高考专题练习： 空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．

3．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在的平面垂直；

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

常用结论

1．常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆．

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图为全等的矩形． 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”⎩⎪⎨⎪

⎧坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变

“三不变”⎩⎪⎨⎪

⎧平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ) (3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( )

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 二、易错纠偏

常见误区| (1)棱柱的概念不清致误；

(2)不清楚三视图的三个视图间的关系，想象不出原几何体而出错； (3)斜二测画法的规则不清致误．

1．如图，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()

A．棱台B．四棱柱

C．五棱柱D．六棱柱

解析：选C．由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．故选C．

2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()

解析：选B．根据选项A，B，C，D中的直观图，画出其三视图，只有B 项正确．

3．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．

解析：在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，

则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，

所以BE＝2

2.

而四边形AECD为矩形，AD＝1，

所以EC＝AD＝1，

所以BC＝BE＋EC＝2

2

＋1.

由此可还原原图形如图所示．

在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝2

2

＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，

所以这块菜地的面积为S＝1

2(A′D′＋B′C′)·A′B′＝1

2×⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1＋1＋

2

2

×2＝2＋

2

2.

答案：2＋

2 2

空间几何体的几何特征(自主练透)

1．下列说法正确的是()

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析：选D．由图知，A不正确．两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱锥一定不是六棱锥，故C错误．由定义知，D正确．

2．给出下列几个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是()

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：选B．①不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

3．若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直，则称之为直角四面体，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点，可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为() A．2，8 B．4，12

C．2，12 D．12，8

解析：选A．因为矩形的对角线相等，所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体．因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的，所以长方体中有8个直角四面体．

4．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为________．解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝202－102＝10 3.

答案：103