空间几何体的结构特征及表面积与体积
空间几何体的表面积与体积

V柱 = pR2·2R
面积, 再减去渗水孔的面积.
组合体的体积怎样计算?
柱体、锥体、台体 京沪铁路全长1462 km,
球的表面积公式是怎样的? 是用什么方法得到的?
京沪高铁全长1318 km. 0230568 (kg),
的表面积与体积
∴ h(a+c)>bh,
≈1197 (cm2).
球的体积和表面积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
12
解: 这个零件的表面积为
S = S棱柱表+S圆柱侧
p = 2 [ 6 3 ( 2 + 1 4 )+ 6 2 ] 1 5 + 2 6 25
≈1579.485 (mm2),
10000个零件的表面积约为15794850 mm2,
约合15.795平方米.
2. 如图是一种机器零件, 零件
下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧
种零件需要用锌, 已知每平方米用锌 0.
某街心花园有许多钢球(钢的密度是7.
在△SBC中, 边长为 a,
五棱台的上、下底面均是正五边形, 边长分别是 8 cm 和 18 cm, 侧面是全等的等腰梯形, 侧棱长是 13 cm, 求它的侧面面积.
≈2956 (mm3)
圆柱、圆锥、圆台的表面积
当半球切得的片数无限多,
2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 底面积加侧面积.
底面积: S底=p r2. 圆柱侧面积: S柱侧=2p rh. 圆锥侧面积: S锥侧=p rl. 圆台侧面积: S台侧=p l (r+r).
【课时小结】
3. 柱体、锥体、台体体积
柱体体积: V柱 = Sh.
锥体体积:
V锥
=
2023年新高考数学大一轮复习专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(原卷版)

专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点一:构成空间几何体的基本元素—点、线、面(1)空间中,点动成线,线动成面,面动成体.(2)空间中,不重合的两点确定一条直线,不共线的三点确定一个平面,不共面的四点确定一个空间图形或几何体(空间四边形、四面体或三棱锥).知识点二:简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1.棱柱:两个面互相平面,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(1)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱;(2)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱;(3)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱;(4)平行六面体:底面是平行四边形的棱柱;(5)直平行六面体:侧棱垂直于底面的平行六面体;(6)长方体:底面是矩形的直平行六面体;(7)正方体:棱长都相等的长方体.2.棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(1)正棱锥:底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心;(2)正四面体:所有棱长都相等的三棱锥.3.棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台,由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.知识点三:简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1.圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.2.圆柱:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.3.圆台:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台.4.球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称为球(球面距离:经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度).知识点四:组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.知识点五:表面积与体积计算公式表面积公式体积公式1.斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下:(1)建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ,Oy ,建立直角坐标系. (2)画出斜坐标系.在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形.在已知图形平行于x 轴的线段,在直观图中画成平行于''O x ,''O y ,使45'''∠=x O y (或135),它们确定的平面表示水平平面.(3)画出对应图形.在已知图形平行于x 轴的线段,在直观图中画成平行于'x 轴的线段,且长度保持不变;在已知图形平行于y 轴的线段,在直观图中画成平行于'y 轴,且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,纵减半”.(4)擦去辅助线.图画好后,要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线(虚线).被挡住的棱画虚线. 注:4. 2.平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点.【题型归纳目录】题型一:空间几何体的结构特征 题型二:空间几何体的表面积与体积 题型三:直观图 题型四:最短路径问题 【典例例题】题型一:空间几何体的结构特征例1.(2022·全国·模拟预测)以下结论中错误的是( ) A .经过不共面的四点的球有且仅有一个 B .平行六面体的每个面都是平行四边形 C .正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D .棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直例2.(2022·全国·高三专题练习(文))下列说法正确的是( ) A .经过三点确定一个平面B .各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C .各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D .一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形例3.(2022·海南·模拟预测)“三棱锥P ABC -是正三棱锥”的一个必要不充分条件是( ) A .三棱锥P ABC -是正四面体 B .三棱锥P ABC -不是正四面体 C .有一个面是正三角形 D .ABC 是正三角形且PA PB PC ==例4.(2022·全国·高三专题练习)给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A .0 B .1C .2D .3例5.(2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习)下列说法正确的是( ) A .有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B .过空间内不同的三点,有且只有一个平面 C .棱锥的所有侧面都是三角形D .用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台例6.(2022·全国·高三专题练习)给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A .0 B .1C .2D .3例7.(2022·全国·高三专题练习)莱昂哈德·欧拉,瑞士数学家和物理学家,近代数学先驱之一,他的研究论著几乎涉及到所有数学分支,有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现,不论什么形状的凸多面体,其顶点数V 、棱数E 、面数F 之间总满足数量关系2,V F E +-=,此式称为欧拉公式,已知某凸32面体,12个面是五边形,20个面是六边形,则该32面体的棱数为___________;顶点的个数为___________.例8.(2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测(理))如图,正方体1AC 上、下底面中心分别为1O ,2O ,将正方体绕直线12O O 旋转360︒,下列四个选项中为线段1AB 旋转所得图形是( )A .B .C .D .例9.(多选题)(2022·全国·高三专题练习)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )(多选)A .①是棱台B .②是圆台C .③是棱锥D .④是棱柱例10.(2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习(理))碳60(60C )是一种非金属单质,它是由60个碳原子构成的分子,形似足球,又称为足球烯,其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体,共32个面,且满足:顶点数-棱数+面数=2.则其六元环的个数为__________.【方法技巧与总结】 熟悉几何体的基本概念.题型二:空间几何体的表面积与体积例11.(多选题)(2022·湖北·高三阶段练习)折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9,且120ABC ∠=,则该圆台的( )A .高为BC .表面积为34πD .上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:22例12.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(理))设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍,则该圆锥的高与母线长的比值为( )A .89B C D .23例13.(2022·云南·二模(文))已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为62,所有棱长之和为40,则线段1AC 的长为( )A B C D例14.(2022·福建省福州第一中学三模)已知AB ,CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径,且AB CD ⊥,.1O ,O 分别为上、下底面的圆心,若圆柱的底面圆半径与母线长相等,且三棱锥A BCD -的体积为18,则该圆柱的侧面积为( ) A .9π B .12π C .16π D .18π例15.(2022·河南·模拟预测(文))在正四棱锥P ABCD -中,AB =P ABCD -的体积是8,则该四棱锥的侧面积是( )AB .C .D .例16.(2022·全国·高三专题练习)《九章算术》中将正四棱台体(棱台的上下底面均为正方形)称为方亭.如图,现有一方亭ABCD EFHG -,其中上底面与下底面的面积之比为1:4,方亭的高h EF =,BF =,方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形,已知方亭四个侧面的面积之和 )A .24B .643C .563D .16例17.(2022·湖南·高三阶段练习)如图,一种棱台形状的无盖容器(无上底面1111D C B A )模型其上、下底面均为正方形,面积分别为24cm ,29cm ,且1111A A B B C C D D ===,若该容器模型的体积为319cm 3,则该容器模型的表面积为( )A .()29cmB .219cmC .()29cmD .()29cm例18.(2022·海南海口·二模)如图是一个圆台的侧面展开图,其面积为3π,两个圆弧所在的圆半径分别为2和4,则该圆台的体积为( )A B C D例19.(2022·全国·高三专题练习)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面的半径分别为4和5,则该圆台的侧面积为( )A .B .C .D .例20.(2022·河南安阳·模拟预测(文))已知圆柱12O O 的底面半径为1,高为2,AB ,CD 分别为上、下底面圆的直径,AB CD ⊥,则四面体ABCD 的体积为( ) A .13B .23C .1D .43例21.(2022·山东·烟台市教育科学研究院二模)鲁班锁是我国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中的榫卯结构,其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具,图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成,其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动(忽略摩擦),则此正方体表面积的最小值为________.例22.(2022·湖北省天门中学模拟预测)已知一个圆柱的体积为2 ,底面直径与母线长相等,圆柱内有一个三棱柱,与圆柱等高,底面是顶点在圆周上的正三角形,则三棱柱的侧面积为__________.例23.(2022·上海闵行·二模)已知一个圆柱的高不变,它的体积扩大为原来的4倍,则它的侧面积扩大为原来的___________倍.例24.(2022·浙江绍兴·模拟预测)有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体,如图,将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥,如此共截去4个正三棱锥,若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体,且正六边形的面积为2,则原正四面体的表面积为_________.例25.(2022·上海徐汇·三模)设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2,圆锥顶点到直线ABAB和圆锥的轴的距离为1,则该圆锥的侧面积为___________.例26.(2022·全国·高三专题练习)中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分,计算其体积所用的“幂势即同,则积不容异”是中国古代数学的研究成果,根据此原理,取牟合方盖的一半,其体积等于与其同底等高的正四棱柱中,去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积(如图1所示).现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上,三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等,三个圆柱的公共部分为如图2,则该几何体的体积为___________.【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式,注意直角等特殊角. 题型三:直观图例27.(2022·全国·高三专题练习)如图,已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图是边长为a 的正三角形,原ABC 的面积为 __.例28.(2022·浙江·镇海中学模拟预测)如图,梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图,其中45ABC ∠=︒,1AB AD ==,DC BC ⊥,则原图形的面积为( )A .1B .2C .2D .1例29.(2022·全国·高三专题练习)如图,△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图,其中2O C O A O B ''''''==,则以下说法正确的是( )A .△ABC 是钝角三角形B .△ABC 是等边三角形C .△ABC 是等腰直角三角形D .△ABC 是等腰三角形,但不是直角三角形例30.(2022·全国·高三专题练习)如图,水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D '''',已知2,2A O O B B C =='''''=',则四边形ABCD 的周长为( )A .20B .12C .8+D .8+例31.(2022·全国·高三专题练习(文))如图,已知等腰直角三角形O A B '''△,O A A B ''''=是一个平面图形的直观图,斜边2O B ''=,则这个平面图形的面积是( )A B .1 C D .例32.(2022·全国·高三专题练习)一个三角形的水平直观图在x O y '''是等腰三角形,底角为30,腰长为2,如图,那么它在原平面图形中,顶点B 到x 轴距离是( )A .1B .2CD .【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系:S 直原. 题型四:最短路径问题例33.(多选题)(2022·广东广州·三模)某班级到一工厂参加社会实践劳动,加工出如图所示的圆台12O O ,在轴截面ABCD 中,2cm AB AD BC ===,且2CD AB =,则( )A .该圆台的高为1cmB .该圆台轴截面面积为2C 3D .一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点,所经过的最短路程为5cm例34.(2022·河南洛阳·三模(理))在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点E 为1CC 上的动点,则1D E EB +的最小值为___________.例35.(2022·黑龙江齐齐哈尔·二模(文))如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒,点E 是侧棱1BB 上的一个动点,则下列判断正确的有___________.(填序号)②存在点E ,使得1A EA ∠为钝角③截面1AEC 周长的最小值为例36.(2022·河南·二模(理))在正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,P 是线段1BC 上的一动点,则1A P PC +的最小值为________.例37.(2022·陕西宝鸡·二模(文))如图,在正三棱锥P ABC -中,30APB BPC CPA ∠=∠=∠=,4PA PB PC ===,一只虫子从A 点出发,绕三棱锥的三个侧面爬行一周后,又回到A 点,则虫子爬行的最短距离是___________.例38.(2022·安徽宣城·二模(理))已知正四面体ABCD 的棱长为2,P 为AC 的中点,E 为AB 中点,M 是DP 的动点,N 是平面ECD 内的动点,则||||AM MN +的最小值是_____________.例39.(2022·新疆阿勒泰·三模(理))如图,圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E ,则蚂蚁爬行的最短距离为( )A .B .C .D例40.(2022·云南·昆明一中高三阶段练习(文))一竖立在水平地面上的圆锥形物体,一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P 出发,绕圆锥表面爬行一周后回到P 点,已知圆锥底面半径为1,母线长为3,则蚂蚁爬行的最短路径长为( )A .3B .C .πD .2π【方法技巧与总结】此类最大路径问题:大胆展开,把问题变为平面两点间线段最短问题. 【过关测试】一、单选题1.(2022·河北·高三阶段练习)已知圆锥的高为1,则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为( )A .2B .52C D .32.(2022·全国·模拟预测(文))若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形,正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ,B ,C ,D 在圆锥底面上,1A ,1B ,1C ,1D 在圆锥侧面上,则该正方体的棱长为( )A .B .C .(2D .(23.(2022·全国·高三专题练习)已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,且面积为4,则圆锥的体积为( ) A .43 B .43πC .83D .83π4.(2022·广东深圳·高三阶段练习)通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器,用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm )制作该容器的侧面,则该圆台形容器的高为( )AB .1cmCD 5.(2022·全国·高三专题练习)已知一个直三棱柱的高为2,如图,其底面ABC 水平放置的直观图(斜二测画法)为A B C ''',其中1O A O B O C ''''''===,则此三棱柱的表面积为( )A.4+B .8+C .8+D .8+6.(2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测)已知某圆锥的侧面积为的半径为( ) A .2B .3C .4D .67.(2022·山西大同·高三阶段练习)正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4,侧棱长为2,则其体积为( )A .56B C .D .5638.(2022·江西九江·三模(理))如图,一个四分之一球形状的玩具储物盒,若放入一个玩具小球,合上盒盖,可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体,合上盒盖,可放正方体的最大棱长为a ,则ra=( )A B .34C .2D .)3129.(2022·浙江湖州·模拟预测)如图,已知四边形ABCD ,BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形,ABD △为等边三角形,2BD =,将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中,下列结论中不正确...的是( )A .BD PC ⊥B .DP 与BC 可能垂直C .直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D .四面体PBCD 10.(2022·全国·高三专题练习)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m .时,相应水面的面积为21400km .;水位为海拔1575m .时,相应水面的面积为21800km .,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔1485m .上升到1575m .2.65≈)( ) A .931.010m ⨯ B .931.210m ⨯C .931.410m ⨯D .931.610m ⨯二、多选题11.(2022·河北·高三阶段练习)如图,正方体1111ABCD A B C D -棱长为1,P 是1A D 上的一个动点,下列结论中正确的是( )A .BPB .PA PC +C .当P 在直线1AD 上运动时,三棱锥1B ACP -的体积不变D .以点B 1AB C 12.(2022·全国·高三专题练习)如图,四边形ABCD 为正方形,ED ⊥平面ABCD ,,2FB ED AB ED FB ==∥,记三棱锥E ACD -,F ABC -,F ACE -的体积分别为123,,V V V ,则( )A .322V V =B .31V V =C .312V V V =+D .3123V V =13.(2022·江苏·常州高级中学模拟预测)棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 为线段1A C 上的动点,点M ,N 分别为线段11A C ,1CC 的中点,则下列说法正确的是( ) A .11A P AB ⊥ B .三棱锥1M B NP -的体积为定值 C .[]160,120APD ∠∈︒︒D .1AP D P +的最小值为2314.(2022·湖北·高三阶段练习)折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9,且120ABC ∠=,则该圆台的( )A .高为B .体积为3C .表面积为34πD .上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:22三、填空题15.(2022·全国·高三专题练习)已知一三角形ABCA B C '''(如图),则三角形ABC 中边长与正三角形A B C '''的边长相等的边上的高为______.16.(2022·上海·模拟预测)已知圆柱的高为4,底面积为9π,则圆柱的侧面积为___________;17.(2022·新疆·三模(理))已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动,若圆锥的底面半径为1,母线长为2,则a 的最大值为______.18.(2022·吉林长春·高三阶段练习(理))中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”,如图(1)(2).刘徽未能求得牟合方盖的体积,直言“欲陋形措意,惧失正理”,不得不说“敢不阙疑,以俟能言者”.约200年后,祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同,则积不容异”,后世称为祖暅原理,即:两等高立体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立体体积相等,如图(3)(4).已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”,祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知,若正方体的棱长为1,则其牟合方盖的体积为______. 四、解答题19.(2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习)如图,已知四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥.(1)求证:PA 平面MDB ;(2)当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π,且4,DC DA AB =⊥时,求出多面体MPABD 的体积.20.(2022·全国·南宁二中高三期末(文))图1是由矩形ABGF ,Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形,其中2AB =,1==AE AF ,60BAD ∠=︒,将该图形沿AB ,AD 折起使得AE 与AF 重合,连接CG ,如图2.(1)证明:图2中的C ,D ,E ,G 四点共面; (2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.21.(2022·全国·高三专题练习)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ,AB =BC =1,BB 1=2,∠BCC 1=60°.(1)求证:BC 1⊥平面ABC ;(2)E 是棱CC 1上的一点,若三棱锥E -ABC CE 的长.22.(2022·青海·海东市第一中学模拟预测(文))如图,在三棱柱111ABC A B C -中,112224AC AA AB AC BC =====,160BAA ∠=︒.(1)证明:平面ABC ⊥平面11AA B B .(2)设P 是棱1CC 上一点,且12CP PC =,求三棱锥111A PB C -体积.。
高考立体几何知识点与题型精讲

高考立体几何知识点与题型精讲在高考数学中,立体几何是一个重要的板块,它不仅考查学生的空间想象能力,还对逻辑推理和数学运算能力有较高要求。
接下来,咱们就一起深入探讨一下高考立体几何的知识点和常见题型。
一、知识点梳理1、空间几何体的结构特征(1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
(2)棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形。
(3)棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分。
2、空间几何体的表面积和体积(1)圆柱的表面积:S =2πr² +2πrl (r 为底面半径,l 为母线长)。
体积:V =πr²h (h 为高)。
(2)圆锥的表面积:S =πr² +πrl 。
体积:V =1/3πr²h 。
(3)球的表面积:S =4πR² 。
体积:V =4/3πR³ 。
3、空间点、直线、平面之间的位置关系(1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
(2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
(3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
(2)性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
5、平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
(2)性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
6、直线与平面垂直的判定与性质(1)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
(2)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
7、平面与平面垂直的判定与性质(1)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
立体几何的体积和表面积辅导讲义

旋转体 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连
线所在直线旋转得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到.
(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.
2.三视图与直观图
三视图
画法规则:长对正,高平齐,宽相等
空间几何的直观图:常用斜二测画法来画.
基本步骤是:
(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观
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综上可得,S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 思维升华 (1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的 组合情况;(2)由三视图求几何体的面积、体积,关键是由三视图还原几何体,同时还需掌握求体积的常用 技巧如:割补法和等价转化法.
(2)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 CBD,形成三棱锥 C-ABD 的正视 图与俯视图如图所示,则侧视图的面积为( )
空间几何体的表面积和体积
1.空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形.
多面体 (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形.
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.
(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.
17
5
10
1
A.27
B.9
C.27
D.3
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(2)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为( )
23
47
A. 3
B. 6
C.6
《空间几何体》基础的知识点

《空间几何体》知识点总结一、 空间几何体的结构特征(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其 中,这条定直线称为旋转体的轴。
(2 )柱,锥,台,球的结构特征1.1棱柱一一有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱.2.1棱锥一一有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。
2.2圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台 3.2圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台4.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球二、 空间几何体的三视图与直观图1. 投影:区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2. 三视图一一正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而 画出的图形;画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图:直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4. 斜二测法:在坐标系 x'o'y'中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性 不变,平行于x 轴(或在x 轴上)的线段保持长度不变,平行于y 轴(或在y 轴上)的线 段长度减半。
三、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积① 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和2② 圆柱的表面积S = 2二「I • 2二r 2 ③圆锥的表面积 S =理「I •二r 2、空间几何体的体积 ④圆台的表面积S 二rl + Tt r 2 2 2 R ⑤球的表面积S = 4二R ⑥扇形的面积公式s 扇形 360^1|r (其中I 表示弧长,r 表示半径) ①柱体的体积 v = s 底②锥体的体积 1 VjS 底 h③台体的体积 v =丄(S 上S 上 S 下 • S 下)h ④球体的体积v3 知识赠送以下资料英语万能作文(模板型)Along with the adva nee of the society more and more problems arebrought to our atte nti on, one of which is that....随着社会的不断发展,出现了越来越多的问题,其中之一便是As to whether it is a blessing or a curse, however, people take differe nt attitudes.然而,对于此类问题,人们持不同的看法。
空间几何体的结构、表面积与体积

2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间几何体的结构、表面积与体积1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧=2πrl S 圆锥侧=πrl S 圆台侧=π(r 1+r 2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积=S 侧+2S 底 V =S 底·h 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积=S 侧+S 底 V =13S 底·h台体(棱台和圆台)S 表面积=S 侧+S 上+S 下V =13(S 上+S 下+S 上S 下)h球S =4πR 2V =43πR 3概念方法微思考1.底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗?为什么?提示 不一定.因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱. 2.如何求不规则几何体的体积?提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形,将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.( √ ) (4)锥体的体积等于底面积与高之积.( × )(5)已知球O 的半径为R ,其内接正方体的边长为a ,则R =32a .( √ ) (6)圆柱的一个底面积为S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × ) 题组二 教材改编2.已知圆锥的表面积等于12π cm 2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( ) A .1 cm B .2 cm C .3 cm D.32 cm答案 B解析 S 表=πr 2+πrl =πr 2+πr ·2r =3πr 2=12π,。
高考数学复习考点题型专题讲解13 空间几何体的结构、表面积和体积

高考数学复习考点题型专题讲解专题13 空间几何体的结构、表面积和体积高考定位空间几何体的结构特征是高考重点考查的内容.近几年主要考查空间几何体的表面积与体积,常以选择题与填空题为主,也涉及空间几何体的结构特征等内容,要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力,难度为中低档.1.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A.2B.2 2C.4D.4 2答案 B解析设圆锥的母线长为l,因为该圆锥的底面半径为2,侧面展开图为一个半圆,所以2π×2=πl,解得l=22,故选B.2.(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(7≈2.65)()A.1.0×109 m3B.1.2×109 m3C.1.4×109 m3D.1.6×109 m3答案 C解析如图,由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m),所以该棱台的体积V=13×9×(140+140×180+180)×106=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3).故选C.3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为33和43,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.100πB.128πC.144πD.192π答案 A解析由题意得,正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为23×32×33=3,23×32×43=4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1,O2,连接O1O2,则O1O2=1,其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R,当球心O在线段O1O2上时,R2=32+OO21=42+(1-OO1)2,解得OO1=4(舍去);当球心O不在线段O1O2上时,R2=42+OO22=32+(1+OO2)2,解得OO2=3,所以R2=25,所以该球的表面积为4πR2=100π.综上,该球的表面积为100π.4.(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲V乙=( )A.5B.2 2C.10D.510 4答案 C解析法一因为甲、乙两个圆锥的母线长相等,所以结合S甲S乙=2,可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l=3,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则由题意知,两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆,所以2πr1=4π,2πr2=2π,得r1=2,r2=1.由勾股定理得,h1=l2-r21=5,h2=l2-r22=22,所以V甲V乙=13πr21h113πr22h2=4522=10.故选C.法二设两圆锥的母线长为l,甲、乙两圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,侧面展开图的圆心角分别为n1,n2,则由S甲S乙=πr1lπr2l=n1πl22πn2πl22π=2,得r1r2=n1n2=2.由题意知n1+n2=2π,所以n1=4π3,n2=2π3,所以2πr 1=4π3l ,2πr 2=2π3l ,得r 1=23l ,r 2=13l .由勾股定理得,h 1=l 2-r 21=53l ,h 2=l 2-r 22=223l , 所以V 甲V 乙=13πr 21h 113πr 22h 2=4522=10.故选C.热点一 空间几何体的结构特征关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种几何体的概念. 例1 (1)以下四个命题中,真命题为( ) A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 B.底面是矩形的平行六面体是长方体 C.直四棱柱是直平行六面体 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 (2)给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案(1)D (2)A解析(1)A中等腰三角形的腰不一定是侧棱,A是假命题;B中,侧棱与底面矩形不一定垂直,B是假命题;C中,直四棱柱的底面不一定是平行四边形,C是假命题;根据棱台的定义,选项D是真命题.(2)①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;③错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上,解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.2.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的,所以在解决棱(圆)台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.训练1(多选)(2022·潍坊调研)下面关于空间几何体的叙述正确的是( )A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C.长方体是直平行六面体D.存在每个面都是直角三角形的四面体答案CD解析A中当顶点在底面的投影是正多边形的中心时才是正棱锥,A不正确;B中当平面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面才为矩形或圆,否则为椭圆或椭圆的一部分,B不正确;C正确;D正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形.热点二空间几何体的侧面积、表面积柱体、锥体、台体和球的表面积公式:(1)若圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S侧=2πrl,S表=2πr(r+l).(2)若圆锥的底面半径为r,母线长为l,则S侧=πrl,S表=πr(r+l).(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′,r,则S侧=π(r+r′)l,S表=π(r2+r′2+r′l+rl).(4)若球的半径为R,则它的表面积S=4πR2.例2 (1)如图,四面体各个面都是边长为1的正三角形,其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是上底面圆心,则圆柱的侧面积是( )A.23π B.324π C.223π D.22π(2)(多选)等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积可以为( )A.2πB.(1+2)πC.22πD.(2+2)π 答案 (1)C (2)AB解析 (1)如图所示,过点P 作PE ⊥平面ABC ,E 为垂足,点E 为等边三角形ABC 的中心,连接AE 并延长,交BC 于点D .AE =23AD ,AD =32,∴AE =23×32=33,∴PE =PA 2-AE 2=63. 设圆柱底面半径为r ,则r =AE =33,∴圆柱的侧面积S =2πr ·PE =2π×33×63=22π3. (2)如果绕直角边旋转,则形成圆锥,圆锥底面半径为1,高为1,母线就是直角三角形的斜边,长为2,所以所形成的几何体的表面积S =π×1×2+π×12=(2+1)π.如果绕斜边旋转,则形成的是上、下两个共底面的圆锥,圆锥的底面半径是直角三角形斜边上的高22,两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,长是1,所以形成的几何体的表面积S′=2×π×22×1=2π.综上可知,形成几何体的表面积是(2+1)π或2π.故选AB.易错提醒 1.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.2.多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.训练2 (1)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是__________.(2)(多选)(2022·青岛质检)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均为正方形,其中AB=22,A1B1=2,AA1=BB1=CC1=2,则下列结论正确的是( )A.该四棱台的高为3B.AA1⊥CC1C.该四棱台的表面积为26D.该四棱台外接球的表面积为16π答案(1)1 (2)AD解析(1)如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则圆锥的侧面积S侧=πrl=2π,即r·l=2.由于侧面展开图为半圆,可知12πl2=2π,可得l=2(cm),因此r =1(cm).(2)由棱台的性质,把四棱台还原为四棱锥如图所示.由题易知点S 在平面A 1B 1C 1D 1和平面ABCD 的射影分别为点O 1,O ,连接OS ,OA ,则O 1在OS 上,由AB =22,A 1B 1=2,可知△SA 1B 1与△SAB 的相似比为1∶2, 则SA =2AA 1=4,AO =2, 则SO =23,OO 1=3,即该四棱台的高为3,故A 正确; 因为SA =SC =AC =4,所以AA 1与CC 1的夹角为60°,不垂直,故B 错误;该四棱台的表面积S =S 上底+S 下底+S 侧=(2)2+(22)2+4×(2+22)2×22-⎝ ⎛⎭⎪⎫222=10+67,故C 错误;由于上、下底面都是正方形,则外接球的球心在OO 1上,在平面B 1BOO 1中, 由于OO 1=3,B 1O 1=1, 则OB 1=2=OB ,即点O 到点B与点B 1的距离相等,所以该四棱台的外接球的球心为O ,半径r =2,所以该四棱台外接球的表面积为16π,故D正确.故选AD.热点三空间几何体的体积柱体、锥体、台体和球的体积公式:(1)V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);(2)V锥体=13Sh(S为底面面积,h为高);(3)V台体=13(S上+S下+S上S下)h(S上、S下分别为上、下底面面积,h为高);(4)V球=43πR3.考向1 直接利用公式求体积例3 正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为( ) A.20+123B.28 2C.563D.2823答案 D解析如图,设上、下底面的中心分别为O1,O,过点B1作B1M⊥OB于点M,则O1B1=2,OB=22,BM=2,所以该棱台的高h=B1M=4-2=2,所以该四棱台的体积为h3(S上+S下+S上S下)=23(22+42+22×42)=2823,故选D.考向2 割补法求体积例4 如图,在多面体ABCDEF 中,已知四边形ABCD 是边长为1的正方形,且△ADE ,△BCF 均为正三角形,EF ∥AB ,EF =2,则该多面体的体积为________.答案23解析 过AD 做与底面ABCD 垂直的平面交EF 于点G ,过BC 做与底面ABCD 垂直的平面交EF 于点H ,则多面体ABCDEF 被分为三棱锥E -ADG ,三棱柱ADG -BCH ,三棱锥F -HBC 三部分.依题意,三棱锥E -ADG 的高EG =12,直三棱柱AGD -BHC 的高AB =1.则AG =AE 2-EG 2=12-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=32.取AD 的中点M ,并连接MG ,则MG =⎝ ⎛⎭⎪⎫322-⎝ ⎛⎭⎪⎫122=22,所以S △AGD =12×1×22=24,∴V 多面体=V E -ADG +V F -BCH +V ADG -BCH =2V E -ADG +V ADG -BCH =13×24×12×2+24×1=23.考向3 等体积法求体积例5(2022·台州调研)如图,已知四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,平面ABCD⊥平面APB,G为PC上一点,且BG⊥平面APC,AB=2,则三棱锥P-ABC体积的最大值为( )A.23B.223C.43D.2答案 A解析由题意知,平面ABCD⊥平面APB,则BC⊥AP.又由BG⊥平面APC,得BG⊥AP.因为BC∩BG=B,所以AP⊥平面PBC,所以AP⊥BP,所以V P-ABC=V C-APB=13×12PA·PB·BC=13PA·PB.令PA=m,PB=n,则m2+n2=4,所以V P-ABC=13mn≤13·m2+n22=23,当且仅当m=n=2时取等号,所以三棱锥P-ABC体积的最大值为23 .规律方法 1.规则的几何体可以直接利用相应的公式求解,这就需要熟记柱体、锥体的体积公式;2.不规则的几何体往往可以通过“间接法”——割补法求得,即把不规则的几何体通过“割补”手段,转化为规则几何体体积的和或差.训练3 (1)(2022·广州模拟)在五面体EF-ABCD中,正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直,四边形ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AD=DC=BC=12AB.若三棱锥A-BCE的体积为433,则线段AB的长为________.(2)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A 1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为______g.答案(1)4 (2)118.8解析(1)取AB的中点O,连接CO.因为AD =DC =BC =12AB ,AB ∥CD ,所以四边形AOCD 为菱形, 所以CO =OA =OB , 所以△ACB 为直角三角形, 所以AC ⊥BC .因为正方形CDEF 所在平面与平面ABCD 垂直,CD 为交线,ED ⊥CD , 所以ED ⊥平面ABCD . 设BC =x ,则ED =x ,AB =2x . 由勾股定理得AC =3x , 故V A -BCE =V E -ABC =13S △ABC ·ED ,S △ABC =12·x ·3x =32x 2, 所以V A -BCE =13·32x 2·x =36x 3=433.解得x =2.所以AB =4.(2)由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形,其对角线长分别为6 cm 和4 cm , 故V 挖去的四棱锥=13×12×4×6×3=12(cm 3).又V 长方体=6×6×4=144(cm 3),所以模型的体积为V-V挖去的四棱锥=144-12=132(cm3),长方体所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g).一、基本技能练1.下列说法中,正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形B.若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的其他侧面也是矩形C.正方体的所有棱长都相等D.棱柱的所有棱长都相等答案 C解析棱柱的侧面都是平行四边形,选项A错误;其他侧面可能是平行四边形,选项B错误;棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等,选项D错误;易知选项C正确.2.如图所示的等腰梯形是一个几何图形的斜二测直观图,其底角为45°,上底和腰均为1,下底为2+1,则此直观图对应的平面图形的面积为( )A.1+2B.2+ 2C.2+22D.4+2 2答案 B解析 ∵平面图形的直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形, ∴平面图形为直角梯形,且直角腰长为2,上底边长为1,下底边长为2+1, ∴平面图形的面积S =1+1+22×2=2+ 2.故选B. 3.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( )A.4B.43C.23D.3 答案 B解析 易知该几何体是由上、下两个全等的正四棱锥组成的,其中正四棱锥底面边长为2,棱锥的高为1,所以该多面体的体积V =2×13×(2)2×1=43.4.已知在梯形ABCD 中,∠ABC =π2,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2,则将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( ) A.(5+2)π B.(4+2)π C.(5+22)π D.(3+2)π 答案 A解析 因为在梯形ABCD 中,∠ABC =π2,AD ∥BC ,BC =2AD =2AB =2,所以将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1,高为1的圆锥后剩余的部分,如图所示.所以该几何体的表面积S=π×12+2π×1×2+π×1×12+12=(5+2)π.5.如图,位于西安大慈恩寺的大雁塔,是唐代玄奘法师为保存经卷、佛像而主持修建的,是我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥,其侧棱与底面所成的角为45°,则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为( )A.3∶2B.2∶2C.3∶3D.3∶4答案 D解析设塔顶是正四棱锥P-ABCD(如图),PO是正四棱锥的高.设正四棱锥底面边长为a,则底面面积S1=a2,因为AO=22a,∠PAO=45°,所以PA=2×22a=a,所以△PAB是正三角形,其面积为S 2=34a2,所以S2∶S1=34a2∶a2=3∶4.6.过圆锥的轴作截面,如果截面为正三角形,则称该圆锥为等边圆锥.已知在一等边圆锥中,过顶点P的截面与底面交于CD,若∠COD=90°(O为底面圆心),且S△PCD=7 2,则这个等边圆锥的表面积为( )A.2π+2πB.3πC.2π+3πD.π+3π答案 B解析如图,连接PO,设圆锥的母线长为2a,则圆锥的底面圆的半径为a,高为PO=3 a.由已知得CD=2a,PC=PD=2a,则S△PCD=12×2a×(3a)2+⎝⎛⎭⎪⎫22a2=72,从而可得a=1,圆锥的表面积为πa×2a+πa2=3πa2=3π.7.如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,ED ⊥平面ABCD ,FC ⊥平面ABCD ,ED =2FC =2,则四面体ABEF 的体积为( )A.13B.23C.1D.43答案 B解析∵ED ⊥平面ABCD 且AD ⊂平面ABCD , ∴ED ⊥AD .∵在正方形ABCD 中,AD ⊥DC , 又DC ∩ED =D ,DC ,ED ⊂平面CDEF , ∴AD ⊥平面CDEF .易知FC =ED2=1,V A -BEF =V ABCDEF -V F -ABCD -V A -DEF .∵V E -ABCD =13·ED ·S 正方形ABCD =13×2×2×2=83,V B -EFC =13·BC ·S △EFC =13×2×2×1×12=23, ∴V ABCDEF =V E -ABCD +V B -EFC =83+23=103.又V F -ABCD =13·FC ·S 正方形ABCD =13×1×2×2=43,V A -DEF =13·AD ·S △DEF =13×2×2×2×12=43,∴V A -BEF =V ABCDEF -V F -ABCD -V A -DEF =103-43-43=23.故选B.8.黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为5-12,约为0.618.这个比例被公认为是最能引起美感的比例,因此被称为黄金比.在几何世界中有很多黄金图形,在三角形中,如果相邻两边之比等于黄金比,且它们夹角的余弦值为黄金比值,那么这个三角形一定是直角三角形,且这个三角形称为黄金分割直角三角形.在正四棱锥中,以黄金分割直角三角形的长直角边作为正四棱锥的高,黄金分割直角三角形的短直角边的边长作为底面正方形的边心距(正多边形的边心距是正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离),斜边作为正四棱锥的斜高,这样得到的正四棱锥称为黄金分割正四棱锥.在黄金分割正四棱锥中,以该正四棱锥的高为边长的正方形的面积与该正四棱锥的侧面积之比为( ) A.5-12 B.5+12C.1D.14答案 D解析 如图,在黄金分割正四棱锥P -ABCD 中,O 是正方形ABCD 的中心,PE 是正四棱锥的斜高,设OE =a ,则CD =2a , ∴Rt△POE 为黄金分割直角三角形,则OE PE =5-12, ∴PE =5+12a , 则PO =PE 2-OE 2=1+52a , ∴以该正四棱锥的高为边长的正方形的面积S =PO 2=1+52a 2, 又正四棱锥的四个侧面是全等的,∴S 侧=4S △PCD =4×12×CD ×PE =2(1+5)a 2,∴该正四棱锥的高为边长的正方形的面积与该正四棱锥的侧面积之比为14.9.(2022·潍坊二模)如图,在棱长为2的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中,点E ,F ,G 分别是棱A ′B ′,B ′C ′,CD 的中点,则由点E ,F ,G 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于________.答案332解析 分别取AD ,CC ′和AA ′的中点为P ,M ,N ,可得出过E ,F ,G 三点的平面截正方体所得截面为正六边形EFMGPN ,则正六边形的边长MG =CG 2+CM 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫222+⎝ ⎛⎭⎪⎫222=1,故截面多边形的面积等于S=6×34×12=33 2.10.(2022·佛山质检)已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A,B满足△SAB为等边三角形,且面积为43,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为________. 答案82π解析设圆锥的母线长为l,由△SAB为等边三角形,且面积为43,所以12l2sinπ3=43,解得l=4;又设圆锥底面半径为r,高为h,则由轴截面的面积为8,得rh=8;又r2+h2=l2=16,解得r=h=22,所以圆锥的侧面积S=πrl=π·22·4=82π.11.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,点D在棱AA1上,则三棱锥D-BB1C1的体积为________.答案23 3解析如图,取BC的中点O,连接AO.∵正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,∴AC=2,OC=1,则AO= 3.∵AA1∥平面BCC1B1,∴点D到平面BCC1B1的距离为 3.又S△BB1C1=12×2×2=2,∴V D-BB1C1=13×2×3=233.12.已知三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠ABC=π2,SB=4,SC=213,AB=2,BC=6,则三棱锥S-ABC的体积为________. 答案4 3解析∵∠ABC=π2,AB=2,BC=6,∴AC=AB2+BC2=22+62=210.∵∠SAB=π2,AB=2,SB=4,∴AS=SB2-AB2=42-22=2 3.由SC=213,得AC2+AS2=SC2,∴AC⊥AS.又∵SA⊥AB,AC∩AB=A,AC,AB⊂平面ABC,∴AS⊥平面ABC.∴AS为三棱锥S-ABC的高,∴V三棱锥S-ABC=13×12×2×6×23=4 3.二、创新拓展练13.(多选)(2022·无锡模拟)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是( )A.圆柱的侧面积为4πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C.圆柱的侧面积与球的表面积相等D.球的体积是圆锥体积的两倍答案ACD解析对于A,∵圆柱的底面直径和高都等于2R,∴圆柱的侧面积S1=2πR·2R=4πR2,故A正确;对于B,∵圆锥的底面直径和高都等于2R,∴圆锥的侧面积为S2=πR·R2+4R2=5πR2,故B错误;对于C,∵圆柱的侧面积为S1=4πR2,球的表面积S3=4πR2,即圆柱的侧面积与球的表面积相等,故C正确;对于D,球的体积为V1=43πR3,圆锥的体积为V2=13πR2·2R=23πR3,即球的体积是圆锥体积的两倍,故D正确.14.(多选)(2022·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖,通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ,这个角接近30°.若取θ=30°,侧棱长为21米,则( )A.正四棱锥的底面边长为6米B.正四棱锥的底面边长为3米C.正四棱锥的侧面积为243平方米D.正四棱锥的侧面积为123平方米答案AC解析如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为正方形ABCD的中心,H为AB的中点,则∠SHO为侧面SAB与底面ABCD所成的锐二面角,且SH⊥AB,∠SHO=30°,设底面边长为2a , 所以OH =AH =a ,OS =33a ,SH =233a . 在Rt△SAH 中,a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫233a 2=21,解得a =3,所以正四棱锥的底面边长为6米,侧面积为S =12×6×23×4=243(平方米).15.(多选)(2022·福州调研)如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E ,F ,且EF =12,则下列结论中正确的是( )A.AC ⊥AFB.EF ∥平面ABCDC.三棱锥A -BEF 的体积为定值D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 答案 BC解析 由题意及图形知,当点F 与点B 1重合时,∠CAF =60°,故A 错误;由正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的两个底面平行,EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1,知EF ∥平面ABCD ,故B 正确;由几何体的性质及图形知,三角形BEF 的面积是定值,点A 到平面DD 1B 1B 的距离是定值,故可得三棱锥A -BEF 的体积为定值,故C 正确;由图形可以看出,B到直线EF的距离与A到直线EF的距离不相等,故△AEF的面积与△BEF的面积不相等,故D错误.故选BC.16.(多选)《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部,其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”,则( )A.“羡除”有且仅有两个面为三角形B.“羡除”一定不是台体C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除”D.“羡除”至多有两个面为梯形答案ABC解析由题意知AE∥BF∥CD,四边形ACDE为梯形,如图所示.选项A,由题意知“羡除”有且仅有两个面为三角形,故A正确;选项B,因为AE∥BF∥CD,所以“羡除”一定不是台体,故B正确;选项C,假设四边形ABFE和四边形BCDF为平行四边形,则AE∥BF∥CD,且AE=BF=CD,即四边形ACDE为平行四边形,与已知四边形ACDE为梯形矛盾,故不存在,故C正确;选项D,若AE≠BF≠CD,则“羡除”有三个面为梯形,故D错误.故选ABC.17.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V,V2,V3,则( )1A.V3=2V2B.V3=V1C.V3=V1+V2D.2V3=3V1答案CD解析如图,连接BD交AC于O,连接OE,OF.设AB=ED=2FB=2,则AB=BC=CD=AD=2,FB=1.因为ED⊥平面ABCD,FB∥ED,所以FB⊥平面ABCD,所以V1=V E-ACD=13S△ACD·ED=13×12AD·CD·ED=13×12×2×2×2=43,V 2=V F-ABC=13S△ABC·FB=13×12AB·BC·FB=13×12×2×2×1=23.因为ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以ED⊥AC,又AC⊥BD,且ED∩BD=D,ED,BD⊂平面BDEF,所以AC⊥平面BDEF. 因为OE,OF⊂平面BDEF,所以AC⊥OE,AC⊥OF.易知AC =BD =2AB =22,OB =OD =12BD =2,OF =OB 2+FB 2=3,OE =OD 2+ED 2=6, EF =BD 2+(ED -FB )2 =(22)2+(2-1)2=3, 所以EF 2=OE 2+OF 2,所以OF ⊥OE . 又OE ∩AC =O ,OE ,AC ⊂平面ACE , 所以OF ⊥平面ACE ,所以V 3=V F -ACE =13S △ACE ·OF =13×12AC ·OE ·OF=13×12×22×6×3=2, 所以V 3≠2V 2,V 1≠V 3,V 3=V 1+V 2,2V 3=3V 1,所以选项A ,B 不正确,选项C ,D 正确.故选CD.18.(2022·丽水质检)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AC =1,AA 1=2,∠A 1AC =∠A 1AB =60°,∠BAC =90°,则四面体A 1BB 1C 1的体积为________. 答案26解析 法一 如图,连接A 1C ,在三角形A 1AB 中,AB =1,AA 1=2,∠A 1AB =60°, 由余弦定理得A 1B 2=22+12-2×1×2×cos 60°=3,即A 1B =3, 同理A 1C =3,则AB 2+A 1B 2=A 1A 2, 所以A 1B ⊥AB ,同理A 1C ⊥AC , 所以△A 1AB ≌△A 1AC .过点B 作BD ⊥A 1A ,垂足为D ,连接CD ,则CD ⊥A 1A ,又BD ∩CD =D ,所以A 1A ⊥平面BCD , 所以BD =CD =1×32=32, 又AB =AC =1,∠BAC =90°, 所以BC = 2.取BC 的中点E ,连接DE ,则DE ⊥BC ,且DE =⎝ ⎛⎭⎪⎫322-⎝ ⎛⎭⎪⎫222=12, 所以S △BCD =12×BC ×DE =12×2×12=24,则V A 1-BB 1C 1=V B -A 1B 1C 1=V A 1-ABC =V A 1-BCD +V A -BCD =13·S △BCD ·A 1A =13×24×2=26. 法二 如图,连接A 1C ,在三角形A 1AB 中,AB =1,AA 1=2,∠A 1AB =60°, 由余弦定理得A 1B 2=22+12-2×1×2×cos 60°=3, 即A 1B =3,同理A 1C =3, 则AB 2+A 1B 2=A 1A 2, 所以A 1B ⊥AB ,同理A 1C ⊥AC .设A 1在平面ABC 内的射影为O ,连接A 1O ,AO ,OB ,OC , 则A 1O ⊥平面ABC ,又AB ⊂平面ABC ,所以A 1O ⊥AB ,31 / 31 又A 1B ∩A 1O =A 1,所以AB ⊥平面A 1OB ,又OB ⊂平面A 1OB ,所以AB ⊥OB ,同理OC ⊥AC ,且△A 1OB ≌△A 1OC , 所以OB =OC ,则点O 在∠BAC 的平分线上. 设AO 交BC 于点E ,连接A 1E ,则AE =22,A 1E =(3)2-⎝ ⎛⎭⎪⎫222=102, 在△A 1AE 中,cos∠A 1AE =A 1A 2+AE 2-A 1E 22×A 1A ×AE =22, 则∠A 1AE =45°,则A 1O =A 1A sin 45°=2,V A 1-BB 1C 1=V B -A 1B 1C 1=V A 1-ABC =13·S △ABC ·A 1O =13×12×1×1×2=26.。
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件:第八章 立体几何初步章末复习课

6πS 9π2 .
要点二 空间中的平行关系 在本章中,空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行,其 中三种关系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时,一般遵循从“低维”到“高维” 的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而利用性质定理 时,其顺序相反,且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意,转化 的方法总是由具体题目的条件决定,不能过于呆板僵化,要遵循规律而不局限于规 律.如下图所示是平行关系相互转化的示意图.
证明 (1)因为平面PAD⊥底面ABCD,PA在平面PAD内且垂直于这两个平面的交线AD, 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点, 所以AB∥DE,且AB=DE. 所以四边形ABED为平行四边形. 所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD, 所以BE∥平面PAD.
V 圆锥=13πr2h (r 是底面半径, h 是高)
用平行于圆锥底面
圆 的平面去截圆锥,
台 底面与截面之间的
旋
部分
转
体
半圆以它的直径所
圆
在直线为旋转轴,
球 旋转一周形成的曲
面叫做球面,球面
所围成的旋转体
S圆台=π(r′2+r2+ r′l+rl)(r′,r分别 是上、下底面半 径,l是母线长)
V 圆台=13πh(r′2+ r′r+r2)(r′,r 分 别是上、下底面 半径,h 是高)
以矩形的一边所在
圆 直线为旋转轴,其
柱 余三边旋转形成的
旋
面所围成的旋转体
转
体
以直角三角形的一
圆 圆 条直角边所在直线 为旋转轴,其余两
锥 边旋转一周形成的
面所围成的旋转体
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空间几何体的结构特征及表面积与体积A级——夯基保分练1.下列说法中正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线解析:选D当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时,尽管各面都是三角形,但它不是三棱锥,故A错误;若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线,所得几何体就不是圆锥,故B错误;由几何图形知,若以正六边形为底面,且侧棱长相等正六棱锥棱长必然要大于底面边长,故C错误.选D.2.如图是水平放置的某个三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴,A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC,那么()A.最长的是AB,最短的是ACB.最长的是AC,最短的是ABC.最长的是AB,最短的是ADD.最长的是AD,最短的是AC解析:选C由题中的直观图可知,A′D′∥y′轴,B′C′∥x′轴,根据斜二测画法的规则可知,在原图形中AD∥y轴,BC∥x轴,又因为D′为B′C′的中点,所以△ABC 为等腰三角形,且AD为底边BC上的高,则有AB=AC>AD成立.3.(2019·吉林调研)已知圆锥的高为3,底面半径长为4.若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等,则该球的半径长为()A.5 B. 5C.9 D.3解析:选B∵圆锥的底面半径R=4,高h=3,∴圆锥的母线l=5,∴圆锥的侧面积S=πRl=20π.设球的半径为r,则4πr2=20π,∴r= 5.故选B.4.(2020·山东省实验中学模拟)我国古代《九章算术》里,记载了一个“商功”的例子:今有刍童,下广二丈,袤三丈,上广三丈,袤四丈,高三丈.问积几何?其意思是:今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示),下底宽2丈,长3丈,上底宽3丈,长4丈,高3丈.问它的体积是多少?该书提供的算法是:上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘,同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘,将两次运算结果相加,再乘以高,最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为( )A .13.25立方丈B .26.5立方丈C .53立方丈 D.106立方丈解析:选B 由题意知,刍童的体积为[(4×2+3)×3+(3×2+4)×2]×3÷6=26.5(立方丈),故选B.5.(2020·南昌模拟)正四棱锥V -ABCD 的五个顶点在同一个球面上.若其底面边长为4,侧棱长为26,则此球的体积为( )A .722πB .36πC .92π D.9π2解析:选B 由题意知正四棱锥的高为(26)2-(22)2=4,设其外接球的半径为R ,则R 2=(4-R )2+(22)2,解得R =3,所以外接球的体积为43πR 3=43π×33=36π.故选B. 6.(2019·安徽马鞍山第二次质监)如图,半径为R 的球的两个内接圆锥有公共的底面.若两个圆锥的体积之和为球的体积的38,则这两个圆锥的高之差的绝对值为( )A.R 2B.2R 3C.4R 3D.R解析:选D 设球的球心为O ,半径为R ,体积为V ,上面圆锥的高为h (h <R ),体积为V 1,下面圆锥的高为H (H >R ),体积为V 2,两个圆锥共用的底面的圆心为O 1,半径为r .由球和圆锥的对称性可知h +H =2R ,|OO 1|=H -R .∵V 1+V 2=38V ,∴13πr 2h +13πr 2H =38×43πR 3,∴r 2(h +H )=32R 3.∵h +H =2R ,∴r =32R .∵OO 1垂直于圆锥的底面,∴OO 1垂直于底面的半径,由勾股定理可知R 2=r 2+|OO 1|2,∴R 2=r 2+(H -R )2,∴H =32R ,∴h =12R ,则这两个圆锥的高之差的绝对值为R ,故选D. 7.(多选)已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a ,a 的矩形,设该圆柱的体积为V ,则V =( ) A.a 3πB.a 32πC.2a 3π D.πa 32解析:选AB 设圆柱的母线长为l ,底面圆的半径为r ,则当l =2a 时,2πr =a ,∴r=a 2π,这时V 圆柱=2a ·π⎝⎛⎭⎫a 2π2=a 32π;当l =a 时,2πr =2a ,∴r =a π,这时V 圆柱=a ·π⎝⎛⎭⎫a π2=a 3π.综上,该圆柱的体积为a 32π或a 3π. 8.(多选)(2020·潍坊模拟)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,已知平面α⊥AC 1,则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是( )A .截面形状可能为正三角形B .截面形状可能为正方形C .截面形状可能为正六边形D .截面面积最大值为3 3解析:选ACD 如图,显然A ,C 成立,下面说明D 成立,如图截得正六边形,面积最大,MN =22,GH =2,OE =OO ′2+O ′E 2= 1+⎝⎛⎭⎫222=62, 所以S =2·12·(2+22)·62=33, 故D 成立.故选A 、C 、D.9.如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =4,AA 1=6.若E ,F 分别是棱BB 1,CC 1上的点,则三棱锥A -A 1EF 的体积是________.解析:因为在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1∥BB 1,AA 1⊂平面AA 1C 1C ,BB 1⊄平面AA 1C 1C ,所以BB 1∥平面AA 1C 1C ,从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离,作BH ⊥AC ,垂足为点H ,由于△ABC 是正三角形且边长为4,所以BH =23,从而三棱锥A -A 1EF 的体积V A -A 1EF =V E -A 1AF =13S △A 1AF ·BH =13×12×6×4×23=8 3.答案:8 310.(一题两空)母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5,则该圆锥的底面圆的半径为________,体积为________.解析:设该圆锥的底面圆的半径为r ,高为h .∵母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5,∴侧面展开图的弧长为5×8π5=8π.又弧长=底面周长,即8π=2πr ,∴r =4,∴圆锥的高h =52-42=3,∴圆锥的体积V =13×π×42×3=16π. 答案:4 16π11.如图,已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 为BC 的中点,过点A ,P ,C 1的平面截正方体所得的截面为M ,则截面M 的面积为________. 解析:如图,取A 1D 1,AD 的中点分别为F ,G .连接AF ,AP ,PC 1,C 1F ,PG ,D 1G ,AC 1,PF .∵F 为A 1D 1的中点,P 为BC 的中点,G 为AD 的中点,∴AF =FC 1=AP =PC 1=52,PG 綊CD ,AF 綊D 1G .由题意易知CD 綊C 1D 1,∴PG 綊C 1D 1,∴四边形C 1D 1GP 为平行四边形,∴PC 1綊D 1G ,∴PC 1綊AF ,∴A ,P ,C 1,F 四点共面,∴四边形APC 1F 为菱形.∵AC 1=3,PF =2,过点A ,P ,C 1的平面截正方体所得的截面M 为菱形APC 1F ,∴截面M 的面积S =12AC 1·PF =12×3×2=62. 答案:6212.已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45°,若△SAB 的面积为515,则该圆锥的侧面积为________.解析:如图,∵SA 与底面成45°角,∴△SAO 为等腰直角三角形.设OA =r ,则SO =r ,SA =SB =2r .在△SAB 中,cos ∠ASB =78, ∴sin ∠ASB =158,∴S △SAB =12SA ·SB ·sin ∠ASB =12×(2r )2×158=515,解得r =210,∴SA =2r =45,即母线长l =45,∴S 圆锥侧=πrl =π×210×45=402π.答案:402πB 级——提能综合练13.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( )A .16B .16 3 C.163 D.1283解析:选C 若正方体的棱长为2,则其内切球的半径r =1,∴正方体的内切球的体积V 球=43π×13=43π.又已知V 球V 牟合方盖=π4,∴V 牟合方盖=4π×43π=163.故选C. 14.(2019·河北衡水中学四调)如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为( )A.2 000π9B.4 000π27 C .81π D.128π解析:选B 小圆柱的高分为上下两部分,上部分的高同大圆柱的高相等,为5,下部分深入底部半球内.设小圆柱下部分的高为h (0<h <5),底面半径为r (0<r <5).由于r ,h 和球的半径构成直角三角形,即r 2+h 2=52,所以小圆柱体积V =πr 2(h +5)=π(25-h 2)(h +5)(0<h <5),求导得V ′=-π(3h -5)(h +5).当0<h <53时,V ′>0,体积V 单调递增;当53<h <5时,V ′<0,体积V 单调递减.所以当h =53时,小圆柱的体积取得最大值,即V max =π⎝⎛⎭⎫25-259×⎝⎛⎭⎫53+5=4 000π27,故选B.15.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC ,已知A 1B 1=B 1C 1=2,∠A 1B 1C 1=90°,AA 1=4,BB 1=3,CC 1=2,则该几何体的体积为________.解析:过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ,交AA 1,BB 1分别于点A 2,B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1=90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2,则该几何体的体积V =V A 1B 1C 1-A 2B 2C +V C -ABB 2A 2=12×2×2×2+13×12×(1+2)×2×2=6.答案:616.(一题两空)已知一个高为1的三棱锥,各侧棱长都相等,底面是边长为2的等边三角形,则三棱锥的表面积为________,若三棱锥内有一个体积为V 的球,则V 的最大值为________.解析:该三棱锥侧面的斜高为 ⎝⎛⎭⎫13×32+12=233,则S 侧=3×12×2×233=23,S 底=12×3×2=3,所以三棱锥的表面积S 表=23+3=3 3.由题意知,当球与三棱锥的四个面都相切时,其体积最大.设三棱锥的内切球的半径为r ,则三棱锥的体积V 锥=13S 表·r =13S 底·1,所以33r =3,所以r =13,所以三棱锥的内切球的体积最大为V max =43πr 3=4π81. 答案:33 4π81。