第三章 一维扩散方程

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而齐次方程的解也可这样理解:

定义了算子 。只不过常微分方程中 ,直接可用一个函数给出该算子。
非齐次常微分方程
的解为

这里,为类比得到偏微分方程的结果,用算子形式表示了结论。由此得到结论
定理直线上的非齐次扩散方程的解为

证直接验证结论。前一项显然满足齐次方程,即

而后一项,

所以, 满足方程。
初始条件显然也满足:
10.利用延拓方法求非齐次扩散方程 的解。
第三章一维扩散方程
本章讨论一维扩散方程。首先,从随机过程中的一维扩散方程的讨论可直接得到扩散方程的解。然后对非齐次和各类边值问题相应的扩散方程作了讨论。讨论的方程类型
(1)直线上的齐次和非齐次扩散方程:
;(利用随机过程的理论得到结论,再直接验证)
;(算子方法,与常微分方程类比)
(2)半直线上的扩散方程 ;(其它非齐次边界等)

矛盾。
(2)在矩形顶部,则 ,仍矛盾。所以定理结论成立。
【end】
利用上述极值原理,可得到Dirichlet问题的唯一性和稳定性。
定理如果扩散方程 解存在,则解必定唯一。
证如果 和 都是解,则 是方程
的解。由最大值原理,在矩形内 ,即 。
【end】
利用该原理还可得到方程解的稳定性。
定理如果扩散方程

可用奇延拓方法来求解。奇延拓后的系统,
其中, 。该方程的解

因此,原方程的解,
【end】
对Neumann问题(边界是齐次的)

为保证函数在原点导数为零,必须使函数为偶函数,所以,采用偶延拓。延拓后的系统

其中, 。该方程的解,

因此,原方程的解为
【end】
对半直线上的非齐次方程(齐次边界)的Dirichlet问题和Neumann问题,
§3.2一维扩散方程最大(最小值)原理和解的唯一性和稳定性
若函数 满足齐次扩散方程,那么有下面结论。
定理(最大值原理)如果 ,则在矩形时空区域( )内,函数 的最大值只能在 ,在边界 或 上取得。
(最小值原理也类似成立)
证这是闭区域上的二元函数的极值问题,极值点可能是区域内点,也可能在边界上。定理结论是说,极值点在特定的边界上取到。极值在区域内部取到是有必要条件的,即该点的一阶导数为零,而二阶导数必须是半正定的。
2.求扩散方程的解 的解,其中 。(用积分形式表示)
3.求扩散方程的解 的解,其中 。
4.求具有耗散的扩散方程 的解, 。(提示:作函数变换 )。
5.求具有耗散的扩散方程 的解, 。
6.求方程 的解, 。(提示:作变量代换 )。
7.求扩散方程 的解。
8.求扩散方程 的解。
9.求扩散方程的Neumann问题 的解。

因此,定理成立。
【end】
该方法是处理非齐次方程的一般方法。这里,来说明如何用于非齐次波动方程
的求解。由于波动方程关于时间是两次的,所以不能直接用。但是注意到 是下面波动方程

的解,故定义算子

那么原来齐次波动方程的解为

则非齐次的波动方程的解为

注意到

即得结论。
§3.3半直线上的扩散方程
类似于波动方程,利用延拓方法可讨论边值问题的解。对特殊的Dirichlet问题(边界是齐次的)

的解分别为 和 ,则 。
证对 直接利用极值原理。
【end】
第三章习题
1.对满足扩散方程 的函数 ,在矩形区域 找出取到最大值和最小值的点和相应的值。
解在 上,显然 , 处有最大值 ;而 , 处有最小值 。
在 上,显然 , 处有最大值 ;而 , 处有最Байду номын сангаас值 。
所以,最大值为 ,在 处;最小值为 ,在 处。
用反证法证明在矩形内部不能取到极值。若 在矩形内取到极值,则
, 。
此时,如果 ,则产生矛盾: 。故只要证 时,仍会产生矛盾。
记边界上函数的最大值是 。构造 。
下证: (如果证得此结论,则令 即得定理的结果)。
由于在边界上, ,所以只要证 不能在
(1)矩形内部;(2)矩形顶部:
取得最大值。
(1)若在内部有最大值,则 。但

仍可用奇延拓和偶延拓方法分别解决。
对非齐次方程,非齐次边界的Dirichlet问题,

则可利用叠加原理和函数变换方法,把问题分解齐次边界的相应问题求解。
作函数变换: ,则
问题成为其次边界问题。
对非齐次方程(非齐次边界)的Neumann问题

则可作变换: ,变为齐次边界的Neumann问题,

然后再用偶延拓方法求解。
从随机过程的角度,可直接写出状态概率密度:

所以,有如下定理。
定理扩散方程 的解为

证由

易知初始条件成立:

且对函数 ,直接计算,有



所以,

即但 与 只差常数倍,故

【end】
对具有源的扩散方程

可用常微分方程的结果类比得到。
常微分方程
的解为 。可以把 理解为一个算子:把初始函数 变换为一个新的函数。
对扩散方程理论方面的探讨:最大(最小)值原理。由此证明方程解的唯一性和稳定性。
§3.1全直线上的扩散方程
首先讨论随机过程中的扩散过程。设想粒子在一维直线上作连续随机游动(Brown运动),满足性质:在 时间内位移转移概率为均值为0,方差为 的正态分布。在时刻 处于 的概率密度记为 。则


因此,

可见:一维Brown运动的状态概率密度满足扩散方程。
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