平行线地判定和性质(综合篇)

北京四中

编稿：史卫红审稿：责编：一民

平行线的判定和性质（综合篇）

一、重点和难点：

重点：平行线的判定性质。

难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。

二、例题：

这部分容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、错角或同旁角。解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。

上述类型题目大致可分为两大类。

一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。

另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。

例1．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7

分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。须证a//c。

法（一）证明：∵d是直线（已知）

∴∠1+∠4=180°（平角定义）

∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠3=∠4（等角的补角相等）

∴a//c（同位角相等，两直线平行）

∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）

法（二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代换）

∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）

∴∠5+∠6=180°（等量代换）

∴a//c （同旁角互补，两直线平行）

∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。

例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。

分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而

∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。因此又可得AD//BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推出∠EBC=∠DBC。

证明：∵∠2+∠BDC=180°（平角定义）

又∵∠2+∠1=180°（已知）

∴∠BDC=∠1（同角的补角相等）

∴AE//FC（同位角相等两直线平行）

∴∠EBC=∠C（两直线平行错角相等）

又∵∠A=∠C（已知）

∴∠EBC=∠A（等量代换）

∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）

∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，错角相等）

∠ADF=∠C（两直线平行，同位角相等）

又∵DA平分∠BDF（已知）

∴∠ADB=∠ADF（角平分线定义）

∴∠EBC=∠DBC（等量代换）

∴BC平分∠DBE（角平分线定义）

说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法，见到“平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。

把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。

三、小结：证明角相等的基本方法

1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题：

（1）同角（或等角）的余角相等；

（2）同角（或等角）的补角相等；

（3）对顶角相等；

（4）两直线平行，同位角相等；错角相等；同旁角互补。

以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。首先必须分析，在题设中给出了哪些条件，与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。

例3，如图∠1=∠2=∠C，求证∠B=∠C。

分析：题设中给出三个相等的角，其中∠2和∠C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角，由∠2=∠C则DE//BC。再看题中要证明的结论是∠B=∠C，由于∠C=∠1，所以只要证明∠1=∠B，而∠1与∠B是两条平行直线DE，BC被直线AB所截构成的同位角，∠1=∠B是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径：

证明：∵∠2=∠C（已知），

∴DE//BC（同位角相等，两直线平行），

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

又∵∠1=∠C（已知），

∴∠B=∠C（等量代换）。

例4、已知如图，AB//CD，AD//BC，求证：∠A=∠C，∠B=∠D。

分析：要证明∠A=∠C，∠B=∠D，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是错角或同旁角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例10一样通过等角进行转化，从题设条件出发，由AB//CD，且AB与CD被直线BC所截，构成了一对同旁角，∠B、∠C，因此∠B+∠C=180o，同时∠B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截，构成的一对同旁角∠B、∠A，∠B+∠A=180o，通过∠B的中介，就可以证明得∠A=∠C。同理，也可得到∠B=∠D，整个思路为：

证明：AD//BC（已知），

∴∠A+∠B=180o（两直线平行，同旁角互补），

∵AB//CD（已知），

∴∠B+∠C=180o（两直线平行，同旁角互补），

∴∠A=∠C（同角的补角相等），

同理可证∠B=∠D。

例5、已知如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求证：∠1=∠2。

分析：要证明∠1=∠2，而从图中所示的∠1和∠2的位置来看，根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下∠1、∠2与周边各角的关系，我们看到直线AD与GE被直线AE所截，形成同位角∠1、∠E；被AB所截，形成错角∠2、∠3；而题设明确告诉我们∠3=∠E，于是目标集中到证明AD//GE，根据题设中AD⊥BC，EG⊥BC，我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序：

证明：∵AD⊥BC于D（已知），

∴∠ADC=90o（垂直定义），

∵EG⊥BC于G（已知），

∴∠EGD=90o（垂直定义），

∴∠ADC=∠EGD（等量代换），

∴EG//AD（同位角相等，两直线平行），

∴∠1=∠E（两直线平行同位角相等），