空间几何体的结构特征测试题
高中数学专题17_空间几何体的结构特征、三视图、表面积、体积(有答案)
21届_专题17 空间几何体的结构特征、三视图、表面积、体积一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. （江西赣州摸底）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A. B.C. D.2. （武汉4月调研）某几何体的三视图如下图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A.√3B.√6C.2√3D.2√63. （湖北部分重点中学二联）一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A.16π3B.8π3C.4√3πD.√3π4. （河南豫南九校一联）某空间几何体的三视图如下图所示，均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A.√2+1B.3+√32C.1+√22D.32+√35. （郑州一次质测）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体．《九章算术》中记载“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A.24B.32√5C.64D.32√66. （福建厦门一次质检）如图，某棱锥的正视图和侧视图都是等边三角形，该棱锥的体积为4√33，则该棱锥内切球的表面积是（）A.π3B.2π3C.4π3D.8π37. （长春质测二）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为（）A.2B.√5C.2√2D.38. （西安中学四模）用若干个棱长为1的正方体搭成一个几何体，其主视图、左视图都为下图，则这个几何体体积的最小值为（）A.5B.7C.9D.119. （吉林实验中学四模）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A.1.2B.1.6C.1.8D.2.410. （呼和浩特一调）某多面体的三视图如下图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中，面积最大的面的面积为（）A.2√3B.6C.6√2D.1211. （福州质检）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.π+6B.2π3+6 C.π3+6 D.π3+212. （福建厦门一中第二学期开学考）三棱锥S−ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，若该三棱锥S−ABC的外接球的表面积为1123π，则该三棱锥S−ABC的体积为（）A.16√3B.8√3C.16√33D.8√33二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（内蒙古包头二模）已知圆柱的侧面积为4π，它的两个底面的圆周在直径为2√2的同一个球面上，则该圆柱的体积为________．（广州综测一）已知三棱锥P−ABC的底面ABC是等腰三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，则这个三棱锥内切球的半径为________.（海南中学、文昌中学3月联考）如图，半球内有一内接正四棱锥S−ABCD．若正四棱锥S−ABCD的体积为4√23，则该半球的体积等于________.（重庆西南大学附中六次月考）棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过棱AB作四面体的截面，交棱CD的中点于E，且截面面积是3√2，则四面体外接球的表面积是________．三、解答题（本大题共4小题，共40分）EC=4，EF=2，（湖南六校联考）如图，梯形EFBC中，EC//FB，EF⊥BF，BF=23A是BF的中点，AD⊥EC，D在EC上，将四边形AFED沿AD折起，使得平面AFED⊥平面ABCD，点M是线段EC上异于E，C的任意一点．当点M是EC的中点时，求证：BM//平面AFED；时，求三棱锥E−BDM的体积．当平面BDM与平面ABF所成的锐二面角的正弦值为√306现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P−A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD−A1B1C1D1（如图所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少？若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？（成都七中二诊）已知等边△AB′C′的边长为√2，△BCD中，BD=CD=1，BC=√2（如图1所示），现将B与B′，C与C′重合，将△AB′C′向上折起，使得AD=√3（如图2所示）．若BC的中点为O，求证：平面BCD⊥平面AOD；在线段AC上是否存在一点E，使ED与平面BCD成30∘角，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由；求三棱锥A−BCD的外接球的表面积．（云南一次统一检测）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中点，AB=1，BC=2．求证：AM⊥SD；若二面角B−SA−M的正弦值为√6，求四棱锥S−ABCD的体积．3参考答案与试题解析21届_专题17 空间几何体的结构特征、三视图、表面积、体积一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】D【考点】简单空间图形的三视图【解析】此题暂无解析【解答】根据三视图中的正视图和俯视图可知该几何体是由一个三棱锥与一个半圆锥组合而成的，则其侧视图应该是选项D中的三角形，故选D．【知识总结】正确掌握三视图的三要素与各图之间的关系是解决问题的关键．三视图的三要素为“长对正、宽相等、高平齐”或者说“主左一样高、俯左一样宽、主俯一样长．”本题考查空间几何体的三视图．2.【答案】B【考点】简单空间图形的三视图【解析】此题暂无解析【解答】由三视图可知该几何体是一个四棱柱，其底面是边长为1的正方形，高为1，侧棱长为√2．故该几何体的顶点间距离的最大值为√12+22+12=√6，故选B．熟记常见几何体的三视图有助于通过三视图还原几何体的直观图．本题考查三视图．3.【答案】A【考点】由三视图求体积球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】由三视图得该几何体是一个底面为以2为底，1为高的等腰三角形，高为√3的三棱锥，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，则其底面所在的截面圆的半径为1，设三棱锥的外接，所以外接球的表面积为球的半径为R，则有R2=(√3−R)2+12，解得R=2√334πR2=16π，故选A．3根据三视图正确还原几何体是解题的关键．本题考查几何体的三视图和三棱锥的外接球的表面积． 4.【答案】 A【考点】由三视图求表面积 【解析】 此题暂无解析 【解答】由三视图可得该几何体是如图的三棱锥A −BCD （放在棱长为1的正方体中），则△ABC 和△BCD 的面积都是12，△ABD 和△ACD 的面积都是√22，则该几何体的表面积是2×12+2×√22=1+√2，故选A ．由三视图得到几何体的直观图是解题的关键． 本题考查三视图、几何体的表面积． 5.【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】 此题暂无解析 【解答】茅草面积即为几何体的侧面积，由三视图知，该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形，其中等腰梯形的上底长为4、下底长为8、高为√42+22=2√5，等腰三角形的底边长为4、高为√42+22=2√5，所以侧面积S =2×4+82×2√5+2×(12×4×2√5)=32√5，即需要的茅草面积至少为32√5，故选B ． 本题考查数学文化、空间几何体的三视图及表面积． 6.【答案】 C【考点】球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算【解析】 此题暂无解析 【解答】由两个视图知，不妨考虑该几何体为一个底面边长为2、侧面上的高为2的正四棱锥，其内切球的球心和过顶点与底面垂直的等边三角形（如题中视图所示）的内心重合．由题意设正四棱锥的高为ℎ，则4√33=13×2×2×ℎ，ℎ=√3，故其内切球半径R =√33，假设成立，所以该正四棱锥内切球的表面积为4πR 2=4π3，故选C ．【方法点拨】（1）由于三视图的俯视图不确定，因此只要满足已知两个视图的几何体都不会影响答案，因此可选特殊的多边形为几何体的底面；（2）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系． 本题考查三视图、球的表面积与棱锥的体积． 7.【答案】 D【考点】由三视图求体积 【解析】 此题暂无解析 【解答】在正方体中画出该三棱锥的直观图，从而算出其最长棱长为3，故选D ． 本题考查三视图． 8.【答案】 A【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】根据主视图和左视图得当俯视图为如图所示的两种形式时（图中的数字表示该位置的小正方体的个数），这个几何体的体积取得最小值5，故选A ．本题考查几何体的三视图． 9.【答案】 B【考点】由三视图求体积【解析】 此题暂无解析 【解答】由三视图可知，该商鞅铜方升是由一圆柱与一长方体组合而成，因为其体积为12.6，所以π×(12)2x +3×(5.4−x )×1=12.6（其中π取3），解得x =1.6，故选B ．【方法归纳】此类以三视图为背景求解空间几何体的体积的问题常常先根据“长对正，宽相等，高平齐”的特征还原出空间几何体的直观图，再利用柱体、锥体的体积公式求解．本题考查数学文化、三视图、简单组合体的体积． 10. 【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】 此题暂无解析 【解答】根据题中三视图可画出直观图如图所示，该几何体中只有两个相同的梯形的面的面积最大，S =2+42×2=6，故选B ．本题考查三视图． 11.【答案】 C【考点】由三视图求体积 【解析】 此题暂无解析 【解答】由三视图可知该几何体由一个棱柱和半个圆锥拼接而成．棱柱的体积V 1=12×(1+2)×2×2=6，半个圆锥的体积V 2=12×13×π×12×2=π3，从而该几何体的体积V =V 1+V 2=6+π3，故选C ．【规律总结】求解以三视图为载体的几何体的体积问题，通常分三个步骤完成：（1）将三视图还原为几何体；（2）根据三视图获取相关的数据；（3）利用空间几何体的体积公式计算．本题考查三视图、几何体的体积．12.【答案】 C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】由三视图可得SC ⊥平面ABC ，且底面△ABC 为正三角形，如图所示，取AC 的中点F ，连接BF ，则BF ⊥AC ，在Rt △BCF 中，BF =2√3，CF =2，BC =4．由于三棱锥S −ABC 的外接球的表面积为1123π，设其半径为R ，则有4πR 2=1123π，解得R 2=283，设SC =ℎ，球心到平面ABC 的距离为d ，易知该三棱锥S −ABC 的外接球是其补形成三棱柱的外接球，则球心到平面ABC 的距离是SC 的一半，即d =12ℎ，因为△ABC 的外接圆的半径为4√33，所以由勾股定理可得R 2=d 2+(4√33)2，解得d=2，则ℎ=4，则三棱锥S −ABC 的体积V =13×√34×42×4=16√33，故选C ．【方法技巧】与球有关的问题往往与棱柱、棱锥加以组合，以选择题、填空题的形式在高考中出现，比如球的内接多面体问题或球的外切多面体问题，解题的关键是抓住球心到多面体的各个顶点或面的距离等于球的半径，一般利用多面体的体积转换等建立等量关系．本题考查空间几何体的三视图、球的性质与表面积、空间几何体的体积． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】 2π【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】设圆柱底面圆的半径为r ，高为ℎ，则2πrℎ=4π，所以rℎ=2①，且ℎ2+(2r )2=(2√2)2②，联立①②，解得r =1,ℎ=2，则该圆柱的体积为πr 2ℎ=2π． 本题的突破点是圆柱的侧面积、体积公式、球的结构特征的理解和应用． 本题考查圆柱的侧面积、体积．【答案】3−√36【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】设三棱锥P−ABC的内切球半径为R，则根据体积相等有13×12×1×1×1=1 3×[3×12×1×1+√34×(√2)2]×R，解得R=3−√36．棱锥内切球的半径问题通常利用体积法求解．本题考查三棱锥与其内切球的关系．【答案】4√23π【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】设该半球的半径为R，则正四棱锥S−ABCD的底面正方形的边长为√2R，则V S−ABCD=1 3×(√2R)2×R=4√23，解得R=√2，则该半球的体积V=12×43πR3=4√23π．【考向分析】与球有关的问题往往与棱柱、棱锥加以组合，以选择题、填空题的形式在高考中出现，比如球的内接多面体问题、球的外切多面体问题，解题的关键是抓住球心到多面体的各个顶点、各个面的距离与半径的关系，一般利用多面体的体积转换等建立等量关系．本题考查空间几何体的位置关系、空间几何体的体积．【答案】18π【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】因为正四面体ABCD的棱长为a，所以平面BCD所在的截面圆的半径r=BC2sin∠BDC =√3a3，则正四面体ABCD的高ℎ=√a2−r2=√6a3，设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则有R2=(ℎ−R)2+r2，即R2=(√6a3−R)2+(√3a3)2，解得R=√6a4．连接AE，BE，易得AE=BE=√3a2，设棱AB的中点为F，则易得EF=√AE2−AF2=√2a2，又过棱AB作四面体的截面，交棱CD的中点于E，则截面面积为12AB⋅EF=12a⋅√2a2=3√2，解得a =2√3，则R =√6a 4=3√22，则正四面体ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=18π．利用正四面体的性质求解其外接球的半径与棱长的关系是解题的关键． 本题考查正四面体的性质、正四面体的外接球． 三、解答题（本大题共4小题，共40分） 【答案】解：证法一：取ED 的中点N ，连接MN ，AN ， ∵ 点M 是EC 的中点，∴ MN//DC ，且MN =12DC ， 而AB//DC ，且AB =12DC ，∴ MN//__AB ，即四边形ABMN 是平行四边形，∴ BM//AN ，又BM ⊄平面ADEF ，AN ⊂平面ADEF ， ∴ BM//平面ADEF ．证法二：∵ AD ⊥CD ，AD ⊥ED ，平面AFED ⊥平面ABCD ，平面AFED ∩平面ABCD =AD ， ∴ DA ，DC ，DE 两两垂直．以DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,4,0)，E (0,0,2)，M(0,2,1)， ∴ BM →=(−2,0,1)，又平面ADEF 的一个法向量DC →=(0,4,0)，BM →⋅DC →=0， ∴ BM →⊥DC →， 又BM ⊄平面ADEF ， ∴ BM//平面ADEF ． 43【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面平行的判定【解析】 此题暂无解析 【解答】【名师指导】本题考查空间中线面的位置关系、锥体的体积．可以利用线面平行的判定定理来证明，此时需作辅助线；亦可以通过建系，转化为证明BM →与平面AFED 的法向量垂直即可； 依题意设点M (0,t,2−t2)(0<t <4)，设平面BDM 的法向量n 1=(x,y,z )，则DB →⋅n 1=2x +2y =0，DM →⋅n 1=ty +(2−t2)z =0，令y =−1，则n 1=(1,−1,2t 4−t)，取平面ABF 的一个法向量n 2=(1,0,0)． ∵ |cos <n 1,n 2>|=|n 1⋅n 2||n 1||n 2|=√2+4t 2(4−t)2=√66， 解得t =2．∴ M (0,2,1)为EC 的中点，S △DEM =12S △CDE =2，又点B 到平面DEM 的距离ℎ=2，∴ V E−BDM =V B−DEM =13⋅S △DEM ⋅ℎ=43．【名师指导】本题考查空间中线面的位置关系、锥体的体积．建系，利用法向量确定M 为EC 的中点，进而利用等体积法转化计算即可． 【答案】 312(m 3)当PO 1=2√3m 时，仓库的容积最大． 【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由PO 1=2知O 1O =4PO 1=8． 因为A 1B 1=AB =6．所以正四棱锥P −A 1B 1C 1D 1的体积V 锥=13⋅A 1B 12⋅PO 1=13×62×2=24(m 3)；正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱=AB 2⋅O 1O =62×8=288(m )3． 所以仓库的容积V =V 锥+V 柱=24+288=312(m 3)．【知识拓展】解数学应用题一般分两步，一是将实际问题转化为数学问题，二是利用相应的工具（如导数法、换元法、不等式法等）求解最值．【名师指导】本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力．利用柱体、锥体的体积公式求解；设A1B1=a(m)，PO1=ℎ(m)，则0<ℎ<6，O1O=4ℎ．连O1B1．因为在Rt△PO1B1中，O1B12+PO12=PB12，所以(√2a2)2+ℎ2=36，即a2=2(36−ℎ2)．于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2⋅4ℎ+13a2⋅ℎ=133a2ℎ=263(36ℎ−ℎ3)，0<ℎ<6，从而V′=263(36−3ℎ2)=26(12−ℎ2)．令V′=0，得ℎ=2√3或ℎ=−2√3（舍）．当0<ℎ<2√3时，V′>0，V是单调增函数；当2√3<ℎ<6时，V′<0，V是单调减函数；故ℎ=2√3时，V取得极大值，也是最大值．因此，当PO1=2√3m时，仓库的容积最大．【知识拓展】解数学应用题一般分两步，一是将实际问题转化为数学问题，二是利用相应的工具（如导数法、换元法、不等式法等）求解最值．【名师指导】本小题主要考查函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力．利用柱体、锥体的体积公式建立目标函数，再利用导数研究函数的单调性、极值和最值．【答案】解：证明：连接AO，DO，∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰直角三角形，且O为BC的中点，∴BC⊥AO,BC⊥DO．∵AO∩DO=O，∴BC⊥平面AOD，又BC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面AOD．存在，CE=1．3π【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面所成的角解三角形余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】【名师指导】本题考查空间直线与平面的位置关系、球的表面积以及空间向量在立体几何中的应用．利用线面垂直、面面垂直的判定定理证明；解法一：作AH⊥DO，交DO的延长线于点H，由平面BCD∩平面AOD=HD，得AH⊥平面BCD，AH⊥HC．在Rt△BCD中，OD=12BC=√22，在Rt△ACO中，AO=√32AC=√62,在△AOD中，cos∠ADO=AD 2+OD2−AO22AD⋅OD=√63，∴sin∠ADO=√33，在Rt△AHD中，AH=AD sin∠ADO=1，HD=√2．过点E作EF⊥CH于点F，则EF//AH，∴EF⊥平面BCD，∴∠EDF就是ED与平面BCD所成的角．设CE=x(0≤x≤√2)，由EFAH =CEAC，∴EF=√22x．由AD2=AC2+CD2，得AC⊥CD．在Rt△CDE中，DE=√CE2+CD2=√x2+1，要使ED与平面BCD成30∘角，只需使EFED =√22x√x2+1=12，∴x=1，即当CE=1时，ED与平面BCD成30∘角．解法二：作AH⊥DO，交DO的延长线于点H，由平面BCD∩平面AOD=HD，得AH⊥平面BCD，AH⊥HC．在Rt△BCD中，OD=12BC=√22，在Rt△ACO中，AO=√32AC=√62，在△AOD 中，cos ∠ADO =AD 2+OD 2−AO 22AD⋅OD=√63， ∴ sin ∠ADO =√33． 在Rt △AHD 中，AH =AD sin ∠ADO =1，HD =√2． 设CE =x(0≤x ≤√2)，过点E 作EF ⊥CH 于点F ， 则EF//AH ，∴ EF ⊥平面BCD ，∴ ∠EDF 就是ED 与平面BCD 所成的角． 由EF AH=CE AC，∴ EF =√22x ． 以D 为坐标原点，以直线DB ，DC 分别为x 轴、y 轴，以过D 与平面BCD 垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，E (√22x ，1，√22x)，DE →=(√22x ，1，√22x)， 设平面BCD 的一个法向量为n =(0，0，1)， 要使ED 与平面BCD 成30∘角，只需使DE →与n 成60∘角， 只需使DE →⋅n|DE →|⋅|n |=cos 60∘，即√22x √x 2+1=12，∴ x =1，即当CE =1时，ED 与平面BCD 成30∘角．【名师指导】本题考查空间直线与平面的位置关系、球的表面积以及空间向量在立体几何中的应用．利用传统解法对线面角进行转化或建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角； 将原图补形成正方体，如图，则外接球的半径R =√32， 故外接球的表面积为4πR 2=4π⋅34=3π．【名师指导】本题考查空间直线与平面的位置关系、球的表面积以及空间向量在立体几何中的应用．将原图形补全为正方体，利用正方体与外接球的关系求得半径，再利用球的表面积公式求解．【答案】解：证明：设AD 的中点为N ，连接MN ． ∵ 由底面ABCD 是矩形得MN ⊥BC ．∵ SB =SC ，M 是BC 的中点，∴ SM ⊥BC ．∵ 平面ABCD ⊥平面SBC ，平面ABCD ∩平面SBC =BC , ∴ SM ⊥平面ABCD ，∴ SM ⊥MN ， ∴ 直线MC ，MS ，MN 两两互相垂直．以M 为坐标原点，MC ，MS ，MN 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系M −xyz ，设SM =a ,依题意得M(0，0，0)，A(−1，0，1)，B(−1，0，0)，C(1，0，0)，D(1，0，1)，S(0，a ，0)，a >0．∴ AM →=(1，0，−1)，SD →=(1，−a ，1)． ∴ AM →⋅SD →=1×1+0×(−a)+(−1)×1=0． ∴ AM →⊥SD →，即AM ⊥SD ． 2√23【考点】二面角的平面角及求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】【技巧点拨】一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如果不存在这样的三条直线，则尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．【名师指导】本题考查空间直线与直线的位置关系、二面角、棱锥的体积公式． 以M 为原点建立空间直角坐标系，通过求得AM →⋅SD →=0使问题得证； 由（Ⅰ）可得MS →=(0，a ，0)，MA →=(−1，0，1)． 设平面AMS 的法向量为n 1=(x ，y ，z), 则n 1⊥MS →，n 1⊥MA →．∴ {ay =0，−x +z =0，即{y =0，−x +z =0，取x =1，解得{y =0，z =1．∴ n 1=(1，0，1)是平面AMS 的一个法向量． 设平面ABS 的法向量为n 2=(r ，s ，t)，同理可得n 2=(a ，−1，0)是平面ABS 的一个法向量． 设二面角B −SA −M 的大小为θ， 则|cos θ|=|n 1⋅n 2|n 1||n 2||=√2×√a 2+1．∴ 1−cos 2θ=1−a 22a 2+2=sin 2θ=23，解得a =√2． ∴ 四棱锥S −ABCD 的体积为V =13×S 矩形ABCD ×SM =13×2×1×√2=2√23．【技巧点拨】一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如果不存在这样的三条直线，则尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点．【名师指导】本题考查空间直线与直线的位置关系、二面角、棱锥的体积公式．首先求得平面AMS 与平面ABS 的法向量，然后利用空间向量的夹角公式求得MS 的长度，从而利用四棱锥的体积公式求解即可．。
第8章第1节 空间几何体及结构特征练习和答案
第 1 节 空间几何体及结构特征
1. C 2. C 3. C 4. A 5. D 6. D 7．ABD 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知 AB 两选项不正确，C 正 确．对于选项 D，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥， 才能得到一个圆锥和一个圆台，故 D 不正确． 8.ABC 平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故 A 错；对等腰三 角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故 B 错；若底面不是矩 形，则 C 错；由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故 D 正确．综上，命题 ABC 不正确． 9. 2 2 10. ②③④ 11. 12 由直观图画法规则，可得△AOB 是一个直角三角形，直角边 OA＝OA′＝6，OB＝2O′B′＝4，∴S△AOB＝12OA·OB＝12×6×4＝12. 12. 2+ 2
△OAB 的直观图，则△OAB 的面积是________.
12.(2019·河北)一块多边形的菜地，它水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角 梯 形 （ 如 图 ）， ∠ ABC ＝ 45° ， AB ＝ AD ＝ 1 ， DC ⊥ BC ， 则 这 块 菜 地 的 面 积 为 _________．
6. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法) 是一个底角为 45°、腰和上底长均为 2 的等腰梯形，则这 个平面图形的面积是( ) A．2＋ 2 B．1＋ 2 C．4＋2 2 D．8＋4 2 二、多项选择题 7．以下选项中不正确的有( ) A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； D.一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 8. 下列四个命题中不正确的有( ) A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱． 三、填空题 9.一水平放置的平面四边形 OABC，用斜二测画法画出它的直观图 O′A′B′C′如图所 示，此直观图恰好是一个边长为 1 的正方形，则原平面四边形 OABC 面积为 ________.
空间几何体结构特点习题
空间几何体结构特点相关习题1．(2012·昆明高一检测)在棱柱中满足 ( )．A ．只有两个面平行B ．所有面都平行C ．所有面都是平行四边形D ．两对面平行，且各侧棱也相互平行解析 由棱柱的定义可得只有D 成立．答案 D2．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为 ( )．解析 两个不能相并列相邻，B 、D 错误；两个不能并列相邻，C 错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．答案 A3．如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是 ( )．A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝2，A 1C 1＝2，AC ＝4C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．A 1B 1＝AB ，B 1C 1＝BC ，C 1A 1＝CA解析 因为三棱台的上下底面相似，所以该几何体如果是三棱台，则△A 1B 1C 1∽△ABC ，所以A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC. 答案 C4．如图，下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．解析利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征判定．答案①③④⑥⑤5．如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影部分，第六个正方形编号为1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为________．解析可通过选取小阴影正方形作底折叠分别检验．答案1，4，56．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.解析由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M 两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案137．已知正三棱锥V-ABC，底面边长为8，侧棱长为26，计算它的高和斜高．解 如图所示，设O 是底面中心，则D 为BC 的中点，∴△VAO 和△VCD 是直角三角形．∵底面边长为8，侧棱长为26，∴AO ＝33×8＝833，CD ＝4， ∴VO ＝VA 2－AO 2＝（26）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫8332＝23 6. VD ＝VC 2－CD 2＝（26）2－42＝2 2.即正三棱锥的高是236，斜高为2 2.能力提升8．如图所示，在三棱台A ′B ′C ′－ABC ，截去三棱锥 A ′－ABC ，则剩余部分是( )．A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．三棱台解析 剩余部分是四棱锥A ′－BB ′C ′C .答案 B9．在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 ( )．A ．20B ．15C ．12D ．10解析 正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.答案 D10．长方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．解把长方体的部分面展开，如图所示．对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为90、74、80，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E 到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为74.基础达标1．下列命题：①通过圆台侧面上一点，有无数条母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是( )．A．①② B．②③ C．①③ D．②④解析①③错误，②④正确．答案 D2．过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是 ( )．A．有且只有一个 B．一个或无穷多个C．无数个 D．以上均不正确解析当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．答案 B3．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )．解析由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.答案 B4．下列几何体中是台体的是________．解析①中的几何体侧棱延长线没有交于一点；②中的几何体没有两个平行的面；很明显③中几何体是棱锥，④是圆台．答案④5．下面这个几何体的结构特征是_________________________________________ _________________________________________________________________.答案 上面是一个四棱锥，下面是一个与锥体同底的长方体挖去一个圆柱6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一个大圆面积之比为________．解析 ∵d ＝12R ， ∴α＝30°∴r ＝R cos 30°＝32R ∴S 截S 大圆＝πr 2πR 2＝34. 答案 347．从一个底面半径和高都是R 的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离为l 并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．解 如图是此几何体的轴截面图OA ＝AB ＝R ，所以△OAB 是等腰直角三角形．又CD ∥OA ，则CD ＝BC ，设O 1D ＝x ，因为CD ＝R －x ，BC ＝R －l ，故x ＝l ，所以截面面积S ＝πR 2－πl 2＝π(R 2－l 2)．能力提升8．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是( )．A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④解析 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.答案 C9．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________．解析 如图，把圆台还原成圆锥，设截面⊙O 1的半径为r ，因为圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以SO SO 2＝14，设SO ＝x ，SO 2＝4x ，则OO 2＝3x ，因为OO 1∶O 1O 2＝2∶1，所以OO 1＝2x ，在△SBO 1中1r ＝SO SO 1＝x 3x，所以r ＝3，因此截面圆的面积是9π.答案 9π10．如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．解 此题的关键在于作截面．球不可能与边AB 、CD 相切，一个球在正方体内，一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图所示的截面图．球心O 1和O 2在AC 上，过O 1、O 2分别作AD 、BC 的垂线交于E 、F 两点．设小球半径为r ，大球半径为R .则由AB ＝1，AC ＝3，得AO 1＝3r ，CO 2＝3R ，∴r ＋R ＋3(r ＋R )＝3，∴R ＋r ＝33＋1＝3－32.。
高考一轮练习(7.1空间几何体的结构特征及三视图和直观图)
课时提升作业(四十二)一、选择题1.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的矩形;③圆柱的母线垂直于底面;④用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中,真命题的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)12.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )(A)①②(B)①③(C)①④(D)②④3.(2013·沈阳模拟)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )4.如图,△ABC为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=错误！未找到引用源。
BB′=CC′=AB,则多面体ABC-A′B′C′的主视图是( )5.(2013·宁波模拟)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为( )(A)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
(B)2+错误！未找到引用源。
(C)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
(D)错误！未找到引用源。
+错误！未找到引用源。
6.一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示,则其俯视图为( )7.(2013·西安模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的主视图是( )(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④二、填空题8.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=错误！未找到引用源。
,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为.9.(2013·临沂模拟)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是错误！未找到引用源。
空间几何体的结构特征习题(绝对物超所值)
空间几何体的结构特征1．在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而一 个不同的几何体是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（2）（4）2．如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若PQ 与SO 所成角为4π，则此圆锥的全面积与体积分别为（ ）A ．100051006,3ππB ．10005100(16),3ππ+ C ．100031003,3ππ D ．10003100(13),3ππ+3．已知曲线24y x =-与x 轴的交点为,A B ，分别由,A B 两点向直线作垂线，垂足为，沿直线将平面折起，使ACD BCD ⊥平面平面，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 （ ）A ．16πB ．12πC ．8πD ．6π 4．多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ）（单位cm ） A ．3216 B ．332C ．216D ． 32 5．如图，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ） A ．13 B ．7 C ．433 D ．3326．在四棱锥ABCD V -中,1B ,1D 分别为侧棱VB ,VD 的中点,则四面体11CD AB 的体积与四棱锥ABCD V -的体积之比为（ ）A ．6:1B ．5:1C ．4:1D ．3:1ACD y x =,C D y x=PSAQOBAV CB7．一个组合体的主视图和左视图相同，如图，其体积为，则图中的为A.4B.4.5C.5D.8．已知棱长为2的正方体的俯视图是一个面积为2的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于 A.21- B.2 C.21+ D.22 9．已知直线l ，平面,,αβγ，则下列能推出//αβ的条件是 A.l α⊥，//l β B.//l α，//l β C.α⊥γ，γβ⊥ D.//αγ，//γβ10．如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽见解析不计）A ．π8+B ．π48+C ．π16+D ．π416+11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A ． B ． C ． D ． 12．多面体MN ABCD -的底面ABCD 矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 （ ）A ．163B ．6C ．203 D ．613．几何体的三视图如下，则它的体积是（ ）A．B ．C ．D ．14．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为c b a ,,，则三角形的面积为)(21c b a r s ++=，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，则这个四面体的体积为（ ）A ．)(614321S S S S R V +++=B ．)(414321S S S S R V +++= C ．)(314321S S S S R V +++= D ．)(214321S S S S R V +++=373a π331612a π+3712a π333a π+332112 5.5x 22πx3415．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n B ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m C ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥16．三棱锥ABC -S 中，底面ABC 为等腰直角三角形，2,BC BA == 侧棱32SC SA ==，二面角B -AC -S 的余弦值为55，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A.π16 B.π12 C.π8 D.π417．已知c b ,,a 是三条不同的直线，命题：“a ∥b 且c b c a ⊥⇒⊥”是真命题，如果把c b ,,a 中的两条直线换成两个平面，在所得3个命题中，真命题的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.319．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，直线PN 与平面ABC 所成角θ的正切值取最大值时λ的值为（ ） A.12 B.22C.32D.255 20．在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，M 为AB 中点，则CM 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ） A.22B.33C.32D.6321．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，O 为1D C 与1DC 的交点，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A.5 B.10 C.15 D.3022．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（ ） A ． B ． C ． D ．(2428)π-3cm 24．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. B.C. D. 26．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π6,//l l αβαβ⊥⇒⊥,//l n m n l m ⊥⊥⇒,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥//,,//l n l n αβαβ⊂⊂⇒,αβ,,l m n 3cm (1828)π-3cm (2420)π-3cm (1820)π-侧视图正视图俯视图11221=R28．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．π2 B．2π2 C．3πD．23π29．已知三角形所在平面与矩形所在平面互相垂直，，，若点都在同一球面上，则此球的表面积等于A． B．． C．π12 D．π2030．某几何体三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体体积为（）A.32833π+B.3233π+C.4333π+D.433π+31．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个正方形，则这个几何体的体积是（）A．64 B．32 C．16 D．833．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A． B． C． D．34．如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是A．｜BM｜是定值 B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1 C D．存在某个位置，使MB//平面A1DE35．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8π B．16π C．32π D．64π36．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（）A.16πB.6πC.4πD.864332336432313π43πP A B C D、、、、90APD︒∠=2PA PD AB===ABCDPAD俯视12411侧视12411主视37．某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①②③④中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ）① ② ③ ④（A ）①②③ （B ）①②④ （C ）②③④ （D ）①②③④ 39．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ） A ．若n m ⊥，α//n ，则α⊥m B ．若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC ．若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD ．若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 40．如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的表面积为（ ）． （A ）8+42 （B ）8+43 （C ）662+ （D ）8+22+2341．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（ ）．（A ）38 （B ）34（C ）34 （D ）3242．已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（A ）若αβ⊥，m β⊂，则m α⊥ （B ）若//αβ，//m α，则//m β （C ）若//αβ，m α⊥，则m β⊥ （D ）若//m α，//m β，则//αβ 43．某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是 （A ）23 （B ）43 （C ）53 （D ）8344．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积大小为（ ） （A ）2a π（B ）273a π（C ）2113a π（D ）25a π 45．已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则它的体积为（ ）（A ）16 （B ）13 （C ）23 （D ）56正视图主视图 左视图俯视图俯视图正视图 侧视图46．如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点．下列结论中，正确的是（ ） A ．1BB EF ⊥ B ．//EF 平面11A ACC C ．BD EF ⊥D ．⊥EF 平面11B BCC47．一个四面体如图，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积=V （ ） A ．21 B ．31 C ．61 D ．12148．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ） A ．22 B ．6 C ．3 D ．2350．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．32 B ．6262++ C ．12 D ．3262++ 51．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．4+2B ．2+C ．2+2D ．4+ 52．点A 、B 、C 、D 在同一球面上，D A ⊥平面C AB ，D C 5A =A =，3AB =，C 4B =，则该球的表面积为（ ） A ．252π B ．12523πC ．50πD ．503π 53．已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是（ ）54．已知球O 的直径4=PQ ,C B A ,,是球球面上的三点，是正三角形，且,则三棱锥ABC P -的体积为 （ ） A ．B ．C ．D ． 55．一个四面体的顶点在空间直角坐标系o xyz -中的坐标分别是（1,0,1），（1,1,0），（0,1,1），（0,0,0），画该四面体三视图中的主视图时，以zox 平面为投影面，则得到主视图可以为（ ）56．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ） A ．752B ．30C ．75D ．15 57．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是两底边长分别为1,2的直角梯形，俯视图是斜边为3的等腰直角三角形，该几何体的体积是（ ） A ．1 B ．2 C ．47 D ．49 58．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．32πB ．92πC ．43πD ．83π２２１俯视图左视图 主视图AB CDEFGH4327233439433 30=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ ABC ∆O59．一只蚂蚁从正方体 1111ABCD A B C D -，的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 60．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）（A ）54 （B ）27 （C ）18 （D ） 961．设,是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若,,,m m αββα⊥⊥⊄则//m α C ．若,,m αβα⊥⊂则m β⊥ D ．若,,//,//,m n m n ααββ⊂⊂则//αβ62．已知三条直线若和b 是异面直线，b 和c是异面直线，那么直线a 和的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交或异面63．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）Ａ． B ． C ． D ． 64．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．403 B ．803C ．40D ．80 65．如图，四棱锥ABCD P -中，，， 和都是等边三角形，则异面直线与所成角的大小为（ ）A ．B ．C ． 60D ． 4575 90BDCPAPB CD PAD ∆PAB ∆AD BC 2= 90=∠=∠BAD ABC 2213529c a ,,,a b c βαn m66． 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若α⊂m ，A l =α ，点m A ∉，则l 与m 不共面；② 若m 、l 是异面直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ； ③ 若α//l ，β//m ，βα//，则m l //；④ 若，，，，，则， 其中为真命题的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 67．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．23 B ．1 C ．43 D ．3269．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A.61 B.21 C.32 D.65 70．如图，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD BC ,的中点，沿EF AF AE ,,把正方形折成一个四面体，使D C B ,,三点重合，重合后的点记为P ，点P 在AEF ∆内的射影为.则下列说法正确的是（ ）A.O 是AEF ∆的垂心B.O 是AEF ∆的内心C.O 是AEF ∆的外心D.O 是AEF ∆的重心71．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.61 B.21 C.32 D.65 72．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若//,//,//m l m l αα则 B ．若,,//m l m l αα⊥⊥则C ．若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则D ．若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则O βα//β//m β//l A m l = α⊂m α⊂l 112正视图侧视图俯视图正视侧视俯视111正视图侧视图俯视图11174．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）75．一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 ． 76．若3,),,3,1(),0,2,2(π>=<==b a z b a ，则z 等于（ ）A.B.C.D.77．已知向量)3,2,1(=a ，点）（0,1,0A ，若a AB 2-=，则点B 的坐标是（ ）A.（-2，-4，-6）B.（2，4，6）C.（2，3，6）D.（-2，-3，-6） 78．对于空间的一条直线m 和两个平面,αβ，下列命题中的真命题是（ ） A ．若//,//,m m αβ则//αβ B ．若//,//,m m αβ则αβ⊥ C ．若,,m m αβ⊥⊥则//αβ D ．若,,m m αβ⊥⊥则αβ⊥79．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是（ ）A ．24πB ．16πC ．12πD ．8π 80．已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若,m m n α⊥⊥，则//n α B ．若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥ C ．若//,m m n α⊥，则n α⊥ D ．若//,//m n αα，则//m n81．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若//,//,//m l m l αα则B ．若,,//m l m l αα⊥⊥则C ．若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则D ．若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则7152233476侧(左)视图正(主)视图俯视图211122 11111 1 正视图侧视图俯视图正视俯视左视82．下图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. 83．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）.A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π84．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）.A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π86． 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．3B ．25C ．21D ．23 87．一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）A ．B ．C ．D ．8,8 88．平面四边形中，,,BD CD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-,使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ）A ．32πB ．3πC ．23π D ．2π 89．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①⊥，∥，则⊥； ②若⊥，⊥，则∥；③若∥，∥， ⊥，则⊥； ④若m αγ⋂=，=，∥ ，则∥．其中正确命题的序号是A ．①和③B ．②和③C ．③和④D ．①和④βαn m n γ⋂βγm αm γββαβαγβγαn m αn αm γβαn m 2BD =1AB AD CD ===ABCD 84(51),3+845,345,8435327π+35327π+433327π+32327π+90．如图，已知正方体的棱长为4，点，分别是线段，上的动点，点P 是上底面内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面的距离，则当点P 运动时，的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．42D ．2592．如下图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．93．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A 、263π+B 、463π+C 、283π+D 、483π+94．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是（ ） A.24 B.3662+ C.36 D.95．一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为．．．．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.中的（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④96．如图，正三棱柱111C B A ABC -的正视图是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图的面积为（ ）A ．16B ．32C ．34D ．3836122+2222主视图 左视图2俯视图 64+622+62+624+PE 11ABB A 1111A B C D 11C D AB F E 1111ABCD A B C D -AB C 1A 1B 1C 2 2 4 主视图97．一个锥体的主视图和左视图如下图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）98．设α，β，γ为平面，m ，n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ ）A ．αβ⊥，n αβ= ，m n ⊥B ．m αγ= ，αγ⊥，βγ⊥C ．αβ⊥，βγ⊥，m α⊥D ．n α⊥，n β⊥，m α⊥99．在直三棱柱中，，，则点到平面的距离为A． B ． C ． D ．3 102．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A ．B ． C． D．104．关于直线，及平面，，下列命题中正确的是A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则105．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为A ．3π32+B ．π3+C ．3π2D ．5π32+ 106．三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==,456AB BC CA ===，，，若ABC ∆的外接圆恰好是三棱锥P ABC -外接球O 的一个大圆，则三棱锥P ABC -的体积为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40107．已知某几何体的三视图如图所示,其中,正视图和侧视图都是由三角形和半圆组成,俯视图是由圆和内接三角形组成,则该几何体体积为（ ）m α⊥l m ⊥//l ααβ⊥//l βl α⊥//l m //m α//l α//l m m αβ= //l αβαm l 6327336312俯视图侧视图正视图33433432341A BC A 11AA =2AB AC BC ===111ABC A B C -A ．21+32πB ．21+66π C ．41+36π D ．21+32π 108．已知某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体 的表面积为（ ）A ．4B ．4+42C ．8+42D ．8+22109．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．412π+B ．124π+C ．1212π+D ．44π+110．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，//m α，则//n α； ②若αβ⊥，//m α，则m β⊥；③若αβ⊥，m β⊥，则//m α； ④若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥．其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4111．一块橡胶泥表示的几何体的三视图如图所示，将该橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥，则这个三棱锥的高为（ ）A ．33B ．63C ．93D ．183112．如图所示的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则h=（ ）cmA ．4B ．2C ．1D ．12113．已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于（ ）A ．23 B ．33 C ．23D ．13114．已知四面体OABC 各棱长为1，D 是棱OA 的中点，则异面直线BD 与AC 所成角的余弦值（ ） A.33 B.14 C.36 D.283224116．设,是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A.若则B.若则C ．若则 D.若则117．已知三条直线若和是异面直线，和是异面直线，那么直线和的位置关系是（ ）A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面119．半径为的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ） A. B ． C ． D ． 120．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误．．的是（ ）A ．B ．平面C ．三棱锥的体积为定值D ．的面积与的面积相等BEF ∆AEF ∆BEF A -ABCD //EF BE AC ⊥EBD1B 1C1D FC A 1A21=EF E F 、11D B 11111D C B A ABCD -316R π3324R π336R π333R πR c a c b b a ,,,a b c //αβ,,//,//,m n m n ααββ⊂⊂m β⊥,,m αβα⊥⊂//m α,,,m m αββα⊥⊥⊄//m n //,//,m n ααβαn m本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
高考数学一轮复习第七章立体几何阶段检测试题(含解析)文(new)
第七章立体几何阶段检测试题时间：120分钟分值：150分一、选择题（每小题5分，共60分)1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是（）A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析:根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．答案：B2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E,F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（)A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知,BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1C,EF∩D1C＝F,则A1B与EF相交．答案:A3．（2017·嘉兴月考）对于空间的两条直线m,n和一个平面α，下列命题中的真命题是( ）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，n⊂α,则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故选项A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故选项B错误；对C，m与n垂直而非平行，故选项C错误；对D,垂直于同一平面的两直线平行，故选项D正确．答案:D4．设P是异面直线a,b外的一点，则过点P与a,b都平行的平面（)A．有且只有一个B．恰有两个C．不存在或只有一个D．有无数个解析：过点P作a1∥a，b1∥b，若过a1，b1的平面不经过a，b，则存在一个平面同时与a,b平行；若过a,b1的平面经过a或b,则不存在这样的平面同时与a,b平行．1答案：C5．若平面α∥平面β，点A，C∈α,B，D∈β,则直线AC∥直线BD的充要条件是（）A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A,B，C，D四点共面解析:由平面α∥平面β知，直线AC与BD无公共点，则直线AC∥直线BD的充要条件是A，B，C，D四点共面．答案：D6．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α,b⊥β，则下列命题中的假命题是（)A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α,β相交，则a，b相交解析：若α,β相交,则a，b可能相交，也可能异面,故D为假命题．答案：D7．一个几何体的侧视图和俯视图如图所示，若该几何体的体积为错误!,则它的正视图为（)解析：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，由几何体的体积为错误!，可知上方为棱锥,下方为正方体．由俯视图可得,棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，顶点到正方体上底面的距离为1，所以选B.答案：B8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．27－错误!B．18－错误!C．27－3πD．18－3π解析：由几何体的三视图可知该几何体可以看成是底面是梯形的四棱柱挖去了半个圆柱，所以所求体积为错误!×（2＋4)×2×3－错误!π×12×3＝18－错误!。
2021高中数学一轮复习课时过关检测(三十八) 空间几何体的结构特征及表面积与体积
课时过关检测(三十八) 空间几何体的结构特征及表面积与体积A级——夯基保分练1．下列说法中正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线解析：选D当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故B错误；由几何图形知，若以正六边形为底面，且侧棱长相等正六棱锥棱长必然要大于底面边长，故C错误．选D.2.如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC解析：选C由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴，又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立．3．(2019·吉林调研)已知圆锥的高为3，底面半径长为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为()A．5 B. 5C．9 D.3解析：选B∵圆锥的底面半径R＝4，高h＝3，∴圆锥的母线l＝5，∴圆锥的侧面积S ＝πRl＝20π.设球的半径为r，则4πr2＝20π，∴r＝ 5.故选B.4.(2020·山东省实验中学模拟)我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为( )A ．13.25立方丈B ．26.5立方丈C ．53立方丈 D.106立方丈解析：选B 由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故选B.5．(2020·南昌模拟)正四棱锥V -ABCD 的五个顶点在同一个球面上．若其底面边长为4，侧棱长为26，则此球的体积为( )A ．722πB ．36πC ．92π D.9π2解析：选B 由题意知正四棱锥的高为(26)2－(22)2＝4，设其外接球的半径为R ，则R 2＝(4－R )2＋(22)2，解得R ＝3，所以外接球的体积为43πR 3＝43π×33＝36π.故选B. 6.(2019·安徽马鞍山第二次质监)如图，半径为R 的球的两个内接圆锥有公共的底面．若两个圆锥的体积之和为球的体积的38，则这两个圆锥的高之差的绝对值为( )A.R 2B.2R 3C.4R 3D.R解析：选D 设球的球心为O ，半径为R ，体积为V ，上面圆锥的高为h (h <R )，体积为V 1，下面圆锥的高为H (H >R )，体积为V 2，两个圆锥共用的底面的圆心为O 1，半径为r .由球和圆锥的对称性可知h ＋H ＝2R ，|OO 1|＝H －R .∵V 1＋V 2＝38V ，∴13πr 2h ＋13πr 2H ＝38×43πR 3，∴r 2(h ＋H )＝32R 3.∵h ＋H ＝2R ，∴r ＝32R .∵OO 1垂直于圆锥的底面，∴OO 1垂直于底面的半径，由勾股定理可知R 2＝r 2＋|OO 1|2，∴R 2＝r 2＋(H －R )2，∴H ＝32R ，∴h ＝12R ，则这两个圆锥的高之差的绝对值为R ，故选D. 7．(多选)已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a ，a 的矩形，设该圆柱的体积为V ，则V ＝( )A.a 3πB.a 32πC.2a 3π D.πa 32解析：选AB 设圆柱的母线长为l ，底面圆的半径为r ，则当l ＝2a 时，2πr ＝a ，∴r ＝a 2π，这时V 圆柱＝2a ·π⎝⎛⎭⎫a 2π2＝a 32π；当l ＝a 时，2πr ＝2a ，∴r ＝a π，这时V 圆柱＝a ·π⎝⎛⎭⎫a π2＝a 3π.综上，该圆柱的体积为a 32π或a 3π. 8．(多选)(2020·潍坊模拟)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( )A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六边形D ．截面面积最大值为3 3解析：选ACD 如图，显然A ，C 成立，下面说明D 成立，如图截得正六边形，面积最大，MN ＝22，GH ＝2，OE ＝OO ′2＋O ′E 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫222＝62， 所以S ＝2·12·(2＋22)·62＝33， 故D 成立．故选A 、C 、D.9.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥A -A 1EF 的体积V A -A 1EF＝V E -A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3. 答案：8 310．(一题两空)母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的底面圆的半径为________，体积为________．解析：设该圆锥的底面圆的半径为r ，高为h .∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，∴侧面展开图的弧长为5×8π5＝8π.又弧长＝底面周长，即8π＝2πr ，∴r ＝4，∴圆锥的高h ＝52－42＝3，∴圆锥的体积V ＝13×π×42×3＝16π. 答案：4 16π11.如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，过点A ，P ，C 1的平面截正方体所得的截面为M ，则截面M 的面积为________．解析：如图，取A 1D 1，AD 的中点分别为F ，G .连接AF ，AP ，PC 1，C 1F ，PG ，D 1G ，AC 1，PF .∵F 为A 1D 1的中点，P 为BC 的中点，G 为AD 的中点，∴AF ＝FC 1＝AP ＝PC 1＝52，PG 綊CD ，AF 綊D 1G .由题意易知CD 綊C 1D 1，∴PG 綊C 1D 1，∴四边形C 1D 1GP 为平行四边形，∴PC 1綊D 1G ，∴PC 1綊AF ，∴A ，P ，C 1，F 四点共面，∴四边形APC 1F 为菱形．∵AC 1＝3，PF ＝2，过点A ，P ，C 1的平面截正方体所得的截面M 为菱形APC 1F ，∴截面M 的面积S ＝12AC 1·PF ＝12×3×2＝62. 答案：6212．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图，∵SA 与底面成45°角，∴△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r .在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78， ∴sin ∠ASB ＝158，∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin ∠ASB ＝12×(2r )2×158＝515，解得r ＝210， ∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×210×45＝402π.答案：402πB 级——提能综合练13．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”．刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( )A ．16B ．16 3 C.163 D.1283解析：选C 若正方体的棱长为2，则其内切球的半径r ＝1，∴正方体的内切球的体积V 球＝43π×13＝43π.又已知V 球V 牟合方盖＝π4，∴V 牟合方盖＝4π×43π＝163.故选C. 14.(2019·河北衡水中学四调)如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A.2 000π9B.4 000π27 C ．81π D.128π解析：选B 小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h (0<h <5)，底面半径为r (0<r <5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h <5)，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0<h <53时，V ′>0，体积V 单调递增；当53<h <5时，V ′<0，体积V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值，即V max ＝π⎝⎛⎭⎫25－259×⎝⎛⎭⎫53＋5＝4 000π27，故选B.15.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，则该几何体的体积为________．解析：过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2，则该几何体的体积V ＝V A 1B 1C 1-A 2B 2C ＋V C -ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. 答案：616．(一题两空)已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________．解析：该三棱锥侧面的斜高为 ⎝⎛⎭⎫13×32＋12＝233，则S 侧＝3×12×2×233＝23，S 底＝12×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S 表＝23＋3＝3 3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积V 锥＝13S 表·r ＝13S 底·1，所以33r ＝3，所以r ＝13，所以三棱锥的内切球的体积最大为V max ＝43πr 3＝4π81. 答案：334π81。
8-1空间几何体的结构特征、三视图、直观图
{ 真题演练集训 }1．[2017·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16答案：B解析：观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.2．[2017·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．3 2 B．2 3 C．2 2 D．2答案：B解析：在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝22＋22＋22＝2 3.故选B.3．[2016·天津卷]将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()答案：B解析：由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.4．[2014·全国新课标卷Ⅰ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A．6 2 B. 4 2 C．6 D．4答案：C解析：如图，侧面SBC⊥底面ABC.点S在底面ABC的射影点O是BC的中点，△ABC为直角三角形．∵AB＝4，BO＝2，∴AO＝20，SO⊥底面ABC，∴SO⊥AO，SO＝4，∴最长的棱AS＝20＋16＝6.。
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第一章空间几何体的结构特征测试题
001
一、选择题：
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个（
A ）
A．棱台B．棱锥C．棱柱D
答
案：
A
从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台．
2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（A ）
A．B．C．D．
答案：A
因为四个面是全等的正三角形，则S
表面积
=4S
底面积44
=⨯=．
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ B ）
A．25πB．50πC．125πD．都不对
答案：B
长方体的对角线是球的直径，
4．底面是菱形的棱柱，其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ D ）
A．130 B．140 C．150 D．160
答案：D
设底面边长是a，底面的两条对角线分别为
12
l l
,，而222222
12
15595
l l
=-=-
,,
而222
12
4
l l a
+=，即22222
1559548485160
a a S ch
-+-====⨯⨯=
,,．
5．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（D ）A．9πB．10π
C．11πD．12π
答案：D
解析：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面积为22
411221312
Sππππ
=⨯+⨯⨯+⨯⨯=.
002
6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（D ）主视图左视图俯视图
俯视图正(主)视图侧(左)视图
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②④ 答案：D
解析：从选项看只要判断正方体的三视图都相同就可以选出正确答案． 003 二、填空题
7．若三个球的表面积之比是1︰2︰3，则它们的体积之比是1:22:33． 答案：1:22:33
333333123123123::1:2:3 ::::1:(2):(3)1:22:33r r r V V V r r r ====,．
004 8．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ），则该几何体的体积为 3 m 3． 解析：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，
1
2436V =⨯⨯⨯．
005
9．若某几何体的三视cm ）如图所示，则此几何体的
体积是 18 cm 3． 答案：18
解析：该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339⨯⨯=，上面的长方体体积为
3319⨯⨯=，因此其几何体的体积为18． 006 10．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为 24 ． 答案：24 正方体的体对角线就是球的直径
解析：由
3
4433
R ππ=得3R ，23R a =，所以2a =，表面积为2624a =．
007
三、解答题：
11．长方体的全面积为11，所有棱长之和之和为24，求长方体的对角线长； 解：设长方体同一顶点出发的三条棱长分别为a 、b 、c ，则
所以，对角线长5)(2)(2222=++-++=++=ca bc ab c b a c b a l ．
GR02SXK01CS-T03 GR02SXK01CS-T04 GR02SXK01CS-T05
008
12．如图，一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长 为3的正三角形、俯视图轮廓是边长为3的正方形． (1)求该几何体的高及侧棱长；
(2)求该几何体的侧面积．
解：该几何体是底面边长为3，斜高为3的正四棱锥S -ABCD (1)如图，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，O 为底面中心，SO 为高．在等边△SEF 中，高2
3
3=
SO ， 在Rt △SAE 中，侧棱52
3
)23(32222=
+=+=AE SE SA (2) 侧面积18332
1
4=⨯⨯⨯=S ．
俯视图
正视图
侧视图
GR02SXK01CS-T06 图形中字母用斜体。