2007考研数学三真题及答案解析

y
y(2 ln y)
求在(1,1)的值：y''
x 1
( y'
)2
x 1
1(2 ln1)
1 8
0
所以y y(x)在点(1,1)处是凸的
（18）（本题满分 11 分）
设二元函数
x2.
f
(x,
y)
1, x2 y2
x y 1. 1 x y 2.
计算二重积分 f (x, y)d .其中 D (x, y) x y 2
(D) 1 2 2 , 2 23 ,3 21
2 1 1
1 0 0
（8）设矩阵 A 1 2 1 ， B 0 1 0 则 A 与 B （B）
1 1 2
0 0 0
（A）合同，且相似
(B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似
(D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰 好第 2 次命中目标的概率为 (C)
所以 B 的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得1 为 B 的属于－2 的特征值，而 A 为实对称矩阵，
于是根据 B 与 A 的关系可以知道 B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特 征向量正交，设 B 的属于 1 的特征向量为 ( x1, x2 , x3 )T ，所以有方程如下：
x1 x2 x3 0 于是求得 B 的属于 1 的特征向量为 2 (1, 0,1)T , 3 (1,1, 0)T 因而，矩阵 B 属于 2 的特征向量是是 k1 (1, 1,1)T ，其中 k1 是不为零的任意常数. 矩阵 B 属于 1 的特征向量是是 k2 (1,1, 0)T k3 (1, 0,1)T ，其中 k2 , k3 是不为零的任意 常数.
x2 x3 2x2 ax3
0
0
(1)
x1
4 x2
a2 x3
0
与方程x1 2x2 x3 a 1
(2)
有公共解，求a的值及所有公共解
【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组
x1 x1 x1
x2 x3 0 2x2 ax3 0 4x2 a2 x3 0
1 2
1
(
0
1 2 u
1 ) du 2 u
= 1 ln 2
2 u 2 u
1 0
1 ln 2
2 1 2 ln( 2 1) 2 1
综合以上计算结果可知
D
f
(x,
y)d
4 1 12
4 ln(
2 1) 1 4 ln( 3
2 1)
（19）（本题满分 11 分）
设函数 f (x) ， g ( x) 在 a,b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 f (a) ＝
f (c) g (c) ，此时的 c 就是所求点 使得f () g() .若两个函数取得最大值的点
不同则有设 f (c) max f ( x), g (d ) max g ( x) 故有 f (c) g (c) 0, g (d ) f (d ) 0 ，
由介值定理，在 (c, d ) 内肯定存在 使得f () g()
(A)
（A） fX (x) (C) f x ( x) f y ( y)
(B) f y ( y) (D) fx (x)
fy (y)
二、填空题：11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上
（11）
lim
x
x3 x2 2x x3
1
(sin
x
cos
x)
___
0
_________
D
【详解】：积分区域 D 如图，不难发现 D 分别关于 x 轴和 y 轴对称，设 D1 是 D 在第一
象限中的部分，即 D1 D (x, y) x 0, y 0
利用被积函数 f (x, y) 无论关于 x 轴还是关于 y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法 则可得
f (x, y)d 4 f (x, y)d
(1)的基础解系为 (1, 0, 1)T 此时的公共解为： x k , k 1, 2,
1 1 1
当
a
2
时，方程组(3)的系数距阵为
1 1
2 4
2 4
1 1 1
0 1 1 1
0 0
0 0
1 0
1 0
1 0 0 0
(3)的解为 x1 0, x2 1, x3 1 ，即公共解为： k (0,1, 1)T
展开成
x
1 的幂级数，并指出其收敛区间.
【详解】：
f
(x)
(x
1 4)( x
1)
1 5
(
x
1 1
3
x
1 1
) 2
1 1 1 1 5 x 13 5 x 1 2
记f1 ( x)
1 5
x
1
4
1 15
( 1
1 (x1))1源自15n0(x 1)n 3
3
其中 x 1 1 2 x 4 3
f2 (x)
(2)由(1)和罗尔定理在区间 (a, ), ( , b) 内分别存在一点 1,2 , 使 得 f ' (1 )＝ f ' (2 ) ＝0 在 区间 (1,2 ) 内再用罗尔定理，即 存在 (a, b)，使得f '' ( ) g '' ( ) .
（20）（本题满分 10 分）
将函数
f
(x)
x2
1 3x 4
C. 30
D. 40
（6） 曲线 y 1 ln(1 ex ), 渐近线的条数为（D） x
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
（7）设向量组线性 无关，则下列向量组线相关的是
(A)
（A）1 2 , 2 1,3 1
(B)2 1 ,2 3 ,3 1
(C) 1 22 ,2 23,3 21
1 ( y )3 满足 y 2x
x 1
1 的特解为 y2
x2 1 ln
x
.
0 1 0 0
（15）设距阵
A
0 0
0 0
1 0
0 1
,
则
A3 的秩为＿＿1＿＿＿.
0 0 0 0
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于 1 的概率为＿ 3 ＿.
2
4
三、解答题：17－24 小题，共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.
g (a) ， f (b) ＝ g(b) ，证明：
（Ⅰ）存在 (a, b), 使得 f ( ) g ( ) ；
（Ⅱ）存在 (a, b), 使得 f ''( ) g ''( ).
【详解】：证明：(1)设 f (x), g (x) 在 (a,b) 内某点 c (a, b) 同时取得最大值，则
1 5
1 x 1
1 10
( 1
1 (x
1))
1 10
(
n0
x 1)n(1)n 2
2
其中 x 1 1 1 x 2 2
则f (x) 1 ( x 1)n 1 ( x 1)n (1)n
15 n0 3
10 n0 2
故收敛域为：1 x 2
(21)(本题满分11分)
设线性方程组
x1 x1
（Ⅱ）求矩阵 B.
【详解】：
（Ⅰ）可以很容易验证 An1 1n1(n 1, 2, 3...) ，于是 B1 ( A5 4 A3 E )1 (15 413 1)1 21
于是1 是矩阵 B 的特征向量.
B 的特征值可以由 A 的特征值以及 B 与 A 的关系得到，即
(B) ( A)5 4( A)3 1 ，
（2） 设函数 f (x) 在 x 0 处连续，下列命题错误的是： (D)
A .若 lim f (x) 存在，则 f (0) 0 x0 x
B. 若 lim f (x) f (x) 存在，则 f (0) 0
x0
x
C. .若 lim f (x) 存在，则 f '(0) 存在 x0 x
在
D. 若 lim f (x) f (x) 存在，则 f '(0) 存
x1 2x2 x3 a 1
(3) 的解.
1 1 1 0 1
即距阵
0
11
2 4 2
a a2 1
0
a01
0
0 0
a 1, a 2 .
11 1 a 1 0 1 0 a2 3a 4
0
0 0
方程组(3)有解的充要条件为
0
当 a 1 时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组
4 x2d 4 f (x, y)d
D11
D12
由于 D11 (x, y) 0 x 1, 0 y 1 x ，故
x2d 1 x2dx 1x dy 1 x2 (1 x)dx 1 1 1
0
0
0
D11
3 4 12
为计算 D12 上的二重积分，可引入极坐标 (r, ) 满足 x r cos , y r sin .在极坐标系
0
0 1
此时方程组
0
（22）（本题满分 11 分）
设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2,1 (1, 1,1)T 是 A 的属于 1的
一个特征向量.记 B A5 4 A3 E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵.
（Ⅰ）验证1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；
( A)3 p(1 p)2