研究生数值分析(21-22)数值积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析课件第八章-数值积分
数值积分在金融学中用于计算金融工具的定价和风险管理。
计算机图形学
数值积分在计算机图形学中用于渲染算法，如光线跟踪和体积渲染。
数值积分的实际案例分析
我们将通过一些实际案例来展示数值积分的应用。从计算物体的表面积和体 积，到求解定积分的数值解，数值积分在各个领域都发挥着重要的作用。
数值积分的优缺点
数值分析课件第八章-数 值积分
欢迎来到数值分析课件第八章的演示！今天我们将学习数值积分，探讨其定 义、基本方法、误差分析、应用领域，以及优缺点。让我们一起深入了解这 个有趣而重要的主题吧！
数值积分的定义和概念
数值积分是一种计算数学中广泛应用的技术，通过离散化连续函数来估计曲线下的面积。它通过将曲线 划分为小矩形、小梯形或小区间，并计算其面积来实现。
数值积分的基本方法
1
矩形法
矩形法是最简单的数值积分方法之一，将曲线划分为多个小矩形，并计算每个小 矩形的面积后累加。
2
梯形法
梯形法将曲线划分为多个小梯形，并计算每个小梯形的面积后累加。它比矩形法 更精确，但仍然是一种近似方法。
3
辛普森法
辛普森法通过将曲线划分为多个小区间，并使用二次多项式拟合每个小区间的曲 线来计算积分。它比矩形法和梯形法更准确。
1 优点：快速准确
数值积分可以快速计算曲线下的面积，并提供较准确的结果。
2 缺点：近似误差
由于离散化和近似计算的原因，数值积分结果可能存在一定的误差。
总结和展望
通过本次课程，我们深入了解了数值积分的定义、基本方法、误差分析、应 用领域和优缺点。希望这些知识能够帮助您更好地理解和应用数值积分技术。
数值积分的误差分析
1 截断误差
数值积分的截断误差是由将连续函数离散化为小区间所引入的误差。它可以通过控制小 区间的大小来减小。
数值分析-数值积分
b
n
f (x)dx (b a)
a
i f (xi )
i0
或写成:
求积节点
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
数值积分公式
求积系数
记
n
In ( f ) Ak f (xk ) k 0
称为数值 求积公式
b
n
R( f ) I ( f ) In ( f ) a f (x)dx Ak f (xk ),
(n 1)!
n
(x xk ) dx
k 0
§3 Newton-Cotes公式
一、Cotes系数
取节点为等距分布：
xi
a i h,
h
ba, n
i 0,1, ... , n
由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此
时求积系数：
Ai
xn
(x xj ) dx
x0 ji (xi x j )
其中，
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
wn 1 ( x)
为插值余项。
于是有：
b
b
b
a f (x)dx a Ln (x)dx a Rn (x)dx
n j0
b a
l
j
(
x)dx
f
(
x
j
)
b
R( x)dx
a
取 b
n
b
f ( x)dx
a
f ( xk ) a lk ( x)dx
➢ 复化 Cotes公式：
h ba, n
xk
akh
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
工科研究生“数值分析”课程教学大纲及教学日历
工科研究生“数值分析”课程的教学大纲序号：课程编号：课程名称：数值分析/ Numerical Analysis学时：40 学分： 2.5责任教师：王开荣，何光辉，董海云，李东，温罗生适用专业：工科研究生各专业先修课程：高等数学、线性代数课程教材：《应用数值分析》，王开荣，杨大地，高等教育出版社，2010年7月参考教材：1. 关治, 陆金甫，《数值方法》清华大学出版社，2006.2.2. Numerical Analysis Using MATLAB,Fourth Edition,电子工业出版社(影印版)，2005年7月。
一、课程的性质、目的和任务学习数值分析课程能培养学生运用数学的方法和借助计算机解决工程计算问题的能力。
其任务是通过近似计算，使得许多难以求解的数学问题得以简化、可行。
并得到满足误差要求的近似解。
本课程的目的和任务是使工科研究生掌握工程应用中的数值计算方法，为具有不同工程背景的学生能运用这些近似计算方法处理在工程技术及其科学研究中出现的计算问题奠定坚实的基础。
通过学习要求学生能正确理解数值分析的所有的概念和算法，掌握算法的构造思想及其基本算法的步骤。
能应用工具软件Matlab独立完成常用的算法的编程及数值计算。
通过典型的数值算例验证所编程序的正确性，并且应用到实际问题中。
二、课程的教学内容和基本要求1．误差(4学时)(1)了解误差的来源和误差的概念;(2)理解误差的传播和算法中应避免的问题;2．线性方程组的直接解法(6学时)(1)掌握Guass消去法，理解范数的概念;(2)熟练运用Gauss列主元素法，三角分解法，追赶法;3．线性方程组的迭代法(4学时)(1)理解迭代法的收敛条件，掌握Jacobi迭代法;(2)熟练运用Seidel，SOR迭代法;4．方阵的特征值与特征向量的计算(2学时)(1)了解QR方法;(2)熟练运用乘幂法和反幂法，Jacobi方法;5．非线性方程求根(4学时)(1)掌握二分法;(2)熟练使用Newton法;6．插值法(6时)(1)掌握Lagrange插值，Newton插值，Hermite插值；(2)熟练运用分段插值，样条插值；7．函数逼近与数据拟合(2时)(1)掌握多项式逼近，拟合；(2)熟练运用正交多项式逼近，拟合;8．数值积分(6时)(1)掌握Newton-Cotes公式，Gauss求积公式；(2) 熟练运用Romberg积分公式，复化Gauss型公式;9．常微分方程初值问题的数值解法(4时)(1)掌握Euler方法，Runge-kutta方法，Admas预测-校正法；(2)了解稳定性、收敛性和计算误差估计，高阶方程及方程组.10．总复习(2时)四、考试方式考试以笔试、闭卷的方式进行。
数值分析21求积分的蒙特卡罗方法
) I 1(
h 2
) 2(
2
h
) k(
4
h
)
2k
2k 2
所以
[ 4T (
h 2
) T ( h )] / 3 I O ( h )
4
记
4T ( ) T ( h ) 2 T1 ( h ) 41
4 6 2k
h
T1 ( h ) I 2 h 3 h k h
m
0
1
2
3
4
5
h 3
[ f ( x 2 k 2 ) 4 f ( x 2 k 1 ) f ( x 2 k )]
k 1
复合Simpson公式
Sm
S1
h 3
h1 3
[ f (a ) f (b ) 2 f ( x 2 k ) 4 f ( x 2 k 1 )]
3/16
R[ f ]
f
(4)
( )
4!
x2 x0
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x 2 ) dx
2
令 h =(b – a)/2, x = x0+ t h ,则
x2 x0
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x 2 ) dx h
2
5
2 0
《数值分析》 21
Simpson公式的误差
格林公式中曲线积分处理 右矩形公式应用 求积分的蒙特卡罗方法
龙贝格外推计算公式
I[ f ]
S[ f ]
b
R[ f ]=I[ f ] – S[ f ]
f ( x ) dx
数值分析重点公式
数值分析重点公式下面是一些数值分析中的重点公式：1.最大值和最小值：- 最大值：记作 max(a, b) 表示 a 和 b 中较大的值。
- 最小值：记作 min(a, b) 表示 a 和 b 中较小的值。
2.线性插值：-线性插值：对于给定的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，如果希望在这两个点之间的x值为x的位置计算对应的y值，可以使用线性插值：y=y1+(y2-y1)*((x-x1)/(x2-x1))。
3.数值微分：-前向差商：用f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数，其中h是一个小的正数。
-后向差商：用f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数。
-中心差商：用f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2*h)的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数。
4.数值积分：-矩形法则：使用函数在每个小矩形中的平均值作为矩形高度来计算定积分的近似值。
-梯形法则：使用底边为区间长度的梯形面积的一半来计算定积分的近似值。
-辛普森法则：使用函数在每个小区间上的平均值和两个端点值的加权平均来计算定积分的近似值。
5.数值解线性方程组：-高斯消元法：将线性方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解各个未知数。
-LU分解：将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，再通过回代求解各个未知数。
-追赶法（托马斯算法）：适用于解三对角系数矩阵的线性方程组，通过追赶的方式求解。
6.数值解非线性方程：-二分法：通过计算函数在区间端点的值的符号来确定函数在区间内的根的存在，并迭代缩小区间直至满足精度要求。
-牛顿法：通过迭代逼近函数的根，在每一步迭代中使用切线来逼近根的位置。
-弦截法：通过迭代逼近函数的根，在每一步迭代中使用割线来逼近根的位置。
7.数值解常微分方程：-欧拉方法：使用函数在当前点的导数值来估计下一个点的函数值。
重庆大学研究生数值分析试题解析
是Gauss公式。 六、(12分)设初值问题
y f( x ,y ) y ( a ) a x b
(1)试证单步法
2 2 K f ( x , y ) , K f ( x h , y hK ) 1 n n 2 n n 1 3 3 h y y ( K 3 K ) n 0 , 1 , 2 ,... n 1 n 1 2 4 y 0
( 4 ) f ( ) 2 x R ( x ) x ( x 1 ) ( x 2 ) 4 !
五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式
f ( x ) dx Af ( ) Bf ( 0 ) Cf ( ) 2 有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是
2 ,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7. 7 2 1 1 a a 2.设矩阵A= a 1 0 ,当a取______值时,A可以唯一分解 a 0 1 1 3 -1 又A =
为GGT,其中G为下三角矩阵.
解
令
1 a a 1 a 1 1 2 2 1 a 0 ,a 1 0 1 2 a 0 , 得： a a 1 2 2 a 01
3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向
是 量范数______, 而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数不是 _____.
4.求 3 a 解 只要取(x)=x3-a ,或(x)=1-x3/a. 1 5.设(x)=x3+x2-3,则差商[3,32,33,34]=_______.
因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内. (2)构造迭代格式: x 1 sin x k 0 , 1 , 2 ,... k 1 k 由于|(x)|=| cos |<1,故此迭代法收敛. x / 2 1 sin x
数值分析简述及求解应用
数值分析简述及求解应用摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。
关键字：解方程组插值法牛顿法一、引言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。
有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。
数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。
运用数值分析解决问题的过程包括：实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。
在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。
如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。
在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。
在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。
直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。
迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。
迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。
数值分析-数值积分详解
xk
和 Ak 的代数问题.
b
a
f ( x)dx
A
k 0
n
k
f ( xk ),
11
例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度 达到最高。
1 1
f ( x)dx a f (1) bf (0) cf (1)
12
3.
插值型的求积公式
设给定一组节点
a x0 x1 x2 xn b,
b
a
f ( x)dx (b a) f ( ),
3
就是说，底为 b a 而高为 f ( ) 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 I (图4-1).
图4-1
4
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以
准确算出 f ( ) 的值.
将 f ( ) 称为区间 [a, b]上的平均高度.
k 0
n
16
4 .
定义2
求积公式的收敛性与稳定性
在求积公式中，若
lim
n h 0 k 0
Ak f ( xk )
n
b
a
f ( x)dx,
( xi xi 1 ), 则称求积公式(1.3)是收敛的. 其中 h max 1i n
在求积公式中，由于计算 f ( xk )可能产生误差 k ，
ab 的“高度” f (c ) 2
近似地取代平均
高度 f ( )，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)
R (b a ) f ( ab ). 2
6
一般地，可以在区间 [a, b] 上适当选取某些节点 xk ， 然后用 f ( xk ) 加权平均得到平均高度 f ( )的近似值，这样 构造出的求积公式具有下列形式：
数值分析 第二章 数值积分
2013-10-2
24
The error is En ( f )
b a b 1 Rn ( x)dx f (n 1)! a ( n 1)
( ( x)) ( x xi )dx
i 0
n
(L.)
or E n ( f ) Rn ( x)dx f [ x, x 0 , x1 , , x n ] ( x xi )dx
k 0
n
该公式为插值型（即：Ak lk ( x )dx ）
b a
2013-10-2
26
注 插 值 求 积 公 式 f ( x)dx Ak f ( xk ) ， 其 系 数
b a k 0
n
Ak lk ( x )dx .
a
b
（1） 复杂函数 f ( x) 积分转化为计算多项式积分。 （2） 求积系数 Ak a lk ( x)dx 只与区间和节点有关， 而
a b
在几何上可解释为由x=a, x=b, y=0和 y=f (x)所围成的 曲边梯形的面积. 积分计算之所以有困难，就是因为 这个曲边梯形有一条边 y=f (x)是曲的.
2013-10-2
8
依据积分中值定理,对于连续函数f(x) ,在[a,b] 内存在一点ξ,使得
I ( f ) f ( x )dx (b a ) f ( )
2013-10-2
6
3) f (x)没有解析表达式，只有数表形式:
x
f (x)
1
4
2
4.5
3
6
4
8
5
8.5
这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限 性,因而,研究关于积分的数值方法具有很重要的实 际意义.
几种常用数值积分方法的比较讲解
学科分类号110.3420本科毕业论文题目几种常用数值积分方法的比较姓名潘晓祥学号1006020540200院（系）数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级2010 级指导教师雍进军职称讲师二〇一四年五月贵州师范学院本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
本科毕业论文作者签名：年月日贵州师范学院本科毕业论文(设计)任务书毕业设计题目几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200 年级2010级所属学院数学与计算机科专业数学与应用数学班级四班指导教师签名雍进军讲师职称讲师开题日期2013年7月10日主要目标1．了解什么数值积分基本思想和一些常用的数值积分方法；2．对各种数值积分方法的误差以及代数精度进行分析；3．对各积分方法进行比较总结出优缺点。
主要要求通过对几种常用的数值积分方法进行了的分析，并用这几种方法对被积函数是普通函数做了数值积分，并在计算机上进行实验。
数值积分是计算方法或数值分析理论中非常重要的内容，数值积分方法也是解决实际计算问题的重要方法，对几种常用数值积分方法的分析很必要。
主要内容本文通过对复化求积公式, Newton—Cotes求积公式, Romberg求积公式,高斯型求积公式进行分析讨论并在计算机上积分实验,从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较，并总结出每种求积分法的优缺点以及实用性。
贵州师范学院本科毕业论文（设计）开题报告书论文题目几种常用数值积分方法的比较作者姓名潘晓祥学号1006020540200 年级2010级数学与计算机所属学院专业数学与应用数学班级数本（4）班科学学院指导教师姓名雍进军职称讲师预计字数5000.00字题目性质应用研究日期2013年7月05 日选题的原由：研究意义:数值积分是数学上的重要课题之一,是数值分析中的重要内容之一,也是数学的研究重点.并在实际问题及应用中有着广泛的应用.常用于科学与工程的计算中,如涉及到积分方程,工程计算,计算机图形学,金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用,所以研究数值积分问题有很重要的意义.数值积分是研究如何求出一个积分的数值.这一课题的起源可追溯到古代,其中一个突出的例子是希腊人用内接与外接正多边形推算出圆面积的方法.也正是此法使阿基米德得以求出π值得上界与下界,若干世纪以来,尤其是十六世纪后,已提出了多种数值积分方法,其中有矩形求积法,内插求积法,牛顿科特斯公式,复化求积公式,龙贝格求积公式,高斯型求积公式.但各种方法都有特点,在不同的情况下试用程度不同,我们将着重从求积公式的代数精度和余项等角度对这些方法进行分析比较. 研究动态:这些年来,有关数值积分的研究已经成为一个很活跃的研究领域,历史上,阿基米德,牛顿,欧拉,高斯,切比雪夫等人都对此有过贡献.研究出各种各样的数值求积公式,但一个好的数值求积公式应该满足:计算简单,误差小,代数精度高.我们将对矩形求积法,内插求积法，牛顿科特斯公式,化求积公式,贝格求积公式,斯型求积公式进行比较.对数值求积公式能有进一步的了解和学习.主要内容：1 数值积分方法的基本思想2 几类常用数值积分方法的基本分析2.1 Newton—Cotes求积公式2.2 复化求积公式2.3 Romberg求积公式2.4 高斯型求积公式3 几类数值积分方法的简单比较评述4利用MATLAB编程应用对几类求积算法的分析比较研究方法：本论文主要通过对相关文献和书籍的参考,合自己的见解,复化求积公式,Newton—Cotes求积公式,Romberg求积公式,高斯型求积公式进行讨论并进行上机实验，从代数精度,求积公式误差等角度对这些方法进行分析比较.完成期限和采取的主要措施：本论文计划用6个月的时间完成,阶段的任务如下:(1)7月份查阅相关书籍和文献;(2)8月份完成开题报告并交老师批阅;(3)9月份完成论文初稿并交老师批阅;(4)10月份完成论文二搞并交老师批阅;(5)11月份完成论文三搞;(6)12月份定稿.主要措施:考相关书籍和文献,合自己的见解,老师的指导下和同学的帮助下完成主要参考文献及资料名称：[1] 关治. 陆金甫. 数学分析基础（第二版）[M]. 北京:等教育出版社.2010.7[2] 胡祖炽. 林源渠. 数值分析[M] 北京:等教育出版社.1986.3[3] 薛毅. 数学分析与实验[M] 北京:业大学出版社2005.3[4] 徐士良. 数值分析与算法[M]. 北京:械工业出版社2007.1[5] 王开荣. 杨大地. 应用数值分析[M] 北京:等教育出版社2010.7[6] 杨一都. 数值计算方法[M]. 北京:等教育出版社 . 2008.4[7] 韩明. 王家宝. 李林. 数学实验（MATLAB）版[M]. 上海:济大学出版社2012.1[8] 圣宝建. 关于数值积分若干问题的研究[J]. 南京信息工程大学. 2009.05.01. : 42[9] 刘绪军. 几种求积公式计算精确度的比较[J]. 南京职业技术学院. 2009.[10] 史万明.吴裕树.孙新.数值分析[M]. 北京理工大学出版社.2010.4.开题报告会纪要时间2013年8月26日地点宁静楼229教师办公室与会人员姓名职务（职称）姓名职务（职称）姓名职务（职称）雍进军导师（讲师）邓喜才副教授李晟副教授龙林林组长指导教师意见：签名：年月日会议记录摘要：指导小组针对课题《二次函数性质的应用》提问了以下问题以及报告人的回答：雍老师问:选择此题目的目的?潘晓祥答:随着计算机和计算方法的飞速发展,几乎所有学科都走向定量化和精确化,计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。
数值分析4 - 数值积分
从 而该公式对次数 n的代数多项式精确成立 。 故有m n。
(充 分 性 ) “”
若m n,由lk ( x)的次数为 n, 对f ( x) lk ( x) (lk ( x)为n次Lagrange插值
有 ( x ) f ( x )dx ( x )l k ( x )dx ， 基函数 )， a a
说明：不研究一般的求积公式。 ( n1) 推论2：若 f C [a, b] ，(3)式是插值型求积公式，则有余项公式
R[ f ]
b a
f ( n1) ( ( x )) ( x) n1 ( x )dx， ( n 1)!
(4)
其中 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )。
1 f ( x )dx [ f ( 1) 4 f (0) f (1)]的代数精度. 3
分析：由等价定义， 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。
k为 奇 数 0, k 1 1 ( 1 ) k 2 解： I k 1x dx k 1 , k为 偶 数 k 1 1 1 当f ( x ) 1时(k 0), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 4 1 1) 2 I 0 ; 3 3 1 1 当f ( x) x时(k 1), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 4 0 1) 0 I1; 3 3
1
1 1 2 当f ( x ) x 时( k 2), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 2 ; 3 3 3 1 1 当f ( x ) x 3 时( k 3), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 0 1) 0 I 3 ; 3 3 1 1 2 2 4 当f ( x ) x 时( k 4), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 4。 3 3 3 5
研究生数值分析(23,24,25)
§4 复化求积公式
为了提高计算结果的精度，常常采用
复合求积的方法。
复合求积，就是先将积分区间[a,b] 分成几个小区间 [ xk 1 , xk ] (k 1,2, , n; x0 a, xn b)
然后在每个小区间上计算积分
xk
xk 1
f ( x)dx
的近似值并取它们的和作为整个区间[a， b]上的积分
(k 0,1, 2,3, 4)
这个公式称为科茨（Cotes）公式。 下面，我们给出梯形公式，辛普森公 式和科茨公式的截断误差（余项）和它们 的代数精度的几个结论。
定理3 若 f '' ( x) 在[a , b]上连续，则梯形公式⑤ 的余项为
(b a)3 R1 f (1 ), 12
和复合科茨公式
b
a
n 1 n 1 n 1 h f ( x)dx [7 f (a) 32 f ( x 1 ) 12 f ( x 1 ) 32 f ( x 3 ) k k k 90 k 0 k 0 k 0 4 2 4
14 f ( xk ) 7 f (b)] Cn
C0
1 2 1 6 1 8 7 90
(n)
C
( n) 1
C2( n)
1 6
3 8
C3( n ) C4( n ) C5( n ) C6( n )
1 2
4 6 3 8 16 45 25 96 9 35
2
3 4 5
19 288
41 840
2 15
25 144
1 8 16 45
25 144
6
9 280
34 105
4 ( a, b)
可以看出，科茨公式具有五次代数精度。
数值分析21(常微分方程数值解)
下面以2级方法为例子具体介绍龙格-库塔法。 yn1 yn hc1 K 1 hc2 K 2
K 1 f ( x n , yn ) K 2 f ( xn 2 h, yn h21 K 1 )
构造的基本思想是选择适当的系数使得方法的局部 截断误差阶数尽可能高。
Tn1 y( xn1 ) yn hc1 f ( xn , yn ) hc2 f ( xn 2h, yn h21 f ( xn , yn ))
y ( xn1 ) y ( xn ) h
f ( , y( )), 其中 [ xn , xn1 ]
h yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 2 是否可以推广改进的Euler方法？
(Runge-Kutta)龙格-库塔法
RK方法是一大类的方法, 其基本思想是采用如下形式:
yn1 yn hf ( xn1 , yn1 ( xn1 )) 隐式Euler法
梯形公式:
x n 1 xn
h f ( x , y( x ))dx [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , y( xn1 ))] 2
20:24
h yn1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , y( xn1 ))] 2
c1 c2 1, c22 1 / 2, c221 1 / 2
故方程组有无穷多组解, 每一组来自构成的RK公式的阶数 都是2, 都叫做二阶RK公式。
c1 c2 1 / 2, 2 21 1就是改进Euler法。
20:24
16/27
三阶Range-Kutta公式一般形式
《数值分析》 23
《数值分析》课程教学大纲
《数值分析》课程教学大纲课程编号：07054352课程名称：数值分析英文名称：Numerical Analysis课程类型：学科基础课程要求：必修学时/学分：48/3 （讲课学时：40 上机学时：8）适用专业：计算机科学与技术；软件工程一、课程性质与任务“数值分析”是计算机科学与技术、软件工程等相关专业学生的学科基础课，也是其它理、工科专业本科生及研究生的必修或选修课。
数值分析是研究各种数学问题在计算机上通过数值运算，得到数值解答的方法和理论。
随着计算机系统能力的提高和新型数值软件的不断开发，无论在高科技领域还是在传统学科领域，数值分析的理论和方法的作用和影响巨大，是科学工作者和工程技术人员必备的基础知识和工具。
课程的任务是使学生能了解数值分析的基本概念，熟悉常用数值方法的构造原理，了解数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法，了解重要数值算法的软件实现过程，使学生系统掌握数值分析的基本概念和分析问题、解决问题的基本方法，为掌握更复杂的现代计算方法打好基础。
内容包括数值计算的基本方法、线性和非线性方程组解法、插值法、数值积分法及微分方程的数值解法。
二、课程与其他课程的联系先修课程：高等数学，线性代数，C语言程序设计，计算基础。
后续课程：人工智能，数字图像处理技术，大数据分析及应用。
三、课程教学目标1．学习使用计算机进行数值计算的基础知识和基本理论知识，能够分辨、选用合适的数值方法解决工程问题。
（支撑毕业能力要求1和2）2. 能掌握常用数值计算方法的构造原理，根据问题设计和综合运用算法设计问题解决方案。
（支撑毕业能力要求1和2）3. 能运用数值算法复杂性、误差与收敛性分析的基本方法初步进行算法分析。
4. 能用计算机语言实现典型的数值计算算法，得到实验技能的基本训练，并具有利用计算机解决常见数学问题的能力；（支撑毕业能力要求4）5．能通过查询阅读文献资料，了解数值分析的前沿和新发展动向，了解数值分析算法原理应用的典型工程领域。
数值分析讲义第四章数值积分
方法的选取
不同的数值积分方法具有不同 的收敛性和稳定性，应根据具 体问题选择合适的方法。
初值和边界条件
初值和边界条件对数值积分的 收敛性和稳定性也有影响，不 合理的初值和边界条件可能导 致数值积分发散或误差增大。
05
数值积分的应用实例
在物理模拟中的应用
01
流体动力学模拟
数值积分被广泛应用于流体动力 学模拟中，如计算流体速度、压 力、温度等的分布。
02
数值积分方法
矩形法
总结词：简单直观
详细描述：矩形法是一种基本的数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的矩形，然后求和近似计算积分值。由于计算 简单直观，适用于初学者理解数值积分的基本思想。
梯形法
总结词：易于理解
详细描述：梯形法是另一种数值积分方法，它将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求和近似计算 积分值。与矩形法相比，梯形法更接近于真实曲线下面积的形状，因此误差相对较小。
衍生品定价
通过数值积分方法，可以 对复杂的衍生品进行定价， 如期权、期货等。
蒙特卡洛模拟
蒙特卡洛模拟是一种基于 随机抽样的数值积分方法， 常用于估计预期收益和风 险。
在图像处理中的应用
图像滤波
通过数值积分方法，可以 对图像进行滤波处理，如 平滑、锐化等。
图像重建
在图像重建中，数值积分 常用于从部分图像数据中 恢复完整的图像。
辛普森法
总结词：精度较高
详细描述：辛普森法是数值积分的一种改进方法，它利用了被积 函数在积分区间的端点和中心点的函数值进行近似计算，因此精 度相对较高。辛普森法是数值积分中常用的方法之一。
高斯法
总结词：高精度
VS
详细描述：高斯法是一种基于高斯积 分的数值积分方法，它利用了被积函 数在积分区间内的高斯点的函数值进 行近似计算，具有很高的精度。高斯 法适用于需要高精度计算的情况，但 计算过程相对复杂。
《数值分析》课程实验报告范文
《数值分析》课程实验报告范文《数值分析》课程实验报告姓名：学号：学院：机电学院日期：2022年某月某日目录实验一函数插值方法1实验二函数逼近与曲线拟合5实验三数值积分与数值微分7实验四线方程组的直接解法9实验五解线性方程组的迭代法15实验六非线性方程求根19实验七矩阵特征值问题计算21实验八常微分方程初值问题数值解法24实验一函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数的n+1个节点值。
试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。
实验二函数逼近与曲线拟合一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。
t(分)051015202530354045505501.272.162.863.443.874.154.374.51 4.584.024.64二、要求1、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为；3、打印出拟合函数，并打印出与的误差，；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、某绘制出曲线拟合图。
三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系四、实验步骤：第一步先写出线性最小二乘法的M文件functionc=lpoly(某,y,m)n=length(某);b=zero(1:m+1);f=zero(n,m+1); fork=1:m+1f(:,k)=某.^(k-1);enda=f＇某f;b=f＇某y＇;c=a＼b;c=flipud(c);第二步在命令窗口输入：>>lpoly([0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55],[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64],2)回车得到：an=-0.00240.20370.2305即所求的拟合曲线为y=-0.0024某2+0.2037某+0.2305在编辑窗口输入如下命令：>>某=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];>>y=-0.0024某某.^2+0.2037某某+0.2305;>>plot(某,y)命令执行得到如下图五、实验结论分析复杂实验数据时,常采用分段曲线拟合方法。
研究生数值分析(23,24,25)
辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C三点的 三点的 辛普森公式的几何意义就是用通过 抛物线 y = L2 ( x) 代替 f(x)所得曲边梯形的面积。 代替y= 所得曲边梯形的面积。 所得曲边梯形的面积
如图所示
y
y = f (x)
∫
b
a
b−a f (x)dx ≈ [7 f (x0 ) + 32 f (x1) +12 f (x2 ) + 32 f (x3 ) + 7 f (x4 )] 90
⑦
其中
b−a xk = a + k 4
( k = 0,1, 2, 3, 4 )
这个公式称为科茨（Cotes）公式。 这个公式称为科茨（ ）公式。 下面，我们给出梯形公式， 下面，我们给出梯形公式，辛普森公 式和科茨公式的截断误差（余项） 式和科茨公式的截断误差（余项）和它们 的代数精度的几个结论。 的代数精度的几个结论。
C
(2) 1
C0
(2)
=
∫
2
0
1 t (t − 1) dt = 6
1 2 4 = − ∫ t (t − 2)dt = 2 0 6
C
(2) 2
1 2 1 = ∫ (t −1)(t − 2)dt = 4 0 6
相应的牛顿相应的牛顿-科茨公式为
数值分析(研究生)第三章数值积分与数值微分二
(5.3)
我们在变步长的过程中运用加速公式(5.1)、(5.2)、(5.3)， 就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn 、柯 特斯值Cn和龙贝格值Rn .
上页
龙贝格求积算法可用下表来表示：
下页
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例2 用龙贝格方法计算椭圆 x2/4 + y2 ＝ l 的周长，使结果具有 五位有效数字． 分析 为便于计算，先将椭圆方程采用参数形式表示，再根据弧 长公式将椭圆周长用积分形式表示．由于计算结果要求具有五位有 效数字，因此需要估计所求积分值有几位整数，从而确定所求积分 值的绝对误差限．最后再应用龙贝格方法计算积分． 解 令 x ＝2cosq，y ＝sinq
上页 下页
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例1 计算积分值
sin x I＝ 0 x dx.
1
si n x 解 对f ( x ) 先 在[0,1]上 应 用 梯 形 公 式 ， 有 x 1 T1 [ f (0) f (1)] 0.9207355 . 2
1 将 区 间 二 等 分 ， 求 出 ) 0.9588510代 入 递 推 公 式 ， 有 f( , 2 1 1 1 T2＝ T1＋ f ( ) 0.9397933 . 2 2 2
上页 下页
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这样不断二分下去，计 算结果见下表（表中 k代表二分次数， 区间等分数 2 k ). n
k Tn k Tn
1 2 3 4 5 0.9397933 0.9445135 0.9456909 0.9459850 0.9460596 6 7 8 9 10 0.9460769 0.9460815 0.9460827 0.9460830 0.9460831
它 表 明 ， 用 复 化 梯 形 式 计 算 积 分要 达 到 位 有 效 数 字 的 精 度 公 I 7
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但是在工程技术和科学研究当中，往 往遇到如下困难，而不能使用牛顿—莱布 尼兹公式。
1、 找不到用初等函数表示的原函数 例如：f (x) 为
sin x , e x2 , 1 , 1 x3
x
ln x
等等
2、 虽然找到了原函数，但因表达式过
于复杂而不便于计算
例如：
a bu cu2 du 2cu b a bu cu2 4c
a b
可惜的是ξ值不易找到，因而难以求出
f(ξ )的准确值。
但若能对 f(ξ )提供一种近似算法， 也可以得到一种数值积分公式。
若取 a ，则得到
b
a f (x)dx f (a)(b a)
如取 a b ，则得到
2
b f (x)dx f ( a b )(b a)
b a
f ( (n1) )
(n 1)!
n 1
(
x)dx
n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ), (a, b)
此时，R n = 0，因而等式
b
n
f ( x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
成立，其中
Ak
b
a lk (x)dx
b (x x0 ) (x xk1)(x xk ) (x xn ) dx a (xk x0 ) (xk xk1)(xk xk1) (xk xn )
(k 0,1, , n)
根据代数精度的定义，可知定理的结论
成立。
证毕
定理2 数值积分公式
b
n
I ( f ) f (x)dx a
也准确成立
但当 f (x) x4 时，左边≠右边，
故所得求积公式的代数精度 m=3。
例2
给定求积节点
x0
1, 4
x1
3 4
，试推出
计算积分01 f (x)dx 的插值型求积公式，
并写出它的截断误差。
解：由公式
Ak
b
a lk (x)dx
b (x x0 ) (x xk1)(x xk ) (x xn ) dx a (xk x0 ) (xk xk1)(xk xk1) (xk xn )
n
Ln ( x)
f ( xk )lk ( x)
k 0
其中
lk (x)
n j0
x xj xk xj
jk
(k 0,1, , n)
为节点 x0 , x1, , xn 的基本插值多项式。
用 Ln (x) 近似代替被积函数 f(x) ，则得
b
b
n
b
f (x)dx
0
24
4
由公式
b
n
b
b
R[ f ] f (x)dx a
Ak f (xk ) a f (x)dx a Ln (x)dx
k 0
b
a ( f (x) Ln (x))dx
b a
f ( (n1) )
(n 1)!
n 1
(
x)dx
n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ), (a, b)
充分性 设
I (g0 ) In (g0 ), I (g1) In (g1),, I (gm ) In (gm ),
I ( gm1) I n ( gm1) 。
任一 m 次多项式，可表示为
m
m
pm (x) ak xk ak gk (x)
k 0
k 0
m
m
m
于是 I ( pm ) I ( ak gk ) ak I (gk ) ak In (gk )
a
2
如取 b ，则得到
b
a f (x)dx f (b)(b a)
以上三个公式分别称为左矩形公式， 中矩形公式和右矩形公式。
由定积分的定义
b
n1
f (x)dx lim
a
n
f (xk )xk
max xk 0 k 0
可以得到定积分的一个近似计算公式
b
A
y L1(x) B
0a
bx
一个数值积分公式的代数精度越高，就
越能对更多的被积函数准确地或较准确地成
立， 从而具有更好的实际计算意义。
利用待定系数法，可以得到具有尽可能
高的代数精度的数值积分公式。
例1 确定求积公式
1
1 f (x)dx A1 f (1) A0 f (0) A1 f (1)
n 1
f ( x)dx
a
f ( xk )xk
k 0
进一步，我们设想更一般的求积公式为
b
n
f (x)dx
a
Ak f ( xk )
①
k 0
称 xk 为求积结点， Ak 为求积系数，
它们均与f(x)的具体形式无关。
这类数值积分的方法通常称为机械求 积法，主要有插值型和外推型两种。它们 均是应用被积函数 f(x)在一些节点上的函 数值得线性组合得出积分的近似值。
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
对于次数≤m 的代数多项式均能准确地成立，
但至少对一个 m+1 次多项式不能准确地成
立，则称该数值积分公式具有 m 次代数精
度。
关于代数精度有如下结论：
定理1 含有n+1个节点的插值型数值积分公式
b2 4ac 8c3/2 ln(2cu b 2
c
a bu cu2 ) C1
原函数的计算复杂性大大超过被积函数。
3、f(x) 是由测量和计算得到的函数列 表，即给出的是 f(x) 的一张数据表。
由于这些困难，我们必须研究积分 的数值计算问题。回顾积分中值定理
b
a f (x)dx (b a) f ( )
(k 0,1, , n)
证 当 f(x)为任何次数不高于n的多项式时，
f (n1) (x) 0
根据插值型求积公式的截断误差不断式
b
n
b
b
R[ f ] f (x)dx a
Ak f (xk ) a f (x)dx a Ln (x)dx
k 0
b
a ( f (x) Ln (x))dx
计算求积系数
A(1) 0
1 x x1 dx 1
0 x0 x1
2
1
1
(4x 3)dx
0
2
A(1) 1
1 x x0 dx 1
0 x1 x0
2
1
(4x
1)dx
1
0
2
故求积公式为
1 f (x)dx 1 [ f ( 1 ) f ( 3)]
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
至少具有 n 次代数精度。
其中
Ak
b
a lk (x)dx
b (x x0 ) (x xk1)(x xk ) (x xn ) dx a (xk x0 ) (xk xk1)(xk xk1) (xk xn )
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
具有m次代数精度的充分必要条件
为该公式对 f ( x) 1, x, , xm
精确成立，而对 f ( x) xm1
不精确成立。
证 记 gk (x) xk , k 0,1,2,, m 1
必要性 设
b
I ( f ) f (x)dx a
我们称由系数式确定 Ak 的数值积分公式① 为插值型求积公式。
（2）插值型求积公式的截断误差与代数精度
记插值型求积公式
b
n
I ( f ) f (x)dx a
Ak f (xk ) In ( f )
k 0
的截断误差为R[ f ] ，则有
b
n
b
b
R[ f ] f (x)dx a
Ak f (xk ) a f (x)dx a Ln (x)dx
k 0
b
a ( f (x) Ln (x))dx
b a
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x)
dx
②
其中 n1(x) (x x0 )(x x1) (x xn ), (a,b)
但是，当 f (x) x2 时，
左端=
b x2dx 1 (b3 a3 )
a
3
右端=
b a [a2 b2] 2
左端≠右端
这表明梯形公式 当 f (x) 1, x 时是准确成立的， 当 f(x)的次数高于1时，
梯形公式却不准确地成立。
即梯形公式的代数精度 m=1。
y
y f (x)
1 x2dx 2
1
3
解得 A1
A1
1 3 , A0
4 3
故
1 f (x)dx 1 f (1) 4 f (0) 1 f (1)
1
3
3
3
该求积公式对f (x) 1, x, x2 都准确成立，
至少具有2次代数精度。