偏导数的几何应用.

例1 求螺旋线 x cost, y sin t, z t 在t=0时
的切线及法平面方程。
解：t=0时，螺旋线上点的坐标为（1，0，0）,
又
dx
sin t
0
dt t 0
t 0
dy
Baidu Nhomakorabea
cost
1
dt t 0
t 0
dz
1
dt t 0
所以所求的切线方程为
x 1 y z 0 11
，或
x
y
1 z
ns 0 由曲线Γ的任意性，即：凡在曲面Σ上过点 P0 (x0, y0, z0 ) 的任一条曲线都在过点P0，并且以n为法向量的切 平面上，故切平面的方程为
Fx( x0, y0, z0 )( x x0 ) Fy( x0, y0, z0 )( y y0 ) Fz( x0, y0, z0 )(z z0 ) 0
2(x 1) 4( y 1) 6(z 1) 0,
即 x 2 y 3z 6 0
法线方程为
x 1 y 1 z 1 2 46
即
x 1 y 1 z 1
1 23
例4 求椭圆抛物面 z 2x2 4 y2 在点P（2，1，12） 处的切平面和法线方程。
解： 设 F (x, y, z) 2x2 4 y2 z, 则
法平面方程为 (x 1) 6( y 3) 2(z 1) 0
即
x 6 y 2z 21 0
二、曲面的切平面与法线
1 曲面的切平面方程
（1）曲面的切平面定义 设空间曲面Σ的方程为 F(x, y, z) 0 , 且过点
P0∈Σ， 过点P0可以在曲面上画无数多条光滑的空 间曲线，每条曲线过点P0都有一条切线，这些切线 在一定条件下，可以位于同一个平面上，这个平面 称为曲面Σ在点P0处的切平面。
方程为
x x0 y y0 z z0
x y z
当点P沿曲线Γ趋于P0时，割线PP0的极限位置 就是曲线Γ在点P0处的切线。如下图：
z
Γ
P
P0
O
y
x
用Δt除上式各段的分母得
x x0
x
y y0
y
z z0
z
t
t
t
当点P沿Γ趋于P0（即Δt→0）时，上式的极 限即是曲线Γ在点P0处的切线方程
（2）切平面的方程 设函数 F (x, y, z) 在点P0处有连续的偏导数，且 三个偏导数不全为零，又设Γ是Σ上过点P0的任意
一条曲线，其方程为
x (t )
y
(t )
z (t )
t
t=t0对应的正是点 P0 (x0, y0, z0 ) 。由定义可知，曲线 Γ在点P0的切线的方向向量为
s {(t0 ), (t0 ), (t0 )}
因为曲线在曲面上，所以有
F[(t), (t), (t)] 0
对此恒等式求全导数得 dF 0
dt
即
Fx( x0 , y0 , z0 )(t0 ) Fy( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fz( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
此式说明 n {Fx( x0 , y0 , z0 ), Fy( x0 , y0 , z0 ), Fz( x0 , y0 , z0 )} 与切线的方向向量s垂直，即
第五节 偏导数的几何应用
一、空间曲线的切线及法平面 二、曲面的切平面与法线
一、空间曲线的切线及法平面
1 切线的方程
设空间曲线 的参数方程为
x (t )
y
(t )
z (t )
t
当 t t0时，上有一点 P0 (x0 , y0 , z0 ) ，在 P0 (x0 , y0 , z0 )的
附近取一点 P (x0 x, y0 y, z0 z) 则割线 P P0 的
2 法线方程 曲面Σ上过点 P0 (x0, y0, z0 ) ，且垂直于切平面的
直线称为曲面在该点的法线，向量n即为法线的方向 向量，所以法线的方程为
x x0 y y0 z z0 Fx( x0 , y0 , z0 ) Fy( x0 , y0 , z0 ) Fz( x0 , y0 , z0 )
x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 )
其中向量 {(t), (t), (t)} 为曲线Γ在点P0处切线的
方向向量 。
2 法平面方程
通过切点，且与切线垂直的平面称为曲线在该 点的法平面。法平面的法向量正是切线的方向向量， 因而法平面的方程为
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
法平面方程为 0(x 1) 1( y 0) 1(z 0) 0
即 yz0
例2
求曲线
y
3x
2
在点P（1，3，1）处的
z 2x 1
切线及法平面方程。
x x
解：曲线的参数方程为
y
3x
2
z 2x 1
又
dx
dy
dz
1,
6x 6,
2
dx x1
dt x1
x 1
dx x1
所以所求的切线方程为
x 1 y 3 z 1 1 62
例3 求椭球面 x2 2 y2 3z2 6在点P（1，1，1） 处的切平面及法线方程。
解：设 F ( x, y, z) x2 2 y2 3z2 6, 则
Fx(1,1,1) 2 x x1 2 Fy(1,1,1) 4 y y1 4 Fz(1,1,1) 6z z1 6
所以所求的切平面方程为
Fx(2,1,12) 4x x2 8 Fy(2,1,12) 8 y y1 8 Fz(2,1,12) 1
所以所求的切平面方程为
8(x 2) 8( y 1) (z 12) 0
即 8x 8 y z 12 0
法线方程为
x 2 y 1 z 12
8
8 1