高一数学常考立体几何证明题及答案

1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。

2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

3、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,

求证：AD ⊥面SBC ．

4、已知正方体

1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1

AC ⊥面11AB D ．

5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： （1）''AC B D DB ⊥平面； （2）''BD ACB ⊥平面.

6、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中． (1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；

(2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．

7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且2

2

EF AC =，90BDC ∠=， 求证：BD ⊥平面ACD

A

E

D B

C

A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

S

D

C

B A

D 1O

D

B A

C 1

B 1

A 1

C

A 1 A

B 1

B C 1 C

D 1

D

G

E

F

8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面

BDG .

9、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .

10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ；

（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角．

11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0

60DAB ∠=且边长为a 的菱形，

侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥．

12、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1

AO ⊥平面MBD ．

13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，

作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ． 求证：AH ⊥平面BCD ．

14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．

已知：如图，三棱锥S —ABC ，SC ∥截面EFGH ，AB ∥截面EFGH

.

求证：截面EFGH是平行四边形．

15．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝

2

3a，如图．

(1)求证：MN∥面BB1C1C；

(2)求MN的长．

16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

(1)证明：PQ∥平面ACD；

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．

17．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．

求证：(1)直线EF∥面ACD.

（2）平面EFC⊥平面BCD

.

1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE;

（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭

同理，

AD BD DE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。

证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC

又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。

3、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,

求证：AD ⊥面SBC ．

证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ BC ∴⊥面SAC B C A D ∴⊥

又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC

4、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1

AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设

11111

A C

B D O ⋂=，连结1AO

∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形

∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =

11AOC O ∴是平行四边形

111,C O AO AO ∴⊂

∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D

A

E

D

B

C

A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

S

D C

B A D 1

O

D

B

A

C 1B 1

A 1

C