平行线地判定和性质(综合篇)
平行线与平行线的性质及判定方法
平行线与平行线的性质及判定方法平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线。
在数学中，平行线有着许多独特的性质和判定方法，对于几何学的研究和实际应用都具有重要意义。
一、平行线的性质1. 平行线上的两个点到另一直线的距离相等：如果两条直线L₁和L₂平行，那么这两条线上的任意两个点A和B到第三条直线L的距离都是相等的。
2. 平行线的内角和为180度：当一条直线与两条平行线相交时，两对内角之和是180度。
这可以通过数学证明得出。
3. 平行线的外角相等：当两条平行线被一条横截线相交时，这两条平行线的对应外角是相等的。
4. 平行线的平行线仍然平行：如果两条直线L₁和L₂平行，而L₃与L₁平行，那么L₃也与L₂平行。
二、平行线的判定方法1. 直角判定法：如果两条直线上的任意一对相邻内角之一是直角，那么这两条直线是平行线。
这种判定方法是由两条直线的垂直性质推导出来的。
2. 三角形内角和判定法：如果一条直线与一条平行线相交，那么直线上的一对内角与平行线上的一对内角之和为180度时，这两条直线是平行线。
3. 平行线定理：如果两条直线分别与第三条直线相交，并且两对同位角分别相等，那么这两条直线是平行线。
这个定理也被称为同位角定理。
4. 夹角判定法：如果两条直线分别与第三条直线相交，而且同位角相等或互补，则这两条直线是平行线。
5. 平行线公理（欧几里德公理）：如果直线上的一点和直线外一点，有且只有一条通过这两个点的平行线。
这个公理是建立在欧几里德几何的基础上的。
以上是常见的一些关于平行线性质的说明和判定方法，通过这些性质和方法，我们可以在几何学中更好地理解和应用平行线。
在实际生活中，平行线也有着广泛的应用，例如建筑设计、道路规划、制图等领域都需要运用到平行线的概念和性质。
总结：在数学中，平行线是指在同一平面内永远不会相交的两条直线。
平行线有许多独特的性质，如平行线上的两个点到另一直线的距离相等、平行线的内角和为180度等等。
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定平行线是几何学中的一个重要概念，我们都知道平行线永不相交。
在本文中，我们将介绍平行线的性质以及如何判定两条线是否平行。
同时，我们还会探讨平行线与其他图形之间的关系。
一、平行线的性质平行线的性质是几何学中的基础知识，下面我们将讨论几个与平行线相关的重要性质。
1. 对应角相等性质：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的对应角相等。
这个性质在解决几何问题中具有重要意义，可以通过对应角的等量关系简化问题的解决过程。
2. 内错角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所产生的内错角相等。
这个性质常用于解决与平行线相关的证明问题。
3. 外错角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所产生的外错角相等。
这个性质也常用于证明和解决几何问题。
4. 交替内角相等性质：当两条平行线被一条截线所切割时，所形成的交替内角相等。
这个性质在证明平行线的存在性和解决几何问题中经常使用。
以上是平行线的一些重要性质，它们在几何学中被广泛应用，并且有助于解决各种类型的几何问题。
二、平行线的判定在几何学中，判定两条线是否平行是一种常见问题。
下面我们将介绍一些常用的判定方法。
1. 垂直判定：如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们互为垂直线，即相互垂直。
2. 角度判定：当一条直线与另一条直线所形成的内错角或外错角相等时，这两条直线是平行线。
3. 距离判定：如果两条直线上的任意两个点之间的距离在任意位置都相等，那么这两条直线是平行线。
这些判定方法都是基于几何学中的一些基本原理，通过应用这些原理，我们可以快速准确地判断两条线是否平行。
三、平行线与其他图形的关系平行线与其他图形之间存在着一些特殊的关系，下面我们将介绍一些常见的关系。
1. 平行线与平面角：当两条平行线被一条截线所切割时，所形成的平面角相等。
2. 平行线与四边形：在一个平行四边形中，两对相对的边是平行线，且两对相对的角相等。
3. 平行线与三角形：当一条直线平行于三角形的一边时，它将与另外两条边各自形成相似三角形。
初中数学教案：平行线的性质与判定
初中数学教案：平行线的性质与判定一、平行线的性质平行线是在同一个平面上，永远不会相交的直线。
在初中数学中，平行线是一个重要的概念，学生需要掌握平行线的性质和判定方法。
1. 平行线的定义平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。
在几何中，我们用符号 "∥" 表示两条平行线，例如 AB ∥ CD 表示线段 AB 和线段 CD 是平行的。
2. 平行线的性质（1）平行线上的任意一对对应角相等。
例如，若 AB ∥ CD，则∠A = ∠C,∠B = ∠D。
（2）平行线上的内对顶角相等。
例如，若 AB ∥ CD，则∠ABC = ∠DCB,∠ACB = ∠DBA。
（3）平行线上的同旁内角互补。
例如，若 AB ∥ CD，则∠ABC + ∠DCB = 180°, ∠ACB + ∠DBA = 180°。
（4）平行线上的同旁外角相等。
例如，若 AB ∥ CD，则∠ABD = ∠CDA,∠ADC = ∠BAC。
3. 利用平行线性质解题在解题过程中，我们可以利用平行线的性质来推导或证明一些几何问题。
例如，当我们需要证明两条线段平行时，可以利用平行线上的性质，通过角的等式来推导出结论。
二、平行线的判定方法判定两条直线是否平行是初中数学中的一个重要内容，学生需要熟练掌握几种常用的判定方法。
1. 直线的判定两条直线平行的判定方法之一是直线的判定。
如果两条直线上分别有一对对应角相等，那么这两条直线一定是平行的。
例如，若∠A = ∠C, ∠B = ∠D，则可判定 AB ∥ CD。
2. 平行线的判定除了直线的判定方法，我们还可以利用平行线的判定方法来判断两条直线是否平行。
（1）同旁内角判定法：若一条直线与另外两条平行线相交，那么它与其中一条平行线上的同旁内角相等，则这两条直线平行。
（2）同旁外角判定法：若一条直线与另外两条平行线相交，那么它与其中一条平行线上的同旁外角相等，则这两条直线平行。
平行线的性质与判定
平行
证明：根据同位角的性质， 如果同位角相等，则两条
直线平行
应用：在几何证明和实 际问题中，常常需要利 用同位角相等来判断两
条直线是否平行
注意事项：同位角相等是 判定两条直线平行的充分
条件，但不是必要条件
内错角相等则两直线平行
判定方法：内错角相 等，则两直线平行
平行线的性质与判定
汇报人：XX
目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 平 行 线 的 性 质 03 平 行 线 的 判 定 04 平 行 线 的 应 用
01
添加章节标题
02
平行线的性质
平行线的同位角相等
定义：同位角相等，两直 线平行
性质：同位角相等，两直 线平行
判定：两直线平行，同位 角相等
证明过程：利用同位 角性质，证明两直线
平行
应用举例：在几何问 题中，常用来判断两
条直线是否平行
注意事项：内错角相 等是判定两直线平行 的充分条
证明过程：利用同旁内角的性 质，通过角度计算证明两直线 平行
应用场景：在几何证明题中， 常用于证明两条直线平行
判定方法：同旁内角互补，则 两直线平行
0
0
0
0
1
2
3
4
平行线在日常生活中的应用
建筑学：在建筑设计时， 利用平行线的性质确定建 筑物的位置和方向，保证
建筑物的稳定性。
交通工具：汽车、火车等 交通工具的轨道线都是平 行的，这样可以保证车辆
安全、稳定地行驶。
电子设备：电视、电脑等 显示器的屏幕线都是平行 的，这样可以保证图像的
平行线与垂直线的性质与判断
平行线与垂直线的性质与判断在几何学中，平行线和垂直线是两种重要的线性关系。
它们有着特定的性质和判断方法，对于解决几何问题具有重要的作用。
本文将对平行线和垂直线的性质与判断进行详细阐述。
一、平行线的性质与判断平行线是指永不相交的两条直线，在平面几何中具有以下性质：1.1 平行线的定义定义：若直线l1和直线l2在平面P上，且在平面P上没有任何一点同时属于l1和l2，那么称直线l1与直线l2平行。
1.2 平行线的判断方法平行线的判断可以通过以下几种方法实现：1）欧几里得准则：若一条直线与另外两条直线分别相交，而这两条直线又不共线，则这两条直线平行。
2）等角定理：两条直线与一对平行线交叉，形成的内切角或外切角相等。
3）向量法：若两条直线上的向量平行，则这两条直线平行。
4）平行线的特征方程：若直线Ax + By + C1 = 0和直线Ax + By + C2 = 0中的C1与C2满足C1 / C2 = B1 / B2 = A1 / A2，则这两条直线平行。
二、垂直线的性质与判断垂直线是指两条直线之间的夹角为90度的直线，在几何学中也有着重要的性质：2.1 垂直线的定义定义：若直线l1和直线l2在平面P上交于点O，且在交点O的两条直线的夹角为90度，那么称直线l1与直线l2垂直。
2.2 垂直线的判断方法判断两条直线是否垂直，可以通过以下几种方法实现：1）欧几里得准则：两条直线斜率的乘积为-1，则这两条直线垂直。
2）垂直线的特征方程：若直线Ax + By + C1 = 0和直线Bx - Ay + C2 = 0中的C1与C2满足C1 * C2 = B2 - A2，则这两条直线垂直。
3）向量法：若两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直。
三、平行线与垂直线的性质之间的关系在平面几何中，平行线和垂直线之间存在以下关系：1. 平行线与平行线之间的关系平行线之间是相互平行的，即若有两条直线分别与其他直线平行，则这两条直线也是平行的。
平行线与垂直线的性质与判定
平行线与垂直线的性质与判定平行线和垂直线是几何学中的基本概念，在平面几何的研究中起着重要的作用。
本文将从性质和判定两个方面介绍平行线和垂直线的特点和判断方法。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上两条直线永远不会相交的直线。
它们具有以下性质：1. 同向性质：平行线在同一平面上，方向相同且不会相交。
2. 等距离性质：平行线之间的任意两条线段均相等。
3. 夹角性质：平行线与横截线之间的夹角相等。
二、平行线的判定方法1. 公理法：根据几何公理，若两条直线与另一直线的夹角相等，那么这两条直线就是平行的。
2. 反证法：假设两条直线不平行，可以通过找到一个与这两条直线交汇的第三条直线形成一个三角形，利用角的性质证明两条直线是平行的。
3. 斜率法：两条直线平行时，它们的斜率相等。
根据这个性质，可以通过计算两条直线的斜率来判断它们是否平行。
三、垂直线的性质垂直线是指在平面几何中与另一直线的夹角为90度的直线。
垂直线具有以下性质：1. 相交性质：垂直线与另一条直线相交，形成直角。
2. 互逆性质：两条垂直线互为对方的垂直线。
3. 斜率性质：两条直线垂直时，它们的斜率之乘积为-1。
四、垂直线的判定方法1. 公理法：根据几何公理，如果两个夹角的乘积为-1，则这两条直线垂直。
2. 互逆法：如果两条直线互为对方的斜率的倒数，则这两条直线垂直。
3. 斜率法：若两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线垂直。
结论通过对平行线和垂直线的性质和判定方法的介绍，我们可以更好地理解平面几何中的基本概念和关系。
掌握这些知识，可以帮助我们在解题过程中更加准确和便捷地判断线之间的关系，进而解决相关问题。
在实际生活中，平行线和垂直线的性质也广泛应用于建筑、工程等领域。
因此，对于平行线和垂直线的性质和判定方法的学习具有重要的意义。
平行线的性质和判定方法
平行线的性质和判定方法在几何学中，平行线是指在同一平面中不相交且永不相交的两条直线。
平行线的研究是几何学的基础之一，它具有一系列独特的性质和判定方法。
本文将重点介绍平行线的性质和判定方法，帮助读者更好地理解和应用平行线的概念。
一、平行线的性质1. 等倾性：如果一条直线与一对平行线相交，那么它把这对平行线分成两个等倾的交错三角形。
2. 备注角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的任一对应角，它们的对应角相等，即对应角相等是平行线的必要且充分条件。
3. 内错角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的内错角，它们的内错角之和为180°。
4. 外错角性质：当两条平行线被一条截线相交时，对于截线与平行线所夹角的外错角，它们的外错角之和也为180°。
5. 直角性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么它与这两条平行线所形成的内错角相等，也与这两条平行线所形成的外错角相等。
以上是平行线的一些典型性质，它们对于解决几何学中的相关问题具有重要的作用，需要熟练掌握。
二、平行线的判定方法1. 通过角度判定：如果两条直线的夹角等于180°，则它们是平行线。
这是最简单且直观的判断方法，适用于已知夹角度数的情况。
2. 通过斜率判定：两条直线平行的概念也可以通过斜率来判定。
如果两条直线的斜率相等且截距不同，那么它们是平行线。
3. 通过向量判定：设直线L1的一个向量为a，直线L2的一个向量为b，如果向量a与向量b共线，则直线L1与直线L2是平行线。
4. 通过等距判定：如果两条直线上的任意两点之间的距离相等，则这两条直线是平行线。
这种判定方法适用于已知直线上的坐标点的情况。
需要注意的是，以上的判定方法有时并不是充分条件，例如斜率相等只能说明两条直线可能平行，还需要结合其它条件来综合判断是否为平行线。
综上所述，平行线具有一系列独特的性质和判定方法，适用于解决不同类型的几何问题。
平行线的性质与判定方法
平行线的性质与判定方法平行线是几何学中的重要概念，它们具有一些独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍平行线的性质和判定方法。
1. 性质一：不相交的平行线在任意平面上不会相交。
两条平行线永远保持相同的距离，无论它们延长到多远。
2. 性质二：平行线具有相同的斜率。
两条平行线的斜率都相等，这是判定平行线的一个重要性质。
3. 性质三：互补角相等。
如果两条平行线被一条横截线切割，那么同位角是互补角，即它们的和等于180度。
4. 性质四：内错角相等。
当两条平行线被一条横截线所穿过时，内错角是相等的。
根据以上性质，我们可以推导出一些平行线的判定方法。
下面我们将重点介绍三种常见的判定方法。
1. 通过线段的平行判定：如果两个线段的对应边平行且长度相等，那么这两个线段所在直线就是平行线。
这个方法利用了平行线的性质一。
2. 通过角的平行判定：如果两个角的对应边平行且对应角相等，那么这两个角所在的直线就是平行线。
这个方法利用了平行线的性质二和性质三。
3. 通过垂直判定：如果两条线段互相垂直，并且其中一条线段与第三条线段平行，那么第三条线段也与另一条垂直线段平行。
这个方法利用了平行线的性质二和性质四。
除了这些常见的判定方法，还有其他一些特殊情况下的判定方法。
例如，当两条直线被一条平行于它们的直线所切割时，如果同位角相等，那么这两条直线就是平行线。
在实际应用中，平行线的性质和判定方法在解决几何问题和证明几何定理时起着重要的作用。
它们帮助我们确定直线的相对位置，并应用于建筑、工程、地理测量等领域。
总结起来，平行线具有不相交、斜率相同、互补角相等和内错角相等等性质。
通过线段的平行判定、角的平行判定和垂直判定等方法可以确定平行线的存在。
这些性质和判定方法在几何学中具有重要的应用价值。
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北京四中编稿：史卫红审稿：责编：一民平行线的判定和性质（综合篇）一、重点和难点：重点：平行线的判定性质。
难点：①平行线的性质与平行线的判定的区分②掌握推理论证的格式。
二、例题：这部分容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、错角或同旁角。
解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念，关键是把握住这些角的基本图形特征，有时还需添加必要的辅助线，用以突出基本图形的特征。
上述类型题目大致可分为两大类。
一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题。
其方法是“由线定角”，即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补。
另一类题目主要是“由角定线”，也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行，解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法。
例1．如图，已知直线a,b,c被直线d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求证：∠1=∠7分析：运用综合法，证明此题的思路是由已知角的关系推证出两直线平行，然后再由两直线平行解决其它角的关系。
∠1与∠7是直线a和c被d所截得的同位角。
须证a//c。
法（一）证明：∵d是直线（已知）∴∠1+∠4=180°（平角定义）∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4（等角的补角相等）∴a//c（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）法（二）证明：∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）∴∠1+∠3=180°（等量代换）∵∠5=∠1，∠6=∠3（对顶角相等）∴∠5+∠6=180°（等量代换）∴a//c （同旁角互补，两直线平行）∴∠1=∠7（两直线平行，同位角相等）。
例2．已知如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，AD平分∠BDF，求证：BC平分∠DBE。
分析：只要求得∠EBC=∠CBD，由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC，从而推出AE//FC，从而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC。
因此又可得AD//BC，最后再运用平行线性质和已知条件便可推出∠EBC=∠DBC。
证明：∵∠2+∠BDC=180°（平角定义）又∵∠2+∠1=180°（已知）∴∠BDC=∠1（同角的补角相等）∴AE//FC（同位角相等两直线平行）∴∠EBC=∠C（两直线平行错角相等）又∵∠A=∠C（已知）∴∠EBC=∠A（等量代换）∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，错角相等）∠ADF=∠C（两直线平行，同位角相等）又∵DA平分∠BDF（已知）∴∠ADB=∠ADF（角平分线定义）∴∠EBC=∠DBC（等量代换）∴BC平分∠DBE（角平分线定义）说明：这道题反复应用平行线的判定和性质，这是以后在证题过程中经常使用的方法，见到“平行”应想到有关的角相等，见到有关的角相等，就应想到能否判断直线间的平行关系。
把平行线的判定与性质紧密地结合在一起也就是使直线平行和角相等联系在一起，这样解题能得心应手，灵活自如。
三、小结：证明角相等的基本方法1、第一章、第二章中已学过的关于两个角相等的命题：（1）同角（或等角）的余角相等；（2）同角（或等角）的补角相等；（3）对顶角相等；（4）两直线平行，同位角相等；错角相等；同旁角互补。
以上四个命题是我们目前论证两个角相等的武器，但是何时用这些武器，用什么武器，怎样使用，这是遇到的一个具体问题，需要认真进行分析。
首先必须分析，在题设中给出了哪些条件，与其相关的图形是什么！其次再分析一下要证明的两个角在图形的具体位置，与已知条件有什么关联，怎样运用一次推理或几个一次推理的组合而来完成题设到结论的过渡。
例3，如图∠1=∠2=∠C，求证∠B=∠C。
分析：题设中给出三个相等的角，其中∠2和∠C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角，由∠2=∠C则DE//BC。
再看题中要证明的结论是∠B=∠C，由于∠C=∠1，所以只要证明∠1=∠B，而∠1与∠B是两条平行直线DE，BC被直线AB所截构成的同位角，∠1=∠B是很显然的，这样我们就理顺了从已知到求证的途径：证明：∵∠2=∠C（已知），∴DE//BC（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠C（已知），∴∠B=∠C（等量代换）。
例4、已知如图，AB//CD，AD//BC，求证：∠A=∠C，∠B=∠D。
分析：要证明∠A=∠C，∠B=∠D，从这四个角在图中的位置来看，每一组既不构成同位角，也不是错角或同旁角，由此不可能利用题设中的平行关系，经过一次推理得到结论，仍然如同例10一样通过等角进行转化，从题设条件出发，由AB//CD，且AB与CD被直线BC所截，构成了一对同旁角，∠B、∠C，因此∠B+∠C=180o，同时∠B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截，构成的一对同旁角∠B、∠A，∠B+∠A=180o，通过∠B的中介，就可以证明得∠A=∠C。
同理，也可得到∠B=∠D，整个思路为：证明：AD//BC（已知），∴∠A+∠B=180o（两直线平行，同旁角互补），∵AB//CD（已知），∴∠B+∠C=180o（两直线平行，同旁角互补），∴∠A=∠C（同角的补角相等），同理可证∠B=∠D。
例5、已知如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠3，求证：∠1=∠2。
分析：要证明∠1=∠2，而从图中所示的∠1和∠2的位置来看，根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等，因我们可将视野再拓广一下，寻找一下∠1、∠2与周边各角的关系，我们看到直线AD与GE被直线AE所截，形成同位角∠1、∠E；被AB所截，形成错角∠2、∠3；而题设明确告诉我们∠3=∠E，于是目标集中到证明AD//GE，根据题设中AD⊥BC，EG⊥BC，我们很容易办到这一点，总结一下思路，就可以得到以下推理程序：证明：∵AD⊥BC于D（已知），∴∠ADC=90o（垂直定义），∵EG⊥BC于G（已知），∴∠EGD=90o（垂直定义），∴∠ADC=∠EGD（等量代换），∴EG//AD（同位角相等，两直线平行），∴∠1=∠E（两直线平行同位角相等），∠2=∠3（两直线平行错角相等），又∵∠E=∠3（已知），∴∠1=∠2（等量代换）。
四、两条直线位置关系的论证。
两条直线位置关系的论证包括：证明两条直线平行，证明两条直线垂直，证明三点在同一直线上。
1、学过证明两条直线平行的方法有两大类（一）利用角；（1）同位角相等，两条直线平行；（2）错角相等，两条直线平行；（3）同旁角互补，两条直线平行。
（二）利用直线间位置关系：（1）平行于同一条直线的两条直线平行；*（2）垂直于同一条直线的两条直线平行。
例6、如图，已知BE//CF，∠1=∠2，求证：AB//CD。
分析：要证明AB//CD，由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对错角∠ABC和∠DCB，只要证明这对错角相等，而图中的直线位置关系显示，∠ABC=∠1+∠EBC，∠BCD=∠2+∠FCB，条件中又已知∠1=∠2，于是只要证明∠EBC=∠BCF。
证明：∵BE//CF（已知），∴∠EBC=∠FCB（两直线平行，错角相等）∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠EBC=∠2+FCB（等量加等量其和相等），即∠ABC=∠BCD（等式性质），∴AB//CD（错角相等，两直线平行）。
例7、如图CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：DG//BC。
分析：要证明DG//BC，只需证明∠1=∠DCB，由于∠1=∠2，只需证明∠2=∠DCB，∠2与∠DCB又是同位角，只需证明CD//EF。
根据题设CD⊥AB，EF⊥AB，CD//EF，很容易证得，这样整个推理过程分成三个层次。
（1）（平行线的判定）（2）CD//EF∠2=∠DCB（平行线的性质）（3）∠1=∠DCBDG//BC（平行线判定）在这三个推理的环节中，平行线的判定和性质交替使用，层次分明。
证明：∵CD⊥AB于D（已知），∴∠CDB=90o（垂直定义），∵EF⊥AB于F（已知），∴∠EFB=90o（垂直定义），∴∠CDB=∠EFB（等量代换），∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠DCB（两直线平行，同位角相等）又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠DCB（等量代换），∴DG//BC（错角相等，两直线平行）。
说明：从以上几例我们可以发现，证明两条直线平行，必须紧扣两直线平行的条件，往往归结于求证有关两个角相等，根据图形找出两直线的同位角、错角或同旁角，设法证明这一组同位角或错角相等，或同旁角互补。
而证明两角相等，又经常归于证明两直线平行。
因此，交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路。
2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个：（1）两直线垂直的定义（2）一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。
（即证明两条直线的夹角等于90o而得到。
）例8、如图，已知EF⊥AB，∠3=∠B，∠1=∠2，求证：CD⊥AB。
分析：这是一个与例14同样结构的图形，但证明的目标却是两条直线垂直。
证明CD⊥AB，根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直于另一条。
”又由于已知条件EF⊥AB，只要证明EF//CD，要证EF//CD，结合图形，只要证明∠2=∠DCB，因为∠1=∠2，只需证明∠DCB=∠1，而∠DCB与∠1是一对错角，因而根据平行线的性质，就需证明DG//BC，要证明DG//BC 根据平行线的判定方法只需证明∠3=∠B，而这正是题设给出的条件，整个推理过程经过以下几个层次：∠3=∠BDG//BC∠DCB=∠2（1）平行线判定（2）平行线性质CD⊥AB（3）平行线判定性质（4）垂直定义证明：∵∠3=∠B（已知），∴DG//BC（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠DCB（两直线平行，错角相等），∵∠1=∠2（已知），∴∠DCB=∠2（等量代换），∴DC//EF（同位角相等，两直线平行），有括号部分的五步也可以用以下证法：接DC//EF（同位角相等，两直线平行），又∵EF⊥AB（已知），∴CD⊥AB（一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直。
）3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过，若证明E、O、F三点共线，通常采用∠EOF=180o，利用平角的定义完成三点共线证明。
此方法不再举例。
五、一题多解。
例9、已知如图，∠BED=∠B+∠D。
求证：AB//CD。
法（一）分析：要证明AB//CD，从题设中条件和图形出发考虑，图形中既不存在“三线八角”，又不存在与AB、CD同时平行的第三条直线或与AB、CD同时垂直的直线，这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行。