例谈数形结合思想在函数教学上的应用

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例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。

通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。

通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。

通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。

数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。

在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。

【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。

1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。

学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。

二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。

二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。

二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。

二次函数教学的重要性不言而喻。

只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。

二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。

通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。

1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。

通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。

在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。

浅淡数形结合在函数教学中的应用_曾剑华

２数形结合在函数教学中的应用数形结合是一种重要的教学思想方
法。在数学教学中，它主要表现在把抽象的数量关系，转化为适当的几何图形，从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的，使问题简捷地得以解决。而函数在中专数学教学中占了很主要部分，学好函数对于学好数学也就至关重要了。下面主要从两个方面来进行阐述。
的基础知识记忆牢固，才能做到温故而知新，应用时熟能生巧，才能进一步发展数学思维，提高数学能力。教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆。
初看题面往往被“关于坐标轴对称” 这一要求所吸引，觉得（１）（２）（３）三个图满足要求，因而选择（Ｂ），而事实上正确答案应当是（Ｄ），仔细审题发现题目中前边说的是 “ 图象 ”，后面说的是“ 函数图象 ”，题目要求找图象：① 是函数的图象 ② 图象关
图１
图３
图２２５４科技创新导报ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＩｎｎｏｖａｔｉｏｎＨｅｒａｌｄ
如图１所示是余弦函数ｙ＝ｃｏｓｘ的图象，从中我们可以知道余弦函数的定义域是（－ ∞ ，＋ ∞ ），值域是［－１，１］，函数在（２ｋ π，２ｋ π ＋ π）内单调减少，在（２ｋ π ＋ π，２ｋ π ＋２ π）内单调增加，函数的周期是２ π，｜ｃｏｓｘ｜ ≤ １，函数有界，函数是偶函数，在区间（２ｋ π－π ／２，２ｋ π ＋ π ／２）上是下凹的，在区间（２ｋ π ＋ π ／２，２ｋ π ＋３ π ／２）上是上凹的。（ｋ ∈ Ｚ）

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用数形结合思想在二次函数教学中的应用是非常重要的。

二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题时，往往需要将数学知识与几何图形相结合，才能更好地进行分析和解决。

在讲解二次函数的基本概念时，可以借助几何图形进行解释。

通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到二次函数的特点和性质。

可以引导学生观察图像的特点，如顶点、对称轴、开口方向等。

通过观察图像，学生可以更深入地理解二次函数的定义和性质。

数形结合思想在解决二次函数的最值问题时也能起到很大的帮助。

当需要求一个二次函数在一定区间内的最大值或最小值时，可以通过分析几何图像的形状来确定最值的位置。

如果是一个开口向上的抛物线，最小值即为顶点的纵坐标；如果是一个开口向下的抛物线，则最大值为顶点的纵坐标。

通过这种数形结合的思想，学生不仅可以快速找到最值的位置，还能够对最值的意义有更深入的理解。

数形结合思想在解决二次函数方程的根的个数和位置问题时也很有用。

通过绘制抛物线的图像，可以让学生观察到抛物线与x轴交点的个数和位置与方程的根的个数和位置是一致的。

如果抛物线与x轴只有一个交点，那么方程也只有一个实根；如果抛物线与x轴有两个交点，那么方程有两个实根；如果抛物线与x轴没有交点，那么方程没有实根。

通过这种数形结合的思想，学生可以更好地理解二次函数方程根的个数与位置的关系。

数形结合思想在解决二次函数的图像变换问题时也能起到很大的帮助。

在讲解平移变换时，可以通过移动抛物线的顶点，让学生理解平移变换对函数图像的影响；在讲解伸缩变换时，可以通过改变抛物线的开口程度，让学生理解伸缩变换对函数图像的影响。

通过这种数形结合的思想，学生可以更直观地理解各种函数变换的效果和特点。

浅谈数形结合在函数教学中的应用

题的核心，即深化了对它的理解，立这是因２＋２）ｋ内单调增加，数的周期是２为他们 “ 函看着函数研究函数。丁，ＯＸ ≤ １函数有界，ｒｆＳｆ，Ｃ函数是偶函数，在又如例题函数ｙｆ（）（，）＝ｘ在Ｏ２上是减函区间（ｋ丁一 ”／，ｋ＋丁／）是下凹２ｒ２２ｒ２上数，且关于Ｘ的函数ｙｆ（＋２是偶函数，＝ｘ）的，区间（ｋ＋７／，ｋｎ＋／）在２ｒ２２３２上那么：）（是上凹的。ｋ ∈Ｚ（））（＜（厂３；（）（＜（＜（），专，＜（丑，３，导，；））））（）用数形结合有助于提高学生解函２应（）（＜（＜（）（）（＜（＜（）ｃＪ３厂厂号；Ｄ，厂３，号．广））数题的能力。数形结合的思想是重要的数
不是函数图象，管它关于Ｘ轴对称，不尽也符合题目要求。同理， ③也在不选之列， ③ 虽然是函数图象，对称性不符合要求。但通过对这个问题的讨论，同学们抓住了问
２数形结合在函数教学中的应用
数形结合是一种重要的教学思想方法。在数学教学中，主要表现在把抽象它的数量关系，化为适当的几何图形，图转从形的直观特征发现数量之间存在的联系，

巧用“数形结合”思想进行二次函数教学

巧用“数形结合”思想进行二次函数教学发布时间：2022-03-30T15:26:34.416Z 来源：《中国教师》2022年4月下作者：刘浩东[导读] 在初中的数学中二次函数的知识内容占据主要的地位，，并且也是学生学习的重难点。

教师在讲解二次函数知识时，要灵活的运用数形结合的方法，这样会帮助学生理解二次函数的概念，并通过直观图像的形式让学生掌握二次函数的性质。

数形结合的思想方法可以将复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，而且利于学生养成抽象的思维意识，给学生学习数学知识提供了更好的思想方法。

刘浩东安徽省合肥市第三十八中安徽合肥 230000【摘要】在初中的数学中二次函数的知识内容占据主要的地位，，并且也是学生学习的重难点。

数形结合的思想方法可以将复杂的问题简单化，抽象的问题直观化，而且利于学生养成抽象的思维意识，给学生学习数学知识提供了更好的思想方法。

【关键词】数形结合、二次函数、教学中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051（2022）4-152-01前言：在初中数学中函数属于重点学习内容，初中涉及到的函数学习分为三种：一次函数、反比例函数以及二次函数。

二次函数相对于另外两种函数而言，更具有复杂性和抽象性，增加了学习难度。

学生在学习中最大的阻碍就是对函数的概念缺乏认知和深度理解，不能简单的将函数间的关系进行转换。

因此，教师必须在进行二次函数教学中运用数形结合的思想方法，才能帮助学生解决这一障碍。

一、数形结合思想的内涵“数”和“形”的有效结合是以两者之间相互转换的形式来解决数学问题，它可以从两个方面来分析，一是“以形论数”，二是“以数论形”。

通过两者之间的互相转化和对应，将复杂转为简单，抽象转为具体，它将严谨的数和直观的长融合到一起，将复杂的解题过程变得简单化，是一种经常用到的数学思想方法。

“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈

“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈【摘要】数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。

它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法，在数学教学过程中，处处渗透着数形结合的思想。

本文试从“以形助数”、“以数辅形”两个方面，举例说明“数形结合”在数学教学中的应用，重点列举了在解集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等问题中的应用，藉此引起广大数学教师对“数形结合”的重视。

【关键词】数形结合数学教学以形助数以数辅形数形结合思想，通俗讲就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。

它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法。

华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。

数缺形时少直观，形少数时难入微。

”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。

因此，数学教学中突出“数形结合”思想才是充分把握住了数学的精髓和灵魂。

数学教学中数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”把直观图形数量化，使形更加精确。

下面笔者尝试从集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等方面分别例举“数形结合”思想在数学教学中的应用。

1.以形助数1.1 数形结合思想在集合中的应用。

对于集合各种运算概念的理解，借助简单的韦恩图表示两集合间的交、并、补等运算，认清集合的特征，把其转化为图形关系，就可以借助图形使问题直观，具体、准确地得到解决。

例1：有48名大学生，每人至少参加一项公益活动，参加乡村支教、敬老院服务、清扫街道的人数分别为28，24，15，同时参加乡村支教、敬老院服务的有8人，同时参加乡村支教、清扫街道的有5人，同时参加敬老院服务、清扫街道的有7人，请问同时参加这三项活动的有多少人？分析：一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。

数形结合思想在初中数学中的应用

数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。

在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。

一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。

通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。

当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。

这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。

二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。

通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。

通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。

图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。

三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。

在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。

通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。

图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。

四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。

数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。

在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。

这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。

数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。

通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。

数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。

数中见形,形中有数浅谈“数形结合”在数学教学中的作用

数中见形，形中有数浅谈“数形结合”在数学教学中的作用我们需要理解“数形结合”是什么意思。

简单来说，它是将数学中的抽象概念与具体的形象联系起来，通过图形、图像等视觉化的方法来帮助学生更容易地理解数学知识。

这种教学方法能够让学生从感官上去感受数学，使得数学不再是一堆无法触摸的概念，而是有形的、可视的东西。

这样的教学方法对于学生来说是非常有益的，因为它可以帮助他们更好地理解数学概念，并且激发他们对数学学习的兴趣。

在数学教学中，“数形结合”的教学方法可以应用于各个年级的教学中。

在小学阶段，可以通过教学资料的图形化呈现来帮助学生理解加减乘除等基本运算，让他们在视觉上感受数学运算的结果。

在初中阶段，可以通过几何图形的绘制来教学，让学生更清楚地理解几何图形的性质和相关的定理。

而在高中阶段，可以通过图形化的方法来教授微积分、线性代数等抽象的数学内容，让学生更轻松地理解并掌握这些概念。

除了在不同年级的教学中应用，数学教学中的各个知识点也可以通过“数形结合”来更好地呈现出来。

在教学整数的时候，可以通过图示整数的线段和点的表示方式来让学生理解正整数、负整数和零的概念，从而更好地掌握整数运算的规则。

在三角函数的教学中，可以通过图形化的方法来让学生理解三角函数的周期性和性质，从而更好地掌握三角函数的计算和应用。

通过这种方法，学生可以更好地掌握数学知识，并且在实际的问题中更好地应用数学知识。

“数形结合”在数学教学中的应用也可以帮助学生培养一些重要的思维能力。

图形化的教学方法可以让学生更好地理解抽象的数学概念，从而培养他们的空间想象力和逻辑思维能力。

通过绘制图形、图像来解决数学问题，可以激发学生的创造力和表达能力。

这种教学方法也可以拓展学生的思维方式，培养他们的综合思考和解决问题的能力。

并非所有的数学知识都适合通过图形化的方法来教学。

有些概念和定理可能比较抽象，很难通过图形化的方法来表达。

在实际的教学中，教师需要根据具体的教学内容和学生的学习情况来灵活运用“数形结合”的教学方法。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。

在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。

“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。

本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。

一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。

一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。

二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。

通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。

在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。

可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。

老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。

二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。

可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。

通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。

在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。

通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。

在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是在高中阶段学习的数学中难度较大的一部分内容。

因此在教学中，除了传授相关的理论知识之外，也需要通过数形结合的方式来帮助学生更好地理解和掌握相关概念和技巧。

二次函数的图像可以通过利用传统的函数图像绘制方法进行绘制，也可以通过“配方法”求出二次函数的标准式，并根据标准式的含义来直接绘制出函数图像。

例如，二次函数y=x^2+2x+3，可以通过“配方法”将其转化为y=(x+1)^2+2，然后再根据该标准式的含义来绘制出函数图像。

在这个过程中，数形结合的思想则体现在以下方面：1. 通过绘制轴对称点将二次函数的图像分为两部分，易于描述和分析函数的性质。

2. 利用二次函数标准式的含义，将函数图像与函数的解析式联系起来，使学生更加直观地理解二次函数的特性和变化规律。

例如，二次函数y=-2x^2+4x-1，可以通过将其转化为y=-2(x-1)^2+3来描述函数的图像特征和性质。

其中，通过将二次函数标准式与函数解析式联系起来，帮助学生更好地理解函数的极值、零点及函数图像的开口方向等性质。

二次函数可以应用于解决一些与图形相关的实际问题，例如求解某个物体的最大投掷距离、最高高度等问题。

在这个过程中，数形结合的思想则更加明显地体现出来。

例如，若要求通过投掷一个物体，使得这个物体在空中飞行的距离最大，可以通过建立一个关于时间的二次函数来描述这个问题，并通过数形结合的方法来解决这个问题。

假设这个物体的投掷速度为v，投掷时的角度为α，则该物体在t时间内走过的距离可以表示为：S=v*t*cos(α)而该物体在无空气阻力的情况下，其垂直方向的位移可以表示为：h=v*t*sin(α)-0.5*g*t^2其中，g为重力加速度。

根据上述公式可以得出该物体在空中飞行的总时间为：于是该物体飞行的距离可以表示为：D=v*cos(α)*T=2*v^2*sin(α)*cos(α)/g然后，将上述公式转化为关于α的函数，则有：由此可以得出该二次函数在α=45°时取得最大值。

数形结合在函数教学中的应用

数形结合在函数教学中的应用数学中存在着“数”与“形”两个基础概念，数量关系与空间图形往往有机结合在一起，相互解释，这便是“数形结合”的思想。

在初中函数中，函数变量关系与绘制图像联系密切，变量关系中彰显出隐含的图像信息，图像之中也能反映出函数的变量关系。

在解答函数题目时，往往需要结合绘制图像，在较为直观的图形中把握函数关系，为分析、解答提供了极大的方便。

例如在一次函数的教学中，设计了如下一些教学思路：（1）探究性课题：1、水电费账单数据的分析。

2、物理学科中电阻、电压、电流关系。

提出一些问题：探究这些变量之间的数量关系，画出相应的函数图象，并结合数学知识编制新问题。

这样把实际生活中的问题上升为数学问题并构建为数学模型。

设计练习：a:直角三角形的两个锐角的度数分别为x、y，用x表示y的关系式；b:从边长为20的正方形的四角剪去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖的小方盒子，设此盒的容量为v，写出v关于x的函数解析式，所有这些问题中自变量的取值范围是什么？（2）问题情境：龟兔赛跑的结局提出新的问题：兔子醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，就以每小时3000米的速度去追，而乌龟仍以每小时500米的速度前进，那么谁能最终获胜？学生猜测、讨论思考：若设兔子醒后追了t小时，龟、兔离开睡觉处S（米）与时间t（小时）是什么关系？学生：兔：S=3000t (t>0)龟：S2=2500+500t (t>0)提问：1：能用学过的方法直观反映问题吗？（画图）2：图像的交点表示什么实际意义？交点的左侧呢？右侧呢？由学生通过讨论、计算得出3个结论。

教学策略：猜想—探究通过讨论、质疑、尝试，结合函数关系，利用数形结合进行分析，在实际问题与数学知识之间建立数学模型，探究结论，准确直观的解决问题。

在反比例函数和二次函数的教学中，有意识的去引导学生把“数”和“形”结合起来去解决相关问题，让学生在自我尝试中体会数学的魅力，从而降低了教与学的难度。

数形结合思想在二次函数问题中的应用探析

2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。

在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。

初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。

一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。

在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。

有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。

华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。

数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。

通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。

二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是初中高中数学中的重要内容，其教学既涉及到运算规律的讲解，也涉及到数学思维的培养。

在二次函数教学中，运用“数形结合”思想是非常有效的教学方法之一。

下面从二次函数教学中“数形结合”思想的应用方面进行探讨。

首先，二次函数图像与根的关系是教学中重要的内容。

二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），可以通过推导，得到二次函数的判别式△=b²-4ac，若△>0，则函数有两个不同的实根，若△=0，则函数有两个相同的实根，若△<0，则函数无实根。

在教学中，可以通过绘制二次函数的图像，让学生看得更直观。

通过图像观察，可以判断二次函数是否有根，若有，还可以计算出根的大致范围。

同时，也可以通过根的公式计算出根的精确值，并用数轴来表示。

这样，通过“数形结合”的方式，可以深化学生对二次函数图像和根的理解，加深记忆，提高学生的学习效果。

其次，二次函数图像的性质也是二次函数教学中的重点内容。

通过图像，可以发现，二次函数是一个开口朝上或朝下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上，二次函数的最小值为顶点坐标，当a<0时，抛物线开口朝下，二次函数的最大值为顶点坐标。

同时，二次函数的对称轴为y=-b/2a。

在教学中，可以通过绘制多组图像，让学生观察抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等图像性质，并找出它们之间的联系。

通过这种“数形结合”的方式，可以帮助学生更加深入地理解二次函数图像的性质，从而提高学生的学习兴趣和学习积极性。

最后，二次函数的应用也是教学中不可忽视的内容。

二次函数常常在物理、工程等领域中得到应用。

例如，通过绘制二次函数图像，可以解决物理问题中的抛物线运动。

在教学中，可以通过引导学生分析实际问题，并建立相应的数学模型，进一步加深学生对二次函数的应用理解。

同时，通过数学软件的辅助，还可以帮助学生更加直观地观察二次函数图像，提高学生学习的趣味性和实用性。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言二次函数是数学教学中一个重要的内容，学生在学习过程中常常会面临着一些挑战。

如何让学生更好地理解和掌握二次函数，是每个教师都面临的问题。

在教学中，数形结合的思想被广泛应用，通过将数学概念与几何形态相结合，帮助学生更好地理解抽象的数学概念。

本文将介绍在二次函数教学中如何运用数形结合的思想，提高学生的理解能力和激发学生的兴趣。

通过具体的案例分析和教学实践，展示数形结合在二次函数教学中的重要性和实际应用。

通过本文的阐述，希望能够帮助教师更好地引导学生学习二次函数，同时也激发学生对数学的兴趣，提高他们的学习效果和学习动力。

2. 正文2.1 二次函数教学中的挑战在二次函数教学中，教师常常面临着一些挑战。

学生可能会对二次函数的概念和性质感到困惑，特别是对于开口方向、顶点坐标、零点、轴对称等概念可能存在误解。

二次函数的图像比较抽象，学生很难直观地理解二次函数的变化规律，导致他们缺乏对二次函数的直观感受和认识。

二次函数的解题方法比较复杂，涉及到方程的解法、图像的绘制等多个方面，容易让学生感到困惑和压力。

针对这些挑战，教师可以通过数形结合的教学方法来帮助学生更好地理解和掌握二次函数的相关知识。

通过将数学公式和图形结合起来，可以使学生更直观地理解二次函数的性质和规律。

可以通过绘制二次函数的图像来帮助学生理解二次函数的开口方向、顶点位置等特点，从而加深他们对二次函数的认识。

通过数学计算和几何推理相结合的方式，可以让学生从不同角度去理解和掌握二次函数的相关知识，提高他们的数学思维能力和解题能力。

数形结合在二次函数教学中具有重要的意义，可以帮助学生克服困难，提高学习效果，激发学生对数学的兴趣和热情。

通过巧妙地将数学概念与几何图形相结合，教师可以让学生在实践中更好地理解和掌握二次函数的相关知识，培养他们的数学思维能力和创造力。

【2000字】2.2 数形结合的重要性数形结合在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。

浅谈初中函数教学中的 “数形结合”思想方法

例函数图象特征
（追问）T: ⑸你能从解析式出发给出证明吗？
在上面的教学设计中，教师借助几何画板课件，帮助学生形象直观的理解了反比例函数图象的变化规律，发现变化过程中的特殊点的，自然的归纳出反比例函数增减性的性质及自变量的取值范围，并且通过结合符号语言和解析式全方位诠释增减性的意义。学生不但理解而且记忆，而且途径全面，更好的感受到函数的三种表示方法的整体一致性。
浅谈初中函数教学中的“数形结合”思想方法
函数是初中数学教学中的重要内容，学生初次接触函数，感觉难度大，不容易理解。那么怎样进行函数教学，学生会学的轻松一点呢？我在函数的教学过程中，针对学生的知识结构与年龄特点，结合自己的一点教学经验，谈谈函数教学中的“数形结合”思想方法。
一、数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。
（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。首先，在探索具体函数形状时，不能取得点太少，否则学生无法发现点分布的规律，从而猜想出图象的形状；其次，教师过早强调图象的简单画法，追求方法的“最优化”，缩短了学生知识探索的经历过程。所以，在教新知识时，教师要允许学生从最简单甚至最笨拙的方法做起，渐渐过渡到最佳方法的掌握，达到认识上的最佳状态。
（1）让学生经历绘制函数图象的具体过程。首先，对于函数图象的意义，只有学生在亲身经历了列表、描点、连线等绘制函数图象的具体过程，才能知道函数图象的由来，才能了解图象上点的横、纵坐标与自变量值、函数值的对应关系，为学生利用函数图象数形结合研究函数性质打好基础。其次，对于具体的一次函数、反比例函数、二次函数的图象的认识，学生通过亲身画图，自己发现函数图象的形状、变化趋势，感悟不同函数图象之间的关系，为发现函数图象间的规律，探索函数的性质做好准备。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重点内容之一，也是考试中经常出现的考点，掌握二次函数的知识对于学生而言非常重要。

在二次函数的教学过程中，采用“数形结合”的教学方法可以提高学生的学习兴趣和掌握程度。

下面将从以下两个方面介绍二次函数教学中“数形结合”思想的应用。

在二次函数的例题教学中，通过“数形结合”的教学方法可以加强学生对知识点的理解和记忆。

例如，当讲解二次函数的基本形式y=ax²+bx+c时，通过画出y=x²、y=2x²、y=0.5x²等曲线示意图，让学生能够直观地感受到参数a的正负、大小对图像的影响，帮助学生更好地理解二次函数的概念和性质。

在讲解二次函数图像和性质时，可以使用多组例题来巩固学生的掌握程度。

例如，可以让学生用手绘图法，画出y=x²-1和y=-x²+3的图像，并分析它们的性质。

通过手绘图的方式，不仅可以帮助学生更好地理解二次函数图像的基本特征，还可以加深对二次函数对称轴、顶点、开口方向等基本特征的理解。

在二次函数的应用题教学中，通过“数形结合”的教学方法可以帮助学生更好地理解和应用二次函数知识。

例如，在讲解极值问题时，可以引导学生通过手绘图形的方式，搭建一个简单的桥梁模型，让学生可以清晰地看到桥梁两端的高低和中间点的最低位置，从而引导学生理解和应用极值概念和解决问题的方法。

在讲解最值问题时，可以引导学生通过手动计算和手绘图像的方式，来理解问题所在，并进行分析综合。

例如，可以让学生计算二次函数y=x²-6x+8在区间[1,5]内的最大值和最小值，并通过手绘图的方式，将函数图像和区间范围清晰呈现出来，以便更好地理解和应用最值问题求解方法。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的教学涉及到数学概念、数学方法和数学技巧的培养。

在教学过程中，如何引导学生掌握二次函数的数学知识，培养数学思维，实现数学与现实生活的结合是教学的关键。

数形结合是数学教学中的一种重要教学思想，它通过将抽象的数学概念与具体的图形形象相结合，帮助学生更加直观地理解和掌握数学知识。

本文将以二次函数教学为例，谈谈数形结合在二次函数教学中的应用，并探讨如何有效地开展数形结合教学，使学生更好地掌握二次函数的知识。

一、数形结合的意义与作用二、数形结合在二次函数教学中的应用1. 通过图形展示二次函数的基本性质二次函数是平面解析几何中的一个重要内容，它的图象——抛物线是解析几何中的一个重要曲线。

在二次函数的教学中，可以通过绘制二次函数的图象来展示二次函数的基本性质，如顶点、对称轴、开口方向等，使学生直观地感受二次函数的特点，从而对二次函数有一个清晰的认识。

二次函数的图象是一个抛物线，它的形状随着参数a、b、c的变化而发生变化。

在二次函数的教学中，可以通过改变参数a、b、c的值，绘制不同的二次函数图象，并让学生观察图象的变化规律，探讨参数对二次函数图象的影响，帮助学生深入理解二次函数的变化规律。

3. 通过实际问题引导学生建立二次函数模型二次函数是描述抛射、运动、变化规律等问题的数学模型，它在实际生活中有着广泛的应用。

在二次函数的教学中，可以通过实际问题引导学生建立二次函数模型，并通过绘制二次函数图象来解决实际问题，使学生理论联系实际，培养学生的数学建模能力。

三、如何有效地开展数形结合教学1. 合理选择教学内容在开展数形结合教学时，需要根据学生的实际情况和教学要求，合理选择教学内容。

可以根据二次函数的特点，选择一些具有代表性的例题和实际问题，通过图形展示和解释，帮助学生理解和掌握二次函数的相关知识。

2. 创设丰富多彩的教学情境在开展数形结合教学时，可以通过举一反三、对比分析等教学方法，创设丰富多彩的教学情境，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言概述二次函数在数学教学中扮演着重要的角色，而数形结合思想则是二次函数教学中的一种重要方法。

数形结合思想是指将数学概念与几何图形相结合，通过观察和分析图形，深入理解数学概念。

在二次函数教学中，运用数形结合思想可以帮助学生更直观地理解函数的性质和特点，提高他们的学习兴趣和学习效果。

本文将围绕数形结合思想在二次函数教学中的应用展开讨论。

我们将探讨数形结合的重要性，说明其对学生学习的益处。

接着，我们将分析如何在二次函数教学中应用数形结合思想，介绍具体的教学方法和技巧。

然后，我们将讨论数形结合在二次函数图像的解析中的应用，以及在实际问题中的具体运用。

我们将总结数形结合思想在二次函数教学中的启示，展望其在其他数学教学中的潜在应用价值。

通过本文的讨论，希望能够为教师和学生提供有益的启示，促进数学教学的创新与发展。

2. 正文2.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的思维方式，它通过将数学概念与几何形状相结合，帮助学生更深入地理解抽象的数学概念。

在二次函数教学中，数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合能够帮助学生从直观的角度理解二次函数的性质。

通过观察二次函数图像的形状、拐点位置等特征，学生可以更加直观地感受到二次函数的凹凸性、极值点等数学概念，从而加深对二次函数性质的理解。

数形结合可以提高学生的解题能力和应用能力。

在解决与二次函数相关的实际问题时，通过将数学模型与几何图形相结合，学生可以更快地找到问题的解决方法，并更好地理解问题的本质，从而提高解题效率。

数形结合还能够激发学生对数学的兴趣和热情。

通过观察二次函数图像的变化规律、探讨数形结合在实际问题中的应用等，可以帮助学生发现数学的美感和实用性，从而增强对数学学习的动力和积极性。

数形结合在二次函数教学中的重要性不言而喻，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力，培养数学兴趣，促进学生全面发展。

数形结合思想在初中函数教学中的应用——以人教版数学八年级下册“一次函数”教学为例

数形结合思想在初中函数教学中的应用——以人教版数学八年级下册“一次函数”教学为例覃仕山（南宁市五一路学校）摘要：运用数形结合思想实施初中数学教学，有利于培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力。

以“一次函数”教学为例，探讨数形结合思想在教学中的应用路径如下：借助数形结合，分析数量关系；感知坐标模型，实现以数定形；分析模型信息，实现以形探数等。

构建初中函数教学中数与形之间的转化思维，有效提升学生数学实际问题的解决能力。

关键词：初中数学；函数教学；一次函数；数形结合；以数定形；以形探数中图分类号：G63文献标识码：A文章编号：0450-9889（2024）01-0058-04数与形可直观反映同一问题的两方面属性。

“数”指的是运用代数的知识解决问题，“形”指的是利用图形的性质研究数量关系，数形结合则是指利用数与形之间的联动、转化快速解决问题的一种思想。

图形与数字之间存在着紧密的对应关系，以形助数可帮助学生深刻理解抽象的公式概念，以数解形则可促进学生对实际问题的有效解决。

数形结合思想构建起数学逻辑与外部世界的联系桥梁，使其呈现出可视化的应用状态，容易为学生理解与接受。

数学教学中数与形的紧密结合和灵活运用，能够充分培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力，发展学生的数学核心素养。

下面，笔者以人教版数学八年级下册第十九章“一次函数”教学为例，从教学实际出发，通过分析数量关系、建立坐标模型及借助函数图像解决实际问题三个教学步骤，阐释数形结合思想在初中函数教学中的应用。

一、借助数形结合，分析数量关系函数中数与形的转化，本质上源于数值的规律性变化。

一次函数作为发生在集合之间的一种严格的对应关系，呈现出独有的变化规律。

用直观的图形帮助学生理解抽象的集合关系与变化规律是一种较好的学习方式［1］。

一次函数中数形结合的初步应用，则落实在一次函数的函数与自变量之间，即通过函数模型的构建，进行两个变量间的数量关系分析，以此探寻函数的基本性质。