立体几何证明题

立体几何1. 如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC12AD CD AB ==，且O 为AB 中点. ( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .2.如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=o ,AC BD O =I .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC的中点，DM =（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M-的体积.BACDOPA ABCMOD3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD 12已知四棱锥的底面是菱形．PB PD =，为的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．5. 已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点. (I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ； （II ）求证：⊥1BC 平面EAD .PABCDQ M6. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=o ，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ；（Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.7. 如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF8.如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．ABCDFE(16)第题图9. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。

（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；（2 ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

参考答案：1. 证明: (I) 因为O 为AB 中点， 所以1,2BO AB =…………………1分 又//,AB CD 12CD AB =， 所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分 所以ODCB 为平行四边形,所以//,BC OD …………………3分又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD 所以//BC 平面POD . …………………5分(II)连接OC .因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为平行四边形， …………………6分 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，BACDOP所以 AC DO ⊥， …………………7分 因为正三角形PAB ,O 为AB 中点，所以PO AB ⊥ ， …………………8 分 又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD I 平面PAB AB = ， 所以PO ⊥平面ABCD ， …………………10分而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PO DO O =I ，所以AC ⊥平面POD . …………………12分又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . …………………13分2. （Ⅰ）证明：因为点是菱形ABCD 的对角线的交点，所以是的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以是的中位线，. ……………2分 因为平面ABD ,平面ABD ，所以//OM 平面ABD . ……………4分（Ⅱ）证明：由题意，,因为DM =所以，. ……………6分 又因为菱形ABCD ，所以. …………7分 因为OM AC O =I ,所以平面ABC ， ……………8分因为平面MDO ，ABCMOD所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………9分（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥的体积. ……………10分由（Ⅱ）知，平面，所以3OD =为三棱锥的高. ……………11分 的面积为， ……………12分所求体积等于13ABM S OD ∆⨯⨯=. ……………13分3. 证明：（Ⅰ）AD121t =//12⊂⊄（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点，所以EO ∥PC ． 因为EO ⊂平面BDE PC ⊄平面BDE所以PC ∥平面BDE ．……………………6分（Ⅱ）证明：连结OP 因为PB PD =，所以OP BD ⊥．在菱形ABCD 中，BD AC ⊥ 因为OP AC O =I 所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE所以平面PAC ⊥平面BDE ． ……………………13分PABCD Q MN5. （Ⅰ）由已知可得1//AF B E ，1AF B E =， ∴四边形E AFB 1是平行四边形，∴1//FB AE ， ……………1分AE ⊄Q 平面FC B 1，1FB ⊂平面FC B 1， //AE ∴平面FC B 1； ……………2分又 E D ,分别是1,BB BC 的中点，∴C B DE 1//， ……………3分 ED ⊄Q 平面FC B 1，1B C ⊂平面FC B 1，//ED ∴平面FC B 1； ……………4分,AE DE E AE =⊂Q I 平面EAD ，ED ⊂平面EAD ， ……………5分∴平面FC B 1∥平面EAD . ……………6分 (Ⅱ) Θ三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱， ∴⊥C C 1面ABC ，又Q ⊂AD 面ABC ，∴⊥C C 1AD . ……………7分 又Q 直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是BC 边中点， ∴ABC ∆是正三角形，∴BC AD ⊥， ……………8分 而1C C BC C =I ， 1CC ⊂面11B BCC ，BC ⊂面11B BCC ，⊥∴AD 面11B BCC ， ……………9分故 1AD BC ⊥ . ……………10分Q 四边形11BCC B 是菱形，∴C B BC 11⊥， ……………11分而C B DE 1//，故 1DE BC ⊥ , ……………12分由D DE AD =I AD ⊂，面EAD ，ED ⊂面EAD ，得 ⊥1BC 面EAD . ……………13分6. (Ⅰ)证明：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=o ，所以DE ⊥平面ABCD ， …………………2分所以AC DE ⊥. …………………3分 因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE . …………………4分 (Ⅱ)证明：设AC BD O =I ，取BE 中点G ，连结OG FG ,，所以，OG //=12DE . ……………………5分 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ， ……………………6分 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. ……………………7分 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF , ……………………8分 所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . ……………………9分 （Ⅲ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面ADEF . ……………………11分 因为DE AF //,90ADE ∠=o ,22===AF DA DE ，所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯⨯=， ……………………12分所以四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 3143. ……………………13分 7. 答案：（1）因为E 、F 分别是AP 、AD 的中点，,EF PD ∴P 又,PD PCD EF PCD ⊂⊄Q 面面∴直线EF AB=AD,BAD=60,∠o Q ABD ∆,BF AD ∴⊥PAD ABCD AD,⋂面面＝,BF PAD BF BEF ∴⊥⊂面面8. 解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD. 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=2PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ. ………………6分（II ）设AB=a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3V a =由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而，△DCQ 2， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3V a =故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分 9. 1）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ⋂ＤＣ＝Ｄ，∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，又∵AD 平面BDC. ∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）由（1）知，DA DB ⊥,DB DC ⊥,DC DA ⊥,Q DB=DA=DC=1，∴,1111,22DAM DBC DCA S S S ===⨯⨯=V V V 1sin 6022ABC S =︒=V∴三棱锥D —ＡＢＣ的表面积是133222S =⨯+=。