第三章 一维扩散方程
扩散方程的差分解法
（24）
则
， （25）
则误差方程为
（26）
误差放大因子为
（27）
要满足稳定性条件，则要求对所有的k值均有 。从（28）式中可以看出，当 （即 ）时， 恒成立。因此，全隐格式是无条件稳定的。
4.4收敛性
如果差分方程的解为 ，微分方程的解为 ，若当 ， 时，差分方程的解与微分方程的解之差
扩散方程的差分解法
在研究热传导过程、扩散过程、边界层现象时，我们常常遇到抛物型方程，这类方程中最典型、最简单的就是热传导方程。热传导方程中的自变量中包括时间t，它是描述一种随时间变化的物理过程，即所谓不定常现象。这类问题的基本定解问题应是初值问题，即在初始时刻（t=0）时给定定解条件，求解t>0时的解。
write(2,*) 'x=',x,'m'
do n=1,nt,200
write(2,*) (n-1)*dt,u(j,n)
enddo
if
enddo
!-----------!
end
5.3.2全隐格式
!----------------------------------------全隐格式求解扩散方程-----------------------------------------------!
由以上对一维扩散问题的分析，可知，求解一维扩散方程需给定初始条件及边界条件。
在本文计算中，取 ， 。
初始条件（ 时）
（29）
边界条件为
（30）
其初始时刻（ ）时的u分布如图1所示，x=0m处u随时间变化情况如图2所示，x=10m处u随时间变化情况如图3所示。
图1初始时刻u分布图
图2 x=0处u随时间变化图
一维、稳态热传导
辐射热阻
Rt,rad
Ts Tsur qrad
1 hr A
K W
（4）热阻的应用：等效热回路
串联
qx
T,1 Ts,1 1 h1A
Ts,1 Ts,2 L kA
Ts,2 T,2 1 h2 A
qx
T,1 T,2 1 L 1
T,1 T,2 Rtot
总温差 总热阻
h1A kA h2 A
qx
k L
Ts,1 Ts,2
热流 热流密度
常数：平壁的特征 热流密度计的基础
• 求解热传导问题的标准方法： 1 先通过求解适当形式的热传导方程得到温度分布。 2 再利用温度分布和傅里叶定律确定传热速率。
热传导方程仅仅是能量守恒方程的一种表达，源自傅里叶定律和能量守恒定律。 故直接使用能量守恒和傅里叶定律也可解决导热问题！
k
dT dr
r
ln
k
r2
/
r1
Ts,1 Ts,2
qr
2 rqr
2 k
ln r2 / r1
Ts,1 Ts,2
qr 2 rLqr
2 Lk
ln r2 / r1
Ts,1 Ts,2
这里为啥空着？
Rt,cond
ln r2 / r1
2 k
Rt,cond
ln r2 / r1
2 Lk
Units m K/W Units K/W
对于一维、稳态、无内热源的圆柱壳，
热扩散方程的形式为
1 r
d dr
kr
dT dr
0
T r r1 Ts,1
T r r2 Ts,2
导热系数为常数时，积分可得
内流和外流，平均系数
一维扩散方程 自相似解
一维扩散方程自相似解一维扩散方程是描述物质在空间中扩散传播的方程。
它在许多物理和工程领域中都有广泛的应用，例如热传导、扩散过程中的物质浓度变化等。
一维扩散方程的自相似解是指在特定的条件下，方程的解在空间和时间上具有相似性。
先来看一维扩散方程的一般形式：∂u/∂t = D ∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示扩散物质在时刻t、位置x处的浓度或温度；D 是扩散系数，反映了传导介质的特性。
对于自相似解，我们希望找到一种特殊的解形式，使得在空间和时间上，解在不同位置和不同时刻具有相似的形态。
为了得到自相似解，我们将引入相似变换。
假设我们有一个自变量变换：x' = x/√(Dt)，t' = t/√(Dt)，其中D是扩散系数。
通过这个变换，我们可以将原方程变为：∂u/∂t' = ∂²u/∂x'²接下来，我们将应用这个相似变换，来找到一维扩散方程的自相似解。
首先，我们将把扩散方程作为自变量进行变换：u(x,t) = U(x',t')将自变量变换带入一维扩散方程：∂U/∂t' = ∂²U/∂x'²接下来，我们对新的变量x'和t'进行求导，以确定新的依赖关系：∂u/∂x = ∂U/∂x' * ∂x'/∂x + ∂U/∂t' * ∂t'/∂x∂u/∂t = ∂U/∂x' * ∂x'/∂t + ∂U/∂t' * ∂t'/∂t在相似变换中，∂x'/∂x = 1/√(Dt)，∂t'/∂x = 0，∂x'/∂t = 0，∂t'/∂t = 1/√(Dt)，将这些值带入方程，可得：∂u/∂x = (1/√(Dt)) * ∂U/∂x'∂u/∂t = (1/√(Dt)) * ∂U/∂t'将这些结果代入一维扩散方程，有：(1/√(Dt)) * ∂U/∂t' = (1/√(Dt)) * ∂²U/∂x'²可以发现，新的方程中√(Dt)这一项在两边都能够相互抵消。
一维传热
一维传热扩散方程和求解3.185 2003秋季一维传热扩散方程的k,ρ，（传热系数，密度，比热）对溶质的扩散方程是常数：cp或者在圆柱型坐标：球型坐标1：最重要的不同是在非稳态中使用了热扩散系数pc kρα＝，但在傅立叶第一定律中使用了热传导系数k 来计算热通量：基于以上原因，把D 用k 和α来代替，并使p c ρ等于1，就可以得到溶质扩散方程。
1许多书上都简化了圆柱和球形方程，分别被r 和r 除，并使含有r 的项分离出来，就得到2圆柱型p c q r T r r T t Tρα&+∂∂+∂∂=∂∂)122(球型p c q r T r r T t T ρα&+∂∂+∂∂=∂∂)222(一维热传导答案1. 稳态（ａ）无热量产生i 笛卡尔方程：答案：Ｔ＝Ａｘ＋Ｂ通过平板的传导通量大小和通过流体边界层的热传导（和一级化学反应或者通过流体边界层的质量传递相似）：（是流体温度，和扩散中的流体浓度相似；是流体反方向的温度） fl T 1T 无量纲形式：其中khLh =π（ａ．ｋ．ａ毕渥数） ⅱ圆柱型方程答案Ｔ＝Ａ㏑ｒ＋Ｂ结合在通过流体边界层的热量传热和在，之间的通过柱体的传导的通量大小1R 1R 2Rⅲ球坐标方程答案Ｔ＝Ａ／ｒ＋Ｂ（b）产生恒定的热量¡笛卡尔方程答案ⅱ圆柱坐标方程答案ⅲ球坐标方程答案（c）（只有扩散）一级均向反应消耗反应物，所以G=-Kc ⅰ笛卡尔方程答案ⅱ包含贝塞尔函数的圆柱和球坐标答案，但方程式如下：2建立在笛卡尔坐标上没有热量产生，具有恒定的k,p c ρ的非稳态答案其中pc k ρα=（a ）相同的起始条件Ｔ＝，恒定的边界条件ｘ＝０，∞T S T T =半无限厚介质；或者无限厚介质的起始条件是阶越函数。
答案是试差函数或者它的补集半无限厚介质标准注释：这种理论也可以用于“组合扩散”，就是两个不同温度（浓度）的物体在x=0连接在一起，并彼此扩散；边界条件是两个物体边界条件的中间值。
python一维扩散方程
python一维扩散方程一维扩散方程是描述扩散现象的数学模型，在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用。
本文将从解释一维扩散方程的含义开始，介绍其应用背景和数学推导过程，并探讨一些实际应用案例。
一维扩散方程描述了物质在一维空间中的扩散行为。
在该方程中，扩散物质的浓度随时间和空间的变化而变化。
一维扩散方程的一般形式为：∂C/∂t = D * ∂²C/∂x²其中，C表示物质的浓度，t表示时间，x表示空间坐标，D为扩散系数。
扩散方程的物理意义是描述了扩散物质在空间和时间上的变化规律。
在一维空间中，扩散物质的浓度随着时间的推移会发生变化，同时也会受到空间位置的影响。
扩散系数D则决定了扩散物质的扩散速率，扩散系数越大，扩散速率越快。
一维扩散方程在自然界和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在环境科学领域，人们可以利用一维扩散方程来研究污染物在土壤中的传输和扩散过程，从而评估土壤污染的风险和影响。
此外，在生物医学领域，一维扩散方程可以用于模拟药物在人体组织中的扩散过程，帮助科学家设计和优化药物的给药方案。
为了解决一维扩散方程，我们需要根据具体问题设定合适的边界条件和初始条件。
常见的边界条件包括固定浓度、固定通量和无流动边界等。
初始条件则描述了系统在初始时刻的浓度分布情况。
通过求解一维扩散方程，我们可以得到物质浓度随时间和空间的变化曲线，进而分析扩散过程的特征。
对于一维扩散方程的求解，常用的方法包括分离变量法、有限差分法和有限元法等。
其中，分离变量法适用于简单的边界条件和初始条件，可以得到解析解。
而有限差分法和有限元法适用于复杂的问题，可以通过数值计算得到近似解。
除了理论分析和数值计算，实际应用中还需要结合实验和观测数据进行验证和调整。
通过与实验结果的比较，可以评估模型的准确性和适用性，并进行参数优化和模型改进。
在实际应用中，一维扩散方程被广泛用于解决各种扩散相关问题。
例如，在工程领域，一维扩散方程可以用于模拟材料中的热传导过程，从而优化热工设备和系统的设计。
一维扩散方程差分格式的数值计算
一维扩散方程差分格式的数值计算一维扩散方程是描述物质在一维空间中扩散过程的方程。
数值计算是一种近似求解微分方程的方法，可以通过离散化空间和时间来求解一维扩散方程。
本文将介绍一维扩散方程差分格式的数值计算方法，并给出一个具体的数值计算实例。
∂u/∂t=D∂²u/∂x²其中，u是扩散物质的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。
差分格式的基本思想是将连续的时间和空间变量离散化为一系列有限的点，然后用离散化后的点代替原方程中的连续变量，从而得到一个差分方程。
一维扩散方程的差分格式数值计算方法有很多种，下面介绍两种基本的差分格式：显式差分格式和隐式差分格式。
1.显式差分格式：显式差分格式的基本思路是使用当前时间步的解来计算下一个时间步的解。
通过对一维扩散方程进行差分得到：(u_i)_(n+1)=(u_i)_n+D*(∆t/∆x²)*((u_(i-1))_n-2(u_i)_n+(u_(i+1))_n)其中，(u_i)_(n+1)表示时间步n+1时刻、位置i处的扩散物质浓度。
该公式使用当前时间步n的解来逐点计算下一个时间步n+1的解。
2.隐式差分格式：隐式差分格式的基本思路是使用下一个时间步的解来计算当前时间步的解。
通过对一维扩散方程进行差分得到：((u_i)_(n+1)-(u_i)_n)/∆t=D*(∆x²)*((u_(i-1))_(n+1)-2(u_i)_(n+1)+(u_(i+1))_(n+1))这是一个关于时间步n+1的隐式方程，需要使用迭代方法求解。
数值计算的实例：假设在一根长为L的杆上有一种扩散物质，杆的两端固定浓度为0，即u(0, t) = u(L, t) = 0；初始时刻杆上的浓度分布为一个正弦函数，即u(x, 0) = sin(πx/L)；扩散系数为D。
我们需要计算杆上扩散物质的浓度随时间的变化情况。
首先，选择合适的网格间距∆x和时间步长∆t。
然后将杆上的空间坐标和时间离散化为一系列点，得到网格。
一维扩散偏微分方程
一维扩散偏微分方程一维扩散偏微分方程（PDE）是一类常见的微分方程，它表达了某种物理现象的变化。
举个例子，它可以用来描述热的传导、浓度的变化、电场的强度以及气体的压力等等。
PDES 的形式可以用更抽象的方法表达，可以为应用程序设计者提供更多的自由度。
一维扩散偏微分方程的形式可以用通用的微积分方式来描述，其基本形式可以表述为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
该方程描述了当变量因扩散作用而随时间发生变化时，随着空间单位变化量的变化率，变量会发生变化。
一维扩散偏微分方程有几个典型的形式，具体可以分为以下几类：一、静态扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
它描述了由于变量的扩散作用而发生变化的系统，而不考虑任何外部影响因素。
二、动态扩散型方程：它的形式为：u_t=k(u_xx)+f(u,x,t)，其中f(u,x,t)表示变量受外部影响因素的作用，由外部影响决定变量的波动。
三、热扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=a(u_xx)+b(u_xxxx)，其中a和b分别表示传热系数和热容系数。
当变量受到外部热源的影响时，可以使用这种方程来描述。
四、声学扩散型方程：它的形式为：u_t=c(u_xx)+v(u_xxxx)，其中c和v分别表示声学场的传播速度和声学场的波动速度。
它通常用来描述声音在空间上的传播。
五、湍流扩散型方程：它的形式为：u_t=p(u_xxx)+q(u_xxxx)，其中p和q分别表示湍流的传播速度和湍流的波动速度。
它通常用来描述边界层的湍流场的变化。
一维扩散偏微分方程在物理上反映了某些物理现象的变化，是一类经典的微分方程，广泛应用于物理，工程和数学领域，如工程热力学、传热学、流体动力学等。
值得一提的是，一维扩散偏微分方程也可以用一般的微分方法来求解，求解过程相对简单，求解结果可靠，值得我们学习和应用。
一维扩散方程解析解
一维扩散方程解析解
一维扩散方程是用来描述一维物质在空间上传播特性的、有均匀源并带有时间项的常微分
方程. 它是科学研究的重要基础，常用来研究传播过程中的浓度变化特性.
一维扩散方程的基本形式为，扩散方程的右端带有一个包含时间项的源项，即σ
(t)=γ(t)，γ(t)表示源项，σ(t)为时间t时扩散量，它反映扩散系统中物质水平变化，Δx表示x方向上的瞬间变化尺度，D被称为扩散系数，它反映系统物质的扩散能力，
d/dt则是描述系统物质变化的时间项. 简而言之，一维扩散方程的核心思想就是随着时间的推移，物质随着一定的扩散系数D和一次空间上梯度即dx/dt在均匀源的作用下，按照
波动的规律传播消散.
一维扩散方程的解析解是采用特殊的变换法来解决的，比如通过Laplace变换解二阶方程，等待变换系数空间上梯度消失，然后通过其变换反归纳解出原函数形式即为所求解. 在科
学研究中，应用到一维扩散方程的问题比较多，比如用于研究流体在均匀源条件下流动波
动性，以及反应扩散等.
一维扩散方程是研究和探究扩散现象的重要工具，它的解析解有助于人们把握和理解扩散
系统中的重要过程，当然我们也可以通过对比实验和数值模拟的方法来研究一维扩散方程
的具体应用，总之，一维扩散方程的解析解为物理学研究奠定了坚实的基石.。
一维扩散模型半无限边界条件
一维扩散模型半无限边界条件1.引言1.1 概述在物理学、化学、生物学和工程学等领域中，扩散是一种普遍存在的现象。
它是指物质从高浓度区域自发地向低浓度区域传播的过程。
一维扩散模型是研究扩散现象的基本数学工具之一，适用于只在一个方向上发生扩散的情况。
本文将重点探讨一维扩散模型的半无限边界条件。
传统上，对于扩散问题的数学建模，通常假设系统在两端是封闭的，并且扩散物质在两端都不会有输入或输出。
然而，在实际应用中，我们常常会遇到一些特殊情况，例如某一端是开放的，即扩散物质可以自由逸出，而另一端仍然保持封闭。
这种情况下的扩散问题被称为半无限边界条件的一维扩散模型。
半无限边界条件的一维扩散模型具有较广泛的应用。
例如，在土壤科学中，研究土壤中污染物的迁移过程时，常常将土壤视为一个无限长的媒介，并且假设污染物从某一位置输入到土壤中，而在另一位置处则允许污染物自由地逸出。
此外，半无限边界条件的一维扩散模型还可用于研究材料中的溶质扩散、电离物在电化学系统中的传输以及生物体内物质的扩散等领域。
本文的目的是对半无限边界条件的一维扩散模型进行深入研究和讨论。
我们将首先介绍一维扩散模型的基本原理和数学描述，然后详细探讨半无限边界条件的物理意义和数学表达形式。
通过对该模型的分析和研究，我们希望能够深入理解半无限边界条件下扩散过程的特点和规律，并为相关领域的实际问题提供理论支持和解决方案。
进入正文的下一节，我们将首先介绍一维扩散模型的基本原理和数学描述。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述一维扩散模型半无限边界条件的相关内容:第一部分为引言，介绍文中要讨论的主题并给出本文的目的。
在引言部分中，将对一维扩散模型和半无限边界条件进行简要说明，为后续的内容提供背景和理论基础。
第二部分为正文，该部分将较为详细地介绍一维扩散模型和半无限边界条件的理论基础。
其中，2.1节将详细介绍一维扩散模型的基本概念、方程表达形式以及解析解的求解方法。
爱恩斯坦一维扩散公式
(13)
d ξ (14 )
又因为 f (x) = m δ (x)，由此可将式（12）改写成如下形式
(ξ x ) 2 c( x, t) = ∫ m δ ( x) exp ∞ 4 Dt 2 π Dt m x2 c = exp 1/ 2 2 (π Dt ) 4 Dt
式（13）表明，某时刻组分浓度分布的标准偏差为
(7 ) (8 )
c t=0 = f ( x ) =
由傅立叶公式知，
∫
+∞
∞
1 f ( x) = 2π 1 = 2π
∫
+∞
∞ +∞
dλ ∫
+∞
∞
f (ξ ) cos λ (ξ x ) dξ
(9 )
cos λx + ∞ f (ξ ) cos λξ dξ + sin λx × + ∞ f (ξ ) sin λξ dξ dλ ∫∞ ∫∞ ∫∞
T " (t ) X ( x) = DT (t ) X " ( x)
(4)
令
T " (t ) X " ( x) = = λ2 DT (t ) X ( x)
(λ = const )
2
则
T " (t ) + λ2 DT (t ) = 0 X " ( x) + λ2 X ( x) = 0
λ2 DT
(5)
Hale Waihona Puke 解方程，弃去 T( t ) 解中的积分常数，得
（6） T (t ) = e X ( x) = A cos λx + B sin λx
λx]
(7 a )
由于没有指定边界条件，参数λ 可以取得任意值，故将函数c( x,t )写成如下形式
3第三章 扩散
第三章 扩散
E-mail:
1
掺杂：就是将所需的杂质，以一定的方式加入到半导体晶片 中，并使其在晶片中数量、分布形式和深度的分布符合预定 的要求的集成电路制造工艺。 掺杂的作用：制作pn结、欧姆接触区、IC中的电阻器、硅 栅和硅互连线等，是改变晶片电学性质，实现器件和电路纵 向结构的重要手段。掺杂技术包括热扩散、离子注入、合金 和中子嬗变等方法。
19
3.3.2 有限表面源扩散 扩散前在硅片表面先淀积一层杂质，在整个过程中，这
层杂质作为扩散源，不再有新源补充，杂质总量不再变化。 这种类型的扩散称为有限表面源扩散。 其扩散后杂质浓度分布为高斯函数分布
20
（2）
(3.26)
（1）
（3）
杂质高斯函数分布 （随时间变化） 21
将X=0代入 Cx,t Q（e3x2.24D6t）式中，可求出任何时刻t的表面浓
Q t0 C ser 2 fc xD d t x2 C s Dt
(3.19)
其中CB为硅衬底原有杂质浓度，A是仅与Cs CB比值有关的常数， A与Cs CB之间的关系如图3.7所示。
（2）结深
结深可根据C(x,t)=CB由3.18式得到：
xj
2
Detr f1cCB CS
A
Dt
一维扩散方程差分格式的数值计算
一维扩散方程差分格式的数值计算∂u/∂t=D∂²u/∂x²其中，u(x,t)是在位置x和时间t的扩散现象的浓度，D是扩散系数。
为了对一维扩散方程进行数值计算，可以使用差分格式。
最常用的差分格式是向前差分和中心差分。
1.向前差分格式：使用向前差分格式将时间t和位置x分别离散化，差分步长分别为Δt和Δx。
将扩散方程中的偏导数用有限差分近似替代，可以得到近似方程：(u_i(t+Δt)-u_i(t))/Δt=D(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²其中，u_i(t)表示在位置x_i和时间t的解，u_i(t+Δt)和u_i(t)是上一时刻和当前时刻的浓度，u_i-1(t)和u_i+1(t)分别是x_i左右两侧位置的解。
这样，一维扩散方程就被转化为一个差分方程。
根据初始条件u(x,0)和边界条件u(0,t)和u(L,t)，L表示空间区域的长度，可以得到差分方程的初始条件。
使用向前差分格式可以得到一个显式迭代公式：u_i(t+Δt)=u_i(t)+DΔt(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²这个公式可以用来逐步推进时间t的步骤，从而获得扩散过程中的浓度分布。
2.中心差分格式：使用中心差分格式将时间t和位置x分别离散化，差分步长分别为Δt和Δx。
将扩散方程中的偏导数用有限差分近似替代，可以得到近似方程：(u_i(t+Δt)-u_i(t))/Δt=D(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²与向前差分格式不同的是，在右侧位置x_i+1处使用u_i+1(t)近似。
这个差分方程可以进一步简化为一个稳定的隐式迭代公式：u_i(t+Δt)=u_i(t)+DΔt(u_i-1(t+Δt)-2u_i(t+Δt)+u_i+1(t+Δt))/Δx²这个公式可以通过求解线性方程组来计算下一个时间步长的解。
以上是一维扩散方程差分格式的数值计算的基本原理和方法。
一维扩散方程求解课程设计
一维扩散方程求解课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解一维扩散方程的物理背景和数学表达；2. 掌握一维扩散方程的推导过程和求解方法；3. 能够运用一维扩散方程解决实际问题。
技能目标：1. 学会分析一维扩散现象，建立数学模型；2. 培养运用数值方法求解一维扩散方程的能力；3. 提高运用一维扩散方程解决实际问题的综合运用能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学物理模型的兴趣，激发学习热情；2. 培养学生严谨的科学态度，注重细节，提高问题解决能力；3. 增强学生团队合作意识，学会倾听、交流、分享。
课程性质：本课程为高中物理选修课程，旨在帮助学生掌握一维扩散方程的求解方法，提高解决实际问题的能力。
学生特点：学生具备一定的物理和数学基础，对数学物理模型有一定了解，但可能缺乏实际应用经验。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，通过实例分析、数值求解等教学方法，提高学生的知识水平和实践能力。
将课程目标分解为具体的学习成果，以便于教学设计和评估。
1. 引入一维扩散方程的物理背景，通过实例使学生理解扩散现象在实际生活中的应用；教材章节：第三章第一节《扩散现象》内容：分子动理论，扩散现象的定义及分类。
2. 掌握一维扩散方程的数学表达和推导过程；教材章节：第三章第二节《一维扩散方程的建立》内容：Fick定律，一维扩散方程的推导。
3. 学习一维扩散方程的求解方法，包括解析解和数值解；教材章节：第三章第三节《一维扩散方程的求解》内容：分离变量法，特征值问题，数值求解方法（如显式和隐式Euler方法）。
4. 分析实际案例，运用一维扩散方程解决具体问题；教材章节：第三章第四节《一维扩散方程的应用》内容：温度场、浓度场等实际问题，建立模型，求解，分析结果。
5. 总结与拓展，巩固所学知识，提高学生运用一维扩散方程解决实际问题的能力；教材章节：第三章第五节《一维扩散方程的拓展与应用》内容：多物种扩散，非线性扩散方程简介。
环境流体力学第三章随流扩散
第一节 随流扩散方程
第一节 随流扩散方程
设流体质点具有瞬时流速矢量 在x、y、z直角坐标上的分量分 别为u、v、w ： y， v
u uu
'
x， u
z，w
v v v'
w w w'
直角坐标系下的瞬时流速分量
随流扩散：由于水体的平均运动（包括时间平均和空间平均） 使污染物质发生输移的现象。 对层流: u′、 v′、w′为零，水体的平均运动指的是空间平均 运动，在这种情况下的物质的迁移就是分子扩散和随流输 移的叠加。
( 3-2-11 )
若Dx = Dy = D，有：
( x ut )2 y 2 Mz c( x, y , t ) exp 4 Dt 4 Dt
( 3-2-12 )
上两式均满足瞬时无限长线源无界空间的定解条件 初始条件：c(x，y，0)= Mzδ(r)， r =(x2+y2)1/2 边界条件：c(±∞， y， t )=c(x，±∞， t )=0
( 3-2-10 )
边界条件：c(±∞, t )=0
均匀流条件下瞬时点源的随流-扩散
例：一条无限长的顺直矩形断面渠道，水面 宽 B= 5m，水深 h= 2m，在其中间断面瞬时 投入 M= 10kg 的污染物，渠道的流速恒定， U= 0.2m/s，扩散系数 D= 0.075m2/s。求经过 时间t= 50s，100s 后，在投入点下游 10m 处污 染物的浓度。
第一节 随流扩散方程
1.一维随流扩散方程
设v=w=0，只有u分量（沿x轴）
c Q f D 分子扩散通量： x
污染物随流输移的通量：
Fick定律
qf qs
第三章扩散工艺_712705123
( Dt )有效 = D1 t 1 + D2 t 2 +
随着IC器件尺寸的不断缩小，要求杂质的再分布效应减到最 小，
第三章
扩散工艺
岳瑞峰
微纳器件与系统研究室 清华大学微电子学研究所 yuerf@
1
固态扩散工艺是将一定数量的某种杂质掺入到硅晶体中，以改变电学性 质，并使掺入的杂质数量、分布形式和深度等都满足要求。 在IC制造中主要采用扩散法和离子注入法进行掺杂。 高浓度深结掺杂采用热扩散法，浅结高精度掺杂用离子注入法。 常用的掺杂杂质： P（磷）、B（硼）、 As（砷）、Sb（锑）。
位置变量用沿硅圆片深度方向（z）取代，上式可改写为：
费克简单扩散方程
∂ 2C ( x , t ) ∂C ( x , t ) =D ∂x 2 ∂t
∂ 2C ( z , t ) ∂C ( z , t ) =D ∂z 2 ∂t
3
扩散的原子模型
根据杂质在半导体材料晶格中所处的位置，可将其分 为两类：替位型杂质；填隙型杂质
∞ QT ( t ) = ∫0 C ( z , t )dz =
2
π
C ( 0 , t ) Dt =
2C s Dt
π
∝
t
如果衬底杂质浓度为CB，扩散杂质 与衬底杂质反型，计算扩散形成的 PN结结深：
由
C( x j , t) = CB
X j = 2 Dt erfc-1(
CB ) Cs
10
费克第二定律的分析解
2
扩散原理（模型与公式）
费克一维扩散方程
费克第一定律－描述扩散运动的基本方程 ： ∂C ( x , t ) J = −D ∂x 费克第二定律： ∂C ( x , t ) ∂ ∂C ( x , t ) = (D ) ∂t ∂x ∂x
扩散方程得解
扩散方程是描述物质分子在浓度梯度下扩散过程的方程。
一般来说，扩散方程是一个偏微分方程，其一维形式可以写作：
∂C/∂t = D ∂²C/∂x²
其中，C是物质的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。
求解一维扩散方程的一般方法是使用分离变量法或者傅里叶变换等数学方法。
以下是分离变量法的基本步骤：
1. 假设解具有形式C(x, t) = X(x)T(t)，其中X(x)是与空间坐标x有关的函数，T(t)是与时间t有关的函数。
2. 将以上假设带入扩散方程，得到两个方程：
∂C/∂t = X(x) dT/dt
∂²C/∂x² = X''(x) T(t)
3. 将以上两个方程合并，得到两个独立的常微分方程：
X(x) dT/dt = D X''(x) T(t)
4. 根据方程两边等式的常数等于常数的性质，可以得到两个常微分方程：
dT/dt = λ T(t)
X''(x) = λ/D X(x)
5. 解上述两个常微分方程，分别得到T(t)和X(x)的通解。
6. 应用边界条件和初始条件来确定通解中的任意常数，得到特定问题的特解。
通过以上步骤，可以得到一维扩散方程的解。
需要注意的是，在实际应用中，扩散方程往往是一个更加复杂的方程，并可能包含更多的影响因素，求解过程可能更加复杂。
因此，具体问题的求解还需要根据实际情况进行适当的假设和边界条件的处理。
第3章 扩散
3.杂质浓度梯度
C(x,t) x C(x,t)
x (x,t)
2Dt
p-n结处的杂质梯度
C(x,t) 2Cs ln(Cs / CB )
x xj
x j Cs / CB
实际的扩散方法
实际生产中的扩散温度一般为900-1200 ℃ ，在这样的温度 范围内，常用杂质如硼、磷、砷等在硅中的固溶度随温度变化 不大，因而采用恒定表面元扩散很难得到低浓度的分布形式。 为了同时满足对表面浓度、杂质数量、结深以及梯度等方面的 要求，实际生产中往往采用两步扩散法。
有限面源扩散的杂质分布
C(x, t) Q ex2 / 4Dt
Dt
e x2 / 4Dt --高斯函数
当x=0时，任何时刻t的表面浓度为 Cs (t) C(0,t)
Q
Dt
有限表面源扩散的特点
1.杂质分布形式
当扩散温度相同时，扩散
时间越长，杂质扩散的就越
深，表面浓度就越低。
Cs (t) C(0, t)
三种缺陷的相互作用
扩散过程中,掺杂原子与缺陷之间的结合方式:
I A AI 替位原子A和间隙原子（团）相互作用,形成AI对，
称为“踢出”反应。
I A Ai 替位原子A和间隙原子（团）相互作用,形成Ai对
间隙硅原子”踢出”晶格位置上的杂质原子， 被踢出的杂质原子以间隙方式进行扩散运动，这是 间隙扩散机制。
研究表明，杂质在硅中的扩散运动可通过空位机制、 间隙机制实现，大多数常用杂质的扩散运动两种机制往 往都起着作用。哪种机制占主要地位将取决于具体工艺。
发射区推进效应的原因
发射区推进效应产生原因
Section
E B
C
xjB
发射区正下方，由于磷与空位相互作用形成的PV 对分解会增加空位的浓度，因而加快了B的扩散速度。 另外，由于PV的分解，存在着过饱的间隙硅原子，也 会增强B的扩散。
定态一维分子扩散
(
dcB dz
)
cA
nA V
pA RT
cB
nB V
pB RT
C
cA
cB
pA RT
pB RT
P RT
常数(总压相同）
dC dcA dcB 0
dcA dcB
等分子反方向扩散时
DAB DBA D A、B扩散系数相等
传质过程单位时间内通过垂直于传递方向的单位面积
扩散方向与浓度梯度相反，即扩 散沿着浓度降低的方向进行
JA
DAB
dcA dz
JA — 物质A沿Z方向上的扩散通量或扩散速率，Kmol /(m2 s) 单位面积上单位时间内扩散传递的物质的量。
DAB — 物质A在介质B中的扩散系数，m2 / s
dcA -组分A沿Z方向上的浓度梯度（推动力），Kmol / m4 dZ
吸收技术 ---定态一维分子扩散
传质过程理论
1、分子扩散与菲克定律
pA pB ,tA tB
分子扩散：在一相内，由于浓 度差的存在，分子的无规则热运动 而形成的物质传递现象,发生在滞 流或静止流体中。
前提:某组分存在浓度差
换而言之，分子扩散的动 力是扩散方向上存在浓度 梯度
传质过程理论
1、分子扩散与菲克定律
传质过程理论
3、 一组分通过另一停滞组分的扩散（吸收）
NA
DP ln RTZ
pB2 pB1
DP RTZ
pA1 pB2
pA2 pB1
ln
pB2 pB1
D RTZ
pB2
P
pB1
pA1
pA2
ln pB2
令
pBm
pB2 pB1 ln pB2
第三章 一维扩散方程.
第三章 一维扩散方程本章讨论一维扩散方程。
首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。
然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。
讨论的方程类型 （1）直线上的齐次和非齐次扩散方程：2,,0(,0)()t xx u c u x t u x x ϕ⎧=-∞<<∞>⎨=⎩；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证） (,),,0(,0)()t xx u ku f x t x t u x x ϕ-=-∞<<∞>⎧⎨=⎩；（算子方法，与常微分方程类比） （2）半直线上的扩散方程0,0,0(,0)(),(0,)0t xx u ku x t u x x u t ϕ-=<<∞>⎧⎪=⎨⎪=⎩；（其它非齐次边界等）对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。
由此证明方程解的唯一性和稳定性。
§3.1全直线上的扩散方程首先讨论随机过程中的扩散过程。
设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown 运动），满足性质：在t ∆时间内位移转移概率为均值为0，方差为2t σ∆的正态分布。
在时刻t 处于x 的概率密度记为(,)Pr(())u x t dx X t x dx ==。
则2()2(,)(,)x y t u x t t u y t dy σ-∞-∆-∞+∆=⎰，或22(,)(,)y u x t t u x y t dy ∞-+∆=+⎰22221[(,)(,)(,)()]2y x xx u x t u x t y u x t ty o t dy σ∞-=++∆+∆⎰21(,)(,)()2xx u x t u x t t o t σ=+∆+∆因此，22t xx u u σ=。
可见：一维Brown 运动的状态概率密度满足扩散方程。
从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度：22()2(,)(,0)y x tu x t eu y dy σ-∞-=⎰。
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本章讨论一维扩散方程。首先，从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型
（1）直线上的齐次和非齐次扩散方程：
；（利用随机过程的理论得到结论，再直接验证）
；（算子方法，与常微分方程类比）
（2）半直线上的扩散方程 ；（其它非齐次边界等）
和
的解分别为 和 ，则 。
证对 直接利用极值原理。
【end】
第三章习题
1.对满足扩散方程 的函数 ，在矩形区域 找出取到最大值和最小值的点和相应的值。
解在 上，显然 ， 处有最大值 ；而 ， 处有最小值 。
在 上，显然 ， 处有最大值 ；而 ， 处有最小值 。
所以，最大值为 ，在 处；最小值为 ，在 处。
用反证法证明在矩形内部不能取到极值。若 在矩形内取到极值，则
， 。
此时，如果 ，则产生矛盾： 。故只要证 时，仍会产生矛盾。
记边界上函数的最大值是 。构造 。
下证： （如果证得此结论，则令 即得定理的结果）。
由于在边界上， ，所以只要证 不能在
（1）矩形内部；（2）矩形顶部：
取得最大值。
（1）若在内部有最大值，则 。但
，
矛盾。
（2）在矩形顶部，则 ，仍矛盾。所以定理结论成立。
【end】
利用上述极值原理，可得到Dirichlet问题的唯一性和稳定性。
定理如果扩散方程 解存在，则解必定唯一。
证如果 和 都是解，则 是方程
的解。由最大值原理，在矩形内 ，即 。
【end】
利用该原理还可得到方程解的稳定性。
定理如果扩散方程
10.利用延拓方法求非齐次扩散方程 的解。
，
可用奇延拓方法来求解。奇延拓后的系统，
其中， 。该方程的解
，
因此，原方程的解，
【end】
对Neumann问题（边界是齐次的）
，
为保证函数在原点导数为零，必须使函数为偶函数，所以，采用偶延拓。延拓后的系统
，
其中， 。该方程的解，
，
因此，原方程的解为
【end】
对半直线上的非齐次方程（齐次边界）的Dirichlet问题和Neumann问题，
§3.2一维扩散方程最大（最小值）原理和解的唯一性和稳定性
若函数 满足齐次扩散方程，那么有下面结论。
定理（最大值原理）如果 ，则在矩形时空区域（ ）内，函数 的最大值只能在 ，在边界 或 上取得。
（最小值原理也类似成立）
证这是闭区域上的二元函数的极值问题，极值点可能是区域内点，也可能在边界上。定理结论是说，极值点在特定的边界上取到。极值在区域内部取到是有必要条件的，即该点的一阶导数为零，而二阶导数必须是半正定的。
对扩散方程理论方面的探讨：最大（最小）值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。
§3.1全直线上的扩散方程
首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动（Brown运动），满足性质：在 时间内位移转移概率为均值为0，方差为 的正态分布。在时刻 处于 的概率密度记为 。则
，
或
因此，
。
可见：一维Brown运动的状态概率密度满足扩散方程。
2.求扩散方程的解 的解，其中 。（用积分形式表示）
3.求扩散方程的解 的解，其中 。
4.求具有耗散的扩散方程 的解， 。（提示：作函数变换 ）。
5.求具有耗散的扩散方程 的解， 。
6.求方程 的解， 。（提示：作变量代换 ）。
7.求扩散方程 的解。
8.求扩散方程 的解。
9.求扩散方程的Neumann问题 的解。
，
仍可用奇延拓和偶延拓方法分别解决。
对非齐次方程，非齐次边界的Dirichlet问题，
，
则可利用叠加原理和函数变换方法，把问题分解齐次边界的相应问题求解。
作函数变换： ，则
问题成为其次边界问题。
对非齐次方程（非齐次边界）的Neumann问题
，
则可作变换： ，变为齐次边界的Neumann问题，
，
然后再用偶延拓方法求解。
。
因此，定理成立。
【end】
该方法是处理非齐次方程的一般方法。这里，来说明如何用于非齐次波动方程
的求解。由于波动方程关于时间是两次的，所以不能直接用。但是注意到 是下面波动方程
，
的解，故定义算子
，
那么原来齐次波动方程的解为
，
则非齐次的波动方程的解为
。
注意到
，
即得结论。
§3.3半直线上的扩散方程
类似于波动方程，利用延拓方法可讨论边值问题的解。对特殊的Dirichlet问题（边界是齐次的）
而齐次方程的解也可这样理解：
，
定义了算子 。只不过常微分方程中 ，直接可用一个函数给出该算子。
非齐次常微分方程
的解为
，
这里，为类比得到偏微分方程的结果，用算子形式表示了结论。由此得到结论
定理直线上的非齐次扩散方程的解为
。
证直接验证结论。前一项显然满足齐次方程，即
，
而后一项，
即
所以， 满足方程。
初始条件显然也满足：
从随机过程的角度，可直接写出状态概率密度：
。
所以，有如下定理。
定理扩散方程 的解为
。
证由
，
易知初始条件成立：。且对Fra bibliotek数 ，直接计算，有
，
，
，
所以，
。
即但 与 只差常数倍，故
。
【end】
对具有源的扩散方程
，
可用常微分方程的结果类比得到。
常微分方程
的解为 。可以把 理解为一个算子：把初始函数 变换为一个新的函数。