偏导数在几何上讲义的应用
人大微积分课件8-7偏导数在几何上的应用
x
dx dx
dy = z x , dx y z dz = x y , dx y z
dy
= 0,
dx (1,2, 1)
dz
= 1,
dx (1,2, 1)
由此得切向量 T = {1, 0,1},
所求切线方程为
x 1= 1
y+2 0
=
z 1, 1
法平面方程为( x 1) + 0 ( y + 2) (z 1) = 0,
x = et cos t, y = 2cos t sin t, z = 3e3t ,
x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3,
切线方程 x 0 = y 1 = z 2, 1 23
法平面方程 x + 2( y 1) + 3(z 2) = 0,
即
x + 2 y + 3z 8 = 0.
1.空间曲线方程为
y z
= =
( (
x) ,
x)
在M (x0 , y0 , z0 )处,
切线方程为
x x0 = y y0 = z z0 ,
1 ( x0 ) ( x0 )
法平面方程为
( x x0 ) + ( x0 )( y y0 ) + ( x0 )(z z0 ) = 0.
特殊地：空间曲面方程形为 z = f ( x, y) 令 F (x, y, z) = f (x, y) z,
曲面在 M处的切平面方程为 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y y0 ) = z z0 , 曲面在 M处的法线方程为
偏导数的应用 (2)
一、偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩假定(),(),()x t y t z t 均可导,'''000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+∆的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +∆+∆+∆.割线0M M 的方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆ 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.上式分母同除以t ∆得000x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆ 当0t ∆→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程000'''000()()()x x y y z z x t y t z t ---==向量'''000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦. 通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为 '''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程.解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量'''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为100011x y z ---== 在点(1,0,0)处的法平面方程为0(1)1(0)1(0)0x y z ⨯-+⨯-+⨯-=即 0y z += 【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线和法平面方程.解 把x 看作参数,此时曲线方程为sin 2x x y x x z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩ '''11,cos 1,2x x x x x y x z ππππ=======-=在点,0,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为 021112z x y ππ---==-法平面方程为1()(0)()022x y z ππ---+-=即 4425x y z π-+=2.曲面的切平面与法线 设曲面S 的方程为0000(,,)0,(,,)F x y z M x y z =是曲面上的一点,假定函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零,设L 是曲面S 上过点0M 的任意一条曲线,L 的方程为(),(),()x x t y y t z z t ===,与点0M 相对应的参数为0t ,则曲线L 在0M 处的切线向量为'''000{(),(),()}x t y t z t =T .因L 在S 上,故有[(),(),()]0F x t y t z t =此恒等式左端为复合函数,在0t t =时的全导数为0''''''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0t t x y z dF F x y z x t F x y z y t F x y z z t dt==++= 记'''000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z =n ,则0⋅=T n ,即n 与T 互相垂直.由于曲线L 是曲面上过0M 的任意一条曲线,所以在曲面S 上所有过0M 点的曲线的切线都与同一向量n 垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在0M 处的切平面.向量n 是切平面的法向量,称为曲面在0M 处的法向量.切平面方程为'''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=过点0M 与切平面垂直的直线,称为曲面S 在点0M 处的法线,其方程为000'''000000000(,)(,)(,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==若曲面方程由(,)z f x y =给出,则可令(,,)(,,)0F x y z f x y z z =-=于是''''',,1x x y y z F f F f F ===-这时曲面在0000(,,)M x y z 处的切平面方程为''0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=法线方程为000''0000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-【例3】求椭球面222326x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面和法线方程.解 设222(,,)326F x y z x y z =++-''''''(,,)2,(,,)6,(,,)4(1,1,1)2,(1,1,1)6,(1,1,1)4x y z xyzF x y z x F x y z y F x y z z F F F ======故在点(1,1,1)处椭球面的切平面方程为 2(1)6(1)4(1)0x y z -+-+-= 即3260x y z ++-=法线方程为111132x y z ---==【例4】 求旋转抛物面22z x y =+在点(1,1,2)-处的切平面方程和法线方程.解 由22z x y =+得''(1,1)(1,1)(1,1)22,(1,1)22x y f xf y---==-==-切平面方程为 22(1)2(1)z x y -=--+ 即222x y z --=法线方程为112221x y z -+-==--二、多元函数极值1. 二元函数的极值【例5】 曲面z =在点(0,0)有极小值0z =.【例6】 曲面2244z x y =--在点(0,0)有极大值4z =.与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.定义1 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤(或00(,)(,)f x y f x y ≥)则称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y .而称点00(,)x y 为函数(,)z f x y =的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.2.极值的检验法 (1) 一阶偏检验定理1 (必要条件)设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,且在该点的偏导数存在,则必有''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.证明不妨设(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,根据极值定义,对00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y ,有00(,)(,)f x y f x y ≤在点00(,)x y 的邻域内,也有000(,)(,)f x y f x y ≤,这表明一元函数0(,)f x y 在0x x =处取得极大值.因此,有'00(,)0x f x y =同理可证'00(,)0y f x y =与一元函数类似,使一阶偏导数''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==的点(,)x y 称为函数(,)z f x y =的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点. (2) 二阶偏检验定理2 (充分条件)设函数(,)z f x y =在定义域内的一点00(,)x y 处有二阶连续偏导数,且''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.记''''''000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ===,则(1) 当20B AC -<且0A >时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极小值00(,)f x y ;当20B AC -<且0A <时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极大值00(,)f x y ;(2) 当20B AC ->时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处无极值;(3) 当20B AC -=时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可能有极值,也可能无极值. 综上可得,具有连续二阶偏导数的函数(,)z f x y =,其极值求法如下:(1) 先求出偏导数'''''',,,x y xx yyf f f f ; (2) 解方程组''(,)0(,)0x y f x y f x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,求出定义域内全部驻点;(3) 求出驻点处的二阶偏导数值:'''''',,xx xy yy A f B f C f ===,确定2B AC ∆=-的符号,并判断()f x 是否有极值,如果有,求出其极值.【例7】 求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值.解 先求偏导数'2'2''''''(,)33,(,)336,3,6x y xxxyyyf x y x y f x y y x f x f f y=-=-==-=解方程组22330330x y y x ⎧-=⎨-=⎩,求得驻点为(0,0),(1,1).在驻点(0,0)处,''''''(0,0)0,(0,0)3,(0,0)0xx yy yy A f B f C f ====-==,2B AC -= 90>,于是(0,0)不是函数的极值点.在驻点(1,1)处,''''''2(1,1)6,(1,1)3,(1,1)6,27xx xy yy A f B f C f B AC ====-==-=- 0<,且60A =<,所以点(1,1)是函数的极小值点,(1,1)1f =-为函数的极小值.3.最大值与最小值如果函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上连续,则函数在D 上一定取得最大值和最小值.如果函数的最大值或最小值在区域D 的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域D 上的最大值,最小值便是函数在闭区域D 上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值. 【例8】求函数(,)f x y =22:1D x y +≤上的最大值.解 在D 内(221x y +<),由''0,0x y f f ====解得驻点为(0,0),(0,0)2f =.在D 的边界上(221x y +=)221(,)2y f x y +===<故函数在(0,0)处有最大值(0,0)2f =. 【例9】 要做一容积为a 的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料? 解 所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小.该容器的长、宽、高分别为,,x y z ，表面积为S ，则有xyz a =22S xy xz yz =++消去z ，得表面积函数22a a S xy y x=++ 其定义域为0,0x y >>由'2'22020x y a S y x a S x y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，求得驻点为.由于D 为开区域,且该问题必有最小值存在,于是必为S 的最小值点,此时a z xy==即长方体长、宽、高分别为,容器所需铁皮最少,其表面积为S =. 【例10】某公司每周生产x 单位A 产品和y 单位B 产品,其成本为22(,)221000C x y x xy y =+++产品,A B 的单位售价分别为200元和300元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润. 解 依题意,公司的收益函数为(,)200300R x y x y =+因此,公司的利润函数为22(,)(,)(,)200300221000P x y R x y C x y x y x xy y =-=+----令''(,)200220(,)300240x yP x y x y P x y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩,得驻点(50,50).利用二阶偏检法,求二阶偏导数''''''(,)2,(,)2,(,)4xx xy yy P x y P x y P x y =-=-=-，显然二阶偏导数在驻点(50,50)的值为22,2,4,40,20A B C B AC A =-=-=--=-<=-<。
高数第五节 偏导数的几何应用
偏导数的 几何应用
一、复习直线与平面
1. 直线L的方程：
对称式、点向式方程
一般式方程
x x0 y y 0 z z 0 p n m
A 1 x B 1 y C1 z D 1 0 或 A 2 x B 2 y C2 z D2 0
2. 平面Π的方程： B1 方向向量 {p, n, m}或S { S 一般式方程 B2
Ax By Cz D 0 A(x x0 ) B(y y 0 ) C(z z 0 ) 0 n 3. 空间曲线Γ的方程：法向量 { C1 A 1 A 1 B1 , 点法式方程 , }平行于L。 C2 C2 A 2 A 2 B 2
曲面的切平面与法线举例 x2 y 2 z 2 a b c 例3 求椭球面 椭： 2 2 2 1在点( , , )处的切平面 切 a b c 3 3 3
x2 y 2 z 2 解：设F( x, y , z ) 2 2 2 1 a b c 2x 2 2y 2 2z Fx 2 , Fy 2 , Fz 2 a x a a 3 b y b b 3 c
x 1 y2 z 1 L切： 1 0 1
法： 6(x 1) 0 ( y 2) 6(z 1) 0 即：x z 0
讨论 : 将的参数方程中的参变量取为y或z,能否求出s切 ?
1. 一般空间曲面
三、曲面的切平面与法线
设空间曲面 : F( x, y , z ) 0, 如果Fx、Fy、Fz在P0 ( x 0 , y 0 , z 0 )连续， 则在P0点有切平面： (其法向量 {Fx , Fy , Fz }) n 切方程为： x ( P0 )( x x 0 ) Fy ( P0 )( y y 0 ) Fz ( P0 )( z z 0 ) 0 F
数学分析,偏导数
0
，设上述方程组在点 M 0 确定了一对函数
y y ( x ), z z( x)
这时容易把它化成刚才讨论过的情形： 由这两个方程可解出
dy dx D (F ,G ) D (z, x) D (F ,G ) D ( y, z) , dz dx D (F ,G ) D ( x, y ) D (F ,G ) D ( y, z)
过 M 0 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 M 0 点的 法线，其方程为
X x0 ( Fx ) M 0 Y y0 (Fy )M 0 Z z0 ( Fz ) M 0
该法线的一组方向数为：
( Fx ) M 0 , ( F y ) M 0 , ( Fz ) M 0
综上所述若曲面方程为
法线方程为
X x0 f x ( x 0 , y 0 ) Y y0 f y ( x 0 , y 0 ) Z z0 1
㈢
若曲面方程为参数形式：
x x ( u , v ), y y ( u , v ), x ( u , v ), z z (u , v ) y y (u , v ) v v( x, y ) z z ( u ( x , y ), v ( x , y ) )
M
0
(Y y 0 )
D (F ,G ) D ( x, y )
M
0
(Z z0 ) 0
x t , y 2 t , z t 在点 例1 求曲线 切线及法平面方程。 ' ' ' 2 解： xt 1 , y t 2t , z t 3t
3
(1, 2 ,1) 处的
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
偏导数在几何中的应用
偏导数在几何中的应用姓名：徐恩义班级：电子商务1132学号：201121102221偏导数在几何中的应用一、失量函数的微分法1、失量函数的概念我们知道，质点运动时，它的轨道是情况并不多，一般情况下是一条曲线，而且往往是一条空间曲线，设在空间中取定了一个直角坐标oxyz,动点P在点时刻t坐标为（x,y,z),它的运动方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t) (1)这里 x(t),y(t),z(t)是时间的三个连续函数。
如果把动点p 与原点o连结起来（如图8-21）就得到以原点为起点，动点为终点的矢量：（矢径）, 其坐标为, 而动点的运动方程为（2）当t变动时，r的摸与方向一般都随着变动，即对每一个，按（2）式都有唯一的矢量r与之对应，这个对应规律称为矢值函数，记为r=r(t)的动点p(x,y,z)画出的曲线，叫做矢值函数r=r(t)的矢端曲线，一般情况下t并不一定代表时间，而是在某一变化范围内的取值.2、矢值函数的导数设矢值函数，若给t以增量，矢量r 相应的增量为.定义若极限都存在则极限称为矢值函数r=r(t)在r处的导数（称矢量导数）记作或，即.物理意义：设表示质点p的运动方程，其运动轨迹是一条曲线（图8-22）在时间间隔[内，质点p的位移为;平均速度; 平均速度的极限.即质点在时刻t时瞬时速度v(t)为.速度v(t)是一个矢量，它们的方向是质点p在时刻时运动方向，其大小为进一步可得就是质点运动的加速度.几何意义：若，由若曲线在曲线上点p处的切线存在，则割线当时的极限位置的直线就是切线PT，从而是位于切线上的矢量，即就是切线的方向向量，我们称为曲线在p点的切矢量.二、偏导数的几何意义前面已经说明，二元函数z=f(x，y)的图形一般是一张曲面，它在点(x0，y0)处对x的偏导数相当于一元函数z=f(x，y0)在点x0处的导数，在几何上，函数z=f(x，y0)的图形可看成在平面y=y0上的曲线，即曲面z=f(x，y)和平面y=y0的交线。
偏导数的应用 (2)-8页文档资料
一、偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面设空间曲线L 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩假定(),(),()x t y t z t 均可导,'''000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+∆的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +∆+∆+∆.割线0M M 的方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆ 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.上式分母同除以t ∆得000x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆当0t ∆→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程000'''000()()()x x y y z z x t y t z t ---== 向量'''000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦.通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为'''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程. 解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量'''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为100011x y z ---==在点(1,0,0)处的法平面方程为0(1)1(0)1(0)0x y z ⨯-+⨯-+⨯-=即0y z +=【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线和法平面方程.解 把x 看作参数,此时曲线方程为sin 2x x y x x z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩ '''11,cos 1,2x x x x x y xz ππππ=======-=在点,0,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为21112z x y ππ---==-法平面方程为1()(0)()022x y z ππ---+-=即4425x y z π-+=2.曲面的切平面与法线设曲面S 的方程为0000(,,)0,(,,)F x y z M x y z =是曲面上的一点,假定函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零,设L 是曲面S 上过点0M 的任意一条曲线,L 的方程为(),(),()x x t y y t z z t ===,与点0M 相对应的参数为0t ,则曲线L 在0M 处的切线向量为'''000{(),(),()}x t y t z t =T .因L 在S 上,故有[(),(),()]0F x t y t z t =此恒等式左端为复合函数,在0t t =时的全导数为0''''''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0t t x y z dF F x y z x t F x y z y t F x y z z t dt==++= 记'''000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z =n ,则0⋅=T n ,即n 与T 互相垂直.由于曲线L 是曲面上过0M 的任意一条曲线,所以在曲面S 上所有过0M 点的曲线的切线都与同一向量n 垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在0M 处的切平面.向量n 是切平面的法向量,称为曲面在0M 处的法向量.切平面方程为'''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=过点0M 与切平面垂直的直线,称为曲面S 在点0M 处的法线,其方程为000'''000000000(,)(,)(,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==若曲面方程由(,)z f x y =给出,则可令(,,)(,,)0F x y z f x y z z =-=于是''''',,1x x y y z F f F f F ===-这时曲面在0000(,,)M x y z 处的切平面方程为''0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=法线方程为000''0000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-【例3】求椭球面222326x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面和法线方程. 解 设222(,,)326F x y z x y z =++-''''''(,,)2,(,,)6,(,,)4(1,1,1)2,(1,1,1)6,(1,1,1)4x y z xyzF x y z x F x y z y F x y z z F F F ======故在点(1,1,1)处椭球面的切平面方程为2(1)6(1)4(1)0x y z -+-+-=即 3260x y z ++-=法线方程为111132x y z ---==【例4】 求旋转抛物面22z x y =+在点(1,1,2)-处的切平面方程和法线方程.解 由22z x y =+得 ''(1,1)(1,1)(1,1)22,(1,1)22x y f xf y---==-==-切平面方程为22(1)2(1)z x y -=--+即 222x y z --=法线方程为112221x y z -+-==--二、多元函数极值1. 二元函数的极值【例5】曲面z =在点(0,0)有极小值0z =. 【例6】 曲面2244z x y =--在点(0,0)有极大值4z =.与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.定义1 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤(或00(,)(,)f x y f x y ≥)则称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y .而称点00(,)x y 为函数(,)z f x y =的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.2.极值的检验法 (1) 一阶偏检验定理1 (必要条件)设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,且在该点的偏导数存在,则必有''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.证明 不妨设(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,根据极值定义,对00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y ,有00(,)(,)f x y f x y ≤在点00(,)x y 的邻域内,也有000(,)(,)f x y f x y ≤,这表明一元函数0(,)f x y 在0x x =处取得极大值.因此,有'00(,)0x f x y =同理可证'00(,)0y f x y =与一元函数类似,使一阶偏导数''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==的点(,)x y 称为函数(,)z f x y =的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点. (2) 二阶偏检验定理2 (充分条件)设函数(,)z f x y =在定义域内的一点00(,)x y 处有二阶连续偏导数,且''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.记''''''000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ===,则(1) 当20B AC -<且0A >时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极小值00(,)f x y ;当20B AC -<且0A <时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极大值00(,)f x y ; (2) 当20B AC ->时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处无极值; (3) 当20B AC -=时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可能有极值,也可能无极值.综上可得,具有连续二阶偏导数的函数(,)z f x y =,其极值求法如下:(1) 先求出偏导数'''''',,,x y xx yy f f f f ; (2) 解方程组''(,)0(,)0x yf x y f x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,求出定义域内全部驻点;(3) 求出驻点处的二阶偏导数值:'''''',,xx xy yyA fB fC f ===,确定2B AC ∆=-的符号,并判断()f x 是否有极值,如果有,求出其极值.【例7】 求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值.解 先求偏导数'2'2''''''(,)33,(,)336,3,6x y xxxyyyf x y x y f x y y x f x f f y=-=-==-=解方程组22330330x y y x ⎧-=⎨-=⎩,求得驻点为(0,0),(1,1).在驻点(0,0)处,''''''(0,0)0,(0,0)3,(0,0)0xx yy yy A f B f C f ====-==,2B AC -=90>,于是(0,0)不是函数的极值点.在驻点(1,1)处,''''''2(1,1)6,(1,1)3,(1,1)6,27xx xy yy A f B f C f B AC ====-==-=- 0<,且60A =<,所以点(1,1)是函数的极小值点,(1,1)1f =-为函数的极小值.3.最大值与最小值如果函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上连续,则函数在D 上一定取得最大值和最小值.如果函数的最大值或最小值在区域D 的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域D 上的最大值,最小值便是函数在闭区域D 上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值. 【例8】求函数(,)f x y =22:1D x y +≤上的最大值.解 在D 内(221x y +<),由''0,0x y f f ====解得驻点为(0,0),(0,0)2f =. 在D 的边界上(221x y +=)221(,)2y f x y +===<故函数在(0,0)处有最大值(0,0)2f =.【例9】 要做一容积为a 的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料?解 所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小.该容器的长、宽、高分别为,,x y z ，表面积为S ，则有xyz a =22S xy xz yz =++消去z ，得表面积函数22a a S xy y x=++ 其定义域为0,0x y >>由'2'22020x y a S y x a S x y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，求得驻点为.由于D 为开区域,且该问题必有最小值存在,于是必为S 的最小值点,此时az xy==,即长方体长、宽、高分别为时,容器所需铁皮最少,其表面积为S =.【例10】某公司每周生产x 单位A 产品和y 单位B 产品,其成本为22(,)221000C x y x xy y =+++产品,A B 的单位售价分别为200元和300元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润. 解 依题意,公司的收益函数为(,)200300R x y x y =+因此,公司的利润函数为22(,)(,)(,)200300221000P x y R x y C x y x y x xy y =-=+----令''(,)200220(,)300240x y P x y x y P x y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩,得驻点(50,50). 利用二阶偏检法,求二阶偏导数''''''(,)2,(,)2,(,)4xx xy yy P x y P x y P x y =-=-=-，显然二阶偏导数在驻点(50,50)的值为22,2,4,40,20A B C B AC A =-=-=--=-<=-<。
偏导数的几何应用
x x0 y y0 z z0 M0M所在直线方程为 x y z x x0 y y0 z z0 从而 x y z 由M M 0时t 0 t t t
x x0 y y0 z z0 则切线方程为 ( t0 ) ( t0 ) ( t0 )
则Fx ( t0 ) Fy ( t0 ) Fz ( t0 ) 0.
即Fx , Fy , Fz ( t0 ), ( t0 ), ( t0 ) 0, n { Fx , Fy , Fz }与切向量 T垂直, n即为切平面的法向量 .
Solution. 可选x为参数, 得切向量为
dy dz T {1, , } dx ( x0 , y0 , z0 ) dx ( x0 , y0 , z0 )
可选y为参数, 得切向量为 dx dz T { ,1, dy ( x , y , z ) dy ( x
0 0 0
}
0 , y0 , z0 )
切平面为 Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( y y0 ) Fz ( z z0 ) 0,
x x0 y y0 z z0 法线为 . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
m 1 T {1, , } y0 2 z0
y y0 z z0 故切线方程为x x0 , m / y0 1 / 2 z0 m 1 法平面方程为( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) 0. y0 2 z0
F ( x , y, z ) 0 2.设曲线为 , 求其切线和法平面方程 . G ( x , y, z ) 0
偏导数在几何上的应用
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详细描述
梯度是一个向量，其大小等于函数在该点的方向导数的最大值，其方向则是该方向导数最大的方向。梯度的计算 涉及到偏导数的计算，可以通过对偏导数进行向量运算得到。
偏导数与高斯公式和格林公式
总结词
高斯公式和格林公式是微积分中的重要公式，它们涉及到偏导数的概念，可以用来解决某些几何问题 。
详细描述
高斯公式和格林公式分别描述了三维空间和二维平面中体积分和曲线积分与偏导数的关系。它们在计 算几何形状的体积、表面积、曲线长度等几何量时非常有用。通过这些公式，我们可以将复杂的几何 问题转化为相对简单的积分问题，从而方便地求解。
偏导数与函数图像的凹凸性
总结词
偏导数可以用来判断函数图像的 凹凸性。
详细描述
如果一个函数在某一点的偏导数 大于零，则该点附近的函数图像 是凹的；如果偏导数小于零，则 该点附近的函数图像是凸的。
偏导数与函数图像的单调性
总结词
偏导数可以用来判断函数图像的单调性。
详细描述
如果一个函数在某一点的偏导数大于零，则该点附近函数值是递增的；如果偏 导数小于零，则该点附近函数值是递减的。这为研究函数的单调性提供了重要 的几何解释。
偏导数在几何上的应用
目录 CONTENT
• 偏导数的几何意义 • 偏导数在几何优化问题中的应用 • 偏导数在解决几何问题中的具体
应用 • 偏导数在几何中的其他应用
01
偏导数的几何意义
偏导数与切线斜率
总结词
偏导数可以用来描述函数图像上某一 点的切线斜率。
详细描述
在几何上，偏导数表示函数在某一点 处沿某一方向的变化率，即切线的斜 率。对于二元函数，偏导数可以表示 空间曲面在某一点的切平面。
数学分析ch12-5偏导数在几何中的应用教材课程
求函数在某点的偏导数时，首先要选定一个自变量让其发生变化 ，而其余的自变量则保持不变。然后将选定的自变量代入到原函 数中，并对该函数求导。最后，将求导结果中的自变量替换为选 定的点的坐标值，即可得到该点处的偏导数。
偏导数存在性与连续性关系
偏导数存在性
如果函数在某点的某个方向上的偏导数存在，那么该函数在 该点上沿着这个方向是可微的。但是，即使函数在某点的所 有方向上的偏导数都存在，该函数在该点也不一定可微。
高阶偏导数的性质
高阶偏导数具有一些重要的性质，如交换性、对称性和可加性等。其中交换性指的是混合偏导数的顺序可以交换 而不影响结果；对称性指的是在某些特殊情况下，混合偏导数的结果与求导顺序无关；可加性则是指高阶偏导数 可以拆分为多个低阶偏导数的组合进行计算。
02
偏导数在几何中意义
空间曲线切线与法平面方程
偏导数在几何形状描述中应用
80%
形状分析
通过偏导数可以分析几何形状的 变化趋势，如曲线的弯曲程度和 曲面的凹凸性等。
100%
最优化问题
在求解某些最优化问题时，偏导 数可用于判断目标函数在某一点 处的变化率，从而确定最优解的 位置。
80%
物理应用
偏导数在物理学中也有广泛应用 ，如描述质点运动轨迹的切线和 法平面、求解电场和磁场的分布 等。
数学分析ch12-5偏导数在几 何中的应用教材课程
目
CONTENCT
录
• 偏导数概念及性质 • 偏导数在几何中意义 • 多元函数极值与最值问题 • 隐函数存在定理及其几何意义 • 偏微分方程简介及其在几何中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
偏导数概念及性质
偏导数定义与计算方法
偏导数定义
偏导数在几何中的应用-PPT精选文档
§5 偏导数在几何中的应用 一、空间曲线的切线和法平面
二、曲面的切平面与法线 三、曲面的参数方程形式
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一、空间曲线的切线与法平面
x x (t) y y ( t ) (1 ) z z(t)
设空间曲线的方程
(1)式中的三个函数均可导.
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补例 1 求曲线 : x 0 e u cos udu， y 2 sin t
cos t , z 1 e 3 t 在 t 0处的切线和法平面方程.
t
解 当 x 0 , y 1 , z 2 , t 0时 ，
t 3 t 2 cos t sin t ,z 3 x e cos t, y e ,
在M处的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T x ( t ) ,( y tz ) ,( t ) 0 0 0
在M处的法平面方程：过M点且与切线垂直的平面.
x ( t ) () x x y ( t ) () y y z ( t ) ( z z ) 0 0 0 0 0 0 0
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切向量为 T 1 , y () x , zx ()
或
( F , G ) ( F , G ) ( F , G ) T , , ( y , z ) (, zx ) ( xy , )
切线方程为
法平面方程为
xx yy zz 0 0 0 , (FG , ) (FG , ) (FG , ) (y ,z ) (z ,x ) (x ,y )
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x x y y z z 0 0 0 , 1 ( x ) ( x ) 0 0
偏导数在几何上的应用
偏导数在几何上的应用引言：偏导数是微积分中的重要概念，它描述了一个多元函数在某一点上沿着坐标轴方向的变化率。
在几何学中，偏导数的概念也有许多应用。
本文将探讨偏导数在几何上的应用，并分析其中的几个具体例子。
一、曲面的切平面和法线在空间中，一个曲面可以用一个方程来表示。
对于一个多元函数，其图像可以看作是一个曲面。
对于这个函数，我们可以求出它在某一点处的偏导数。
在几何上，这个偏导数可以用来描述曲面在该点处的切平面和法线。
切平面是曲面在某一点处与曲面相切的平面。
我们可以通过求偏导数来确定切平面的方程。
偏导数表示了曲面在该点处沿着坐标轴方向的变化率，从而确定了切平面的法向量。
通过求解方程，我们可以得到切平面的方程表达式。
法线是与切平面垂直的直线。
通过求偏导数，我们可以计算出曲面在该点处的法向量。
法向量与切平面的方程相互垂直，因此可以作为法线的方向。
二、曲线的切线和法线类似于曲面，曲线在某一点处的切线和法线也可以通过偏导数来确定。
对于一个二元函数，我们可以求出它在某一点处的偏导数。
在几何上，这个偏导数可以用来描述曲线在该点处的切线和法线。
切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线。
我们可以通过求偏导数来确定切线的斜率。
偏导数表示了曲线在该点处沿着坐标轴方向的变化率，从而确定了切线的斜率。
通过求解方程，我们可以得到切线的方程表达式。
法线是与切线垂直的直线。
通过求偏导数，我们可以计算出曲线在该点处的斜率。
法线的斜率是切线斜率的倒数的相反数，因此可以作为法线的斜率。
三、曲面的凸凹性通过求偏导数，我们可以研究曲面的凸凹性质。
在某一点处，如果曲面的二阶偏导数大于零，则该点是曲面的凸点；如果二阶偏导数小于零，则该点是曲面的凹点。
凸凹性可以用来描述曲面在某一点处的形状。
对于一个凸点，其周围的曲面向外凸出；对于一个凹点，其周围的曲面向内凹陷。
通过求解二阶偏导数，我们可以得到曲面在该点处的凸凹性质。
四、曲线的拐点类似于曲面，曲线在某一点处的拐点也可以通过偏导数来确定。
偏导数在几何中的应用
设 M (x 0,y 0,z0)对 , t应 t0 ; 于
M (x0x,y0y,z0z)
对应 tt0 于 t.
x
M
o
y
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割线 MM 的方程为
z
M
xx0yy0zz0
x y z
M
xo y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 t,
同理 gradG(P0 ) 0。因此平面 π 就是曲线 在 P0
点的法平面。
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例 12．5.2 求曲线 x2 y2 z2 6，x y z 0在 点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
解 1 直接利用公式;
解 2 将所给方程的两边对 x求导并移项，得
1 0 1 法平面方程为 ( x 1 ) 0 ( y 2 ) ( z 1 ) 0 ,
xz0
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补例 2 求两柱面 x2 y2 R2 , x2 z2 R2交线 在点( R , R , R )处的切线及法平面方程.
22 2
解 x 2 y 2 R 2 ,x 2 z2 R 2
xx0yy0zz0, x y z
t
t
t
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当 M M ,即 t 0 时 , 曲线在M处的切线方程
xx0 yy0 zz0. x(t0) y(t0) z(t0)
在M处的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T x ( t 0 ) ,y ( t 0 ) ,z ( t 0 )
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由空间解析几何知道，由一点及两个线性无
关（即非平行）的向量确定一张过该点的平面（称
为这两个向量张成的平面），平面上的任一向量都
偏导数在几何中的应用
通过点 M( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线. 法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M处的法向量即
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程
x x(t)
y
y(t )
(1)
z z(t )
(1)式中的三个函数均可导.
z
• M
设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0;
M( x0 x, y0 y, z0 z)
对应于 t t0 t.
x
•M
o
y
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割线 MM 的方程为
关于x求偏导得 y x 1, z x 1
y
z
T 1,1,1
所求切线方程为 x R ( y R ) (z R )
2
2
2
法平面方程为 x R ( y R ) (z R ) 0
2
2
2
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二、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F(x, y,z) 0
n
T
在曲面上任取一条通
在M处的切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )
在M处的法平面方程：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
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补例 1
求曲线
:
x
t
0
数学分析ch12-5偏导数在几何中的应用
(F,G)
2。
(x, y) (1,1,2)
x 1 y 1 z 2 ， 即 x 1 y 1 z 2 ；
4 6 2
2 3 1
法平面方程为
4(x 1) 6( y 1) 2(z 2) 0，即 2x 3y z 3 0 。
解法二： 在所给的两个曲面方程两边对 x 求导，
2x 1
：
x
2
y2
z2
2y
4,
在点 (1,1,2) 处的切线
x y z 0
和法平面的方程。
z
O y
(1,1,-2) x
图12.5.3.
解法一：直接利用公式求解。 曲线 的方程为
F(x, y, z) x2 y 2 z 2 2y 4 0, G(x, y, z) x y z 0.
数学分析ch12-5偏导数在几何中的应 用
定 义 12.5.1 若 r(t) x(t)i y(t) j z(t)k 在 [a,b] 上 连 续 ， 并 且 r(t) 0, t [a,b]，则称
r(t) x(t)i y(t) j z(t)k, a t b
所确定的空间曲线为光滑曲线。
y z
y0 , z0.
向量 r(t0 ) (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) 就是曲线 在 P0 点的切线的一个方 向向量，也称为 在 P0 点的切向量。
过 P0 点且与切线垂直的平面称为曲线 在 P0 点的法平面。显然， 该法平面的一个法向量就是 在 P0 点的切向量，因此曲线 在 P0 点的 法平面方程可写成
所以
(F,G) 2y 2
2z 2( y z 1),
(F,G) 2z
2x 2(z x),
(y, z) 1 1
函数偏导数的几何意义
函数偏导数的几何意义
x方向的偏导
把y固定在y0而让x在x0偏导数有增量△x,相应地函数z=f(x,y)有增量△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0).当△x→0时的极限存在那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数.记作f'x(x0,y0).
同理Y方向
偏导数几何意义是：如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。
偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。