知识讲解电磁感应与电路知识能的转化和守恒专题提高

电磁感应与电路知识、能的转化和守恒专题

编稿：张金虎审稿：李勇康

【学习目标】

1．运用能的转化和守恒定律进一步理解电磁感应现象产生的条件、楞次定律以及各种电磁感应现象中能量转化关系。

2．能够自觉地从能的转化和守恒定律出发去理解或解决电磁感应现象及问题。3．能够熟练地运用动力学的一些规律、功能转化关系分析电磁感应过程并进行计算。4．熟练地运用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，并能灵活地将电路的知识与电磁感应定律相结合解决一些实际的电路问题。

5．在电磁感应现象中动力学过程的分析与计算。具体地说：就是导体或线圈在磁场中受力情况和运动情况的分析与计算。

6．在电磁感应现象中，不同的力做功情况和对应的能量转化、分配情况。

【要点梳理】

要点一、运用能的转化和守恒定律理解电磁感应现象产生的条件

1．条件

穿过闭合电路的磁通量发生变化。

2．对条件的理解

（1）在电磁感应的过程中，回路中有电能产生。因此电磁感应的过程实质上是一个其它形式的能向电能转化的过程，这个转化过程必定是一个动态的过程，必定伴随着宏观或微观力做功，以实现不同形式能的转化，也就是说必须经过一个动态的或者变化的过程，才能借助磁场将其它形式的能转化为电能。

（2）导体切割磁感线在闭合回路中产生感应电流的过程：如图所示，导体棒ab运

动，回路中有感应电动势EBLv?和感应电流EIR?产生。有感应电流I的导体棒在磁场中受到与棒运动方向相反的安培力FBIL?安作用，要维持导体棒运动产生持续的电

流必须有外力F外克服安培力做功，正是这一外力克服安培力做功的过程使其它形式的能转化为了回路的电能。可见磁通量发生变化（导体棒相对于磁场运动）是外力克服安培力做功，将其它形式的能转化为电能的充要条件。

（3）闭合电路所包围的磁场随时间发生变化产生感应电流的过程：如图所示，磁感

应强度随时间变化时，在它的周围空间产生与磁场方向垂直的感应电场，感应电场使得导体中的自由电荷定向移动，形成感应电流。这个感应电场必定阻碍原磁场的变化，要维持持续的感应电流必须有一种外力克服这种阻碍做功，将其它形式的能转化为回路的电能。

要点二、用能的转化和守恒定律理解楞次定律

1．楞次定律

感应电流具有这样的方向：即感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。由楞次定律出发不难推出，感应电流的方向总是阻碍线圈或导体相对于磁场的运动。如

图所示，感应电流的方向由ba?，使棒ab受到的安培力与它相对磁场运动的方向相反，要使棒保持匀速运动必须施加与安培力方向相反的外力。

2．由能量守恒定律出发推知，导体棒ab中的感应电流方向必定是由ba?，与楞次定律的结果完全一致。

假设棒ab中感应电流的方向不是由ba?，而是由ab?，由左手定则可以判断棒ab

受到的安培力则是垂直于棒向右，与棒运动的速度方向相同。那么导体棒在这个安培力的作用下不断向右做加速运动，我们看到的结果将是棒的动能不断增大，回路中产生的

电能不断增加，且没有消耗其它的能量，也就是说这一过程能量凭空产生，显然违背了能的转化和守恒定律，我们假设ab棒中感应电流的方向由ab?是错误的，应该是由ba?，与楞次定律的结论完全一样。我们有理由说楞次定律是能的转化和守恒定律的必然结果。

要点三、法拉第电磁感应定律与能的转化守恒定律

1．法拉第电磁感应定律

电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，对于n匝线圈构成的闭合电路有：Ent????．

2．法拉第电磁感应定律一些具体的表达形式（均由Ent????推出）

（1）磁感应强度B不变时SEnBt???．

（2）线圈面积S固定且不变时BEnSt???．

（3）导体在匀强磁场中切割磁感线产生的瞬时电动势sin EBLv??．

3．法拉第电磁感应定律与能的转化守恒定律

由能的转化和守恒定律出发推导导体棒切割磁感线产生的感应电动势EBLv?（垂直

切割的情况）：

如图所示，设长为L的导体棒以速度v在匀强磁场B中切割磁感线时产生的电动势为E，则回路中的感应电流EIR?，回路中产生电能的功率是PIE?电；又导体棒受到的安培力FBIL?，要维持棒匀速运动则外力的大小等于安培力，即FBIL?外，外力做功的功率PFvBILv??外外。

由能的转化守恒定律知：外力做功将其它形式的能转化为电能，所以PP?外电，即BILvEI?，感应电动势EBLv?，因此我们有理由说法拉第电磁感应定律和能的转化守恒定律是协调的。

要点四、感生电场与感生电动势

1．感生电场

英国物理学家麦克斯韦认为，变化的磁场能在周围空间激发电场，我们把这种电场叫做感生电场。

要点诠释：

（1）感生电场是一种涡旋电场，电场线是闭合的。

（2）感生电场的方向可由楞次定律判断。如图所示，当磁场增强时，产生的感生电场是与磁场方向垂直且阻碍磁场增强的电场。

（3）感生电场的存在与是否存在闭合电路无关。

2．感生电动势

磁场变化时会在空间激发感生电场，处在感生电场中的闭合导体中的自由电荷在电场力的作用下定向运动，产生感应电流，或者说，导体中产生了感应电动势。由感生电场产生的

电动势叫做感生电动势。

要点诠释：

（1）电路中电源电动势是非静电力对自由电荷的作用。在电池中，这种力表现为化学作用。

（2）感生电场对电荷产生的力，相当于电源内部的所谓的非静电力。感生电动势在电路中的作用就是电源。

要点五、洛伦兹力与动生电动势

一段导体做切割磁感线运动时，导体内自由电荷随导体在磁场中运动，则必受洛伦兹力。自由电荷在洛伦兹力作用下产生定向移动，这样异种电荷分别在导体两端聚集，从而使导体两端产生电势差，这就是动生电动势。若电路闭合，则电路中产生感应电流。

要点诠释：

（1）产生动生电动势的导体也相当于电源，其中所谓的非静电力就是洛伦兹力。

（2）动生电动势的产生与电路是否闭合无关。

（3）当电路不闭合时，切割磁感线的导体两端积聚电荷，则在导体内产生附加电场，电荷在受洛伦兹力的同时也受电场力作用。如图甲所示，当导体AB以恒定速度1v 向右运动切割磁感线时，负电荷受洛伦兹力方向向下，则B端聚集负电荷，同时A端剩余等量正电荷，在导体内产生向下的电场，使负电荷受洛伦兹力的同时，也受电场力，

但电场力方向向上，故当洛伦兹力ab UqvBql?时，电荷不再定向移动，此时AB 间电压最大，即达电源电动势ab EU?。

注意：

（1）当切割磁感线的导体棒中有动生电流时，棒内的自由电荷参与两个分运动，一是随导体切割磁感线的运动，二是沿导体定向移动（形成电流）。这两个分运动对应合运动所受洛伦兹力的两个分力，如图乙所示，使电荷沿棒移动形成电流的分力1F和与导体棒给电荷的作用力在水平方向平衡的力2F。

（2）沿棒方向的分力1F对电荷做正功，阻碍导体棒运动的分力2F对电荷做负功，这两个功代数和为零，不违背洛伦兹力永不做功的特点。即1F和2F的合力F洛始终与电荷运动的合速度v合垂直。

要点六、动生电动势与感生电动势的区别和联系

1．产生的物理机理不同

如图所示，导体ab向右运动，ab中的自由电子一起向右运动，向右运动的电子受到洛伦兹力的作用后相对于杆往下端b运动，这就是感应电流，方向由b向a。产生电流的电动势存在于ab段中，单位电荷受到洛伦兹力为FvBe?，而电动势的大

小等于从b到a移动单位正电荷时洛伦兹力做的功，因此EBlv?。

感生电动势，是由于变化的磁场周围产生感生电场，线圈中的自由电子在感生电场力作用下发生移动，形成感应电流。单位电荷在闭合电路中移动一周，电场力做的功等

于感生电动势ФEt???。

2．相当于电源的部分不同

导体运动产生动生电动势时，运动部分的导体相当于电源，而由于磁场变化产生感生电动势时，磁场穿过的线圈部分相当于电源。

3．Ф?的含义不同

导体运动产生电动势，Ф?是由于导体线框本身的面积发生变化而产生的，所以ФBS????；磁场变化产生电动势，Ф?是由于磁场变化而产生的，所以ФBS????。

要点诠释：

（1）在磁场变化，同时导体做切割磁感线运动时，两种电动势可同时存在。

（2）动生电动势和感生电动势的划分，在某些情况下只有相对意义。

要点七、电磁感应中电路问题的处理方法

在电磁感应中，切割磁感线的导体将产生感应电动势，该导体或回路相当于电源，因此，电磁感应问题往往与电路问题联系在一起。解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法是：

（1）用法拉第电磁感应定律确定感应电动势的大小，用楞次定律确定感应电动势的方向。

（2）画等效电路图。

（3）运用全电路欧姆定律、串并联电路性质、电功率等公式联立求解。

要点八、感生电动势和动生电动势综合的问题

有的问题中既有感生电动势又有动生电动势，最容易产生错误的是计算感应电动势时，只考虑一种而忽视另一种。用楞次定律和右手定则分别判出感生电动势、动生电动

势的方向，求感应电动势时同向相加，反向相减。感生电动势用ФEnt???求，动生电动势用sin EBlv??求。

要点九、电磁感应现象中的力学问题分析

电磁感应的题目往往综合性较强，与前面的知识联系较多，涉及力和运动、动量、

能量、直流电路、安培力等多方面的知识。应用主要可分为以下两个方面：

1．电磁感应现象中涉及的具有收尾速度的力学问题，关键要抓好受力情况和运动情况的动态分析：

周而复始地循环，达到循环状态时，加速度等于零，导体达到稳定运动状态。

2．功能分析：

电磁感应过程往往涉及多种能量形式的转化。图中金属棒ab沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，一部分用来克服安培力做功转化为电路中的电能，最终在R上转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能。若导轨足够长，棒最终达到稳定状态匀速运动时，重力势能的减少则完全用来克服安培力做功转化为电路中的电能。因此，从功和能的观点入手，分析清楚电磁感应过程中能量转化的关系，往往是解决电磁感应问题的重要途径。

【典型例题】

类型一、重力势能向电能转化问题

例1．电阻为R的矩形导线框abcd，边长abl?，adh?，质量为m，自某一高度自由落下，通过一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁场区域的宽度为h（如图所示）。若线框恰好以恒定速度通过磁场，线框中产生的焦耳热是____________（不考虑空气阻力）。

【思路点拨】“线框恰好以恒定速度通过磁场”是一个重要条件，也就是说它通过磁场区域时受磁场力大小和重力大小相等，方向相反，可列出受力平衡方程。再根据焦耳定律即可求出线框中产生的焦耳热（时间可用匀速运动知识计算）。

【答案】产生焦耳热是2mgh．．

【解析】导线框通过磁场区时只有ab边或cd边切割磁感线，产生感应电动势EBlv?。

由于线框是以恒定速度通过磁场的，所以它通过磁场区域时受磁场力大小和重力大小相等，方向相反，有

2()BlvBlvmgR??，

产生焦耳热

2QIRt?，

t是线框穿越磁场区的时间（从cd进入到ab出来），

2htv?，

所以：

2222()2BlvhBlvhQRmghRvR?????????????．

【总结升华】本题线框在穿越磁场区下落的过程中，重力做功2mgh，但动能没增加（重力势能减小），原因是磁场力做负功，机械能转化为电能，再转化为内能。所以本题也可以从能量转化时守恒直接得出产生的焦耳热等于减少的机械能，即2mgh。

举一反三

【高清课堂：法拉第电磁感应定律例2】

【变式1】图中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0.40m，电阻不计，导轨所在平面与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直．质量m为36.010kg?－、电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别

接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻1R．当杆ab达到稳定状态时以速率v匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0.27W，重力加速度取210m/s。

试求速率v和滑动变阻器接入电路部分的阻值2R．

【答案】4.5m/sv?26.0ΩR?

【解析】由能量守恒得

mgvP?，

代入数据，解得

4.5m/sv?

导体棒切割磁感线产生感应电动势

EBlv?

设电阻1R与2R的并联电阻为R并，ab棒的电阻为r，则电路中总电阻

1212RRRrRR???

又满足

PEI?

以上四式联立解得

26.0ΩR?．

【高清课堂：法拉第电磁感应定律例７】

【变式2】如图所示，一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，产生一个中心辐射的磁场（磁场水平向外），其大小为rkB?（其中r为辐射半径），设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R（大于圆柱形磁铁的半径），而弯成铝环的铝丝其横截面积为S，圆环通过磁场由静止开始下落，下落过程中圆环平面始终水平，已知铝丝电阻率为?，密度为

0?，试求：

（1）圆环下落的速度为v时的电功率；

（2）圆环下落的最终速度；

（3）当下落高度h时，速度最大，从开始下落到此时圆环消耗的电能．【答案】(1)RSvkP??222? (2) 220kgRv m???

(3)2200212[()]2gRRSghk?????

解析：（1）由题意知圆环所在处在磁感应强度

RkB?

圆环的有效切割长度为其周长

Rl?2?

圆环的电阻R电为

SRSlR???2??电

当环的速度为v时，切割磁感线产生的电动势

vkBlvE?2??

电流为

RkvSREI???电

故圆环的速度为v时电功率为

2PIR?电

联立以上各式解得

RSvkP??222?

（2）当圆环加速度为零时，有最大速度m v

此时

RSvkBIlF m??22??安

由平衡条件得

安Fmg?

又

02mSR????

联立解得

220kgRv m???

（3）由能量守恒定律

Qmvmgh m??221

解得

222002112[()]22m gRQmghmvRSghk????????．

类型二、路端电压与电动势的计算

例2．（2015 山东卷）如图甲，R0为定值电阻，两金属圆环固定在同一绝缘平面内。左端连接在一周期为T0的正弦交流电源上，经二极管整流后，通过R0的电流i始终向左，其大小按图乙所示规律变化。规定内圆环a端电势高于b端时，间的电压为u ab正，下列u ab-t图像可能正确的是

【答案】C

【解析】在第一个0.25T0时间内，通过大圆环的电流为瞬时针逐渐增加，由楞次定律可判断内环内a端电势高于b端，因电流的变化率逐渐减小故内环的电动势逐渐减小；同理在第0.25T0-0.5T0时间内，通过大圆环的电流为瞬时针逐渐减小，由楞次定律可判断内环内a端电势低于b端，因电流的变化率逐渐变大故内环的电动势逐渐变大；故选项C正确.

举一反三

【高清课堂：法拉第电磁感应定律例2】

【变式1】如图所示，两个互连的金属圆环，粗金属环的电阻为细金属环电阻的二分之一。磁场垂直穿过粗金属环所在区域。当磁感应强度随时间均匀变化时，在粗环内产生

的感应电动势为E。则ab、两点间的电势差为（）

A．/2E B．/3E C．2/3E D．E

【答案】C

【高清课堂：法拉第电磁感应定律例4】

【变式2】粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向

平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边ab、两点间的电势差绝对值最大的是（）

【答案】B

类型三、电磁感应现象中通过某一截面电量的计算

例3．如图所示，闭合导线框的质量可以忽略不计，将它从图示位置匀速拉出匀强磁场，若第一次用0.3秒时间拉出，外力所做的功为1W，通过导线截面的电量为1q；第二次用0.9秒时间拉出，外力做的功为2W，通过导体截面的电量为2q，则（）

A．1212WWqq＜，＜B．1212WWqq＜，＝

C．1212WWqq＞，＝ D．1212WWqq＞，＞

【答案】C选项是正确的1212WWqq（＞，＝）

【解析】用1l表示导线框竖边长，匀速拉出时产生感应电动势

1EBlv?；

用2l表示拉出的横边长，则拉出所用的时间

2ltv?。

把导线框拉出磁场的过程，线框中电流

1BlvIR?，

这段时间通过导线截面的电量

1212BlvlBllqItRvR?????。

可见通过导线截面的电量和拉出所用的时间大小无关，是

12qq?。

把导线框出磁场区做功

212WFlBlIl????，

把12BllIRt?代入得212()BllWRt?．

说明做功大小和拉出所用的时间有关，本题中1212ttWW＜，＞。

【总结升华】上述中的12Bll实际上是t时间内把（线圈拉出磁场的过程）线圈中磁通的变化，即12Bll???，qR???。这一关系不但适用于拉动线圈引起的磁通量

变化而产生的感应电流通过导体截面的电量，也适合于线圈不动而磁场在变化产生感应电流通过导体截面的电量。而

2121212()BllBllBllWqERtRt????，说明拉力所做的功消耗的机械能转化成了线框中的电能。

类型四、电磁感应与电路综合问题

例4．把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a、电阻等于R、粗细均匀的

金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的电接触。当金属棒以恒定速度v向右

移动，经过环心O时，求：

（1）棒上电流的大小和方向以及棒两端的电压MN U。

（2）在圆环和金属棒上消耗的总热功率。

【思路点拨】首先明确其等效电路，其次根据电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向，然后根据电路有关规律进行综合分析。画等效电路图的步骤是：首先找到感应电动势存在于何处，谁相当于电源；其次是判断出感应电动势的方向；然后分清内、外电路，画出等效电路图。

【答案】（1）43BavIR?，方向由N到M，路端电压：23Bav（2）

28()3BavPR?

【解析】（1）本题综合考查电磁感应及电路中功率的计算，关键是要分析清楚电路结构，画出等效电路图。把切割磁感线的金属棒看成一个具有内阻为R，电源电动势为E 的电源，两个半圆环看成两个并联电阻，画出等效电路如图所示。

当金属棒MN经过环心O点时，等效电源的感应电动势为

22EBaalvvBvB???

外电路的总电阻为

121212RRRRRR???外

由欧姆定律，此时的等效电路棒上电流大小为

24132EBavBavIRRRR????总

．

由右手定则知电流的方向由N到M；

根据分压原理，金属棒两端的电压是路端电压，

11233232MN RREERUEBavRR???????外外

．

（2）因为整个电路为纯电阻电路，所以在圆环和金属棒上消耗的总热功率等于电源的总功率即：

28()3BavPIER??．

【总结升华】解决电磁感应中的电路问题的基本方法是：首先明确其等效电路，其次根据电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向，然后根据电路有关规律进行综合分析。画等效电路图的步骤是：首先找到感应电动势存在于何处，谁相当于电源；其次是判断出感应电动势的方向；然后分清内、外电路，画出等效电路图。

举一反三

【高清课堂：法拉第电磁感应定律例3】

【变式】如图所示，三角形金属导轨EOF上放一金属杆AB，在外力作用下使AB保持与OF垂直，以速度v从O点开始向右平移，设导轨和金属棒均为粗细相同的同种

金属制成，则下列正确的是（）

A．电路中的感应电动势大小不变

B．电路中的感应电动势逐渐增大

C．电路中的感应电流大小不变

D．电路中的感应电流逐渐减小

【答案】BC

类型五、图象问题

例5．图甲中abcd是一边长为l，具有质量的刚性导线框，位于水平面内，bc边中串接有电阻R，导线的电阻不计，虚线表示一匀强磁场区域的边界，它与线ab边平行，磁场区域的宽度为2l，磁感应强度为B，方向竖直向下，线框在一垂直于ab边的水平恒定拉力作用下，沿光滑水平面运动，直到通过磁场区域。已知ab边刚进入磁场时，线框便变为匀速运动，此时通过电阻R的电流的大小为0i，试在下图的-ix坐标上定性画出：从导线框刚进磁场到完全离开磁场的过程中，流过电阻R的电流i的大小随ab边的位置坐标x变化的曲线。

【答案】见解析

【解析】从ab边进入磁场到cd边进入磁场期间，线框是匀速运动（这时线框受磁场

力和拉力平衡），流过电阻R的电流0ii?（恒定不变）。线框全部进入磁场后到ab边离开磁场前的这段时间（即ab边的位置在l与2l之间），线框的磁通不变，线框中无感应电流，0i?，这期间线框不受磁场力，线框在恒定拉力F的作用下加速，使ab 边在离开磁场时的速度大于ab边在进入磁场时的速度，所以ab边离开磁场右边界时线框中的感应电流0ii＞，其时线框（cd边）受到的磁场力大于恒定拉力（方向和恒定拉力相反），线框获得与运动方向相反的加速度。所以，ab边离开磁场后（cd边还在磁场里），线圈做减速运动，使通过电阻R的电流i减小。这段时间使线框减速的反向加速度FFam??磁，这段时间发生的物理过程是：vEiFa?????????磁。说明这段时间线框做加速度减小的减速运动，所以i的减小是开始快而后慢。这段时间，线框速度的减小的极限，是线框从无磁场区进入磁场区时刻的速度（即vv?出入），与此对应的通过电阻的电流减小的极限是0i（即0ii?）。综合上述分析可得：在ab边进入磁场边界到位置为l时间，0ii?；在ab边位置从l到2l之间，0i?；在ab边位置从2l到3l之间，i由大于0i的某个数值开始减小，最后0ii?。i减小是开始减

小快，而后减小慢。

通过电阻R的电流i的大小随ab边位置坐标x变化的曲线如图乙。

【总结升华】解本题的困难在线框从位置坐标的2l到3l之间的这段时间内电流的变化。这段时间线框发生了一系列关联的变化，弄清这些变化是解决本题难点的基础。

类型六、电磁感应综合

例6．(2015 绵阳三诊)如图甲所示，不变形、足够长、质量为m1=0.2kg的“U”形金属导轨PQMN放在绝缘水平桌面上，QP与MN平行且距离d=1m，Q、M间导体电阻阻值R=4Ω，右内侧紧靠两固定绝缘小立柱1、2；光滑金属杆KL电阻阻值r=1Ω，质量m2=0.1kg，垂直于QP和MN，与QM平行且距离L=0.5m，左侧紧靠两固定绝缘小立柱3、4。金属导轨与桌面的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其余电阻不计。从t=0开始，垂直于导轨平面的磁场磁感应强度如图乙所示。

（1）求在整个过程中，导轨受到的静摩擦力的最大值f max；

（2）如果从t=2s开始，给金属杆KL水平向右的外力，外力对金属杆作用的功率保持不变为P0=320W，杆到达最大速度时撤去外力，求撤去外力后QM上产生的热量Q R=？【答案】（1）0.8N；（2）4J

【解析】（1）在01s时间内，设t时刻磁场磁感应强度为B，QKLM中的感应电动势为E，电流为I，金属导轨QM受到的安培力为F，则：

由乙图得：22(T)Bt??，得：2T/s Bt???

由法拉第电磁感应定律得：tE????

又：BdL????

rREI??

解得：2T/s Bt???，1VE?，0.2AI?

导轨所受的安培力：(22)FBIdtId???

当1st?时，安培力最大为m F，则：0.8N m F?

设金属导轨PQMN受到的最大静摩擦力为m f，则：N5.1)(21???gmmf m?

1s以后，电动势为零，QM受到的安培力为零。即安培力最大时，仍然小于金属导轨PQMN受到的最大静摩擦力，金属导轨PQMN始终静止，受到的是静摩擦力，

所以：maxm fF?

则得：max0.8Nf?

（3）从2st?开始后，导轨QM受到的安培力向右，由于小立柱1、2的作用，金属导轨PQMN静止。设杆KL的最大速度为m v时，感应电动势为1E，电流为1I，受到的安培力为1F，外力为0F，则：m dBE?01?，rREI??11

则得：dIBF101?

有：00PF m??即：2200mm PBdRr????

解得：10m/s m v?

撤去外力直到停下来，产生的总热量为0Q，则：22021m mQ??

QM上产生的热量：RrRQQ R??0

代入数据，解得：05J Q?，4J R Q?

举一反三

【高清课堂：法拉第电磁感应定律例8】

【变式】如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度0v.在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持

良好接触．

（1）求初始时刻导体棒受到的安培力．

（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为p E，则这一过程中安培力所做的功1W和电阻R上产生的焦耳热1Q分别为多少?

（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处?从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少?

【答案】（1）220LvBR 水平向左（2）2012p Emv?2012p mvE?（3）2012mv 【解析】（1）初始时刻棒中感应电动势

0ELvB?

棒中感应电流

EIR?

作用于棒上的安培力

FILB?

联立得

220LvBFR?

安培力方向：水平向左

（2）由功和能的关系，得安培力做功

21012p WEmv??

电阻R上产生的焦耳热

21012p QmvE??

（3）由能量转化及平衡条件等，可判断：棒最终静止于初始位置

2012Qmv?．

类型七、感生电场问题

例7．如图所示的是一个水平放置的玻璃圆环形小槽，槽内光滑，槽宽度和深度处处相同。现将一直径略小于槽宽的带正电小球放在槽中，让它获得一初速度0v，与此同时，有一变化的磁场垂直穿过玻璃圆环形小槽外径所对应的圆面积，磁感应强度的大小跟时间成正比例增大，方向竖直向下。设小球在运动过程中电荷量不变，则（）

A．小球受到的向心力大小不变

B．小球受到的向心力大小不断增大

C．磁场力对小球做了功

D．小球受到的磁场力大小与时间成正比

【思路点拨】可运用楞次定律判断感生电场的方向，再考虑带电小球动能是否变化。【答案】B 【解析】本题考查了洛伦兹力和楞次定律，解题关键是由楞次定律判断出感生电场的方向。当磁感应强度随时间均匀增大时，将产生一恒定的感生电场，由楞次定律知，电场方向和小球初速度方向相同，因小球带正电，安培力对小球做正功，小球速

度逐渐增大，向心力也随着增大，故A错B对；洛伦兹力对运动电荷不做功，故C错；带电小球所受洛伦兹力FqBv?，随着速率的增大而增大，同时Bt?，则F和t不成正

比，故D错。

【总结升华】本题有一定的综合性。判断感生电场的方向可运用楞次定律，感生电场对小球做功，使带电小球动能增大。带电小球既受电场力又受磁场力。

类型八、感生电动势的计算

例8．如图甲所示，50n?匝的圆形线圈M，它的两端点ab、与内阻很大的电压表相连，线圈中磁通量的变化规律如图乙所示，则ab、两点的电势高低与电压表的读数为（）

A．ab???，20V B．ab???，10V

C．ab???，20V D．ab???，10V

【答案】B 【解析】本题考查了法拉第电磁感应定律和楞次定律，解题关键是要知道圆形线圈产生电动势，相当于电源内电路。磁通量均匀增大，由楞次定律知，线圈中

感应电流为逆时针方向，又线圈相当于内电路，故ab???；

80.0150V10V40.1Ent?????????，因而电压表的读数为10V。电压表测量的是电

源的电动势，即感应电动势。故答案选B。

【总结升华】感生电动势的大小可由法拉第电磁感应定律计算，方向可由楞次定律判断。产生感生电动势的电路相当于电源。

举一反三

【变式】如图所示，10.5ml?，20.8ml?，回路总电阻为0.2ΩR?，0.04kg M?，导轨光滑，开始时匀强磁场的磁感应强度01TB?，现使磁感应强度以/0.2T/sBt???