第六章静电场

解：由对称性分析可知，带电板的中平面上 E = 0 。 ①当场点 P 在板内时，取一高斯面 S，其一个底面在中平面上（ E = 0 ），另一底面 平行板面且过 P 点，面积为△S，侧面垂直板面由于板内电 场平行侧面，所以
∫ E ⋅ ds = EΔS
S
S
ΔS
∑ qi = ΔS ⋅ r ⋅ ρ ，
由高斯定理 EΔS =
(
)
根据量子理论，氢原子中心是一个带正电 e 的原子核（可看作点电荷），外面
是带负电的电子云，在正常状态（核外电子处在 S 态）下，电子云的电荷体密度分布是球 对称的，但与 r 的关系是 ρ (r ) = − e e − 2 r / a0 。 3 πa 0 式中 a0 是一个常数（称玻尔半径），求原子内的电场分布。 解：在离球心为 r 处作一半径为 r 的球形高斯面
dθ
由对称性 X 方向合场强抵消。
σ sin θ dE y = dE sin θ = dθ 2πε 0
∴ E = Ey = ∫
6-8
π
0
θ
x y
σ σ sin θdθ = πε 0 2πε 0
一半径为 R 的细导线环， 带有电量 q， 在环的轴线上放置一根很长的均匀带电细
线，一端与环心 O 重合，线电荷密度为 λ，求圆环和细线相互作用力。 解：带电圆环轴线上离环心 O 距离为 X 处的电场强 度E =
∫ E ⋅ ds = 2πrhE = ε
②当 r>R2 时
1
0
πr 2 hρ ，所以 E =
ρr 2ε 0
R2ρ ∫ E ⋅ ds = 2πrh ⋅ E = ε 0 πR h ⋅ ρ ，所以 E = 2ε 0 r 1
2
6-15
设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示 ρ0 ρ (r ) =
6-13 如图所示，球形区域 a＜r＜b 单位体积具有电荷 ρ = A / r ，其中 A 为常数，在
封闭的空腔中心（r=0）有一点电荷 Q，A 为何值时才能使 a＜r＜b 区域中电场大小具有恒 定值？ 解：由高斯定理：（取球形闭合曲面）
∫ E ⋅ ds = 4πr
=
2
E=
r 1 ⎡ Q + ∫ ρ ⋅ 4πγ 2 dr ⎤ ⎥ a ⎣ ⎦ ε0 ⎢
1
3 个电量为－q 的点电荷各放在边长为 r 的三角形的 3 个顶点上。 电荷 Q （Q＞0）
放在三角形的重心上，为使每个负电荷受力为零，Q 值应为多大。 解：任一顶点的负荷受力如图： 由题意要求：
-q
所以有 F3 = − F1 + F2
(
F1 + F2 + F3 = 0 ,
)
∵α=30°，由图 F3=2F2
P
1
ε0
ΔS ⋅ r ⋅ ρ
所以 E =
ρ ⋅r 。 ε0
ΔS ′
r
r
②当场点 P ′ 在板外时，在离中平面为 r ′ 的两侧作底面 积为ΔS′的园柱形高斯面，则
P’ S′
∫ E ⋅ ds = 2 E ⋅ ΔS '
3'
ρd ∑ qi ' = ΔS '⋅r ⋅ ρ ，则由高斯定理 E = 。 2ε 0
E=
则： dφe
q 4πε 0 r 2
，
= E ⋅ ds = Eds cos θ = Eds ⋅
h q h = ⋅ ⋅ 2πpdp ， r 4πε 0 r 2 r
2
由几何关系： r = h sec θ ， p = htgθ ， dp = h sec
θdθ ， 可得
E
dφ e =
q sin θdθ 2ε 0
−11
(c ) ，
由叠加原理： 中心处的电场强度可以看作是整个圆所产生的场强和带电量为 − q ′ 的缝隙电 荷所产生的场强的叠加：
E = E 0 − E q′ = 0 −
6-3
q′ = −0.72v / m ，场强方向指向缝隙。 4πε 0 R 2
若电量 Q 均匀分布在长为 L 的细棒上，求证：
1 （1）在棒的延长线上，离棒中心为 a 处的场强为 E = Q 2 πε 0 4a − L2
Q 。 L
13
dx
L
由于细杆上每一个电荷元在细杆延长线上的一点 P 的场强方向一致，所以 P 处的场强
L Q 1 λ ⋅ dx E = ∫ dE = ∫ 2 = 2 L 4πε (a − x )2 πε 4a − L2 0 0 − 2 （2）在距 O 点 X 处取一电荷元 λdx 在 P 点产生的场强
r
E=
⎡ 4 ⎛ r 2 2r 2 ⎞ −λr 2 ⎤ ⎜ + 2 + 3⎟ + 1 ⎢ 3 ⎜ ⎟e − λ3 ⎥ λ λ λ a ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ 0 ⎣ ⎦ 2 ⎤ ⎞ qe ⎡⎛ ⎜1 − 2 r 2 + 2 r ⎟e − 2 r / a0 ⎥ = 2 ⎢⎜ a0 ⎟ 4πε 0 r ⎣ a0 ⎢⎝ ⎥ ⎠ ⎦ ∑ qi qe = 2 4πε 0 r 4πε 0 r 2
2cm 的缝隙，3.12×10－9C 的正电荷均匀地分布在杆上，求圆心处电场的大小和方向。 解：杆长 l = 2πR − d = 3.12m ，电荷线密度： λ =
q = 1 × 10 −9 c / m ， l
如果是一完整圆环，中心处 E 0 = 0 ， d = 2cm 的缝隙可看作点电荷， 电量 q ′ = λd = 2 × 10
Q Q 2πAa 2 = ，即 A = 时 2 2 r r 2πa 2
17
E=
A Q = 为常量。 2ε 0 4πε 0 a 2
6-14
半径为 R 的无限长直圆柱体，均匀带电，电荷体密度
为 ρ，求电场分布并画出 E-r 曲线。 解：由题意，其场分布具有柱对称性，所以取同轴的圆柱作 为高斯面（高度为 h）。 ①当 r<R1 时
1
4πε 0 R 2 + x 2
(
qx
)
3/ 2
，方向沿 X 轴正方向。
q R dx x
此处取一长为 dx 的带电线元。 该线元受力 dF = dqE =
dq = λdx
⋅
O x
q 4πε 0
(R
x
2
+ x2
)
3/ 2
⋅ λdx ，
方向向右，整根导线受力 F =
∫
∞
0
qλ xdx ⋅ 2 4πε 0 R + x 2
(
)
3/ 2
=
qλ 4πε 0 R
，
15
方向沿 X 轴正方向。 6-9 在点电荷 q 的电场中取半径为 R 的圆面， q 正好在该圆面的轴线上 A 点 （OA=h， 其中 O 为圆面的圆心），求通过此圆面的电通量。 解：在园面上取一米径为 p 宽为 dp 的细园环，面元 ds = 2πpdp 面元上的场强
E+ =
λ λ ， E− = 方向都向右， 2πε 0 x 2πε 0 (a − x )
a λ ⋅ ，方向向右。 2πε 0 x(a − x )
所以：平面上任一点的场强
x a
E = E+ + E− =
（2）带正电的导线在带负电电线出的场强 E + =
λ 2πε 0 a λ2 。 2πε 0 a
带负电的导线单元长度电荷为λ，受到 E+的电场力大小： F = λE + = 6-7
一无限长的半圆柱面，半径为 R，柱面均匀带电，面电荷密度为 σ，试求圆柱轴
线上一点的电场强度。 解：在与 X 轴负方向成θ角处取一宽度为 Rdθ 的狭长条，其线电荷密度 λ = Rdθ ⋅ σ ， 该线电荷载圆柱轴线上一点产生的电场
dE =
λ σRdθ = ， 2πε 0 R 2πε 0 R
dl=Rdθ
∫
E ⋅ ds = 4πr 2 E
∑ qi = qe + ∫ ρ e (r )4πr 2 dr = qe −
r 0
4qe 3 a0
∫
r
0
r 2e
−2 r / ao
dr ，
令
z = λ 可求得： ao
⎛ r 2 2r 2 ⎞ −λr 2 2 −2 r ⎜ r e dr = − ∫0 ⎟e − λ3 ，则有： ⎜ λ + λ 2 + λ3 ⎟ ⎠ ⎝
∫
2
3'
E ⋅ ds = 4πr 2 E =
3
ρ ⎛4 3 4 3⎞ ⎜ πγ − ρR1 ⎟ ε0 ⎝ 3 3 ⎠
ρ
3ε 0 r
(r
3
− R1 。
2
)
③当 r>R2 时 6-12
ρ R2 3 − R13 ρ ⎛4 4 3 3⎞ πR2 − πR1 ⎟ ， 所以 E = 。 ∫ E ⋅ ds = 4πr E = ε 0 ⎜ 3 3ε 0 r 2 ⎠ ⎝3
6-4 一半径为 R 的半细圆环，均匀地分布+Q 电荷，求环心的电场强度大小和方向。 解：过线圆环的中点和园心 O 向右作 X 轴。线电荷密度 λ = 处取 dθ 对应的线元 dl = Rdθ 电荷元 dq = λdl = λRdθ ，产生的电场
Q ，在与 X 轴成 Q 角 πR
dl+ +
dθ
λdl λRdθ dE = = ，由对称性, 2 4πε 0 R 4πε 0 R 2
大小： dE =
λdx
4πε 0 a 2 + x 2
(
)
，
E
dE
dE '
由对称性 dE 的 x 分量叠加后为零。
dE y = dE cos φ =
合场强 E 沿 y 方向