2020新课标高考艺术生数学复习：空间几何体的结构特征、直观图含解析
2020版高考数学总复习空间几何体的结构、三视图和直观图应用能力提升理(含解析)
第1节空间几何体的结构、三视图和直观图【选题明细表】基础巩固(建议用时:25分钟)1.给出以下命题,其中正确的是( D )①由五个平面围成的多面体只能是四棱锥;②多面体至少由四个面围成;③在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;④圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线.(A)①④ (B)③④ (C)②③ (D)②④解析:三棱柱也是由五个平面围成的,因此①错误;三棱锥是最简单的多面体,由四个面围成,②正确;在圆柱的上下底面的圆周上所取两点,连线与旋转轴不平行时,则不是圆柱的母线,③错误;由圆锥的定义知④正确.故选D.2.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( D )(A)球 (B)三棱锥(C)正方体(D)圆柱解析:球、正方体的三视图形状都相同、大小均相等,首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O ABC,当OA,OB,OC两两垂直且OA=OB=OC时,其三视图的形状都相同,大小均相等,故排除选项B.不论圆柱如何放置,其三视图的形状都不会完全相同,故选D.3.(2018·山东济南一模)如图,在正方体ABCD A 1B1C1D1中,P为BD1的中点,则△PAC在该正方体各个面上的正投影可能是( B )(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)②④解析:P点在上下底面投影落在AC或A1C1上,所以△PAC在上底面或下底面的投影为①,在前面、后面以及左面、右面的投影为④,选B.4.如图,△A′B′O′是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知A′B′∥y′轴,O′B′=4,且△ABO的面积为16,过A′作A′C′⊥ x′轴,则A′C′的长为( A )(A)2(B) (C)16 (D)1解析:因为A′B′∥y′轴,所以△ABO中,AB⊥OB.又因为△ABO的面积为16,所以AB·OB=16.因为OB=O′B′=4,所以AB=8,所以A′B′=4.因为A′C′⊥O′B′于C′,所以B′C′=A′C′,所以A′C′=4·sin 45°=2,故选A.5.如图,三棱锥V ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直且VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为( B )(A)(B)(C)(D)解析:由题意知,该三棱锥的正视图为△VAC,作VO⊥AC于O,连接OB,设底面边长为2a,高VO=h,则△VAC的面积为×2a×h=ah=.又三棱锥的侧视图为Rt△VOB,在正三角形ABC中,高OB=a,所以侧视图的面积为OB·OV=×a×h=ah=×=.故选B.6.(2018·江西九校联考)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线所画出的是某几何体的三视图,则该几何体的各条棱中最长的棱长为( C )(A)2 (B)4 (C)6 (D)4解析:直观图如图,是把三棱柱ABC A1B1C1截下一个小棱锥B A1B1C1而得,最长的棱长为BA1==6.选C.7.设有以下四个命题:①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;②底面是矩形的平行六面体是长方体;③直四棱柱是直平行六面体;④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是.解析:命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的;因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的;命题④由棱台的定义知是正确的.答案:①④8.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为cm.解析:如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,AC=12(cm),BC=8-3=5(cm).所以AB==13(cm).答案:139.一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,且体积为,则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的.(填入以下可能的图形前的编号)①锐角三角形;②直角三角形;③四边形;④扇形;⑤圆.解析:如图所示,①②③都符合题设要求,若俯视图是扇形或圆,体积中会含有π,故排除④⑤.答案:①②③能力提升(建议用时:25分钟)10.(2018·广东惠州调研)如图所示,将图①中的正方体截去两个三棱锥,得到图②中的几何体,则该几何体的侧(左)视图为( B )解析:从几何体的左侧看,对角线AD1在视线范围内,故画为实线,右侧面的棱C1F不在视线范围内,故画为虚线,且上端点位于几何体上底面边的中点.故选B.11.(2018·合肥市第二次教学质量检测)在正方体ABCD A1B1C1D1中,E, F,G分别为棱CD,CC1,A1B1的中点,用过点E,F,G的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( C )解析:如图直观图,得几何体为截面EFHGMN以下部分,其侧视图与C对应,选C.12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为.解析:由三视图可知,几何体的直观图如图所示.平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则S△AED=×1×1=,S△ABC=S△ABE=×1×=,S△ACD=×1×=.答案:13.空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD.下列命题正确的是.(写出所有正确的命题的编号)①正四面体ABCD的正视图面积可能是;②正四面体ABCD的正视图面积可能是;③正四面体ABCD的正视图面积可能是;④正四面体ABCD的正视图面积可能是2;⑤正四面体ABCD的正视图面积可能是4.解析:对于四面体ABCD,如图1,当光线垂直于底面BCD时,正视图为△BCD,其面积为×2×=,③正确;当光线平行于底面BCD,沿CO方向时,正视图为以BD为底,正四面体的高AO为高的三角形,则其面积为×2×=,②正确;当光线平行于底面BCD,沿CD方向时,正视图为图中△ABE,则其面积为×2××=,①正确;将正四面体放入正方体中,如图2,光线垂直于正方体正对我们的面时,正视图是正方形,其面积为×=2,并且此时正视图面积最大,故④正确,⑤不正确.答案:①②③④。
2020年高考文科数学一轮总复习：空间几何体的结构特征及三视图和直观图
2020年高考文科数学一轮总复习：空间几何体的结构特征及三视图和直观图第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征互相平行且相等 多边形 互相平行互相平行(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看到的线画实线，看不到的线画虚线．[注意] (1)画三视图时，能看见的线用实线表示，不能看见的线用虚线表示．(2)同一物体，若放置的位置不同，则所得的三视图可能不同．常用知识拓展 1.特殊的四棱柱四棱柱――→底面为平行四边形平行六面体――→侧棱垂直于底面直平行六面体――→底面为矩形长方体――→底面边长相等正四棱柱――→侧棱与底面边长相等正方体上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．2．常见旋转体的三视图(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．( ) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( ) (5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× 关于棱柱的下列说法错误的是( ) A ．棱柱的侧棱都相等 B ．棱柱的侧棱都平行C ．棱柱的两底面是全等的多边形D ．棱柱的侧面是全等的平行四边形 解析：选D.根据棱柱的结构特征可知选D.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析：选B.根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．(教材习题改编)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体为________．答案：四棱柱与圆柱组合而成的简单组合体在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.答案：矩形8空间几何体的结构特征(师生共研)(1)下列结论正确的是()A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台(2)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错．(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对．【答案】(1)B(2)B空间几何体概念辨析问题的常用方法1．下列结论中错误的是()A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱B．正棱台的对角面一定是等腰梯形C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体解析：选A.由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以A选项错误．B，C，D说法均正确．2．下列说法正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D.如图知，A不正确，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，故B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱椎一定不是六棱锥，故C错误，由定义知，D正确．空间几何体的三视图(多维探究)角度一由空间几何体的直观图识别三视图(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.【答案】 A角度二由空间几何体的三视图还原直观图(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5C．3 D．2【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N 的路径中，最短路径的长度为MS2＋SN2＝22＋42＝2 5.故选B.【答案】 B角度三已知几何体的某些视图，判断其他视图已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()【解析】由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线P A形成的投影，应为虚线．故选C.【答案】 C三视图还原的三种方法(1)熟悉常见几何体的三视图，如两个矩形、一个圆形为圆柱，三个三角形为三棱锥等．(2)直接还原．将几何体放在长方体或正方体中，一般从俯视图入手，找几何体顶点的位置，再确定实虚线．(3)将几何体放入柱体或锥体中，通过合理切割得到相应几何体．1．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是()A．圆柱B．三棱柱C．球D．四棱柱解析：选B.由已知中的三视图可得该几何体是三棱柱，故选B.2．(2019·唐山市五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()解析：选A.由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是()解析：选C.根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B，D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A.空间几何体的直观图(师生共研)(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2C.68a2 D.616a2(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形【解析】(1)如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ，所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D. (2)如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2 cm.所以OC ＝OD 2＋CD 2＝（42）2＋22＝6(cm)，所以OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形，故选C.【答案】 (1)D (2)C平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S 与直观图面积S ′之间的关系S ′＝24S ，能更快捷地进行相关问题的计算．如图，正方形OABC 的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.解析：由题意知正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB ＝ 2 cm ，对应原图形平行四边形的高为2 2 cm ，所以原图形中，OA ＝BC ＝1 cm ，AB ＝OC ＝（22）2＋12＝3 cm ，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8 cm.答案：8[基础题组练]1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④解析：选D.正方体的三视图都是正方形，不符合题意；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆(包含圆心)，符合题意；三棱台的正视图、侧视图和俯视图各不相同，不符合题意；正四棱锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是正方形(含两条对角线)，符合题意．故选D.2．下列说法正确的有( )①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ②经过球面上不同的两点只能作一个大圆； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④圆锥的轴截面是等腰三角形． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A.①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．3．(2019·沈阳市教学质量监测(一))“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )解析：选B.根据直观图以及图中的辅助四边形分析可知，当正视图和侧视图完全相同时，俯视图为B ，故选B.4.如图所示，在三棱台A ′B ′C ′ABC 中，沿A ′BC 截去三棱锥A ′ABC ，则剩余的部分是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．三棱柱D ．组合体解析：选B.如图所示，在三棱台A ′B ′C ′ABC 中，沿A ′BC 截去三棱锥A ′ABC ，剩余部分是四棱锥A ′BCC ′B ′.5．有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积S ＝5×4＝20(cm 2)，所以其直观图的面积S ′＝24S ＝52(cm 2)． 答案：5 2 cm 26．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝122＋52＝13(cm)．答案：137．如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求P A的长．解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2 (cm)．由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，P A＝PD2＋AD2＝（62）2＋62＝6 3 (cm)．8.如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V-ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求△AEF周长的最小值．解：如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°.在Rt△VAD中，AD＝VA·sin 60°＝3，所以AA1＝2AD＝6，即△AEF周长的最小值为6.[综合题组练]1．(2019·贵阳市适应性考试(一))如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是()A．16 B．8C ．4 3D ．4 2解析：选B.三视图对应的几何体的直观图如图所示，由题意知，AB ＝4，AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD .在△BCD 中，BC ＝CD ＝22，BD ＝4，所以BC ⊥CD ，又AB ∩BC ＝B ，所以CD ⊥平面ABC ，所以CD ⊥AC .所以S △BCD ＝12BC ·CD ＝4，S △ABC ＝12BC ·AB ＝42，S △ABD ＝12BD ·AB ＝8，S △ACD ＝12AC ·CD ＝12AB 2＋BC 2·CD ＝4 3.故选B.2．(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示． 易知，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝AB ＝P A ＝2，AB ⊥AD ，P A ⊥平面ABCD ，故△P AD ，△P AB 为直角三角形，因为P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，且P A ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥PB ，所以△PBC 为直角三角形，容易求得PC ＝3，CD ＝5，PD ＝22，故△PCD 不是直角三角形，故选C.3．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为______________________________________________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E ，F 分别是AD ，BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，又P A ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2. 答案：2＋2 24．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是________．解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF 、DC 最长且DC ＝AF ＝BF 2＋AB 2＝3 3.答案：3 35．某几何体的三视图如图所示．(1)判断该几何体是什么几何体？(2)画出该几何体的直观图．解：(1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体． (2)直观图如图所示．6．(综合型)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积． 解：(1)正六棱锥．(2)其侧视图如图：其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离， 即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ， 所以该平面图形的面积S ＝12·3a ·3a ＝32a 2.。
(浙江专用)2020版高考数学 空间几何体的结构特征及三视图与直观图(含解析)
课时跟踪检测（三十六）空间几何体的结构特征及三视图与直观图一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是( )解析：选D 几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．2．下列说法正确的是( )A．棱柱的两个底面是全等的正多边形B．平行于棱柱侧棱的截面是矩形C．{直棱柱}⊆{正棱柱}D．{正四面体}⊆{正三棱锥}解析：选D 因为选项A中两个底面全等，但不一定是正多边形；选项B中一般的棱柱不能保证侧棱与底面垂直，即截面是平行四边形，但不一定是矩形；选项C中{正棱柱}⊆{直棱柱}，故A、B、C都错；选项D中，正四面体是各条棱均相等的正三棱锥，故正确．3．(2019·杭州四校联考)如图所示的为一个几何体的三视图，则该几何体的直观图是( )解析：选A 对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意；对于B，该几何体的正视图中，对角线是虚线，故B不符合题意；对于C，该几何体的正视图中，对角线是从左上到右下的，故C不符合题意；对于D，该几何体的侧视图中，对角线是虚线，故D不符合题意．故选A.4．(2019·台州质检)如图，网络纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体中最长棱的长度为( )A．6 2 B．6 3C．8 D．9解析：选 D 由三视图还原几何体如图，该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC为等腰三角形，且PB＝62＋322＝36，PC＝62＋352＝9，则该几何体中最长棱的长度为9.故选D.5.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在直角坐标系xOy中，四边形ABCO的形状为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.答案：矩形8二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·台州模拟)一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为( )A．正方形B．圆C．等腰三角形D．直角梯形解析：选D 该几何体是一个长方体时，其中一个侧面为正方形，A可能；该几何体是一个横放的圆柱时，B可能；该几何体是横放的三棱柱时，C可能，只有D不可能．2．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选B 由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB＜AD＜AC.3．(2018·沈阳教学质量监测)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥解析：选B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示，这是一个三棱柱．4.(2018·温州第八高中质检)如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为( )A．4 B．2 3C．2 2 D. 3解析：选B 由题可得，该几何体的侧视图是一个长方形，其底边长是底面正三角形的高3，高为2，所以侧视图的面积为S＝2 3.5．已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则四棱锥PABCD的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8解析：选C 四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则PM ＝3，PN ＝5，S △PAD ＝12×4×5＝25，S △PAB ＝S △PDC ＝12×2×3＝3， S △PBC ＝12×4×3＝6.所以四个侧面中面积最大的是6.6.(2018·台州模拟)如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 为棱BB 1的中点，若用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )解析：选C 取DD 1的中点F ，连接AF ，FC 1，则过点A ，E ，C 1的平面即为面AEC 1F ，所以剩余几何体的侧视图为选项C.7．(2019·义乌六校联考)图①是棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1截去三棱锥A 1AB 1D 1后得到的几何体，将其绕着棱DD 1所在的直线逆时针旋转45°，得到如图②所示的几何体，该几何体的正视图为( )解析：选B 由题意可知，该几何体的正视图是长方形，底面对角线DB 在正视图中的长为2，棱CC 1在正视图中为虚线，D 1A ，B 1A 在正视图中为实线，故该几何体的正视图为B.8．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点． 其中真命题的序号是________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．答案：①④9．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm 和8 cm ，若两底面圆心的连线长为12 cm ，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，交OB 于点C . 在Rt △ABC 中，AC ＝12 cm ，BC ＝8－3＝5 (cm)． ∴AB ＝122＋52＝13(cm)． 答案：1310．已知正三角形ABC 的边长为2，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为________． 解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图． 从图②可知，A ′B ′＝AB ＝2，O ′C ′＝12OC ＝32，C ′D ′＝O ′C ′sin 45°＝32×22＝64. 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×2×64＝64.答案：64三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 画出直观图，共六块．2．(2018·湖南东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是( )A ．4 3B ．8 3C ．47D ．8解析：选C 设该三棱锥为P ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，PA ＝4，则由三视图可知△ABC 是边长为4的等边三角形，故PB ＝PC ＝42，所以S △ABC ＝12×4×23＝43，S △PAB ＝S △PAC ＝12×4×4＝8，S △PBC ＝12×4×422－22＝47，故四个面中面积最大的为S △PBC ＝47，选C.3.如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝622＋62＝6 3 cm.。
空间几何体的结构特征及三视图和直观图(含解析)
归纳与技巧：空间几何体的结构特征及三视图和直观图基础知识归纳一、多面体的结构特征二、旋转体的形成三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．四、平行投影与直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．五、三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．基础题必做1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：选A B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中俯视图是两个同心圆．2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是() A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．3．下列三种叙述，其中正确的有()①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：①正方形的直观图一定是菱形；②菱形的直观图一定是菱形；③三角形的直观图一定是三角形．以上结论正确的是________．解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．答案：③5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.答案：③解题方法归纳1.正棱柱与正棱锥(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．2．对三视图的认识及三视图画法(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．3．对斜二测画法的认识及直观图的画法(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．空间几何体的结构特征典题导入[例1]下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[自主解答]A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；图1图2C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．[答案] D解题方法归纳解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．以题试法1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．几何体的三视图典题导入[例2]某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()[自主解答]根据几何体的三视图知识求解．由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.[答案] C解题方法归纳三视图的长度特征三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．[注意]画三视图时，要注意虚、实线的区别．以题试法2．(1) 如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的()解析：选D由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.(2)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为()A．22B．4C. 3 D．2 3解析：选D依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是2 3.几何体的直观图典题导入[例3]已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．[自主解答]建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y′轴上，A′B′边在x轴上，OC 为△ABC 的高．把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，则点C ′变为点C ，且OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变． 已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中， 由正弦定理得OC ′sin ∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45° a ＝62 a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a . 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.解题方法归纳用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”． “三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变，图形改变；“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变.以题试法3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A ．2＋2 B.1＋22C.2＋22D ．1＋ 2解析：选A 恢复后的原图形为一直角梯形 S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.1．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是()A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④解析：选A①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面P AD ，且EC 投影在面P AD 上，故B 正确．5.如图△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由斜二测画法知B 正确．6． 一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A ．2＋ 3B ．1＋ 3C ．2＋2 3D ．4＋ 3解析：选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7． 一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图1所示，直三棱柱ABE －A 1B 1E 1符合题设要求，此时俯视图△ABE 是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1符合题设要求，此时俯视图△ABC 是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD )是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin 60°×2－13×12×2×2sin 60°×1＝533.答案：5339．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而P A ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2 210．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．11． 正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形的高)． 解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA 2－OS 2＝2，∴AC ＝4.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2.作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3， ∴SE ＝5，即棱锥的斜高为 5.12． 已知正三棱锥V －ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)三棱锥的直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴侧视图中VA ＝ 42－⎝⎛⎭⎫23×32×232 ＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.1． 底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A ．2 3B ．3 C. 3 D ．4解析：选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2． 如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知AB ＝2，AE ＝BE ＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为22.若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM ＋MN ＋NB 的最小值为________．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于(3)2－⎝⎛⎭⎫222＝2，因为该几何体的左侧视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB 2＝AE 2＋BE 2－2AE ·BE cos 120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3. 答案：33．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a 的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC ，BD 交于点O ，E 为线段AA 1的中点，求证：OE ∥平面A 1C 1C ；(3)求该多面体的表面积．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE .∵E 为AA 1的中点，O 为AC 的中点，∴在△AA 1C 中，OE 为△AA 1C 的中位线．∴OE ∥A 1C .∵OE ⊄平面A 1C 1C ，A 1C ⊂平面A 1C 1C ，∴OE ∥平面A 1C 1C .(3)多面体表面共包括10个面，S ABCD ＝a 2，SA 1B 1C 1D 1＝a 22， S △ABA 1＝S △B 1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD 1＝a 22， S △AA 1D 1＝S △B 1A 1B ＝S △C 1B 1C ＝S △DC 1D 1＝12×2a 2×32a 4＝3a 28， ∴该多面体的表面积S ＝a 2＋a 22＋4×a 22＋4×3a 28＝5a 2.1． 有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影，其投影面积的最大值是( )A ．1B.322C. 2D. 3解析：选D 如图所示是棱长为1的正方体．当投影线与平面A 1BC 1垂直时，∵面ACD 1∥面A 1BC 1， ∴此时正方体的正投影为一个正六边形．设其边长为a ，则3a＝2，∴a ＝63. ∴投影面的面积为6×34×⎝⎛⎭⎫632＝ 3. 此时投影面积最大，故D 正确．2．如图，△ABC 与△ACD 都是等腰直角三角形，且AD ＝DC＝2，AC ＝BC .平面ACD ⊥平面ABC ，如果以平面ABC 为水平平面，正视图的观察方向与AB 垂直，则三棱锥D －ABC 的三视图的面积和为________． 解析：由题意得AC ＝BC ＝22，AB ＝4，△ACD 边AC 上的高为2，正视图的面积是12×4×2＝22，侧视图的面积 是12×2×2＝2，俯视图的面积是12×22×22＝4，所以三视图的面积和为4＋3 2. 答案：4＋3 23． 已知正三棱柱ABC －A ′B ′C ′的正视图和侧视图如图所示，设△ABC ，△A ′B ′C ′的中心分别是O ，O ′，现将此三棱柱绕直线OO ′旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度(x 可以取到任意一个实数)，对应的俯视图的面积为S (x )，则函数S (x )的最大值为________；最小正周期为________．(说明：“三棱柱绕直线OO ′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角．)解析：由题意可知，当三棱柱的一个侧面在水平面内时，该三棱柱的俯视图的面积最大．此时俯视图为一个矩形，其宽为3×tan 30°×2＝2，长为4，故S (x )的最大值为8.当三棱柱绕OO ′旋转时，当A 点旋转到B点，B 点旋转到C 点，C 点旋转到A 点时，所得三角形与原三角形重合，故S (x )的最小正周期为2π3. 答案：82π3。
(浙江专用)2020版高考数学 空间几何体的结构、三视图和直观图讲义(含解析)
§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图最新考纲考情考向分析1.了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征．2.了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义．3.了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体．会用斜二测画法画出它们的直观图.空间几何体的结构特征、三视图、直观图在高考中几乎年年考查．主要考查根据几何体的三视图求其体积与表面积．对空间几何体的结构特征、三视图、直观图的考查，以选择题和填空题为主.1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形结构特征有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形．每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.概念方法微思考1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗，为什么？提示不一定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱．2．什么是三视图？怎样画三视图？提示光线自物体的正前方投射所得的正投影称为正视图，自左向右的正投影称为侧视图，自上向下的正投影称为俯视图，几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为三视图．画几何体的三视图的要求是正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ×)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ×)(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分．( √)(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( ×)(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．( ×)(6)菱形的直观图仍是菱形．( ×)题组二教材改编2．[P19T2]下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案 D解析由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变．3．[P8T1]在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)答案③⑤题组三易错自纠4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱答案 A解析由三视图知识知，圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．5．如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 C解析此几何体侧视图是从左边向右边看．故选C.6．(2018·浙江诸暨中学期中)边长为22的正方形，其水平放置的直观图的面积为( )A.24B．1C．22D．8答案 C解析 正方形的边长为22，故面积为8，而原图和直观图面积之间的关系为S 直观图S 原图＝24，故直观图的面积为8×24＝2 2. 7．(2018·全国Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如下图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在侧视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．217B ．25C ．3D ．2 答案 B解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M ，N 的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M ，N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示，连接MN ，则图中MN 即为M 到N 的最短路径．|ON |＝14×16＝4，|OM |＝2，∴|MN |＝|OM |2＋|ON |2＝22＋42＝2 5.故选B.题型一 空间几何体的结构特征1．以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．2．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正确的命题为________．(填序号)答案①②③解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④由线面垂直的判定，可知侧棱垂直于底面，故④正确．综上，命题①②③不正确．思维升华空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析．题型二简单几何体的三视图命题点1 已知几何体识别三视图例1(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.命题点2 已知三视图，判断简单几何体的形状例2如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱答案 B解析由题意知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱．命题点3 已知三视图中的两个视图，判断第三个视图例3一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下列选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )答案 C解析A，B，D选项满足三视图作法规则，C不满足三视图作法规则中的宽相等，故C不可能是该锥体的俯视图．思维升华三视图问题的常见类型及解题策略(1)注意观察方向，看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线．(2)还原几何体．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，结合空间想象还原．(3)由部分视图画出剩余的部分视图．先猜测，还原，再判断．当然作为选择题，也可将选项逐项代入．跟踪训练1(1)(2018·杭州模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的正投影可能是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④答案 B解析 P 点在上下底面投影落在AC 或A 1C 1上，所以△PAC 在上底面或下底面的投影为①，在前、后面以及左、右面的投影为④.(2)(2018·宁波模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( )答案 C解析 该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P —ABCD ，如图所示，该几何体的俯视图为C.题型三 空间几何体的直观图例4已知等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________． 答案22解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD 的直观图．因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝24，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝22.思维升华用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与轴平行的线段在直观图中与轴平行，不平行的线段先画线段的端点再连线． 跟踪训练2如图，一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋ 2C ．4＋2 2D ．8＋4 2答案 D解析 由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图所示，所以这个平面图形的面积为4×(2＋2＋22)2＝8＋42，故选D.1．在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )A．圆面B．矩形面C．梯形面D．椭圆面或部分椭圆面答案 C解析将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.2.如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤答案 B解析正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①，侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.3．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体答案 C解析截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．4．某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是( )答案 C解析若几何体为两个圆锥体的组合体，则俯视图为A；若几何体为四棱锥与圆锥的组合体，则俯视图为B；若几何体为两个四棱锥的组合体，则俯视图为D；不可能为C，故选C. 5．(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)若将正方体(如图1)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 B解析从左向右看，该几何体的侧视图的外轮廓是一个正方形，且AD1对应的是实线，B1C对应的是虚线．故选B.6．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )答案 D解析A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.7．(2019·台州模拟)已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示，则该棱柱的侧视图的面积为( )A．18 6 B．18 3C．18 2 D.2722答案 C解析设侧视图的长为x，则x2＝6×3＝18，∴x＝3 2.所以侧视图的面积为S＝32×6＝18 2.故选C.8．用一个平面去截正方体，则截面不可能是( )A．直角三角形B．等边三角形C．正方形D．正六边形答案 A解析用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．9．(2018·湖州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为( )A.5B．22C．3D．2 3答案 C解析在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为AD，BC的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1—MNB1，故通过计算可得D1B1＝22，D1M＝B1N＝5，MN＝2，MB1＝ND1＝3，故该三棱锥中最长棱的长为3.10.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为________．答案2 2解析因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．答案 1解析 如题图所示，设正方体的棱长为a ，则三棱锥P －ABC 的正视图与侧视图都是三角形，且面积都是12a 2，故面积的比值为1.12．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③④解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的三棱锥C 1－ABC ，四个面都是直角三角形．13.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O 1，O 2，这两个球外切，且球O 1与正方体共顶点A 的三个面相切，球O 2与正方体共顶点B 1的三个面相切，则两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影是( )答案 B解析 由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB 1与面ACC 1A 1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为图B.14.我国古代数学家刘徽在学术研究中，不迷信古人，坚持实事求是．他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑，为了证实自己的猜测，他引入了一种新的几何体“牟合方盖”：以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割，然后剔除外部，剩下的内核部分．如果“牟合方盖”的正视图和侧视图都是圆，则其俯视图的形状为( )答案 B解析由题意得在正方体内做两次内切圆柱切割，得到的几何体的直观图如图所示，由图易得其俯视图为B，故选B.15．(2018·嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A．圆弧B．抛物线的一部分C．椭圆的一部分D．双曲线的一部分答案 D解析根据几何体的三视图，可得侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.16．(2018·台州模拟)如图是一个几何体的三视图，则该几何体中最长棱的长是________．答案733解析 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中三棱锥M —A 1B 1N ，如图所示，M 是棱AB 上靠近点A 的一个三等分点，N 是棱C 1D 1的中点，所以A 1B 1＝2，A 1N ＝B 1N ＝22＋12＝5， A 1M ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2103， B 1M ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， MN ＝22＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝733，所以该几何体中最长棱的长是733.。
专题01 空间几何体的结构特征及三视图与直观图(解析版)
2020年高考数学立体几何突破性讲练01 空间几何体的结构特征及三视图与直观图一、考点传真：1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.二、知识点梳理：1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征(2)互相平行且相2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴、y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴、y ′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3.三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等.②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线. 三、例题：例1.（2019天津）若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 . 【答案】【解析】 由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2.因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形所以该圆柱的体积为2112V Sh ⎛⎫==π⨯= ⎪⎝⎭例2.（2019北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示。
如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________.【答案】40【解析】由三视图还原原几何体如图所示，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积()1-444-2+424=402V V V ==⨯⨯⨯⨯⨯正方体四棱柱.例3.(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解法一 将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示，易知，BC AD ∥，1BC =，2AD AB PA ===，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PAD ∆，PAB ∆为直角三角形，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，俯视图侧(左)视图正(主)视图DCBA PPA BC ⊥，又BC AB ⊥，且PA AB A =，∴BC ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ．BC PB ⊥，∴PBC ∆为直角三角形，容易求得3PC =，CD =，PD =，故PCD ∆不是直角三角形，故选C ．解法二 在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P ABCD -，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C ．例4.(2018全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【答案】A【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A ．例5.（2017新课标Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为PDCBAA ．10B ．12C ．14D ．16 【答案】B【解析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面所有梯形之和为12(24)2122⨯+⨯=．选B ．例6.（2017北京）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A ．B ．C ．D ．2 【答案】B【解析】借助正方体可知粗线部分为该几何体是四棱锥，=B ． 四、巩固练习：1.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.四面体D.三棱柱【答案】 A【解析】 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形.2.如图，长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′被截去一部分，其中EH ∥A ′D ′.剩下的几何体是( )A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱【答案】 C【解析】 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.3.用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为( ) A.12B.22C.23D.24【答案】 D【解析】 设原矩形的长为a ，宽为b ，则其直观图是长为a ，高为b 2sin 45°＝24b 的平行四边形，所以S 直观S 矩形＝24abab ＝24.故选D.4.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1C.2D.3【答案】A【解析】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.5.下列命题正确的是()A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形【答案】 C【解析】如图所示，可排除A，B选项.只有截面与圆柱的母线平行或垂直，则截得的截面为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分.6.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】B【解析】由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱.7.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是()【答案】 B【解析】由直观图知，俯视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几何体的俯视图.8.下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线【答案】 D【解析】如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由母线的概念知，选项D正确.9.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A.①③B.①④C.②④D.①②③④【答案】 A【解析】 由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确.10.已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 【答案】 D【解析】 如图①②所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D. 11.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( ) A.2＋ 2 B.1＋22C.2＋22D.1＋ 2【答案】 A【解析】 恢复后的原图形为一直角梯形， 所以S ＝12(1＋2＋1)×2＝2＋ 2.故选A.12.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A.8B.7C.6D.5【答案】 C【解析】 画出直观图，共六块.13.给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是________.【答案】②③④【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.14.一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________.【答案】2 2【解析】因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.15.如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是______(填出所有可能的序号).【答案】①②③【解析】空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影③. 16.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为______.【答案】3 2【解析】由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD－A′B′C′D′.故该四棱柱的体积V＝Sh＝12×(1＋2)×1×1＝32.。
第一讲空间几何和结构特征以及三视图和直观图讲解
各棱长都为2的正三棱锥的三视图如图所示：
2 2
3
3
2 2
2
2 3 体高h 2 3
三、斜二测画法：
平行于x轴长度不变平行于 x轴 平行于y轴长度减半平行于 y轴 平行于z轴长度不变平行于 z轴
是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫
正四面体. (3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.
平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有 多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个
四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ；
充要条件②
(写出你认为正确的两个充要条件)
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形 成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能 是正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：A错误.如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在
一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥.
解析：由三视图知，由4块木 块组成.
答案：4
5.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直 观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形的形 状是 .
解析：将直观图还原得▱OABC，
则∵O′D′＝
OD＝2O′D′＝4 OC＝
O ′ C′ ＝ 2
cm，
cm，
C′D′＝O′C′＝2 cm，∴CD＝2 cm， =2 cm, OA＝O′A′＝6 cm＝OC，故原图形为菱形.
答案：菱形
高中空间几何体的结构特征及三视图与直观图知识点及练习
侧棱：相邻侧面的公共 边 顶点：侧面与底面的公
共顶点
②举例：三棱柱(底面是 三角形)、四棱柱(底面是
四边形)……
底面(底)：多边形面
有一个面是多边形，其余 各面都是有一个公共顶点 棱锥 的三角形，由这些面所围 成的多面体叫做棱锥
如图棱锥可记作： 棱锥 S－ABCD
侧面：有公共顶点的各 个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共 边 顶点：各侧面的公共顶
3．如图甲，将一个正三棱柱 ABC DEF 截去一个三棱锥 A BCD，得到几何体 BCDEF，如图乙，则该几何体的 正视图是( )
4．如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点，则三棱锥 P BCD 的正视图与侧视图 的面积之比为( )
A．1∶1
直径：半圆的直径叫做球的直径
4.简单组合体
(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、
球等几何结构特征的物体组成的．
(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．
知识点二 空间几何体的三视图和直观图
1.中心投影与平行投影
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
3．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下 4 个命题中，假命题是 ( )
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
轴：形成旋转体所绕的定直线
体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段
第7章-第1节-空间几何体的结构特征及其三视图和直观图
(2)由题目所给旳几何体旳正视图和俯视图，可知该几何体 为半圆锥和三棱锥旳组合体，如图所示．
进而可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D. 答案：D
(3)由正视图、侧视图可知，当体积最小时，底层有3个小正 方体，上面有2个，共5个；当体积最大时，底层有9个小正方 体，上面有2个，共11个．故这个几何体旳最大致积与最小体积 旳差是6.
一、空间几何体旳构造特征
名称
构造特征
(1)棱柱旳侧棱都平行且相等
全等
旳多边形，而且相平互 行
，上下底面是 .
多面体
(2)棱锥旳底面是任意多边形，侧面是有一种
公共顶点
旳三角形.
(3)棱台可由平行于底面
旳平面截棱锥得
到，其上下底面是相同 多边形．
名称
构造特征
(1)圆柱能够由矩形
绕其任一边旋转得到.
答案：A
(2)因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平 面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1，又EH⊂平面EFGH，平面 EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所 以选项A，C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以 EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B 也正确．故选D.
【典例剖析】 (1)(2023·湖南高考)某几何体旳正视图和侧视图均
如图所示，则该几何体旳俯视图不可能是
(2)在一个几何体旳三视图中，正视图和俯视图如图所示， 则相应旳侧视图可觉得
(3)(2023·广州模拟)用若干个体积为1旳正方体搭成一种几何
体，其正视图、侧视图都是如图所示旳图形，则这个几何体旳
答案：C
2020版高考数学第八章立体几何第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图课件
2．下列说法正确的是(
)
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是 六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：选 D.如图知，A 不正确，两个平行平面 与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体， 故 B 不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等 的棱椎一定不是六棱锥，故 C 错误，由定义知， D 正确．
2．常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆． (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形． (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形． (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱 柱．( )
如图， 正方形 OABC 的边长为 1 cm， 它是水平放置的一个平面 图形的直观图，则原图形的周长是________cm.
解析：由题意知正方形 OABC 的边长为 1，它是 水平放置的一个平面图形的直观图，所以 OB＝ 2 cm，对应原图形平行四边形的高为 2 2 cm， 所以原图形中， OA ＝ BC ＝ 1 cm ， AB ＝ OC ＝ （2 2）2＋12＝3 cm，故原图形的周长为 2×(1＋3)＝8 cm.
【答案】
(1)B
(2)B
空间几何体概念辨析问题的常用方法
1．下列结论中错误的是(
)
A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱 B．正棱台的对角面一定是等腰梯形 C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线 D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
解析：选 A.由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以 A 选项 错误．B，C，D 说法均正确．
艺术生高考数学专题讲义：考点32空间几何体的三视图与直观图
（
）
方法总结
1．原图形与直观图中的 “ 三变 ” 与 “ 三不变 ” 坐标轴的夹角改变
(1)“ 三变 ” 与 y 轴平行的线段的长度改变减半 图形改变
·4·
艺体生文化课百日突围
平行性不变
(2)“ 三不变 ” 与 x 轴平行的线段长度不变 相对位置不变
ABCD 的体积为
（
）
A. 4 3
B. 8 3
C. 24 3
D. 36 3
【题型练3-5】已知四棱锥 P - AБайду номын сангаасCD 底面为边长为 2 的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四
棱锥的体积为
43 3
，则它的表面积为
（
）
A. 8
B. 12
C. 4 + 8 3
D. 20
【题型练3-6】某圆柱的侧面展开图是面积为 16 的正方形，则该圆柱一个底面的面积为
【题型练1-7】下列说法正确的命题的序号是 ________． ①圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线． ②连接圆柱上、下底面圆周上的两点的线段是圆柱的母线 ③在圆台的上下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线． ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
题型二 空间几何体的直观图 例2. 如图 △A′B′C′ 是 △ABC 的直观图，那么 △ABC 是
艺体生文化课百日突围
考点三十二 空间几何体
知识突围
合抱之木,生于毫末
1．简单多面体的结构特征 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边也都互相平行，由这 些面所围成的多面体叫做棱柱． 注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱 叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱． 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥． 正棱锥：如果一个棱锥的底面是多边形 ，并且顶点在底面的投影是底面的中心 ，这样的棱锥叫做正棱 锥． 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，在截面和底面之间的部分叫做棱台． 多面体的结构特征：
2020年高考数学第47讲 空间几何体的结构及三视图、直观图
名称
结构特征
棱 两底面相互平行，其余各面都是 平行
四边形 ，侧棱平行且 相等 柱
棱 底面是多边形，各侧面均是 三角形 ，
各侧面有一个公共顶点 锥
图例
名称
结构特征
棱 两底面相互平行；是用一个 平行 于
棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面
台 之间的部分
两底面相互平行；侧面的母线 平行 于 圆
圆柱的轴；是以矩形的一边所在直线为
考点二·空间几何体的三视图
【例 2】 如图,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的பைடு நூலகம்四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用),则四面体 ABCD 的三视图分别是(①②③④⑤⑥代表图形)( )
A.①④③ B.①②③ C.⑤④③ D.①④⑥
解：由四面体 ABCD 四个顶点是长方体的四个顶点, 可得四面体 ABCD 的正视图为①,侧视图为②,俯视图为③.
故四面体 ABCD 的三视图分别为①②③. 答案：B
点评：(1)解决三视图问题，要从以下几个方面加以把握： ①搞清正视、侧视、俯视的方向，同一物体由于正视、侧 视的方向不同或放置的位置不同，所画的三视图可能不同． ②遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则． ③注意几何体中与投影面垂直或平行的线段在三视图中 的特点． ④要注意实线、虚线的画法，可视轮廓线画成实线，不可 视的画成虚线． (2)画三视图时，要注意所给几何体与熟知的几何体的联 系，如将几何体放置在正方体(或长方体)中或补形成正方体等， 有利用发现线、面与投影面的位置关系，从而准确作出相应的 三视图．
答案:C
空间几何体的结构特征 空间几何体的三视图 由三视图得到空间几何体的直观图
考点一·空间几何体的结构特征
【例 1】 (2015·广东卷)若空间中 n 个不同的点两两距
2020高考数学第六章立体几何考点测试40空间几何体的结构特征及三视图和直观图文(含解析)
第六章立体几何考点测试40空间几何体的构造特点及三视图和直观图高考概览本考点是高考常考知识点，题型为选择题、填空题；分值为 5分，中等难度考纲研读1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的构造特点，并能运用这些特点描绘现实生活中简单物体的构造2．能画出简单空间图形( 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简略组合) 的三视图，能辨别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图一、基础小题1．三视图以下图的几何体是()A．三棱锥 B ．四棱锥C．四棱台 D ．三棱台答案B分析由三视图可作几何体如图，可知选 B.2．以下对于几何体的三视图的阐述中，正确的选项是()A．球的三视图老是三个全等的圆B．正方体的三视图老是三个全等的正方形C．水平搁置的正四周体的三视图都是正三角形D．水平搁置的圆台的俯视图是一个圆答案A分析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球不论选择如何的视角，其三视图老是三个全等的圆．3．用一个平行于水平面的平面去截球，获得如右图所示的几何体，则它的俯视图是()答案B分析俯视图中明显应有一个被遮挡的圆，所之内圆是虚线，应选 B.4．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边平行于y 轴，，平行于xAB BC AD轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为 ()A． 4 cm2B ． 4 2 cm 2C． 8 cm2D ． 8 2 cm 2答案C分析依题意可知∠ BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC， AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为28 cm .5．给出以下命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面能够不相像，但侧棱长必定相等．此中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案A分析①错误，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②错误，由于“其余各面都是三角形”其实不等价于“其余各面都是有一个公共极点的三角形”，如图 1 所示；③错误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥构成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相像且对应边平行的多边形，各侧棱延伸线交于一点，可是侧棱长不必定相等．6．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ()A．三棱锥 B ．三棱柱C．四棱锥 D ．四棱柱答案B分析由三视图可知该几何体应为横向搁置的三棱柱( 以下图 ) ．应选 B.7．某几何体的正视图和侧视图均以下图，则该几何体的俯视图不行能是()答案D分析 A 图是两个圆柱的组合体的俯视图； B 图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图； C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采纳排除法，应选 D.8．将正方体 ( 如图 a 所示 ) 截去两个三棱锥，获得图 b 所示的几何体，则该几何体的侧视图为()答案B分析复原正方体后，将 D1，D，A三点分别向正方体右边面作垂线，D1A的射影为C1B，且为实线， B1C被遮挡应为虚线．9．已知一个三棱锥的三视图以下图，此中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案D分析由题意知，三棱锥搁置在长方体中以下图，利用长方体模型可知，四个面所有是直角三角形．应选 D.10．在以下图的空间直角坐标系Oxyz 中，一个四周体的极点坐标分别是此三棱锥的(0 ， 0，2) ，(2 ， 2， 0) ， (1 ， 2， 1) ， (2 ， 2， 2) ．给出编号为①②③④的四个图，则该四周体的正视图和俯视图分别为()A ．①和③B ．③和①C ．④和③D ．④和② 答案 D分析由题意得， 该几何体的正视图是一个直角三角形，三个极点的坐标分别是 (0 ，0，2) ， (0 ，2，0) ，(0 ，2， 2) ，且内有一条虚线 ( 一极点与另向来角边中点的连线) ，故正视图是④；俯视图即在底面的射影， 是一个斜三角形， 三个极点的坐标分别是 (0 ，0，0) ，(2 ，2，0) ， (1 ， 2， 0) ，故俯视图是② .11．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形， 则原平面四边形的面积等于 ()2222 2 2 22A. 4 a B ． 2 2a C. 2 a D.3a答案 B分析依据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，能够得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积′之间的关系是′＝2，本题中直观图的面积为2，所以原平面SS4Sa四边形的面积等于a 2 ＝ 2 2a 2. 应选 B.2412．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等， 其侧 ( 左) 视图以下图， 那么此三棱柱正 ( 主 )视图的面积为 ________．答案 2 3分析由正三棱柱三视图复原直观图可得正( 主 ) 视图是一个矩形，此中一边的长是侧( 左 ) 视图中三角形的高， 另一边是棱长． 由于侧 ( 左 ) 视图中三角形的边长为 2，所以高为 3， 所以正视图的面积为 2 3.二、高考小题13．(2018 ·全国卷Ⅲ ) 中国古建筑借助榫卯将木构件连结起来， 构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图能够是()答案A分析察看图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，应选 A.14．(2018 ·全国卷Ⅰ) 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．2 17 B．2 5C．3D．2答案B分析依据圆柱的三视图以及其自己的特点，能够确立点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42＋ 22＝ 25，应选 B.15．(2018 ·北京高考) 某四棱锥的三视图以下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案C分析由三视图得四棱锥的直观图以下图．此中SD⊥底面 ABCD， AB⊥AD， AB∥CD，SD＝ AD＝ CD＝2， AB＝1.由 SD⊥底面 ABCD， AD， DC，AB?底面 ABCD，得SD⊥ AD，SD⊥ DC，SD⊥ AB，故△ SDC，△ SDA为直角三角形，又∵AB⊥ AD，AB⊥ SD，AD，SD?平面 SAD，AD∩ SD＝ D，∴ AB⊥平面 SAD，又 SA?平面 SAD，∴ AB⊥ SA，即△ SAB也是直角三角形，进而 SB＝222225. SC＝ 2222 SD＋ AD＋ AB＝3，又 BC＝2＋1＝2，∴BC＋SC≠SB，∴△ SBC不是直角三角形，应选 C.16．(2017 ·全国卷Ⅰ ) 某多面体的三视图以下图，此中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形构成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B ．12 C ．14 D ．16答案B分析由多面体的三视图复原直观图如图．该几何体由上方的三棱锥A－ BCE和下方的三棱柱－ 1 1 1 构成，此中面11和面 1 1 是梯形，则梯形的面积之和为2× 2＋4×2 BCE B CA CCA A BBA A2＝12. 应选 B.17．(2017 ·北京高考) 某四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的最长棱的长度为()A．3 2B．2 3C．2 2D．2答案B分析依据三视图可得该四棱锥的直观图( 四棱锥P－ABCD)以下图，将该四棱锥放入棱长为 2 的正方体中．由图可知该四棱锥的最长棱为PD， PD＝22＋22＋ 22＝ 2 3. 应选 B.() 18．( 经典江西高考) 一几何体的直观图如图，以下给出的四个俯视图中正确的选项是答案B分析由几何体的直观图知，该几何体最上边的棱横放且在中间的地点上，所以它的俯视图应清除A， C， D，经考证B切合题意，应选B．三、模拟小题19．(2018 ·广东广州综合测试) 如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为1，则该几何体的俯视图能够是() 2答案C11，故底面积为1C．分析∵该几何体的体积为2，且由题意知高为2，联合选项知选20．(2018 ·广州六校联考) 已知某几何体的正视图和侧视图均以下图，给出以下5个图形：此中能够作为该几何体的俯视图的图形个数为()A．5B．4C．3D．2答案B分析由题知能够作为该几何体俯视图的图形为①②③⑤，应选B．21．(2018 ·长沙统考) 已知某几何体的正视图和俯视图是以下图的两个全等的矩形，给出以下 4 个图形：此中能够作为该几何体的侧视图的图形序号是()A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④答案D分析切合题意的几何体能够是以下几何体：由此可知选．22．(2018 ·合肥质检二) 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知 E 是棱 A1B1的中点，用过点 A，C， E 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧( 左 ) 视图为 ()答案A分析依题意，截后的多面体以下图，此中 F 为棱B1C1的中点，应选A．23．(2018 ·湖南郴州模拟) 一只蚂蚁从正方体ABCD－ A1B1C1D1的极点 A 出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到极点C1的地点，则以下图形中能够表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A．①②B．①③C．③④D．②④答案D分析由点 A 经正方体的表面，按最短路线爬行抵达极点C1的地点，共有 6 种路线 ( 对应 6 种不一样的睁开方式)，若把平面ABB1A1和平面 BCC1B1睁开到同一个平面内，连结AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1睁开到同一个平面内，连结AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④．而其余几种睁开方式对应的正视图在题中没有出现．应选D．24．(2018 ·深圳调研) 如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知侧棱AA′⊥底面A′B′C′，且△A′B′C′是正三角形，若点A′B′C′的正视图与侧视图的面积之比为P 是上底面 ABC内的随意一点，则三棱锥 P－( 注：以垂直于平面 ACC′A′的方向为正视图方向)()A．1 B．3222 3C．1 D．3答案D分析过点 P作 AC的垂线交 AC于 P′，则 P′为 P在平面 ACC′A′上的投影．取 A′C′的中点 B″，则 B″为 B′在平面ACC′A′上的投影．由此得正视图与侧视图以下图．设1ab1133正23S2底面边长为 a，AA′＝ b．则 S 正＝ ab， S 侧＝×a×b＝ab，故＝＝．2224S33侧ab4一、高考大题本考点在近三年高考取未波及本题型．二、模拟大题1．(2018 ·沈阳质检) 一个几何体的三视图以下图，此中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)用多少个这样的几何体能够拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD－ A1B1C1D1？如何组拼？试证明你的结论．解 (1) 该几何体的直观图如图 1 所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，此中底面 ABCD是边长为 6 的正方形，高为12CC1＝6，故所求体积是 V＝×6×6＝ 72．3(2) 依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍，故用 3 个这样的四棱锥能够拼成一个棱长为 6 的正方体，其拼法如图 2 所示．证明：∵面 ABCD、面 ABB1A1、面 AA1D1D 为全等的正方形，于是 VC1－ ABCD＝ VC1－ABB1A1＝VC1－ AA1D1D，故所拼图形建立．2．(2018 ·河南郑州一中月考) 一个多面体的三视图和直观图如图1、图 2 所示，此中 M，N分别是 AB， AC的中点， G是 DF 上的一个动点，且DG＝λ DF(0<λ≤1) ．(1)求证：对随意的λ ∈(0,1) ，都有 GN⊥AC；1(2) 当λ＝2时，求证： AG∥平面 FMC．证明(1) 由三视图与直观图，知该几何体是一个直三棱柱，CD⊥ DF，AD⊥ DF，AD⊥ CD，且 DF＝ AD＝ DC．如图，连结BD，则 AC⊥ BD，且 N为 AC与 BD的交点．由题意知 FD⊥平面 ABCD，又G是FD 上的一点，∴ GD⊥平面 ABCD，又 AC? 平面 ABCD，∴ GD⊥AC．由 AC⊥ BD， GD⊥ AC及 BD∩GD＝ D，知 AC⊥平面 GDN，又 GN? 平面 GDN，∴ AC⊥GN．1(2)当λ＝2时， G是 DF 的中点，取 DC的中点 S，连结 AS， GS，以下图．∵ M是 AB的中点，∴AS∥MC， GS∥FC，且 AS∩GS＝ S，MC∩FC＝ C，∴平面 AGS∥平面 FMC，又 AG? 平面 AGS，∴AG∥平面 FMC．。
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已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
由正弦定理得 ＝ ，
所以OC′＝ a＝ a，
A．圆柱
B．圆锥
C．球体
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：C[当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．]
3．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台B．②是圆台
C．③是棱锥D．④不是棱柱
解析：C[图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥；图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C.]
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
[思考辨析]
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．
(1)球的任何截面都是圆．( )
A. a2B. a2C. a2D. a2
[解析]D[如图所示为原图形和其直观图．
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝ OC＝ a，
在图中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝ O′C′
＝ a.∴S△A′B′C′＝ A′B′·C′D′＝ ×a× a＝ a2.故选D.]
[互动探究]
若本例中，将“△ABC的边长为a”改为“△A′B′C′的边长为a”，则△ABC的面积为________．
圆台
上、下底面平行且不相等，母线的延长线交于一点，平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰梯形
球
过球心的截面是大小相等的圆
3.直ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.
[命题角度1]空间几何体表面的折叠
1．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
A．南 B．北 C．西 D．下
解析：B[将所给图形还原为正方体，并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面，则标记“△”的为北面．]
答案：①②④
5．[人教A版教材P8T1改编]如图所示的几何体中，是棱柱的为________(填写所有正确的序号)．
解析：根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱．
答案：③⑤
考点一 空间几何体的结构特征(自主练透)
[题组集训]
1．下列说法正确的是( )
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
[小题查验]
1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
解析：B[根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．]
2．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
图形
结构特征
棱柱
两个面互相平行，其余各面是四边形，侧棱互相平行
棱锥
底面是多边形，侧棱交于一点
棱台
上、下底面平行且相似，侧棱的延长线交于一点
1．多面体的结构特征
2．旋转体的结构特征
图形
结构特征
圆柱
两个底面互相平行，有无数条母线，且长度相等，都与轴平行，过轴的截面是全等的矩形
圆锥
底面是圆面，有无数条母线，长度相等且交于一点，平行于底面的截面是与底面大小不相等的圆，过轴的截面是全等的等腰三角形
4．利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是________．(写出所有正确的序号)
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭圆；⑤菱形的直观图是菱形．
解析：①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不一定相等，故错误．
④存在每个面都是直角三角形的四面体；
其中正确命题的序号是__________．
解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．
3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆锥
D．一个圆柱、两个圆锥
解析：D[把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥．故选D.]
4．(20xx·××市模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：B[由圆台的定义可知①错误，②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．]
1．下列说法中正确的是( )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C．所有的几何体的表面都能展成平面图形
D．棱柱的各条棱都相等
解析：B[A不正确，棱锥的侧面为三角形；C不正确，如球的表面就不能展成平面图形；D不正确，棱柱的各条侧棱都相等，但侧棱与底面的棱不一定相等；B正确．]
2．(20xx·××市模拟)以下命题：
所以原三角形ABC的高OC＝ a，
所以S△ABC＝ ×a× a＝ a2.
答案： a2
直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图．注意被遮挡的部分画成虚线．
[跟踪训练]
用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为( )
解析：A[由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 ，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 .]
A．4 cm2B．4 cm2
C．8 cm2D．8 cm2
解析：C[解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2 倍，所以原平面图形的面积为8 cm2. 故选C.
解法二：依题意可知，S直观图＝2 cm2，故S原图形＝2 S直观图＝8 cm2.故选C.]
C错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形；由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长；D正确．]
3．给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
2020新课标高考艺术生数学复习：空间几何体的结构特征、直观图含解析
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第1节 空间几何体的结构特征、直观图
最新考纲
核心素养
考情聚焦
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
解析：将正三棱柱ABC－A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，
在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2＝12，宽等于5，由勾股定理d＝ ＝13.
答案：13
考点三 空间几何体的直观图(师生共研)
[典例]已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
直观想象——空间几何体结构特征中体现的核心素养
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．空间几何体的展开与折叠问题能够大力发展学生的直观想象、动手操作和尝试探究的数学素养．
B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
解析：B[A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．]
∴A′C＝ ＝ ＝5 ＝ .]
空间几何体侧面上两点间的最短距离问题常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题，因此解决这类问题的方法就是先把几何体侧面展开成平面图形，再用平面几何的知识来求解．