立体几何证明题

立体几何

1. 如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC

1

2

AD CD AB ==

，且O 为AB 中点. ( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .

2.如图，菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=o ,AC BD O =I .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -,点M 是棱BC

的中点，DM =

（Ⅰ）求证：//OM 平面ABD ； （Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （Ⅲ）求三棱锥M

-的体积.

B

A

C

D

O

P

A A

B

C

M

O

D

3. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD 1

2

已知四棱锥的底面是菱形．PB PD =，为的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥平面；

（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．

5. 已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点. (I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ； （II ）求证：⊥1BC 平面EAD .

P

A

B

C

D

Q M

6. 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，

90ADE ∠=o ，DE AF //，22===AF DA DE .

(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求证：//AC 平面BEF ；

（Ⅲ）求四面体BDEF 的体积.

7. 如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF

8.如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =

1

2

PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；

（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．

A

B

C

D

F

E

(16)

第题图

9. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°。

（1）证明：平面ＡＤＢ⊥平面ＢＤＣ；

（2 ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。

参考答案：

1. 证明: (I) 因为O 为AB 中点， 所以1

,2

BO AB =

…………………1分 又//,AB CD 1

2

CD AB =

， 所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分 所以ODCB 为平行四边形,所以

//,BC OD …………………3分

又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD 所以//BC 平面

POD . …………………5分

(II)连接OC .

因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为

平行四边形， …………………6分 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，

B

A

C

D

O

P

所以 AC DO ⊥， …………………7分 因为正三角形PAB ,O 为AB 中点，

所以PO AB ⊥ ， …………………8 分 又因为平面ABCD ⊥平面PAB ,平面ABCD I 平面PAB AB = ， 所以PO ⊥平面

ABCD ， …………………10分

而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PO DO O =I ，所以AC ⊥平面

POD . …………………12分

又PD ⊂平面POD ，所以

AC ⊥PD . …………………13分

2. （Ⅰ）证明：因为点是菱形ABCD 的对角线的交点，

所以是的中点.又点M 是棱BC 的中点，

所以是的中位线，. ……………2分 因为平面ABD ,平面ABD ，

所以//OM 平面ABD . ……………4分

（Ⅱ）证明：由题意，,

因为DM =所以，. ……………6分 又因为菱形ABCD ，所以. …………7分 因为OM AC O =I ,

所以平面ABC ， ……………8分

因为平面MDO ，

A

B

C

M

O

D

所以平面ABC ⊥平面MDO . ……………9分

（Ⅲ）解：三棱锥M ABD -的体积等于三棱锥的体积. ……………10分

由（Ⅱ）知，平面，

所以3OD =为三棱锥的高. ……………11分 的面积为， ……………12分

所求体积等于13ABM S OD ∆⨯⨯=. ……………13分

3. 证明：（Ⅰ）AD

121t =//1

2

⊂⊄（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点，

所以EO ∥PC ． 因为EO ⊂平面BDE PC ⊄平面BDE

所以PC ∥平面BDE ．

……………………6分

（Ⅱ）证明：连结OP 因为PB PD =，

所以OP BD ⊥．

在菱形ABCD 中，BD AC ⊥ 因为OP AC O =I 所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE

所以平面PAC ⊥平面BDE ． ……………………13分

P

A

B

C

D Q M

N