6第六章 静电场解析

即在远离环心的地方,带电环的场强可视为电
荷全部集中在环心处所产生的场强.
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例4 求均匀带电圆盘轴线上一点的场强。 E x q R 设圆盘带电量为 ，半径为 。 dE P 解 带电圆盘可看成是由许多同心的圆环
组成，取一半径为r，宽度为dr 的细 圆环带的电量为 dq 2πr dr
第六章
静电场
1
第六章 静电场
6-0 6-1 第六章教学基本要求 电场强度
6-2
6-3
高斯定理
电势
6-4 4-0 静电场中的导体和电介质 第四章教学基本要求 6-5 4-0 电容 第四章教学基本要求 电场的能量
教学基本要求
一 、掌握静电场的电场强度概念和电场强度叠加原理. 二、了解用电场线形象描述静电场强分布的方法，理解真 空中静电场高斯定理的内容和用高斯定理求场强分布的条件和 方法. 三、理解静电场环路定理的内容. 四、掌握静电场的电势概念和叠加原理.
dq
y
q R
o
r
z
x

P

x
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由对称性有 E E i x
E dEx
l l
d l x dE cos 2 4 π 0 r r

2π R
0
qx xdl 2 2 32 3 4π 0 (x R ) 4π 0r
E q 4π 0 x
2
若 x R,
Q
q0 F
9
由电场定义知，电场中某点的电场强度为一个矢量， 其大小等于单位正电荷在该点所受电场力的大小，方向 为单位正电荷在该点所受力的方向.
电荷 q 在电场中受的静电力
q 为正， F 与 E 同向； q 为负， F 与 E 反向. F 1 Q 3.点电荷的场强分布 E e 2 r q0 4 π 0 r
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6-2 高斯定理
预习要点 1. 引入电场线的意义是什么? 电场线有哪些性质? 2. 领会电场强度通量这个概念及计算公式. 3. 高斯定理的内容是什么? 其数学表达式如何? 高斯定 理反映静电场具有什么性质?
4. 如何应用高斯定理计算某些特殊分布电荷的场强度?
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一、电场线
1.定义: 为形象描绘静电场而引入的一组空间曲线. 规定 EB EA 电场线方向：曲线上每一点 B A 切线方向为该点电场方向； 电场线密度：垂直于 E 的单位面积的电场线的数 目，大小等于 E . dψ E dψ E
E
E
Q
E

y
l
E E x E x E cos E cos
cos l /{2 y 2 (l / 2) 2 }
q
q
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，代入上式
电偶极子的轴，定义电偶极矩为 P ql
用 l 表示从 q到 q 的矢量，称为
y l y 2 l 2 / 4 y3 p E 3 4π 0 y
通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面 的电场强度通量.
dψ EdS EdS cos E dS
dψ
dS
en
dS

dψ E cosdS
s
闭合曲面的电场强度通量

E
ψ E dS E cos dS
S S
闭合曲面法向正向规定自内向外，因此穿入的电 通量为负，穿出的电通量为正.
q
P
dE
合场强为 电荷体分布
电荷面分布
电荷线分布
dq ρdV ρ 为电荷分布的体密度 dq dS σ为电荷分布的面密度 dq λdl λ 为电荷分布的线密度
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1 dqer E dE 2 4 π 0 r
例1 求两个相距为l，等量异号点电荷的中垂线上任 一点Q处的电场强度。 当r >>l时，由一对电量相等、符号相反的点电荷 所组成的系统称为电偶极子（electric dipole）。 解 建立如右图的坐标系 1 q E E 2 2 4π 0 y (l / 2) Q点的场强 E 其y分量为零，x 分量 是 E 和 E 在x方向分量的代数和
e 1.60210 C
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6
二、库仑定律
真空中两个静止的点电荷 q 1 和 q 2 之间的作用力的 大小与这两个电荷所带电荷量的乘积成正比，与它们 之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着这两个点 电荷的连线，同号电荷相斥，异号电荷相吸.
q1q2 F21 k 2 e21 F12 q 1 r
因而可将电子、质子看成点电荷。
电子与质子之间静电力（库仑力）为吸引力
2 e FE
4 0 R 2
8.2 10 8 (牛）
电子与质子之间的万有引力为
忽略！
FE FG 2.3 10 39
8
FG GmM
R
47 3 . 6 10 N 2
所以库仑力与万有引力数值之比为
三、电场和电场强度
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(2）通过高斯面S的 E 通量只与S面内的电荷有关，与S
面外的电荷无关.
(3）高斯面内有多余正电荷，必有E 线穿出；有多余负 电荷，必有E 线穿入，正电荷为场的源头，负电荷为场
的尾闾，即静电场是有源场.
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四、应用高斯定理计算电场
1.用高斯定理求解静电场的条件 静电场具有球对称、轴对称或面对称等特殊对称 性， E 可从积分号内提出，变积分方程为代数方程.
E
Q
F qE
E
Q
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四、场强叠加原理
点电荷 qi 对 q0 的作用力
q1 q2 q3
Fi
由力的叠加原理得 q0 所受合力 F Fi i Fi F q 故 0 处总电场强度 E q0 i q0
电场强度的叠加原理
1 qi q0 ei 2 4 πε0 ri
3/ 2
1 ql E | Ex | 2 2 3/ 2 4π 0 ( y l / 4)
E
E
Q
E
r
l
P e
q
q
结论：电偶极子中垂线上 距离中心较远处一点的
场强，与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心的 距离的三次方成反比，方向与电矩方向相反。
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例 2 ：均匀带电直线长为 2 l ，所带电荷量 q , 求中垂线 上一点的电场强度. 解: 电荷线密度
l E 1/ 2 2 2 2π 0 xx l
若 l ,
(无限长均匀带电直线) E 2π 0 x
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例3: 正电荷q 均匀分布在半径为 R 的圆环上.计算在环 的轴线上任一点 P的电场强度. 解
dq λdl
dE
q λ 2 πR
1 λdl er 2 4 π 0 r
有导体存在时静电场的分析与计算方法.
十、了解介质的极化现象及其微观解释，了解均匀介质极 化对场强分布的影响. *十一 、了解电位移矢量的概念，了解均匀介质中电位移矢 量与电场强度矢量的关系，了解介质中高斯定理的内容. 十二 、了解电容器和电容的概念，了解计算平行板、圆柱 形和球形电容器电容的公式. 十三 、了解电容器的储能公式，了解电场能量密度的概念， 了解利用电场能量密度计算电场能量的方法.
er2 er3
er1
q0
F3 F2
F1
E Ei
i
11
1. 点电荷系的合场强 2. 电荷连续分布
n E i 1
1 qi e 2 ri 4 π 0 ri
er
电荷元的元场强：
dE
1 dq e 2 r 4 π 0 r
d q

R
dE
dqx 4π 0 (r x )
2 2 3 2
r
dq
x R rdr E x ( P) 3 0 2 2 2 0 (r x ) 2 x [1 ] 1 2 0 (R2 x2 ) 2
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讨论：1. 当 x R
E 2 0
πR q E 2 2 4π 0 x 4π 0 x
五、了解用等势面形象描述静电场电势和场强分布的方法.
*六、了解场强与电势的微分关系. 七、能计算简单问题中的场强分布和电势分布. 八、了解电偶极矩的概念，能计算电偶极子在均匀电场中 所受的力和力矩.
3
教学基本要求（续）
九、了解静电感应现象，了解导体静电平衡条件，了解静 电平衡时导体上的电荷分布和导体表面附近的场强分布，了解
2
相当于无限大带电平面附近的电场，可看成是均匀场， 场强垂直于板面，正负由电荷的符号决定。 2. 当
x R
在远离带电圆面处，相当于点电荷的场强。 [附录]泰勒展开：
x (R x )
2 2 1 2
R 2 12 1 R 2 (1 2 ) 1 ( ) x 2 x
2.用高斯定理求解静电场的步骤
(1).场对称性分析.
(2).选取高斯面.
(3).确定面内电荷代数和 q .
(4).应用定理列方程求解.
q E dS
S
0
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例: 一半径为 R , 均匀带电 Q 的薄球壳. 求球壳内外任 意点的电场强度. 解: 电场分布具有球对称，选同心球面为高斯面
dS 2.电场线特性 (1 ）始于正电荷 ( 或来自无穷远 ), 止于负电荷 ( 或伸向 无穷远). (2）在没有点电荷的空间里，任何两条电场 线不相交. (3）静电场电场线不闭合. 22
dS
+
+
一对等量正点电荷的电场线
+ + + + + + + + +
带电平行板电容器的电场线
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二、电场强度通量
l
x cos r 2 2 1/2 r (x y ) l 1 dq x E 2 0 4π r 2 r 0
l
y
l
dq
dy
xdy d q ' 2 0 4 π ( x 2 y 2 )3 / 2 0
l
查积分表
y o x
r
dEy '
dE '
dEx ' x Ex d dE dEy
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三、高斯定理
在真空中, 通过任一闭合曲面的电场强度通量, 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 .
1 Ψ E dS
S
0
q
i 1
n
i
高斯定理的导出
库仑定律 电场强度叠加原理
注意
(1） E 为高斯面上某点的场强，是由空间所有电荷产生
的，与面内面外电荷都有关.
1 k 4π 0
r
e21
来自百度文库
q2
F21
真空中的电容率 0 8 .85 10 12 C 2 N 1 m 2
7
例：在氢原子中，电子与质子的距离为5.310-11米，试求 静电力及万有引力，并比较这两个力的数量关系。 解：由于电子与质子之间距离约为它们自身直径的105倍，
（1）球壳内 0 r
E dS 0
S1
R E0
r
s2
（2）球壳外
rR
0
+ + +
S + +1
4
6-1 电场强度
预习要点 1. 认识物质的电结构和电荷守恒定律. 2. 初步了解真空中库仑定律及其矢量表达式. 3. 领会电场的概念和电场强度的定义. 4. 点电荷电场强度分布的规律如何？
5. 什么是电场叠加原理，怎样应用它求电场强度分布?
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一、电荷
1.电荷是一种物质属性，源于原子的电结构. 电荷有两类，正电荷、负电荷. 2.电荷性质 同性相斥、异性相吸. 3.电荷守恒定律 电荷不能创造，也不会自行消失，只能从一个 物体转移到另一个物体，在整个过程中电荷的代数 和守恒. 4.电荷量子化 物体所带电荷量都是元电荷的整数倍. 电荷的这 种特性叫电荷的量子性. 电荷的基本单元就是一个电子所带电荷量的绝对值.
y
l
dq
q dq dy 2l
dE 1 dq e 2 r 4π 0 r
2 x
dy
由场对称性, Ey=0
y o x
dq '
r
dEy '
dE '
dEx ' x Ex d
E E E Ex
2 y
l
dEy
dE
E dEx dE cos
l
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1. 电场：任何电荷都将在自己周围的空间激发电场， 电场对处于其中的任何电荷都有力（称电场力）的作 用，即电荷之间的作用力是通过场来传递的. 电 场 电荷
电荷
2. 电场强度: 是从力的方面描写电场性质的物理量. 设场源电荷为Q，检验电荷q0在某场点处受电场力为F 定义电场强度:
F E q0