空间几何体的结构特征及表面积与体积

空间几何体的结构特征及表面积与体积

A级——夯基保分练

1．下列说法中正确的是()

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

解析：选D当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故B错误；由几何图形知，若以正六边形为底面，且侧棱长相等正六棱锥棱长必然要大于底面边长，故C错误．选D.

2.如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中

B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段

对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么()

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AD，最短的是AC

解析：选C由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴，又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC 为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立．

3．(2019·吉林调研)已知圆锥的高为3，底面半径长为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为()

A．5 B. 5

C．9 D.3

解析：选B∵圆锥的底面半径R＝4，高h＝3，∴圆锥的母线l＝5，∴圆锥的侧面积S＝πRl＝20π.设球的半径为r，则4πr2＝20π，∴r＝ 5.故选B.

4.(2020·山东省实验中学模拟)我国古代《九章算术》里，记载了一个

“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高

三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，

下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？

该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长

的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为( )

A ．13.25立方丈

B ．26.5立方丈

C ．53立方丈 D.106立方丈

解析：选B 由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故选B.

5．(2020·南昌模拟)正四棱锥V -ABCD 的五个顶点在同一个球面上．若其底面边长为4，侧棱长为26，则此球的体积为( )

A ．722π

B ．36π

C ．92π D.9π2

解析：选B 由题意知正四棱锥的高为(26)2－(22)2＝4，设其外接球的半径为R ，则R 2＝(4－R )2＋(22)2，解得R ＝3，所以外接球的体积为43πR 3＝43

π×33＝36π.故选B. 6.(2019·安徽马鞍山第二次质监)如图，半径为R 的球的两个内接圆

锥有公共的底面．若两个圆锥的体积之和为球的体积的38

，则这两个圆锥的高之差的绝对值为( )

A.R 2

B.2R 3

C.4R 3

D.R

解析：选D 设球的球心为O ，半径为R ，体积为V ，上面圆锥的高为h (h R )，体积为V 2，两个圆锥共用的底面的圆心为O 1，半径为r .由球和圆锥的对称性可知h ＋H ＝2R ，|OO 1|＝H －R .

∵V 1＋V 2＝38V ，∴13πr 2h ＋13πr 2H ＝38×43πR 3，∴r 2(h ＋H )＝32R 3.∵h ＋H ＝2R ，∴r ＝32

R .∵OO 1垂直于圆锥的底面，∴OO 1垂直于底面的半径，由勾股定理可知R 2＝r 2＋|OO 1|2，∴

R 2＝r 2＋(H －R )2，∴H ＝32R ，∴h ＝12

R ，则这两个圆锥的高之差的绝对值为R ，故选D. 7．(多选)已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a ，a 的矩形，设该圆柱的体积为V ，则V ＝( ) A.a 3

π

B.a 32π

C.2a 3

π D.πa 32

解析：选AB 设圆柱的母线长为l ，底面圆的半径为r ，则当l ＝2a 时，2πr ＝a ，∴r

＝a 2π，这时V 圆柱＝2a ·π⎝⎛⎭⎫a 2π2＝a 32π；当l ＝a 时，2πr ＝2a ，∴r ＝a π，这时V 圆柱＝a ·π⎝⎛⎭⎫a π2＝a 3

π.综上，该圆柱的体积为a 32π或a 3

π. 8．(多选)(2020·潍坊模拟)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( )

A ．截面形状可能为正三角形

B ．截面形状可能为正方形

C ．截面形状可能为正六边形

D ．截面面积最大值为3 3

解析：选ACD 如图，显然A ，C 成立，下面说明D 成立，

如图截得正六边形，面积最大，MN ＝22，GH ＝2，

OE ＝OO ′2＋O ′E 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫222＝62

， 所以S ＝2·12·(2＋22)·62

＝33， 故D 成立．

故选A 、C 、D.

9.如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别

是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A -A 1EF 的体积是________．

解析：因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1∥BB 1，AA 1⊂平面

AA 1C 1C ，BB 1⊄平面AA 1C 1C ，所以BB 1∥平面AA 1C 1C ，从而点E 到平面

AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离，作BH ⊥AC ，垂足为点

H ，由于△ABC 是正三角形且边长为4，所以BH ＝23，从而三棱锥

A -A 1EF 的体积V A -A 1EF ＝V E -A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12

×6×4×23＝8 3.

答案：8 3

10．(一题两空)母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5

，则该圆锥的底面圆的半径为________，体积为________．