n，即r=P/nπ。

又因为内接圆的半径等于边长a与半径r之差的一半，即r=a-(a/2r)=a*(1-1/n)，所以a=2r/n。

因此，内切圆半径等于半径与n之和的1/n，即r=P/2nπ/(n-1)。

4. 外接圆半径等于半径的n倍设正n边形的边长为a，外接圆的半径为R，则外接圆的周长为2πR，因为外接圆与正n边形相切，所以外接圆的周长等于正n边形的周长除以n，即2πR=P/n。

圆幂定理ppt课件

D
A P
图１ O
D
A P
B
图２ O
B D 图３
B
P
O A
C PA·PB=PC·PD……(1) 证明:连接AD、BC. ∴△APD∽△CPB.
C PA·PB=PC·PD……(2)
C PA·PB=PC·PD……(3)
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.
综上所述，不论AB 、 CD具有什么样的位置，都有结论（１）成立！
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
2.圆的外切四边形的两组对边的和相等 4
例.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知 PA=7cm， (1)求△PCD的周长． (2) 如果∠P=70°, 求∠COD的度数
得到.
P
BDO
C
课堂小结
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1、这节课我们学习了割线定理、切割线定理、切线长定理，它们统称圆幂定理。
2、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。 3、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与
代数、几何等知识的联系及应用
20
11
C
P O
A
图3
B 点P从圆内移动到圆外
D
C
D
图5
P
O
B A
PA∙PB=PC∙PD 证明:连接AC、AD,同样可以证明
PA∙PB=PC∙PD
使割线PA绕P点运动到切线的位置，是否还有 PA∙PB=PC∙PD？
△PAD∽△PCA, 所以PA:PC=PD:PA, 即PA2=PC•PD仍成立.

高中数学-圆幂定理(教师版)

补充内容：圆幂定理一、圆幂定理及其逆定理：（1）割线定理：设过圆O 外一点P 的两直线分别与圆O 交于点B A ,和D C ,，则PD PC PB P A ⋅=⋅，反之PD PC PB P A ⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆（2）相交弦定理：圆O 的两条弦CD AB ,相交于点P ，则PD PC PB P A ⋅=⋅，反之过点P 的两直线上四点D C B A ,,,满足PD PC PB P A ⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆（3）切割线定理：设直线P A 与圆切于点T ，过点P 的直线交圆于C B ,两点，则PBP A PT ⋅=2证明：（1）连接BC AD ,，由圆的性质D B ∠=∠，所以P AD ∆∽PCB ∆所以⇒=PBPDPC P A PD PC PB P A ⋅=⋅（2）连接BC AD ,，则C A ∠=∠，B D ∠=∠，所以P AD ∆∽PCB ∆所以⇒=PBPDPC P A PD PC PB P A ⋅=⋅（3）连接TB TA ,，则PBT PTA ∠=∠，所以PTA ∆∽PBT ∆所以⇒=PTP APB PT PB P A PT ⋅=2二、圆幂定理的应用例1.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且2=OP ，弦BD AC ,均过点P ，则下列说法正确的是A.0)(=⋅+DB OB ODB.PC P A ⋅为定值C.OC OA ⋅的取值范围为]0,2[-D.当BD AC ⊥时，CD AB ⋅为定值解析：连接OP OD OC OB OA ,,,,，直线OP 交圆O 于F E ,，设BD 的中点S ，则BD OS ⊥02)(=⋅=⋅+DB OS DB OB OD ，A 正确；由相交弦定理得PF PE PC P A PC P A ⋅-=⋅-=⋅242)()(22-=-=-=+⋅--=R OP OP R OP R ，B 正确；取AC 的中点M ，则OCOA ⋅42)4(4122222-=--=-=OM OM OM AC OM ，又OPOM ≤≤0即]2,0[∈OM ，所以OC OA ⋅]0,4[-∈，所以C 错误；当BD AC ⊥时，)()(PC PD P A PB CD AB -⋅-=⋅4)4(222-=--=⋅-=⋅-⋅-=⋅+⋅=OP PF PE PC P A PD PB PC P A PD PB ，D 正确例2.在平面直角坐标系xOy 中，设直线2+-=x y 与圆)0(222>=+r r y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OB OA OC 4345+=，则=r （）A.22 B.5C.3D.10r ===，设θ2=∠AOB ，则将OB OA OC 4345+=平方得θ2cos 3092516163016916252222222r r r r OB OA OB OA OC ++=⇒⋅++=432cos -=⇒θ55cos 531cos 22=⇒-=-⇒θθ，所以圆心到直线2+-=x y 的距离为θcos 22r =10552==⇒=⇒r r ，故选D例3.在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：322=+y x ，),2(m T ，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且MT AB 2=，则实数m 的取值范围是（）A.]0,2[- B.]2,0( C.]2,2[- D.)2,2(-解法1：设),(y x M ，连OM ，由垂径定理知AB OM ⊥⇒32222=+=+MT OM MB OM 42)2()1(3)()2(2222222m m y x m y x y x -=-++⇒=-+-++⇒，所以点M 在以)2,1(m D -为圆心，222m -为半径的圆上，又点M 为圆O 的弦AB 的中点，所以点M 在圆O 内，所以两圆内含，所以223)2()1(222m m --<+-0)1(22>+⇔m ，只需022>-m 解得22<<-m ，即实数m 的取值范围是]2,2[-，故选C解法2：因为M 为弦AB 的中点，且MT AB 2=，所以090=∠ATB ，过点T 作圆的切线TF TE ,，F E ,为切点，则只需090≥∠ETF 即可，所以045≥∠OTE ，所以OTE∠sin 6223≤⇒≥=OT OT ，所以642≤+m ，解得22≤≤-m ，故选C例4.在平面直角坐标系xOy 中，直线kx y =与圆C ：5)36()27(22=-+-y x 交于B A ,，则=⋅OB OA 解析：过点O 作圆C 的切线OT ，T 为切点，则由切割线定理得20205362722222=-+=-==⋅R OC OT OB OA 例5.在平面直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(P 在圆C ：01422222=+-+-++m m y mx y x 内，若存在过点P 的直线交圆C 于B A ,两点，且PBC ∆的面积是P AC ∆的面积的2倍，则实数m 的取值范围为解析：圆C ：m y m x 4)1()(22=-++，圆心)1,(m -，半径为m r 2=，所以0>m 点P 在圆C 内40014212<<⇒<+-+-⇒m m m设AB 的中点为D ，t AP 2=，则t PD =，圆心到直线AB 的距离为d ，由PBC ∆的面积是P AC ∆的面积的2倍可知P A PB 2=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇐⎪⎩⎪⎨⎧=+=+mt d mt d r P A CD CP PD CD 492222222222222849d m m =-⇒，因为220m d <≤，所以494849022<≤⇒<-≤m m m m 当94=m 时，C B A P ,,,四点共线，不能构成三角形，所以m 的取值范围为)4,94(例6.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：3)()2(22=-++m y x ，若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且GO AB 2=，则实数m 的取值范围是解析：类例3，]2,2[-例7.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为23，21,F F 分别为椭圆E 的左右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段21F F 为直径的圆经过点P ，线段P F 1与y 轴交于点B ，且611=⋅B F P F （1）求椭圆E 的方程（2）设动直线l 与椭圆E 交于N M ,两点，且0=⋅ON OM ，求证：动直线l 与圆5422=+y x 相切解析：（1）设椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x ，c F F 221=，因为211F PF O BF ∠=∠，2211π=∠=∠PF F BOF ，所以BO F 1∆∽P F F 21∆，所以P F O F F F B F 11211=21111F F O F B F P F ⋅=⋅⇒3622=⇒==c c ，所以1,2233==⇒==b a a e ，所以椭圆E ：1422=+y x （2）设OM 的倾斜角为θ，则)sin ,cos (θθOM OM M ，))90sin(),90cos((00±±θθON ON M ，又点N M ,在椭圆上，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=±+±=+22222202202222224cos 4sin 4sin 4cos 1)90(sin 4)90(cos 4sin 4cos ON OM ON ON OM OM θθθθθθθθ两式相加得4511541442222=+⇒=+=+ONOMONOM，设原点到直线MN 的距为d 由5421212222222=+=⇒=+=∆ONOM ON OM d ON OM d ON OM S OMN所以动直线l 与圆5422=+y x 相切。

圆幂定理

一知识再现1. 圆幂定理一般地，把相交弦定理、切割线定理、割线定理等统称为圆幂定理。

它的基本内容是，在平面上经过；点P的直线与⊙O相交于A、B两点，有向线段PA、PB的乘积PA·PB是一个定值。

如下列图形，经过一定点P作圆的弦或割线或切线，设⊙O半径为R在图(1)中，PA·PB＝PC·PD=PE·PF＝(R-OP)(R-OP)=R2-OP2在图(2)中，PA·PB＝PT2=OP2-OT2==OP2-R2在图(3)中，PA·PB＝PC·PD= PT2==OP2-R2可得PA·PB均等于，为一常数，所以叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.2.角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。

角的平分线是射线。

■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

■逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，则AD ：DC=AB ：BC 3.平行线分线段定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.二例题讲解例1如图4AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB = 10cm ，P A : PB = 2 : 3，OP = 5cm ，则⊙O 的半径等于．解析：设⊙O 的半径为R ．∵AB = 10cm ，P A : PB = 2 : 3，∴PA = 4 cm ，PB = 6 cm ．由相交弦定理，得P A ·PB = PC ·PD = R 2－OP 2，即4×6 = R 2－52．所以，R = 7．故⊙O 的半径等于7 cm ．例2．如图5，已知P AC 为⊙O 的割线，连接PO 交⊙O 于B ，PB = 2，OP = 7，P A= AC ，则P A 的长为（）A ．7B ．23C ．14D ．32解析：延长PO 交⊙O 于D ．∵PB = 2，OP = 7，∴OB = 5，即PC = 12．由切割线定理的推论，得 P A ·AC = PB ·PC ． ∵P A = AC ，∴2 P A 2 = 2×12．所以，P A = 23．故应选B ．一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。

圆幂定理

圆幂定理是平面几何中的一个定理。

所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳。

根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。

经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。

基本定义定义：一点P对半径R的圆O的幂定义如下：圆幂a=OP²-R²符号：圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

定理内容过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合，即切线），则有PA×PB=PC×PD 。

考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O于M、N，R 为圆的半径，则有PA×PB=PC×PD=PM×PN=(OP+R)│OP-R│=│OP²-R²│定理证明图Ⅰ：相交弦定理。

如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。

相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC 所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以△PAD∽△PCB。

所以有：PA/PC=PD/PB，即：PA×PB=PC×PD 。

图Ⅱ：割线定理。

如图，连接AD、BC。

可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有△PAD∽△PCB，同上证得PA×PB=PC×PD。

图Ⅲ：切割线定理。

如图，连接AC、AD。

∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有△PAC∽△PDA ，易证PA²=PC×PD。

圆幂定理讲义(带答案解析)

【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．圆幂定理STEP 1: 进门考理念： 1. 检测垂径定理的基本知识点与题型2. 垂径定理典型例题的回顾检测。

3. 分析学生圆部分的薄弱环节。

1）例题复习1. （2015?夏津县一模）一副量角器与一块含 30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点 C 落在量角器的直径 MN 上，顶点 A ，B 恰好都落在量角器的圆弧上，且 AB ∥MN ．若 AB=8cm ，则量角器的直径 MN= cm ．【考点】 M3：垂径定理的应用； KQ ：勾股定理； T7：解直角三角形．【分析】作 CD ⊥ AB 于点 D ，取圆心 O ，连接 OA ，作 OE ⊥AB 于点 E ，首先求得 CD 的长，即 OE 的长，在直角△ AOE 中，利用勾股定理求得半径 OA 的长，则 MN 即可求解．解答】解：作 CD ⊥AB 于点 D ，取圆心 O ，连接 OA ，作 OE ⊥ AB 于点 E ．在直角△ ABC 中，∠ A=30°，则 BC= AB=4cm ，在直角△ BCD 中，∠ B=90°﹣∠ A=60°， =2 （cm ）， ∴ OE=CD=2 ，在△ AOE 中， AE= AB=4cm ， ∴CD=BC?sinB=×4 则 OA= = =2 （ cm ），则 MN=2OA=4 （ cm ）．故答案是： 4 ．2. （2017?阿坝州）如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过【考点】 M2：垂径定理； PB ：翻折变换（折叠问题）．【分析】通过作辅助线，过点 O 作 OD ⊥AB 交 AB 于点 D ，根据折叠的性质可知 OA=2O ，D 根据勾股定理可将 AD 的长求出，通过垂径定理可求出 AB 的长．【解答】解：过点 O 作 OD ⊥ AB 交 AB 于点 D ，连接 OA ， ∵OA=2OD=2c ，m ∴ AD== = （ cm ），点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．3. （2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙ P 的圆心坐标是（ 3，a ） a >3），半径为 3，函数 y=x 的图象被⊙ P 截得的弦 AB 的长为，则 a的值A ．4考点】 M2：垂径定理； F8：一次函数图象上点的坐标特征； KQ ：勾股定理．cmD ．2 cm故选： D ．cm．专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】 PC ⊥x 轴于 C ，交 AB 于 D ，作 PE ⊥AB 于 E ，连结 PB ，由于 OC=3，PC=a ，易得D 点坐标为（ 3， 3），则△ OCD 为等腰直角三角形，△ PED 也为等腰直角三角形．由 PE ⊥ AB ，根据垂径定理得 AE=BE= AB=2 ，在 Rt △PBE 中，利用勾股定理可计算出 PE=1，则 PD= PE=，所以 a=3+ ．【解答】解：作 PC ⊥x 轴于 C ，交 AB 于 D ，作 PE ⊥ AB 于 E ，连结 PB ，如图， ∵⊙ P 的圆心坐标是（ 3， a ）， ∴OC=3，PC=a ，把 x=3 代入 y=x 得 y=3， ∴ D 点坐标为（ 3，3）， ∴CD=3， ∴△ OCD 为等腰直角三角形， ∴△ PED 也为等腰直角三角形， ∵PE ⊥ AB ， ∴PE=， ∴PD= PE= ， ∴ a=3+ ．故选： B ．4. （2013?内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A 13，0），直线 y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于 B 、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为【分析】根据直线 y=kx ﹣3k+4 必过点 D （3，4），求出最短的弦 CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，再求出 OD 的长，再根据以原点 O 为圆心的圆过点 A （13，0），求出 OB 的长，再利用勾股定理求出 BD ，即可得出答案．∴ AE=BE= AB在 Rt △ PBE 中， PB=3，考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．并且平分弦所对的两条弧．也【解答】解：∵直线y=kx ﹣3k+4=k （x﹣3）+4，∴k（x﹣3）=y﹣4，∵k 有无数个值，∴x﹣3=0，y ﹣4=0，解得x=3，y=4，∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，∵点 D 的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴ BD=12，∴ BC 的长的最小值为24；故答案为：24．【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．STEP 2: 新课讲解1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。

圆幂定理（教案）.doc

圆幂定理（教案）教学内容圆幂定理，圆中的比例线段教学目标 1、帮助学生理清圆中比例线段的基本思考路劲;2、培养学生的线段比的转化能力.教学过程一、知识点梳理处理圆中的比例线段问题，通常用到圆幂定理，相交线定理、切割线定理和割线定理统称圆幂定理.1. 相交线定理如果圆内两条弦AB 和CD 相交于P ，那么PD PC PB PA ⋅=⋅.2. 割线定理，如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和PCD ，那么PD PC PB PA ⋅=⋅.3. 切割线定理如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和切线PC ，那么2PC PB PA =⋅.实际上可以把切割线定理看着割线定理的极限情况，于是上述可以合并为：如果交点为P 的两条相交直线与圆O 相交于A 、B 与C 、D 那么就有 PD PC PB PA ⋅=⋅二、例题讲解例1 (2003年昆明市中考题)已知,如图,⊙O 及⊙O 外一点C,CA 切⊙O •于点A,CB 切⊙O 于点B,且∠ACB=90°,过点B 作⊙O 的割线交⊙O 于点D,交AC •的延长线于点P,AC=3,PC=4.求⊙O 的弦BD 的长.解： ∵CA 切⊙O 于点A,CB 切⊙O 于点B,∴AC=BC=3,∵∠BCP=90°,PC=4,∴∵PA 2=PB ·PD,PA=7,PB=5,∴5PD=72,∴PD=495(或PD=9.8). ∴DB=PD-PB=495-5=245(或4.8)点评本题利用切割线定理,使问题得解.例2 (2003年四川省中考题)已知,如图,以正方形ABCD 的AB 边为直径,•在正方形内部作半圆,圆心为O,DF 切半圆于点E,交AB 的延长线于点F,BF=4.求:(1)cos ∠F 的值; (2)BE 的长.解析 (1)连结OE ∵DF 切半圆O 于点E,OE 为半径,∴OE ⊥EF,即∠OEF=90°. ∵ABCD 是正方形,∴AB=AD,∠DAF=90°.∴∠OEF=∠DAF.又∵∠F 为公共角,∴△OEF ∽△DAF. ∴12EF OE OF AF OA DF ===,即AF=2EF. ∵DF 切半圆O 于点E,FBA 为半圆O 的割线,∴由切割线定理有 EF 2=FB ·FA=BF ·2EF. ∴EF=2BF.∵BF=4. ∴EF=2×4=8,AF=2×8=16. ∴AB=AF-BF=16-4=12,FO=12AB+BF=12×12+4=10. ∴在Rt △OEF 中,cos ∠F=84105EF FO == (2)连结AE,∵DF 切半圆O 于点E, ∴∠EAF=∠BEF.∵∠F 为公共角, ∴△BEF ∽△EAF, 81162BE EF EA AF ===.设BE=k,则AE=2k.∵AB 为半圆O 的直径,∴∠AEB=90°.在Rt △AEB 中,由勾股定理,得AE 2+BE 2=AB 2,即(2k)2+k 2=122.∵k>0,∴k=125,∴BE=125点评：本题利用三角形相似,切割线定理,勾股定理等将已知和未知的关系联系起来,•从而使问题得以解决.例3 (2001年TI 杯全国初中数学竞赛)如图,已知点P 是⊙O 外一点,PS,•PT 是⊙O 的两条切线,过点P 作⊙O 的割线PAB,交⊙O 于A 、B 两点,与ST 交于点C. 求证: 1111()2PC PA PB=+. 证明连PO 交ST 于点D,则PD ⊥ST,连SO,作OE ⊥PB,垂足为E,则E 为AB 中点.于是,PE=2PA PB +. ∵C 、E 、O 、D 四点共圆, ∴PC ·PE=PD ·PO.又∵Rt △SPD ∽Rt △OPS. ∴PS OP PD PS =,即PS 2=PD ·PO. 而由切割线定理知,PS 2=PA ·PB,则PC ·2PA PB +=PA ·PB. 即1111()2PC PA PB=+. 点评：本例利用切线长定理、垂径定理、切割线定理构造图形来解题.例4 (2002年山西太原市初中数学竞赛)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O •上一点,延长BC 至点D,使CD=BC,CE ⊥AD,垂足为点E,BE 交⊙O 于点F,AF 交CE 于点P.求证:PE=PC.证明延长DA 交⊙O 于点K,连结BK,OC.∵AB 是⊙O 的直径, ∴BK ⊥DA.又∵CE ⊥AD,∴CE ∥BK,故∠1=∠2,又∵A 、K 、B 、F 四点共圆,有∠2=∠3, ∴∠1=∠3.∴△PEF ∽△PAE, 因此,有PE 2=PA ·PF.又∵为△ABD 的中位线,∴OC ∥AD.则CE ⊥OC.可知CE 为⊙O 的切线,故PC 2=PF ·PA,∴PE 2=PC 2,即PE=PC.点评：几何图形中有直径这一条件,常添加辅助线,构成直径上的圆周角是直角,•使其构成直角三角形.三、课后作业1、如图,已知AB 是⊙O 的直径,P 是⊙O 外一点,PD ⊥AB 于D,交⊙O 于E.PA 交⊙O 于C,BC 交PD 于F.求证:DE 2=DF ·DP.2、如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,∠BAC 的平分线交BC 于D,交⊙O 于E.求证:AB ·AC=AD 2+BD ·DC.。

【初中数学】圆幂定理

【初中数学】圆幂定理圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳，所以目前书上已经把这个定理删除了，也作为补充知识点介绍。

根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：（1）相交弦定理（2）切割线定理（3）割线定理从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。

经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。

圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。

具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过了一个P点，与一个圆相交于点A和点B，那么这个点P到点A、点B的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的平方的绝对值，即可以表示为：PA·PB=|PO²-r²|（r表示圆的半径）.如何证明这个定理呢？就需要分三种情况讨论，点P与圆的位置关系。

我们非常清楚，点与圆的位置关系只有三种：圆外、圆上、圆内。

1、点P在圆外如图，点P在⊙O外部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：如图，延长PO交⊙O与点D.由割线定理可得：PA·PB=PC·PD∵ PC=PO+OC，PD=PO+OD，OC=OD=r∴ PC=PO+r，PD=PO+r∴ PA·PB=（PO+r）（PO-r）∴ PA·PB=PO²-r²=|PO²-r²|2、点P在圆内如图，点P在⊙O内部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：延长PO交⊙O于C、D两点根据相交弦定理，得：PA·PB=PC·PD∵ PC=OC-PO，PD=PO+OD，OD=OC=r∴ PC=r-PO，PD=PO+r∴ PA·PC=（r-OP）（PO+r）∴ PA·PC=r²-PO²=|PO²-r²|3、当点P在圆上通过以上两种情况的证明可得，PA·PB=|PO²-r²|，那么当P点在圆上时，P、A 两点重合，故PA=0，OP=r，所以PA·PB=0，PO²-r²=0，所以也成立。

人教版-九年级(初三)数学-第二十四章圆讲义教案-与圆有关的定理圆幂定理讲义资料

内容基本要求略高要求较高要求圆幂定理会在相应的图中确定圆幂定理的条件和结论能用圆幂定理解决有关问题板块一相交弦定理相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅．P ODC A相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．【例1】如下左图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD =cm ．OPCB【例2】如下中图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且O M M C =，若1.54A M B M ==，，则OC 的长为( )A ．6B 6C ．3D ．2MO BA中考要求例题精讲圆幂定理【例3】如图，O⊙的两条弦AB CD，交于点P，已知2cm3cm1cmPA PB PC===，，，则PD的长为________．D【例4】如图，圆的半径是A C、两点在圆上，点B在圆内，6AB=，2BC=，90ABC∠=︒求点B 到圆心的距离．【例5】如图，正方形ABCD内接于O⊙，点P在劣弧AB上，连结DP交AC于点Q．若Q P Q O=，则QC QA的值为___________．【例6】请阅读下列材料：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．如图1，若弦AB CD、交于点P，则PA PB PC PD⋅=⋅．请你根据以上材料，解决下列问题．【例7】已知O ⊙的半径为2，P 是O ⊙内一点，且1OP =，过点P 任作一弦AC ，过A C 、两点分别作O⊙的切线m 和n ，作PQ m ⊥于点Q ，PR n ⊥于点R ．(如图2)⑴ 若AC 恰经过圆心O ，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算11PQ PR+的值； ⑵ 若OP AC ⊥，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算11PQ PR+的值； ⑶ 若AC 是过点P 的任一弦(图2)，请你结合⑴⑵的结论，猜想11PQ PR+的值，并给出证明．(图4)(图3)板块二、切割线定理如图，在O 中，AB 是O 的切线，AD 是O 的割线，则题意中满足2AB AC AD =⋅.A【例8】如图，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径为，:CD DP =__________．【例9】如图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，已知32PA AB PC ===，，则PD 的长是( )A ．3 B．7.5 C ．5 D ．5.5【例10】如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BFFC=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_____________．【例11】如图，同心圆O ，AC DF 、交小圆于B E 、两点，求证：AB AC DE DF ⋅=⋅．1.如下右图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么( ) A ．2OP PA PB =⋅ B ．2PC PA PB =⋅ C ．2PA PB PC =⋅ D ．2PB PA PC =⋅2.如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC 交O ⊙ 于F ，如果713PF FC ==，，且::2:4:1PA AE EB =，那么CD 的长是．课后练习。

圆幂定理‘-概述说明以及解释

圆幂定理‘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述部分：圆幂定理作为几何学中重要的定理之一，其内容涉及到圆和直线之间的关系。

通过圆幂定理，我们可以推导出在圆内或圆外的点与圆的关系，从而解决相关的几何问题。

该定理的基本概念和证明方法将在后续章节进行详细介绍。

圆幂定理在数学研究和实际问题解决中具有重要的应用价值，我们将在文章的后续部分探讨其具体应用案例。

通过本文的学习，读者将对圆幂定理有更深入的理解，从而提升数学知识和解题能力。

1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，首先概述了圆幂定理的基本概念和意义，接着介绍了文章的结构和目的，为读者提供了全文的概览。

在正文部分，将详细阐述圆幂定理的基本概念，包括定义、原理和相关定理等内容；然后介绍圆幂定理的证明方法，探讨其推导过程和逻辑；最后探讨圆幂定理在几何学和其他领域中的应用，展示其在实际问题中的作用和意义。

在结论部分，将对全文进行总结，回顾圆幂定理的重要性和实际应用，同时展望未来对该定理的进一步研究和应用方向。

整个结构清晰，逻辑严谨，希望能为读者提供全面深入的了解和思考。

1.3 目的圆幂定理是几何学中的重要定理之一，它可以帮助我们理解圆的性质和与其他几何图形之间的关系。

本文的目的在于深入探讨圆幂定理的基本概念、证明方法以及应用，以便读者能够更全面地了解这一定理的内容和意义。

通过学习圆幂定理，我们可以更好地解决与圆相关的几何问题，拓展我们的数学思维，提高我们的解题能力。

同时，深入理解圆幂定理还可以为我们之后学习更高级的几何知识打下良好的基础。

除此之外，通过探讨圆幂定理的重要性和应用，我们也可以更好地体会到数学在现实生活中的应用，激发我们对数学的兴趣和热情。

希望本文能够为读者带来启发，并引起他们对数学的思考和探索欲望。

2.正文2.1 圆幂定理的基本概念圆幂定理是几何学中的一项重要定理，它描述了圆与直线之间的关系。

在介绍圆幂定理之前，我们需要了解一些基本概念。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-园幂定理

园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例；(2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516思路点拨连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是∠O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠B ．(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC=8，CE ：ED=6：5，，AE ：BE=2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值．思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x 、k 处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与k 的关系，建立x 或k 的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F ∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．(2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点P，则BP的长为( )A．6．4 B．3．2 C ．3．6 D．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ；(2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．⌒⌒⌒9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a2B ．a 1C ．2a D ．3a 13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23D ．114．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD 于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。

16-5圆幂定理.讲义教师版

(完整)圆幂定理讲义(带答案)

最新北师大版九年级下册数学 第3章 圆 第5节 切线定理与圆幂定理 讲义

五大圆幂定理证明

圆幂定理ppt课件

高中数学-圆幂定理(教师版)

圆幂定理

圆幂定理

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【初中数学】圆幂定理

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