电磁感应重要专题讲解及试题(带答案)

电磁感应专题

电磁感应中的动力学问题

这类问题覆盖面广，题型也多种多样；但解决这类问题的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等，基本思路是：

对“双杆”类问题进行分类例析

1、“双杆”向相反方向做匀速运动

当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。

【例1】两根相距d =0.20m 的平行金属长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B =0.2T ，导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为r =0.25

Ω，回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平

移，速度大小都是v =5.0m/s ，如图所示.不计导轨上的摩擦.

（1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小.

（2）求两金属细杆在间距增加0.40m 的滑动过程中共产生的热量. 2.“双杆”同向运动，但一杆加速另一杆减速

当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。

【例2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L 。导轨上面横放着两根导体棒ab 和cd ，构成矩形回路，如图所示．两根导体棒的质量皆为m ，电阻皆为R ，回路中其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B ．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始时，棒cd 静止，棒ab 有指向棒cd 的初速度v 0．若两导体棒在运动中始终不接触，求：

（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．

（2）当ab 棒的速度变为初速度的3/4时，cd 棒的加速度是多少？ 3. “双杆”中两杆都做同方向上的加速运动。

“双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同样加速度做匀加速直线运动。如【例3】（2003年全国理综卷）

4．“双杆”在不等宽导轨上同向运动。

F=BIL

界状态

v 与a 方向关系

运动状态的分析

a 变化情况

F=ma

合外力感应电流

确定电源（E ，r ）

r

R E I +=

“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。如【例4】（2004年全国理综卷）

电磁感应中的一个重要推论——安培力的冲量公式

感应电流通过直导线时，直导线在磁场中要受到安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安培力的大小为F=BLI 。在时间△t 内安培力的冲量R

BL

BLq t BLI t

F ?Φ==?=?，式中

q 是通过导体截面的电

量。利用该公式解答问题十分简便，下面举例

如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为L 的区域内，有一个边长为a

（a

A ．完全进入磁场中时线圈的速度大于（v 0+v ）/2；

B ．安全进入磁场中时线圈的速度等于（

v 0+v ）/2； C ．完全进入磁场中时线圈的速度小于（v 0+v ）/2； D ．以上情况A 、B 均有可能，而C

解析：设线圈完全进入磁场中时的速度为v x 。线圈在穿过磁场的过程中所受合外力为安培力。对于线圈进入磁场的过程，据动量定理可得：

=?Φ-=?-R Ba t F 02mv mv R

Ba Ba x -=-

对于线圈穿出磁场的过程，据动量定理可得：

=?Φ

-=?-R Ba t F x mv mv R

Ba Ba -=-2

由上述二式可得2

0v

v v x

+=

，即B 选项正确。 针对练习

1．如图所示，金属杆a 在离地h 高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B ，水平部分导轨上原来放有一金属杆b .已知杆的质量为m a ，且与b 杆的质量比为m a ∶m b =3∶４，水平导轨足够长，不计摩擦，求：

（1）a 和b 的最终速度分别是多大？

a a

（2）整个过程中回路释放的电能是多少？

（3）若已知a 、b 杆的电阻之比R a ∶R b =3∶4，其余电阻不计，整个过程中a 、b 上产生的热量分别是多少？

2．如图所示，abcd 和a /b /c /d /为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab 、a /b /间的宽度是cd 、c /d /间宽度的2倍。设导轨足够长，导体棒ef 的质量是棒gh 的质量的2倍。现给导体棒ef 一个初速度v 0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？

3．如图，甲、乙两个完全相同的线圈，在距地面同一高度处由静止开始释放，A 、B 是边界范围、磁感应强度的大小和方向均完全相同的匀强磁场，只是A 的区域比B 的区域离地面高一些，两线圈下落时始终保持线圈平面与磁场垂直，则（ ）

A. 甲先落地。

B. 乙先落地。

C. 二者同时落地。

D. 无法确定。

4． 水平放置的平行金属框架宽L =0.2m ，质量为m =0.1kg 的金属棒ab 放在框架上，并且与框架的两条边垂直。整个装置放在磁感应强度B =0.5T ，方向垂直框架平面的匀强磁场中，如图所示。金属棒ab 在F =2N 的水平向右的恒力作用下由静止开始运动。电路中除R =0.05Ω外，其余电阻、摩擦阻力均不考虑。试求当金属棒ab 达到最大速度后，撤去外力F ，此后感应电流还能产生的热量。（设框架足够长）

5．如图所示位于竖直平面的正方形平面导线框abcd ，边长为L =10cm ，线框质量为m =0.1kg ，电阻为R =0.5Ω，其下方有一匀强磁场区域，该区域上、下两边界间的距离为H （ H > L ），磁场的磁感应强度为B =5T ，方向与线框平面垂直。今线框从距磁场上边界h =30cm 处自由下落，已知线框的dc 边进入磁场后，ab 边到达上边界之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值，问从线框开始下落到dc 边刚刚到达磁场下边界的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功是多少？（g =10m/s 2）

6．如图所示，在匀强磁场区域内与B 垂直的平面中有两根足够长的固定金属平行导轨，在它们上面横放两根平行导体棒构成矩形回路，长度为L ，质量为m ，电阻为R ，回路部分导轨电阻可忽略，棒与导轨无摩擦，不计重力和电磁辐射，且开始时图中左侧导体棒静止，右侧导体棒具有向右的初速v 0，试求两棒之间距离增长量

x

7．如图所示，电动机牵引一根原来静止的、长L 为1m 、质量m 为0.1kg 的导体棒MN 上升，导体棒的电阻R 为1Ω，架在竖直放置的框架上，它们处于磁感应强度B 为1T 的匀强磁场中，磁场方向与框架平面垂直。当导体棒上升h =3.8m 时，获得稳定的速度，导体棒上产生的热量为2J ，电动机牵引棒时，电压

a

表、电流表的读数分别为7V、1A，电动机内阻r为1Ω，不计框架电阻及一

切摩擦，求：

（1）棒能达到的稳定速度；

（2）棒从静止至达到稳定速度所需要的时间。

8（04年上海）水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，问距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆，金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下。用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v与F的关系如右下图。（g=10m/s2）（1）若m=0.5kg，L=0.5m，R=0.5Ω；磁感应强度B为多大？（2）由v—F图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？（答案：1T；f=2N，u=0.4 ）

9（2008年合肥）如图（甲）所示，水平面上有两根不计电阻的金属导轨平行固定放置，间距d=1m，右端

通过不计电阻的导线与阻值R

=9Ω的小灯泡连接，

在矩形区域CDFE内有竖直向上的匀强磁场，宽度

=2m，区域内磁场的磁感应强度随时间变化情况如图

L

2

（乙）所示，在t=0时，一阻值R=1Ω的导体棒在水

平恒力F作用下由静止开始从位置AB沿导轨向右运

动，导体棒与导轨间的滑动摩擦力f=0.8N，导体棒从

位置AB运动到位置EF的过程中小灯泡的亮度没有发

生变化，且已知导体棒进入磁场后作匀速运动。求：（1）恒力F的大小；（2）导体棒从位置AB运动到位置EF过程中恒力F做的功和灯泡消耗的电能；（3）导体棒的质量m。（答案：1.2N；1.44J；0.8kg）

10（08年）两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B＝0.50T的匀强磁场与导轨所在平面

垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离L＝0.20m。两根质量均为m

＝0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持

垂直，每根金属杆的电阻为R＝0.50Ω。在t＝0时刻，两杆都处于静止状态。现

有一与导轨平行，大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上

滑动。经过t＝5.0s，金属杆甲的加速度为a＝1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？

（答案：8.15m/s，1.85m/s）

重点题型：1.如图，在水平放置的无限长U形金属框架中，串一电容量为C的电容器，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器开始时带电量为Q（正负情况如图所示），现将一根长为l，质量为m的金属棒ab搁置在框架上，金属棒ab与框架接触良好且无摩擦，求合上k以后，ab棒的最终速度及电容器最终还剩的电量．

2.如图1，边长为L，具有质量的刚性正方形导线框abcd，位于光滑水平面上，线框总电阻为R．虚线表

示一匀强磁场区域的边界，宽为s(s>L)，磁感应强度为B，方向竖直向下．线框以v的初速度沿光滑水平面进入磁场，已知ab边刚进入磁场时通过导线框的电流强度为I0，试在I—x坐标上定性画出此后流过导线框的电流i随坐标位置x变化的图线。

【分析】要画出线框的电流i随x的变化图线，必须先分析线框在磁场中的受力情况、运动情况，再由运动情况判断线框中电流的变化情况，最后才能做出图线．本题中线框进入磁场受安培力作用而做减速运动，其运动情况和电流的变化规律可能有以下三种情况。

【解答】

（1）线框还没有完全进入（或恰能完全进入）磁场时，速度就减小为零，此过程v减小，i减小，F减小，加速度a减小，使v减小，运动越来越慢，因而i减小的也越来越慢，图线斜率越来越小，最后v为零，i 为零．对应的图线如图2所示。

（2）线框不能完全通过（或恰能完全通过）磁场时，速度就减小为0．在0→L段，电流的变化情况同（l）类似，只是在L处，电流由某一数值I1突变为0；在L→s段，线框做匀速运动，无感应电流；在s点以后，线框做减速运动，直至v为零，i为零．此过程电流变化规律同（1）类似，只是方向相反，大小由—I1变为零．对应的图线如图3所示．

（3）线框能完全通过磁场，且速度不为零．在0─段，电流变化情况和图线同（2）类似；在s→s+L段，电流变化情况同（2）中的s以后段类似，只是在s+L处，电流由某一数值—I2突变为0；此后线框匀速运动，无感应电流．对应的图线如图4所示。

【说明】 由以上的分析和讨论可以看出，电磁感应图象作图题，所涉及的不单是运动学、动力学、电磁感应、欧姆定律等内容，而且涉及到应用数学知识处理物理问题的方法，就是“数理结合”、“数形结合”。

3. 如图4所示，在磁感应强度为B 的匀强磁场中有固定的金属框架ABC ，已知θ

=∠B ，导体棒DE 在

框架上从B 点开始在外力作用下，沿垂直DE 方向以速度v 匀速向右平移，使导体棒和框架构成等腰三角形回路。设框架和导体棒材料相同，其单位长度的电阻均为R ，框架和导体棒均足够长，不计摩擦及接触电阻。关于回路中的电流I 和电功率P 随时间t 变化的下列四个图象中可能正确的是（ ）

图5

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

解析：如图6所示，经过时间t 后导体棒DE 的位移为vt l

=，则此时导体棒DE 的有效长度为DE

l )

2

(tan 2θ

αα=

=l 。三角形两腰的长度为

α

cos l

l l BE BD =

=，此时回路的感应电动势为

t Bv Blv E 2==。

图6

回路总电阻为

)cos 2

tan 2()cos 2tan 2(αααα+=+

=Rvt l l R R 总

则回路的电流

)

cos 2tan 2(αα+

==

R Bv

R E

I 总

。可知回路中的电流是恒定不变的。 电功率

)cos 2tan 2(22αα+

==Rvt I R I P 总

由功率的表达式可知回路的功率P 与时间t 成正比。 由上面的分析可知①④正确，即本题的正确答案为B 。 于下手或仍错误地认为动量守恒而无法得出正确结论

4..如图所示，将边长为a 、质量为m 、电阻为R 的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b 、磁感应强度

为B 的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里．线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进人磁场．整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f 且线框不发生转动．求： （1）线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度V 2； (2）线框在上升阶段刚离开磁场时的速度v 1； （3）线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q ． 【解析】（1）由于线框匀速进入磁场，则合力为零。有

mg ＝f ＋22B a v

R

解得：v ＝

22

()mg f R B a -

（2）设线框离开磁场能上升的最大高度为h ，则从刚离开磁场到刚落回磁场的过程中

(mg ＋f )×h ＝

2112mv (mg －f )×h ＝2

212

mv

解得：v 1

2

（3）在线框向上刚进入磁场到刚离开磁场的过程中，根据能量守恒定律可得

221111

(2)()22

m v mv mg b a Q =++++f(b+a) 解得：Q ＝2

44

3()()()2m mg f mg f R mg b a B a

+--+-f(b+a)

5.（上海卷）24．（14分）如图所示，竖直平面内有一半径为r 、内阻为R 1、粗细均匀的光滑半圆形金属球，在M 、N 处与相距为2r 、电阻不计的平行光滑金属轨道ME 、NF 相接，EF 之间接有电阻R 2，已知R 1＝12R ，R 2＝4R 。在MN 上方及CD 下方有水平方向的匀强磁场I 和II ，磁感应强度大小均为B 。现有质量为m 、电阻不计的导体棒ab ，从半圆环的最高点A 处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，高平行轨道中够长。已知导体棒ab 下落r /2时的速度大小为v 1，下落到MN 处的速度大小为v 2。

（1）求导体棒ab 从A 下落r /2时的加速度大小。

（2）若导体棒ab 进入磁场II 后棒中电流大小始终不变，求磁场I 和II 之间的距离h 和R 2上的电功率P 2。

（3）若将磁场II 的CD 边界略微下移，导体棒ab 刚进入磁场II 时速度大小为v 3，要使其在外力F 作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a ，求所加外力F 随时间变化的关系式。

解析：（1）以导体棒为研究对象，棒在磁场I 中切割磁感线，棒中产生产生感应电动势，导体棒ab

从a

A 下落r /2时，导体棒在策略与安培力作用下做加速运动，由牛顿第二定律，得

mg －BIL ＝ma ，式中l 1

Blv I R =

总

式中

844844R R R

R R R R

?总（＋）＝

＋（＋）＝4R

由以上各式可得到221

34B r v a g mR

=－

（2）当导体棒ab 通过磁场II 时，若安培力恰好等于重力，棒中电流大小始终不变，即

222422t t

B r v B r v mg BI r B r R R ??=?=??=

并并

式中

124

3124

R R R R R R ?并＝＝＋

解得

22

22

344t mgR mgR

v B r B r =

=

并

导体棒从MN 到CD 做加速度为g 的匀加速直线运动，有

22

22t v v gh -=

得

2

222

44

9322v m gr h B r g

=- 此时导体棒重力的功率为

2222

34G t m g R

P mgv B r ==

根据能量守恒定律，此时导体棒重力的功率全部转化为电路中的电功率，即

12G P P P P =+=电＝222234m g R

B r 所以，23

4G P P =＝2222916m g R B r

（3）设导体棒ab 进入磁场II 后经过时间t 的速度大小为t v '，此时安培力大小为

2243t B r v F R

'

'=

由于导体棒ab 做匀加速直线运动，有3t v v at '=+

根据牛顿第二定律，有 F ＋mg －F ′＝ma 即

2234()

3B r v at F mg ma R

++-=

由以上各式解得

22222233444()()333B r v B r B r a

F at v m g a t ma mg R R R

=+--=++-

07广东卷 6.（17分）如图15（a ）所示，一端封闭的两条平行光滑导轨相距L ，距左端L 处的中间一段被弯成半径为H 的1/4圆弧，导轨左右两段处于高度相差H 的水平面上。圆弧导轨所在区域无磁场，右段区域存在磁场B 0，左段区域存在均匀分布但随时间线性变化的磁场B （t ），如图15（b ）所示，两磁场方向均竖直向上。在圆弧顶端，放置一质量为m 的金属棒ab ，与导轨左段形成闭合回路，从金属棒下滑开始计时，经过时间t 0滑到圆弧顶端。设金属棒在回路中的电阻为R ，导轨电阻不计，重力加速度为g 。

?问金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向是否发生改变？为什么？ ?求0到时间t 0内，回路中感应电流产生的焦耳热量。

?探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B 0的一瞬间，回路中感应电流的大小和方向。

解：?感应电流的大小和方向均不发生改变。因为金属棒滑到圆弧任意位置时，回路中磁通量的变化率相

同。

?0—t 0时间内，设回路中感应电动势大小为E 0，感应电流为I ，感应电流产生的焦耳热为Q ，由法拉第电磁感应定律：0

020

t B

L t E =??=

φ

根据闭合电路的欧姆定律：R

E I

=

由焦耳定律有：R

t B L Rt I Q 020

42

=

=

解得：420

0L B Q t R

=

?设金属进入磁场B 0一瞬间的速度变v ，金属棒在圆弧区域下滑的过程中，机械能守恒：

22

1mv mgH =

在很短的时间t ?内，根据法拉第电磁感应定律，金属棒进入磁场B 0区域瞬间的感应电动势为

E ，则： E t

φ

?=?

x

v t ?=?

)(20t B L x L B ?+?=?φ

由闭合电路欧姆定律得：E I

R

=

解得感应电流：???

?

??-=

002t L gH R L B I 根据上式讨论：

I 、当

2t L

gH =

时，I ＝0； II 、当

02t L

gH >

时，???? ??-=002t L gH R L B I ，方向为a b →；

III 、当

2t L

gH <

时，???

? ??-=gH t L

R L B I 200，方向为b a →。

7.（江苏卷）17 （17分）如图所示，顶角θ=45°，的金属导轨MON 固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中。一根与ON 垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v 0沿导轨MON 向右滑动，导体棒的质量为 m ，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r ，导体棒与导轨接触点的a 和b ，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。t=0时，导体棒位于顶角O 处，求：

（1）t 时刻流过导体棒的电流强度I 和电流方向。 （2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F 的表达式。

（3）导体棒在0～t 时间内产生的焦耳热Q 。

（4）若在to 时刻将外力F 撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x 。

(1)0到t 时间内，导体棒的位移 x=v 0t t 时刻，导体棒的长度 l=x 导体棒的电动势 E=Blv 0 回路总电阻 R= (2x+

2x)r

电流强度

r

)22(Bv R E

I 0+=

=

电流方向 b →a (2)r

)22(t

v B BIl F 2

202+=

=

(3)t 时刻导体棒的电功率

r

)22(t v B R I P 2

302/

2+=

=

∵ P ∝t ∴ Q=Pt/2=

r

)22(2t

v B 2

2

302+

(4)撤去外力后，任意时刻t 导体棒的坐标为x ，速度为v ，取很短时间Δt 或很短距离Δx 解法一

在t~t+Δt 时间内，由动量定理得 BIl Δt=m Δv

02

mv S r

)22(B =?+

∑

扫过面积 2

x x 2)x x )(x x (S 2

200-=-+=? (x 0=v 0t 0)

得

2002

0)t v (B

r

mv )22(2x ++=

或 设滑行距离为d 则

d 2

)

d t v (t v S 0000++=

?

即

0S 2d t v 2d 002=?-+

解之

20000)t v (S 2t v d +?+-= (负值已舍去)

得 x=

20000)t v (S 2d t v +?=+2002

0)t v (B r

mv )22(2++=

解法二

在t~t+Δt 时间内，由动能定理得

v mv )v v (m 2

1

mv 21x F 22?=?--=? (忽略高阶小量)

得

∑∑?=

?+

v m S r

)22(B 2

02

mv S r

)22(B =?+

以下解法同解法一

解法三(1)

由牛顿第二定律得 t

v

m

ma F ??== 得 F Δt=m Δv 以下解法同解法一 解法三(2) 由牛顿第二定律得 x

v

v m

t v m

ma F ??=??== 得 F Δx=mv Δv 以下解法同解法二

07江苏 8.（16分）如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B ＝1 T ，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d ＝0.5 m ，现有一边长l ＝0.2 m 、质量m ＝0.1 kg 、电阻R ＝0.1 Ω的正方形线框MNOP 以v 0＝7 m/s 的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求：

?线框MN 边刚进入磁场时受到安培力的大小F ；

?线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q ； ?线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n 。

8.解：?线框MN 边刚进入磁场时有：

0 2.8 N B l v

F B l I B l R

===

?设线框竖直下落H 时，速度为v H 由能量守恒得：22

0H 1122

mgH mv Q mv +=+ 自由落体规律：2

H 2v gH = 解得：2

01 2.45 J 2

Q mv =

= ?解法一：

只有在线框进入和穿出条形磁场区域时，才产生感应电动势，线框部分进入磁场区域x 时有：

22

Blv B l F BlI Bl v R R

===

在t →Δt 时间内，由动量定理：－F Δt ＝m Δv

求和：2222

0B l B l v t x mv R R

?=?=∑∑

解得：22

0B l x mv R

=

穿过条形磁场区域的个数为： 4.42x

n l

=

≈ 可穿过4个完整条形磁场区域 解法二：

线框穿过第1个条形磁场左边界过程中：

2/Bl t

F BlI Bl

R

?== 根据动量定理：10F t

mv mv -?=-

解得：23

10B l mv mv R

-=- 同理线框穿过第1个条形磁场右边界过程中有：

123/1B l mv mv R

-=-

所以线框穿过第1个条形磁场过程中有：

123/02B l mv mv R

-=-

设线框能穿过n 个条形磁场，则有：

23020B l n mv R

-=-

07江苏 8.（16分）如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B ＝1 T ，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d ＝0.5 m ，现有一边长l ＝0.2 m 、质量m ＝0.1 kg 、电阻R ＝0.1 Ω的正方形线框MNOP 以v 0＝7 m/s 的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求：

?线框MN 边刚进入磁场时受到安培力的大小F ；

?线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q ； ?线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n 。

9.（09江苏卷）15．(16分)如图所示，间距为L 的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计．场强为B 的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d 1，间距为d 2．两根质量均为m 、有效电阻均为R 的导体棒a 和b 放在导轨上，并与

导轨垂直． (设重力加速度为g )

(1)若a 进入第2个磁场区域时，b 以与a 同样的速度进

入第1个磁场区域，求b 穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△E k ．

(2)若a 进入第2个磁场区域时，b 恰好离开第1个磁场区域；此后a 离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域．且a ．b 在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相．求b 穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q ．

(3)对于第(2)问所述的运动情况，求a 穿出第k 个磁场区域时的速率v

答案（1）b 穿过地1个磁场区域过程中增加的动能θsin 1mgd E k =?； （2）θsin )(21d d mg Q +=；

（3）mR d l B d l B mgRd v 8sin 41221

2

22-=θ 解析：(1) a 和b 不受安培力作用，由机械能守恒定律知，

θs i n 1m g d E k =? ……①

(2) 设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v 1刚离开无磁场区域时的速度为v 2， 由能量守恒知：

在磁场区域中， θs i n 212112

22

1m g d mv Q mv +=+ ……② 在无磁场区域中， θsin 2

1

2

122122mgd mv Q mv +=+ ……③ 解得 θs i n )(21d d mg Q += ……④ (3) 在无磁场区域：

根据匀变速直线运动规律 θsin 12gt v v =- ……⑤ 且平均速度 t

d v v 2

122=+ ……⑥ 有磁场区域：

棒a 受到的合力 BIl mg F -=θsin ……⑦

感应电动势 Blv =ε ……⑧ 感应电流 R

I 2ε

=

……⑨

解得 v R

l B mg F 2sin 2

2-=θ ……⑩

根据牛顿第二定律，在t 到t+△t 时间内

∑∑

?=?t m

F

v ……⑾ 则有 ∑∑?-=?t mR v

l B g v ]2sin [22θ ……⑿

解得 12

2212sin d mR

l B gt v v -=-θ ……⒀