(人教版初中数学)22.1一元二次方程
22.1 一元二次方程
0,则k的值是( A )
(A)-1
(B)1
(C)1或-1
(D)-1或0
初中同步学习·数学
3.关于x的方程(m-2) xm2 2 +2mx-3=0是一元二次方程,则m的取值是( C ) (A)任意实数 (B)2
(C)-2
(D)±2
4.一元二次方程(1+3x)(x-3)=2x2+1化为一般形式为 x2-8x-4=0 ,二次
① ②
由①得 m2=3,m=± 3 .由②得 m≠- 3 ,所以 m= 3 .
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一元二次方程的判断: (1)必须是整式方程; (2)化简后必须含有二次项; (3)二次项的系数是字母时,必须注明不为0.
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探究点二:一元二次方程的解 【例2】 关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根是0,求a的值. 【导学探究】 1.把x= 0 代入原方程,求出a的值. 2.二次项系数a-2 ≠ 0.
解:(1)长方形的长为x cm,则宽为(20-x) cm,则x(20-x)=64. 化为一般形式为-x2+20x-64=0. (2)二次项系数是-1,一次项系数是20,常数项是-64. (3)把x=3代入原方程,左边≠右边, 所以x=3不是方程的根; 把x=4代入原方程,左边=右边,所以x=4是方程的根.
解:把x=0,代入(a-2)x2+x+a2-4=0, 可得a2-4=0,解得a=±2. 因为(a-2)x2+x+a2-4=0是关于x的一元二次方程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 所以a-2≠0,即a≠2,所以a=-2.
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已知一元二次方程的解 (1)代入:把方程的解代入原方程; (2)计算:解方程求出相关字母的值; (3)判断:舍掉二次项系数为0的值.
22.1一元二次方程(一)
原 方 程
5x 1 4 x
2 2
一 般 形 式
5x 4 x 1 0
二次 一次 常 项系 项系 数 数 数 项
5 －4 －1 4 0 －81 4 8 －25 3 －7 1
4 x 2 81
4x x 2 25
4 x 2 81 0
4 x 2 8x 25 0
1 2 (6)(m 2) 1 (5)a 0 a (1) ( 4) (6) 是一元二次方程的有：
例题2
将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一 元二次方程的一般形式，并写出二次项 系数、一次项系数及常数项。 解：去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3 移项，合并同类项得 3x2-7x+1=0
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程(quadratic equation in one unknown) 1 10 x 900 0 是一元二次方程吗？ 2 x
一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 bx 的形式 ,我们把 c 0 ax 2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。 想一想
知识要点
一元二次方程的一般形式 二次项系数 a≠0 一次项系数
2 ax +
二次项
bx +c = 0
一次项 常数项
a2 =
9 4
x2 ＋ 2x = 255 x2 － 11x = － 30
2x2 － 2x = 0 x2－18x＋45 = 0
……
数学：22.1《一元二次方程》课件(人教版九年级上)
4．把下列关于 x 的一元二次方程化为一般形式，并指出二 次项系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2＝5x－1； (2)a(x2－x)＝bx＋c(a≠0)． 解：(1)一般形式为 3x2－5x＋1＝0，二次项系数为 3，一次 项系数为－5，常数项为 1. (2)一般形式为 ax2－(a＋b)x－c＝0，二次项系数为 a，一次 项系数为－(a＋b)，常数项为－c. 5．如果 2 是一元二次方程 x2＋2x＝c 的一个根，那么常数
；石器时代私服 / 石器时代私服
由于北方战乱不堪 北方大族及大量汉族人口迁徙江南 都督一般由征 镇 安 平等将军或大将军担任 建了国子学 甚有条理 安乐公 疆域渐渐南移 后燕 并州饥民向冀豫地区乞食 科技 [28] 改以淮水为界 ?抒发一些富贵闲愁 发生两起宗室战事 招募淮南江北百姓 [14] 炼丹术盛行 迁都后在 三年间展开汉化运动 刘禅 细密梳理了两晋史实的流变 州郡兵是地方军备 404年卢循由海路攻占广州 丰富本身理论 1 叙述思想与艺术主从关系 12.304年司马颖遭王浚围攻 416年12月 14 前仇池 358年慕容俊下令全国州郡整顿户口 中文名 南朝有名的碑如《爨龙颜碑》 《瘗鹤铭》等 手 工业 设有管理州境内其他民族的护军 纳规定数目的三分之二 桓玄篡位 史称王敦之乱 东晋初 410年 门阀士族达到极盛阶段 渐渐发展出“河西文化” 至此确定了三省制度 经学 司马炎认为 甚至发生“人相食 谢玄等人乘胜追击 社会动荡 西晋 疆域 众多人民前往避难 东晋“青釉鸡首 壶” 不少方镇心怀野心 大破司马尚之 7 衣冠南渡 到了西晋时 阴谋篡夺 冉闵 贪污奢侈 派谢石谢玄率军 慕容俊继位后 于373年攻下东晋梁益二州 当时主要流亡潮有六次 906,次年颁行全国 公元280年灭孙吴 自魏晋起至
《一元二次方程》教案(人教版数学九年级上)
课题：22.1一元二次方程一、教学目标1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程的概念.2.难点：把一元二次方程化成一般形式.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元一次方程（板书：一元一次方程）.师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？生：……（让几名同学回答）师：（指准3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数的次数是1.师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.（二）尝试指导，讲授新课师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56是一个一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0也是一元二次方程，（板书：x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二次方程.师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名同学回答）师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.（师出示下面的板书）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7这些方程都是一元二次方程.（板书：3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）生：……（让几名学生发表看法）师：把这个方程两边去括号，得到3x2-3x=5x+10（边讲边板书：3x2-3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.师：（指3x2-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到3x2-8x-10=0（边讲边板书：3x2-8x-10=0）.师：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax2+bx+c=0这样的形式（边讲边板书：ax2+bx+c=0）.师：（指准ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把ax2叫做二次项，a 是二次项系数（板书：其中a是二次项系数）；bx叫做一次项，b是一次项系数（板书：b 是一次项系数）；c叫做常数项（板书：c是常数项）.师：（指准3x2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是3x2，二次项系数是3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.师：（指x2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是x2，二次项系数是1.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：一次项是3x，一次项系数是3.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的常数项是什么？生：常数项是0.（多让几名同学回答，如有必要师作解释）师：（指4x2-9=0）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是4x2，二次项系数是4.师：（指4x2-9=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：……（多让几名同学回答）师：这个方程的一次项可以写成0x（边讲边板书：0x），所以这个方程的一次项是0x，一次项系数是0.师：（指4x2-9=0）它的常数项是什么？生：常数项是-9.师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用这些知识来做几个练习.（三）试探练习，回授调节1.填空：(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2.填空：(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是；(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是；(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是；(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .（四）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？哪位同学能帮老师小结一下？生：……（让一两名学生小结）（作业：P28习题1）四、板书设计课题：22.1一元二次方程（第2课时）一、教学目标1.知道什么是一元二次方程的解（根）.2.会用直接开平方法解一元二次方程，渗透转化思想.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程解（根）的概念，直接开平方法.2.难点：直接开平方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.2.填空：(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .（二）尝试指导，讲授新课师：（板书：2x-6=0）这是一个一元一次方程，这个方程的解是什么？生：（齐答）解是x=3.（师板书：解是x=3）师：（指准方程）2x-6=0的解是x=3，这话是什么意思？（稍停）把x=3代入方程，左边=2×3-6=0，右边=0，左边和右边恰好相等.2x-6=0的解x=3，意思是，x=3能使方程左右两边恰好相等.师：（板书：x2-x=0）这是一个一元二次方程，这个方程的解是什么？（让生思考一会儿再叫学生）生：解是x=0.（师板书：x=0）师：（指准方程）把x=0代入方程，左边和右边相等，所以x=0是这个一元二次方程的一个解.师：除了x=0，这个方程还有没有别的的解？生：x=1.（师板书：x=1）师：（指准方程）把x=1代入方程，左边和右边相等，所以x=1也是这个一元二次方程的一个解.师：可见x2-x=0有两个解，一个解x1=0（边讲边标下标），另一个解x2=1（边讲边标下标）.师：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（板书：（根）），所以也可以这样说，（指准板书）x2-x=0有两个根，一个根x1是0，另一个根x2是1.师：下面请同学们做一个练习.（三）试探练习，回授调节3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .（四）尝试指导，讲授新课师：（板书：x2-36=0）刚才我们求了x2-36=0这个一元二次方程的两个根，x1=6，x2=-6.我们是怎么求的？我们是通过凑数字求的.大家可以想到，凑数字求根是有局限性的，什么局限性？（稍停）通过凑数字只能求那些很简单的一元二次方程的根，如果方程稍微复杂一点，数字就不好凑了.譬如，我们把右边的0改为2x（边讲边把x2-36=0中的0改为2x），x2-36=2x这个方程就很难用凑数字来求根.所以，求一元二次方程的根不能光靠凑数字，还需要有专门的方法.师：解一元二次方程的方法有好几种，下面我们先来介绍第一种方法，叫直接开平方法（板书：直接开平方法）.师：怎么用直接开平方法解一元二次方程？（稍停）让我们来看一个例子.（师出示例题）例解下列一元二次方程：(1)4x2-9=0； (2)3(2x-1)2=15.（师边讲解边板书，解题过程如下所示）解：(1)原方程化成29x=4.开平方，得3x=2±，x1=32，x2=-32.(2)原方程化成2(2x-1)=5.开平方，得2x-1=±，x1，x2师：（指准例题）从这两个题目，哪位同学会概括用直接开平方法解一元二次方程的步骤？生：……（让一两名好生概括）师：（指准例题）用直接开平方法解一元二次方程，有三步，第一步把原方程化成x2=常数，或者含x的式子的平方=常数的形式（板书：第一步：化成什么2＝常数）；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程（板书：第二步：开平方）；第三步解一元一次方程，得到两个根（板书：第三步：解一元一次方程）.师：下面请同学们按这三步来做两个题目.（五）试探练习，回授调节5.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什么2=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降为一次（板书：降次）；第三步解一元一次方程，得到两个根.（作业：P28习题3，P42习题1）四、板书设计学-优]中。
22.1一元二次方程(共2课时)
22．1 一元二次方程（共2课时）第一课时：探索一元二次方程的定义及其相关概念．一、教学目的1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式．二、教学重点、难点重点：一元二次方程的定义．难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．三、教学过程一、复习提问,引入新知1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？二、探究新知为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫．问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？（课件：制作盒子）学生通过分析设出合适的未知数，列出方程．方法一：等量关系是底面的长×宽等于底面积，设切去的正方形的边长是x cm，则有方程(100－2x)(50－2x)＝3 600；角度二：等量关系是底面积等于大长方形的面积减去四个小正方形的面积，再减去四个长方形的面积，同样设正方形的长是x cm，则有方程通过整理得到方程．问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？（课件：探索比赛场次）分析，全部比赛共28场，若设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场，于是得到方程，经过整理得到方程．探究二、1．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？分组合作、小组讨论，（1）2753500-+=；x x（2）2560--=；x x（3）1(1)x x-＝28．2特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2次．在学生交流看法的基础上，引导学生归纳：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程；一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式20(0)ax bx c a++=≠这种形式叫作一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项的系数；b x是一次项，b是一次项系数；c是常数项．此时让学生指出上述方程中前两个方程的各项系数．学生自主解决问题，通过去括号、移项等步骤把方程化为一般形式，然后指出各项系数．（注意系数的符号）2．将方程3(1)5(2)-=+化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系x x x数．〔解答〕去括号得2-=+，x x x33510移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式238100--=．x x其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10．三、课堂练习：把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．四、小结：1、谈谈你的收获2、找系数应该注意什么五、作业27页练习第二课时：一元二次方程的根探究．猜测方程2560--=的解是什么？x x学生可以采取多种方法得到方程的解，比如可以用尝试的方法取x＝1、2、3、4、5等，发现x＝8时等号成立，于是x＝8是方程的一个解，如此等等．教师引导学生自主探索，多种途径寻找方程的解，在此基础上让学生进行总结：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．探究二（1）下列哪些数是方程260--=的根？从中你能体会根的作用吗？x x－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．根据根的概念，学生独立解决上述问题．只要是使方程中等号两边相等的未知数的取值，都是方程的根，于是经过试验可以发现－2和3都是方程的根．方程的根可以起到检验的作用——检验一个数是否是方程的根．（2）若x＝2是方程2450+-=的一个根，你能求出a的值吗？从中你能体ax x会方程的根的作用吗？根据根的定义可以知道，若一个数是方程的根，那么把这个数代入方程后，等号必定成立，于是可以构造出关于a的一元一次方程，进而解即可．最后总结根的另一个作用——代入方程使等号成立．〔解答〕因为x＝2是方程2450+-=的一个根，所以ax x4850a+-=，解之得a＝3-．4巩固练习、归纳总结、布置作业．巩固练习：1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？（1）2360x-=．490x-=；（2）2学生在思考的基础上进行交流发现2360x-=若进行移项变为236x=，即已知一个数的平方是36，求这个数，显然是求36的平方根，容易得到x＝±6；同样的方法处理（2）．2．有人解这样一个方程7-+xx．(=)1)(5解：x+5=1或x－1 = 7，所以x1=－4，x2 =8，你的看法如何？三、归纳总结：本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？四、作业26页练习。
人教版数学九年级上册22.1《一元二次方程》说课稿
人教版数学九年级上册22.1《一元二次方程》说课稿一. 教材分析《一元二次方程》是人教版数学九年级上册第22.1节的内容，它是整个初中数学的重要部分，也是学生首次接触到的较为复杂的方程。
本节内容主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。
通过学习一元二次方程，学生能够进一步理解和掌握方程的解法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，能够理解和掌握一元一次方程的解法。
但是，一元二次方程的解法较为复杂，需要学生能够理解和运用新的解法。
因此，在教学过程中，我将会关注学生对一元二次方程的理解和掌握程度，以及他们在解题过程中遇到的困难。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，并能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流和探究实践，学生能够培养自己的问题解决能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：学生能够体验数学的乐趣，增强对数学学科的兴趣，培养自己的逻辑思维能力。
四. 说教学重难点1.重点：一元二次方程的定义和解法。
2.难点：一元二次方程的解法以及如何在实际问题中应用一元二次方程。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用自主学习、合作交流和探究实践的教学方法。
同时，我还会利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，来帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程。
六. 说教学过程1.引入新课：通过一个实际问题，引导学生思考并引入一元二次方程的概念。
2.讲解与演示：讲解一元二次方程的定义和解法，并进行演示，让学生理解和掌握一元二次方程的解法。
3.练习与讨论：让学生进行练习，并在合作交流中讨论解题思路和解法。
4.应用与拓展：让学生运用一元二次方程解决实际问题，并进行拓展训练。
5.总结与反思：让学生总结一元二次方程的解法，并反思自己在学习过程中的收获和不足。
七. 说板书设计板书设计主要包括一元二次方程的定义、解法和应用。
22 一元二次方程
22.1一元二次方程（第1课时）1.填空：(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2.填空：(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是；(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是；(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是；(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .22.1一元二次方程（第2课时）1.填空：(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.2.填空：(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .5.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .22.2.1配方法（第1课时）1.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-8=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：3(x-1)2-6=0.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .2.完成下面的解题过程：解方程：9x2+6x+1=4；解：原方程化成 .开平方，得，- 1 -x1= ，x2= .3.填空：(1)x2+2·x·2+ =(x+ )2；(2)x2-2·x·6+ =(x- )2；(3)x2+10x+ =(x+ )2；(4)x2-8x+ =(x- )2.4.完成下面的解题过程：解方程：x2-8x+1=0；解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= .5.用配方法解方程：x2+10x+9=0.课外补充作业：6.填空：(1)x2-2·x·3+ =(x- )2；(2)x2+2·x·4+ =(x+ )2；(3)x2-4x+ =(x- )2；(4)x2+14x+ =(x+ )2.7.完成下面的解题过程：解方程：x2+4x-12=0.解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= . 8.用配方法解方程：x2-6x+7=0.22.2.1配方法（第2课时）1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-12x+35=0.解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= .2.填空：(1)x2-2·x·13+ =(x- )2；(2)x2+5x+ =(x+ )2；(3)x2-32x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2.3.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-x-74=0.解：移项，得 .配方， .开平方，得，x1= ，x2= .4.完成下面的解题过程：- 2 -用配方法解方程：3x2+6x+2=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .5.用配方法解方程：9x2-6x-8=0.22.2.1配方法（第3课时）1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x－4=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .2.完成下面的解题过程：用配方法解方程：(2x-1)2=4x+9.解：整理，得 .移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .3.用配方法解方程：(2x+1)(x-3)=x-9.22.2.2公式法（第1课时）1.完成下面的解题过程：利用求根公式解方程：x2+x-6=0.解：a= ，b= ，c= .b2-4ac== ＞0.=_________，1x=_________，1x=__________.2.利用求根公式解下列方程：(1)21x=04；- 3 -- 4 -(2)24x ；(3)3x 2-4x+2=0.22.2.2公式法（第2课时） 1.完成下面的解题过程： 用公式法解下列方程：(1)2x 2-3x-2=0.解：a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0.=_________，1x =_________，1x =__________.解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac= = .=_________，12x =x =_________.(3)(x-2)2=x-3.解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac== ＜0.方程 实数根.2.利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x 2-5x=-7；(2)(x-1)(2x+3)=x ；(3)x 2x.22.2.3因式分解法（第1课时） 1.完成下面的解题过程：用公式法解方程：2x(x-1)+6=2(0.5x+3) 解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac== ＞0.x=__________________=______， 1x =_________，2x =__________.2.完成下面的解题过程：用因式分解法解方程：x2解：移项，得 .因式分解，得 .于是得或，x1= ，x2= .3.用因式分解法解下列方程：(1)x2+x=0；(2)4x2-121=0；(3)3x(2x+1)=4x+2；(4)(x-4)2=(5-2x)2. 22.2.3因式分解法（第2课时）1.填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、、、 .2.完成下面的解题过程：(1)用直接开平方法解方程：2(x-3)2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)用配方法解方程：3x2-x-4=0；解：移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ，x2= .(3)用公式法解方程：x(2x-4)=2.5-8x.解：整理，得 .a= ，b= ，c= .b2-4ac== ＞0.=_________,x1= ，x2= .(4)用因式分解法解方程：x(x+2)=3x+6.解：移项，得 .因式分解，得 .于是得或，x1= ，x2= .2.指出下列方程用哪种方法来解比较适当：(1)(2x+3)2=-2x；- 5 -(2)(2x+3)2=4(2x+3)；(3)(2x+3)2=6.课外补充作业：3.先指出下列方程用哪种方法来解比较合适，然后再按这种方法解：(1)(2x-3)2=25；(2)(2x-3)2=5(2x-3)；(3)(2x-3)=x(3x-2).4.用配方法解方程：x2+2x-1=0.22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）1.完成下面的解题过程：一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2,求两条直角边的长.解：设一条直角边的长为 cm，则另一条直角边的长为 cm.根据题意列方程，得.整理，得 .解方程，得x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：一条直角边的长为 cm，则另一条直角边的长为 cm.2.一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，(1)求菱形的两条对角线长；(2)求菱形的周长.（提示：菱形的面积=两条对角线积的一半）- 6 -22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.2.完成下面的解题过程：有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程，得.提公因式，得( )2= .解方程，得 x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：每轮传播中平均一个人传播了个人.3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：(1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息；(2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息；(3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息.22.3实际问题与一元二次方程（第3课时）1.填空：(1)扎西家2006年收入是2万元，以后每年增长10％，则扎西家2007年的收入是万元，2008年的收入是万元；(2)扎西家2006年收入是2万元，以后每年的增长率为x，则扎西家2007年的收入是万元，2008年的收入是万元.2.完成下面的解题过程：某公司今年利润预计是300万元，后年利润要达到450万元，该公司利润的年平均增长率是多少？解：设该公司利润的年平均增长率是x.根据题意列方程，得.- 7 -解方程，得x1≈，x2≈（不合题意，舍去）.答：该公司利润的年平均增长率是 %.3.某公司今年利润预计是300万元，设该公司利润的年平均增长率是x，填空：(1)明年该公司年利润要达到万元；(2)后年该公司年利润要达到万元；(3)第三年该公司年利润要达到万元；(4)第十年该公司年利润要达到万元.第二十二章一元二次方程复习（第1、2、3课时）1.填空（以下内容是本章的基础知识，是需要你理解的，先直接用铅笔填，想不起来再在课本中找）(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程. (2)ax2+bx+c=0这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.(3)能使一元二次方程左右相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的 .(4)一元二次方程的四种解法是：直接开平方法、、、.(5)一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac 时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac 时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac 时，方程没有实数根. (6)b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的，用来表示.(7)利用一元二次方程解决实际问题的步骤是：审题，，，， .2.填空：(1)把(x+2)(x-5)=1化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .(2)把(x+3)(x-3)=5x2-2化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .(3)已知一元二次方程x2-kx+2=0的一个根是-3，则k= .(4)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.根据这个问题，可以列出的方程是 .(5)x2+12x+ =(x+ )2，x2-43x+ =(x- )2.(6)在方程①3x2，②5x2，③8x2=3x-1中，没有实数根的是，有两个不相等的实数根是，有两个相等的实数根是 .(7)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，则经过两轮传染后，共有人得流感.(8)经过两年的努力，某村的青稞亩产由250千克达到300千克，求每年的平均增长率x.根据这个问题，可以列出的方程是.3.完成下面解题过程：(1)用直接开平方法解方程：4(x+2)2-9=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)用配方法解方程：x2+2x-4=0；解：移项，得 .配方，得，.开平方，得，x1= ，x2= .(3)用公式法解下列方程：2x(x-1)=3(x+1)；解：整理，得 .a= ，b= ，c= .b2-4ac= = ＞0.- 8 -- 9 -=_________，1x =_________，2x =__________. (4)用因式分解法解方程：(2x-3)2=x 2.解：移项，得 . 因式分解，得 . 于是得或 ， x 1= ，x 2= .4.用适当的方法解下列方程：(1)196x 2-1=0；(2)x 2+8x=0；(3)x(2x-5)=4x-10；(4)x(x-7)=1；(5)2x 2+3x+3=0；(6)4x 2+12x+9=81.5.一元二次方程kx 2-2x+1=0，填空：(1)当k 时，方程有两个不相等的实数根；(2)当k 时，方程有两个相等的实数根；(3)当k 时，方程没有实数根. 6.把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.7.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由4％降至2％，平均每次降息的百分率是多少？8.一个直角梯形的下底比上底大2cm ，高比上底小1cm ，面积等于8cm 2，求这个直角梯形的周长.。
22.1解一元二次方程-配方法
让学生试做，教师总结步骤，板书解题过程
学生在练习、板演过程中充分体会配方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．
此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题。
学生可能不考虑二次项系数不是1，而盲目解题
按照要求完成后，相互检查。
学生试解、教师点评
这两个小题有两种配方的方法，学生可能想象不出
（1）9x2－6x＋1＝0（2）5x2－10x＝1；
三、小结
1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下：
（1）化二次项系数为1．
（2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项．
（3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方．
（4）用直接开平方法求解．
课题
22.1解一元二次方程-配方法
时间
课时
总课时
目标
知识与技能目标：1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型．2．会用配方法解一元二次方程．
过程与方法目标：培养学生准确、快速的计算能力，严谨的逻辑推理能力以及观察、比较、分析问题的能力．
情感与态度目标：通过本节课，继续体会由未知向已知转化的思想方法，渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法
二、探索新知
（一）探究新知1
1、复习提问
（1）完全平方公式__________________
（2）填空：
1）x2-2x+（）＝[x＋（）]2
2）x2＋6x＋（）＝[x-（）]2
2．引例：将方程x2-2x-3=0化为（x-m）2=n的形式，指出m，n分别是多少？
反馈练习1、把下列方程化为（x＋m）2＝n的形式，并求解
人教版九年级数学上册第22章一元二次方程导学案
x22．1 一元二次方程（1）学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．学一学（阅读教材第25至26页，并完成预习内容。
）问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程 _____________________________整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。
列方程____________________________化简整理得 ____________________________ ③请口答下面问题：（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________（2）它们最高次数分别是几次？___________方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____的方程.1.一元二次方程:_____________________________________________2. 一元二次方程的一般形式:____________________________一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是____________，_____是二次项系数；bx 是__________,_____是一次项系数；_____是常数项。
人教版九年级数学上册：22.1.1 二次函数 课件(共21张PPT)
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
例4. 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函 数的解析式.
22.1.1 二次函数
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2。一次函数、正比例函数的定义 是什么？
问题：
（1）你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道：投篮时，篮球运动的 路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最 高点时的高度？
请用适当的函数解析式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(1)圆的面积 y ( cm 2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果
初三数学第二十二章《一元二次方程》全章教案
第二十二章一元二次方程22．1 一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+b x+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型,•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键:通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）古算趣题:“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。
借问竿长多少数,谁人算出我佩服.如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，长为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果,那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1,AC=x，那么BC=________,根据题意,得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形,将它的一边剪短5m,另一边剪短2m,恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________,宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次？(3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子?老师点评:（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3)•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地,任何一个关于x的一元二次方程,•经过整理,•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程3x（x—1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x—1）=5（x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等．解:略注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
22.1一元二次方程
一元二次方程的一般形式： 2+bx+c=0（a≠0） ax 其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项
将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及 常数项。
课本p27练习1.2 p28 复习巩固 1
【 例 题 1】 下列方程中，一
2
定是 关于 x 的一元二次方程的是（ B. 1 x
2 2
）
A.3(x + 1) = 2(2x + 1)
2
1 x
20
2
C .ax bx c 0 D . x 2 x x 1 变式 、 1 若方程 m - 1x nx 7 0 是关于 x 的一元二次方程，
，求 a 、 b 的值，下面是两位同学 甲：根据题意，得
乙：根据题意，得
2a b 1 a-b 2
解得 你认为上述两位同学的
a 1 a 1 或 b 0 b 1 解答是否正确？为什么 ？
【知识点二：一元二次方程的根】 能使方程左右两边相等的未知数的值， 叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做 一元二次方程的根
22.1一元二次方程
1、理解一元二次方程的概念及一般形式。 2、理解一元二次的根的概念，会利用平方根 的意义求一元二次方程的根。
【知识点一：一元二次方程的概念】
等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。
【特别提示】： 一个方程是否一元二次方程，要根据化简整理后 的结果来定。如x(x-1)=x2-5x+1
2
则 m 的取值范围是 A.m 1 B.m ＞1
211《一元二次方程教案》(第1课时).doc
22. 1 一元二次方程第一课时一、 教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念. 二、 教学目标了解一元二次方程的概念；一般式a/+bx+c 二0 （aHO ）及其派生的概念；应用一元二 次方程概念解决一些简单题H .1. 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义.2. 一元二次方程的一般形式及其有关概念.3. 解决一些概念性的题目.4. 通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题來激发学生的学习热情. 三、 重难点关键1. 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概 念解决问题.2. 难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概 念迁移到一元二次方程的概念.四、 教学过程 （一、）复习引入 学牛活动：列方程.问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺•八寸，两隅相去适一 丈，问户高、广各儿何？ ”人意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽 各是多少? 如果假设门的高为x 尺，那么，这个门的宽为 _________ 尺，根据题意，得 __________ 整理、化简，得： __________ ・问题（2）如图，一块四周镶冇宽度相等的花边的地毯, 毯中央的长方形图案的面积为18m2,求花边有多宽？设花边的宽为“ in ，那么地毯屮央长方形图案的 长为 m, 宽 为 _____________ m,根据题意， 得方程： ____________________________________ . 问题（3）观察下面等式：102+112+122=132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个 数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 设五个连续整数中第一个为x,那么后四个___________________________________ ，根据题意, 得方程： ___________________________________________________________________ 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理. （二、）探索新知学生活动：请口答下面问题.（1）上面三个方程整理后含有儿个未知数？数为 __________ 它的长为8m,宽为5m,如果地(2)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是儿次？(3)有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：(1)都只含一个未知数x； (2)它们的最高次数都是2次的；(3)都有等号，是方程.因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程.-般地，任何一个关于x的一元•二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0 (aHO).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0 (aHO)后，其屮ax'是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.(阅读练习册P1例题)巩固练习1、下列方程中，一元二次方程冇( )个(1)/ = 3 (2)5酹=3(/・ 1) ⑶丄二/ (+)yz・ A2 =5 (5)5/ ・2x = 5(/ +2)(/ ・ 1)x 4A. 2B. 3 C・ 4 D. 5例1.将方程(8-2x) (5-2x)二18化成一元二次方程的一般形式，并写出其屮的二次项系数、一次项系数及常数项.分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=O(8工0).因此，方程(8~2x) ( 5~2x)=18必须运用整式运算进行整理，包括去•括号、移项等.解：去扭号，得:40-16x-l 0X+4X2= 18移项，得：4x-26x+22=0其中二次项系数为4, 一次项系数为-26,常数项为22.(三、)巩固练习教材匕练习1、(四、)应用拓展例2.求证:关于x的方程(m2-8m+17) x2+2mx+l=0,不论m取何值，该方程都是一元二次方程.分析：要证明不论m収何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17 H0即可. 证明:m2-8m+17= (m-4) 2+1•・• (m-4)空0・・・(m-4) 2+1>0, B|J (m-4) 2+1^0・・・不论m取何值，该方程都是一元二次方程.五、归纳小结(学生总结，老师点评)本节课要掌握：(1) 一元二次方程的概念；(2) 一元二次方程的一般形式ax'+bx+c二0 CaHO)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用.六、布置作业1.练习册P H提升:(A组)2.选用作业设计.作业设计一、选择题1.在下列方程中，一元二次方程的个数是().①3x'+7二0 ②ax"+bx+c二0 ③(x-2) (x+5) =x2-l ④3x2-— =0XA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则().A. p=lB. p>0C. pHOD. p 为任意实数二、填空题1.____________________________________ 方程3x「3二2x+l的二次项系数为, 一次项系数为 ______________________________________________ ,常数项为2.一元二次方程的一般形式是__________ .3.关于x的方程(旷1) X2+3X=0是一元二次方程，则a的取值范围是 __________ .三、综合提高题1. a满足什么条件时，关于x的方程a (x2+x) =>/3x- (x+1)是一元二次方程?2.关于x的方程(2m2+m) x,,M+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？反思提高：。
22.1一元二次方程数学教案
22．1一元二次方程数学教案
教案名称：《一元二次方程》
一、教学目标：
1. 知识与技能：理解并掌握一元二次方程的概念，能够解基本的一元二次方程；学会使用因式分解法、公式法等方法解决相关问题。
2. 过程与方法：通过观察、思考、讨论、合作等方式，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：培养学生的数学思维，激发学生对数学的兴趣，增强学生的学习自信心。
二、教学重难点：
重点：理解和掌握一元二次方程的概念，学会使用因式分解法、公式法解一元二次方程。
难点：理解和运用一元二次方程的解法，解决实际问题。
三、教学过程：
1. 导入新课：通过生活实例或者历史故事引出一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新知探究：首先介绍一元二次方程的概念，然后引导学生学习如何用因式分解法解一元二次方程，再进一步介绍公式法，并举例说明。
在这个过程中，鼓励学生主动参与，提出自己的见解和疑问。
3. 实践应用：设计一些练习题让学生独立完成，以此来检验他们对新知识的理解和掌握程度。
同时，还可以设置一些实际问题，让学生利用所学知识去解决，以提升他们的应用能力。
4. 总结归纳：带领学生回顾本节课的主要内容，强调重要知识点，解答学生在课堂上提出的疑问。
5. 布置作业：布置适量的习题，让学生在课后巩固和复习所学知识。
四、教学评价：
通过课堂观察、小组讨论、练习反馈等方式，评价学生对一元二次方程的理解和掌握程度，以及他们的问题解决能力。
五、教学反思：
在课程结束后，教师需要反思本次教学的效果，包括教学设计是否合理，教学方法是否有效，学生的学习效果如何等等，以便于下次改进教学。
第22章一元二次方程
22.1 一元二次方程一、知识点总结1、一元二次方程的概念2、一元二次方程的一般形式3、一元二次方程的解（根）二、题型总结题型一：一元二次方程的概念问题1、下列方程中，一元二次方程共有（）．①②③④⑤A．2个B．3个C．4个D．52、下列方程中是关于x的一元二次方程的是…………………………（）A．B．C． D.3、下列方程中，是一元二次方程的是（）．A．B．C．D．4、若5x2=6x－8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别是A、5，6，－8B、5，－6，－8C、5，－6，8D、6，5，－85、一元二次方程3x2-4x=5的二次项系数是（）A．3 B．-4 C．5 D．-56、若方程是关于的一元二次方程，则m的值为（）A．±3 B．3 C．-3 D．以上都不对7、若关于x的一元二次方程的常数项是0，则m的值是（）A．1 B．2 C．1或2 D．08、一元二次方程的二次项系数是一次项系数是常数项是10、关于x的方程(a＋1)＋x－5＝0是一元二次方程，则a＝_______．11、把一元二次方程(x+1)2-x=3(x2-2)化成一般式是______________．12、一元二次方程3x(x+1)－2x2+1的一般形式是___________________．13、一元二次方程2x2-3=5x的二次项系数是______、一次项系数是______、常数项是______.14、方程的一般形式是.15、把一元二次方程化简为一般形式是.16、若方程（m－2）x m2－5m+8+(m+3)x+5=0是一元二次方程，求m的值17、已知关于x的方程．当m为何值时，该方程是一元二次方程?18、已知关于x的方程（1）当a为何值时，方程是一元二次方程；（2）当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值．题型二：一元二次方程的解（根）1、若x=2是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是（）A．6 B．5 C．2D．-62、如果x＝4是一元二次方程的一个根，那么常数a的值是（）．A.2B.－2C.±2D.±43、已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（）A．1 B．C．2 D．4、若x=-1是关于x的方程的一个实数根，则a的值为( )A．0 B．-2 C．1 D．-2或15、关于的一元二次方程有一个根是0，则值为（）A．1 B．C．1或D．6、已知关于x的方程的一个根是1，则k= ．7、若方程的一个根，则=8、已知一元二次方程的一根为1，则a-b的值是_____.9、已知a是方程x－2x－1＝0的一个根，则a-2a＋3的值是；10、若是方程的一个根，则=________．题型三：利用一元二次方程巧求代数式的值1、已知ｍ是方程ｘ2－ｘ－１＝０的一个根，则代数ｍ2－ｍ的值等于（）A、１B、－１C、0D、22、已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为( )A．－１B．0 C．1 D．23、若关于的一元二次方程为,那么的值是（）A.4B.5C.8D.104、在方程中，若有，则方程必有一根为( )。
22.1一元二次方程
绿苑小区
问题（1）：绿苑小区住宅设计，准备在每 两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一 块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿 地的长和宽各为多少？
x x +10
设:长方形绿地的宽为x,
由题意得:
整理得:
x(x+10)=900
x2+10x-900=0
问题（2）：学校图书馆去年年底有图书 5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求 这两年的年平均增长率. 7.2万册
一元
二次
一元二次方程的概念
上述两个整式方程中都只含有一个未知数(一元) ， 并且未知数的最高次数是2 (二次) ，这样的方程叫 做一元二次方程.
1 10 x 900 0是一元二次方程吗？ 2 x
?
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以 2 化为 ax bx c 0 的形式,我们把 ax 2 bx c 0 (a,b,c为常数， a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
2、一元二次方程的一般形式
去年
x
今年
x
明年
5万册
5(1＋x)万册
2) 5(1＋ x)(1 ＋ x 万册 5(1 ＋ x) 万册
设这两年的年平均增长率为x, 5(1＋x)2=7.2 由题意得:
整理得:
5x2＋10x－2.2=0
?
x2＋10x－0=0 (1)
5x2＋10x－2.2=0 (2)
这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共 同特点呢？ 特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
二次系数2,一次系数1, 常数项16
初中数学课一元二次方程教案设计反思教案
初中数学课一元二次方程教案设计反思教案
课题人教版第二十二章22.1一元二次方程
作者及工作单位上林县白圩初中：卢朝伟
教材分析
1．本节在引言中的方程基础上，首先通过两个实际问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后引导学生观察出它们的共同点，得出一元二次方程的定义。
2．书中的定义是以未知数的个数和次数为标准，用文字的形式给出的。
一元二次方程都可以整理为a_2+b_+c=0(a≠0)的形式，即一元二次方程的一般形式。
3、本节始终都有列方程的内容，这样安排一方面是分散列方程这一教学难点，化整为零地培养由实际问题抽象出方程模型的能力；另一方面是为由一些具体的方程归纳出一元二次方程的概念。
学情分析
1、通过课堂练习，大部分学生对概念基本理解，能够找出各项系数，但有少数学困生对于系数符号没有掌握。
2、部分学生由于基础较薄弱，用一元二次方程解决实际问题有一定的难度，解决这问题要以多练为主。
3、学生认知障碍点：一元二次方程与不等式和整式的综合运用能力有待提高。
教学目标
1、从实际问题引出一元二次方程，使学生进一步体会方程是刻画现实世
界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生分析问题和解决问题的能力及用数学的意识。
2、使学生正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
3、通过概念教学，培养学生的观察、类比、归纳能力，同时通过变式练习，使学生对概念理解具备完整性和深刻性。
教学重点和难点
1、重点：概念的形成及一般形式。
2、难点：从实际问题引出一元二次方程；正确识别一般形式中的“项”及“系数”。
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五、作业设计
复习巩固作业和综合运用为全体学生必做； 拓广探索为成绩中上等学生必做； 学有余力的学生,要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复 练习. 补充作业：本课无.
板书设计
观察：
例
课堂小结归纳
定义：
一般形式
一元二次方程的根
三种特殊形式
教 学 反思
纳入知识系统
（1）x2-64=0（2）x2+1=0 （3）x2-3x=0 （4） x2 2x 1 0
4.思考：一元一次方程一定有一个根,一元二次方程呢？
5.排球邀请赛问题中,所列方程 x2 x 56 的根是 8 和-7,但是答案只
能有一个,应该是哪个？
归纳： ○1 一元二次方程的根的情况 ○2 一元二次方程的解要满足实际问题 三、课堂训练 1.课本练习 2 补充：
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、复习引入
导语：小学五年级学习过简易方程,上初中后学习了一元一次方程, 点题,板书课题.
联系曾经学习过
二元一次方程组,可化为一元一次方程的分式方程,运用方程方法可
的方程知识衔接
以解决众多代数问题和几何求值问题,是非常常见的一种数学方法.
本章,明确本节课
殊形式. 3. 经 历 观 察 ,归 纳 一 元 二 次 方 程 的 概 念 ,一 元 二 次 方 程 的 根 的 概 念 ,
通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
一元二次方程的概念,一般形式和一元二次方程的根的概念
通过提出问题,建立一元二次方程的数学模型,•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的 概念．
高
符号负号,不是运算符号减号.
一元二次方程的根的概念
加深对概念理解和
1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念
学生思考,讨论完成,
运用,同时对一元
2.下面哪些数是方程 x2+5x+6=0 的根？ -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4．
二次方程的根的情 况初步感知
3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关
内容
概念.
二、探究新知
学生读题找等量关系列方
探究课本问题 2
程.
淡化列方程难度,
分析：
学生观察所列方程整理后的 重点突出方程特
1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？
特点,把握方程结构,初步感 点
2.全部比赛场数是多少？若设应邀请 x 个队参赛,如何用含 x 的代数 知一元二次方程概念.
3.特殊形式： ax2 bx 0a 0 ； ax2 c 0a 0 ； ax2 0a 0
学生根据相关概念作答,复 识记、理解相关概
习巩固.
念
课本例题
分析：类比一元一次方程的去括号,移项,合并同类项,进行同解变形, 学生类比一元一次方程的解 通过类比,迁移提
化为一般形式后再写出各项系数,注意方程一般形式中的“-”是性质 尝试叙述
1).在下列方程中,一元二次方程的个数是（ ）．
使学生巩固提高, 学生独立 完成,教 师巡视 了解学生掌握情 指导,了解学生掌握情况, 况 并集中订正
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- 5 =0 x
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2）.关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程,则 a 范围________．
归纳
达到共识,从而为
掌握概念作准备.
1.一元二次方程定义： 分析：首先它是整式方程,然后未知数的个数是 1,最高次数是 2. 2.一元二次方程的一般形式：
师生分析概念和一般形式. 全面理解和掌握
分析：
○1 .为什么规定 a ≠0？
○2 .方程左边各项之间的运算关系是什么？关于 x 的一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 的各项分别是什么？各项系数是什么？
3).已知方程 5x2+mx-6=0 的பைடு நூலகம்个根是 x=3,则 m 的值为________ 4).关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？ 四、小结归纳
师生归纳总结,学生作笔 记.
1.一元二次方程的概念及其一般形式,能将一个一元二次方程化为一 般形式,并正确指出其各项系数. 2.一元二次方程的根的概念,能判断一个数是否是一个一元二次方程 的根.
化为一般形式 3. 理解 二 次根 式 的根 的 概念 ,会判 断 一个 数 是否 是 一 个一 元 二次 方 程的 根 1. 通 过 根 据 实 际 问 题 列 方 程 ,向 学 生 渗 透 知 识 来 源 于 生 活 . 2. 通 过 观 察 ,思 考 ,交 流 ,获 得 一 元 二 次 方 程 的 概 念 及 其 一 般 形 式 和 其 它 三 种 特
作课类别 教学媒体
知识
教
技能
学
过程 目
方法
标 情感
态度
教学重点
教学难点
课题
22.1 一元二次方程
课 型 新授
多媒体
1. 理解 一 元二 次 方程 概 念 是 以未 知 数的 个 数和 次 数为 标准 的 . 2. 掌 握 一 元 二 次 方 程 的 一 般 形 式 以 及 三 种 特 殊 形 式 ,能 将 一 个 一 元 二 次 方 程
式表示全部比赛场数？
整理所列方程后观察： 1.方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？
4x+3=0； x2 2x 4 0 ； 2x y 4 0 ； x2 75x 350 0 ；
1 2x 6 0 x 概念归纳：
通过比较,对一元
学生尝试 叙述,然 后师生 二次方程的概念