高等数学学习指导
高等数学学习方法指导(研究函数与极限的基本方法)
12
例6.求函数 f ( x)
(1 x) sin x x ( x 1)
2
的间断点 , 并
判别间断点的类型 . (1 x) sin x 解: f ( x) x ( x 1)( x 1)
所以 f (x) 有间断点 x 1, 0 , 1
(1 x) sin x 1 x = –1 为第一类 lim sin 1, 可去间断点 x 1 x ( x 1)( x 1) 2
初等函数
有限次运算且用 一个式子表示
分段函数 非初等函数 级数表示的函数 …………
4
(4) 常用的等式与不等式
n(n 1) 1、 k 2 k 1 n n(n 1)(2n 1) 2 2、 k 6 k 1
n
x1 x2 xn n 3、 x1 x2 xn n
3. 求极限的基本技巧 , e n , n ! , n n n 时 ln n , n (1) 定式部分应尽早求出; 各种方法注意综合使用. 速度一个比一个快 . (2) 注意利用已知极限的结果 . 例如, 当 0 时 ln n n en n! lim lim n lim lim n 0 n n n e n n ! n n ln x x ex lim lim x lim x 0 19 x x x e x x
tan x sin x 例4. 求 lim . 3 x 0 x
解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim x 1 x2 2 x3
24
x 0
(4) 注意用求极限的特殊方法
如, 利用导数定义 ,微分中值定理 , 泰勒公式等 求极限 . 3. 判断极限不存在的主要方法 (P22, 6) (1) 对分段函数, 在界点处讨论左右极限 ; (2) 利用数列极限与函数极限的关系 ; (3) 利用反证法 , 设极限存在推出矛盾.
高等数学学习指导(西北工业大学高等数学教研室编)PPT模板可修改文字
演讲人
202X-11-11
ONE
01
第一章 一元函数的极限与连续
第一章 一元函数的极限与连续
第二节 极限
02
第一节 函数
01
第三节 函数的连续性
03
第四节 综合问题
04
本章知识脉络
05
按章模拟考试
06
ONE
02
第二章 导数与微分
01
06
03
02
按章模拟考试
感谢聆听
04
05
第二章 导数与微分
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ONE
03
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
第二节 微分中值定理
02
本章知识脉络
05
第一节 利用洛必达法则求极限
ONE
08
第八章 多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数微分法第二节 多元函数微分的应用第三节 综合问题本章知识脉络按章模拟考试
ONE
09
第九章 重积分
第九章 重积分
第二节 三重积分
02
第一节 二重积分
01
第三节 重积分的应用
03
第四节 综合问题
04
本章知识脉络
01
第四节 综合问题
04
第三节 函数性态研究
03
按章模拟考试
06
ONE
04
第四章 不定积分
第四章 不定积分
高数备考从基础到提高的全方位指导
高数备考从基础到提高的全方位指导在数学的世界里，高等数学像是一座宏伟的城堡，巍峨而神秘。
要想顺利登上这座城堡的顶峰，必须从基础开始，逐步攀登，才能最终抵达顶点。
这里将为你提供一份全方位的备考指南，帮助你从基础知识起步，逐步提高，稳健地走向高等数学的高峰。
首先，基础知识是通向高等数学世界的根基。
它们犹如坚实的地基，支撑着整座城堡的结构。
要真正掌握高等数学，必须对数学的基本概念、定理和公式了如指掌。
对于函数、极限、导数和积分等基础概念，需做到不仅会用，更要理解其本质。
例如，函数的定义和性质、极限的计算、导数的几何意义和积分的实际应用，这些都是进入高等数学领域的必备知识。
在掌握了基本概念后，接下来是解决实际问题的阶段。
此时，基础知识将转化为解决问题的工具。
在这个阶段，练习题目和实际应用尤为重要。
通过大量的练习，可以熟悉各种类型的问题和解题方法，提高解决问题的能力。
例如，求解复杂的极限问题或应用积分解决实际问题时，熟练掌握各种技巧和方法就显得尤为重要。
进一步的提升需要深入研究高等数学的理论部分。
这个阶段主要包括对高级定理的理解和应用，比如泰勒级数、傅里叶分析等。
这些理论不仅为解决复杂问题提供了新的视角，还扩展了对数学的理解。
在这个过程中，阅读教材和参考书籍是必不可少的，它们如同引导你穿越数学迷宫的灯塔，帮助你找到前进的道路。
此外，做题的同时，要学会总结和归纳。
每做完一组题目，应该进行反思，总结解题的思路和技巧。
这样能够帮助你更好地理解各种解题方法，并在面对类似的问题时更加从容。
通过总结归纳，可以形成系统化的知识体系，将零散的知识点整合成一个完整的知识框架。
除了个人学习，与他人的交流也是提高的重要途径。
参加学习小组、讨论班或者在线论坛，能够让你接触到不同的观点和解题思路。
这种互动不仅可以帮助你解决自己遇到的问题，还能开阔你的视野，激发新的思考。
通过交流，你可以了解别人是如何解决问题的，这将有助于你更全面地掌握高等数学的知识。
高等数学(上)学习指南
高等数学（上）学习指导一、选择题1、参考答案：B为使函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a ，c 应满足（ ） A ．0a <且0c = B ．0a >且c 是任意实数 C ．0a <且0c ≠ D ．0a <且c 是任意实数2、参考答案：A函数 是奇函数； 偶函数；非奇非偶函数；奇偶性决定于的值 答（ ）f x a xa xa A B C D a ()ln ()()()()()=-+>03、参考答案：A下列函数中为奇函数的是； ；； 答（ ）()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x==+==--22422π4、参考答案：A 答（ ） ． ． ． ． 23)( 23)(65)( 65)(d 1301D C B A x x --=+⎰-5、参考答案：D2tan xdx ⎰=（ ）A ．tan x x C ++B ．tan x xC -+ C ．2ses C +D ．tan x x C -+6、参考答案：D 答（ ） ，，． ，，． ，，． ，，． 为，则 又设，，已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤≤≤=⎩⎨⎧≤≤<≤=⎰211103131)(2111031)(21103131)(211031)()()20( d )()(21110)(333312x x x x D x x x x C x x x x B x x x x A x F x t t f x F x x x x f x7、参考答案：B（ ） 答 要条件的充分条件，也不是必Ⅱ不是Ⅰ 的充要条件Ⅱ是Ⅰ 的必要但非充分条件Ⅱ是Ⅰ 的充分但非必要条件Ⅱ是Ⅰ 关系是Ⅱ与则且的某去心邻域内可导在 设)()()()()()()()()()()()(:)()(lim )()()(lim)(,0)(lim )(lim 0)(,)(),(000D C B A A x g x f A x g x f I x g x f x g x x g x f x x x x x x x x =''===≠'→→→→8、参考答案：B函数cos 2xπ的一个原函数是（ ）A ．2sin 2x ππB ．sin 22x ππC ．2sin 2x ππ-D ．sin 22x ππ-9、参考答案：Bf x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是有界函数； 奇函数；偶函数； 周期函数。
高等数学学习指导及练习(下)基础题答案1(1)
高等数学学习指导及练习（下册）基础题答案第8章 空间解析几何与向量代数8.4 基 础 题8.4.1 第8章 练习1一、选择题1. 点()1,1,1关于xOy 坐标面对称的点是 ( )A. ()1,1,1-B. ()1,1,1-C. ()1,1,1---D. ()1,1,1- 2. 点()2,3,1关于原点的对称点是 ( )A. ()2,3,1--B. ()2,3,1--C. ()2,3,1-D. ()2,3,1--- 3. 点()4,3,5--与xOy 面的距离是 ( )A. 4B. 5C. 3 4. 点()4,3,5--与原点的距离是 ( )A. 4B. 5C. 5. 在z 轴上与点()4,1,7A -和点()3,5,2B -等距离的点是 ( )A. ()0,0,9B. ()0,0,9-C. 140,0,9⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 140,0,9⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在X 轴上投影为 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 157. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在Y 轴上的分量为 ( ) A. 5j B. 4j - C. j D. 7j8. 已知两向量5a mi j k =+-，3b i j nk =++平行，则常数m ，n 分别为 ( )A. 115,5B. 115,5-C. 115,5-D. 115,5--高等数学（下册）学习指导及练习二．填空题1. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则||a b += .2. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则(32)(2)a b a b -+= .3. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则a b ⨯= .4. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则,a b = .5. 同时垂直于向量22a i j k =++和453b i j k =++的单位向量的为 .6. 已知3OA i j =+，3OB j k =+，，则OAB ∆的面积为 . 7. 已知两点(),(3,0,2)P Q ，则向量PQ 的方向角分别为 .三．计算题1. 已知a 的起点为()2,1,0，||3,a =a 的方向余弦为11cos ,cos 22αβ==，求向量a .解:2221cos 1cos cos 2γαβ=--=,cos 2γ=±,11(,,)222a a =⨯±33(,,22=. 2. 由(1,1,1)A 、(3,0,2)B 、(2,2,1)C -所确定的三角形中,求AC 边上高的长度.解:三角形的面积1122S AB AC AC h =⨯=⨯⨯,h =第8章 空间解析几何与向量代数8.4.2 第8章 练习2一、选择题1. xOz 面上的抛物线25z x =绕X 轴旋转所成的旋转曲面的方程是（ ）. A ．225y z x += B ．225x z y += C ．225y z x -= D ．225x z y -=2. 方程2249x y z =+所表示的曲面是 ( ).A. 椭圆抛物面B. 双曲抛物面C. 抛物面D. 椭球面3. 旋转抛物面22(04)z x y z =+≤≤在yOz 坐标面上的投影是 ( ).A ．2240x y z ⎧+≤⎨=⎩ B ．2(04)0z y z x ⎧≥≤≤⎨=⎩ C ．2240x z y ⎧+≤⎨=⎩ D ．2(04)0z x z y ⎧=≤≤⎨=⎩4. 过点(3,0,5)M -且与平面282x y z -+=平行的平面方程为 ( ).A. 281x y z --=B. 281x y z -+=C. 282x y z --=D. 282x y z -+= 5. 过Z 轴和点(3,1,2)--的平面方程 ( ).A. 30x y +=B. 30x y +=C. 80x y -=D. 82y x += 6. 过(111)(222)---，，，，，和(1,1,2)-三点的平面方程 ( ).A. 320x y z -+=B. 320x y z --=C. 320x y z +-=D. 320x y z ++= 7. 平面2250x y z -++=与xOz 坐标面的夹角余弦是 ( ). A ．13 B ．23 C ．13- D ．23-8. 过点(2,2,1)A -且与平面324x y z -+=垂直的直线方程为 ( ).A. 221312x y z --+==- B. 221312x y z --+==--C. 221312x y z -++==-- D ． 221312x y z -++==二．填空题1. 向量(1,0,1)-与向量()2,0,k 垂直，则k = .高等数学（下册）学习指导及练习2. 向量()1,1,1--与向量()2,2,k -平行，则k = .3. 过点(2,2,1)A -且方向角为2,,343πππ的直线方程为 . 4. 直线300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩和平面10x y z --+=的夹角为 .5. 点(1,2,0)P -在平面210x y z +-+=上的投影为 .6. 点(3,1,2)P --到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为 .三．计算题1. 求过点(1,2,1)-且与两平面21,210x y z x y z +-=+-+=平行的直线方程. 解：所求直线的方向向量为1123121i j ks i j k =-=-+-所求直线方程为: 121311x y z +--==-.2. 求两异面直线9272,431292x y z x y z -++-====--的距离. 解：记A （9，-2，0），B （0，-7，2），与两条异面直线都垂直的向量431151030292i j k n i j k =-=--+-,245Pr 735n AB s d j AB s====.第九章 多元函数微分法及其应用9.4 基 础 题9.4.1 第9章 练习1一、选择题 1．函数z =）。
高等数学的学习方法
高等数学的学习方法高等数学的学习方法一引言学生的学习，是学校教学活动的有机组成部分，是学生在教师指导下的一种自主性活动，“教”和“学”从两个相对的方面共同阐释和说明“人的自身发展”的实现途径，两者是互相包含，互为前提的，只有“教”和“学”的统一互动，才能体现学习的本质，学生的学习和发展最终要由自己独立完成，这是不能由他人替代的。
一、初等数学与高等数学学习方法的现状高中与大学阶段的学习方式有较大的区别，在高中阶段，老师在每次课堂上讲授的内容少，例题多，学生练习及时，基本上在课堂上就可以把概念理解透彻，在课后只需巩固或提高，而且在课后，教师还会有充足的时间为学生辅导，在一定的时期内还会有单元检测或阶段考试等，这就无形中助长了学生被动学习的习惯，学生围着老师转，而大学阶段，数学教学内容多、速度快，在课堂上学生练习的机会少，关键靠学生在课后对知识进行巩固吸收，即使在课余，师生交流的机会也少，各种复习巩固环节也要靠学生自主完成，虽然数学教学改革从未间断，但多数只强调“教”的改革，而忽视“学”的改革，在这种应试教育思想的影响下，学生的学习表现为只重视知识的获得或学习的结果(考试分数)，而轻视能力的培养或学习过程和方法的掌握，考上理想的大学成为学习的出发点，也是学习的最终目标，因此，容易Ⅲ现高分低能现象，上述高中生不良的学习方式和学习倾向必然带入高校，如果高校低年级时不注意学生学习方法的正确指导及学习习惯的正确培养，会直接影响高校教育目标的实现和教育资源的极大浪费。
二、初等数学与高等数学学习方法顺利衔接的措施教学过程是师生双边活动的过程，教师的教和学生相互适应才能取得预期的教学效果，从理论上说，学生要调整自己的学习方法以适应不同风格教师的教学，反之，教师也必须采取不同的教学策略适应学生的个别差异，然而，在教学实践中，教师往往只要求学生对教师的适应，而忽视教师对学生的适应，学生学不好，责任不在教师而在学生，教师很少调整自己的教学以适应学生，现代教学理论强调，要确立学生在教学活动中的主体地位，主张把“教”建立在“学”的基础上，在改进教学方法的同时，通过多种途径对学生的学习方法进行有效的指导和培养，“教会学生学习”已成为当今世界教育的重要口号。
水利工程专业高等数学学习指导
《高等数学（2）》学习指导（一）――空间解析几何与向量代数本章教学要求：1．了解空间直角坐标系，掌握两点间的距离公式。
2．掌握向量概念：模、单位向量、方向余弦，特别是向量的坐标表示。
3．掌握向量的数量积和向量积概念、坐标表示，掌握向量平行和垂直的判别条件。
4．掌握平面的点法式方程和一般方程，会求点到平面的距离。
5．掌握空间直线的标准方程、参数方程和一般方程，会进行方程间的互化。
6．会用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系。
7．知道球面、椭球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面的方程。
例题讲解： 一、填空题1．设a 、b为任意两个向量，则_____________=⨯b a 2．同时垂直于两向量=a {1，1，－2}和=b {－1，0，1}的单位向量是__________0=a3．求过点（－2，7，3）且平行于平面0154=-+-z y x 的平面的方程是________________ 4．设两点A （1，－1，0），B （2，1，－2），则________=AB5．向量a 与b 的点积______________=⋅b a6．过点（0，1，0），法向量为j n=的平面方程是__________________7．当_______=λ时，向量k j i a -+=23与向量k j i b 2++-=λ垂直。
8．已知空间中的两点1M （4，－2，－2），2M （0，1，－2），那么向量21M M 的模__________=9．已知向量a的方向余弦中31cos =α，32cos =β，则_______cos =γ 10．点（－1，－2，1）到平面0522=--+z y x 的距离是_______分析与解答：1．本小题主要是考虑向量积的概念，由向量积定义得：><=⨯b a b a b a,sin 2．本小题包含两个含义：① 如何求与两向量a 及b同时垂直的向量；② 单位向量又如何求？由向量积的定义，b a⨯同时垂直于a 与b ，即b a⨯k j i kj i ++=--=101211＝{1，1，1}b ac ⨯=的单位向量包括与c 同方向与反方向的两个单位向量，而3=c，故本小题的答案为：31±{1，1，1}3．两平面平行则它们的法向量也平行，所求平面的法向量可取已知平面的法向量，即=n{1，－4，5}，由平面的点法式方程得：0)3(5)7(4)2(1=-⋅+-⋅-+⋅z y x即 01554=++-z y x4．将两点的坐标代入空间两点坐标公式：221221221)()()(z z y y x x d -+-+-=，得 3))2(0()11()21(222=--+--+-=AB5．由向量的数量积定义，得：><=⋅b a b a b a ,cos6．由平面的点法式方程，得：01=-y7．两向量a 与b 垂直的充要条件是0=⋅b a ，而52223-=-+-=⋅λλb a，故25=λ 85= 9．由方向余弦的关系式：1cos cos cos222=++γβα，得：32c o s c o s 1c o s22±=--±=βαγ 10．由点到平面的距离公式：222111C B A DCz By Ax d +++++=，得4)2(21512)2(2)1(1222=-++-⨯--⨯+-⨯=d二、单项选择题1．过点（1，1，1）且平行于直线123zy x ==的直线方程是（ ）A.112131-=-=-z y x B. 111zy x == C. 111213-=-=-z y x D. 以上都不对 2．定点（2，－3，－1）关于OYZ 平面的对称点是（ ）A.（－2，－3，－1）B.（2，－3，1）C.（2，3，－1）D. 以上都不对3．向量k j i a23++-=的同方向单位向量是（ ）A. k j i 23++-B. )23(k j i++-±C.)23(141k j i ++- D. )23(141k j i ++-± 4．平面0542=-+-z y x 与直线22231-+=-=-z y x 的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 斜交 D. 直线在平面上 5．在空间直角坐标系下，方程022=-+z y x 表示（ ）A. 圆柱面B. 旋转抛物面C. 球面D. 椭球面6．在下列方程中，表示柱面的是（ ）A. 1222=++z y xB. 122=+y xC. 222y x z +=D. 22y x z +=7．设向量k j i a23-+=，k j i b --=24，那么a 与b 之间的关系是（ ） A. b a ⊥ B. b a // C. ><b a ,小于2π D. ><b a,大于2π8．已知向量k j i a-+=β15与k j i b γ++=3平行，则（ ）A. 5=β，51=γ B. 5-=β，51-=γ C. 5=β，51-=γ D. 5-=β，51=γ9．设两个平面方程分别为035=++-z y x 及073=+--z y x ，则这两个平面（ ）A. 相交但不垂直B. 垂直相交C. 平行D. 重合10．平面012=-+-z y x 与直线281312+=--=-z y x 的位置关系是（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 斜交 D. 直线在平面上分析与解答：1．两条直线平行则它们的方向向量也平行，故所求直线的方向向量可取已知直线的方向向量，即=l {3，2，1}，由直线的标准方程式：Cz z B y y A x x 000-=-=-，得所求直线的方程为：112131-=-=-z y x ，即A 正确。
高等数学学习指导2带后几章答案
第九章 习题答案习题9-11.证明：设四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点且互相平分.由图可知，=+=+=+=， 因此//, 且→→=DC AB ， 所以四边形ABCD 为平行四边形.2. 证明：若点O 与点M 重合，显然成立.若M 与O 不重合，如图，则 BM OM OM +=+=; 即 =OM 2)(21,OB OA OM OB OA BM OB AM OA +=+=+++. 3.23； 4.①2=→a prj u ， ②0=→a prj u ， ③2-=→a prj u . 5.①6， ②23， ③1， ④36.习题9-21. 六；)2,1,1()2,1,1(；-.2. {}5,3,1. 3. 213a m b l =+=+92,cos ,cos m n a a a a αβγ-===的方向余弦cos 23,cos ,cos l b b bαβγ===b 的方向余弦cosa b =当m=2,l=3,n=5时,4.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=→31,2,3c .5.6=k .6.4,1=-=n m .7.31cos ,31cos ,31cos ,3====→γβαa . 8.起点坐标为97cos ,94cos ,94cos ),0,3,2(=-==-γβα. 9.⑴17-； ⑵2-； ⑶{}6,0,2； ⑷{}8,14,5--.习题9-31. 02651615=-++z y x .2.1443=-++zy x . 3. 1059. 4. 6112.5. 032=-+z x .6. 20y -=.7.3π. 8. 042=--z x . 9. 043=+-z y .习题9-41. (1) 方程为41133413x y z +-==-；（2）3132235z y x =-=--. 2.112243-=+=--z y x . 3. 531124-=+=-z y x . 4. 2π. 5. 0. 6.① 1,2==b a ； ② )2,0,4(. 7.316221x y z -+-==-. 8.(1,2,2)习题9-51.球面方程为14)4()3()1(222=++-++z y x . 2.球面方程为222141()(3)(2)24x y z -+-++=.3.在平面解析几何中：422=+y x 表示圆.x y 22=表示抛物线.12+=x y 表示直线.122=-y x 表示双曲线.在空间解析几何中：422=+y x表示母线平行于Z 轴的圆柱面.x y 22=表示母线平行于Z 轴的抛物柱面.12+=x y 表示一次柱面. 122=-y x 双曲柱面.4.（1）是xoy 面上的圆222=+y x 绕x 轴（或y 轴）旋转而成的（2）是xoy 面上的双曲线14322=-y x 绕y 轴旋转而成的 （3）是yoz 面上的抛物z y 232=线绕z 轴旋转而成的 5.（1）116302=+z xy （2）12)2)(5(++=z x y 6.解： 从交线方程⎩⎨⎧=++=-41222z y x z x 中消去x ，得到交线关于yoz 面的投影柱面方程为4)1(222=+++z y z ，于是交线在yoz 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+++04)1(222x z y z从交线方程⎩⎨⎧=++=-41222z y x z x 中消去z ，得到交线关于xoy 面的投影柱面方程为4)1(222=-++x y x ，于是交线在xoy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==-++04)1(222z x y x7.（1）椭球面（2）单叶双曲面（3）椭圆抛物面（4）双曲抛物面8.方程149222-=-+z y x 与平面0=x 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+0149222x z y x 即是⎪⎩⎪⎨⎧==-01422x y z ，它是yoz 面上的双曲线.方程149222-=-+z y x 与平面1-=z 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-+1149222z z y x 即是⎪⎩⎪⎨⎧-==+104922z y x ，它是点()1,0,0-.方程149222-=-+z y x 与平面0=y 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+0149222y z y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-01922y z x 它是xoz 面上的双曲线 方程149222-=-+z y x 与平面2=z 的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+2149222z z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧==+214922z y x 它是2=z 面上的椭圆复习题九一. 1.)1,3,1(--, )1,3,1(-, )1,3,1(； 2.{}1,3,4, {}8,6,6, 9-, {}3,13,9--；3{}3,3,1--,19；4.133cos ,cos ;,arccos 2434παβγαβγπ===-===-, ； 5.0=a , 0a b ⨯=； 6.{}1,3,2； 7.{}1,2,3-； 8.{}1,2,2-； 9.①交叉二次项xy ，yz ，zx 的系数为0； ②平方项2x ,2y ,2z 的系数相等，且不等于0.10.三个变量.含有其中两个变量的平方和且系数相等.11.只含有两个变量（其母线平行于方程不含的那个变量的同名坐标轴） 12.单叶双曲面(旋转双曲面). 13.双曲抛物面. 14.双叶双曲面. 15.椭圆抛物面. 16.椭球面. 二.1.B ； 2.C ； 3.C ； 4.A. 三.1.（1）326-=m ,（2）32=m ； 2.)3,1,5(--； 3.35； 4.解：所求平面经过x 轴和点P )1,3,4(-，所以, 其法向量既垂直于又垂直于， 而OP ={}1,3,4-，{}0,0,1=，故所求平面的法向量可取为{}{}0,0,11,3,4⨯-=n所求平面方程为0)1(3)3()4(0=-+++-⋅z y x ， 即03=+z y 5.解：所求直线的方向向量可取{}5,2,3-=，所以所求直线的方程为582332-=-+=-z y x 6.球心为)2,2,1(-，半径4=R第十章 习题答案习题10-11.（１）必须,0122≥--y x 定义域为{}1),(22≤+y x y x ；(２){}0,0),(>->+y x y x y x ； （３）{}R y x y x ∈,),((； (４){}x y y x >),( （５）必须11≤≤-xy且0≠x , 当0>x 时，x y x ≤≤-即⎩⎨⎧≤-≥x y x y ；当0<x 时，x y x ≥≥-即⎩⎨⎧-≤≥xy xy .２．（１）61-（２）２ ３.证明：当点Ｐ),(y x 沿x 轴趋于（０，０）时，1lim00==→→xx y y x 当点Ｐ),(y x 沿y 轴趋于（０，０）时，1lim00-=-=→→y y x y x ，因此yx yx y x +-→→00lim 不存在．４.（１）由于在yx xz 22+=中，022=+y x 时无定义，即在点（０，０）是间断点.（２）由于在xy x y z 2222-+=中，022=-x y 时无定义，即在抛物线x y 22=上函数间断.习题10-2１.（１）yx x y z y y x z 2,1-=∂∂+=∂∂； （２）)ln(21,)ln(21xy y y z xy x x z =∂∂=∂∂；（３）()232223222,()yxxyyzy x y xz+-=∂∂+=∂∂；（４）[cos()sin 2()],[cos()sin 2()]z zy xy xy x xy xy x y∂∂=-=-∂∂； （５）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=∂∂=∂∂y x y x e yy z e xx z 1121121,1； （６）x x zy z u x x z y u x xz y x u z yz y z y ln ,ln 1,2-=∂∂=∂∂=∂∂. ２.解：1,2542=∂∂=∂∂===z y x xz x x z ，设所求角为α，则有4,1παα==tg .３.（１）()()222222,2,,)ln(y x xy z y x y x x z y x x y z y x x y x x z +-=∂∂++=∂∂+=∂∂+++=∂∂ ()22y x yy x z +=∂∂∂； （２）),2(2cos 8),2(2sin ),2(2sin 222y x xz y x y z y x x z +=∂∂+=∂∂+=∂∂ )2(2cos 4),2(2cos 2222y x y x zy x y z +=∂∂∂+=∂∂；（３）()(),2,2,,22222222222222y x xyy z y x xy x z y x x y z y x y x z +-=∂∂+=∂∂+=∂∂+-=∂∂()222222yx y x y x z +--=∂∂∂； （４）,)1(,ln ,,ln 2222221---=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂x x x x y x x yz y y x z xy y z y y x z)1ln (1+=∂∂∂-y x y yx zx .习题10-3１.（１）,,2222y x y yz yx x xz +=∂∂+=∂∂dy yx y dx yx x dy yzdx x z dz 2222+++=∂∂+∂∂=；（２）dy e x dx e xy dz e x y z e x y x z x yx y x y x y1,1,22+-==∂∂-=∂∂；（３）22)]ln(1[3,)]ln(1[3xy y y z xy x x z +=∂∂+=∂∂， dy xy ydx xy x dz 22)]ln(1[3)]ln(1[3+++=；（４）()()dy y x x dx y x y dz y x x y z y x y x z 22222222)()(,,-+--=-=∂∂--=∂∂； （５）xdy x dx yx dz x x y z yx x z y y y y ln ,ln ,11+==∂∂=∂∂--； （６）)ln()(,)(,)(xy xy zu xy y z y u xy x z x u z z z =∂∂=∂∂=∂∂， dz xy xy dy xy yzdx xy x z du z z z )ln()()()(++=. ２.解：32,31,12,1221212222=∂∂=∂∂++=∂∂++=∂∂====y x y x yz xz y x y y z y x x x z ， dy dx dz3231)2,1(+=.３.解：ydy x dx xy dz y x yz x y x z 222222,2,2+==∂∂=∂∂. 因此 2,10.02,0.010.16x y dx dy dz==-==-=，而16241604.0)()(2222=-∆+∆+=∆y x y y x x z４.解：设函数yx y x f =),(，则x x y x f yx y x f y y y x ln )),(,),(1='='-.取04.0,08.0,4,100-=∆=∆==y x y x ， 由于0)4,1(,4)4,1(,1)4,1(='='=y x f f f32.1)04.0(008.041)4,1()4,1()4,1(08.196.3=-⨯+⨯+=∆'+∆'+≈y f x f f y x习题10-4１. 22223)(y x y x y x v v z x u u z x z +-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，22223)(y x xy x y v v z y u u z y z +-=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. ２. )23(3)23ln(2222y x y x y x y x x v v z x u u z x z -+-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， )23(2)23ln(22232y x y x y x y x y v v z y u u z y z ----=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. 3.332sin 22sin 6cos t t t t e t t e dtdz---=. ４.2)(1)1(x x xe x e dx dz ++=. ５.212f ye f x xuxy '+'=∂∂， 212f xe f y y u xy '+'-=∂∂.习题10-51. 解：设163),,(222-++=z y x z y x F ，则z F y F x F z y x 2,2,6='='='，于是6)3,2,1(,4)3,2,1(,6)3,2,1(=--'-=--'-=--'z y x F F F 切平面方程：0)3(6)2(4)1(6=-++-+-z y x ，即016323=+-+z y x ，法线方程：634261-=-+=-+z y x 2. 切平面方程：0624=--+z y x ；法线方程：142142--=-=-z y x . 3. 解：令12),,(222-++=z y x z y x F ，则z F y F x F z y x 2,4,2='='='.故法向量 =n {}z y x 2,4,2,又n 与{}2,1,11-=n平行， 从而t z y x ==-=221412，即 t z ty t x =-==,4,2 又),4,2(),,(t tt z y x -=在曲面上，从而有184222=++t t t ，得118±=t ，故切点为)118,11841,11821(±±切平面方程：0)118(2)11841)(1()11821(1=+±-+⋅z y x 即为02222=-+-z y x 和02222=++-z y x . 4. 证明：在曲面上任取一点),,(0000z y x P ，现求过点0P 的曲面的切平面方程 令a z y x z y x F -++=),,(， 00000000000021),,(,21),,(,21),,(z z y x F y z y x F x z y x F z y x ='='=',切平面方程0)()()(000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y ，此切面在坐标轴上的截距分别为：000,,az ay ax ，其和为：a z y x a =++)(000.习题10-6１. （１）解：令⎩⎨⎧=--='=-='.024),(,024),(y y x f x y x f yx ，解得2,2-==y x ，驻点为)2,2(-,因为 02)2,2(,0)2,2(,02)2,2(<-=-''=-''<-=-''yy xy xxf f f 从而042<-=''''-''yy xx xyf f f ，故得极大值8)2,2(=-f （２）方法同上.极小值0)1,1(=-f（３）方法同上.极小值2)1,21(e f -=- ２.解：设有盖长方体水箱的长.宽.高分别为z y x ,,，则xyz =2，又表面积yz xz xy S 222++=，即xy xy S 442++= 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='.042,04222yx S x y S y x 得驻点)2,2(33. 由题意知，水箱表面积的最小值存在，而函数S 在Ｄ内只有唯一的驻点),2,2(33 因此当332,2==y x 时，S 最小.复习题 十１.（１）充分；（２）充分；（３）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠≤≤-0,11),(y y xy x ； （４）{}0,1,4),(22222≠+<+≥y x y x y x y x ，4ln 3ln 2-；（５）2222)(2,2,1y x yy x y y x +-++ ２.（１）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=∂∂+=∂∂-xy xy xy xy y z xy y x z y y 1)1ln()1(,)1(12 （２）2222,y x xy z y x y x z +=∂∂+-=∂∂ （３）)(2sin ),(2sin y x y z y x x z +=∂∂+=∂∂ （４）2,=∂∂-=∂∂-yz e x z x ３.)(cos 2sin )(cos )sin()cos()cos()sin(22y x x y x y x y x y x y x f y +=++-++-='，0)4,(='ππy f . ４.22121,1f y xf x z f y f y z y x '-'='+'=，dy f yx f x dx f y f y dz )()1(22121'-'+'+'=５.)(2),(2222222z y x f y yuz y x f x x u ++'=∂∂++'=∂∂， 左=='-'=∂∂-∂∂=022f xy f xy yux x u y右， 故)(222z y x f u ++=满足0=∂∂-∂∂yux x u y.６.（１）23242(3(3dz z z dx z dy t dt t x dt y dt t t∂∂∂=+⋅+⋅=-+-∂∂∂；（２）32sin 2222()11cos 6x y t t dz d e e t t dt dt t t--⎡⎤=-=--⎣⎦. ７.（１）y z x z y z z x z x z )(,2+=∂∂+=∂∂； （２）xzy z y z xz y z x z 32,322--=∂∂-=∂∂. ８.令⎩⎨⎧=++-==+-=.062,092y x z y x z yx 得驻点)7,8(--，又02)7,8(>=--xx z ，02)7,8(,1)7,8(>=---=--yy xy z z ，032<-=-AC B ，且Ａ＞０．故在)7,8(--有极小值47)7,8(-=--f第十一章 习题答案习题11-11．()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ23； 2 ．()812≤++≤⎰⎰Dd y x σ； ３．（１）332R π； （２）．π3.习题11-2１．（１）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰==xx yyDdx y x f dy dy y x f dx dxdy y x f 211),(),(),(（２）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=x xyyxDdx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx dxdy y x f 220222110),(),(),(),((３).⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------+==42444222),(),(),(),(22yyx x yyDdx y x f dy dx y x f dydy y x f dx dxdy y x f２．（１）．⎰⎰⎰⎰=x x yy dx y x f dydy y x f dx 2110),(),(（２）．22242222(,)(,)(,)yxyy xdxf x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰３．（１）．3128；（２）．376；（３）．414a ；(４)．2ln π；（５）．π2-；（６）π241.４．（１）．65；（2）．π3245.复习题 十一一．选择题：１．B ；２．C ；３．D ；４．C.二．填空题：１．π8；２．43；３．)1(-e π；４．⎰⎰100),(ydx y x f dy .三．１.⎰⎰⎰⎰--=-=-yDy dx y x dy dxdy y x 331233)2()2(；２．⎰⎰⎰⎰==+θπθsin 202022932dr r d dxdy y x D； ３．⎰⎰⎰⎰-=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛212402)41(23πθθπrdr d tg d dxdy x y D ；４．⎰⎰-=⋅=-120)21(2e rdr e d v r πθπ.第十二章 习题答案习题１2－１１.（１）121-=n u n ； （２）12+-=n n u n ； （３）()11211n n n a u n +-=--； （４）()n xu nn26422⋅⋅=. ２．（１） 级数发散；（２） 级数收敛； ３．（１）发散；(2) 收敛；(3) 收敛；(4) 发散.习题１2－21. (1) 发散； (2) 发散； (3) 发散； (4) 收敛； (5) 收敛.2. (1) 收敛； (2) 发散； (3) 发散.3. (1) 收敛； (2) 收敛； (3) 发散.4. (1) 收敛； (2) 收敛.5. (1) 收敛； (2) 发散； (3) 收敛； (4) 收敛.6. (1) 绝对收敛； (2) 绝对收敛； (3) 条件收敛； (4) 条件收敛.习题１2－31. (1) 收敛区间为()+∞∞-,；(2) 收敛区间为()3,3-；(3) 原幂级数即属仅在0=x 处收敛.2. (1)2)1(1x -； （2）ln(1)x + (3) 3)1(2x - ； (4) (1)ln(1)x x x --+.习题１2－41. (1)+-++-+-=+n n x x x x x26422)1(111，收敛区间为()1,1-； (2) n n n n na x a a x a x a 11)1(ln )1ln(ln )ln(-∞=-+=++=+∑，收敛区间为()a a ,-； (3) ∑∞==12!)2(n nxn x e，收敛区间为()+∞∞-,；(4) ∑∞=----=1121)3()!12(1)1(3sin n n n x n x ，收敛区间为()+∞∞-,. 2. ∑∞=----=111)3(31)1(1n n nn x x , 收敛区间为(0,6). 3.（1）∑∞=--=-+=11221212)12(1211ln3ln n n n ，222)12(31-+<n n n R . 当前6项时，09858.13ln ≈，00003.06<R .（2）∑∞=︒-==02)90()!2()1(90cos2cos n nn n ππ, 当前2项时, 9994.02cos ≈︒, 0006.02<R .习题１2－51. (1))5cos 513cos 31cos 121(22)(22 +++-=x x x x f ππ)3sin 312sin 21(sin -+-+x x x , )(+∞<<-∞x ,Z k k x ∈-≠,)12(π.(2) )5c o s 513c o s 31(c o s 42)(22 +++-=x x x x f ππ, )(+∞<<-∞x . (3) 221(1)()112c o s n n f x n x nπ∞=-=+-∑,)(+∞<<-∞x(4) ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=∑∞=12sin cos 24)1(4122)(n nnx n nx n sh x f ππ, )(+∞<<-∞x , Z k k x ∈-≠,)12(π.2. 若展为正弦级数,先将函数作奇延拓为)(,)(ππ≤≤-=x x x f .,s i n 2)1()(1x n nx f n ∑+-=)(+∞<<-∞x , Z k k x ∈-≠,)12(π. 若展为余弦级数,先将函数作偶延拓为⎩⎨⎧≤≤<≤--=.0,;0,)(ππx x x x x f)5c o s 513c o s 31(c o s 42)(22 +++-=x x x x f ππ, )(+∞<<-∞x . 3. ∑∞=+-=11sin )1(21)(n n nx nx f , )(+∞<<-∞x ,Z k k x ∈-≠,)12(π. ∑∞=-==--118)2(12)1(21n n f n ππ.复习题 十二1. (1). 0lim ,1=≥∞→+n n n n u u u ； (2). 必要； (3). 收敛； (4) 发散.2. (1) 收敛； (2) 收敛； (3) 收敛； (4) 发散.3. (1) [1,1)-； (2) [)3,3-.4. (1) ∑∞===0ln !)(ln n n n ax xx n a ea ,)(+∞<<-∞x ；(2)()()()[]-+-+=+=+⋅⋅⋅⋅66423144212212221)(1a x a x ax a x a a x a , )(+∞<<-∞x .5. 同习题12-5的第三题.第十三章 习题答案习题 13-11． 计算下列行列式： （1）)6(2342)5(13)7(221)7()6()5(433427632153-⋅⋅-⋅⋅--⋅⋅--⋅⋅+-⋅-⋅-+⋅⋅=--- 73-= （２）adf fe d c b a=0（３）00cos cos cos 0cos cos cos 0=---γβγαβα； （４）a f c h b g fgh abc cfgf b hgh a2222---+=. 2． 解下列线性方程组：（１）⎩⎨⎧=+=+643534y x y x 解为.7943346354,7243344635====y x （２）⎩⎨⎧=++-=-+0340632121I I I I 解为.11341133163,11214113431621-=---==--=I I （３）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=-+0042032321321321x x x x x x x x x 因为0111412321≠--=D 所以 1x ＝2x ＝3x ＝０.（４）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-423152302z y x z y x z y x.43,2847,2813.2143112312,47241513102,13234521110,28231523112====-==--==---==---=z y x D D D D z y x 从而因为3．2,5,8λ=时原方程组有非零解。
武忠祥高数基础篇和辅导讲义
武忠祥高数基础篇和辅导讲义一、高数基础篇概述1.1 高数基础篇介绍高等数学是理工类专业中一门重要的基础课程，对于学生的数学素养和综合能力的培养有着至关重要的作用。
而武忠祥的高数基础篇和辅导讲义是一本备受推崇的教材，为学生提供了深入理解高等数学的工具和方法。
1.2 武忠祥教授简介武忠祥教授是中国知名数学家，拥有丰富的高等数学教学经验。
他在高等数学领域做出了突出的贡献，并对高等数学的教学方法进行了深入研究和探索。
1.3 本教材的特点武忠祥高数基础篇和辅导讲义有以下几个显著的特点：•题型全面：本教材中包含了各种经典的高等数学题型，涵盖了微积分、线性代数、概率论等多个知识点，使学生能够全面了解和掌握各个领域的数学知识。
•理论详尽：教材中对于各个概念和定理都进行了详细的解释和推导，让学生能够深入理解数学的本质和内涵。
•习题分类：教材中的习题按照难度和类型进行了分类，有助于学生分阶段、有针对性地进行习题练习，提高解题能力和应用能力。
•实例讲解：教材中还提供了大量的实例，通过实际问题的解答，帮助学生将抽象的数学理论与实际问题相结合，提高应用能力。
二、高数基础篇内容概述2.1 微积分部分微积分是高等数学的核心内容之一，而本教材对微积分部分进行了详细的讲解和归纳。
主要包括以下内容：1.极限与连续：教材从极限的定义出发，逐步引入了连续的概念，并重点介绍了一些重要的极限定理。
2.导数与微分：教材详细介绍了导数的概念和计算方法，并对微分进行了深入讲解。
并通过实例，将导数与实际问题相结合，强化学生的应用能力。
3.积分与定积分：教材对积分和定积分进行了系统的讲解，包括基本性质、计算方法以及应用。
通过大量的实例，帮助学生理解积分的含义和应用。
2.2 线性代数部分线性代数是高等数学的另一个重要分支，本教材对线性代数的内容进行了全面的介绍。
主要包括以下内容：1.行列式与矩阵：教材从行列式的概念出发，介绍了行列式的计算方法和性质，并进一步引入了矩阵的概念和运算规则。
高等数学学习方法指导(精选5篇)
高等数学学习方法指导（精选5篇）高等数学不比以往初中、高中的数学来得简单，下面是美丽的小编帮家人们整理的高等数学学习方法指导（精选5篇）。
高等数学学习方法篇一课本对于数学来说，是很重要的。
我们做的试题，有很多都是课本例题或其“变种”只要花上一点点时间把课本好好看看，要拿下这些题便易如反掌；反之，要是对一些基本的概念、定理都含混不清，不但基础题会失分，难题更不可能做得好。
数学的逻辑性、分析性极强，可以说是一种纯理性的科学，要求思维清晰明了，因而基础知识十分重要，尤其是对于数学不是特别好的同学来说。
以下是我个人觉得在数学学习过程中非常必要的几点：1、按部就班。
数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。
所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。
2、强调理解。
概念、定理、公式要在理解的基础上记忆。
我的经验是，每新学一个定理，便尝试先不看答案，做一次例题，看是否能正确运用新定理；若不行，则对照答案，加深对定理的理解。
3、基本训练。
学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉常考的题型，训练要做到有的放矢。
4、标出重点。
平常看题看课本的时候，碰到有好的解题方法或重点内容，可以用鲜艳的彩笔划出来，以便以后复习时能一目了然。
较后想谈谈数学这一科目的应试技巧。
概括说来，就是先易后难。
我们常常有这样的体会，头脑清醒的时候，本来一些较难的题也会轻易做出来；相反，头脑混沌的时候，一些简单的题也会浪费很多时间。
考试时，遇到拦路虎是不可避免的，停下来有两种可能，一是费了九牛二虎之力终于做出来，但由于耗费了大量时间，接下来或者不够时间做完题目，或者担心时间不够，内心焦急，一时连简单的题也做不出来了；二是还是没有做出来，结果不仅浪费了时间，而且连后面的题也没做完。
而先易后难，则是愈做愈有信心，头脑始终保持清醒的状态，或者较后把难题做出，或者至少保证了会做的题不丢分。
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
高等数学学习方法
篇一：高数的学习方法献给在高数种迷茫的兄弟姐妹们，学习高等数学要有一种精神，用大数学家华罗庚的话来说，就是要有“学思契而不舍”的精神。
由于高等数学自身的特点，不可能老师一教，学生就全部领会掌握。
一些内容如函数的连续与间断，积分的换元法，分步积分法等一时很难掌握，这需要每个同学反复琢磨，反复思考，反复训练，契而不舍。
通过正反例子比较，从中悟出一些道理，才能从不懂到一知半解到基本掌握。
这里仅结合一般学习方法，介绍一点学习高等数学的做法，供同学们参考。
第一，“学思习”是学习高等数学大的模式。
所谓学，包括学和问两方面，即向教师，向同学，向自己学和问。
惟有在学中问和问中学，才能消化数学的概念，理论。
方法。
所谓思，就是将所学内容，经过思考加工去粗取精，抓本质和精华。
华罗庚“抓住要点”使“书本变薄”的这种勤于思考，善于思考，从厚到薄的学习数学的方法，值得我们借鉴。
所谓习，就高等数学而言，就是做练习。
这一点数学有自身的特点，练习一般分为两类，一是基础训练练习，经常附在每章每节之后。
这类问题相对来说比较简单，无大难度，但很重要，是打基础部分。
知识面广些不局限于本章本节，在解决的方法上要用到多种数学工具。
数学的练习是消化巩固知识极重要的一个环节，舍此达不到目的。
第二，狠抓基础，循序渐进。
任何学科，基础内容常常是最重要的部分，它关系到学习的成败与否。
高等数学本身就是数学和其他学科的基础，而高等数学又有一些重要的基础内容，它关系的全局。
以微积分部分为例，极限贯穿着整个微积分，函数的连续性及性质贯穿着后面一系列定理结论，初等函求导法及积分法关系到今后个学科。
因此，一开始就要下狠功夫，牢牢掌握这些基础内容。
在学习高等数学时要一步一个脚印，扎扎实实地学和练，成功的大门一定会向你开放。
第三，归类小结，从厚到薄。
记忆总的原则是抓纲，在用中记。
归类小结是一个重要方法。
高等数学归类方法可按内容和方法两部分小结，以代表性问题为例辅以说明。
高等数学同济第七版第三章学习指导
第三章 中值定理与导数的应用一、知识点梳理1.中值定理费马引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任一)(0x U x ∈，有))()(( )()(00x f x f x f x f ≥≤或，那么0)(0='x f .罗尔中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导;(3) 在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使得0)(=ξ'f .拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续;(2) 在开区间),(b a 内可导；那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式))(()()(a b f a f b f -ξ'=- 或)()()(ξf ab a f b f '=-- （3-1） 成立.注意 式（3-1）称为拉格朗日中值公式，也可写为x x x f x f x x f Δ)Δ()()Δ(000⋅θ+'=-+ )10(<θ<称为函数的有限增量公式.定理 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零,那么)(x f 在区间I 上是一个常数. 柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x F 满足(1) 在闭区间],[b a 上连续；(2) 在开区间),(b a 内可导；(3) 对任一()b a x ,∈，0)(≠'x F ,那么至少存在一点),(b a ∈ξ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=-- （3-2） 成立.拉格朗日中值定理又称微分中值定理,在微积分学中占有重要的地位.（3-1）式表明函数在一个区间上的平均变化率等于函数在该区间上某一瞬时变化率.罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形))()((b f a f =,而柯西中值定理又是它的推广.2． 洛必达法则定理1(00型) 设 （1）当a x →时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）在点a 的某去心邻域内,)(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ;（3）)()(lim x F x f a x ''→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.注意 （1）如果)()(x F x f ''当a x →时仍属00型，且这时)(x f '，)(x F '能满足定理1中)(x f ，)(x F 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，即)()(lim )()(lim )()(lim x F x f x F x f x F x f a x a x a x ''''=''=→→→. 且可以以此类推.（2）定理1中,将""a x →改为""+∞→x ,""-∞→x 或者""∞→x ,在相应的条件下,结论也成立. 例如，对于""∞→x 时的未定式00有以下定理. 定理2(0型) 设 （1）当∞→x 时,函数)(x f 及)(x F 都趋于零;（2）当X x >||时, )(x f '及)(x F '都存在，且0)(≠'x F ; （3）)()(limx F x f x ''∞→存在(或为无穷大); 那么 )()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→. 注意 对于""a x →或""∞→x 时的未定式∞∞型,也有相应的洛必达法则. 3.泰勒公式泰勒（Taylor ）中值定理1 如果函数)(x f 在0x 处具有n 阶导数，那么存在0x 的一个邻域)(0x U ，对任一)(0x U x ∈,有 +-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-3） 其中))(()(0n n x x o x R -= （3-4）公式（3-3）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有佩亚诺(Peano)余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-4）称为佩亚诺余项.泰勒（Taylor ）中值定理2 如果函数)(x f 在0x 的某个邻域)(0x U 内具有直到()1+n 阶导数,那么对任一)(0x U x ∈,有+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+, （3-5） 其中10)1()()!1()()(++-+ξ=n n n x x n f x R (ξ介于0x 与x 之间). （3-6） 公式（3-5）称为)(x f 在0x 处（或按)(0x x -的幂展开）的带有拉格朗日余项的n 阶泰勒公式，而)(x R n 的表达式（3-6）称为拉格朗日余项.在泰勒公式（3-3）中，如果取00=x ，则有带有佩亚诺(Peano)余项的麦克劳林(Maclaurin)公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f )(!)0()(n n n x o x n f ++. （3-7） 在泰勒公式（3-5）中，如果取00=x ，则ξ介于0与x 之间.因此可以令()10<<=θθξx ，于是得到带有拉格朗日余项的麦克劳林公式+''+'+=2!2)0()0()0()(x f x f f x f ()1)1()(!1)(!)0(+++++n n n n x n x f x n f θ ()10<<θ. （3-8）常用函数的n 阶麦克劳林展开式：)(!!212n n x x o n x x x e +++++= ; )()!12()1(!7!5!3sin 2121753n n n x o n x x x x x x +--++-+-=-- ; )()!2()1(!6!4!21cos 122642++-++-+-=n n n x o n x x x x x ; )()1(32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-+-+-=+- ; )(1112n n x o x x x x+++++=- ; +-++=+2!2)1(1)1(x x x αααα )(!)1()1(n n x o x n n ++--+ααα .4.函数的单调性与曲线的凹凸性（1）函数单调性的判别法定理1 设函数)(x f y =在],[b a 上连续,在),(b a 内可导.1）如果在),(b a 内0)(≥'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；2）如果在),(b a 内0)(≤'x f ,且等号仅在有限多个点处成立，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.如果函数)(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点，那么驻点和导数不存在的点有可能是函数单调区间的分界点.（2）曲线的凹凸性与拐点定义 设)(x f 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点21,x x ,恒有 2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凹的（或凹弧）;如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在区间I 上的图形是(向上)凸的（或凸弧）.定理2 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内具有一阶和二阶导数,那么1）若在),(b a 内0)(>''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凹的.2）若在),(b a 内0)(<''x f ,则)(x f y =在],[b a 上的图形是凸的.设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是I 的内点.如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时,曲线的凹凸性改变了,则称点))(,(00x f x 是这曲线的拐点.找区间I 上连续曲线)(x f y =的拐点可按以下步骤：1） 求)(x f ''；2） 令0)(=''x f ，解出该方程在区间I 内的实根，并求出在区间。
高等数学课程学习指导(部分)
《高等数学》课程学习指导（部分）绪论《高等数学》(基本内容是微积分)是同学们来到高校要学习的第一门数学课，也是理工科院校高校生最重要的基础课之一。
在起先学习这门课程的时候，假如对该课程探讨的对象是什么及探讨的基本思想方法是什么能有一个初步的了解，那么，对今后如何学习该课程是大有好处的！假如将学习这门课看作是对微积分这座神奇的科学殿堂的一次探究，那么，这个绪论就是为了大家描绘一张简洁的导游图！本次课的目的就是向同学们简要介绍微积分探讨的对象和基本思想在此基础上，我们还将简要说明本课程的教学方法，并就如何学习这门课程向同学们提几点建议。
一、教学内容微积分探讨的对象和方法，关于本课程的教学方法和学习方法。
二、教学要求1．了解初等数学探讨的对象是：常数或常量，简洁的规则几何形体(如直线、直边形、直面形等)，而高等数学探讨的对象是：变数或变量、函数，困难的不规则几何形体(如曲线、曲面、曲边形、曲面形等)。
2．初步理解微积分的基本探讨方法——微元分析法，即(1) 在微小局部，“以匀代不匀”，求得所求量的近似值；(2) 通过极限，将近似值转化为精确值。
3．导数是探讨函数在一点处改变的快慢程度(改变率)。
在匀称改变状况下，需用除法计算的量，在非匀称改变的状况下，往往可用导数来计算，因此，导数可看作初等数学中商(除法)的推广；积分是探讨函数在某一区间内改变的大小，它可看作初等数学中积(乘法)的推广。
4．函数是微积分探讨的对象，极取是微积分的理论基础。
5．学习方法的建议：(1) 培育自学的实力，在学习过程中特殊要特殊留意概念、理论和思想方法的理解；(2) 勤于思索，敢于和擅长发觉问题，大胆提出问题，发表自己的见解，培育自己的创新精神和创新实力。
(3) 培育应用数学的意识、爱好和实力。
第一章映射与函数，极限与连续函数(18-20学时)函数是微积分探讨的对象，它刻画了客观世界变量之间相互联系相互依靠的关系；极限是刻画变量在改变过程中的改变趋势，它既是一个重要概念，又是学习微积分的重要工具和思想方法；函数的连续性是借助于极限概念揭示出来的变量在改变过程中的一个基本性态，连续函数是微积分探讨的主要对象。
大学如何学好高等数学
大学如何学好高等数学（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高等数学学习方法指导
高等数学学习方法指导一：1、按部就班。
数学是环环相扣的一门学科，哪一个环节脱节都会影响整个学习的进程。
所以，平时学习不应贪快，要一章一章过关，不要轻易留下自己不明白或者理解不深刻的问题。
2、强调理解。
概念、定理、公式要在理解的基础上记忆。
我的经验是，每新学一个定理，便尝试先不看答案，做一次例题，看是否能正确运用新定理;若不行，则对照答案，加深对定理的理解。
3、基本训练。
学习数学是不能缺少训练的，平时多做一些难度适中的练习，当然莫要陷入死钻难题的误区，要熟悉常考的题型，训练要做到有的放矢。
4、标出重点。
平常看题看课本的时候,碰到有好的解题方法或重点内容,可以用鲜艳的彩笔划出来,以便以后复习时能一目了然.高等数学学习方法指导二：一、摒弃中学的学习方法与高中相比，大学的高等数学课程则不一样，教材仅是作为一种主要的参考书。
要求学生以课堂上老师所讲的重点和难点为线索，通过大量地阅读教材和同类的参考书，以充分消化和掌握课堂上所讲授内容，然后做课后习题巩固所掌握知识，这就是进行反复地创造性的学习。
这是一种艰苦的脑力劳动，它不仅要求学生主动地、自觉地进行学习，同时还要在松散地环境下能约束自己，并且要掌握较好的学习方法，才能把所要学习的知识学得扎实，为专业课程的学习打下良好基础。
二、抓好三个环节什么是学习高等数学的最好方法呢?这根据每个人的学习时的习惯和理解问题的能力不同而异，但就一般说来，均应抓好以下三个环节。
其一是课前预习。
这一过程很重要，因为只有课前预习过，才会在听课时做到心中有数，即老师所讲的内容哪些是属于难以理解的，什么是重点等，这样带着一些问题去听老师讲课，效果就很明显了，同时预习的过程中也就培养了你的自学能力，这对自己来说将是终身受益的。
预习的过程也不需要花太多时间，一般地一次课内容花三、四十分钟左右时间就可以了。
在预习时不必要把所有问题弄懂，只要带着这些不懂的问题去听课就行。
其二是上课用心听讲，并且要记好课堂笔记。
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高等数学学习指导
高等数学是大学必修课，也是考研的必考科目，所以对于大学生来说非常重要，学好高等数学不仅能提高自己的逻辑分析能力，提高自己的思维严密性，同时对自己以后的研究也有很好的帮助，是进行研究学习的基础理论。
下面是高等数学学习指导，欢迎各位阅读和借鉴。
要学好基础
要学好三角、几何、代数、概率等高中课程，至少要掌握基础理论，而高等数学就是要进一步学习这些东西，只有了解这些基础课程才能学好高等数学。
逻辑思维
逻辑思维对于学习高等数学是非常重要的，即分析问题的能力，一步一步地分析问题的能力，逐层分析问题的能力。
平时多观察周围的事物，多思考问题，或通过看悬疑电视、电影等，培养自己的推理能力。