函数奇偶性运用

b,a 上是 增（减）函数 ；
（2）偶函数 y f ( x) 在区间 a, b (a b) 上是增（减）函数，则函数 y f ( x) 在区间
b,a 上是 减（增）函数 ．
●想一想： 能否用更简炼的语言概括出以上结论？从上可归纳出函数的单调性与奇偶性 的联系与区别？ （链接 2）
，代数特征是 关于Y轴对称
（4）奇（偶）函数的定义域特点是
关于原点对称
2.方法梳理： （1）函数奇偶性的判断方法有
、入手点 图像法、定义法
；
（2） 函数奇偶性的价值在：
（链接 1） .
1. 观察思考 已知奇函数 y f ( x) 在区间 a, b (a b) 上是增函数，请画出其示意图． （1） 根据奇函数的图象特征， 你能判断出函数 y f ( x) 在区间 b, a 上的单调性吗？ （2）你能用单调性的定义对你的判断给出严格的证明吗？ （3）你能总结出“奇函数与单调性的关系”的一般结论吗？ （4）若函数 y f ( x) 是偶函数呢？你能给出类似于奇函数与单调性的关系的结论吗？ ２.归纳概括 通过对以上问题的探究，请填空． （1）奇函数 y f ( x) 在区间 a, b (a b) 上是增（减）函数，则函数 y f ( x) 在区间
f (3) f (1) ，则下列不等式一定成立的是（ D ）
A ． f (1) f (3) ； B ． f (2) f (3) ； C ． f (3) f (5) ；D ． f (0) f (1) . （3 ） 定义在 R 上的偶函数 y f ( x) 在 ,0 上是增函数,则 f (2), f (0), f (1) 的大小关系
3. 快乐体验
（ 1 ）若奇函数 f ( x)在3,7 上是增函数 , 且有最小值 5 , 那么 f ( x) 在 ) Ｂ．增函数且最大值 5 ； Ｄ．减函数且最大值 5 .
7, 3 上有( B
Ａ．增函数且最小值 5 ； Ｃ．减函数且最小值 5 ；
（ 2 ） 已 知 函 数 f ( x) 在 [5,5] 上 是 偶 函 数 ， f ( x) 在 [0,5] 上 是 单 调 函 数 ， 且
f ( x) x2 x 1 ，求 f ( x) 的解析式，并分析 f ( x) 在 R 上的单调性？
解：当x (, 0)时，-x (0,+), f ( x) ( x) 2 ( x) 1 x 2 x 1 又f ( x) f ( x), f ( x) x 2 x 1 f ( x) x 2 x 1 x 2 x 1( x 0) f ( x) 0( x 0) x 2 x 1( x 0)
一、学习准备 1.知识梳理：为了进一步研究函数奇偶性的应用，请思考以下问题．
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、
（1）函数奇偶性的种类有
既不是奇函数也Biblioteka Baidu是偶函数
；
（2）奇函数图象特征是
关于原点对称，代数特征是
f ( x) ； f ( x)
f ( x) f ( x)
． ．
（3）偶函数图象特征是
例 2.设奇函数 f ( x ) 在 (0， ) 上为增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 的解集为（ A． (1 ， 0) ）
f ( x) f ( x) 0 x
(1， ) ；B. (， 1) (0， 1) C. (， 1) (1， ) ；D. (1， 0) (0， 1) .
1 1 1 1 作出f ( x)的图像可知：增区间为[- , 0]及[ , ); 减区间为（-,- )及（0，） 2 2 2 2
●解后反思 你能归纳出利用函数奇偶性求函数解析式的步骤吗？该题本质求什么？
关键是怎样运用函数的偶函数性？讨论单调性有哪些方法？
●变式练习 已知定义在 R 上的奇函数 y＝f（x） ，当 x (0,) 时，
祝你天天快乐！
快乐花样乒乓球
【学习目标】
1.会利用奇（偶）函数的图象特征、代数特征研究函数的解析式、函数值和单调性； 2.进一步体会数形结合、化归与转化、类比等数学思想．
重点：
利用函数的奇偶性研究函数的解析式、函数值和单调性．
难点提示：
函数奇偶性的综合运用.
1.请同学们课前将学案与教材 P3336 结合进行自主学习 （对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、 说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读） 、 小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习 做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“九字学习法”即： “读” 、 “挖” 、 “举” 、 “联” 、 “用” 、 “悟” 、 “总” 、 “研” 、 “会” ，请在课堂上敢于提问、 敢于质疑、敢于讲解与表达.
f (0) f (1) f (2) 为__________________________ ．
解后反思 你能归纳出比较函数值大小的方法与步骤吗？解有关奇偶性问题的关键
点、入手点在哪里？
你讲的太好了
例 1. 例１、 已知定义在 R 上的偶函数 y＝（ f x） ， 当 x [0,) 时，f ( x) x2 x 1 ， 求 f ( x) 的解析式，并分析 f ( x) 在 R 上的单调性？ 思路启迪： 注意分析该题是求什么？想法将 x [0,) 时， f ( x) x2 x 1 与 偶函数联系起来；回顾分析函数单调性有哪些方法，灵活选择．
解：当x (, 0)上时，-x (0,+),f(-x)=(-x)2 x 1 x 2 x 1 又f ( x)为偶函数，f ( x) f ( x) f ( x) x 2 x 1
2 x x 1; x [0. ) 故f ( x) 2 ; x x 1; x (, 0)