函数奇偶性运用
函数奇偶性的应用
() 的解析式.
1. 函数 () 在 上为奇函数，且当 > 0 时， () = + 1 ，则当 < 0 时
， () = ___________.
−1
[解析] ∵ () 为奇函数，当 > 0 时， () = + 1 ，∴ 当 < 0 时， − > 0
【解析】由题意知,当 x<0 时,f(x)=-eax,则当 x>0 时,-x<0,f(-x)=-e-ax.
又因为 f(x)是奇函数,则当 x>0,f(x)=-f(-x)=e-ax.
又因为 f(ln 2)=8,则 f(ln 2)=e-aln 2=2-a=8,解得 a=-3.
4. 若函数 f(x)=
A.-3
函数奇偶性的应用
1. 求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用 () 为
奇函数 ⇔ (−) = −(), () 为偶函数 ⇔ () = (−) ，列式求解，也
可利用特殊值法求解.对于在 = 0 处有定义的奇函数 () ，可考虑列等式
(0) = 0 求解.
2. [2020年江苏卷]已知 = () 是奇函数，当 ≥ 0 时， () =
，
2
3
则 (−8) 的值是_________.
−4
2
3
[解析] (8) = 8 = 4 ，因为 () 为奇函数，所以 (−8) = −(8) = −4 .
3. 已知 f(x)是奇函数,且当 x<0 时,f(x)=-eax.若 f(ln 2)=8,则 a=
∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,
函数的奇偶性及周期性综合运用
) 1成立,
1
2
1
2
且当x>0时,
(1)求证:g(x)=f(x)-1
为奇函数;
(2)求证:f(x)是R上的增函数;
(3)若f(4)=5,
解不等式f (3 m2
m 2)
3.
【 解 】
(1)
证 明:定 义 在R上 的 函 数f(x)
对 任 意 的x
x
2
R,都有
1
f (1x
2x)
f(1x)
f(2成x)立,1
3.已知f(x)
是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=
1
1 x 2时,f(x)=x-2,
则
f ( x)
f(6.5)等于⋯⋯( )
A.4.5
B.-4.5
C.0.5
D.-0.5
【答案】D
【 解 析 】 由f(x 2)
1
得f(x
4)
1
f ( x )
f ( x
2)
f(6.5)=f(2.5).
因为f(x)
R,且x1
x2则x2
x1
0
∵f ( x1
x2)
f
( x1)
f ( x2)
1
∴f ( x2
x1)
f
( x2)
f ( x1)
1
f ( x2)
[ f ( x1) 1]
f ( x2) f ( x1) 1.
∵当x>0时,f(x)>1,
∴f ( x2
x1)
f
( x2)
f ( x1)
1
1.
∴f ( x1)
f ( x2).
令x1
函数奇偶性的性质应用
函数奇偶性的应用一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性1 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．2 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断．例．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.例．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．例如果f(x)是R上的奇函数，且在[3,6]上有最大值4，最小值2，那么函数f(x)在[－6，－3]上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称，联想图象可知函数f(x)在[－6，－3]上的最大值为－2，最小值为－4.例．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，且f(1)<f(2)，则必有()A．f(－1)<f(－2) B．f(－1)>f(－2)C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1)解析：∵f(1)<f(2)，∴－f(1)>－f(2)．又已知f(x)是奇函数，∴f(－1)>f(－2)．答案：B例函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，图象必过点A．（a, －f(a)) B．（-a, －f(a))C．（a, f(－a)) D．（-a, －f(a))例．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是________．解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．答案：f(－π)>f(3)>f(－2)例．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是()A．f(－2)>f(0)>f(1)B．f(－2)>f(1)>f(0)C．f(1)>f(0)>f(－2)D．f(1)>f(－2)>f(0)解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，又∵f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f (－2)>f (1)>f (0)． 答案：B例．已知函数f (x )在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f (3)<f (1)，则( ) A ．f (－1)<f (－3) B ．f (0)>f (－1) C ．f (－1)<f (1) D ．f (－3)>f (－5)思路分析：要比较各函数值的大小，需判断函数在区间[－5,5]上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性．解析：函数f (x )在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f (3)<f (1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数． 由已知条件及奇函数性质，知函数f (x )在区间[－5,5]上是减函数． 选项A 中，－3<－1，故f (－3)>f (－1)． 选项B 中，0>－1，故f (0)<f (－1)．同理选项C 中f (－1)>f (1)，选项D 中f (－3)<f (－5)． 答案：A例．设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数．若x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0 C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0 D ．f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)解析：利用减函数和奇函数的性质判断． ∵x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2.又∵f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数， ∴f (x 1)<－f (x 2)．∴f (x 1)＋f (x 2)<0.同理，可得f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 1)＋f (x 2)<0.∴2f (x 1)＋2f (x 2)＋2f (x 3)<0. ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0. 答案：B例 （2009年陕西文科卷）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-．则 （ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-< Ｂ．(1)(2)(3)f f f <-< Ｃ．(2)(1)(3)f f f -<< Ｄ．(3)(1)(2)f f f <<-答案：A例 定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)·[f (x 2)－f (x 1)]>0.则当n ∈N ＋时，有( )A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )思路分析：先判断出函数f (x )的单调性，再转化为同一单调区间内判断函数值的大小关系． 解析：由(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0得f (x )在x ∈(－∞，0]为增函数． 又f (x )为偶函数，所以f (x )在x ∈[0，＋∞)为减函数． 又f (－n )＝f (n )且0≤n －1<n <n ＋1，∴f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)，即f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)． 答案：C例．若y ＝(a －1)x 2－2ax ＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________． 解析：a ＝0，y ＝－x 2＋3结合二次函数的单调性知． 答案：增区间(－∞，0)，减区间[0,3]例 定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间[0，＋∞)上的图象与)(x f 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )； （2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； （3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )； （4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )． 其中成立的是（ ）A ． (1)与(4)B ． (2)与(3)C ． (1)与(3)D ． (2)与(4) 解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )； （2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )； （3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )； （4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．再由题义，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然（1）、（3）正确，故选C ．【技巧提示】 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性，因而往往与不等式联系紧密．二. 求函数的函数值和函数解析式此类问题的一般解法是：(1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )例 已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 思路分析：以偶函数的图象特征进行判断．解析：∵偶函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )与x 轴的四个交点也关于y 轴对称．因此，若一根为x 1，则它关于y 轴对称的根为－x 1；若一根为x 2，则它关于y 轴对称的根为－x 2，故f (x )＝0的四根之和为x 1＋(－x 1)＋x 2＋(－x 2)＝0.∴应选D.例．已知()2f x ax bx 3a b =+++是偶函数，且定义域为[],a 22a -，则____,____;a b ==例.已知函数1().21xf x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =________。
函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用函数奇偶性（FunctionParity）是指一个函数可以经过一个变换，使其符号发生对称的变化的性质。
这种性质可以用于解决许多数学问题，特别是那些涉及到计算积分的问题，例如，计算圆周积分、椭圆积分等。
函数的奇偶性本质上是一种对称性质，它不是某一个函数的具体性质，而是函数人因变换后所拥有的性质。
其定义是：如果函数f(x)对于任意x，都有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数，反之，如果f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
一般来说，函数的奇偶性与函数的变换关系密切相关，函数的变换可以表示为改变函数的变量x的值或者改变函数的结果y值。
例如，函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)有对称性，因为当x取任意值时，它的关系式f(-x)=a(-x)2+b(-x)+c＝-ax2＋bx＋c＝-f(x)，所以函数f(x)是奇函数。
函数奇偶性具有许多应用，例如，利用它可以求解椭圆积分。
椭圆积分是由一个定义在椭圆上的函数与椭圆的面积累加求得的。
因为函数的奇偶性能满足对称性，所以可以利用这一性质，将椭圆分成两半来求解。
具体的操作是，首先用函数左半部分的面积累加求得积分值，然后再用函数右半部分的面积累加求得积分值，最后相加即可得到椭圆积分的结果。
函数奇偶性还可以用于求解圆周积分问题。
因为圆周积分一般是指求解圆周上函数的积分值，而利用函数奇偶性，可以把圆周分割成两部分，一部分是正玄轴到负玄轴的距离，另一部分是负玄轴到正玄轴的距离，从而将圆周积分转化为求解两个积分的和，从而更加容易求出解析解。
此外，函数奇偶性还可以用于对一些复杂的函数进行拆分，将多个复杂的函数拆分为若干个相对简单的函数，从而更容易求解。
例如，可以将多项式函数拆分为多个单项式函数，这样就可以更加方便地求解多项式函数。
最后，函数奇偶性也可以用于多元函数的研究。
对于多元函数，函数的奇偶性可以帮助我们更加清晰地理解函数的性质，从而更直观地求解多元函数的结果。
函数的奇偶性的应用题型归纳
函数的奇偶性的应用题型归纳一、 求函数值例1、已知函数5)(24+++=x cx ax x f ，若f （－3）＝－3，求f （3）的值。
分析：若将f （－3）＝－3展开，显然无法求出a ，c 的值，只能将81a ＋9c 视为整体 来求f （3），进一步观察函数结构，可构造函数解题。
解：设5)(24++=cx ax x g ，则g （x ）为偶函数，且g （x ）＝f （x ）－x ，因为)()()(),()(x x f x g x g x g ---=-=-，所以x x f x x f -=---)()()(，所以x x f x f 2)()(=--，所以6)3()3(=--f f ，又因为3)3(-=-f ，所以.3)3(=f二、 求函数解析式 例2、已知f （x ）是R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求f （x ） 的解析式。
分析：要求f （x ）在R 上的解析式，条件已给出f （x ）在),0(+∞上的解析式，还需求当0≤x 时f （x ）对应的解析式。
解：方)0,(-∞∈x ，),0(+∞∈-x ，所以)1()1()(33x x x x x f --=-+-=-因为f （x ）是R 上的奇函数，所以)1()()(3x x x f x f -=--=，)0,(-∞∈x ，在)()(x f x f -=-中，令x ＝0，得f （0）＝0，所以⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=0),1(0,00),1()(33x x x x x x x x f 即⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0),1(0),1()(33x x x x x x x f 点评：利用函数的奇偶性求解析式是常见题型，其步骤为：（1）设，即将自变量x 设在未知区间上；（2）化，即将x 转化到已知区间上；（3）求，即根据函数的奇偶性求出解析式。
另外，若奇函数f （x ）在原点处有定义，则f （0）＝0.三、 比较大小例3、已知f （x ）是偶函数，且在区间[0，1]上是单调增函数，比较)0(),1(),5.0(f f f -- 的大小。
函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用函数的奇偶性是指函数在其定义域内是否满足奇偶性质。
在数学中，奇数代表整数除以2的余数为1，偶数代表整数除以2的余数为0。
而在函数中，奇函数代表函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数代表函数满足f(-x)=f(x)。
函数的奇偶性在数学中有着广泛的应用，如在对称性、曲线图像、解方程等方面都能够起到重要的作用。
下面将详细讨论函数奇偶性在不同应用领域的具体应用。
首先，在对称性方面，函数的奇偶性能够帮助我们判断函数关于y轴、x轴以及原点是否对称。
对于奇函数，它关于原点对称，即图像在原点处旋转180度后与原图像重合；对于偶函数，它关于y轴对称，即图像关于y轴对称；而对于一般的函数，如果既不是奇函数也不是偶函数，那么它不具备关于坐标轴的对称性。
其次，在曲线图像方面，函数的奇偶性能够帮助我们简化曲线图像的绘制和分析。
由于奇函数关于原点对称，所以当我们只需要绘制图像在原点右侧的部分，然后再将其关于原点对称得到的图像就是整个函数的图像；偶函数同样可以利用关于y轴的对称性简化图像的绘制。
这在许多实际问题中都起到了很大的帮助，特别是能够通过对图像的简化来更好地理解函数的性质。
再次，在解方程方面，我们可以利用函数的奇偶性来求解一些特定的问题。
例如，当我们需要求解一个方程f(x)=0时，如果函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，那么我们只需要找到一组解x0，然后就能得到对称的另一组解-x0。
同样地，如果函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，我们只需要求解非负解，然后就能得到关于y轴对称的另一组解。
这对于简化解方程的过程非常有帮助。
此外，在积分计算方面，函数的奇偶性同样提供了一种简化计算的方法。
对于奇函数而言，它的在一个对称区间内的积分等于0，因为函数在区间的正负区域对称；而对于偶函数而言，它在一个对称区间内的积分可以化简为两倍的非负积分，因为函数在区间内的曲线图像关于y轴对称。
这种简化计算的方法在数学中经常被运用，能够提高计算的效率。
函数单调性与奇偶性综合运用
函数单调性与奇偶性综合运用例1；设定义在[−3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a−1)＜f(a)时，求a的取值范围.解：∵f(a−1)＜f(a) ∴f(|a−1|)＜f(|a|)而|a−1|，|a|∈[0，3].例2；定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)−f(−a)＞g(a)−g(−b)；②f(b)−f(−a)＜g(a)−g(−b)；③f(a)−f(−b)＞g(b)−g(−a)；④f(a)−f(−b)＜g(b)−g(−a).答案：①③.例3；设a为实数，函数f(x)=x2+|x−a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x−a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为.小练习；选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．函数f(x)是定义在[−6，6]上的偶函数，且在[−6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(−3)−f(2)＜0C. f(−2)+f(−5)＜0D. f(4)−f(−1)＞0 7．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( ) A．B．C．D．8．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________. 4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为−1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.6．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.解答题1. 已知函数f(x)=x2−2ax+a2−1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[−1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a).解：(1)∵f(x)=(x−a)2−1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜−1时，如图1，g(a)=f(−1)=a2+2a2°当−1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=−13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2−2a，如图2. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x−2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x−2)≤3可转化为：f[x(x−2)]≤f(8).3. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1−x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2−1＜0∴f(x1)−f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2−1的符号的确定，如何分段.4．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.解：，则，5．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.6．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数且，求和的解析式.解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.7．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式. 解：(1)令，则(2)，则.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值. 解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.。
函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明.一、求函数的解析式例1 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，求f (x )的解析式.分析 要求f (x )在R 上的解析式，条件已给出f (x )在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x ≤0时f (x )对应的解析式.解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3x ). 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x (1－3x )，x ∈(－∞，0).在f (－x )＝－f (x )中，令x ＝0，得f (0)＝0. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (1＋3x )，x ＞0，0，x ＝0，x (1－3x )，x ＜0.评注 利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式.二、求参数的值例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a＜0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.分析根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x＜0的解析式.解析令x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝－x(1－x).又f(x)为奇函数，所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x).令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.解得a＝－1，或a＝2(舍去).答案－1评注解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键.三、求参数的范围例3 定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.解因为f(x)是偶函数，所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|).又f(1－m)＜f(m)，所以f(|1－m|)＜f(|m|).由f(x)在区间[0,2)上是减函数，得0≤|m|＜|1－m|＜2.解得－1＜m＜12.故实数m的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 评注 本题利用了偶函数的性质：若函数f (x )是偶函数，则恒有f (x )＝f (|x |)，从而达到简捷求解的目的.。
函数的奇偶性及其应用(答案版)
一、关于函数的奇偶性的定义：定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：（1）)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；（2）)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；（3）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 二、函数的奇偶性的几个性质：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0.（4）奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反（5）奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数奇函数*奇函数=偶函数 偶函数*偶函数=偶函数 奇函数*偶函数=奇函数三、函数的奇偶性的判断利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，步骤如下：（1） 首先确定函数的定义域，并判其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：1、判断下列函数的奇偶性（1）()(f x x =- （2）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩(3)()f x =1122-⋅-x x (4)()f x = (5)f(x)＝2-x +x -2 解：（1）由101x x+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数 （2）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数（3）∴f(x)是偶函数.事实上函数的定义域为{-1，1}，将=)(x f 1122-⋅-x x化简得f(x)=0.∴f(x)既是偶函数，又是奇函数.（4）奇函数 （5）此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。
专题17 函数奇偶性的应用(解析版)
专题17 函数奇偶性的应用题组4 函数奇偶性的应用1.已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于（）A.－1B.1C.0D.2【答案】A【解析】因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋（－2）＝－1.故选A.2.已知函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），且f（x＋1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A.2B.C.4D.6【答案】A【解析】因为函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），所以在函数f（x＋1）中，3－2a<x＋1<a＋1，则函数f（x＋1）的定义域为（2－2a，a），又因为f（x＋1）为偶函数，所以2－2a＝－a，a＝2，故选A.3.已知函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（2,5）上是（）A.增函数B.减函数C.有增有减D.增减性不确定【答案】B【解析】∵f（x）为偶函数，∴m＝0，∴f（x）＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，∴f（x）在（2,5）上是减函数.4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，a＋b的值是（）A.0B.C.1D.－1【答案】B【解析】∵函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，∴a－1＝－2a，b＝0，解得a＝，b＝0，∴a＋b＝，故选B.5.已知f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋]上的偶函数，则5a＋3b等于（）A.B.C.0D.－【答案】A【解析】∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0.又f（x）的定义域为[3a－2,2a＋]，∴3a－2＋2a＋＝0，∴a＝.故5a＋3b＝.6.若函数f（x）＝为奇函数，则a等于（）A.1B.2C.D.－【答案】A【解析】由题意得f（－x）＝－f（x），则＝＝－，则－4x2＋（2－2a）x＋a＝－4x2－（2－2a）x＋a，所以2－2a＝－（2－2a），所以a＝1.7.若函数f（x）＝ax2＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a,0）∪（0,2a－2）上的偶函数，则f等于（）A.1B.3C.D.【答案】B【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a －2b＝0，即b＝1，所以f（x）＝2x2＋1.于是f＝f（1）＝3.8.函数f（x）＝x|x＋a|＋b满足f（－x）＝－f（x）的条件是（）A.ab＝0B.a＋b＝0C.a＝bD.a2＋b2＝0【答案】D【解析】由已知，得－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|－b，∴a＝b＝0，即a2＋b2＝0.9.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝2，f（1）＋g（－1）＝4，则g（1）等于（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－1）＝－f（1）.又g（x）是偶函数，∴g（－1）＝g（1）.∵f（－1）＋g（1）＝2，∴g（1）－f（1）＝2.①又f（1）＋g（－1）＝4，∴f（1）＋g（1）＝4.②由①②，得g（1）＝3.10.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g （1）等于（）A.－3B.－1C.1D.3【答案】C【解析】分别令x＝1和x＝－1可得f（1）－g（1）＝3和f（－1）－g（－1）＝1，因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f（－1）＝f（1），g（－1）＝－g（1），即f（－1）－g（－1）＝1⇒f（1）＋g（1）＝1，则⇒⇒f（1）＋g（1）＝1，故选C.11.已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x）f （x），则f的值是（）A.0B.C.1D.【答案】A【解析】因为xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），令x＝，则f（）＝5×，令x＝，则f＝3×f，令x＝－，则f＝－f，又已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，所以f－f＝0，所以f＝f＝f＝0，又令x＝－1，f（0）＝0，所以f＝f（0）＝0.12.已知f（x）＝x5－ax3＋bx＋2，且f（5）＝17，则f（－5）的值为（）A.－13B.13C.－19D.19【答案】A【解析】设g（x）＝x5－ax3＋bx，则g（x）为奇函数.f（x）＝g（x）＋2，f（5）＝g（5）＋2＝17.∴g（5）＝15，故g（－5）＝－15.∴f（－5）＝g（－5）＋2＝－15＋2＝－13.13.设f（x）是奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）≤m（m<0），则f（x）的值域是（）A.[m，－m]B.（－∞，m]C.[－m，＋∞）D.（－∞，m]∪[－m，＋∞）【答案】D【解析】当x≥0时，f（x）≤m；当x≤0时，－x≥0，所以f（－x）≤m，因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x）≤m，即f（x）≥－m.14.若偶函数f（x）在区间[3,6]上是增函数且f（6）＝9，则它在区间[－6，－3]上（）A.最小值是9B.最小值是－9C.最大值是－9D.最大值是9【答案】D【解析】因为f（x）是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，所以f（x）在区间[－6，－3]上是减函数.因此，f（x）在区间[－6，－3]上最大值为f（－6）＝f（6）＝9.15.若φ（x），g（x）都是奇函数，f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3在（0，＋∞）上有最大值10，则f（x）在（－∞，0）上有（）A.最小值－4B.最大值－4C.最小值－1D.最大值－3【答案】A【解析】由已知对任意x∈（0，＋∞），f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≤10.对任意x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞）.又∵φ（x），g（x）都是奇函数，∴f（－x）＝aφ（－x）＋bg（－x）＋3≤10，即－aφ（x）－bg（x）＋3≤10，∴aφ（x）＋bg（x）≥－7，∴f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≥－7＋3＝－4.16.奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），则在（－∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A.f（x）＝－x（1－x）B.f（x）＝x（1＋x）C.f（x）＝－x（1＋x）D.f（x）＝x（x－1）【答案】B【解析】设x<0，则－x>0，因为函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），所以f（－x）＝－x（1＋x），又函数f（x）是奇函数，即f（－x）＝－f（x），则当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝x（1＋x）.故选B.17.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是________.【答案】f（－2）<f（1）<f（0）【解析】∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，∴f（2）<f（1）<f（0），即f（－2）<f（1）<f（0）.18.设函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝________.【答案】－1【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即＝－，∴2a＝－2，解得a＝－1.19.已知y＝f（x）＋x2是奇函数且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.【答案】－1【解析】∵y＝f（x）＋x2是奇函数，∴f（－x）＋（－x）2＝－[f（x）＋x2]，∴f（x）＋f（－x）＋2x2＝0，∴f（1）＋f（－1）＋2＝0.∵f（1）＝1，∴f（－1）＝－3.∵g（x）＝f（x）＋2，∴g（－1）＝f（－1）＋2＝－3＋2＝－1.20.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝2，且f（x＋1）＝f（x＋6），则f（10）＋f（4）＝________. 【答案】－2【解析】因为f（x＋1）＝f（x＋6），所以f（x）＝f（x＋5）.因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，则f（10）＝f（5）＝f（0）＝0，f（4）＝f（－1）＝－f（1）＝－2.所以f（10）＋f（4）＝－2.21.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝________. 【答案】－2【解析】f（7）＝f（3＋4）＝f（3）＝f（－1＋4）＝f（－1），∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1），∵1∈（0,2），∴f（1）＝2×12＝2，∴f（7）＝－f（1）＝－2.22.已知函数f（x）＝ax3＋bx＋4（a，b均不为零），且f（5）＝10，则f（－5）＝________.【答案】－2【解析】令g（x）＝ax3＋bx（a，b均不为零），易知g（x）为奇函数，从而g（5）＝－g（－5）.因为f（x）＝g（x）＋4，所以g（5）＝f（5）－4＝6，所以f（－5）＝g（－5）＋4＝－g（5）＋4＝－2.23.已知函数f（x）＝ax3－bx＋1，a，b∈R，若f（－1）＝－2，则f（1）＝__________.【答案】4【解析】∵f（x）＝ax3－bx＋1，∴f（－x）＝a（－x）3－b（－x）＋1＝－ax3＋bx＋1，得f（x）＋f（－x）＝（ax3－bx＋1）＋（－ax3＋bx＋1）＝2，令x＝1，得f（1）＋f（－1）＝2，∵f（－1）＝－2，∴f（1）＝2－f（－1）＝2＋2＝4.24.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.当x<0时，f（x）＝x2－4，则x>0时，f（x）的解析式为________，不等式f（x）<0的解集为___________.【答案】f（x）＝－x2＋4（－2,0）∪（2，＋∞）【解析】当x>0时，－x<0，所以f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝x2－4＝－f（x），所以f（x）＝－x2＋4，即x>0时，f（x）＝－x2＋4.当x<0时，f（x）<0，即x2－4<0，解得－2<x<2，又因为x<0，所以－2<x<0；当x>0时，f（x）<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2，又因为x>0，所以x>2.综上可得f（x）<x的解集是（－2,0）∪（2，＋∞）.25.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，（1）试画出f（x），x∈[－3,5]的图象；（2）求f（37.5）；（3）常数a∈（0,1），y＝a与f（x），x∈[－3,5]的图象相交，求所有交点横坐标之和.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（x＋2）＝f（－x），∴f（x）关于直线x＝1对称.由f（x）在[0,1]上的图象反复关于（0,0），x＝1对称，可得f（x），x∈[－3,5]的图象如图.（2）由图可知f（x＋4）＝f（x），∴f（37.5）＝f（4×9＋1.5）＝f（1.5）＝f（0.5）＝.（3）由图可知，当a∈（0,1）时，y＝a与f（x），x∈[－3,5]有4个交点，设为x1，x2，x3，x4（x1<x2<x3<x4）. 由图可知＝－1，＝3.∴x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋6＝4.26.已知函数f（x）＝，g（x）＝f（）.（1）在图中的坐标系中补全函数f（x）在其定义域内的图象，并说明你的作图依据；（2）求证：f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.【答案】（1）∵f（x）＝，∴f（x）的定义域为R.又对任意x∈R，都有f（－x）＝＝＝f（x），∴f（x）为偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称，其图象如图.（2）∵g（x）＝f（）＝＝（x≠0），∴f（x）＋g（x）＝＋＝＝1，即f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.27.已知函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m].（1）求m，n的值；（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值.【答案】（1）∵函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，∴函数的定义域关于原点对称，又∵函数f（x）的定义域为[m－1,2m].∴m－1＋2m＝0，解得m＝，又由f（－x）＝mx2－nx＋3m＋n＝f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n，可得n＝0.（2）由（1）得函数的解析式为f（x）＝x2＋1，定义域为[－，].其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，当x＝±时，f（x）取最大值.28.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－ax－＋c＝－ax－－c，∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.又∵f（1）＝，f（2）＝，∴∴a＝2，b＝.综上，a＝2，b＝，c＝0.（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.函数f（x）在区间上为减函数.证明如下：任取0<x1<x2<，则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－＝（x1－x2）＝（x1－x2）∵0<x1<x2<，∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.∴f（x）在上为减函数.29.已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数.【答案】（1）当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1.∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f（x）的最小值为1，当x＝－5时，f（x）的最大值为37.（2）函数f（x）＝（x＋a）2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a.∵f（x）在[－5,5]上是单调的，∴－a≤－5或－a≥5.即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5.30.已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－x2，求y＝f（x）的解析式. 【答案】设x<0，则－x>0，因为f（x）是奇函数，所以当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝－[2（－x）－（－x）2]＝2x＋x2.因为y＝f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.所以f（x）＝。
函数的奇偶性与周期性的应用
函数的奇偶性与周期性的应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的奇偶性和周期性的情况。
本文将讨论函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是指具有特定对称性质的函数。
1. 奇函数奇函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = -f(x)。
奇函数具有关于原点对称的性质，即图像关于原点对称。
例如，常见的奇函数有正弦函数 sin(x) 和三角函数 tan(x)。
在实际问题中，奇函数的应用很广泛。
比如，当我们研究对称材料的性质时，可以使用奇函数来描述。
此外，奇函数在信号处理和电路设计中也有很多应用，可以用于滤波和调制等方面。
2. 偶函数偶函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = f(x)。
偶函数具有关于 y 轴对称的性质，即图像关于 y 轴对称。
例如，常见的偶函数有余弦函数 cos(x) 和绝对值函数 |x|。
在实际问题中，偶函数也有许多应用。
比如，在对称图形的研究中，可以使用偶函数来描述图形的特性。
此外，偶函数在信号处理和图像处理中也有广泛应用，可以用于图像增强和去噪等方面。
二、函数的周期性周期函数是指在一定区间内具有重复性质的函数。
1. 周期函数的定义周期函数是指满足以下条件的函数：存在一个正数 T，对任意实数x，有 f(x+T) = f(x)。
周期函数的图像在一定区间内重复出现，具有明显的周期性。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
2. 周期函数的应用周期函数在实际问题中的应用非常广泛。
比如，当我们研究震动问题时，可以使用周期函数来描述物体的运动轨迹。
此外，在电路设计和信号处理中，周期函数也有很多应用，例如音乐信号的合成和调节。
总结：函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中起着重要作用。
通过研究函数的奇偶性，我们可以揭示问题中的对称性质，从而更好地理解问题。
而函数的周期性则描述了重复出现的模式，使我们能够分析问题的重复特征。
函数奇偶性的应用(第二课时) 教案
第三章函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质3.2.2 奇偶性【素养目标】1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题． 【重点】利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值． 【难点】运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题．第二课时函数奇偶性的应用要点整合夯基础 基础知识知识点一函数奇偶性的性质1．奇、偶函数代数特征的灵活变通 由f (－x )＝－f (x )，可得f (－x )＋f (x )＝_0_或()()f x f x -=__-1_(f (x )≠0)；由f (－x )＝f (x )，可得f (－x )－f (x )＝__0__或()()f x f x -=__1__(f (x )≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．2．函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有_____(0)0f =____，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)如果函数f (x )是偶函数，那么__()(||)f x f x =___. 思考1：什么函数既是奇函数又是偶函数？提示：设f (x )既是奇函数又是偶函数，则f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，故－f (x )＝f (x )，所以f (x )＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f (x )＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．思考2：利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点二函数奇偶性与单调性的联系由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性___相同____，而偶函数的图象关于y 轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性_____相反____，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用思考3：设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是_____()(3)(2)f f f π->>-_____. 解析：∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f (π)>f (3)>f (2)，即f (－π)>f (3)>f (－2).典例讲练破题型 题型探究类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式【例1】(1)已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋3(其中a 、b 为常数)，若f (3)＝2015，则f (－3)＝___2009-_____.(2)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，求f (x )的解析式．【解析】(1)法1：设g (x )＝f (x )－3，则g (x )＝ax 3－bx ，显然g (x )为R 上的奇函数． 又g (3)＝f (3)－3＝2015－3＝2012， 所以g (－3)＝－g (3)，即f (－3)－3＝－2012，解得f (－3)＝－2009.法2：f (x )＋f (－x )＝6，f (－3)＝6－f (3)＝6－2015＝－2009. (2)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )3－x ＋1＝－x 3－x ＋1. 又∵f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )． ∴－f (x )＝－x 3－x ＋1，即f (x )＝x 3＋x －1. ∴x <0时，f (x )＝x 3＋x －1.又f (x )是奇函数，且在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.∴331,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧++>⎪==⎨⎪+-<⎩【通法提炼】(1)利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x 在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据f (x )与f (－x )的关系求f (x ).(2)本题中是求x ∈R 时的函数解析式，不要忘记x ＝0的特殊情况.【变式训练1】(1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( B ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1(2)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则x <0时，f (x )＝_2x x -_____. 【解析】(1)∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2.① f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4.② 由①＋②得g (1)＝3，故选B. (2)设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x .又∵f (x )是定义域为R 的偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝x 2－x ，∴当x <0时，f (x )＝x 2－x .类型二函数的奇偶性与单调性的综合应用命题视角1：比较大小【例2】若f (x )是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则3()2f -与25(2)2f a a ++的大小关系是( C )A ．235()(2)22f f a a ->++B ．235()(2)22f f a a -<++C ．235()(2)22f f a a -≥++D ．235()(2)22f f a a -≤++【解析】因为a 2＋2a ＋52＝(a ＋1)2＋32≥32，又f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以2335()()(2)222f f f a a -=≥++.【通法提炼】奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大.对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图象的对称性将两个值化归到同一个单调区间内，然后再根据单调性判断. 【变式训练2】已知定义域为R 的函数f (x )在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数，则( D )A ．f (6)>f (7)B ．f (6)>f (9)C ．f (7)>f (9)D ．f (7)>f (10) 【解析】由题易知y ＝f (x ＋8)为偶函数，则f (－x ＋8)＝f (x ＋8)，则f (x )的图象的对称轴为x ＝8.不妨画出符合已知条件的一个函数的大致图象(如图)，则有f (6)<f (7)，f (6)＝f (10)<f (9)，f (7)＝f (9)>f (10)．故选D.命题视角2：解不等式【例3】设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．【分析】由于f (x )是奇函数，可得f (x )在[－2,0]上递减，借助函数的奇偶性及其单调区间，可将抽象不等式f (1－m )<f (m )转化为具体的不等式组求解．【解析】因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，所以f (x )在[－2,2]上是减函数．所以不等式f (1－m )<f (m )等价于122212m mm m ->⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤-≤⎩解得112m -≤<.所以实数m 的取值范围是1[1,)2-.【通法提炼】解抽象不等式时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.【变式训练3】已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<1()3f 的x 的取值范围是( A )A.12(,)33B.12[,)33C.12(,)23D.12[,)23【解析】因为f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以结合图象(如图)由f (2x －1)<1()3f得－13<2x －1<13.解得1233x <<.命题视角3：奇偶性与单调性的综合应用【例4】函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且满足对于定义域内任意的x 1，x 2都有等式f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)成立． (1)求f (1)的值．(2)判断f (x )的奇偶性并证明．(3)若f (4)＝1，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，解关于x 的不等式f (3x ＋1)＋f (－6)≤3. 【解析】(1)令x 1＝x 2＝1得，f (1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明如下： 令x 1＝x 2＝－1，则f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f (－x )＝f (x )，又定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，∴f (x )为偶函数． (3)∵f (4)＝1，又f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴f (4)＋f (4)＝f (4×4)＝f (16)， ∴f (16)＋f (4)＝f (16×4)＝f (64)，∴f (64)＝f (4)＋f (4)＋f (4)，∴f (64)＝3.∴f (3x ＋1)＋f (－6)≤3等价于f (－6(3x ＋1))≤3，∴f (|－6(3x ＋1)|)≤f (64)，∴310|6(31)|64x x +≠⎧⎨-+≤⎩解得x ∈351129[,)(,]9339---.【通法提炼】对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段.具体的解题策略是：首先通过赋值得到f (1)，f (0)，f (－1)之类的特殊自变量的函数值，然后通过赋值构造f (x )与f (－x )或f (x 2)与f (x 1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断. 【变式训练4】已知定义在(－1,1)上的奇函数2()1ax b f x x +=+是增函数，且12()25f =. (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (t －1)＋f (2t )<0.【解析】(1)因为2()1ax bf x x +=+是定义在(－1，1)上的奇函数，则f (0)＝0，得b ＝0. 又因为12()25f =，则2122115()12aa =⇒=+.所以2()1xf x x =+.(2)因为定义在(－1,1)上的奇函数f (x )是增函数， 由f (t －1)＋f (2t )<0，得f (t －1)<－f (2t )＝f (－2t )．所以有02 11111 12122 1213ttt tt tt⎧⎪<<-<-<⎧⎪⎪⎪-<-<⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<-⎩⎪<⎪⎩解得0<t<1 3 .故不等式f(t－1)＋f(2t)<0的解集为{t|0<t<13 }．课堂达标练经典1．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝f()，b＝f(2π)，c＝f(32)的大小关系是( C )A．b<a<c B．b<c<a C．a<c<b D．c<a<b【解析】f(x)为偶函数，则a＝f()＝f)．322π<<，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴3()()22f f fπ<<，即a<c<b.2．已知函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x)＝3x－1，则x>0时，f(x)＝( C )A．3x－1 B．3x＋1C．－3x－1 D．－3x＋1【解析】设x>0，则－x<0.∴f(－x)＝－3x－1.又∵f(x)是偶函数，∴x>0时，f(x)＝f(－x)＝－3x－1.3．若f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且f(4)>f(1)，则下列各式一定成立的是( D )A．f(0)<f(6) B．f(4)>f(3)C．f(2)>f(0) D．f(－1)<f(4)【解析】∵f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)．又f(4)>f(1)，∴f(4)>f(－1)．4．已知函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是减函数，若f(a－1)＋f(1)>0，则实数a的取值范围是___(,0)-∞__________．【解析】∵f(a－1)＋f(1)>0，∴f(a－1)>－f(1)．∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴f(a－1)>f(－1)．又f(x)在R上是减函数，∴a－1<－1，即a<0.5．已知奇函数f(x)在R上是减函数，且f(3a－10)＋f(4－2a)<0，求a的取值范围．【解析】∵f(3a－10)＋f(4－2a)<0，∴f(3a－10)<－f(4－2a)，∵f(x)为奇函数，∴－f(4－2a)＝f(2a－4)，∴f(3a－10)<f(2a－4)．又f(x)在R上是减函数，∴3a－10>2a－4，∴a>6.故a的取值范围为(6，＋∞)．课时作业 A 组素养自测一、选择题1．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)等于( A )A ．－2B ．0C ．1D ．2【解析】因为x >0时，f (x )＝x 2＋1x，所以f (1)＝1＋1＝2.又f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝－2.故选A ．2．已知f (x )＝ax 7－bx 5＋cx 3＋2，且f (－5)＝m ，则f (5)＋f (－5)的值为( A ) A ．4 B ．0 C ．2m D ．－m ＋4【解析】由f (－5)＝a (－5)7－b (－5)5＋c (－5)3＋2＝－a ·57＋b ·55－c ·53＋2＝m ，得a ·57－b ·55＋c ·53＝2－m ，则f (5)＝a ·57－b ·55＋c ·53＋2＝2－m ＋2＝4－m . 所以f (5)＋f (－5)＝4－m ＋m ＝4.故选A ．3．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )等于( A ) A ．x ＋x 4 B ．－x －x 4 C ．－x ＋x 4 D ．x －x 4 【解析】当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)． 则f (－x )＝－x －(－x )4＝－x －x 4. 又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，x ∈(0，＋∞)．从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f (x )＝x ＋x 4.故选A ． 4．偶函数y ＝f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则有( A )A ．f (－π)>f ⎝⎛⎭⎫π3>f (－1)B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (－1)>f (－π)C ．f (－π)>f (－1)>f ⎝⎛⎭⎫π3D ．f (－1)>f (－π)>f ⎝⎛⎭⎫π3【解析】由题意，得f (－π)＝f (π)，f (－1)＝f (1)．又函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且1<π3<π，所以f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3<f (π)，即f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫π3<f (－π)．故选A ． 5．定义在R 上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f (7)＝6，则f (x )( B ) A ．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6 B ．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6 C ．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6 D ．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6【解析】由f (x )是偶函数，得f (x )的图象关于y 轴对称，其图象可以用如图简单地表示，则f (x )在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.故选B ．6．若偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式()()0f x f x x+->的解集为( B )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)【解析】∵f (x )为偶函数，∴()()2()0f x f x f x x x +-=>，∴xf (x )>0，∴0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．故选B ．二、填空题7．设函数y ＝f (x )是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为f (x )＝x ＋2.【解析】由题意知f (x )在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f (x )＝kx ＋b ，代入解得k ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x ＋2.8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋mx ＋1，若f (2)＝3f (－1)，则m ＝－115. 【解析】∵x >0时，f (x )＝x 2＋mx ＋1， ∴f (2)＝5＋2m ，f (1)＝2＋m ， 又f (－1)＝－f (1)＝－2－m ，由f (2)＝3f (－1)知，5＋2m ＝－6－3m ，∴m ＝－115.9．已知函数f (x )是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数．当x >0时，f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的值域是[－3，－2)∪(2,3]．【解析】∵函数f (x )为奇函数，在(0,2]上的值域为(2,3]，∴f (x )在[－2,0)上的值域为[－3，－2)．故f (x )的值域为[－3，－2)∪(2,3]． 三、解答题10．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f (x )＝2x－1.(1)求f (－1)的值；(2)求当x <0时函数的解析式；(3)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 【解析】(1)因为f (x )是偶函数， 所以f (－1)＝f (1)＝2－1＝1.(2)当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝2－x－1.又因为f (x )为偶函数，所以当x <0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－1＝－2x －1.(3)证明：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1－⎝⎛⎭⎫2x 1－1＝2x 2－2x 1＝2x 1－x 2x 1x 2. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0. 所以f (x 2)－f (x 1)<0. 所以f (x 1)>f (x 2)．因此f (x )＝2x－1在(0，＋∞)上是减函数．11．已知函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是偶函数；(2)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(3)试比较f ⎝⎛⎭⎫－52与f ⎝⎛⎭⎫74的大小． 【解析】(1)证明：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵令x 1＝x 2＝1，得f (1×1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝f ((－1)×(－1))＝f (－1)＋f (－1)， ∴2f (－1)＝0，∴f (－1)＝0. ∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )． ∴f (x )是偶函数．(2)证明：设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 1·x 2x 1－f (x 1) ＝f (x 1)＋f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1. ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝⎛⎭⎫x 2x 1>0， 即f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)由(1)知f (x )是偶函数，则有f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫52， 由(2)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则f ⎝⎛⎭⎫52>f ⎝⎛⎭⎫74.∴f ⎝⎛⎭⎫－52>f ⎝⎛⎭⎫74.B 组素养提升12．若函数y ＝f (x )是偶函数，定义域为R ，且该函数图象与x 轴的交点有3个，则下列说法正确的是( A )①3个交点的横坐标之和为0；②3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关；③f (0)＝0；④f (0)的值与函数解析式有关．A ．①③B ．①④C ．②④D ．②③【解析】由于偶函数图象关于y 轴对称，若(x 0,0)是函数与x 轴的交点，则(－x 0,0)一定也是函数与x 轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而①③正确． 13．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)等于( B ) A ．0.5 B ．－0.5 C ．1.5 D ．－1.5【解析】由已知，可得f (7.5)＝f (5.5＋2)＝－f (5.5)＝－f (2＋3.5)＝－[－f (3.5)]＝f (3.5)＝f (2＋1.5)＝－f (1.5)＝－f (2－0.5)＝－[－f (－0.5)]＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5. 14．奇函数f (x )满足：①f (x )在(0，＋∞)内单调递增；②f (1)＝0.则不等式x ·f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【解析】∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数，f (1)＝0. ∴f (x )在(－∞，0)上是增函数，f (－1)＝0. 当x >0时，f (x )>0 即f (x )>f (1)，∴x >1， 当x <0时，f (x )<0， 即f (x )<f (－1)，∴x <－1. ∴x ·f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．15．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)写出函数f (x )，x ∈R 的增区间； (2)求函数f (x )，x ∈R 的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2，x ∈[1,2]，求函数g (x )的最小值． 【解析】(1)f (x )的增区间为(－1,0)，(1，＋∞)． (2)设x >0，则－x <0，∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x . ∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x x ≤0，x 2－2x x >0.(3)由(2)知g (x )＝x 2－(2＋2a )x ＋2，x ∈[1,2]，其图象的对称轴为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ；当1<a ＋1<2，即0<a <1时，g (x )min ＝g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1； 当a ＋1≥2，即a ≥1时，g (x )min ＝g (2)＝2－4A ．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ≤0，－a 2－2a ＋10<a <1，2－4a a ≥1.课堂小结本课堂需掌握的三个问题：1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．。
函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明.一、求函数的解析式例1 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，求f (x )的解析式.分析 要求f (x )在R 上的解析式，条件已给出f (x )在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x ≤0时f (x )对应的解析式.解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3x ). 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x (1－3x )，x ∈(－∞，0).在f (－x )＝－f (x )中，令x ＝0，得f (0)＝0. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (1＋3x )，x ＞0，0，x ＝0，x (1－3x )，x ＜0.评注 利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式.二、求参数的值例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a＜0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.分析根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x＜0的解析式.解析令x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝－x(1－x).又f(x)为奇函数，所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x).令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.解得a＝－1，或a＝2(舍去).答案－1评注解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键.三、求参数的范围例3 定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.解因为f(x)是偶函数，所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|).又f(1－m)＜f(m)，所以f(|1－m|)＜f(|m|).由f(x)在区间[0,2)上是减函数，得0≤|m|＜|1－m|＜2.解得－1＜m＜12.故实数m的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 评注 本题利用了偶函数的性质：若函数f (x )是偶函数，则恒有f (x )＝f (|x |)，从而达到简捷求解的目的.。
函数的单调性和奇偶性的综合应用
精品资料欢迎下载函数的单调性和奇偶性的综合应用知识要点：对称有点对称和轴对称：O点对称：对称中心O轴对称：数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性：应用：若y f ( x) 是增函数， f ( x1 )应用：若y f ( x) 是减函数， f ( x1 )f (x2 )x1x2 f (x2 )x1x2相关练习：若 y f (x) 是R上的减函数，则 f (1) f ( a2 2 a 2 )2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b 、y k、 y ax2bx cb在 (x相关练习：若 f ( x) ax ，g ( x),0) 上都是减函数，则 f (x)ax 2bx 在 (0,) 上是函x数（增、减）3、函数的奇偶性：定义域关于原点对称， f (x) f (x) f (x) 是偶函数定义域关于原点对称， f (x) f ( x) f ( x) 是奇函数（当然，对于一般的函数，都没有恰好f ( x) f ( x) ，所以大部分函数都不具有奇偶性）相关练习：（ 1）已知函数f ( x)ax2bx4a1是定义在 [a 1,2a] 上的奇函数，且 f (1) 5 ，求 a 、bb(2) 若f ( x)(K2) x2( K1)x 3 是偶函数，则 f ( x) 的递减区间是。
(3) 若函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，则 f (0)。
(4)函数 y f (x) 的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像奇函数偶函数奇函数奇函数y y y yo x o x o x o x精品资料欢迎下载例题分析：4、单调性和奇偶性的综合应用【类型 1转换区间】相关练习：（ 1）根据函数的图像说明，若偶函数y f ( x) 在 (,0) 上是减函数，则 f ( x) 在 (0,) 上是函数（增、减）(2)已知 f ( x) 为奇函数，当x0时， f ( x)(1x) x ，则当x0 时， f (x)=(3)R 上的偶函数在(0,) 上是减函数， f (3) f ( a2a 1 )4(4) 设f (x)为定义在（(,) 上的偶函数，且 f (x) 在 [0,) 为增函数，则 f (2) 、 f () 、f (3) 的大小顺序是（）A. f () f (3) f (2)B. f () f (2) f (3)C. f () f (3) f (2)D. f () f (2) f (3)(5)如果奇函数 f (x) 在区间 [3,7] 上的最小值是5，那么 f ( x) 在区间 [ 7, 3]上 ()A.最小值是 5B. 最小值是－５C. 最大值是－５D. 最大值是 5(6)如果偶函数 f (x) 在 [3,7] 上是增函数，且最小值是－５那么 f (x) 在 [ 7,3]上是( )A.增函数且最小值为－５B. 增函数且最大值为－５C.减函数且最小值为－５D. 减函数且最大值为－５(7)已知函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且在(, 0)上 f (x) 是单调增函数，那么当x10 ， x20 且x1x20 时，有（）A. f (x1) f ( x2 )B. f ( x1 ) f (x2 )C. f ( x1) f ( x2 )D. 不确定(8)如果 f ( x) 是奇函数，而且在开区间( ,0) 上是增函数，又 f (2)0 ，那么 x f ( x) 0的解是（）A. 2 x 0 或 0 x2B. 2 x 0 或 x 2C. x 2 或 0 x 2D. x 3 或 x 3(9)已知函数f ( x)为偶函数，xR ，当 x0 时，f ( x)单调递增，对于x1，x2，有| x1|| x2|，则（）A. f ( x1)f ( x2)B.f ( x1) f ( x2)C.f ( x1)f ( x2 ) D. | f ( x1 ) | | f ( x2 ) |精品资料 欢迎下载5、单调性和奇偶性的综合应用【类型 2利用单调性解不等式】(1 相关练习： (1)已知y f ( x)是( 3,3)上的减函数，解不等式f (x 3) f (2 x)1 ,)2(0, 2 (2) 定义在( 1,1)上的奇函数f ( x)是减函数，且满足条件 f (1 a) f (1 2a) 0)，求 a的取值范围。
浅析函数的奇偶性在解题中的应用论文
浅析函数的奇偶性在解题中的应用论文浅析函数的奇偶性在解题中的应用论文函数的奇偶性在数学中有着广泛的应用，一些较难，而又特殊类型的数学题求解，不但能达到另辟途径，巧解妙证的目的，而且也能培育同学制造思维力气。
下面就笔者的一些实践体会,举例加以说明。
一、利用奇偶性求函数的解析式例1已知x∈(-1,1),且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,若f(x)+g(x)=2lg(1+x),求f(x)与g(x)的解析式.解:由f(x)+g(x)=2lg(1+x),得f(x)=2lg(1+x)-g(x)(1)∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x)。
故f(-x)=2lg(1-x)-g(-x),即f(x)=2lg(1-x)+g(x)(2)由(1)+(2)得2f(x)=2lg(1+x)+2lg(1-x),∴f(x)=lg(1-x2).同理可求g(x)=lg（1+x）／（1-x）二、利用奇偶性求函数值例2已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，那么f(2)等于()(1990年全国高考题)解:设g(x)x5+ax3+bx，则f(x)=g(x)-8，g(x)=f(x)+8.∴g(-2)=f(-2)+8=18。
又g(x)为奇函数，∴g(-2)=-g(2)，∴f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26，故选(A).例3已知关于x的方程x2-2arcsin(cosx)+a2=0有唯一解,求a的全部值.a解:考察函数f(x)=x2-2arcsin(cosx)+a2,则其定义域为R,且为偶函数.由题设知f(x)=0有唯一解,而由于偶函数的图像关于y轴对称,故此解必为0.∴f(0)=-2arcsin1+a2=0,即a=π或a=-π。
这里我们挖掘f(x)隐含条件，构造奇函数g(x)，从整体着手，利用奇函数的.性质解决问题.三、利用奇偶性求函数的周期例4设f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)=-g(x+c)(c0),则f(x)是以（）为周期的函数.解：∵f(x)=f(-x)=-g(-x+c)=g(x-c)=-f(x-2c),∴f(x+4c)=-f(x+4c-2c)=-f(x+2c)=f(x+2c-2c)=f(x),∴f(x)是以4c为周期的周期函数.四、利用奇偶性求函数的值域例5已知x,y∈R,且f(x+y)=f(x)+f(y)当x0时,f(x)0,f(1)=2,求f(x)在[-5,5]上的值域.解:令y=x=0,则有f(0)=0,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0.∴f(x)为奇函数,f(5)=f(4+1)=f(4)+f(1)=f(3+1)+f(1)=5f(1)=10,f(-5)=-f(5)=-10, 故f(x)在[-5,5]上的值域为[-10,10]。
函数的奇偶性知识点及经典例题
函数的奇偶性知识点及经典例题3）()0f x = 4）()⎩⎨⎧≤+>+-=)0()0(22x x x x x x x f5）()2212-+-=x x x f(6) 已知函数)(x f 满足：),)(()(2)()(R y x y f x f y x f y x f ∈=-++，且0)0(≠f ，则函数)(x f 的奇偶性为 。
（二）、关于函数奇偶性的运用1．利用奇偶性求函数式或函数值1．设函数)(x f 为定义域为R 上奇函数，又当0>x 时2()23f x x x =--，试求)(x f 的解析式。
2.已知()y f x =是奇函数，当0x >时，()221f x x x =-+，求当0x <时，()f x 得解析式。
3.设函数()f x 是定义域R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x <≤时，()f x x =，求(7.5)f 的值4.设()f x 在R 上是偶函数，在区间(,0)-∞上递增，且有22(21)(321)f a a f a a ++<-+，求a 的取值范围。
5.已知函数53()4f x ax bx =++，若(2)0f -=，求(2)f 的值。
6．若函数()f x 是偶函数，则=--+)211()21(f f 。
7.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()11f xg x x +=-，试求()()f x g x 与的表达式。
2．逆用函数奇偶性求参数的值1．若函数43()(2)(22)f x x m n x m n x mn =+-++-+为偶函数，求实数,m n 的值。
2．若函数()ln(f x x =是R 上的奇函数，则实数k =_____________3.已知函数()121x f x a =-+，若()f x 为奇函数，求实数a 的取值。
3．奇偶函数的图象关系及其运用1．若奇函数)(x f 在区间]7,3[上是增函数且最小值为5，则)(x f 在区间[7,3]--上是( )A ．增函数且最小值为5-；B ．增函数且最大值为5-；C ．减函数且最小值为5-；D ．减函数且最大值为5-2．已知函数)(x f 在)2,0(上是增函数，又函数)2(+x f 是偶函数，则（ ）A ．57(1)()()22f f f <<；B ．75()(1)()22f f f <<；C ．75()()(1)22f f f <<；D ．57()(1)()22f f f <<3．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0)-∞上是增函数，已知12120,0,()()x x f x f x ><<，那么一定有( )A ．120x x +<；B ．120x x +>；C ．12()()f x f x ->-；D ．12()()0f x f x --<4.定义在区间),(+∞-∞的奇函数)(x f 为增函数；偶函数)(x g 在区间),0[+∞上的图象与)(x f 的图象重合，设0>>b a ，给出下列不等式： ①)()()()(b g a g a f b f -->--; ②)()()()(b g a g a f b f --<--; ③)()()()(a g b g b f a f -->--; ④)()()()(a g b g b f a f --<--。
函数的奇偶性及其应用
函数奇偶性及其应用1. 函数奇偶性的概念定义1：设函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上有定义，如果（1）对于)(x )(,f x f I x =-∈∀都有,则称)(x f 是偶函数；（2）对于)(x )(,f x f I x -=-∈∀都有,则称)(x f 是奇函数。
主要结论：（1）函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上有定义，则)(-x )(f x f +是偶函数；)(-x )(f x f -是奇函数。
（2）函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上有定义，则)(x f 可以表示成一个偶函数和一个奇函数的和。
这是因为：2)()(2)()()(x f x f x f x f x f --+-+== （3）偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称。
（4）偶函数+偶函数=偶函数； 奇函数+奇函数=奇函数奇函数⨯偶函数=奇函数；定义2：设函数),(y x f 在关于y 轴区间D 上有定义，如果（1）对于)y (-x,),(f y x f y =∀都有,则称),(y x f 关于x 是偶函数；（2）对于)y (-x,),(f y x f y -=∀都有,则称),(y x f 关于x 是奇函数；2. 偶函数奇偶性与导数定理1：设函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上有导数，则（1）如果)(x f 是偶函数,则)(x f '是奇函数；（2）如果)(x f 是奇函数,则)(x f '是偶函数；证明:仅证明(1) )(x f 是偶函数, 对于)(x )(,f x f I x =-∈∀都有,在I 任取0x .xx f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆-=∆--∆+-=-'→∆→∆)()(lim )()(lim )(0000000 )()()(lim 0000x f x x f x x f x '=∆--∆--=→∆ 得证.3. 函数奇偶性与变动上限的积分形式的原函数定理2：设函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上有连续，则（1）如果)(x f 是偶函数,则⎰xdt t f 0)(是奇函数； （2）如果)(x f 是奇函数,则⎰xdt t f 0)(是偶函数； 证明:仅证明(1) )(x f 是偶函数, 对于)(x )(,f x f I x =-∈∀都有,记⎰=xdt t f x F 0)()( 令s=-t⎰⎰⎰⎰----=-=--=--==x x x x x F s d s f s d s f s d s f dt t f x F 0000)()()()()()()()()( 得证.4. 函数奇偶性与不定积分定理3：设函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上连续，如果)(x f 是奇函数，则⎰dx x f )(是偶函数。
函数的奇偶性及其应用
函数的奇偶性及其应用函数是数学中常见的概念，它描述了一种映射关系，即根据给定的输入值，得到相应的输出值。
函数的奇偶性是指函数图像在坐标系中的对称性质。
了解函数的奇偶性对于解题和分析函数性质具有重要的意义。
本文将就函数的奇偶性及其应用进行讨论。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性即函数关于原点(0,0)的对称性质。
若函数满足$f(-x) =f(x)$，则称该函数为偶函数；若函数满足$f(-x) = -f(x)$，则称该函数为奇函数。
也就是说，对于偶函数来说，函数关于Y轴对称；对于奇函数来说，函数关于原点对称。
二、奇偶函数的性质1. 偶函数和奇函数的性质(1) 任意两个偶函数相加是偶函数，任意两个奇函数相加是奇函数。
(2) 偶函数乘以偶函数是偶函数，奇函数乘以奇函数是偶函数。
(3) 偶函数乘以奇函数是奇函数，奇函数乘以偶函数是奇函数。
(4) 偶数次幂的多项式函数是偶函数，奇数次幂的多项式函数是奇函数。
(5) 偶函数关于Y轴对称，奇函数关于原点对称。
2. 函数的奇偶性与代数运算的关系(1) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)+c$也是偶函数，其中$c$是常数。
(2) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)+c$也是奇函数，其中$c$是常数。
(3) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)\cdot c$仍是偶函数，其中$c$是常数。
(4) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)\cdot c$仍是奇函数，其中$c$是常数。
三、奇偶函数的应用1. 函数图像的性质分析通过函数的奇偶性，可以推导出函数图像关于Y轴或关于原点的对称性。
利用对称性可以简化函数图像的绘制和分析。
2. 奇偶函数在积分计算中的应用(1) 对于奇函数，其在关于原点对称的区间上的定积分为0，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。
(2) 对于偶函数，其在关于Y轴对称的区间上的定积分可以通过积分区间的对称性进行简化，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。
3.2.2 函数奇偶性的应用(第2课时)
为 R 上的偶函数，
故 f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)．
题型讲解
(2)∵f(x)＋g(x)＝x－1 1 ①， 以－x 代替 x，得 f(－x)＋g(－x)＝－x1－1. 又 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， ∴f(x)－g(x)＝－x＋1 1 ②. ①＋②，得 2f(x)＝x－1 1－x＋1 1＝x2－2 1， ∴f(x)＝x2－1 1.
题型讲解
利用奇偶性求函数解析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设； (2)转化到已知区间上，代入已知的解析式； (3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(－x)或 f(－x)，从而解出 f(x).
题型讲解
[跟踪训练 1] (1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x<0 时，f(x)＝x(x
几何 特征
偶函数的图象关于y轴对称，即如果点(x,y) 奇函数的图象关于原点对称,即如果点
在函数的图象上，那么点(-x, y)也在函数 (x,y)在函数的图象上,那么点(-x, -y)也在
的图像上.
函数的图像上.
变形 f(-x) f(x) f(x)- f(-x)0
f(-x)- f(x) f(-x) f(x)0
A．－10
B．－2
C．10
D．2
解析 由 f(－1)＝－a－b－4＝2，得 a＋b＝－6，则 f(1)＝a＋b－4＝－6－4＝－
10.
题型讲解
2．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝x2＋mx＋1，f(2)＝3f(－1)， 则 m＝__－__15_1___.
解析 f(x)为奇函数，则 f(－x)＝－f(x)，由 f(2)＝3f(－1)＝－3f(1)，得 22＋2m＋1 ＝－3(1＋m＋1)，解得 m＝－151.
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b,a 上是 增（减）函数 ；
（2）偶函数 y f ( x) 在区间 a, b (a b) 上是增（减）函数，则函数 y f ( x) 在区间
b,a 上是 减（增）函数 ．
●想一想： 能否用更简炼的语言概括出以上结论？从上可归纳出函数的单调性与奇偶性 的联系与区别？ （链接 2）
祝你天天快乐！
快乐花样乒乓球
【学习目标】
1.会利用奇（偶）函数的图象特征、代数特征研究函数的解析式、函数值和单调性； 2.进一步体会数形结合、化归与转化、类比等数学思想．
重点：
利用函数的奇偶性研究函数的解析式、函数值和单调性．
难点提示：
函数奇偶性的综合运用.
1.请同学们课前将学案与教材 P3336 结合进行自主学习 （对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、 说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读） 、 小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习 做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“九字学习法”即： “读” 、 “挖” 、 “举” 、 “联” 、 “用” 、 “悟” 、 “总” 、 “研” 、 “会” ，请在课堂上敢于提问、 敢于质疑、敢于讲解与表达.
一、学习准备 1.知识梳理：为了进一步研究函数奇偶性的应用，请思考以下问题．
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、
（1）函数奇偶性的种类有
既不是奇函数也不是偶函数
；
（2）奇函数Βιβλιοθήκη 象特征是关于原点对称，代数特征是
f ( x) ； f ( x)
f ( x) f ( x)
． ．
（3）偶函数图象特征是
，代数特征是 关于Y轴对称
（4）奇（偶）函数的定义域特点是
关于原点对称
2.方法梳理： （1）函数奇偶性的判断方法有
、入手点 图像法、定义法
；
（2） 函数奇偶性的价值在：
（链接 1） .
1. 观察思考 已知奇函数 y f ( x) 在区间 a, b (a b) 上是增函数，请画出其示意图． （1） 根据奇函数的图象特征， 你能判断出函数 y f ( x) 在区间 b, a 上的单调性吗？ （2）你能用单调性的定义对你的判断给出严格的证明吗？ （3）你能总结出“奇函数与单调性的关系”的一般结论吗？ （4）若函数 y f ( x) 是偶函数呢？你能给出类似于奇函数与单调性的关系的结论吗？ ２.归纳概括 通过对以上问题的探究，请填空． （1）奇函数 y f ( x) 在区间 a, b (a b) 上是增（减）函数，则函数 y f ( x) 在区间
f (0) f (1) f (2) 为__________________________ ．
解后反思 你能归纳出比较函数值大小的方法与步骤吗？解有关奇偶性问题的关键
点、入手点在哪里？
你讲的太好了
例 1. 例１、 已知定义在 R 上的偶函数 y＝（ f x） ， 当 x [0,) 时，f ( x) x2 x 1 ， 求 f ( x) 的解析式，并分析 f ( x) 在 R 上的单调性？ 思路启迪： 注意分析该题是求什么？想法将 x [0,) 时， f ( x) x2 x 1 与 偶函数联系起来；回顾分析函数单调性有哪些方法，灵活选择．
1 1 1 1 作出f ( x)的图像可知：增区间为[- , 0]及[ , ); 减区间为（-,- )及（0，） 2 2 2 2
●解后反思 你能归纳出利用函数奇偶性求函数解析式的步骤吗？该题本质求什么？
关键是怎样运用函数的偶函数性？讨论单调性有哪些方法？
●变式练习 已知定义在 R 上的奇函数 y＝f（x） ，当 x (0,) 时，
解：当x (, 0)上时，-x (0,+),f(-x)=(-x)2 x 1 x 2 x 1 又f ( x)为偶函数，f ( x) f ( x) f ( x) x 2 x 1
2 x x 1; x [0. ) 故f ( x) 2 ; x x 1; x (, 0)
例 2.设奇函数 f ( x ) 在 (0， ) 上为增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 的解集为（ A． (1 ， 0) ）
f ( x) f ( x) 0 x
(1， ) ；B. (， 1) (0， 1) C. (， 1) (1， ) ；D. (1， 0) (0， 1) .
f (3) f (1) ，则下列不等式一定成立的是（ D ）
A ． f (1) f (3) ； B ． f (2) f (3) ； C ． f (3) f (5) ；D ． f (0) f (1) . （3 ） 定义在 R 上的偶函数 y f ( x) 在 ,0 上是增函数,则 f (2), f (0), f (1) 的大小关系
f ( x) x2 x 1 ，求 f ( x) 的解析式，并分析 f ( x) 在 R 上的单调性？
解：当x (, 0)时，-x (0,+), f ( x) ( x) 2 ( x) 1 x 2 x 1 又f ( x) f ( x), f ( x) x 2 x 1 f ( x) x 2 x 1 x 2 x 1( x 0) f ( x) 0( x 0) x 2 x 1( x 0)
3. 快乐体验
（ 1 ）若奇函数 f ( x)在3,7 上是增函数 , 且有最小值 5 , 那么 f ( x) 在 ) Ｂ．增函数且最大值 5 ； Ｄ．减函数且最大值 5 .
7, 3 上有( B
Ａ．增函数且最小值 5 ； Ｃ．减函数且最小值 5 ；
（ 2 ） 已 知 函 数 f ( x) 在 [5,5] 上 是 偶 函 数 ， f ( x) 在 [0,5] 上 是 单 调 函 数 ， 且