中考数学考点知识与题型专题讲解24---二次函数
中考数学二次函数基础知识
中考数学二次函数基础知识
二次函数
正比例函数是：y=kx(k≠0) 两个数的商是常数(x/y=k,k≠0)一次函数是：y=kx+b(k≠0)
反比例函数： 两个数的积是常数(xy=k,k≠0)二次函数：y=ax 2+bx+c
1、二次函数y=ax 2+bx+c 一些基本概念①
二次函数是一条关于 x=- 对称的抛物线。
此抛物线有三大特征：有开口方向，有对称轴，有顶点。
考点一、 二次函数的概念
a
b
2
考点五、二次函数的解析式的几种应用例1
例2例3
解法1用一般式方法，由于顶点D点的横坐标为-1，所以是以 x=- = -1为对称轴的
解法2知道顶点和交点就可利用顶点式方法：再把BC点代入
a
b
2
解法
知道和x轴的两个交点，可直接用交点式方法：
3
解析：由于抛物线是以D为顶点（-1，？）为对称轴的，又和x轴交于两点AB,因为B点坐标是（-3，0），就可推出A的坐标是（1，0）
例4知道最值和对称轴，可直接用顶点法。
中考数学复习专项知识总结—二次函数(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—二次函数（中考必备）1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
2、二次函数的图象是一条抛物线。
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
3、二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的联系：(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根；(2)抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根的关系1、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
2、会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。
3、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。
4、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
1、二次函数的基本概念。
2、结合已知条件确定二次函数的表达式，利用待定系数法求二次函数的解析式。
3、根据二次函数的图象及性质解决相关问题，如不等式、一元二次方程。
4、二次函数图象的平移。
5、二次函数与实际问题，二次函数与综合问题(与几何、函数、方程等的综合)。
1、下列各点中，在函数y =-x 2图象上的点是（ ）A 、(-2，4)B 、(2，-4)C 、(-4，2)D 、(4，-2)2、二次函数y =(3m -2)x 2+mx +1的图象开口向上，则m 的取值范围是 。
3、抛物线21(3)52y x =---的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与x 轴的交点个数是 个。
4、二次函数21522y x x =+-的图象的顶点坐标是 。
5、二次函数y =2(x -1)2+5图象的对称轴和顶点P 的坐标分别是（ ） A 、直线x =-1，P(-1，5) B 、直线x =-1，P(1，5) C 、直线x =1，P(1，5) D 、直线x =1，P(-1，5) 6、把抛物线y =-4x 2向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A 、y =-4(x +3)2+2B 、y =-4(x +3)2-2C 、y =-4(x -3)2+2D 、y =-4(x -3)2-27、在平面直角坐标系中，将二次函数y =-2(x -1)2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点变为（ ）A 、（0,0）B 、（1，-2）C 、（0，-1）D 、（-2,1）8、二次函数y=(x-1)2+2的最小值是（）A、2B、1C、-1D、-29、已知二次函数y=3x2+2x+a与x轴没有交点，则a的取值范围是。
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数是初中数学中的重要内容，掌握了二次函数的知识，能够帮助我们理解函数的基本概念、图像和性质，同时也是后续学习函数、解析几何和微积分等内容的基础。
一、二次函数的定义和基本性质1.二次函数是一个以抛物线形状为特征的函数，其图像在平面直角坐标系中呈现出对称轴和顶点。
2.对于任意的a、b、c，二次函数的图像都存在对称轴，并且过对称轴的顶点。
3.当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
4. 当Δ=b²-4ac>0时，二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即该二次函数的解存在两个不同的实根；当Δ=0时，二次函数的图像与x轴有一个交点，即该二次函数的解存在一个实根；当Δ<0时，二次函数的图像与x轴没有交点，即该二次函数无实根。
5. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) =ax²+bx+c。
二、二次函数的图像与平移1. 对于y=ax²+bx+c，当a>0时，整个二次函数图像上移a个单位；当a<0时，整个二次函数图像下移a个单位。
2. 对于y=ax²+bx+c，当c>0时，整个二次函数图像上移c个单位；当c<0时，整个二次函数图像下移c个单位。
3. 对于y=ax²+bx+c，当b>0时，整个二次函数图像向左平移b个单位；当b<0时，整个二次函数图像向右平移b个单位。
三、二次函数的解和性质1.根据二次函数的定义，可以用求根公式计算二次函数的解，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
2.根据二次函数的判别式Δ的大小，可以判断二次函数的解的情况，进而判断图像的开口方向和顶点的位置。
3.根据二次函数的顶点坐标和开口方向，可以确定二次函数的整个图像。
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理
中考数学常考易错点《二次函数》知识点梳理一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
2.二次函数的系数a与开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3. 二次函数的零点：二次函数的零点即函数的解，即满足方程y=ax²+bx+c=0的x的值。
4.二次函数的顶点：二次函数的顶点是函数图像的最低点（a>0，开口向上）或最高点（a<0，开口向下）。
二、图像与性质1. 平移变换：对于二次函数y=ax²+bx+c，若将函数向左平移h个单位，记作y=a(x-h)²+bx+c；向上平移k个单位，记作y=a(x-h)²+bx+(c+k)。
2. 对称轴：对于二次函数y=a(x-h)²+bx+c，其对称轴为x=h。
3.最值：当二次函数开口向上时，最小值等于顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，最大值等于顶点的纵坐标。
4.单调性：若a>0，则二次函数是单调递增的；若a<0，则二次函数是单调递减的。
1. 因式分解：二次函数可以通过因式分解的方法求解，对于形如y=x²+bx+c的二次函数，可以通过找到满足(x+p)(x+q)=0的p和q来求解。
2. 二次方程的解与二次函数的零点：对于二次函数y=ax²+bx+c，当y=0时，可以得到ax²+bx+c=0，即二次方程。
所以二次函数的零点就是二次方程的根。
3.二次函数与坐标变换：二次函数可以通过坐标变换的方法进行图像的绘制与分析。
根据函数中的系数和平移变化，我们可以找到相关的坐标点，进而绘制出图像。
四、易错点1.没有注意二次函数系数与开口方向之间的关系，导致图像的绘制错误。
2.对于二次函数的平移变换不够熟练，不能正确确定平移的方向和单位。
3.没有理解二次函数的最值和单调性，导致在题目中的应用出现错误。
初三的二次函数知识点总结
初三的二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的符号决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，顶点的横坐标可以用公式x=-b/2a来求得，纵坐标可以代入x的值计算得到。
三、二次函数的平移对于一般的二次函数f(x)=ax^2+bx+c，如果f(x)变为f(x)+m或f(x)-m，就是把抛物线上下平移了m个单位。
如果f(x)变为f(x)+m或f(x)-m，就是把抛物线左右平移了m个单位。
四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是与顶点横坐标相等的直线，即x=-b/2a。
五、二次函数的判别式二次函数的判别式Δ=b^2-4ac，当Δ>0时，函数在x轴上有两个不同的实根；当Δ=0时，函数在x轴上有一个重根；当Δ<0时，函数在x轴上没有实根。
六、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向和顶点的位置可以通过二次函数的系数来描述。
七、二次函数的性质1. 当a>0时，抛物线开口向上，函数的最小值为y轴的对称轴。
2. 当a<0时，抛物线开口向下，函数的最大值为y轴的对称轴。
3. 当a>0时，函数在对称轴的一侧是单调递增的，另一侧是单调递减的。
4. 当a<0时，函数在对称轴的一侧是单调递减的，另一侧是单调递增的。
八、二次函数的应用二次函数在生活中有很多应用，比如抛物线的运动轨迹、抛物线的优化问题、抛物线的张力问题、抛物线的最大值与最小值等等。
以上就是初三二次函数的知识点总结。
希望同学们能够掌握这些知识，为以后的学习打下坚实的基础。
初中二次函数知识点总结(全面)
二次函数知识点二次函数概念:1. 二次函数的概念: 一般地, 形如y=ax2+bx+c（是常数, a≠0）的函数, 叫做二次函数。
这里需要强调: 和一元二次方程类似, 二次项系数a≠0, 而可以为零. 二次函数的定义域是全体实数。
<＜＞≤≥2.二次函数y=ax2+bx+c的性质1）当a＞0时, 抛物线开口向上, 对称轴为, 顶点坐标为.当时, 随的增大而减小；当时, 随的增大而增大；当时, 有最小值..2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式: （, , 为常数, ）；2.顶点式: （, , 为常数, ）；3.两根式: （，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式, 但并非所有的二次函数都可以写成交点式, 只有抛物线与轴有交点, 即时, 抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中, 属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是(). A.(1, -4.. B.(-1, 2...C.(1, 2... D.(0, 3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在..)A.第一象....B.第二象...C.x轴....D.y轴上4.抛物... 的对称轴是.. )9、 A.x=-....B.x=.... C.x=-.....D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则下列结论中, 正确的是(.)A.ab>0, c>0B.ab>0, c<0C.ab<0, c>0D.ab<0, c<06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示, 则点在第_.象限()A.一B.二C.三D.四7.如图所示, 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4, 图象交x轴于点A(m, 0)和点B, 且m>4, 则AB的长是()A.4+.B.mC.2m-8D.8-2m10、8.若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是.)11、 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A.直线B.直线C.直线D.直线10.把抛物线的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 所得的抛物线的函数关系式是()A. B.C. D.二、填空题1、下列函数中, 哪些是二次函数？（1）02=-x y （2）2)1()2)(2(---+=x x x y（3）xx y 12+=（4）322-+=x x y 2.二次函数的图象开口方向, 顶点坐标是, 对称轴是； 3.当k 为何值时, 函数为二次函数？ 画出其函数的图象.3.函数, 当为时, 函数的最大值是；4、二次函数, 当时, ;且随的增大而减小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式, 则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A.B 两点, 则AB 的长为_________..8.抛物线y=x2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数的对称轴是.10二次函数的图象的顶点是, 当x 时, y 随x 的增大而减小.11抛物线的顶点横坐标是-2, 则=.12、抛物线的顶点是, 则、c 的值是多少？（１） 13. 已知抛物线y=﹣x －３x －（２） 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（３） 求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标；（４） 画出草图观察草图, 指出x 为何值时, y ＞0,y ＝0,y ＜0.14.（2010年宁波市）如图, 已知二次函数的图象经过A（2, 0）、B（0, －6）两点。
决胜中考：二次函数的知识点详解，是冲刺中考必须掌握要点
决胜中考：二次函数的知识点详解，是冲刺中考必须掌握要点前面已经将二次函数的概念、定义、最简二次函数以及最简二次函数经过上下、左右平移而得到的新的函数关系式。
中考生们应该熟练掌握二次函数基础知识，是冲刺中考的前提和保障。
网络图片一，二次函数y=a(x+h)²+k的图像和性质1.二次函数y=a(x+h)²+k的图像是一条抛物线，它的顶点是（-h，k) 对称轴是x=-h当a＞0时，图像开口向上，有最低点，即顶点是（-h，k) 当x=-h时，y有最小值为k；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。
当a＜0时，图像开口向下，有最高点，即顶点是（-h，k) 当x=-h时，y有最大值为k；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。
2.抛物线y=a(x+h)²+k与y=ax²的关系抛物线y=a(x+h)²+k可由抛物线y=ax²平移得到，它们的形状相同，位置不同。
把y=ax²的图像先沿着x轴向左（或向右）平移|h|个单位后，得到y=a(x±h)²的图像；再沿着y轴向上（或向下）平移|k|个单位，得到y=a(x±h)²+k的图像。
例如y=3(x-2)²+1的图像是由抛物线y=3x²向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的。
注意：y=ax²上、下平移后得到y=ax²±k的规律是“上加下减”y=ax²左、右平移后得到y=a(x±h)²的规律是“左加右减”3.由于从y=a(x+h)²+k（a≠0）中，可直接看出抛物线的顶点坐标，所以把y=a(x+h)²+k（a≠0）叫做二次函数的顶点式；把y=ax²+bx+c（a≠0）叫做二次函数的一般式。
二次函数知识点总结归纳及考查重点与常见题型
二次函数知识点归纳及考查重点与常见题型一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y a x b x c=++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y a x b x c=++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y a x c =+的性质：上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y ax h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y ax h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或mc bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或cm x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y ax h k =-+与2y a x b x c =++的比较 从解析式上看，()2y ax h k =-+与2y a x b x c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b a c b y a xa a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b a c b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y a x b x c=++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y a x b x c =++化为顶点式2()y a x h k=-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y a x b x c=++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b a c b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b a c b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y a x b x c=++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a xxxx =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y a x b x c=++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c=++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c=---； ()2y ax h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y ax h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c=++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c=-+； ()2y ax h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y ax h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y a x b x c=-+-；()2y ax h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y ax h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by a x b x c a=--+-； ()2y ax h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y ax h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y ax h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20a x b x c ++=是二次函数2y a x b x c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b a c ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A xB x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200a x b xc a ++=≠的两根．这两点间的距离21A B x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y a x b x c=++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y a x b x c=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)a xb xc a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：2y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
[精]中考数学考点专题-二次函数
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中考数学考点专题-二次函数二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
抛物线叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质（1）对称轴：（2）顶点坐标：（3）与y轴交点坐标（0，c）（4）增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式。
（1）一般式y=ax2 +bx+c(a≠0).已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
（3）交点式已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c的符号（1）a 确定开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
（2）b ——对称轴与a 左同右异。
（3）抛物线与y轴交点坐标（0，c）5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。
抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0 >0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。
6．函数平移规律：左加右减、上加下减.图像平移步骤（1）配方为：，确定顶点（h,k）（2）对x轴，左加右减；对y轴，上加下减。
7.二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等，那么对称轴【例题1】（2019湖北荆州）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．【答案】7【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．【例题2】（2019广西贺州）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③；④当时，，正确的是（填写序号）．【答案】①③④【解析】根据图象可得：，，对称轴：，，，，，故①正确；把代入函数关系式中得：，由抛物线的对称轴是直线，且过点，可得当时，，，故②错误；，，即：，故③正确；由图形可以直接看出④正确．故答案为：①③④．【例题3】（2019贵州省毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元【答案】见解析。
中考数学复习二次函数知识点总结
中考数学复习二次函数知识点总结二次函数是中学数学中的重要内容，也是考试中常见的题型之一、在复习二次函数时，需要掌握其基本概念、性质、图像和应用等方面的知识。
下面是关于二次函数的知识点总结。
一、基本概念1.二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a为二次函数的二次系数。
2.二次函数的导数与二次系数的关系二次函数的导数为一次函数，二次系数a决定了导数的单调性，当a>0时，导数在整个定义域上单调递增；当a<0时，导数在整个定义域上单调递减。
3.二次函数的对称轴二次函数的对称轴是二次函数的图像关于该轴对称的直线。
对称轴的方程为x=-b/2a，其中a、b是二次函数的系数。
4.二次函数的顶点二次函数的顶点是二次函数的图像的最低点或最高点，对称轴上的点。
顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为代入对称轴横坐标得到的纵坐标。
二、性质1.零点性质二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的零点是方程ax²+bx+c=0的解，当方程有解时，二次函数与x轴交于两点，也可能与x轴重合。
2.二次函数图像的开口方向当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3.二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
4.判别式二次函数方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac可以判断二次函数方程的解的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解。
三、图像1.开口向上的二次函数图像特点开口向上的二次函数图像在顶点处为最小值，两侧递增；对称轴为y 轴且在第四象限，二次系数a为正数。
2.开口向下的二次函数图像特点开口向下的二次函数图像在顶点处为最大值，两侧递减；对称轴为y 轴且在第一象限，二次系数a为负数。
2024年中考数学二次函数知识点
数学中的二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a不等于0。
二次函数在中考数学中占有重要的地位，下面将介绍一些与二次函数相关的重要知识点。
一、二次函数的图象：1. 定义：二次函数的图象是平面直角坐标系中所有满足函数的方程y=ax^2+bx+c的点的集合。
2.图象的开口方向：若a>0，则图象开口向上；若a<0，则图象开口向下。
3.对称轴：二次函数的图象关于直线x=-b/2a对称。
4.最值点：若a>0，则二次函数图象的最值点为最低点；若a<0，则二次函数图象的最值点为最高点。
二、二次函数的标准型：1. 定义：形式为y=ax^2+bx+c的二次函数可以化为标准型y=a(x-p)^2+q。
2.a的取值规律：若a>0，则a决定图象开口的方向及函数图象的最小值；若a<0，则a决定图象开口的方向及函数图象的最大值。
3.p的取值规律：p=a/24.q的取值规律：若a>0，则q为函数图象的最小值；若a<0，则q 为函数图象的最大值。
三、二次函数的零点：1. 定义：对于二次函数y=ax^2+bx+c，使得y=0的x的值称为二次函数的零点。
2.求解方法：可以使用因式分解、配方法或求根公式等方式来求解二次函数的零点。
四、二次函数的图象和系数之间的关系：1.a与图象的关系：a的绝对值决定了图象的开口大小，a越大时图象越瘦长。
2.b与图象的关系：b的绝对值决定了图象关于y轴的位置，b越大时图象向左或向右移动得越多。
3.c与图象的关系：c的取值决定了图象关于y轴的上下平移。
五、二次函数图象的平移：1.向上或向下平移：将函数图象向上或向下平移k个单位，可通过在函数中加上或减去k来实现。
2.向左或向右平移：将函数图象向左或向右平移h个单位，可通过将自变量x替换为x-h来实现。
六、二次函数的性质：1. 零点的性质：若二次函数y=ax^2+bx+c有两个不同零点，则对应方程ax^2+bx+c=0有两个不同实数根；若有一个重根，则对应方程ax^2+bx+c=0有一个唯一实数根；若无根，则对应方程ax^2+bx+c=0无实数根。
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数是初中数学中的一个重要内容，下面是关于二次函数的最全的中考知识点总结：1. 定义：二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c （a≠0）的函数，其中a、b、c是实数，并且a不等于0。
2.图像特征：a)抛物线的开口方向与a的正负有关，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
b)顶点是抛物线的最高点或最低点，横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
c)轴对称性：抛物线关于顶点对称。
d)零点是使f(x)=0的x值，可以通过解一元二次方程来求得。
3. 判别式：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，判别式 D =b^2 - 4ac 是一个重要的指标，它可以告诉我们方程的解的情况。
a)当D>0时，方程有两个不相等的实数解。
b)当D=0时，方程有两个相等的实数解。
c)当D<0时，方程无实数解。
4.数轴上的二次函数图像和解的关系：a)当a>0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。
b)当a<0时，函数图像与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数解。
c)当抛物线与x轴相切时，对应方程有一个重根。
d)当抛物线与x轴没有交点时，对应方程无实数解。
5.平移：a) 左移和右移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将x的值替换成 x-h 时（h>0），抛物线将向右移动h个单位；当将x的值替换成 x+h 时，抛物线将向左移动h个单位。
b) 上移和下移：对于函数 f(x) = ax^2 + bx + c，当将f(x)的值替换成 f(x)+k 时（k>0），抛物线将向上移动k个单位；当将f(x)的值替换成 f(x)-k 时，抛物线将向下移动k个单位。
6.直线与抛物线的交点：a)当直线与抛物线相交时，方程的解就是交点的横坐标。
b)如果直线与抛物线有两个交点，则方程有两个实数解。
中考数学复习二次函数知识点
中考数学复习二次函数知识点二次函数是数学中的重要概念，它在高中数学以及各类数学竞赛中都有广泛的应用。
了解和掌握二次函数的知识点对于中考数学复习非常重要。
以下是关于二次函数的知识点的详细介绍：一、二次函数的定义和基本形式二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c是实数且a ≠ 0。
其中，a 称为二次函数的二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。
二次函数的图像是一个拱形，开口的方向由二次项系数a的正负决定，当a>0时，图像开口朝上；当a<0时，图像开口朝下。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，它的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=f(-b/2a)。
顶点是对称轴x=-b/2a上的一个点，它将图像分为两部分。
三、二次函数的轴对称性二次函数的图像关于对称轴x=-b/2a对称，即对称轴左侧和右侧的部分是相同的。
四、二次函数的平移与伸缩在二次函数的基本形式上，通过变换可以得到平移和伸缩后的二次函数。
(1) 平移：将二次函数的图像沿着 x 轴或 y 轴平移。
在标准的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 上平移 h 个单位，得到 f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c。
(2) 伸缩：将二次函数的图像横向或纵向拉长或缩短。
在标准的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 上横向伸缩为 y = a(x-h)^2 + k。
五、二次函数的解析式二次函数的解析式是对二次函数 y = ax^2 + bx + c 进行化简得到的表达式。
(1) 一般形式：y = ax^2 + bx + c(2)顶点式：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是函数的顶点坐标。
(3)因式分解式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是函数的零点或根。
(4)标准式：y=a(x-p)(x-q)，其中p和q是函数的零点或根。
2024年中考数学二次函数知识点
一、基本概念二次函数是指函数$f(x)=ax^2+bx+c$的形式，其中$a$、$b$、$c$为常数且$a\neq0$。
二次函数是一个关于$x$的二次多项式，其中最高次幂为2二、二次函数图像的特征1.凹凸性：当$a>0$时，二次函数图像开口向上，称为正定二次函数；当$a<0$时，二次函数图像开口向下，称为负定二次函数。
2. 对称轴：二次函数图像关于$y$轴对称，对称轴方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
3. 判别式：对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，判别式$D=b^2-4ac$决定了该二次函数的图像与$x$轴的交点个数和位置。
（1）若$D>0$，则二次函数的图像与$x$轴有两个交点；（2）若$D=0$，则二次函数的图像与$x$轴有一个交点；（3）若$D<0$，则二次函数的图像与$x$轴无交点。
三、二次函数的平移1.左右平移：设二次函数$f(x)$的图像为$y=f(x-a)$，则$f(x)$的图像向右平移$a$个单位，设二次函数$f(x)$的图像为$y=f(x+a)$，则$f(x)$的图像向左平移$a$个单位。
2.上下平移：设二次函数$f(x)$的图像为$y=f(x)+a$，则$f(x)$的图像向上平移$a$个单位，设二次函数$f(x)$的图像为$y=f(x)-a$，则$f(x)$的图像向下平移$a$个单位。
四、二次函数的性质1.零点与因式分解：若二次函数$f(x)$的零点为$x_1$和$x_2$，则$f(x)$可以因式分解为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$。
2.最值点：对于开口向上的二次函数，其最小值为顶点，最大值则为无穷大；对于开口向下的二次函数，其最大值为顶点，最小值则为无穷小。
3. 范围与值域：若$a>0$，则二次函数$f(x)$的值域为$[k,+\infty)$，其中$k$为$f(x)$的最小值；若$a<0$，则二次函数$f(x)$的值域为$(-\infty,k]$，其中$k$为$f(x)$的最大值。
中考数学必考题讲解 二次函数
中考数学必考题讲解二次函数
二次函数是中考数学中必考的重点内容之一。
本文将对二次函数的基本概念、性质以及解题方法进行详细讲解，帮助学生在中考中取得优异的成绩。
首先，我们来了解一下二次函数的基本概念。
二次函数是指函数
y=ax+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，a决定了二次函数
的开口方向和大小，b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次
函数的纵轴截距。
接下来，我们来看一些二次函数的性质。
首先，二次函数的图像为一条开口向上或向下的抛物线。
其次，二次函数的对称轴为x=-b/2a，对称轴上的点为顶点，顶点的纵坐标为c-b/4a。
最后，当a>0时，
二次函数的最小值为c-b/4a；当a<0时，二次函数的最大值为c-b/4a。
最后，我们来讲解一些解题方法。
首先，如果已知二次函数的顶点和一个点，可以利用顶点公式和函数值相等的性质求出a、b、c的值。
其次，如果已知二次函数的两个点，可以利用函数值相等和斜率相等的性质求出a、b、c的值。
最后，如果已知二次函数的图像和一些特定点，可以利用函数值相等和联立方程的方法求出a、b、c的值。
综上所述，二次函数是中考数学中非常重要的内容，学生一定要掌握好其基本概念、性质和解题方法，才能在中考中取得好成绩。
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三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），
b
4ac − b2
即当 x = − 2a 时， y最值 = 4a 。
b 如果自变量的取值范围是 x1 ≤ x ≤ x2 ，那么，首先要看 − 2a 是否在自变量取值范围
x1
≤ x ≤ x2 内，若在此范围内，则当
四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
、 、 2、二次函数 y = ax2 + bx + c(a,b, c是常数，a ≠ 0) 中， a b c 的含义：
a 表示开口方向： a >0 时，抛物线开口向上, a <0 时，抛物线开口向下 b 与对称轴有关：对称轴为 x= − b
2a c 表示抛物线与 y 轴的交点坐标：（0， c ）
考点:二次函数的性质. 【点睛】根据二次函数的性质解决即可． 【举一反三】
3 / 19
（2016
广东广州第
9
题）对于二次函数
y
=
−
1
2
x
+
x
−
4 ,下列说法正确的是（
）
4
A、当 x>0，y 随 x 的增大而增大
B、当 x=2 时，y 有最大值－3
C、图像的顶点坐标为（－2，－7） D、图像与 x 轴有两个交点
中考数学考点知识与题型专题讲解
聚焦考点☆温习理解
专题 24 二次函数
一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果 y = ax2 + bx + c(a,b, c是常数，a ≠ 0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数。 y = ax2 + bx + c(a,b, c是常数，a ≠ 0) 叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于 x = − b 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用
在 y 轴上：
．
【答案】 y = x2 （答案不唯一）．
【解析】 试题分析：由题意可得： y = x2 （答案不唯一）．故答案为： y = x2 （答案不唯一，只 要 y = ax2 + bx + c 中 a≠0，b=0 即可）．
考点：二次函数的性质；开放型．
考点典例三、二次函数的最值
2
【例 3 】（2016 黑龙江哈尔滨第 16 题）二次函 数 y=2（ x﹣ 3 ） ﹣ 4 的最 小值
【答案】B.
【解析】
试题分析：二次函数
y
=
−
1
2
xHale Waihona Puke +x−
4
=
−
1
(x
− 2)2
−
3,所以二次函数的开口向下，当
x
4
4
＜2，y 随 x 的增大而增大，选项 A 错误；当 x=2 时，取得最大值，最大值为－3,选项
B 正确；顶点坐标为（2，-3），选项 C 错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可
得抛物线与 x 轴没有交点，选项 D 错误，故答案选 B.
考点：二次函数的性质.
考点典例二、二次函数的解析式
2
【例 2】如图，二次函数 y=x +bx+c 的图象过点 B（0，﹣2）．它与反比例函数 y=﹣ 的
图象交于点 A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
2
2
A．y=x ﹣x﹣2 B．y=x ﹣x+2
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（3）当抛物线 y = ax2 + bx + c 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程 ax 2 + bx + c = 0 有实根 x1 和 x2 存在时，根据二次三项式的分解因式 ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) ，二 次函数 y = ax 2 + bx + c 可转化为两根式 y = a(x − x1 )(x − x2 ) 。如果没有交点，则不能这 样表示。
【答案】A．
【解析】
2
C．y=x +x﹣2
2
D．y=x +x+2
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故选 A．
【点晴】先根据 A 在反比例函数图象上，求出 m 的值，再把 A、B 点坐标代入二次函数
2
y=x +bx+c 中，求出 b、c 的值即可.
【举一反三】
（2016 福建南平第 14 题）写出一个 y 关于 x 的二次函数的解析式，且它的图象的顶点
虚线画出对称轴 （2）求抛物线 y = ax2 + bx + c 与坐标轴的交点： 当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再
找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就 得到二次函数的图像。 二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式： y = ax2 + bx + c(a,b, c是常数，a ≠ 0) （2）顶点式： y = a(x − h)2 + k(a, h, k是常数，a ≠ 0)
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。
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因此一元二次方程中的 ∆ = b2 − 4ac ，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。 当 ∆ >0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 ∆ =0 时，图像与 x 轴有一个交点；当 ∆ <0 时， 图像与 x 轴没有交点。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、二次函数的图象 【例 1】（2016 浙江宁波第 11 题）已知函数 y = ax 2 − 2ax −1（ a 是常数，a ≠0），下列 结论正确的是 A. 当 a = 1 时，函数图象过点（-1，1） B. 当 a = −2 时，函数图象与 x 轴没有交点 C. 若 a > 0 ，则当 x ≥ 1时， y 随 x 的增大而减小 D. 若 a < 0 ，则当 x ≤ 1时， y 随 x 的增大而增大 【答案】D. 【解析】
x=
−
b 2a
时，
y最值
=
4ac − b2 4a
；若不在此范围内，
则需要考虑函数在 x1 ≤ x ≤ x2 范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，
则当 x = x2 时， y最大 = ax22 + bx2 + c ，当 x = x1 时， y最小 = ax12 + bx1 + c ；如果在此范围 内 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 则 当 x = x1 时 ， y最大 = ax12 + bx1 + c ， 当 x = x2 时 ， y最小 = ax22 + bx2 + c 。