数形结合
三年级数形结合案例
三年级数形结合案例数形结合是指将数学知识与几何图形相结合，通过几何图形的形状、大小、位置等特征来解决数学问题。
三年级是学习数学和几何的关键阶段，以下是符合要求的一些数形结合案例：1. 小明家里有一块长方形的花坛，他想要在花坛的四周铺上一圈石子，用来美化花坛。
他测量了花坛的长和宽，发现长是5米，宽是3米。
他需要计算一下需要多少块石子才能够铺满整个花坛的四周。
2. 小红正在学习面积的概念，她拿着一个正方形的纸板，边长是4厘米。
她想要知道这个正方形的面积是多少，并用纸板上的方格来计算。
3. 小明和小红正在进行一个游戏，他们需要分别画一个正三角形和一个正方形，然后比较它们的面积。
小明画的正三角形的底边长是6厘米，高是4厘米；小红画的正方形的边长是5厘米。
他们需要计算一下谁画的图形面积更大。
4. 小明正在学习周长的概念，他拿着一个长方形的纸板，长是8厘米，宽是3厘米。
他需要计算一下这个长方形的周长是多少，并用纸板上的方格来计算。
5. 小红家里有一个圆形的花坛，她想要在花坛中间种一棵树，并围上一个圆形的栅栏，用来保护树苗。
她测量了花坛的直径，发现直径是10米。
她需要计算一下围栅栏需要多长的铁丝。
6. 小明正在学习体积的概念，他拿着一个正方体的木块，边长是4厘米。
他想要知道这个正方体的体积是多少，并通过拼装小木块的方式来计算。
7. 小红和小明正在进行一个游戏，他们需要分别画一个长方形和一个正三角形，然后比较它们的周长。
小红画的长方形的长是7厘米，宽是3厘米；小明画的正三角形的底边长是5厘米，高是4厘米。
他们需要计算一下谁画的图形周长更大。
8. 小明正在学习体积的概念，他拿着一个长方体的木块，长是6厘米，宽是3厘米，高是2厘米。
他想要知道这个长方体的体积是多少，并通过拼装小木块的方式来计算。
9. 小红正在学习面积的概念，她拿着一个长方形的纸板，长是7厘米，宽是4厘米。
她想要知道这个长方形的面积是多少，并用纸板上的方格来计算。
数形结合思想
汽车提前10分钟到达工厂，其少走的路程为；两倍的车站 到A的距离。即从车站到A汽车用时5分钟。张工程师用时 50分钟。 汽车速度是步行速度的10倍。
二、关系图 关系的图示法很多，研究对象可以用点（或方 框或圆圈）表示，对象间的关系户则用连接两者 的线段表示，线段可以添加箭头或标注。 例3 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象 棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经 赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘， 问小强已经赛了多少盘？ 乙 甲 分析： 丙 将五个人看成五个 “点”，两人比赛过， 丁 小强 就用线条连接相应的两 点。
三、树形图 例5 已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K 代表十个互不相同的大于0的数，要使下列等 式都成产，A最小是什么数？
B+C=A ； G+H=D ；
D+E=B ； E+F=C ； H+I=E ； I+K=F 。
分析：将这十个数字的 关系用树形图表示。
四、矩形图
如果一道题涉及的是两种数量以及它们的乘 积（速度、时间和路程），则可用矩形的长和 宽表示这两种量，而用矩形的面积表示它们的 积。 因此，能借助几个矩形的长、宽和面积之间 的关系进行推理或计算。
第十四章 数形结合思想
数形结合思想 就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分 析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间 形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决 数学问题的思想。 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来， 关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问 题几何化，几何问题代数化。数形结合的思想，包含“以 形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为 两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的 联系, 在小学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转 化为适当的几何图形，从图开的直观特征发现数量之间存 在的联系，以达到化难来易、化繁为简、化隐为显的目的， 使问题简捷地得以解决。通常是将数量关系转化为线段图， 这是基本的、自然的手段。如一年级认数时数轴与对应点 之间的关系.
专题复习数形结合(含答案)
专题复习三数形结合I、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离＂．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．II、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设X(件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3—3—1巳表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求Y1与Y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？Y<兀）Y1 Y2-。
2。
」600500400300200100解：(1) y1=20x,y2=10x+300. 图3-3-1(2) Y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，Y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择Yi的付费方案；否则，选择Y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的．例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售t每于克销售价（元）情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测 5情况如图3—3—2,图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析．解：(1) 2月份每千克销售价是3.5元；7对月份每千克销售价是0.5元；(3) 1月到7月的销售价逐月下降；(4) 7月到12月的销售价逐月上升；4321o I 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12月份图3-3-2(5) 2月与7月的销售差价是每千克3元；(6) 7月份销售价最低，1月份销售价最高；(7) 6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3—3—3所示的条形统计图：个单位：人2000(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全如图3—3—4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻，并说明这两福统计图各有什么特点？图3-3-3(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
我国著名数学家华罗庚曾说过：数形结合百般好
数形结合------研究三角函数的主要数学思想 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
数形结合，主要指的是数与形之间的一种对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”， 即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学必修一中建立的函数概念以及函数的研究方法。
主要的学习内容是三角函数是概念、图象和性质，以及三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图象分析。
因此，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。
1.三角函数线作为三角函数的几何表示，它给三角函数的定义有了直观的理解，加深了学生形与数的结合。
对同角三角函数关系可予以几何解释，还能帮助学生更好地理解掌握诱导公式，三角函数的定义域及三角函数的符号规律。
三角函数线在解决许多三角问题中都起到了重要的作用。
从它的应用中让学生充分体会数形结合的思想方法，从而培养“数形结合”的良好习惯。
2. 运用数形结合的思想方法，可更好的理解三角函数的图象和性质。
如三角函数的定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性，对称性等都可以从三角函数的图象上直观的显现出来，而利用三角函数的图象又非常容易理解三角函数的这些性质。
因此，明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法，拓宽思维空间，提高解决问题的能力。
3. 例题分析，下面列举几例来体会三角函数中的数形结合思想。
例1. 如果,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦那么函数f x x x ()cos sin =+2的最小值是多少？ 分析：y f x x x x x ==+=-++()cos sin sin sin 221从三角函数的角度来看，求y x x =-++sin sin 21的最小值是一个较难的问题，是一个比较陌生的问题。
数形结合知识点
数形结合知识点数形结合是指数学中数与图形的结合，通过运用数学知识解决与图形和空间有关的问题。
在数形结合中，数与图形的关系相互补充，相互依存，共同呈现出独特的数学魅力。
一、数形结合的基本概念数形结合是数学中的一个重要概念，它主要包括以下几个方面的内容：1.几何图形与数量关系：通过几何图形可以了解到其中的数量关系，例如平行线的性质、多边形的各种角度关系等。
通过数学思维和分析方法可以研究这些数量关系，从而更好地理解和应用几何图形。
2.数学模型与几何形状相结合：数学模型是指利用数学方法来模拟和解决实际问题的过程。
而几何形状则是模型的基础，通过数学建模和分析，可以将问题转化为几何形状的关系，进而获得问题的解答。
3.平面几何与立体几何的结合：在数形结合中，平面几何和立体几何的知识相互交叉、相互渗透。
例如在计算一个立体图形的体积时，需要运用到平面几何中的面积计算公式，而在分析一个平面图形的特征时，也需要考虑到其所在平面的空间性质。
4.空间想象与数学推理的结合：数形结合还要求我们能够在思维中准确地理解和想象几何图形的形状、大小和位置。
在这个过程中，我们需要结合空间想象能力和数学推理能力来分析和解决问题。
二、数形结合的应用领域数形结合的知识点在数学学科的多个领域都有广泛的应用，下面以几个典型的应用领域来介绍：1.建筑设计与规划：建筑设计中需要考虑到空间形状、比例、尺寸等因素，这些都需要通过数形结合的方法进行分析和解决。
例如，设计师在确定建筑物的尺寸和布局时，常常需要运用到数学几何的知识。
2.工程测量与绘图：在进行工程测量与绘图时，需要准确地测量和绘制各种几何形状，例如房屋平面图、道路工程图等。
在这个过程中，运用到的就是数形结合的方法。
3.地理与地貌研究：地理和地貌研究中需要考虑到地球表面的形状、地貌特征等因素，而这些都可以通过数学几何的知识进行研究和分析。
4.数据可视化与分析：在进行数据可视化与分析时，常常需要利用图表来呈现数据的分布和关系。
数学中的数形结合
数学中的数形结合数形结合是数学中的一个重要概念，它指的是数学与几何之间的联系。
数学是一门抽象的学科，而几何则是一门具有可视化特征的学科。
将数学和几何结合起来，不仅可以更加深入地理解数学知识，也可以更加直观地观察几何形状和变换。
本文将从数形结合的概念、历史背景、现实应用以及教学方法四个方面进行浅谈。
一、数形结合的概念数形结合，顾名思义，指的是数学与几何之间的联系。
具体来说，就是将数学中的概念和方法运用到几何学中来，探究几何形状与数学方法之间的内在联系。
在数形结合中，数学主要运用代数和解析几何的方法，而几何主要运用几何变换和几何图形的构造等方法。
这种结合可以帮助我们更全面、深入地理解数学和几何的本质，从而更好地应用它们来解决现实问题。
二、数形结合的历史背景数形结合的历史可以追溯到古希腊时期。
古希腊著名数学家毕达哥拉斯就被誉为“数学之父”，他提出了著名的“毕达哥拉斯定理”，即勾股定理。
勾股定理是数形结合的典型例子，将几何图形的勾股三角形与代数里的平方和相联系，奠定了代数与几何之间的基础关系。
此后，一系列数学家如欧几里得、阿基米德、阿波罗尼乌斯、帕斯卡等，都在数学和几何领域做出了重要的贡献，并不断将数学和几何结合起来，探究数学和几何之间的奥妙。
三、数形结合的现实应用数形结合不仅在理论研究上有重要作用，在现实应用中也有广泛的应用。
数形结合被广泛运用于自然科学、工程技术、金融经济等领域。
例如，在自然科学中，物理学家会运用数学方法来模拟具体的实验，从而推导出更深刻的物理规律。
在工程技术领域，数形结合可以帮助人们更好地利用研究数据，设计出更加准确、高效的工程模型。
在金融经济领域，数形结合可以使用代数和几何建立金融模型，预测市场趋势，分析投资风险等等。
因此，数形结合在现实生活中起到了重要的作用。
四、数形结合的教学方法数形结合作为一个重要的数学概念，也应该在数学的教学中得到重视。
在教学中，应该尽量使用具体的实例，结合图形、图像来讲解数学的概念，以增加学生对数学知识的理解和记忆。
“数形结合”在小学低段数学教学中的应用
“数形结合”在小学低段数学教学中的应用一、数形结合的概念数形结合是指将数学中的数与形状相结合，通过图形来呈现数学问题，从而帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。
数形结合不仅能够增强学生的空间想象力和创造力，还能促进学生对数学知识的理解和运用。
1. 通过图形呈现问题在小学低段数学教学中，老师可以通过图形的方式呈现数学问题，让学生通过观察图形来理解问题，并通过图形解决问题。
老师可以通过绘制图形让学生理解并计算面积、周长等问题，将抽象的数学问题可视化，使学生更容易接受。
2. 利用几何形状进行数学探究通过几何形状进行数学探究是数形结合的重要应用之一。
在数学教学中，老师可以利用各种几何形状让学生认识、探究和运用数学概念。
通过拼图、纸折等活动，让学生了解多边形的性质，培养学生的空间想象力和逻辑思维。
3. 借助数字图形进行认知和思维发展在小学低段数学教学中，老师可以借助数字图形进行认知和思维发展。
通过数字图形，学生可以直观地认识数学概念，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
老师可以设计一些数字图形的填数问题，让学生通过填数的方式来理解和掌握数学规律。
三、数形结合的教学实践1. 开展形式多样的教学活动在小学低段数学教学中，老师可以根据教学内容和学生特点开展形式多样的教学活动，如数学游戏、实验探究、小组合作等，让学生在实际操作中体验数形结合的魅力，从而更好地理解和掌握数学知识。
2. 进行跨学科教学数形结合不仅可以应用在数学教学中，还可以和其他学科进行有机结合。
在跨学科教学中，老师可以通过合并数学和美术、音乐等学科的教学资源，开展丰富多彩的数学教学活动，从而激发学生的学习兴趣和学习动力。
3. 注重个性化教学在数形结合的教学实践中，老师应该注重个性化教学，充分考虑学生的认知特点和学习能力，因材施教，使每个学生都能得到有效的学习。
通过个性化教学，可以更好地激发学生的学习潜力，提高学生的学习效果。
四、总结数形结合是小学低段数学教学中一种有效的教学方法。
数学数形结合的原理及应用
数学数形结合的原理及应用一、数学数形结合的概念数学数形结合是指数学与几何形状之间的密切关联，通过数学方法和概念来解释和研究几何形状的性质和规律。
数学数形结合的基本原理是通过数学公式和定理来推导和证明几何形状的相关性质。
数学数形结合不仅帮助我们理解数学概念，还能揭示几何形状背后的数学原理。
二、数学数形结合的原则1.数学模型与几何形状的对应关系：几何形状可以通过数学模型进行描述和表示，数学模型的属性和特征可以帮助我们分析和解释几何形状的性质。
2.数学定理和公式的应用：数学定理和公式是数学数形结合的核心内容，通过应用数学定理和公式，我们可以得到几何形状的相关性质和结论。
3.数学推理和证明的方法：数学数形结合重要的一环是通过数学推理和证明来得出结论。
我们可以基于数学定理和公式进行推理和证明，以验证几何形状的性质和规律。
三、数学数形结合的应用数学数形结合在多个领域都有重要的应用，以下是一些常见的应用示例：1. 数学建模与几何形状•建筑、城市规划与设计：数学数形结合可以帮助建筑师和设计师设计出更具美感和实用性的建筑和城市规划方案。
•工程与制造业：通过数学数形结合，可以对工程和制造过程进行优化，提高效率和质量。
2. 数学分析与几何形状•几何形状的性质研究：通过数学分析方法，可以研究几何形状的性质，如形状的对称性、曲率等。
3. 数学推理与几何形状•几何证明与推理：通过数学推理方法，可以证明几何形状的一些基本定理，如平行线定理、三角形的性质等。
4. 数学计算与几何形状•几何计算与模拟：通过数学计算方法，可以对几何形状进行计算和模拟，如计算体积、面积等。
5. 数学统计与几何形状•数据分析与可视化：通过数学统计方法，可以对几何形状的数据进行分析和可视化，帮助我们理解数据背后的几何形状。
四、数学数形结合的重要性数学数形结合的重要性体现在以下几个方面：1.提高数学理解和应用能力：通过数学数形结合，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高数学学习的效果。
数形结合十大经典题型
数形结合十大经典题型
数形结合是一种常见的解题方法，特别适用于一些几何问题。
以下是十大经典的数形结合题型：
1. 长方形面积问题：已知长方形的周长或宽度，求最大面积。
2. 圆的问题：已知圆的周长或半径，求其面积或直面积。
3. 直角三角形问题：已知直角三角形的两条边，求第三条边的长度。
4. 正方形问题：已知正方形的对角线长度，求其边长。
5. 圆环问题：已知两个同心圆的半径，求其面积差。
6. 多边形问题：已知多边形的边长和内角个数，求其周长或面积。
7. 体积问题：已知几何体的表面积和一个尺寸，求其体积。
8. 圆柱问题：已知圆柱的底面半径或高度，求其体积或表面积。
9. 三角形面积问题：已知三角形的底边和高，求其面积。
10. 平行四边形问题：已知平行四边形的两个邻边和夹角，求其面积。
数形结合法的概念
数形结合法的概念
数形结合法是一种数学思维方法，它将数学中的抽象概念与几何图形相结合，通过对几何图形的分析来解决数学问题。
数形结合法广泛应用于数学竞赛中，尤其是在几何、数论和代数方面。
数形结合法的核心思想是将抽象概念转化为几何图形，并通过对几何图形的分析来解决问题。
例如，对于一个三角形面积的问题，我们可以将三角形画出来，并通过计算图形的面积来求解问题。
同样地，对于一个三元一次方程组的问题，我们可以将其表示为三条直线的交点，进而通过几何图形来求解。
数形结合法的优势在于它能够将抽象的数学概念转化为直观的
几何图形，从而使得问题更加易于理解。
此外，通过对几何图形的分析，我们可以发现许多隐藏在数学问题背后的规律和性质，从而更好地理解数学的本质。
总之，数形结合法是一种有力的数学思维工具，它可以帮助我们更好地理解和解决复杂的数学问题。
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浅谈“数形结合”在小学低段数学教学中的应用
浅谈“数形结合”在小学低段数学教学中的应用1. 引言1.1 什么是数形结合数形结合是指将数学中的抽象概念与几何图形相结合，通过图形直观地展示数学概念，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
通过数形结合，学生可以在实践中感受到抽象数学概念的具体意义，加深对数学知识的理解和记忆，提高学习效果。
数形结合的方法包括利用几何图形展示数字关系、利用数字计算几何问题等，通过观察、推理和实践，帮助学生建立数学思维和解决问题的能力。
数形结合不仅可以提高学生的数学学习兴趣和动手能力，还可以培养学生的逻辑思维和创新意识，为他们的终身学习打下良好的基础。
数形结合是一种全面发展学生数学素养的有效教学方法，应该在小学低段数学教学中得到充分的应用和推广。
1.2 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的教学方法，它通过结合数学概念和几何形态的方式，帮助学生更好地理解抽象的数学概念，激发他们对数学的学习兴趣。
数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合可以帮助学生更好地理解抽象概念。
在数学中，有些概念比较抽象，比如数字之间的关系、图形的属性等。
通过将这些概念与具体的形态结合起来，可以让学生通过观察、比较和实践的方式更直观地理解这些抽象概念，从而提高他们的学习效果。
数形结合可以提高学生的数学技能。
通过数形结合的教学方法，学生不仅可以理解数学概念，还可以通过实际操作和解决问题来提高他们的数学技能，培养他们的逻辑思维能力、分析问题能力和解决问题能力。
数形结合还可以激发学生对数学的兴趣和学习热情。
通过将数学概念与具体形态相结合，可以使学生在学习过程中感受到数学的魅力和乐趣，使他们对数学产生浓厚的兴趣，从而更加积极地投入到数学学习中去。
数形结合在小学低段数学教学中具有重要的意义。
2. 正文2.1 数形结合在小学低段数学教学中的具体应用1. 数形结合在教学内容的引入中起到重要作用。
通过用具体的形状（如三角形、矩形等）来帮助学生理解数字的概念，可以让抽象的数字变得更加具体和可观察，引起学生的兴趣和注意力，从而更好地吸收知识。
初中数学思想方法篇——数形结合
解题思想之数形结合一、注解：数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。
在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。
数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。
二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】如图，在所给数轴上表示出实数—3，—1，2-的点，并把这组数从小到大用“＜”连接。
【例2】已知a＜0，b＜0，且a＜b，则（）A —b＞—aB —b＞aC —a ＞bD b＞a2.在不等式中的运用【例3】不等式组2030xx-⎧⎨-≥⎩的正整数解的个数为（）A 1个B 2个C 3个D 4个【例4】关于x的不等式组521xx a-≥-⎧⎨-⎩无解，则a的取值范围是。
3.在方程（组）中的运用【例5】利用图像法解方程组24212x yx y-=⎧⎨+=⎩4.在函数中的运用【例6】某水电站的蓄水池有2个进水口和1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示。
已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个水口，且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示。
给出三个判断：（1）0点到3点，只进水不出水；（2）3点到4点，不进水只出水；（3）4点到6点，不进水不出水。
则以上判断正确的是（）A （1）B （2）C （2）（3）D （1）（2）（3）【例7】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在（1）a＜0,（2）b＞0（3）c＜0（4）b2-4ac＞0中，正确的判断是（）A （1）（2）（3）（4）B （4）C（1）（2）（3）D（1）（4）5.在统计与概率中的运用【例8】近年来，某市旅游业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光，下面两图分别反映了该市2001—2004年旅客总人数和旅游业总收入的情况。
初中数学中的数形结合
初中数学中的数形结合
数形结合是把抽象的、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
数形结合思想的应用能够使得数学问题变得形象和生动，进一步提升学生的思维转换的能力并且加强学生的逻辑推理的能力，将“数”和“形”两者进行优势互补，实现学生数学思维的开发，提高学生的创新意识和创新的能力，使得教师的课堂的教学能够达到事半功倍的效果，学生在进行初中数学解题的过程之中常用的方法便是数形结合的方法，此种方法主要是依据实际问题的已知的条件和需要求得的结论之间的内在联系，并且将数量关系与几何图形之间的进行一定的结合，进而找到问题的答案的方法。
比如有以下几个方面的结合：一是同函数相关的几何图形的结合；二是根据数学问题构建起空间概念，并且利用图形的转变与数学方程问题的构建出实际方法；三是一些函数、不等式、二元一次方程以及几何图形等数学题目可以建立起一定的代数的模型，将数形结合思想应用到模型之中，经由数形结合的思想，并且能够提升自身的学习的效率，教师在具体的数学教学过程之中，应该时常运用数形结合的思想。
数学中的数形结合
数学中的数形结合数学是一门基础性科学，无论是在自然界还是人类社会中，都具有广泛的应用价值和意义。
其中，数形结合作为数学学科中的一个重要分支，已经成为现代数学中不可或缺的一部分。
那么，数形结合到底是什么呢？它有哪些特点和应用呢？本文将为大家详细解读数形结合在数学中的重要性和作用。
一、数形结合的定义数形结合，顾名思义，就是数学的“数学”和“形状”相结合。
它是指通过在数学中运用图形或形状来解决问题的方法。
所以，数形结合涉及到的不仅是数学的运算和计算，还包括几何学中的图形和形状。
二、数形结合的特点1. 视觉观察数形结合是一种视觉观察的方法。
通过观察图形或形状，以及它们的属性和特征，能够更加深入地理解运算和计算规则。
正是因为这个特点，数形结合能够让学生更深入地理解各种数学概念，加强学习兴趣，提高学习效率。
2. 视觉化思考数形结合可以将抽象的数学概念转化成具体的图形或形状，从而在视觉化层面上进行思考。
这种方法可以帮助我们更深入地理解数学问题和规律，从而更好地解决问题。
3. 加强记忆数形结合是一种基于图形或形状的记忆方法。
我们可以通过对不同图形或形状的记忆，来深入理解或记忆数学计算法则。
这种方法可以让我们加强对抽象知识的记忆和理解。
4. 提高直觉数形结合是一种直觉的方法。
通过对图形或形状的观察和分析，我们可以培养自己的直觉思维，使我们更加熟练、敏捷地处理数学问题。
三、数形结合的应用1. 解决复杂问题通过数形结合，我们可以将抽象的数学问题转化成简单的图形和形状问题。
这种方法可以让我们更轻松、更准确地解决复杂的数学问题。
2. 培养创新思维数形结合可以帮助我们培养创新思维。
在数学学习中，我们通过观察、分析、思考和表达，可以激发自己的创新潜能，从而运用数学思维解决问题。
3. 寓教于乐数形结合的优点在于可以寓教于乐。
通过图形或形状的游戏、绘图等方式，让学生轻松愉快地学习数学知识，从而加深对数学的兴趣和爱好。
四、数形结合的实践数形结合虽然是一种理论方法，但是它需要通过实践来深入了解。
数形结合的概念
数形结合的概念数形结合的概念数形结合是指在数学中，通过对几何图形的研究来发现其中的数学规律和性质，从而推导出一些与几何图形相关的数学定理和公式。
这种方法不仅可以帮助我们更深入地理解几何图形，还可以拓展我们对数学知识的认识，使我们能够更好地应用数学知识解决实际问题。
一、数形结合的历史背景早在古代，人们就已经开始探索几何图形与数字之间的联系。
例如，在古希腊时期，欧几里得就提出了许多关于几何图形和数字之间关系的定理，如勾股定理、相似三角形定理等。
此外，在古代中国、印度和阿拉伯等地也有许多学者研究过这方面的问题。
二、数形结合的基本思想数形结合是一种通过探究几何图形中隐藏着的数学规律和性质来推导出一些与几何图形相关的数学定理和公式的方法。
其基本思想是将几何问题转化为代数问题，并通过代数运算来解决问题。
这种方法不仅可以帮助我们更深入地理解几何图形，还可以拓展我们对数学知识的认识，使我们能够更好地应用数学知识解决实际问题。
三、数形结合的应用范围数形结合方法在数学中有着广泛的应用。
例如，在初中阶段，我们就需要通过数形结合方法来推导出勾股定理和相似三角形定理等基本几何定理；在高中阶段，我们需要通过数形结合方法来推导出圆锥曲线的方程和立体几何体积公式等高级数学知识；在大学阶段，我们需要通过数形结合方法来研究微积分、复变函数等高级数学领域。
四、数形结合的优点1. 拓展了我们对数学知识的认识：通过探究几何图形中隐藏着的数学规律和性质，可以帮助我们更深入地理解几何图形，并拓展我们对数学知识的认识。
2. 便于应用：通过将几何问题转化为代数问题，并通过代数运算来解决问题，可以使得复杂的计算变得简单易懂，便于应用。
3. 帮助培养逻辑思维能力：数形结合方法需要我们通过逻辑推理来得出结论，这可以帮助我们培养逻辑思维能力。
五、数形结合的缺点1. 需要具备一定的数学基础：数形结合方法需要我们具备一定的数学基础，否则很难理解其中的概念和推导过程。
小学数学总结_数形结合
第一讲 数形结合看到数，想到形，利用图形的技巧解决问题。
a 想到线段，2a 想到正方形，3a 想到正方体。
一、 三角形数自然数列，金字塔数列，可以构成三角形的图形，成为三角形数。
连续自然数的三角形数的解题思路：1、是连续自然数列，1+2+…+n ，2、圈内填等差数列，3、旋转对称求解。
详见相关例题。
二、 正方形数平方数、奇数数列、金字塔数列，可以构成正方形的图形，成为正方形数。
1+3+5+7+…+(2n-1)＝2n ,1+2+3+…+n+…+3+2+1＝2n ,23333)...321(...321n n++++++++=。
101、【补充1】1+2+3+…+n ＝21n(n+1)，想到的图形？【难度级别】★☆☆☆☆ 【解题思路】正三角形。
102、【补充2】求解222 (21)n +++【难度级别】★★★☆☆【解题思路】提供数形结合的两种方法，通过此题了解三角形数、正方形数的求解方法。
方法一：正方形数(金字塔数列、奇数列)平方数可以表示成金字塔数列：21＝1，1个数； 22＝1+2+1，3个数； 23＝1+2+3+2+1，5个数；24＝1+2+3+4+3+2+1，7个数；……数的个数，构成了奇数列，1+3+5+7+…+(2n-1)＝2n ，奇数列可以构成正方形数，将金字塔数列填入正方形数中，如上图。
所以，222 (21)n +++＝(2n-1)×1+(2n-3)×2+(2n-5)×3+…+[2n-(2n-1)]×n＝2n ×(1+2+3+…+n)-[1×1+2×3+3×5+4×7+…+n ×(2n-1)]1112121231234321＝n ×n ×(n+1)-[2(2n-1)+1]÷3×2)1(+⨯n n ＝)12)(1(61++⨯⨯n n n其中，1×1+2×3+3×5+4×7+…+n ×(2n-1)是采用三角形数的求解方法： 1、连续自然数，1、2、3、…、n 2、每个圈内的数，形成奇数数列 3、旋转对称每个位置的平均值为：[2(2n-1)+1]÷3，数的个数为：1+2+3+…+n ＝2)1(+⨯n n所以，1×1+2×3+3×5+4×7+…+n ×(2n-1)＝[2(2n-1)+1]÷3×2)1(+⨯n n 。
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在高中数学各个知识模块中，培养学生的数形结合能力
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离”．数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解决数学问题的目的 。
数形结合的基本思路：根据题目中数的内在联系，画出与之相应的几何图形，利用图形的特征和反映出的规律，解决数的问题；或根据形反映出的信息，找出与之相应的知识、题型，转化成数量关系，解决形的问题。
即画图 识图 问题解决；或形 数 问题解决。
学生只有在短时间内一遍读题后作出相应的简图来，这个数形结合才能真正给学生的学习带去实质性的帮助。
下面结合高中数学人教B 版必修五个模块的内容，具体谈一谈如何培养学生的数形结合能力。
(一)、必修（1）
第一章集合：如果是抽象集合问题常用Venn 图表示，如果是交、并、补的数集运算常用数轴表示数集，如果是点集问题常用平面直角坐标系，把抽象的问题具体化，以形助数。
例1 若I 为全集，M 、N
I ，且M ∩N =N ，则（ ）。
A.I M I N
B.M I N
C.I M I N
D.M I N
提示：由韦恩图可以很容易知道答案为C 。
第二章函数：函数的图象是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律。
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性。
函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，实质是相同的，在解题时经常要相互转化。
如：求解函数的值域时，可给一些代数式赋予一定的几何意义，如直线的斜率，线段的长度（两点间的距离）等，把代数中的最值问题转化为几何问题，实现数形转换。
通过学生早已熟悉的一次函数和二次函数的学习，进一步加强数形结合的思想。
通过函数的图像，进一步明确方程的根即函数的零点就是函数图像与X 轴的交点的横坐标。
方程f （x ）=g （x ）的解的个数可以转换为函数y = f （x ）和y =g （x ）的图象的交点个数问题。
不等式f （x ）＞g （x ）的解集可以转化为函数y =f （x ）的图象位于函数y =g （x ）的图象上方的那部分点的横坐标的集合。
例2 设函数若f （x 0）＞1，则x 0的取值范围是（ ）。
A.（-1，1）
B.（－1，＋∞ ）
C.（-∞，－2）∪（0，+∞）
D.（-∞，－1）∪（1，+∞）
分析:本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式以及借助数形结合思 想解决问题的能力。
图1
解：如图1，在同一坐标系中，作出函数y=f（x）的图象和直线y=1，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点。
由f（x）＞1，得x＜-1或x＞1 。
答案：D。
第三章基本初等函数（I）更能体现数形结合。
先研究如何画指数函数、对数函数、幂函数的图像，接着这些函数的五大性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性）呼之欲出。
在第三章练习中出现了超越方程和超越不等式，解超越方程或不等式时常用数形结合法，例3 方程lg x=sin x解的个数为（）。
A.1
B.2
C.3
D.4
分析：画出函数y=lg x与y=sin x的图象（如图2）。
注意两个图象的相对位置关系。
图2
答案：C。
（二）必修（2）
第一章立体几何初步：主要是通过常见几何体柱、锥、台、球来直观认识点、线、面之间的空间位置关系，并落实到度量和计算。
立体几何的研究对象是图形，因此在讲解概念、定理时，应该充分发挥图形的作用。
可以让学生多观察实物或模型，不能观察的，先画出规范图形，从分析图形的特征去联想有关概念和定理，这样可使学生对概念或定理加深理解。
在选修2-1第三章引入向量后，证明线面的垂直与平行，求距离，求角，都可以通过代数运算解决，可根据图形特征去寻求数量关系，也可由数量关系判断图形特征，对于培养学生的数形结合能力具有积极作用。
必修（2）第二章平面解析几何初步：直线与圆更是数形结合的最佳结合点，因为在初中就系统研究过圆，它有良好的几何性质，既是中心对称图形又是轴对称图形，所以解决圆的问题常用数形结合。
选修2-1第二章揭示了平面解析几何研究的主要问题是：
(1) 根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
(2) 通过方程，研究平面曲线的性质．
即借助坐标系，把点与坐标，曲线与方程联系起来，从而达到形与数的结合；再通过方程对曲线的几何性质进行研究，把几何问题转化为代数问题来解决。
例5 曲线（0≤x≤2）与直线y=k（x-2）+2有两个交点时，实数k的取值范围是（）。
A.（，1）
B.（，+∞）
C.（，1］
D.［，+∞）
分析：曲线（0≤x≤2）的图形是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆在x 轴上方（包括x轴）的部分。
直线y=k（x-2）+2是过定点P（2，2）、斜率为k的直线。
在同一直角坐标系中，分别作出它们的图形，观察图4，符合要求的直线l介于直线l1、
l2之间（包括l2，不包括l1），其中l1与半圆相切，l2过原点。
通过计算容易求得l2的斜率
为1，l1的斜率为。
所以＜k≤1。
图4
答案：C。
例6 如果实数x、y满足等式（x－2）2＋y2＝3，那么的最大值是（）。
A. B. C. D.
图5分析：等式（x-2）2+y2=3有明显的几何意义，它表示以（2，0）为圆心，r =为
半径的圆（如图5
）。
而则表示圆上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜
率。
如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值。
由图5可见，当点A在第一象限，且与圆相切时，
OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan 60°=。
，，，
第二章数列是一类特殊的函数，
前项和公式是二次函数，
例4 若数列{a n}为等差数列，a p＝q，a q＝p，求a p+q。
（如图3）
分析：不妨设p＜q，由于等差数列中，a n关于n的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点（p，q），（q，p），（p＋q，m）共线，设a p+q＝m，由已知，得三点（p，a q），（q，a p），（p＋q，a p+q）共线。
则k AB=k BC，即
得m＝0，即a p+q＝0。
第三章不等式：教材编写的特色就是加强和突出“数形结合”，分别从代数与几何的角度，给出了均值不等式的两种证法。
目的在于揭示不等式不仅属于代数范畴，亦有深刻的几何背景。
一元二次不等式的解集由抛物线得出。
线性规划更是加强数形结合的好素材，应用时画图要准确，找对可行域，才能用好图形找出最优解。
心中有数不如心中有图，人教B版必修教材的五个模块几乎每一章均渗透了数形结合思想，这就要求我们对这种思想方法进一步总结，找到规律和注意点，在教学中潜移默化的培养学生数形结合的能力：用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的
计算，从而使问题得到解决。