线性代数课件4-3向量的内积和Schmidt正交化
-向量的内积与施密特正交化过程
2
，
， ……
r
r
(r , 1) (1, 1)
1
(r , 2 ) (2, 2)
2
( (r
r , r1) 1, r1)
r
1
(2). 单位化（规范化）：取
1
1 1
,2
2 2
,
,r
r r
,
1,2, ,r 是正交规范向量组，且
显然 1,2, ,r 仍与 1,2 , ,r
等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交 化过程。（方法）
对于两非零向量
,
当
2
时，称两向量正交。这里显然等价于
(, ) 0 因此可利用内积定义两向量正交。
定义3 若 (, ) 0 称 , 正交，记 , 中只要有一个为零向量，必有 ( , ) 0
又零向量与任何向量看作是正交的，且
。
因此可利用内积定义两向量正交。
定义4 设向量组 1,2 , ,r
例3令
1
2
0
1 2
0
1
A
2
0
1 2
0
0
1
0
2
1
2
0
1
0
2
1 2
验证A为正交矩阵
解：因列向量组为两两正交
的单位向量，故为正交矩阵 。
定义6 设 X ,Y Rn则称线性变换
Y AX 是正交变换。
例4 证明线性变换
x cos x sin y
y
sin
x
cos
y
是正交变换。
解：线性变换的矩阵为
的内积定义为
( , ) T T a1b1 a2b2 anbn
并称定义了内积的向量空间为欧氏空间
内积空间的标准正交基与施密特正交化
内积空间的标准正交基与施密特正交化在线性代数中，内积空间是一种具有内积运算的向量空间。
内积空间的一个重要性质是存在标准正交基，也可以通过施密特正交化方法得到正交基。
本文将介绍内积空间的标准正交基及施密特正交化方法，并分析它们在向量计算和应用中的重要性。
一、内积空间的标准正交基在内积空间中，向量的内积运算满足线性性、正定性和对称性等性质。
一个向量空间的标准正交基是指基向量两两正交且长度为1的基向量组。
对于内积空间中的任意两个不同的标准正交基，它们之间的过渡矩阵是正交矩阵。
为了构造内积空间的标准正交基，可以使用Gram-Schmidt正交化过程。
设V是一个内积空间，有n个线性无关的向量v1, v2, ..., vn，我们可以通过以下递推公式构造一个标准正交基：u1 = v1 / ||v1||u2 = (v2 - proj(v2, u1)) / ||(v2 - proj(v2, u1))||...un = (vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1)) / ||(vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1))||其中，proj(v, u)表示向量v在向量u上的投影。
通过Gram-Schmidt正交化过程，我们可以将任意线性无关的向量组转化为一个标准正交基。
标准正交基在计算和解决向量空间相关问题时非常有用，可以简化计算过程并提高计算效率。
二、施密特正交化方法施密特正交化是一种将线性无关的向量组转化为正交向量组的方法，并不要求正交向量组是标准正交基。
施密特正交化方法在实践中非常常用，特别是在信号处理、图像处理等领域。
给定一个向量空间V和线性无关向量组v1, v2, ..., vn，施密特正交化过程可以通过以下递推公式实现：u1 = v1u2 = v2 - proj(v2, u1)...un = vn - proj(vn, u1) - proj(vn, u2) - ... - proj(vn, un-1)在施密特正交化过程中，我们首先将第一个向量保持不变。
向量的内积与正交矩阵
05
特殊类型的正交矩阵
对角矩阵
对角矩阵的定义
对角矩阵是一个除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩 阵。
对角矩阵的性质
对角矩阵的转置等于其本身，即如果A是对角矩阵，则A^T = A。
对角矩阵的应用
对角矩阵在许多领域都有应用，例如线性代数、统计学和计算机科 学等。
单位矩阵
单位矩阵的定义
单位矩阵是一个方阵，其对角线上的元素都是1，其他元 素都是0。
01
单位矩阵的性质
单位矩阵的逆矩阵等于其本身，即如果 A是单位矩阵，则A^(-1) = A。
02
03
单位矩阵的应用
单位矩阵在数学和工程领域中都有广 泛应用，例如在解决线性方程组和计 算矩阵的逆时。
幺正矩阵
幺正矩阵的定义
幺正矩阵是一个满足条件 U^H * U = I的矩阵，其中U 是幺正矩阵，H是U的共轭转
01
乘法
正交矩阵与任何矩阵相乘都得到 一个正交矩阵。
02
03
转置
逆矩阵
正交矩阵的转置矩阵也是正交矩 阵。
正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
03
向量与正交矩阵的应用
向量在几何中的应用
描述方向和位移
向量可以用来表示物体的方向和位移，例如速度、加速度和力等 物理量。
线性变换
向量可以用于描述线性变换，例如旋转、平移和缩放等。
置，I是单位矩阵。
幺正矩阵的性质
幺正矩阵的行列式等于1或-1， 且其转置等于其共轭转置。
幺正矩阵的应用
幺正矩阵在量子力学、信号处 理和通信等领域有广泛应用， 例如在量子计算中实现量子门
操作时。
THANKS
感谢观看
分配律
第三节向量的内积与施密特正交化过程
第三节向量的内积与施密特正交化过程向量的内积是向量运算中的重要概念，描述了两个向量之间的数学关系。
在二维空间中，两个向量的内积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
在三维或更高维度的空间中，内积的计算方法类似。
向量的内积可以用来判断两个向量的夹角是锐角、直角还是钝角。
当两个向量的内积大于0时，它们的夹角是锐角；当内积等于0时，它们的夹角是直角；当内积小于0时，它们的夹角是钝角。
与内积有关的概念还有向量的长度、向量的投影和向量的夹角等等。
向量的长度等于向量的模长，向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影，夹角是两个向量之间的夹角。
施密特正交化过程是一种将向量组转化为正交向量组的方法。
它基于向量的内积的性质，通过逐步调整向量的方向，使它们相互垂直。
具体步骤如下：1.将第一个向量保持不变，作为新的正交向量组的第一个向量。
2.对于第二个向量，计算它与第一个向量的投影，然后将第一向量的投影与第二个向量相减，得到一个新的向量。
3.对于第三个向量，计算它与前两个正交向量的投影，然后将前两个向量的投影与第三个向量相减，得到一个新的向量。
4.以此类推，直到所有向量都处理完毕。
施密特正交化过程的优点在于它能够将一个向量组转化为一个正交向量组，使得向量之间相互垂直，方便进行计算和分析。
在数学和物理学等领域中，正交向量组的应用非常广泛。
总结起来，向量的内积是描述两个向量之间数学关系的重要概念，通过计算两个向量的模长、夹角和余弦值的乘积，可以得到内积的值。
施密特正交化过程是一种将向量组转化为正交向量组的方法，通过调整向量的方向，使得它们相互垂直。
这些概念和方法在数学和物理学等领域中有广泛的应用，有助于解决问题和推导结论。
向量的内积与施密特正交化过程
向量的内积与施密特正交化过程向量的内积是线性代数中重要的概念，它不仅可以表述两个向量之间的夹角关系，还可以用于正交化过程中的计算。
施密特正交化是一种将一组线性无关的向量组转化为一组正交向量组的过程。
本文将分为以下几个部分介绍向量的内积和施密特正交化过程。
一、向量的内积A·B=a1b1+a2b2+...+anbn1.交换律：A·B=B·A2.分配律：(A+B)·C=A·C+B·C3.结合律：k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为实数4.内积为0的充要条件：当且仅当A、B正交（或垂直）时，A·B=0内积具有很多实际应用，比如：1.计算向量的模长：，A，=√(A·A)2. 计算向量之间的夹角：cosθ = (A·B)/(，A，B，)3.判断两个向量是否垂直：当且仅当A·B=0时，A与B垂直4.判断向量的正负性：当A·B>0时，夹角θ为锐角；当A·B<0时，夹角θ为钝角二、施密特正交化施密特正交化是一种将一组线性无关的向量组转化为一组正交向量组的过程。
假设有一组线性无关的向量A1,A2,...,An，施密特正交化的过程如下：1.选择一个向量a1作为正交向量组的第一个向量，令b1=a1/，a1，即单位化。
2.对于第k个向量向量Ak(k=2,3,...,n)，先将它与前k-1个向量的内积计算出来，然后减去它在前k-1个向量的投影：Ak' = Ak - (Ak·b1)b1 - (Ak·b2)b2 - ... - (Ak·bk-1)bk-1其中，bk = Ak'/，Ak'3. 重复步骤2，直到计算完所有向量。
经过施密特正交化，得到一组正交向量组b1,b2,...,bn。
施密特正交化的过程可以通过内积的运算来实现，将向量投影的概念用到了正交化过程中。
线性代数第五章(第一节内积)PPT课件
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质： （1） <x, y> =<y, x>;
（2） <x, y> = <x, y>;
（3） <x + y, z> = <x, z> + <y, z>; （4） <x, x> 0, 且当 x 0 时有<x, x> > 0.
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积
定义1 设有 n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令 <x, y> = x1y1 + x2y2 + … + xnyn , <x, y> 称为向
量 x 与 y 的内积.
内积是向量的一种运算，这种运算也可用矩 阵记号表示. 当 x 与 y 都是列向量时，有
<x, y> = xTy .
4
1
0
则 a4 应满足齐次线性方程 Ax = 0, 即
1 2 3 1 x1
1 1 1 5 4 1
0 0
x2 x3 x4
0,
解之得
五、正交规范基
1. 定义5 设 a1 , a2 , … , ar 是向量空间 V ( V Rn )
的一个基, 如果 a1 , a2 , … , ar 两两正交, 则称
当 < x, y > = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向 量正交.
四、正交向量组
向量的内积与正交
使β3 与β1，β2 彼此正交，满足
β3β1 β3, β2 0
即有
β3β1 α3, β1 k1 β1, β1 0
以及
β3β2 α3, β2 k2 β2, β2 0
得
k1
α3 , β1,
β1 β1
,k2
α3 , β2,
β2 β2
于是得
β3
α3
α3 , β1,
1 3
1 21
5 3
1
1 1
1
2 10
那么 β1β2, , βr与 就是与 α1,α2, ,αr 等价的单位正交向量组。
1
例3，a1 1 1
求一组非零向量 α2, α3, 使 α1, α2, α3
两两正交。
解 α2, α3 应满足方程 α1T x 0, 即
x1 x2 x3 0
线性代数
向量的内积与正交
1 向量的内积
2 线性无关向量 组的正交化方法
3 正交阵
内容
向量的内积与正交
定义1 设n 维向量
a1 b1
a2
,
b1
an
b1
令
α, β a1b1 a2b2 anbn
称为向量的内积。
向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积 可以表示成矩阵的乘积形式
定义2 设有n 维向量
a1
α
=
a1
a1
令
α α, α a12 a22 an2
α 称为n 维向量α 的长度(也称为模或范数)。 向量的长度具有下列性质: （1） α 0,且 α 0当且仅当α 0 （2） kα k α （3） α β α β
性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。
线性代数课件4-3向量的内积和Schmidt正交化
向量内积的性质
非负性
$mathbf{u} cdot mathbf{v} geq 0$，当且仅当
$mathbf{u}$与$mathbf{v}$同 向或反向时取等号。
交换律
$mathbf{u} cdot mathbf{v} = mathbf{v} cdot mathbf{u}$。
线性代数课件4-3向量 的内积和schmidt正 交化
contents
目录
• 向量的内积 • Schmidt正交化 • 向量的模 • 向量的外积
01
向量的内积
向量内积的定义
向量内积的定义为两个向量之间的点乘，记作$mathbf{u} cdot mathbf{v}$，计 算公式为：$mathbf{u} cdot mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + cdots + u_nv_n$，其中$mathbf{u} = (u_1, u_2, ldots, u_n)$和$mathbf{v} = (v_1, v_2, ldots, v_n)$。
1
正交化后的向量组是正交的，即任意两个不同向 量的点积为0。
2
正交化后的向量组是单位向量组，即每个向量的 模长为1。
3
正交化后的向量组是线性无关的，即不存在不全 为零的系数使得这些系数的线性组合等于零向量 。
Schmidt正交化的计算方法
首先，将非正交向量组进行单位化，使得每个 向量的模长为1。
然后，通过线性变换将每个向量与其余向量进 行正交化，使得任意两个不同向量的点积为0。
计算步骤
02
03
注意事项
首先计算各个分量，然后根据这 些分量构造向量c。
线性代数 向量的内积与施密特正交化方法(1)
实对称矩阵的相似对角化◼向量的内积与施密特正交化方法◼实对称矩阵的特征值与特征向量◼实对称矩阵的相似对角化➢向量的内积与施密特正交化方法主要内容◼向量的内积◼施密特正交化方法向量的内积◼向量内积的定义◼性质及应用举例在解析几何中知道，{},,i j k 123123,,a i a j a k b i b j b k αβ=++=++则α与β的数量积112233a b a b a b αβ⋅=++设三维向量空间中若的向量可定义数量积运算. 是三维向量空间中互相垂直的单位向量,向量的许多性质如长度、夹角、垂直关系都可由此来表示. 受此启发，可以在n维向量空间中引入类似运算，并由此描述向量之间的所谓“正交”关系.在本节中只限于在n维实向量空间上讨论.⚫向量的内积定义112(,,,)n a a a α=12(,,,)n b b b β=是实n 维向量空间R n 中任两向量，1122(,)n n a b a b a b αβ=+++1(,)n i i i a b αβαββαTT ====∑称实数为向量α与β的内积.(,)αβ设令1. 对称性=(,)(,)αββα3. 恒正性(,)0αα≥，2. 线性性+=+(,)(,)(,)αβγαγβγ=(,)(,)k k αβαβ当α≠0时, (,)0αα>⚫向量内积的性质易见向量的正交是三维空间中向量互相垂直关系的自然推广. 若，=(,)0αβ定义2称向量α与β正交.由定义，零向量与任何向量正交. 定义3(,)αα为α的长，设α是n 维向量，若|α|=1，称α为单位向量.记为|α|. 称易见|α|=0当且仅当α为零向量. k α=对于非零向量α ,1ααα︒=的长对任何α≠0，有|α|＞0，且有的单位化..k α(,)k k αα=2(,)k αα=α︒称为1ααα︒=称为单位化公式.α1 1.ααα︒==定义4若正交向量组中每个向量都是单位向量，设α1,α2,…,αs 是一组非零向量,若其中任两个向量都是正交的，则称其为一个正交向量组.仅由一个非零向量组成的向量组也称为正交向量组.则称其为标准正交组(或单位正交组).正交向量有下列性质:定理1(1)若β 与α1,α2,…,αm 的每一个向量正交, (2)若α1,α2,…,αm 是正交组,设α1,α2,…,αm 是R n 中的向量组，则β 必与α1,α2,…,αm 的任一线性组合正交.它们必线性无关. 则有任一线性组合,(1) 若，(i =1,2,…,m ).(,)=0i αβ证:0=1122(,)(,)m m k k k βγβααα=+++1122(,)(,)(,)m m k k k βαβαβα=+++故β与γ正交.由内积的线性性，γ= k 1α1+k 2α2+…+k m αm 是α1,α2,…,αm 的设(2) 设k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0,两边作内积运算，得11121211(,)(,)(,)=(,0)=0m m k k k ααααααα+++由于α1,α2,…,αm 两两正交, 1(,)=0j αα，则当j ≠ 1 时, 即k 1|α1|2=0.111(,)=0.k αα于是得到由于α1是非零向量，因此k 1=0.故|α1|≠0，用α1与其用αi 替代α1重复以上论证,故α1,α2, …, αm 线性无关. 可得k i =0，证毕.i =2,…, m ，定理1表明，在R n中正交向量组至多这是因为在R n中至多有n个含有n个向量，线性无关的向量.⚫应用举例例11(1,2,1,1),α=−2(1,1,0,1),α=−3(1,1,3,2)α=−，则设是R 4 中正交123,,ααα但不是标准正交组.向量组，这是因为解12,12010αα=−++=（）13,12320αα=−+−+=（）23,11020αα=−−++=（）123,,ααα是正交组. 114117α=+++=211013α=+++=，3119415α=+++=故α1,α2,α3 都不是单位向量.故而把它们单位化，令1111211,,,77777βα−⎛⎫== ⎪⎝⎭221111,,0,3333βα⎛⎫−== ⎪⎝⎭3311132,,,1515151515βα⎛⎫−== ⎪⎝⎭则β1,β2,β3是标准正交组.。
第五章向量内积与施密特正交化
定义4 在欧氏空间中 ,向量 , 之间的夹角
,
arccos
,
(
0)
定义5 设V是欧氏空间,对 , V ,若 , 0,
则称与正交,记作 .
注： 零向量与任何向量都正交.
定理2
在n维欧氏空间中,成立
1. ;
2. 当 时, 2 2 2.
, Biblioteka b2 bn,
令 , a1b1 a2b2 anbn
称 , 为向量 与 的内积 .
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算 ,如果 , 都是列
向量,内积可用记号表示为 :
, T T .
• 一、内积 • 二、标准正交基 • 三、施密特正交化
回忆: R3
a
b
a
b cos ,
表示a,
b的夹角.
若aaa1i
a
a
a2j
a3k ,
则ba
b1i b
b2
a1b1
j b3k ,
a2b2
a3b3
推广到n维实向量空间 Rn :
定义1 设有n 维向量
a1
b1
a2
an
证明 设有 1,2 ,,r 使 11 22 r 0
以
a
T 1
左乘上式两端
,得
1
T 1
1
0
由1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 ,,r线性无关.
1 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组；若其中每个向量的范数（长度） 都是1,则称为正交规范向量组(或标准正交向量组)．
向量的内积与施密特正交化过程
目录
• 向量的内积 • 施密特正交化过程 • 向量的模与向量的夹角 • 施密特正交化过程在向量空间中的应用 • 向量内积与线性代数的关系
01
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点积运算， 记作$mathbf{a} cdot mathbf{b}$。 它等于向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$的各分量相乘后的总和。
征向量等。
THANKS
感谢观看
在信号处理中，施密特正交化过程可以用于将一组信号向量转化为正交基底，以便更好地分析和处理信 号。
在量子力学中，施密特正交化过程可以用于将一组量子态向量转化为正交基底，以便更好地描述量子系 统的状态和演化。
05
向量内积与线性代数的关 系
向量内积与矩阵的关系
向量内积的定义
两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的内积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是两向量之间的夹角。
施密特正交化过程的定义
01
施密特正交化过程是一种数学 方法，用于将一组线性无关的 向量转换为正交基。
02
正交基是指一组两两正交的向 量，即它们的内积为0。
03
通过施密特正交化过程，我们 可以得到一组标准正交基，即 它们的长度为1且两两正交。
施密特正交化过程的应用
在线性代数中，施密特正交化过程常 用于将一组给定的线性无关向量转换 为标准正交基，从而方便进行向量运 算和矩阵表示。
矩阵与向量内积的关系
矩阵乘法可以看作是线性变换的一种表示，而向量内积则是描述向量之间角度 和长度关系的工具，因此向量内积在矩阵乘法中有着重要的应用。
第三节 向量的内积和施密特正交化
因为
两两正交，所以
, 0 i j, i, j 1, 2,..., m
i j
可得:
i i ,i 0
i 0 i ,i 0
而:
则只有
i 0 i 1,2,..., m .
,m线性无关.
故1 ,2 ,
４ 标准正交向量组
则a b a1b1 a2b2 a3b3
内积的运算性质
其中 , , 为n维向量, 为实数: (1) , , ;
(2)
, , ;
(3)
, , , ;
解
所以P是正交矩阵.
例6
已知三维
验证矩阵 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 解 P的每个列向量都是单位 向量, 且两两正交, 2 2 2 2 是正交矩阵. P 所以P是正交矩阵 . 1 1 0 0 2 2 1 1
1 例４ 已知 a 1 1 , 求一组非零向量a 2 , a 3 , 使 a 1 , a 2 , 1 a 3 两两正交. T , 应满足方程 a1 x 0,即 解 a2 a3 x1 x 2 x 3 0.
它的基础解系为 1 0 1 0 , 2 1 . 1 1
所以 e1 , e2 , e3 , e4
为标准正交向量组
5 施密特正交化 将任意给定的线性无关的非零向量组 a1 , a2 ,, am 化为正交向量组的方法——施密特正交化
二维几何空间
1 1
2 2
2 2 k1
1 1
显然
k 1
线性代数4.3向量的正交性
b1 , a2 b2 a2 c2 a2 b1 b1 , b1 a
3
b1 a1
b3
a3 c31 c32 b1 , a3 b2 , a3 a3 b1 b2 b1 , b1 b2 , b2
c3
c32 c31 b2
c2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1 0 1 1 1 e1 , e2 , e3 , e4 0 0 1 1 0 0 0 1
量组．
P.108 定理8 证明 若 a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零
向量集，则 a1, a2, …, ar 线性无关．
设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = <a1, 0> = <a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar> = k1 <a1, a1> + k2 <a1, a2> + … + kr <a1, ar> = k1 <a1, a1> + 0 + … + 0
= k1 ||a1||2
因为 ||a1|| ≠ 0，所以 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
1 1 例 已知3维向量空间R3中两个向量 a1 1 , a 2 2 1 1
1 等价于求方程组 Ax 1 1 2 x1 1 0 x2 1 0 x3
§34向量的内积与正交化
定义2 令 x ( x, x) xT x x12 x22 xn2 ||x||称为n维向量x的模 (或长度,范数)
特别,当||x||1时 称x为单位向量
当 x 0 时，称 1 x 为 x的单位化向量. || x ||
向量的长度的性质
设x y为n维向量 为实数 则
称为n维向量x与y的夹角
当(x y)0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任何向量都正交
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
二 向量组的正交化
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组 为正交向量组．
br 1
容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar
等价
把b1 b2 br单位化 即得一个规范正交向量组
e1
1 ||b1||
b1
e2
1 ||b2
||
b2
er
||
1 br
||
br
例1 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施 密特正交化过程把这组向量规范正交化
解 令b1a1
b2b2 aa2 2((b[b[b1b11,,1,,abab1212))]]bb11
311
4 6
定理：方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是 单位向量 且两两正交
证明： AT A I
a11 a21 an1 a11 a12 a1n
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（1）正交化，取 b1 a1 ，
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
,
b3
a3
[b1 [b1
,a3 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
,ar , b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
9 9 9
由于
4 9
4 9
7 9
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1 9
8
8 9 0 0
9 9
4 9
4 9
9 7 9
9 4
9
9 4
9
9 7
0
0
1
9
所以它是正交矩阵．
例６ 验证矩阵
1 1 1 1
2 1
22 1 1
2 1
P
2 1
1 , 14
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
例３
设
a
1
1 2
,
a
2
1 3
,
a
3
4 1
,
试
用施密
1
1
0
特正交化过程把这组向量规范正交化.
解
取 b1 b2
a1;
a
2
[a2
,
b1]
2
b1
b1
1 3 1
4
6
1 2 1
br
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
（2）单位化，取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
, er
br br
,
那么e1,e2,L ,er 是 标准正交向量组。
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 .
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
4
18 2 3 26 2
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当[ x, y] 0时, 称向量x与y 正交. 由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若n维向量1,2, ,r是一组两两正交的 非零向量,则1, 2, , r线性无关.
2
0
2 1 2
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
解 P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,
所以P是正交矩阵.
五、小结
1．将一组线性无关向量规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将向量组正交化，然
后再将其单位化． 2． A 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
1 A1 AT ; 2 AAT E; 3 A的列向量是两两正交的单位向量;
证明 设有 1,2 , ,r 使
11 22 L rr 0
以a1T 左乘上式两端,得
1
T 1
1
0
由 1 0 1T1 1 2 0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
性质2 : 正交向量组单位化后仍是正交向量组
叫做标准正交向量组，或正交单位向量组。
n
1
T 1
2
T 1
n
T 1
1
T 2
2
T 2
n
T 2
1
T n
2
T n
n
T n
E
i
T j
ij
1, 当 i
0,
当i
j; j
i, j 1,2, ,n
定义5 若 P 为正交阵，则线性变换y Px 称为正
交变换．
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
1 0 1
.
e1,e2 ,e3即合所求.
1
例４已知
a1
1,
求一组
非零向量a
2
,
a
3
,
使
a1
,
a
2
,
1
a3 两两正交.
解 a2 ,a3应满足方程a1T x 0,即 x1 x2 x3 0.
它的基础解系为
1 0
1 0 , 2 1 .
1
1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
解 先正交化， 取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
[b1 [b1
,a3 , b1
] ] b1
1 8 4
2
9 8
9 1
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
解
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2
1 3 1 2 1
考察矩阵的第一列和第二列，
由于 1 1 1 1 1 1 0, 2 2 3 2
所以它不是正交矩阵．
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
5
3
1 1 ; 1
b3
a3
[a
3
,
b1]
2
b1
[a
3
,
b2]
2
b2
b1
b2
4 1 0
1
3
1 2 1
5
3
1 1 1
1 2 0.
1
再把它们单位化，取
1
e1
b1 b1
1 6
2 , 1
e2
b2 b2
1 3
1 1 , 1
e3 b3 b3
1 2
称 x, y为向量 x 与 y的内积 .
说明
1 nn 4维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算,如果x, y都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为 :
x, y xT y.
内积的运算性质
其中 x, y, z为n维向量,为实数 : (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
4 A的行向量是两两正交的单位向量.
思考题
求一单位向量，使它与
1 1,1,1,1, 2 1,1,1,1, 3 2,1,1,3
正交．
思考题解答
解 设所求向量为x (a, b, c, d ),则由题意可得 :
a2 b2 c2 d 2 1, a b c d 0, a b c d 0,
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 1,1,1,1 1 , 1 , 1 , 1
2
2 2 2 2
e2
b2 b2
1 0,2,1,3
14
0,
2 , 14
(4)[ x, x] 0,且当x 0时有[ x, x] 0.
二、向量的长度及性质
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度 或范数 .
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ;
如果1，2 L m 是标准正交向量组，
则
i
,
j
1,i=j 0,i
j
（i,j= 1,2L m )
例如
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
就是一个标准正交向量组。
4、Schmidt正交单位化方法
设 a1,a2 L am 是线性无关向量组，构造新
的向量组 b1,b2 L bm ，使两个向量组等价 且 b1,b2 L bm 是正交向量组。
3. 三角不等式 x y x y .
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为单位向量 .
2 当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy
称为n维向量x与y的夹角 .（0 ) 例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解 cos
.
第三节 向量的内积和Schmidt正交化
一、内积的定义和性质 二、向量的长度和性质 三、正交向量组的概念和求法 四、正交矩阵和正交变换 五、小结 思考题
一、内积的定义及性质
定义1 设有n 维向量
x1
x
x2 ,
xn
y1
y
y2 ,
yn
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn
定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的行向量组 是标准正交向量组．