第3章03龙格-库塔方法

hy(xn )
1 2
h2 y(xn )
O(h3 )
比较，要使局部截断误差
y( xn1 ) yn1 O(h3 )
从而有构造二阶龙格-库塔方法所需条件为：
p 1
2
p 1/ 2 为不定方程，有无穷多个解，对应一族二阶龙格-库塔格式。
yn
1
yn h[(1 )k1
k1 f ( xn , yn )
提供 y(xn p ) 的预报值 yn p ，有 yn p yn phk1 ，因此 k2 f (xn p , yn p ) f (xn ph, yn phk1)
这样有计算公式：
yn1 yn h[(1 )k1 k2 )
k1 f (xn , yn ), k2 f (xn ph, yn phk1)
k2 ]
k2 f ( xn ph, yn ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱphk1)
如：（1）取 p 1, 1 ，得
2
yn1
yn
h 2
(k1
k2 )
k1 f (xn , yn )
k2 f (xn h, yn hk1)
这就是改进的欧拉格式。
（2）取 p 1 , 1，得
2
yn1
yn
hk2
k1 f (xn , yn )
第三章 常微分方程的差分方法
3.1 欧拉方法 3.2 改进的欧拉方法 3.3 龙格-库塔方法 3.4 亚当姆斯方法 3.5 收敛性与稳定性 3.6 方程组和高阶方程的情形 3.7 边值问题
3.3 龙格-库塔(Runge-Kutta)方法 3.3.1 龙格-库塔方法的设计思想 3.3.2 二阶龙格-库塔方法 3.3.3 三阶龙格-库塔方法 3.3.4 四阶龙格-库塔方法 3.3.5 变步长的龙格-库塔方法
3.3.2 二阶龙格-库塔方法 考察[xn , xn1] 内一点 xn p xn ph ，其中 0 p 1
用 xn , xn p 点的斜率 k1, k2 加权平均，得平均斜率，即
yn1 yn h[(1 )k1 k2 ] 式中 为待定系数。取 k1 f (xn , yn ) ，k2 f (xn p , yn p ) ，先用欧拉法
(k1
k2 )
，而
xn1 处的斜率值
k2
则通过已知信息
yn
来预测。
龙格-库塔方法的设计思想
利用 f (x, y) 在某些点的函数值的线性组合构造公 式，得到 y(xn1) 的近似值 yn1 ，增加调用 f (x, y) 的次数， 可提高精度的阶数。
设法在[xn , xn1] 这一步内多预报几个点的斜率，然后 将其加权平均，作为平均斜率，则可构造出具有更高精 度的计算公式。
为 进 一 步 提 高 精 度 ， 在 [xn , xn1] 内 除 点 xn p 外 再 增 加 一 点 xnq xn qh ， 其 中 p q 1 ， 用 三 个 点 xn , xn p , xnq 的 斜 率 k1, k2 , k3 加权平均，得平均斜率，即
yn1 yn h[(1 )k1 k2 k3 ] 式中 , 为待定系数。
k2
f
( xn
h 2 , yn
h 2 k1)
该公式称为变形的欧拉格式（或中点格式）。
（3）取 p 2 , 3 ，得
34
yn1
yn
1 4
h(k1
3k2 )
k1 f ( xn , yn )
k2
f (xn
2 3
h,
yn
2 3
hk1
)
这就是休恩(Heun)公式。
3.3.3 三阶龙格-库塔方法
p, q, , , ，使 yn1 yn h[(1 )k1 k2 k3 ] 具有三阶精
度，得到一族三阶龙格-库塔格式。
如当 p 1 , q 1, 4 , 1 , 2 时，其中的一种为：
取 k1 f (xn , yn ) ， k2 f ( xn p , yn phk1 ) ，用 k1, k2 的加权平均 得出 [xn , xnq ] 上的平均斜率，从而得到 y(xnq ) 的预报值 ynq ，有 ynq yn qh[(1 )k1 k2 ]
再通过计算 f 得到 k3 f (xnq , ynq ) ，运用泰勒展开方法选择参数
调用 2 次函数。有 2 阶精度。
龙格-库塔方法的设计思想
将改进欧拉法（预报-校正公式）改写成平均化的形式
yn1
yn
h 2
(k1
k2 )
k1 f (xn , yn ), k2 f (xn1, yn hk1)
用 xn 与 xn1 两个点的斜率值 k1 与 k2 取算术平均作为平均斜率
k*
1 2
其中含有两个待定参数，选取合适的值，使公式有高的精度。
仍假定 yn y(xn ) ，则有： k1 f (xn , yn ) y(xn ) ，
并将 k2 在(xn,yn)处进行二元泰勒展开，有：
k2 f (xn ph, yn phk1) f (xn , yn ) ph[ fx (xn , yn ) f (xn , yn ) f y (xn , yn )] O(h2 ) y(xn ) phy(xn ) O(h2 )
这时，有
yn1 yn h[(1 )k1 k2 ] y( xn ) hy'( xn ) ph2 y"( xn ) O(h3 )
根据局部截断误差的定义：
由 yn1 y(xn ) hy(xn ) ph2 y(xn ) O(h3)
和 y(xn1) 的泰勒展开式
y( xn1 )
y(xn )
龙格-库塔方法的设计思想
对一阶常微分方程初值问题
y f (x, y)
y
(
x0
)
y0
改进欧拉法，预报-校正公式
y
n+1
yn
h
f
(xn ,
yn )
h
yn1 yn 2 [ f (xn , yn ) f (xn1, yn+1)]
写成
yn1
yn
h 2
(k1
k2 )
k1 f (xn , yn ), k2 f (xn h, yn hk1)
3.3 龙格-库塔（Runge-Kutta)法
3.3.1 龙格-库塔方法的设计思想
对一阶常微分方程初值问题
y y
(
x0
f )
(x, y y0
)
，
欧拉公式 yn1 yn hf (xn , yn ) ，
写成
yn1 k1
f
yn hk1 (xn , yn )
，
调用 1 次函数。有 1 阶精度。