高二数学C数列、等差数列(教师版)

合集下载

专题09 与等差数列相关的结论(教师版)-2024年高考二级结论速解技巧

(4) Sm , S2m − Sm , S3m − S2m , S4m − S3m 构成等差数列.
(5) Sn = n
d 2
n
+
(a1
−
d 2
)
是关于
n
的一次函数或常数函数，数列 { Sn n
}
也是等差数列.
(6) S=n
n(a1 + a= n ) 2
na1
+
n(n
−1)d 2
(7)若等差数列{an}的项数为偶数 2m ,公差为 d ,所有奇数项之和为 S奇 ,所有偶数项之和为 S偶 ,则所有项
S奇 S偶
=
m m −1.
(9)在等差数列
{an
}
，
{bn
}
中，它们的前
n
项和分别记为
Sn
,
Tn
则
an bn
=
S2n−1 T2n−1
.
二、典型例题
例题 1．（2023·全国·高二专题练习）等差数列{an} 的前 n 项和 Sn ，若 Sn= 1, S3n − Sn= 5 ，则 S4n =（
）
A．10
专题 10 与等差数列相关的结论
一、结论
设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.
(1) an = a1 + (n −1)d ; an = am + (n − m)d
(2) p + q = m + n ⇒ ap + aq = am + an (m, n, p, q ∈ N ∗ )
(3) p + q= 2m ⇒ ap + aq = 2am (m, p, q ∈ N ∗ ) ;

2021全国高考数学真题汇编：等差数列(教师版)

一．选择题（共1小题）1．（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5（单位：cm）成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5（单位：cm），且长与宽之比都相等．已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝（）A．64B．96C．128D．160二．填空题（共1小题）2．（2021•上海）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝．三．解答题（共3小题）3．（2021•新高考Ⅱ）记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求使S n＞a n成立的n的最小值．4．（2021•甲卷）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{a n}是等差数列．5．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知+＝2．（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式．参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5（单位：cm）成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5（单位：cm），且长与宽之比都相等．已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝（）A．64B．96C．128D．160【分析】直接利用数列的等差中项的应用求出结果．【解答】解：{a n}和{b n}是两个等差数列，且（1≤k≤5）是常值6＝288，a5＝96，故，由于所以b3＝128．另解：，解得：故：．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：数列的等差中项的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．二．填空题（共1小题）2．（2021•上海）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝21．【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解答】解：因为等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝a7+9d＝3+5×2＝21．故答案为：21．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．三．解答题（共3小题）3．（2021•新高考Ⅱ）记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求使S n＞a n成立的n的最小值．【分析】（Ⅱ）直接利用等差数列的性质和前n项和的应用求出数列的通项公式；（Ⅱ）直接利用作差法的应用和数列的分解因式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅱ）数列S n是公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S2，a2a4＝S6．根据等差数列的性质，a3＝S5＝5a3，故a3＝4，根据a2a4＝S6可得（a3﹣d）（a3+d）＝（a6﹣2d）+（a3﹣d）+a8+（a3+d），整理得﹣d2＝﹣2d，可得d＝2（d＝0不合题意），故a n＝a7+（n﹣3）d＝2n﹣4．（Ⅱ）a n＝2n﹣6，a8＝﹣4，S n＝﹣4n+×2＝n7﹣5n，S n＞a n，即n2﹣4n＞2n﹣6，整理可得n3﹣7n+6＞3，当n＞6或n＜1时，S n＞a n成立，由于n为正整数，故n的最小正值为3．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4．（2021•甲卷）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{a n}是等差数列．【分析】设等差数列{}的公差为d，可用、求出d，得到S n的通项公式，利用a n＝S n﹣S n﹣1可求出a n的通项，从而证明{a n}是等差数列．【解答】证明：设等差数列{}的公差为d，由题意得＝；＝＝＝2，则d＝﹣＝6﹣＝＝+（n﹣1），所以S n＝n2a4①；当n≥2时，有S n﹣1＝（n﹣8）2a1②．由①②，得a n＝S n﹣S n﹣3＝n2a1﹣（n﹣3）2a1＝（6n﹣1）a1③，经检验，当n＝8时也满足③．所以a n＝（2n﹣1）a7，n∈N+，当n≥2时，a n﹣a n﹣1＝（8n﹣1）a1﹣（8n﹣3）a1＝2a1，所以数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查了等差数列的概念和性质，涉及逻辑推理，数学运算等数学学科核心素养，属于中档题．5．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知+＝2．（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式．【分析】（1）由题意当n＝1时，b1＝S1，代入已知等式可得b1的值，当n≥2时，将＝S n，代入+＝2，可得b n﹣b n﹣1＝，进一步得到数列{b n}是等差数列；（2）由a1＝S1＝b1＝，可得b n＝，代入已知等式可得S n＝，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣，进一步得到数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：当n＝1时，b1＝S4，由+＝24＝，当n≥3时，＝S n，代入+＝2，消去S n，可得+＝2n﹣b n﹣4＝，所以{b n}是以为首项，．（2）由题意，得a1＝S1＝b7＝，由（1），可得b n＝+（n﹣1）×＝，由+＝4n＝，当n≥8时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝﹣1不满足该式，所以a n＝．【点评】本题考查了等差数列的概念，性质和通项公式，考查了方程思想，是基础题．。

等差数列(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)

讲授新课
(2020·北京卷)在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记 Tn＝a1a2…an(n＝1，2，…)，则数列
{Tn}( )
A.有最大项，有最小项
B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项
D.无最大项，无最小项
答案 B
解析设等差数列{an}的公差为 d，∵a1＝－9，a5＝－1，
2
讲授新课
知识点二等差数列的判定与证明
【例 2】若数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝1. 2
1 (1)求证： Sn 成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明当 n≥2 时，由 an＋2SnSn－1＝0，得 Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以S1n－Sn1－1＝2，
石板数为 S3n＝S27＝27×9＋27×26×9＝3 402(块). 2
当堂检测
【方法总结】
1.项的性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap ＋aq. 2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，则 (1) S2n＝n(a1＋a2 n)＝…＝n(an ＋an＋1)； (2)S2n－1＝(2n－1)an. (3)依次 k 项和成等差数列，即 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列. 3.求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前 n 项和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数，A≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.
【答案】B
【详解】记 bn

2014届高二数学同步配套课件第2章《等差数列》(苏教版必修5)

练一练·当堂检测、目标达成落实处
1 3．等差数列{an}中，S10＝4S5，则ad1＝____2____.
解析由题意得：10a1＋12×10×9d＝4(5a1＋12×5×4d)，∴10a1＋45d ＝20a1＋40d， ∴10a1＝5d，∴ad1＝12.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
4．已知等差数列{an}的公差 d 不等于 0，Sn 是其前 n 项和，给出下列命题： ①给定 n(n≥2，且 n∈N*)，对于一切 k∈N*(k<n)，都有 an－k＋ an＋k＝2an 成立； ②存在 k∈N*，使得 ak－ak＋1 与 a2k＋1－a2k－3 同号； ③若 d>0，且 S3＝S8，则 S5 与 S6 都是数列{Sn}中的最小项； ④点1，S11，2，S22，3，S33，…，n，Snn(n∈N*)，…，在同一条直线上．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)
(2)写出 aij 的计算公式．
研一研·题型解法、解题更高效
解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为 4，公差为 3；第二行首项为 7，公差为 5.归纳总结出：第一列(每行的首项) 是以 4 为首项，3 为公差的等差数列，即 3i＋1，各行的公差是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 2i＋1.所以 a45 在第 4 行，首项应为 13，公差为 9，进而得出 a45＝49. (2)该“等差数阵”的第一行是首项为 4，公差为 3 的等差数列： a1j＝4＋3(j－1)；第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列： a2j＝7＋5(j－1)； ……
解析该数阵的第 1 行有 1 个数，第 2 行有 2 个数，…，第 n 行有 n 个数，则第 n－1 (n≥3)行的最后一个数为n－112＋n－1 ＝n22－n2，则第 n 行从左至右的第 3 个数为n22－n2＋3.

人教版高中数学必修五第4讲：等差数列的概念、性质(教师版)

人教版高中数学等差数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点：掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系；教学难点：通项公式的求解及等差数列的判定。

1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。

用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。

6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数）（3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数）（4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列（7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一：等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n = A.672 B.673 C.662 D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-⨯=-令2015n a =，解得673n = 答案：B练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥<所以有115235062360a d d a d d +=+≥+=+<解得2323,456d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==-其中n N +∈设221n n b a =-（1）求证：数列{}n b 是等差数列（2）求数列{}n a 的通项公式解析：（1）1144222222121212121n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++--=-=-==----- 所以数列{}n b 是等差数列（2）()111121,21221212,212n n n a b b b n d n a n n a a n=∴==∴=+-=-+∴==-答案：（1）略（2）12n n a n+=练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1nnb a = （1）求证：数列{}n b 是等差数列（2）求数列{}n b 与{}n a 的通项公式答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列（2）443n a n =- ，34n b n =- 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d答案：15,1a d =-=例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得8252a +== ；2为,ab 的等差中项得1b =-；由b 为2与c 的等差数列，得4c =- 答案：5，-1，-4练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为（） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 答案：2016例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得20151,20152015201520150n k b a n a =-=∴=-+∴=-+=答案：0练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2 答案：D练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b（1）求1b 和2b （2）求{}n b 的通项公式（3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列（1）()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+--=- 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==-==- （2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n mb a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n -=+-=-∴===--=- 则1320n b n =-（3）503132*********b =-⨯=- ，设它是{}n a 中的第m 项，则1004785m -=-，则2011m =，即{}n b 中的第503项是{}n a 中的第2011项1. 在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 答案：A2. 在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1，则a 101的值为( )A ．49B ．50C ．51D ．52 答案：D3. 如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( )A ．14B ．21C ．28D ．35 答案：C4. 已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 100≤0 D ．a 51＝0答案：D5. 等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为( ) A ．30 B ．27 C ．24 D ．21 答案：B6. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63答案： B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A．11 B．12 C．13 D．14答案：C2.若数列{a n}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝()A．24 B．27 C．30 D．33答案：D3.已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于()A．15 B．30 C．31 D．64答案：A4.等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于()A．100 B．120 C．140 D．160 答案：B5.已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A.3B.2C.13D.12答案：A6.在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________. 答案：747.等差数列{a n}中，公差为12，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝_______.答案：858. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案：C9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：4210. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________．答案：411. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项．答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案：D13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 答案：C14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12 C.23 D ．－1答案：B15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A.32B.23C.43D.34 答案：C16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．答案：676617. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根答案：A18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1答案：C19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：12(A ＋B )20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．答案：4,6,821. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：2022. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝3813∉N ＋.∴－101不是数列{a n }中的项． (3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝423.∵n ∈N ＋，∴n ≥5，即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴423<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？答案：设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4 ，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项． 24. 已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，∴a 1＋5d ＝13.∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1， ∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23.27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．答案：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3.∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列， ∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ，即sin 2B ＝sin A ·sin C ， ∴sin A sin C ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )2，∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3，A ＝B ＝C .故△ABC 为等边三角形．。

7.等差数列及其前n项和(教师版)常考题型

－
S1 Sn－Sn－1
n＝1， n＞1，n∈N*
例 2、已知数列项和.。求数列
满足的通项公式
,
是数列
的前
【巩固练习】已知数列
的各项均为正数,
是数列
的前 n 项和,且
.
3
求数列
的通项公式
例 3、已知数列（1）求数列（2）若数列
的前项和为的通项公式；满足：
，且
（
）。
，求数列
的通项公式
【巩固练习】已知数列 an 满足：
1 1 1 1 n 2 (n N * ) ，求 an a1 a 2 a3 an
类型二
等差数列的判定与证明
4
等差数列的判定方法 (1)定义法：对于 n≥2 的任意自然数，验证 an－an－1 为同一常数； (2)等差中项法：验证 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立； (3)通项公式法：验证 an＝pn＋q； (4)前 n 项和公式法：验证 Sn＝An2＋Bn. [提醒] 在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断． 1 例 1、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an＋2Sn· Sn－1＝0(n≥2)，a1＝2.
h 修三四五课
第三步：检验 n＝1 时，a1＝S1 是否适合上式，若适合，则数列{an}的通项公式是 an＝Sn－Sn－1；若不合适，则数列{an}的通项公式是 an＝例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n＋b，求 an.
解当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋b.n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2· 3n 1. －－因此，当 b＝－1 时，a1＝2 适合 an＝2· 3n 1，∴an＝2· 3n 1. 3＋b n＝1 －当 b≠－1 时，a1＝3＋b 不适合 an＝2· 3n 1，∴an＝ n－1 . 2· 3 n≥2 －综上可知，当 b＝－1 时，an＝2· 3n 1； 3＋b n＝1 当 b≠－1 时，an＝ n－1 . 2· 3 n≥2

高二第一学期数学选择性必修二导学案(等差数列的前n项和公式第2课时)教师版

4.2.2 等差数列的前n项和公式（第二课时）【学习目标】（1）能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系；（2）用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题；（3）会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题.【知识复习】1、等差数列的通项公式：a n=a1+(n−1)d2、等差数列前n项和的公式：S n=n(a1+a n)2S n=na1+n(n−1)2d【例题精讲】例1(课本例8)（实际应用）某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.跟踪训练11、某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天道商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元。

你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？2、虎甲虫以爬行速度闻名，下表记录了一只虎甲虫连续爬行n s（n=1,2,…,100）时爬行的距离.（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离与时间之间的关系吗？（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行1 min能爬多远（精确到0.01m）？它连续爬行10m 需要多长时间（精确到0.1s ）?例2（研究等差数列前n 项和公式的性质）探究：如果数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2+qn +r ，其中p,q,r 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？证：当n≥2时，a n =S n -S n-1=pn 2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q 当n=1时，a 1=S 1=p+q+r当r ≠0时，a 1不满足a n =2pn-p+q ，此时数列不是等差数列. 当且仅当r =0时，a 1满足a n =2pn-p+q ，此时该数列是等差数列.故只有当r=0时该数列才是等差数列, 其中首项a 1=p+q, 公差d=2p(p≠0).跟踪训练2-1已知数列{a n }的n 项和为S n =14n 2+23n +3 ,求数列{a n }的通项公式.解：当n ≥2时，a n =S n −S n−1=14n 2+23n +3−[14(n −1)2+23(n −1)+3]=12n +512当n =1时，a 1=S 1=14+23+3=4712，不满足上式故数列{a n }的通项公式为a n ={4712,n =112n +512,n ≥2证明：∵S n =na 1+n (n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n∴S n n =d 2n +(a 1−d2) ∴S n n −S n−1n −1=d 2n +(a 1−d 2)−[d 2(n −1)+(a 1−d 2)]=d2故{Snn }是公差为d2的等差数列.跟踪训练2-2 已知S n是等差数列{a n}的前n项和.}是等差数列；（1）证明：{S nn}的前n项和，若S4=12,S8=40，求T n.（2）设T n为数列{S nn证明：∵S m=a1+a2+⋯+a m∴S2m−S m=a m+1+a m+2+⋯+a2m=(a1+a2+⋯+a m)+m2d S3m−S2m=a2m+1+a2m+2+⋯+a3m=(a m+1+a m+2+⋯+a2m)+m2d ∴(S2m−S m)−S m=(S3m−S2m)−(S2m−S m)=m2d∴S m,S2m−S m,S3m−S2m构成等差数列，公差为m2d.跟踪训练2-31.已知等差数列{a n}的n项和为S n,且S10＝310,S20＝1220，求S30.解：∵数列{a n}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，∴S30＝2 730.证明：a mb n=2a m 2b n=a 1+a 2m−1b 1+b 2n−1=(2m−1)(a 1+a 2m−1)212m−1(2n−1)(b 1+b 2n−1)212n−1=(2n−1)S 2m−1(2m−1)T 2n−1跟踪训练2-41.已知{a n },{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ,T n ，且S n T n=2n+2n+3，则a 5b 5＝__53__.2、设等差数列{b n }的前n 项和为T n . 若a n b n=5n+2n+3，则 S5T5=__176__；证明： S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n (a 1+a 2n )=n (a n +a n+1)，S 偶−S 奇=(a 2−a 1)+(a 4−a 3)+⋯+(a 2n −a 2n−1)=ndS 偶S 奇=n (a 2+a 2n )2n (a 1+a 2n−1)2=a 2+a 2n a 1+a 2n−1=2a n+12a n =a n+1a n.跟踪训练2-51.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d =______.解：由条件{S 奇+S 偶=354S 偶S 奇=3227) ，解得{S 偶=192S 奇=162)∴ 由S 偶−S 奇=6d 得 d =5证明：S 2n+1=(2n+1)(a 1+a 2n+1)2=(2n+1)2a n+12=(2n +1)a n+1S 奇−S 偶=a 1+(a 3−a 2)+(a 5−a 4)+⋯+(a 2n+1−a 2n )=a 1+nd =a n+1S 偶S 奇=n (a 2+a 2n )2(n +1)(a 1+a 2n+1)2=n (a 2+a 2n )(n +1)(a 1+a 2n+1)=n n +1.跟踪训练2-61、项数为奇数的等差数列{a n }，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)(n ＋1)12(a 2＋a 2n )n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43，解得n ＝3.∵S 奇＝(n ＋1)a n ＋1＝44，∴a n ＋1＝11.∴这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7(项)．例3（课本例9）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=10，公差d =−2，则S n 是否存在最大值？若存在，求S n 的最大值及取得最大值时n 的值；若不存在，请说明理由.【总结】求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法 1.前n 项和公式法利用S n =An 2+Bn 进行配方，求二次函数的最值，此时n 应取最接近−B 2A的正整数值；2.通项公式法利用等差数列的增减性及a n 的符号变化(1)当a 1>0,d <0时，数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为S n 的最大值. 此时由a n ≥0且a n+1≤0求n 的值；(2)当a 1<0,d >0时，数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为S n 的最小值. 此时由a n ≤0 且a n+1≥ 0求n 的值；注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.跟踪训练31、已知等差数列-4.2，-3.7，-3.2，…的前n项和为S n，S n是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值.，前n项和为S n. 求S n取得最小值时n的值.2、已知数列{a n}的通项公式为a n=n−22n−15【课后作业】（1）《把关题》第6-7页；（2）《把关题》第8-9页.【板书设计】一、选择题1.已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( ) A.11或12 B.12 C.13D.12或13答案 D 解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2， ∴数列{a n }为等差数列.又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大.2.若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和最大时，n 的值为( ) A.6 B.7 C.8D.9答案 B 解析因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0，即193≤k ≤223. 因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？( ) A.4日 B.3日 C.5日D.6日答案 A 解析由题意，可知良马第n 日行程记为a n ，则数列{a n }是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n 日行程记为b n ，则数列{b n }是首项为92，公差为－1的等差数列，则a n ＝97＋15(n －1)＝15n ＋82，b n ＝92－(n －1)＝93－n .因为数列{a n }的前n 项和为n （97＋15n ＋82）2＝n （179＋15n ）2，数列{b n }的前n 项和为n （92＋93－n ）2＝n （185－n ）2，∴n （179＋15n ）2＋n （185－n ）2＝840，整理得14n 2＋364n －1 680＝0，即n 2＋26n －120＝0，解得n ＝4(n ＝－30舍去)，即4日相逢.4.若在数列{a n }中，a n ＝43－3n ，则当S n 取最大值时，n ＝( ) A.13 B.14 C.15D.14或15答案 B 解析 ∵数列{a n }中，a n ＝43－3n ，∴a 1＝40，∴S n ＝n （40＋43－3n ）2是关于n 的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n ＝836，又n 为正整数，与836最接近的一个正整数为14，故S n 取得最大值时，n ＝14.故选B.5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( ) A.35 B.32 C.23D.38答案 A 解析由题意可知，九个儿子的年龄成公差d ＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9a 1－108＝207，解得a 1＝35. 二、填空题6.在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则公差d 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78解析由题意，当且仅当n ＝8时，S n 有最大值，可知⎩⎨⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎨⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，数列{a n }的前n 项和最大.答案 8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0. 故前8项的和最大.8.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________. 答案 16解析 ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10（a 3＋a 8）2＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3>0，a 8>0，a 3＋a 8＝40×210＝8，∴a 3·a 8＝a 3(8－a 3)＝－a 23＋8a 3＝－(a 3－4)2＋16≤16.当且仅当a 3＝4时取等号. 三、解答题9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大？并说明理由. 解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d .∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎨⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3.即d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3.(2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，∴⎩⎨⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0，∴a 6＞0，又由(1)知d ＜0. ∴数列前6项为正，从第7项起为负.∴数列前6项和最大.10.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感.据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人.到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8 670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.解设第n 天新患者人数最多，则从第n ＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，S n ＝20n ＋n （n －1）2×50＝25n 2－5n (1≤n ≤30，n ∈N )，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20＋(n －1)×50－30＝50n －60，公差为－30，项数为30－n 的等差数列.其和T n ＝(30－n )·(50n －60)＋（30－n ）（29－n ）2×(－30)＝－65n 2＋2 445n －14 850.依题设构建方程有S n ＋T n ＝8 670，即25n 2－5n ＋(－65n 2＋2 445n －14 850)＝8 670.化简，得n 2－61n ＋588＝0，解得n ＝12或n ＝49(舍去)，第12天的新患者人数为20＋(12－1)×50＝570(人).故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人.11.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺； ③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺) 问：此民谣提出的问题的答案是( ) A.61.395尺 B.61.905尺 C.72.705尺D.73.995尺答案 A 解析设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，∵每节竹节间的长相差0.03尺，∴{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d ′＝0.03为公差的等差数列.由题意知竹节上一圈比下一圈细0.013尺，设从地面往上，每圈周长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，可得{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列.∴一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程S 30＝(a 1＋a 2＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋…＋b 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤30×1.3＋30×292×（－0.013）＝61.395，故选A. 12.已知{a n }是等差数列，首项为a 1，其公差d <0，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n .(1)若a 1＝－4d ，则当n ＝________时，T n 有最大值；(2)若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是________.答案 8或9 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－52解析易知S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2，若a 1＝－4d ，则S n n ＝d 2n －92d ，由⎩⎪⎨⎪⎧S n n ≥0，S n ＋1n ＋1≤0，解得8≤n ≤9. 即n ＝8或9时，T n 有最大值；若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧S 66＝a 1＋52d >0，S 77＝a 1＋3d <0，d <0，解得－3<a 1d <－52. 13.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }，则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300，S n ＝17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）×300＝3 100， ①na 1＋n （n －1）2×300＝17 500. ② 由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0，整理得3n 2－65n ＋350＝0，解得n ＝10或n ＝353(舍去)，所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m).所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.14.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，现有下列四个命题，其中正确的命题有( )A.若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B.若S 4＝S 12，则使S n >0的n 的最大值为15C.若S 15>0，S 16<0，则{S n }中S 8最大D.若S 7<S 8，则S 8<S 9答案 BC 解析对于A ，若S 10＝0，则S 10＝（a 1＋a 10）·102＝0，则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1>0，则a 8>0，a 9<0，则有S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a 1＋a 16）2＝16（a 8＋a 9）2＝0，故使S n >0的n 的最大值为15，B 正确；对于C ，若S 15>0，S 16<0，则S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0， S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 8＋a 9)<0，则有a 8>0，a 9<0，故{S n }中S 8最大，故C 正确；对于D ，若S 7<S 8，即a 8＝S 8－S 7>0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误.。

高中数学等差数列说课稿(通用8篇)

高中数学等差数列说课稿〔通用8篇〕高中数学等差数列说课稿〔通用8篇〕高中数学等差数列说课稿篇1一、教材分析^p1、教材的地位和作用：《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的根底上，对数列的知识进一步深化和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习比照的根据。

2、教学目的根据教学大纲的要求和学生的实际程度，确定了本次课的教学目的a知识与技能：理解并掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

培养学生观察、分析^p 、归纳、推理的才能；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移才能；通过阶梯性练习，进步学生分析^p 问题和解决问题的才能。

b.过程与方法：在教学过程中我采用讨论式、启发式的方法使学生深化的理解不完全归纳法。

c.情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，培养学生主动探究、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析^p 、擅长总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点重点：①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：①等差数列的通项公式的推导②用数学思想解决实际问题二、学情教法分析^p ：对于高一学生，知识经历已较为丰富，具备了一定的抽象思维才能和演绎推理才能，所以我本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学理论活动，以独立考虑和互相交流的形式，在教师的指导下发现、分析^p 和解决问题。

学生在初中时只是简单的接触过等差数列，详细的公式还不会用，因些在公式应用上加强学生的理解三、学法分析^p ：在引导分析^p 时，留出学生的考虑空间，让学生去联想、探究，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

高二第一学期数学选择性必修二导学案(等差数列的前n项和公式第1课时)教师版

4.2.2 等差数列的前n项和公式（第一课时）【学习目标】（1）探索并掌握等差数列的前n项和公式；（2）理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；【知识梳理】请同学们预习课本4.2.2节（第18-22页），完成下列知识梳理。

【探究等差数列的前n项和公式】1、高斯的算法（1）高斯的算法解决了求等差数列1，2，3，…，n，…○1前100项的和的问题.（2）设a n=n，高斯的计算算法利用了等差数列的性质：m+n=p+q⟺a m+a n=a p+ a q，即a1+a100=a2+a99=⋯=a50+a51，这样高斯的计算方法可以表示为(a1+a100)+(a2+a99)+⋯+(a50+a51)=101×50=5050（3）这样，它使不同数的求和问题转化成了相同数的求和，从而简化了运算。

【思考】你能用高斯的方法求1+2+…+100+101吗？思路1 （拿出中间项，再首尾配对）原式= (1+101)+ (2+100)+ (3+99)+… + (50+52)+51思路2 （拿出末项，再首尾配对）原式=(1+2+3+…+ 100)+101思路3 （先凑成偶数项，再配对）方法1：原式=(1+2+3+…+ 101+102)-102方法2：原式=0+1+2+3+…+ 100+1012、为探究数列{a n}的前n项和，将上述方法推广到一般，（1）当n为偶数时，有a1+a n=a2+a n−1=⋯=a n2+a n2+1,于是有S n=1+2+3+⋯+n=(1+n)+[2+(n−1)]+⋯+[n2+(n2+1)]=(1+n)+(1+n)+⋯+(1+n)（共n2个(1+n)）=n(n+1)2（2）当n为奇数时，有S n=1+2+3+⋯+n=(1+n)+[2+(n−1)]+⋯+[(n+12−1)+(n+12+1)]+n+12=(1+n)+(1+n)+⋯+(1+n)+n+12（共n−12个(1+n)）=n−12·(1+n)+n+12=n(n+1)2（3）所以，对任意正整数n，都有S n=1+2+3+⋯+n=n(n+1).2【思考】上面求和时，需要对n分奇数、偶数进行讨论，能够设法避免分类讨论？作变形，可得（1）我们从已经得到的公式S n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)22S n=2(1+2+3+⋯+n)=n(n+1)它相当于两个S n相加，而结果变成了n个(n+1)相加.受此启发，我们得到下面的方法：S n=1+ 2 + 3 +⋯+n，S n=n+(n−1)+(n−2)+⋯+1，将上述两式相加，可得2S n=(n+1)+[(n−1)+2]+[(n−2)+3]+⋯+(1+n)=(1+n)+(1+n)+⋯+(1+n)（共有n个(1+n)）=n(n+1),.所以S n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2（2）我们也可以通过类比推导三角形面积公式过程，得到如下模型图案中，第1层到第21层一共多少颗宝石？（3）上述方法，通过“倒序相加”的方法，把不同数的求和转化为n个相同的数的求和3、将上述的方法推广到求等差数列{a n}的前n项和（1）对于等差数列{a n}，因为a1+a n=a2+a n−1=⋯=a n+a1，我们用两种方式表示S n：S n=a1+ a2 +⋯+a n, ○2S n=a n+a n−1+⋯+a1, ○3○2+○3，得2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)（共有n个(a1+a n)）=n(a1+a n)由此得到等差数列{a n}的前n项和公式S n=n(a1+a n)（1）2（2）把等差数列的通项公式a n=a1+(n−1)d代入公式（1），可得S n=na1+n(n−1)2d（3）将公式（1）变形可得a1+a n2=S nn=a1+a2+⋯+a nn,所以a1+a n2就是等差数列{a n}前n项的平均数.（4）等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1,d,n,a n,S n”五个量，故知三求二。

高中数学第1章数列 2.1 等差数列第2课时等差数列的性质教案高二数学教案

第2课时等差数列的性质阅读教材P13“练习1”以下“例5”以上部分，完成下列问题(1)等差数列的图像由a n＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像由a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.当d＞0时，{a n}为递增数列，如图(甲)所示．当d＜0时，{a n}为递减数列，如图(乙)所示．当d＝0时，{a n}为常数列，如图(丙)所示．甲乙丙思考：(1)等差数列{a n}中，a3＝4，a4＝2，则数列{a n}是递增数列，还是递减数列？[提示] 因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{a n}是递减数列．(2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？[提示] 等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率．2．等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项．思考：(1)若A 是a 与b 的等差中项，如何用a 和b 表示A?[提示] A ＝a ＋b 2.(2)若数列{a n }中，a n 是a n －1和a n ＋1的等差中项，那么数列{a n }是等差数列吗？为什么？[提示] 是．因为a n 是a n －1和a n ＋1的等差中项，所以a n －1，a n ，a n ＋1成等差数列，故a n －a n －1＝a n ＋1－a n ，由等差数列的定义知数列{a n }是等差数列．1．等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则数列5a 1,5a 2,5a 3，…，5a n 是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为5d 的等差数列C ．非等差数列D ．以上都不对B [由等差数列的定义知a n －a n －1＝d ，所以5a n －5a n －1＝5(a n －a n －1)＝5d ，故选B ．]2．等差数列{a n }中，a 2＝3，a 7＝18，则公差为( )A ．3B ．13C ．－3D ．－13A [a 7－a 2＝5d ，即5d ＝15，d ＝3.]3．2＋1和2－1的等差中项为________．2 [2＋1＋2－12＝ 2.] 4．等差数列{a n }中，a 3＝1，则a 2＋a 3＋a 4＝________. 3 [a 2＋a 3＋a 4＝(a 2＋a 4)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝3.]等差数列的性质【例1】 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8；(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值．[解] (1)法一：(通项公式法)根据等差数列的通项公式，得 a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d .由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13. ∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23. 法二：(等差数列性质法)根据等差数列性质a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13， ∴a 4＋a 8＝2a 6＝23. (2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2，∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)，∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.等差数列性质的应用解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2ω，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a ω(m ，n ，p ，q ，ω都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．1．在公差为d 的等差数列{a n }中．(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13；(2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求d .[解] 法一：(1)化成a 1和d 的方程如下：(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48，即4(a 1＋12d )＝48.∴4a 13＝48.∴a 13＝12.(2)化成a 1和d 的方程组如下：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝34，a 1＋d ·a 1＋4d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝16，d ＝－3.∴d ＝3或－3.法二：(1)由等差数列性质知a 2＋a 24＝a 3＋a 23，又a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，∴a 3＋a 23＝24＝2a 13，∴a 13＝12.(2)由等差数列性质知，a 2＋a 5＝a 3＋a 4，又a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， ∴a 2＋a 5＝17.又∵a 2·a 5＝52，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝13，a 5＝4，∴d ＝13－45－2＝3或d ＝4－135－2＝－3. 等差中项及其应用a ＋b 也成等差数列．[证明] 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以(b ＋c )＋(a ＋b )＝a ＋2b ＋c ＝a ＋(a ＋c )＋c ＝2(a ＋c )，所以b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列．判断一个数列是等差数列的方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．(2)通项法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．(3)等差中项法：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2且n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．2．已知1a ，1b ，1c 成等差数列，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也成等差数列．[证明] 因为1a ，1b ，1c成等差数列，所以2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )．因为b ＋c a ＋a ＋b c ＝c b ＋c ＋a a ＋b ac ＝c 2＋a 2＋b a ＋c ac＝a 2＋c 2＋2ac ac ＝2a ＋c 2b a ＋c ＝2a ＋c b，所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c成等差数列．等差数列性质的综合应用1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，a m 和a n 分别是数列的第m 项和第n 项，怎样用a m ，a n 表示公差d ？在等差数列中，d 的几何意义是什么？[提示] d ＝a m －a n m －n，d 的几何意义是等差数列所在图像的斜率． 2．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ，是否有a m ＋a n ＝a p 成立？[提示] a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d ＝2a 1＋(m ＋n －2)d ，a p ＝a 1＋(p －1)d ＝a 1＋(m ＋n －1)d ，∴a m ＋a n ≠a p .3．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 是常数)是等差数列吗？若是，公差是多少？[提示] (λa n ＋1＋b )－(λa n ＋b )＝λ(a n ＋1－a n )＝λd (与n 无关的常数)，故{λa n ＋b }为等差数列，公差为λd .【例3】在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73，求数列{a n }的通项公式．思路探究：法一：由条件列出关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d ，可得a n ；法二：利用等差数列的性质求d ，利用a n ＝a m ＋(n －m )d ，求a n .[解] 法一(方程组法)：由a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋9d ＝84，a 1＋8d ＝73，解得d ＝9，a 1＝1，故a n ＝1＋9(n －1)＝9n －8.法二(等差数列性质法)：因为a 3＋a 4＋a 5＝3a 4，a 3＋a 4＋a 5＝84，故3a 4＝84，得a 4＝28，又a 9－a 4＝5d ＝45，解得d ＝9.所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝28＋9(n －4)＝9n －8.1．(变条件)在例3中，若条件“a 3＋a 4＋a 5＝84”改为“a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝100”，其余不变，求a n .[解] 因为a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6，故5a 6＝100，a 6＝20，又a 9＝73，故a 9－a 6＝53＝3d ，故d ＝533. 所以a n ＝a 6＋(n －6)d ＝20＋533(n －6)＝533n －86. 2．(变结论)例3的条件不变，若数列{b n }是等差数列，其公差为3，那么数列{2a n ＋3b n }是等差数列吗？若是，求出其公差．[解] (2a n ＋1＋3b n ＋1)－(2a n ＋3b n )＝2(a n ＋1－a n )＋3(b n ＋1－b n ) ＝2×9＋3×3＝27，所以数列{2a n ＋3b n }是等差数列，其公差为27.等差数列的性质若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则有下列性质：(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)若给出等差数列的第m 项a m 和第n 项a n (n ＞m )，则a n ＝a m＋(n －m )d 或d ＝a n －a m n －m. (3){a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋a n －i ＋1＝….(4)若数列{a n }为等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 是常数)是公差为λd 的等差数列．(5)若数列{a n }为等差数列，则下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)组成公差为md 的等差数列．(6)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，则{Aa n ＋Bb n }(A ，B 是常数)也是等差数列．1．等差数列{a n }的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d 的正负有关．特别地，如果已知等差数列{a n }的任意两项a n ，a m ，由a n ＝a m ＋(n －m )d ，类比直线方程的斜率公式，得d ＝a n －a m n －m(m ≠n )． 2．在等差数列{a n }中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的．( )(2)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝a 2＋a 5.( )(3)任何两个数都有等差中项．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√[提示] (1)不正确，当公差d ＝0时，其图像的连线平行于x 轴；(2)(3)正确．2．已知在等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5＋a 6＝( )A ．3B ．6C ．9D ．36B [因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝30，所以a 5＋a 6＝6.]3．在等差数列{a n }中，若a 4和a 10的等差中项是3，又a 2＝2，则a n ＝________.15n ＋85 [因为a 4＋a 10＝2a 7，故a 7＝3，又a 2＝2，所以d ＝15，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2＋15(n －2)＝15n ＋85.] 4．已知三个数成等差数列且是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．[解] 依题意，设这三个数为a －d ，a ，a ＋d (d ＞0)，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝3a ＝18，①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝3a 2＋2d 2＝116，②由①②得a ＝6，d ＝2.所以所求三个数为4,6,8.。

等差数列的概念(第一课时)(教案)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

等差数列的概念第一课时1.课时教学内容等差数列的概念2.课时学习目标(1)能说出等差数列、等差中项的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；(2)会用等差数列的通项公式解决简单问题；3.教学重点与难点重点∶等差数列的定义，等差数列的通项公式。

难点∶等差数列的通项公式。

4.教学过程设计环节一情景引入观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。

1、我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①2、我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②3、2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③问题1：观察数列①②③你能发现他们的规律吗？答：对于数列2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①我们发现：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，… 换一种写法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，… 如果用{}n a 表示数列①，则有：,1212=-a a ,1223=-a a ,1234=-a a …对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12。

同样数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5。

数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7。

【设计意图】通过三个例子，让学生研究三个数列的共性，从而得到等差数列的定义。

环节二学习新知：问题2：什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

第1章数列(单元复习课件)高二数学(湘教版2019选择性必修第一册)

(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
由(1)可得an＝4n－1，an＋1＝4n，所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n) ＝4n－3 1＋nn2＋1.
⑧(－1)nlog3[n(n＋1)]＝(－1)n[log3n＋log3(n＋1)]；
⑨(－1)n2n－14n2n＋1＝(－1)n2n1－1＋2n1＋1.
【例7】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn，
A.4
B.5
C.6
D.7
设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20，
由题意知，d>0，故a>0，b>0，所以(a＋b)1a＋1b6＝1＋16＋ba＋1b6a≥17＋2 ba·1b6a＝25，即1a＋1b6≥2250＝54，当且仅当ba＝1b6a，即b＝4a时取“＝”，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，所以19＝1
题型突破
题型一：等差数列的有关计算
等差数列的计算技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为 d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可解决等差数列的有关问题.另外亦可用等差中项及性质找到项与项之间的关系进行解题，此种解法计算量较小. (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7 项、…时，可同理设出. (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若有6项、8项、…时，可同理设出.

高二第一学期数学选择性必修二导学案(等差数列的概念第2课时)教师版

4.2.1 等差数列的概念（第二课时）【学习目标】（1）能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.（2）能运用等差数列的性质解决有关问题.【知识复习】【例题精讲】例1（课本例3）某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d 为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于进价的5%，设备将报废.请确定d 的取值范围.解：设使用n 年后,这台设备的价值为a n 万元, 由题意知,a n −a n−1=−d(n ≥2),即{a n }是一个公差为−d 的等差数列. 又a 1=220−d, ∴a n =a 1+(n −1)(−d)=220−nd. 由{a 10≥220×5%,a 11<220×5%. 即{220−10d ≥11,220−11d <11. 解得19<d ≤20.9, 所以,d 的取值范围为19<d ≤20.9.跟踪训练11、某体育场一角的看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位. 你能用a n 表示第n 排的座位数吗？第10排有多少个座位？例2（课本例4）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，公差d =8,在{a n }中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n }.（1）求数列{b n }的通项公式；（2） b 29是不是数列{a n }的项？若是，它是{a n }的第几项？若不是，说明理由.解：（1）设数列{b n }的公差为d′由题意知，b 1=a 1=2,b 5=a 2=2+8=10，由b 5=10=b 1+4d ′=2+4d ′,解得d′=2所以b n=2+(n−1)×2=2n所以,数列{b n}的通项公式是b n=2n.（2）解法1：数列{a n}的各项依次是数列{b n}的第1,5,9,13，⋯项,这些下标构成一个首项为1,公差为4 的等差数列{c n},则c n=4n−3,令c n=4n−3=29,解得n=8所以,b29是数列{a n}的第8项.解法2:由(1)知,b29=2×29=58,令a n=2+8(n−1)=58,解得n=8所以,b29是数列{a n}的第8项.【思考】如果插入k(k∈N∗)个数，那么 {b n}的公差是多少？跟踪训练21、已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）依次取出数列中的所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？你能根据得到结论作出一个猜想吗？（性质1 ：在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列. 若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.）例3（课本例5）已知{a n}是公差为d的等差数列，正整数m,n,p,q满足m+n＝p+q，则a m+ a n＝a p+a q.特别地: 若m+n＝2p(m,n,p∈N*)，则有a m+a n＝2a p.（性质2）应用：【思考】下图是性质2的一种情况，你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？跟踪训练31、（1）画出数列a n={18, n=1a n−1−3, 1<n≤6的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率（2）已知等差数列{a n}的公差为d，求证：a m−a nm−n=d. 你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？2、在等差数列{a n}中，a n=m,a m=n，且n≠m，求a m+n.（性质3）你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？3、已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，公差分别是d1,d2，数列{c n}满足c n=a n+2b n. （1）数列{c n}是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.（2）若{a n}，{b n}的公差都等于2，a1=b1=1，求数列{c n}的通项公式.性质 4：若 {a n }，{b n }分别是公差为 d,d′的等差数列 , 则○1数列 {c +a n }的公差为 d ； ○2数列 {c ·a n }的公差为 cd ；○3数列 {a n +a n+k }的公差为 2d ； ○4数列 {pa n +qa n }的公差为 pd +qd ′ .例4 (1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数；(2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数．解：(1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1. ∴这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a -3d ，a -d ，a +d ，a +3d (公差为2d )，则2a ＝2，且(a -3d )(a +3d )＝-8，即a ＝1，a 2-9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝-1.又∵四个数成递增等差数列，所以d ＞0，∴d ＝1，故所求的四个数为-2,0,2,4.等差数列的设项方法和技巧 :(1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为 a 1，公差为 d ，利用已知条件建立方程 ( 组 ) 求出 a 1和 d ，即可确定此等差数列的通项公式 .(2)当已知数列有 3 项时，可设为 a −d,a,a +d ，此时公差为 d .若有 5 项、7项、…时，可同理设出.(3)当已知数列有 4项时，可设为 a −3d,a −d,a +d,a +3d ，此时公差为 2d . 若有 6项、8项、…时，可同理设出.跟踪训练41.(1)已知三个数成等差数列,其和为15,首末两数的积为9,求此数列.(2)已知成等差数列四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求此数列.（1）1,5,9或9,5,1（2）2,5,8,11或11,8,5,2【课后作业】1、《把关题》P4-5页一、选择题1.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10答案 C 解析由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.2.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A.12B.8C.6D.4答案 B 解析由等差数列性质得，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10) ＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.3.在等差数列{a n }中，a 2 018＝log 27，a 2 022＝log 217，则a 2 020＝( )A.0B.7C.1D.49答案 A 解析 a 2 020＝12(a 2 018＋a 2 022)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log 27＋log 217＝12log 2 1＝0. 4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A ，B ，C ，D ，E 五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A ，B ，C 三人所得钱数之和与D ，E 二人所得钱数之和相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C 分得物品的钱数是( )A.25B.45C.65D.75答案 C 解析设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝6＝5a 3，a 3＝65.5.等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A.10B.20C.40D.2＋log 25答案 B 解析因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4＝220，所以原式＝log 2220＝20.二、填空题6.在等差数列{a n }中，若a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，则a 4a 6＝________.答案 4解析 ∵等差数列{a n }中，a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，∴a 22＋a 2(a 6＋a 10)＋a 6a 10＝16，∴(a 2＋a 6)(a 2＋a 10)＝16，∴2a 4·2a 6＝16，∴a 4a 6＝4.7.已知数列{a n }是等差数列.若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________.答案 18解析设数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝173.∵a 4＋…＋a 14＝11a 9＝77，∴a 9＝7，d ＝23.∴a k －a 9＝(k －9)d ，即13－7＝(k －9)×23，解得k ＝18.8.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 8＝5π4，那么cos(a 3＋a 5)＝________.答案－32解析在等差数列{a n }中，由a 1＋a 3＋a 8＝5π4，得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝5π4，∴3a 1＋9d ＝5π4，即a 1＋3d ＝a 4＝5π12，∴a 3＋a 5＝2a 4＝5π6，则cos(a 3＋a 5)＝cos 5π6＝－32.三、解答题9.已知数列{a n }的首项a 1＝3，通项公式为a n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且a 1，a 4，a 5成等差数列，求p ，q 的值.解由a 1＝3，得2p ＋q ＝3.①因为a 1，a 4，a 5成等差数列，所以2a 4＝a 1＋a 5. 又因为a 4＝24p ＋4q ，a 5＝25p ＋5q ，所以3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q .②由①②得p ＝q ＝1.故所求p ，q 的值都是1.10.对数列{a n }，规定{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *).对于k ≥2，k ∈Z *，规定{Δk a n }为{a n }的k 阶差分数列，其中Δk a n ＝Δk －1a n ＋1－Δk －1a n ＝Δ(Δk －1a n ).(1)试写出一个等差数列的一阶差分数列的前5项；(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n (n ∈N *)，试判断数列{Δa n }，{Δ2a n }是否为等差数列.解 (1)由题意，一个等差数列的一阶差分数列是一个各项均为其公差的常数列.故可得许多一阶差分数列，如1，1，1，1，1，…(答案不唯一，符合题意即可).(2)∵Δa n ＝a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2，Δa n ＋1－Δa n ＝2，Δa 1＝a 2－a 1＝4.∴{Δa n }是首项为4，公差为2的等差数列. ∴Δa n ＝2n ＋2，∵Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n ＝2(n ＋1)＋2－(2n ＋2)＝2，∴{Δ2a n }是首项为2，公差为0的等差数列.11.下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个结论：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列.其中正确的为( )A.p 1，p 2B.p 3，p 4C.p 2，p 3D.p 1，p 4答案 D 解析设等差数列首项a 1，d >0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，∴数列{a n }递增，p 1正确；na n ＝dn 2＋(a 1－d )n ，当n <d －a 12d 时，不递增，p 2错误；a n n ＝d ＋a 1－d n ，当a 1－d >0时，不递增，p 3错误；[a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0，{a n ＋3nd }递增，p 4正确，故选D.12.(多选题)已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2 021是该数列的一项，则公差d 不可能是( )A.2B.3C.4D.5答案 BCD 解析由2 021是该数列的一项，即2 021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2 018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5. 13. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解设某单位需购买电视机n 台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n }，a n ＝780＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋800，由a n ＝－20n ＋800≥440，得n ≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n )元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n )n －600n ＝20n (10－n ).当n ＜10时，(800－20n )n ＞600n ，到乙商场购买花费较少；当n ＝10时，(800－20n )n ＝600n ，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n ≤18时，(800－20n )n ＜600n ，到甲商场购买花费较少；当n ＞18时，440n ＜600n ，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.14.已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…与{b n }：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{c n }，则数列{c n }的通项公式c n ＝________；若数列{a n }和{b n }的项数均为100，则{c n }的项数是________.答案 12n －1 25解析由于数列{a n }和{b n }都是等差数列，所以{c n }也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c 1＝11，故c n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.又a 100＝302，b 100＝399，由⎩⎨⎧11≤12n －1≤302，11≤12n －1≤399，解得1≤n ≤25.25，故{c n }的项数为25.。

高考数学专题突破教师版-等差数列及其求和(考点讲析)

p q
bn
1 ，再按 q
第（3）种情况求解.
（5）待定系数法： an1 pan an b ( p 1，0，a 0) 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令 an1 x(n 1) y p(an xn y) ，与已知递推式比较，
6
解出 x, y ,从而转化为 an xn y是公比为 p 的等比数列.
1 an2
1 a3
1 a2
1 a2
1 a1
1
+
a1
，
1 11 11+ 1 n ，
an
1
an
1 n
，
当 n 1
时，
a1
1 1
1
亦成立，综上所述 an
1 n
n N*
故选：A.
【典例 6】（2017·全国高考真题（文））设数列满足
.
（1）求的通项公式；
（2）求数列
的前项和．
可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用 1n 或
1 n1 来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证. 3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3.求数列最大项或最小项的方法