九年级数学相似三角形的应用举例

19.7相似三角形的应用

目的：利用相似三角形的性质解决实际问题． 中考基础知识

通过证明三角形相似 线段成比例()()

⎧⇒⎨⎩方程含有未知数的等式函数求最值等问题

备考例题指导

例1．如图，P 是△ABC 的BC 边上的一个动点，且四边形ADPE 是平行四边形． （1）求证：△DBP ∽△EPC ； （2）当P 点在什么位置时，S ADPE

=

1

2

S △ABC ，说明理由． 分析：

（1） 证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有

ADPE ⇒

平行线⇒角相等，命题得证．

（2）设

BP BC =x ，则CP

BC

=1-x ，

ADPE ⇒DP ∥AC ， EP ∥AB ，

△BDP ∽△BAC △CPE ∽△CBA ∴

FPC ABC S S ∆∆=（CP CB ）2=（1-x ）2，BDP BAC S S ∆∆=（BP BC ）2=x 2 ∴

BDP CPE ABC

S S S ∆∆∆+=x 2+（1-x ）2

．

∵S ADPE

=

12

S △ABC ，即ADPE ABC S S ∆=1

2．

∴x2+（1-x）2=1

2

（转化为含x的方程）

x=1

2

，

∴BP

BC

=

1

2

．

即P应为BC之中点．

例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2：

1，又关于x的方程1

4

x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n

为整数时，•一次函数y=mx+n的解析式．

分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，•求出m，n再写出一次函数．

抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上）．

双直角图形⇒有相似形⇒比例式（方程）

∠ACB=90°，CD⊥AB

Rt△BCD∽Rt△BAC

BC2=BD·BA，同理有AC2=AD·AB，

∴

2

2

BC

AC

=

BD BA

AD AB

⇒=m=2n ①

抓条件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．

由（x1-x2）2<192 配方（x1+x2）2-4x1x2<192． 64（n-1）2-16（m2-12）<192，

4n2-m2-8n+4<0．②

①代入②⇒n>1

2

．

又由△≥0得4（n-1）2-4×1

4

（m2-12）≥0，

①代入上式得n≤2．③

由n>1

2

，n≤2得

1

2

∵n为整数，∴n=1，2．

∴m=2，4

∴y=2x+1，或y=4x+2．

遇根与系数关系题目则用韦达定理，但必须考虑△≥0．

备考巩固练习

1．如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．关于x•的一元二次方程x2-2b

（a+

2

2

c

b

）x+（a+b）2=0的两根之和与两根之积相等，D为AB上一点，DE∥AC•交BC•于E，

EF⊥AB，垂足是F．

（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）若BF=6，FD=4，CE=2

3

CD，求CE的长．

2．某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上,种植花木如图1

（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD•地带种满花后，共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用．

（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完后筹集的资金？

（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一个花坛图案，•即在梯形内找到一点P，使得△APD≌△BPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由．

3．（1）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：

①当DE

AE

=1时，有EF=

2

a b

+

；②当

DE

AE

=2时，有EF=

2

3

a b

+

；③当

DE

AE

=3时，

有EF=

3

4

a b

．当

DE

AE

=k时，参照上述研究结论，•请你猜想用k表示DE的一般结论，

并给出证明；

（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图2所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310m，• DC=120cm，AD=70m，若要将这块分割成两块，由两位农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等，请你给出具体分割方案．

(1) (2)