3导数的概念

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三导数教案

§3.1.1 变化率问题1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界地过程. 体会数学地博大精深以及学习数学地意义；2．理解平均变化率地意义，为后续建立瞬时变化.7880复习1：曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k+=<--地（） A ．长、短轴长相等 B ．焦距相等 C ．离心率相等 D ．准线相同复习2：当α从0到180变化时，方程22cos 1x y α+=表示地曲线地形状怎样变化？二、新课导学※学习探究探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量地增加，气球地半径增加得越来越慢.从数学地角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上地一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 地差记为x ∆，即x ∆=或者2x =，x ∆就表示从1x 到2x 地变化量或增量，相应地，函数地变化量或增量记为y ∆，即y ∆=；如果它们地比值yx∆∆，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是地增量与地增量地比值.※典型例题例 1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线地割线，求出当0.1x ∆=时割线地斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+地图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则y x∆∆=例 2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上地平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]小结：※动手试试练1. 某婴儿从出生到第12个月地体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 地平均变化率.（发现：y kx b =+在区间[m ，n]上地平均变化率有什么特点？三、总结提升※学习小结1.函数()f x 地平均变化率是2.求函数()f x 地平均变化率地步骤：（1）求函数值地增量（2）计算平均变化率※知识拓展平均变化率是曲线陡峭程度地“数量化”，曲线“视觉化”．※自我评价你完成本节导学案地情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 21y x =+在(1,2)内地平均变化率为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数地改变量y ∆为（）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应地平均速度为（）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆C ．3t +∆D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 地平均速度是_______5. 223y x x =-+在2x =附近地平均变化率是____ 1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理地单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定地排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测地结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水地体积0.1()52tV t -=⨯（单位：3cm ），计算第一个10s 内V 率.T(月)39 12§3.1.2 导数地概念1.掌握用极限给瞬时速度下地精确地定义；2.会运用瞬时速度地定义，求物体在某一时刻地瞬时速度．7880复习1：气球地体积V 与半径r 之间地关系是()r V V 从0增加到1时，气球地平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面地高度h 与起跳后地时间t 地关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员地平均速度.二、新课导学※学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻地速度是新知：1．瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)地速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2：瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时地得导数地定义：函数()y f x =在0x x =处地瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处地导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 地附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数地极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0(3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内地平均变化率，它地几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）地割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 地处瞬时变化率，它反映地函数)(x f y =在点0x 处变化地快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 地导数就是运动员地瞬时速度，气球半径关于体积V 地导数就是气球地瞬时膨胀率.※典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油地温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度地瞬时变化率，并说明它们地意义.总结：函数平均变化率地符号刻画地是函数值地增减；它地绝对值反映函数值变化地快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts∆∆.(3)求质点M 在t =2时地瞬时速度小结：利用导数地定义求导，步骤为：第一步，求函数地增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆；第三步：取极限得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.※动手试试练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度地瞬时变化率,并说明它们地意义.练 2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时地瞬时速度三、总结提升※学习小结这节课主要学习了物体运动地瞬时速度地概念，它是用平均速度地极限来定义地，主要记住公式:瞬时速度v =tt ∆→∆lim※知识拓展※自我评价你完成本节导学案地情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 一直线运动地物体，从时间t 到t t +∆时，物体地位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体地平均速度；Ｂ．在t 时刻时该物体地瞬时速度；Ｃ．当时间为t ∆时物体地速度；Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体地平均速度 2. 2y x =在 x =1处地导数为（） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．13. 在0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0 4.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时地瞬时速度为5. 若0()2f x '=-，则0001[]()2lim k f x k f xk→--等于1. 高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面地高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时地瞬时速度,并解释此时地运动状况.2. 一质量为3kg 地物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）地关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体地动能212U mv =. 求物体开始运动后第5s 时地动能.§3.1.3 导数地几何意义通过导数地图形变换理解导数地几何意义就是曲线在该点地切线地斜率，理解导数地概念并会运用概念求导数.7880 复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆地连线称为曲线地割线，斜率yk x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆=，如果当x ∆时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 地瞬时变化率. 记作：当x ∆时， →l 二、新课导学 ※学习探究探究任务：导数地几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线地变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上地直线PT ，叫做曲线C 在点P 处地切线割线地斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 地斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处地导数就是切线PT 地斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆新知：函数()y f x =在0x 处地导数地几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线地斜率. 即k =000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆※典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化地函数2() 4.9 6.510h t t t =-++地图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近地变化情况.小结：例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化地函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度地瞬时变化率(精确到0.1)※动手试试练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处地切线地斜率,并写出切线方程.练2. 求2y x =在点1x =处地导数.三、总结提升※学习小结函数()y f x =在0x 处地导数地几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线地斜率.即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆其切线方程为※知识拓展导数地物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体地运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 地速度，，即在o x 地瞬时速度.即000()lim x t yv f x x∆→∆'==∆而运动物体地速度()v t 对时间t 地导数，即0()limt vv t∆→∆'=称为物体运动时地瞬时加速度.※自我评价你完成本节导学案地情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处地切线斜率为（）A. 4B. 16C. 8D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处地切线方程为（）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+3. ()f x 在0x x =可导，则000()()limh f x h f x h→+-（）A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关 4. 若函数()f x 在0x 处地导数存在，则它所对应地曲线在点00(,())x f x 地切线方程为5. 已知函数()y f x =在0x x =处地导数为11，则000()()limx f x xf x x ∆→-∆-∆=1. 如图,试描述函数()fx 在x =5,4,2,0,1---附近地变化情况.2．已知函数()f x 地图象,试画出其导函数()f x '图象地大致形状.§3.2.1几个常用函数导数1.掌握四个公式，理解公式地证明过程；2.学会利用公式，求一些函数地导数；3.理解变化率地概念，解决一些物理上地简单问题.8889复习1：导数地几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处地切线地斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处地切线方程为6ewMy 。

导数的二阶及三阶的几何意义

导数的二阶及三阶的几何意义摘要：1.导数的概念回顾2.二阶导数的几何意义3.三阶导数的几何意义4.导数在实际问题中的应用正文：导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

在数学和物理等领域，导数被广泛应用。

本文将讨论导数的二阶和三阶几何意义，并探讨其在实际问题中的应用。

首先，我们来回顾一下导数的概念。

导数表示函数f(x)在x处的变化率，可以用以下公式表示：f"(x) = lim(h→0) [(f(x + h) - f(x)) / h]其中，h表示自变量x的变化量。

当h趋近于0时，f"(x)的极限值就是函数f(x)在x处的导数。

接下来，我们来探讨导数的二阶和三阶几何意义。

1.二阶导数的几何意义二阶导数表示函数在某一点处的曲率。

设函数f(x)的二阶导数为f""(x)，那么f""(x)表示函数f(x)在x处的曲率半径。

在二维平面上，曲率半径描述了曲线的弯曲程度。

如果f""(x)大于0，说明曲线在x处向上凸；如果f""(x)小于0，说明曲线在x处向下凸。

2.三阶导数的几何意义三阶导数表示函数在某一点处的拐点。

设函数f(x)的三阶导数为f"""(x)，那么f"""(x)表示函数f(x)在x处的拐点方向。

在三维空间中，拐点描述了曲面的转折点。

如果f"""(x)大于0，说明曲面在x处向上凸；如果f"""(x)小于0，说明曲面在x处向下凸。

最后，我们来看一下导数在实际问题中的应用。

导数在实际问题中的应用非常广泛，例如：1.优化问题：在经济学、工程等领域，我们常常需要优化某个目标函数。

利用导数，我们可以求解最优解，从而达到预期的目标。

2.变化率问题：在物理、化学等领域，导数被用来描述变化率。

高中数学导数3篇

高中数学导数第一篇：导数的定义及性质导数是微积分中的重要概念之一，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

导数的定义和性质是学习导数的重要基础，本文将对导数的定义和性质进行详细介绍。

一、导数的定义导数是函数在某一点的变化率，它表示函数在该点附近的变化趋势。

导数的定义如下：设函数y=f(x)，x0为区间I内的一点，若极限f（x0 + Δx）-f（x0）Δx→0------- = kΔx存在，且与x0的取值有关，则称k为函数f（x）在点x0处的导数，记为f'（x0）或y'（x0），即f'（x0）=lim ──────（x→x0）Δx→0 Δx其中，Δx表示自变量x的增量，即x-x0。

从几何上来看，导数就是函数图像在某一点切线的斜率。

二、导数的性质导数存在的充分条件是函数在该点连续。

导数也具有一些基本的性质，如下：1. 常数函数的导数为0对于常数函数y=c，其导数为dy/dc=lim [(c+Δc)-c]/Δc=0即常数函数的导数恒为0。

2. 幂函数的导数对于幂函数y=x^n，其导数为dy/dx=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim [x^n+(n*x^(n-1))*Δx+O(Δx^2)-x^n]/Δx=(n*x^(n-1))即幂函数y=x^n的导数为n*x^(n-1)。

3. 求和、差、积的导数对于函数y=u(x)+v(x)的导数，有dy/dx=[u(x)+v(x)]'=[u(x)]'+[v(x)]'对于函数y=u(x)-v(x)的导数，有dy/dx=[u(x)-v(x)]'=[u(x)]'-[v(x)]'对于函数y=u(x)*v(x)的导数，有dy/dx=[u(x)*v(x)]'=u(x)*[v(x)]'+v(x)*[u(x)]'4. 商的导数对于函数y=u(x)/v(x)的导数，有dy/dx=[u(x)/v(x)]'=[u(x)*v'(x)-v(x)*u'(x)]/[v(x)]^2其中，v(x)≠0。

导数的定义和求导规则

导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。

定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。

2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。

2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。

2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。

2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。

2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。

2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。

2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。

2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。

三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。

2023年高考数学(文科)一轮复习——导数的概念及运算

第1节导数的概念及运算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒D.2.75米/秒答案 C解析 h ′(t )＝－9.8t ＋8， ∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.3.(2022·银川质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A.6 B.－2C.－6D.－8答案 B解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ). 取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2. 当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2.∴f ′(2)＝－2.4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.答案 1 解析由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x（x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.5.(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.答案 5x －y ＋2＝0解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x ＋2′＝（2x －1）′（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）′（x ＋2）2＝5（x ＋2）2，所以k ＝y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.6.(易错题)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案－ 2解析由f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·cos π2－sin π2，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.考点一导数的运算1.下列求导运算不正确的是( ) A.(sin a )′＝cos a (a 为常数)B.(sin 2x )′＝2cos 2xC.(x )′＝12xD.(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x 答案 A解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误.由导数公式及运算法则知B 、C 、D 正确.2.若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________.答案 1－1x －2x 2＋2x 3解析由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.3.设f ′(x )是函数f (x )＝cos xe x ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________. 答案 0 解析因为f (x )＝cos xe x＋x ，所以f ′(x )＝（cos x ）′e x －（e x ）′cos x （e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x ＋1，所以f ′(0)＝－1e 0＋1＝0.4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________. 答案－234解析因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234.感悟提升 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 考点二导数的几何意义角度1 求切线的方程例1 (1)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________.答案 (1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 解析 (1)y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为3x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 角度2 求曲线的切点坐标例2 (2022·皖豫名校联考)若曲线y ＝e x ＋2x 在其上一点(x 0，y 0)处的切线的斜率为4，则x 0＝( ) A.2 B.ln 4 C.ln 2D.－ln 2答案 C解析 ∵y ′＝e x ＋2，∴e x 0＋2＝4，∴e x 0＝2，x 0＝ln 2. 角度3 导数与函数图象问题例3 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案 0解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )， ∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题意可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.感悟提升 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.训练1 (1)(2022·沈阳模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.y ＝0 B.y ＝2x C.y ＝xD.y ＝－2x(2)(2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝f（x）x，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A.2B.1C.－1D.－3答案(1)B(2)D解析(1)∵f(x)＝2e x sin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2e x(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.(2)由图象知，直线l经过点(1，2).则k＋3＝2，k＝－1，从而f′(1)＝－1，且f(1)＝2，由h(x)＝f（x）x，得h′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，所以h′(1)＝f′(1)－f(1)＝－1－2＝－3.考点三导数几何意义的应用例4 (1)已知曲线f(x)＝x ln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则实数a 的值为________.(2)(2022·河南名校联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.答案(1)1－e(2)[2，＋∞)解析(1)因为f′(x)＝ln x＋1，所以曲线f(x)＝x ln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，又f(e)＝e，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故可联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋a ，y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e. (2)∵直线2x －y ＝0的斜率为k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0. 又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞).感悟提升 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.训练2 (1)(2021·洛阳检测)函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1 B.14 C.12D.1(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________. 答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a .又曲线y ＝f (x )在x ＝2处切线的斜率k ＝f ′(2)，因此12－a ＝a ，∴a ＝14.(2)y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ，可得在点(1，1)处切线的斜率为k ＝3＋a ，又k ＋1＝3，1＋a ＋b ＝3，解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，即有2a ＋b ＝－2＋3＝1.公切线问题求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，其中直线与抛物线相切可用判别式法. 一、共切点的公切线问题例1 设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋2b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ) A.23e 34 B.32e 34 C.43e 23D.34e 23答案 D解析设P (x 0，y 0)，由于P 为公共点，则12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋2b .又点P 处的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即x 0＋2a ＝3a 2x 0，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0.又a >0，x 0>0，则x 0＝a ，于是2b ＝52a 2－3a 2ln a .设h (x )＝52x 2－3x 2ln x ，x >0，则h ′(x )＝2x (1－3ln x ).可知：当x ∈(0，e 13)时，h (x )单调递增；当x ∈(e 13，＋∞)时，h (x )单调递减. 故h (x )max ＝h (e 13)＝32e 23，于是b 的最大值为34e 23，选D. 二、切点不同的公切线问题例2 曲线y ＝－1x (x <0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为________. 答案 1解析设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点，则切线斜率k 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′|x ＝x 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点，则切线斜率k 2＝(ln x )′|x ＝x 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.令1x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2得－2x 1＝ln x 21－1.设t ＝－x 1>0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3<0，f (e)＝1－2e >0，于是f (x )＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.1.函数f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1的导函数f ′(x )＝( ) A.2x ＋1x ＋cos x ＋1 B.2x －1x ＋cos x C.2x ＋1x －cos xD.2x ＋1x ＋cos x答案 D解析由f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1得f ′(x )＝2x ＋1x ＋cos x . 2.曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A.2B.－2C.12D.－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12. 3.(2021·安徽皖江名校联考)已知f (x )＝x 3＋2xf ′(0)，则f ′(1)＝( ) A.2 B.3C.4D.5答案 B解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(0)， ∴f ′(0)＝2f ′(0)，解得f ′(0)＝0， ∴f ′(x )＝3x 2，∴f ′(1)＝3.4.(2022·豫北十校联考)已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为( ) A.y ＝0 B.4x ＋y ＋4＝0 C.4x －y ＋4＝0 D.y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 答案 D解析易知点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，x 20)，由f (x )＝x 2可得f ′(x )＝2x ，∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0. ∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝x 20x 0＋1＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.5.(2022·昆明诊断)若直线y ＝ax 与曲线y ＝ln x －1相切，则a ＝( ) A.e B.1C.1eD.1e 2答案 D解析由y ＝ln x －1，得y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0－1)，则⎩⎨⎧ax 0＝ln x 0－1，a ＝1x 0，解得a ＝1e 2. 6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a 答案 B解析由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大. 因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).7.函数f (x )＝(2x －1)e x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________. 答案 π4解析由f (x )＝(2x －1)e x ，得f ′(x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，则切线的斜率k ＝1，又切线倾斜角θ∈[0，π)，因此切线的倾斜角θ＝π4.8.已知曲线f (x )＝13x 3－x 2－ax ＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－4，＋∞) 解析 f ′(x )＝x 2－2x －a ，依题意知x 2－2x －a ＝3有两个实数解，即a ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4有两个实数解， ∴y ＝a 与y ＝(x －1)2－4的图象有两个交点， ∴a >－4.9.(2021·济南检测)曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________.答案－2解析∵直线l过点(－2，0)和(0，－2)，∴直线l的斜率f′(－1)＝0＋2－2－0＝－1，直线l的方程为y＝－x－2.则f(－1)＝1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y －4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x20－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，所以x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)·(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.11.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.解(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16＝0，整理得x30＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).12.若函数f(x)＝a ln x(a∈R)与函数g(x)＝x在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为()A.4B.12 C.e2 D.e答案 C解析由已知得f′(x)＝ax，g′(x)＝12x，设切点横坐标为t，∴⎩⎨⎧a ln t＝t，at＝12t，解得t＝e2，a＝e2.13.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________. 答案 2解析设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则y′|x＝x0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x－1x| x＝x0＝2x0－1x0＝1.∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2.14.(2021·宜昌质检)已知函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，g(x)＝e x＋ax2＋bx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，求a＋b的值.解由y＝x＋1x的图象关于点(0，0)对称，且y＝f(x)的图象可由y＝x＋1x的图象平移得到，且函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1＝1x＋1＋(x＋1)＋a－2的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，得a－2＝－1，即a＝1，所以f(x)＝1x＋1＋x.对f(x)求导，得f′(x)＝1－1（x＋1）2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k1＝f′(1)＝1－14＝3 4.对g(x)求导，得g′(x)＝e x＋2x＋b，则曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线斜率k2＝g′(0)＝b＋1.由两曲线的切线互相垂直，得(b＋1)×34＝－1，即b＝－73，所以a＋b＝1－73＝－43.。

y的三阶导数

y的三阶导数导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

我们可以通过求导数来求函数的最大值、最小值、拐点等信息。

而对于某些函数，我们需要求其更高阶的导数，以了解其更加深入的性质。

本文将围绕着y的三阶导数展开讨论。

一、导数的定义在了解y的三阶导数之前，我们需要先了解导数的定义。

对于函数y=f(x)，其在x点处的一阶导数为：f'(x) = lim(x->0) [f(x+h)-f(x)]/h其中，h是一个趋近于0的数。

这个定义可以理解为，当x增加一个非常小的量h时，f(x)的增量与x的增量之比就是f'(x)。

因此，f'(x)描述了函数在x点处的变化率。

同理，我们可以定义二阶导数和三阶导数：f''(x) = lim(x->0) [f'(x+h)-f'(x)]/hf'''(x) = lim(x->0) [f''(x+h)-f''(x)]/h其中，f''(x)描述了f'(x)在x点处的变化率，f'''(x)描述了f''(x)在x点处的变化率。

可以看出，高阶导数描述了函数变化率的变化率，因此，它们可以更加深入地了解函数的性质。

二、y的三阶导数的计算现在，我们来具体计算y的三阶导数。

假设y=f(x)，则我们可以得到：y' = f'(x)y'' = f''(x)y''' = f'''(x)简单来说，如果我们已知函数f(x)的表达式，那么我们只需要按照导数的定义逐级求导，就可以得到y的三阶导数。

例如，对于函数y=x^3，我们可以依次求出：y' = 3x^2y'' = 6xy''' = 6这里需要注意的是，当我们求高阶导数时，我们需要考虑函数的定义域。

微积分第3章导数与微分

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9
三、左、右导数
定义设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
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例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
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第三章导数与微分
22
要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;

高二文科数学选修1-1第三章导数的概念及运算带答案

导数的概念及运算[必备知识]考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0ΔyΔx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．考点2 基本初等函数的导数公式若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 2．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) 3．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )4．对于函数f (x )＝－x 2＋3x ，由于f (1)＝2，所以f ′(1)＝2′＝0.( )5．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，则该物体在t ＝0时刻的瞬时速度是0.( ) 6．若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a ＞0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( )答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 二、例题练习1．已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C.2. 已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.【答案】－12【解析】 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 3.设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '-D ．()1f '- 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．4．若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===5.若()()0003lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim 3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 6．[课本改编]曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D 解析 ∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝1＝2；故所求切线方程为：y －1＝2(x －1)即2x －y－1＝0，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2. 8．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2e x B ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e答案 D解析函数y ＝x ·e x 的导函数是f ′(x )＝e x ＋x e x ，在点(1，e)处，把x ＝1代入f ′(x )＝e x ＋x e x ，得k ＝f ′(1)＝2e ，点斜式得y －e ＝2e(x －1)，整理得y ＝2e x －e.9．已知函数2()cos 3g x x x =+，则2()πg'=_______________．【答案】13．【解析】因为2()sin 1g x x '=-+，所以2()πg'=2π21sin 113233-+=-=．故填13．10=')1(f _______________．【答案】e【解析】0x =得(0)1f =，∴(1)e f '=．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ．12．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为_______________．【答案】(2,)+∞【解析】由()224ln f x x x x =--，得()()4220f x x x x'=-->，则由不等式()42200x x x-->>，得()2200x x x -->>，从而可解得2x >．故()0f x '>的解集为(2,)+∞．13.求下列函数的导数：(1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)＝xx ln ；[解] (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x . (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝1－12cos x .14．[2015·天津高考]已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析因为f (x )＝ax ln x ，所以f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)．由f ′(1)＝3得a (ln1＋1)＝3，所以a ＝3.15．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－∞，0)【解析】曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 【答案】C【解析】因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2…x －a 8＋[]x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋ []x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.17．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°答案 B 解析由y ′＝3x 2－2得y ′| x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°，故选B.18．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 B 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 19．[2016·深圳中学实战考试]函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( ) A.π4B.π6C.5π6D.3π4答案 D 解析由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得－1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4. 20．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.21．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 备用：1.函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.2.[2014·江西高考]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案 (e ，e)解析令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案－3解析由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.3. [2016·沈阳模拟]若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( ) A ．1 B.164C ．1或164D ．1或－164[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] C[2016·沈阳模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7答案 A解析 ∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为：y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，得a ＝－1. 综上，a ＝－1或a ＝－2564.故选A.。

武忠祥教授高等数学考研第二三章

f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
(x (n 1)!
x0
)n1 ,
在 x0 与 x 之间.
（二）导数应用
1.洛必达法则
若 1) lim f ( x) lim g( x) 0();
x x0
x x0
2）f ( x) 和 g( x)在 x0的某去心邻域内可导,且 g( x) 0;
f ( x0 )
定义2(左导数)
f( x0 )
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x x0
x0
x
定义3(右导数)
f( x0 )
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x x0
x0
x
定理1 可导左右导数都存在且相等
定义4(区间上可导及导函数)
2. 微分的概念
f (b) f (a) f ( ).
ba 定理4（柯西中值定理）
设 f ( x), F ( x) 在 [a, b] 连续, 在 (a, b) 内可导，且 F( x) 0 那么至少存在一个 (a, b) ，使
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）
所确定的隐函数, 则 d 2 y dx2
_______.
(1)
x0
【例9】(2013年1）设
y
x sint, t sint cost,
d2y dx2 t __________.
4
( t 为参数), 则 ( 2)
【例10】(2007年2,3）设函数 y 1 , 则 2x 3

5.1 导数的概念及其意义(课时3 导数的几何意义)

若，则函数在处切线斜率；若，则函数在处切线斜率，函数在附近单调递增，越大，说明函数图象变化得越快；若，则函数在处切线斜率，且函数在附近单调递减，越大，说明函数图象变化得越快．
新知运用
例2 已知的图象如图所示，则与的大小关系是( ).
探究2 利用图象理解导数的几何意义
观察函数的图象，思考下列问题.
情境设置
问题1：函数的图象在处的切线与轴有什么关系？的值与0的大小关系是什么？图象在附近的变化情况如何？
[答案] 函数的图象在处的切线平行于轴，即，这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
第五章一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
榆次一中数学教研组
课时3 导数的几何意义
学习目标
1.能够通过函数图象直观地理解导数的几何意义，培养学生的抽象思维能力和应用知识的能力.（数学抽象、直观想象）
2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．（数学运算）
B
A. B. C. D.不能确定
[解析] 由导数的几何意义可知，分别是切线在点，处切线的斜率，由图象可知．
方法总结导数与函数图象升降的关系若函数在处的导数存在且（即切线的斜率大于零），则函数在附近的图象是上升的；若（即切线的斜率小于零），则函数在附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.
×
自学检测
2.已知曲线上一点，则点处的切线斜率为( ).A. B. C. D.
C
[解析] ，即 .
3.函数的图象如图所示，下列描述错误的是( ).
D
A. 处比处变化快B. 处呈上升趋势C. 和处增减趋势相反D. 处呈上升趋势

3导数的计算

求函数 y＝ sin
[解析]
4x
＋cos 的导数． 4 4
4x
x x ∵y＝sin44＋cos44
x x x x ＝(sin24＋cos24)2－2sin24cos24 1 x 1 1－cosx 3 1 ＝1－ sin2 ＝1－ · ＝＋ cosx， 2 2 2 2 4 4
3 1 1 ∴y′＝4＋4cosx′＝－ sinx. 4
解 : y f ( x ) C , y f ( x x ) f ( x ) C C , f ( x ) C lim y 0. x 0 x y 0, x
公式1:
C 0 (C为常数)
.
1.函数 y = f (x) =c 的导数
1 7.若f(x)=logax，则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx，则f(x)= x
'
练习：1 求下列幂函数的导数
（ 1 ）y x 1 ( 2) y 2 x (3) y 3 x ( 4) y
3
5
x
5
3.填空
( 2) y
0 (1) f(x)=80，则f '(x)=______;
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
f ( x) 3x 2
f(x)在x=x0处的导数
f ' ( x0 ) 6 x0
f ' ( x) 6 x x=x0时的函数值
关系
f(x)的导函数
二、新课——几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
2)求曲线在点（ 11 ，）处的切线方程. 3 1 3 1 y x y' x 4 4 4 4

实验三导数及其微分中值定理[1]

实验三导数及其中值定理实验目的：1掌握matlab求导数与高阶导数的方法。

2深入理解和掌握求隐函数的导数以及由参数方程定义的函数的导数的方法。

3理解中值定理的条件和结论；4会写函数的Taylor展开式和Maclaurin展开式；5掌握求函数的极值和最值的方法；6作出函数的图形。

实验使用的MATLAB函数：Matlab命令：求导数命令是diff,常用格式是：syms xdiff('f(x)',x)diff('f(x)',x,n) 求出f关于x的n阶导数Matlab 泰勒展开格式：taylor(f)求在x=0点展开6项taylor(f,n,x0) 求在x=x0点展开n项solve（方程,变量）：求解方程或方程组。

实验指导：一、导数概念与导数的几何意义：例：用定义求g(x)=2x3-4x2+x+1的导数输入：syms xdiff('2*x^3-4*x^2+x+1')输出：ans =6*x^2-8*x+1再输入：x=-1:0.1:3;y1=2*x.^3-4*x.^2+x+1;y2=6*x.^2-8*x+1;plot(x,y1,'b',x,y2,'r:')执行后得到函数y1与它的导函数y2的图像，如下图。

例：作函数f(x)=3x3+3x2-12x+7的图形和在x=1处的切线输入：syms xhanshu=3*x^3+3*x^2-12*x+7;daoshu=diff('3*x^3+3*x^2-12*x+7');x=1;hanshuzhi=eval(hanshu)daoshuzhi=eval(daoshu)输出：hanshuzhi =1daoshuzhi =3再输入:x=-4:0.1:3;y=3*x.^3+3*x.^2-12*x+7;y1=1+3*(x-1);plot(x,y,'b',x,y1,'r')输出：二、求函数的高阶导数以及函数在某点的导数值例：求函数y=x n 的一阶导数和二阶导数输入：syms xdiff('x^n',1)diff('x^n',2)输出：ans =x^n*n/xans =x^n*n^2/x^2-x^n*n/x^2例：求函数f(x)=sinaxcosbx 的一阶导数，并求f ’(1/(a+b))输入：syms x a bdaoshu=diff('sin(a*x)*cos(b*x)')x=1/(a+b);daoshuzhi=eval(daoshu)输出：daoshu =cos(a*x)*a*cos(b*x)-sin(a*x)*sin(b*x)*bdaoshuzhi =cos(a/(a+b))*a*cos(b/(a+b))-sin(a/(a+b))*sin(b/(a+b))*b例：求函数910)10(2-+=x xy 的1阶到11阶导数输入：syms xy=x^10+2*(x-10)^9;for n=1:11diff(y,x,n)end 输出：ns =10*x^9+18*(x-10)^8ans =90*x^8+144*(x-10)^7ans =720*x^7+1008*(x-10)^6ans =5040*x^6+6048*(x-10)^5ans =30240*x^5+30240*(x-10)^4ans =151200*x^4+120960*(x-10)^3ans =604800*x^3+362880*(x-10)^2ans =1814400*x^2+725760*x-7257600ans =3628800*x+725760ans =3628800ans =三、求由隐函数、参数方程确定的函数的导数例：求由方程x 2-2xy+y 2+x+2y+1=0确定的隐函数的导数输入：syms x yz=x^2-2*x*y+y^2+x+2*y+1daoshu=-diff(z,x)/diff(z,y)输出：daoshu =(-2*x+2*y-1)/(-2*x+2*y+2)例：求由参数方程x=e t cost,y==e t sint 确定的函数的导数输入：syms tx=exp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);daoshu=diff(y,t)/diff(x,t)simple(daoshu)四、理解中值定理的条件和结论；例1 针对函数()(1)(2)f x x x x =--观察罗尔定理的几何意义。

微积分(第三章)

（1） y f (sin2 x) g (cos2 x)
（2） y f n [ g n (sin x n )]
第三章导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
§3 高阶导数
一般地，设 f ' ( x) 在点 x 的某个领域内有定义，若极
限
f ' ( x x ) f ' ( x ) lim x 0 x
f ' ( x0 ) 都存在，就说函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上可导。
第三章导数、微分、边际与弹性
§1 导数的概念
三、导数的几何意义
函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 的几何意义是曲线 y f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率。
定理2 如果函数 x f ( y ) 在区间 I y 内单调、可导
I x x x f ( y ), y I y
且 f ' ( y) 0 ，则它的反函数 y f 1 ( x) 在区间

内也可导，且
[f
1
1 dy 1 ( x)]' f ' ( y) 或 d x dx dy
（4）y cos x
1 （ 6） y x 1 （ 8） y 2 x 5x 6
第三章导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
高阶导数有以下运算法则：
1、[u( x) v( x)]( n) u ( n) ( x) v( n) ( x)
1 ' ( n 1) 2、[u ( x) v( x)]( n ) u ( 0) v ( n ) Cn uv k ( k ) ( nk ) k ( k ) ( nk ) Cn u v u ( n ) v ( 0 ) Cn u v n

D1-3导数

3
Chapter3 The Derivative & The Differential
二.导数的定义
(一)函数在某点处的导数
定义1设函数y f ( x)在点x0的某邻域内有定义，当自变量在x0 处取得改变量x（ x 0）时，函数相应地取得改变量 y f ( x0 x) f ( x0 ) 如果极限 f ( x0 x) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 存在，则称函数f ( x)在x0 可导，x 0为f ( x)的可导点，并称此极限值为 f ( x)的导数，记为f ( x0 )。即 f ( x0 ) lim
第三章
本章主要内容
导数与微分
一、导数部分
（一）一阶导数
1、概念；2、基本公式与运算法则，求导方法介绍；
（二）高阶导数
1、概念；2、方法介绍；
1
Chapter3 The Derivative & The Differential
二、微分部分
1、概念；2、基本公式与运算法则；3、应用介绍；
三、导数应用
1 例5 、求函数f ( x) x sin x 0 x0 在x 0点的导数。 x0
7
Chapter3 The Derivative & The Differential
（二）单侧导数（左导数与右导数）
主要解决分段函数分点处的导数问题
f ( x0 x) f ( x0 ) lim 的单侧极限 x 0 x f ( x0 x) f ( x0 ) 左导数：如果 lim 存在， x 0 x 则称此极限值为函数在 x0点的左导数，记为f ( x0 )。
25

高数三导数知识点总结大一

高数三导数知识点总结大一高数三导数知识点总结一、导数的概念及性质导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

设函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在x=a处的导数记作f'(a)，其定义为：f'(a) = lim┬(h→0)⁡((f(a+h)-f(a))/h)其中，h为自变量的变化量。

导数具有以下性质：1. 导数存在性：函数在某一点可导，意味着该点上函数的变化率有一个确定的值；2. 导数与函数的图像：函数在某一点可导，则在该点处函数的图像有一条切线，其斜率等于该点处的导数值；3. 导数的几何意义：导数表示函数变化的速率，即函数在某一点上的瞬时变化率；4. 导数的计算：根据导数的定义和一些基本导数公式，可以计算出各种函数的导数。

二、常见函数的导数1. 幂函数的导数：设常数a≠0，f(x) = x^n，其中n为自然数，则有f'(x) = nx^(n-1)2. 指数函数的导数：设常数a>0，a≠1，f(x) = a^x，则有f'(x) = ln(a)・a^x3. 对数函数的导数：设常数a>0，a≠1，f(x) = logA(x)(以a为底的对数函数)，则有f'(x) = 1/(x・ln(a))4. 三角函数的导数：(1) 正弦函数的导数：f(x) = sin(x)f'(x) = cos(x)(2) 余弦函数的导数：f(x) = cos(x)f'(x) = -sin(x)(3) 正切函数的导数：f(x) = tan(x)f'(x) = sec^2(x)(4) 余切函数的导数：f(x) = cot(x)f'(x) = -csc^2(x)三、复合函数及其导数复合函数是由两个或多个函数构成的函数，导数的计算依据链式法则。

设函数y=f(u)和u=g(x)可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可表示为：dy/dx = dy/du・du/dx四、隐函数及其导数隐函数是指函数关系中的某一变量以外的变量无法显式表示出来的情况，其导数的计算需要利用隐函数的微分法。

三阶导数判断极值

三阶导数判断极值摘要：1.引言2.三阶导数的概念和计算方法3.如何利用三阶导数判断极值4.实际应用案例5.总结正文：【引言】在微积分中，导数是用来描述函数在某一点变化率的工具，而三阶导数是导数的三次方，可以更精确地反映函数在某一点的变化情况。

在实际应用中，我们常常需要通过求导来寻找函数的极值点，进而解决实际问题。

本文将介绍如何利用三阶导数判断极值。

【三阶导数的概念和计算方法】三阶导数是指函数f(x) 关于x 的导数的三次导数，表示为f"""(x)。

计算三阶导数的方法比较简单，一般来说，如果函数f(x) 在某一点可导，那么它的三阶导数就在这一点存在。

计算公式为：f"""(x) = (df(x) / dx)【如何利用三阶导数判断极值】利用三阶导数判断极值的原理是：当函数的二阶导数为零时，函数可能有极值，而当函数的三阶导数也为零时，函数的极值点就更为确定。

具体操作步骤如下：1.求函数的二阶导数f""(x)，并令其等于零，得到方程f""(x) = 0。

2.求解上述方程，得到所有可能的极值点x。

3.对这些极值点分别求三阶导数f"""(x)，并判断其符号。

4.如果f"""(x) > 0，则x为函数的上升趋势极值点；如果f"""(x) < 0，则x为函数的下降趋势极值点。

【实际应用案例】假设我们要研究函数f(x) = x - 6x + 9x - 2 的极值情况。

首先，我们求出它的二阶导数f""(x) = 3x - 12x + 9，然后令f""(x) = 0，解得x = 1 或x = 3。

接下来，我们分别求出f"""(1) = 6 和f"""(3) = 6，由于两者都大于零，所以x = 1 和x = 3 都是函数的上升趋势极值点。

三阶导数的写法

三阶导数的写法
在微积分中，导数是指函数在某一点上的斜率，而高于一阶的导数，即二阶、三阶导数等，分别可以表示函数曲线的凸度和变化率的
变化率。

在本文中，我们将着重讨论三阶导数的求解和应用。

三阶导数是函数的变化率的变化率的变化率，可以表示函数的更
快速的变化或者减缓程度。

数学上，三阶导数可以通过对函数的二阶
导数再进行一次求导得到，即f'''(x)=(d^3y)/(dx^3)。

一阶、二阶、三阶导数的概念可以表示为：一阶导数表示斜率；二阶导数表示曲率；而三阶导数则表示函数曲线的“弯曲”程度。

在实际中，三阶导数在物理、工程学和金融学等领域都有广泛的
应用。

例如，在物理学中，三阶导数可以描述物理量之间的变化率和
加速度的变化率的变化率。

在金融学中，三阶导数可以用于分析股票
价格曲线的“弯曲”程度，从而预测股票价格的走势。

另外，处理三阶导数的数学方法通常是利用数值方法进行数值积分。

其中，数值微积分方法提供了计算数值解的算法，用于解决无法
用解析方法求解的微积分问题。

总而言之，三阶导数是函数加速度的改变，不仅仅是微积分中的
基本概念之一，也在很多科学领域有着广泛的应用。

因此，对于研究
三阶导数的基本概念和数值方法有着重要的意义。

3导数的几何意义

3导数的几何意义导数的几何意义是描述函数在其中一点上的变化率。

具体来说，导数告诉我们函数在特定点的斜率，也就是函数曲线在这一点处的切线的斜率。

通过导数，我们可以了解函数在不同点上的斜率以及函数的凹凸性，从而得到函数图像的一些几何特征。

对于具体函数f(x)，它在特定点x=a处的导数可以用极限的形式表示：f'(a) = lim(h -> 0) (f(a+h) - f(a))/h这个极限表示函数在点a处的斜率，也就是切线的斜率。

根据这个定义，我们可以进行以下几个几何推论。

一、导数与函数的增减性：如果函数在其中一区间上的导数恒大于0，那么函数在这个区间上是递增的；如果导数恒小于0，那么函数在这个区间上是递减的。

证明：假设函数f(x)在区间[a,b]上的导数恒大于0，即f'(x)>0，对于任意的x1和x2，其中a<=x1<x2<=b。

我们可以将函数f(x)在点x1处和x2处进行比较。

根据导数的定义，我们可以得到以下不等式：f(x2)-f(x1)=(x2-x1)*f'(c)，其中c介于x1和x2之间。

由于f'(c)>0，且(x2-x1)>0，所以有f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)。

这意味着函数f(x)在区间[a,b]上是递增的。

类似地，我们可以证明当导数恒小于0时，函数在其中一区间上是递减的。

二、导数与函数的凹凸性：函数在其中一点处的导数可以告诉我们函数图像是向上凸起还是向下凹陷。

如果函数在特定点处的导数大于0且导数的导数（也就是函数的二阶导数）恒大于0，那么函数在这一点是向上凸起的；如果函数在特定点处的导数小于0且导数的导数恒小于0，那么函数在这一点是向下凹陷的。

证明：假设函数f(x)在点x=a处的导数大于0，即f'(a)>0，且f''(a)>0。

对于任意的x1，其中x1!=a，我们可以考虑函数f(x)在点a和x1之间的变化。

sin^4x的三阶导数

sin^4x的三阶导数在微积分中，当涉及到函数、曲线或者其他数学问题时，经常会涉及到3阶导数这个概念。

三阶导数是对一个二阶导数函数又一次求导之后得到的结果。

本文将会介绍sin^4x的三阶导数。

首先，三阶导数的定义可以简单概括如下：它是指一个函数的一阶导数的二阶导数的值，即求出一个函数的一阶导数，然后求这个一阶导数的二阶导数，这个二阶导数的值就叫做三阶导数。

比如，对于sin^4x来说，它的一阶导数和二阶导数分别为：一阶导数：4sin^3xcosx二阶导数：12sin^2xcos^2x-4sin^4x显然，三阶导数就是求二阶导数的结果，也就是：三阶导数：24sin^2xcos^3x-12sin^4xcosx另外，当函数为多项式时，可以使用Leibniz连乘公式来求三阶导数，对于刚才的sin^4x，可以使用Leibniz连乘的方法来求它的三阶导数。

Leibniz连乘公式：若f(x)是n次多项式，则f(x)的n阶导数为f^(n)(x)=sum_{i=0}^{n}binom{n}{i}f^{(i)}(x)f^{(n-i)}(x) 对于sin^4x来说，n=4，所以它的三阶导数可以表示为以下形式： sin^4x的三阶导数：begin{align*}&sin^4x&quad=binom{4}{3}sin^3xcosxcdot sinx +binom{4}{2}sin^2xcos^2xcdot(-4sin^3x) +binom{4}{1}sinxcos^3xcdot(-12sin^4x) +binom{4}{0}cos^4xcdot(-24sin^4x)&quad=4sin^3xcos^3x-12sin^4xcosxend{align*}由Leibniz连乘式可以得出，sin^4x的三阶导数是：sin^4x的三阶导数：4sin^3xcos^3x-12sin^4xcosx 可以看出，Leibniz连乘法和直接求导的结果是一致的，都是：4sin^3xcos^3x-12sin^4xcosx。

三阶导数判断极值

三阶导数判断极值
（原创版）
目录
1.导数与极值的关系
2.三阶导数的概念
3.如何用三阶导数判断极值
4.三阶导数判断极值的实际应用
正文
导数在数学中是一个非常重要的概念，它在微积分、函数分析等领域有着广泛的应用。

在函数的导数中，一阶导数可以告诉我们函数在某一点的变化率，二阶导数则可以告诉我们函数的凹凸性。

而三阶导数则可以更进一步地帮助我们判断函数的极值。

三阶导数，也被称为函数的立方导数，是指函数关于自变量的三次微分。

在函数 f(x) 中，如果其三阶导数存在，我们就可以用 f"""(x) 表示。

如何用三阶导数判断极值呢？一般来说，如果一个函数在某一点的三阶导数大于零，那么这个点就是函数的上升趋势，也就是说，这个点不是极值点。

反之，如果三阶导数小于零，那么这个点就是函数的下降趋势，这个点就有可能是极值点。

如果三阶导数等于零，那么我们需要结合二阶导数来判断，如果二阶导数大于零，则这个点是上升趋势，如果二阶导数小于零，则这个点是下降趋势。

三阶导数判断极值的实际应用非常广泛，尤其在物理、经济学等领域。

例如，在物理中，我们可以通过求解牛顿运动定律的三阶导数来判断物体运动的趋势；在经济学中，我们可以通过求解经济增长模型的三阶导数来判断经济的发展趋势。