电势及其梯度.
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1-4电势及其梯度
Ui ( p)
p
ri
q3
r3 qi
注意：（1）电势是标量，迭加的结果是求代数和； （2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
4、电势的计算 两种方法：
1）由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由
电势定义式 Up
零点Edl计算P点电势。
p
2）根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。
A ab q0
b Edl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
注意几点：
1)电势是标量，只有正负之分。
2)电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。
dn
算符 gradxiyjzk
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
电势梯度U 是一个矢量，
它的方向是沿电场线的切向 并指向电势升高的方向。
UdU
P2
nˆ
U
dn
P3
P1 dl
2
E1
如果过P1沿 dl方向的电势增加率为
为。
dU dl
，dl与nˆ 的夹角
有： dUdUcos
dl dn
(dn dcl o)s
点电荷q0所受电场力为： Fq0E
点从电r 荷到的rv场d中lv,移电动场点做电的荷功q
0
：
dA Fdlq0Edl
q0Edclos q
drdcl o,sE
q
q
4 0r 2
电势及其梯度
p
v r
q
p v E
q 4πε 0 r
2
dr =
4πε 0 rp
Up =
q 4πε 0 rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。 离电荷越远，电势越低。 负点电荷周围的场电势为负 离电荷越远，电势越高。 离电荷越远，电势越高。
例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 设球面半径为R，总带电量为Q 设球面半径为 ，总带电量为
V
V + ∆V
v dV v E=− en dl n
v dV 大小 E = dln
v dl
低
v en v dln
v E
电 势
高 电 势
方向 由高电势处指向低电势处
− 2. U 沿 l 方向的微商等于 En cosθ ∂U Q El = − = − E n cos θ ∂l ∂U ∂U ∂U ∴ Ez = − ; ∴ Ex = − ; ∴ Ey = − ∂z ∂y ∂x v ˆ ˆ ˆ + E y ˆ + E z k = −{∂U i + ∂U ˆ + ∂U k ) = −∇U ˆ ∴ E = E xi j j ∂x ∂y ∂z
Q dA MN
v v = E ⋅ d l = Edl cos θ = 0
∴θ = π / 2
M
（2）电场线的方向指向电势降落的方向。 ）电场线的方向指向电势降落的方向。
因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。 因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，
两个相邻等势面的电势差相等， （3）规定两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面 ）规定两个相邻等势面的电势差相等
在实际问题中， 在实际问题中，也常常 选地球的电势为零电势。 选地球的电势为零电势。 电势差与电势的零点选 取无关。 取无关。
v r
q
p v E
q 4πε 0 r
2
dr =
4πε 0 rp
Up =
q 4πε 0 rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。 离电荷越远，电势越低。 负点电荷周围的场电势为负 离电荷越远，电势越高。 离电荷越远，电势越高。
例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 设球面半径为R，总带电量为Q 设球面半径为 ，总带电量为
V
V + ∆V
v dV v E=− en dl n
v dV 大小 E = dln
v dl
低
v en v dln
v E
电 势
高 电 势
方向 由高电势处指向低电势处
− 2. U 沿 l 方向的微商等于 En cosθ ∂U Q El = − = − E n cos θ ∂l ∂U ∂U ∂U ∴ Ez = − ; ∴ Ex = − ; ∴ Ey = − ∂z ∂y ∂x v ˆ ˆ ˆ + E y ˆ + E z k = −{∂U i + ∂U ˆ + ∂U k ) = −∇U ˆ ∴ E = E xi j j ∂x ∂y ∂z
Q dA MN
v v = E ⋅ d l = Edl cos θ = 0
∴θ = π / 2
M
（2）电场线的方向指向电势降落的方向。 ）电场线的方向指向电势降落的方向。
因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，电势能减少。 因沿电场线方向移动正电荷场力做正功，
两个相邻等势面的电势差相等， （3）规定两个相邻等势面的电势差相等，所以等势面 ）规定两个相邻等势面的电势差相等
在实际问题中， 在实际问题中，也常常 选地球的电势为零电势。 选地球的电势为零电势。 电势差与电势的零点选 取无关。 取无关。
电势电势梯度
§ 5-4
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
《电势能和电势》电势梯度理解
《电势能和电势》电势梯度理解《电势能和电势——电势梯度理解》在物理学中，电势能和电势是非常重要的概念，而电势梯度则是对电势变化的一种描述。
理解这些概念对于深入掌握电学知识至关重要。
首先，让我们来谈谈电势能。
想象一下，有一个带电荷的粒子在电场中。
就好像这个粒子在一个有力量的“场”里，这个场能够对它做功。
当这个粒子在电场中移动时，电场对它做的功就转化为了粒子的电势能。
电势能就像是粒子在电场中储存的一种能量。
比如说，一个正电荷在正的电势区域，它就具有较高的电势能；而在负的电势区域，它的电势能就较低。
接下来是电势。
电势可以理解为电场中某一点的“电位”。
它类似于地理中的海拔高度，只不过这里的“高度”是表示电场中电势能的大小。
电势是一个相对的概念，我们通常会选择一个参考点，规定它的电势为零，然后来确定其他点的电势。
那么，什么是电势梯度呢？简单来说，电势梯度就是电势在空间中变化的快慢程度。
想象一下，你在爬山，山坡陡峭的地方就是梯度大的地方，你需要花费更多的力气才能往上爬；而平缓的地方梯度小，爬起来相对轻松。
在电场中也是一样，电势梯度大的地方，电场强度就大，电荷受到的力也就越大；电势梯度小的地方，电场强度就小，电荷受到的力也小。
为了更直观地理解电势梯度，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有两块平行的金属板，分别带有正电荷和负电荷，从而在它们之间形成了一个均匀的电场。
我们沿着电场线的方向来观察电势的变化。
如果从带正电荷的金属板向带负电荷的金属板移动，电势会逐渐降低。
而且，在这个均匀电场中，电势的变化是均匀的，也就是说电势梯度是恒定的。
但在实际情况中，电场往往不是均匀的，电势梯度也会随之变化。
比如，在一个点电荷产生的电场中，离电荷越近的地方，电势梯度越大；离电荷越远的地方，电势梯度越小。
电势梯度在许多实际应用中都有着重要的作用。
例如，在电子设备中，了解电势梯度可以帮助我们设计更有效的电路和器件。
在电力传输中，对电势梯度的掌握有助于优化输电线路，减少能量损耗。
静电场5-电势梯度和电势能
a
q
17
Aab W
取wb为电势能零点, 即: Wb=0, 则： W
势能零点 a
b
q
a
E
E dl q
a
一般取 ∞ 处为势能零点 试探电荷q在电场中a点时系统的电势能 物理意义： 大小等于: 将q从a点移至电势能零点电 场力所做的功
q距离场源点电荷Q为r时
系统的电势能:
1 Qq W 4 0 r
U1 U2 + U3
U4
E
证明：设电场中任意两个相邻等势面之间的电势差 为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图）， 以点电荷为例，其电势为 1 q U (r ) 4 0 r
典型等势面
6
电偶极势场
7
电容器势场
8
三、电场强度与电势梯度
• 场有分布, 沿各方向存在不同的方向微商 • 梯度：最大的方向微商 E – 如 速度梯度 温度梯度等 U P n l • 沿l 的方向微商可以表示为 U+U
n
Δn很小,场强E变化不大
U
Q
P
E d l En
U U E lim n 0 n n
考虑方向，则有： E U
矢量微分算符
在直角坐标系中： i j k x y z
dU U U U ˆ U n i j k dn x y z
电势叠加各区域的电势分布是内外球壳单独存在时电势的叠加内壳单独存在外壳单独存在iii3511如图所示半径为r的半球面a的球心o位于oz轴上距o点r处半球面横截面与oxy面平行坐标原点o处有一电36一个细玻璃棒被弯成半径为r的半圆形沿其上半部分均匀分布有电量q沿其下半部分均匀分布有电量q
电势及其梯度
q E= 2 4πε 0 r
1
cosθ dl = dr
q o
r
c
θ
r E
a b rb 1 qq qq0 1 1 0 − ∴W = ∫ dW = ∫ 2 dr = a ra 4πε 4πε 0 ra rb 0 r
温州大学物理与电子信息学院
电势和电势差
结论：在点电荷的电场中， 结论：在点电荷的电场中，电场力对试验电荷所 做的功， 做的功 ， 只与试验电荷所带电量以及起点和终点 位置有关，而与所经历的路径无关． 位置有关，而与所经历的路径无关． 问题：任何带电体系产生的电场的结果如何？ 问题：任何带电体系产生的电场的结果如何？ r r r Q E = E1 + E 2 + L r r r r r r r ∴W = ∫ F ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl = q0 ∫ ( E1 + E2 + L) ⋅ dl r r r r = q0 ∫ E1 ⋅ dl + q0 ∫ E2 ⋅ dl + L
ρR 2 r Up = − ln < 0 2εo R
P r o o
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定义法求电势
R
r ρ r r r < R E= 2ε o
r≥R
r
.
p
ρR 2 r Up = − ln 2εo R < 0
R
r ρR 2 ˆ = λ r E= r ˆ 2πεor 2εor
r<R
r= 0处， U= Umax= ρ R 2 处 2εo ε
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电势梯度概念 等势面 定义:电势相等的曲面 定义:
U1
+q
14电势及其梯度讲解
R) R)
4 0 R
球壳外电势分布与点电荷时相同； 球壳内电势分布为常量，与壳面等势。
第一章 静电场 恒定电流场
4.3电势叠加原理
点电荷组有
U P
E
dl
P
P E1 dl
P E2
dl
P Ek dl
r R：U
E
dl
p
rp
Edr
Q
4 0rp
r R：U
Edr
rp
R
rp E内dr R E外dr
Q
4 0R
第一章 静电场 恒定电流场
均匀带电球壳产生的电场中电势的分布
U
1
4
0
1
Q r
Q
, (r , (r
r
x
X
du dq
4 0r
edl
P
4 0 r
Z
uP
du
edl 2Re 40r 40r
4 0
q R2 x 2
第一章 静电场 恒定电流场
求电势
用电势定义求
U P
p0
E
dl
P
用电势叠加原理求 U P dU
4 0 r rp 2 4 0 rp
点电荷q产生的电场
中电势的分布公式：
U 1 q
4 0 r
第一章 静电场 恒定电流场
例12 求均匀带电球壳产生的电场中电势的分布,
电场6
三、电势能 电势 电势差
静电力是保守力， 的概念。 静电力是保守力，可引入电势能 的概念。
电势能增量的负值。 静电场力的功 = 电势能增量的负值。 br r A = q0 E⋅ dl = − (W −W ) ab b a a
∫
1. q0 在电场中某点的电势能 在电场中某点的电势能
= 把 q0 从该点移至电势能零点的过程中电场力的功。 点移至电势能零 电势能零点 过程中电场力的功。
r ∂V r ∂V r ∂V r i+ j+ k) ∴ E = −( ∂x ∂y ∂z r 负电势梯度 ∴ E = − ∇V = − grad V (负电势梯度 )
r 的空间变化率有关， 值本身无关！ 说明： ★ 说明： E只与 V 的空间变化率有关，与 V 值本身无关！
例：
o + Vo⋅= 0
-
+
p i i p
1 4πε 0
∑r
i
n
qi
i
3.任意带电体产生电场中任意一点的电势 任意带电体产生电场中任意一点的电势
dq Vp = 4πε 0 ∫ r
1
五、电势计算举例
计算方法： ★ 计算方法： (1) 用电势的定义: 用电势的定义: (2) 用电势叠加原理： 用电势叠加原理：
V =∫ a
∞
a
r r E⋅ dl
q
(1) 球面外 r > R 球面外: 沿半径方向积分，则 P 点的电势为 沿半径方向积分，
∞
∞
++ + P• ++ + + Ro r + + r++ + ++ +
6电势及其梯度
E x = − dU dx
E y = − dU dy
E z = − dU dz
2º 场中任一点沿不同方向，U的空间变化率 场中任一点沿不同方向， 的空间变化率 一般不等。 一般不等。 r r dU 有最大值： − dU = E 当 θ= 0时, 即 dn || E , dn 有最大值： dn 时
dU ——电势梯度 电势梯度 dn
电势叠加原理
4
2）连续带电体的电势： ）连续带电体的电势： 其在任意点P处的电势 处的电势： 取电荷元 dq ，其在任意点 处的电势：
dq
rp
dq dU P = 4πε orP
整个带电体在任意点P处的电势： 整个带电体在任意点 处的电势： 处的电势
+q
UP = ∫
dq 4πεorP
.
P
注： 电势是标量，积分是标量迭加。 电势是标量，积分是标量迭加。
3º 求E的三种方法 E的三种方法
r dq 点电荷电场叠加 ：E = ∫ ˆ r 2 4πεor r r 1 用高斯定理求对称场： 用高斯定理求对称场： E = ∫ E ⋅ dS = Φ ∑ qi ε o S内
r 电势梯度法： 电势梯度法： E = − gradU
11
Up = ∫ 2.电势的计算 电势的计算 (1) 用定义法求 用定义法求U 真空中一半径为R的球面 均匀带电Q， 的球面， 例2. 真空中一半径为 的球面，均匀带电 ，求带电 球所在空间任意一点P的电势 的电势U=？ 球所在空间任意一点 的电势 ？ R 解：由高斯定理已求得电场分布： 由高斯定理已求得电场分布： r< R E=0 r →∞， →∞ Q r 设 r→∞，U=0 r≥R E= ˆ 2 4πεor P点处在球外 r>R： 点处在球外 ： r r =∞ Q ∞ r r r =∞ Q r ⋅ dl = ∫ ˆ ⋅ dr = Q U p = ∫ E ⋅ dl = ∫ 4πεorp 4πεor2 4πεor2 P p P ∞ r r P点处在球内 r<R U p = ∫ E ⋅ dl E=0 =0 点处在球内 p ∞ r r r = Rr 0 r r = ∞r r = Q U p = ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl 1 4πεoR p P r=R
电势电场强度与电势梯度
电势梯度与电场强度、电势的关系
01
02
电势梯度、电场强度和电势之间 存在密切的联系。
电势梯度的方向与电场强度的方 向一致，即负电荷受到的电场力
方向。
电势梯度等于该点处电场强度的 大小乘以该点到无穷远处的距离 。
03
电势梯度的计算需要用到高阶导 数，因此在实际应用中需要精确
测量电场强度和电势的变化。
04
04 实例分析
均匀电场中电场强度、电势与电势梯度的关系
01
02
03
电场强度
在均匀电场中，电场强度 是恒定的，其大小和方向 不随位置的变化而变化。
电势
在均匀电场中，电势随位 置线性变化，且变化率等 于电场强度。
电势梯度
在均匀电场中，电势梯度 等于电场强度。
非均匀电场中电场强度、电势与电势梯度的关系
电势梯度的方向与电场强度的 方向一致，即负电荷受到的电 场力方向。
电势梯度的计算方法
计算公式：▽φ = -E
在直角坐标系中，▽φ可以表示为▽φ = ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z。
其中E表示电场强度矢量，▽表示哈密顿算子。
在球坐标系中，▽φ可以表示为▽φ = 1/r * ∂/∂r + r/sinθ * ∂/∂θ + r/sinθ * ∂/∂φ。
电平面的电荷密度，ε0为真空中的介电常数。
电场强度与电势的关系
电场强度与电势没有直接关系，它们是描述电场 的两个不同方面。
在匀强电场中，沿着电场线方向，电势逐渐降低， 而电场强度保持不变。
在非匀强电场中，电场强度和电势的变化情况较 为复杂，需要具体分析。
02 电势
电势的定义
01 静电场中某点的电势定义为单位正电荷在该点所 具有的势能。
《大学物理》电势能、电势、梯度 (1)
= p E 1. dl + p E 2. dl +
P
= U1+ U2
ε ε U
=
q
4π
1
r
0
1
+
q
4π
2
r
0
2
0
+
r2 q2
r1 q1
2-1-6
2. 点电荷系的电势 电势叠加原理
88 8
8
U p = p E .dl = p (E1+E2+ ) . dl
= p E 1. dl + p E 2. dl +
r =0.10 m，q 0= 1.0 × 10 8 C 试求：将电荷
q 0
从a点移到 b点静电场力所作的功。
q1
q 0
q2
U a =U q 1+ U q 2 =0
r ar
rb
[ 例1 ] 已知：q 1 = q 2 = 4.0 × 10 C， 8 2-1-6
r =0.10 m，q 0= 1.0 × 10 8 C 试求：将电荷
Aab=q0 (Ua U b )
[ 例1 ] 已知：q 1 = q 2 = 4.0 × 10 C， 8 2-1-6
r =0.10 m，q 0= 1.0 × 10 8 C 试求：将电荷
q 0
从a点移到 b点静电场力所作的功。
q1
q 0
q2
U a =U q 1+ U q 2 =0
r ar r
ε ε ε U
E.dl
8
=
E
.
内
d
l
+
E
.
外
《大学物理》电势能、电势、梯度 (3)
r
ε ε A
=
=q 0E .dl
= q 0E .d
q
4π
q
0
o
rb ra
cosφq
r= 4π
dr r2
q
o
0
r
2d r
q
dr φ dl
b
r b dl φφ
ra q 0 E a
2-1-5
一、场强环流定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力
对带电体要作功，这说明静电场具有能量。
1、点电荷对试验电荷作功
8 8
Wa = A a = q 0 a E .dl
(
或：Wa=A ab
=q 0
b
a E
.
dl
其中b为零势能点 )
dA =F. d l =q 0E .dl
r
=q 0E .dl cosφ
q
φ dl b
r b dl φφ
ra q 0 E
a
2-1-5
一、场强环流定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力
对带电体要作功，这说明静电场具有能量。
1、点电荷对试验电荷作功
dr
设点电荷 q、试验电荷 qo r
dA =F. d l =q 0E .dl
一、场强环流定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力
对带电体要作功，这说明静电场具有能量。
1、点电荷对试验电荷作功 设点电荷 q、试验电荷 qo
dA =F. d l =q 0E .dl
q
b r b dl φφ
ra q 0 E
a
2-1-5
一、场强环流定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力
对带电体要作功，这说明静电场具有能量。
静电场-电势,等势面,电势梯度
rdr
10
4.2 从电场强度计算电势
v vv 1）运用高斯定理电场的分布： E = E(r )
2) 通过电场强度的积分计算电势：
V =∫
∞
a
r r E ⋅ dl
11
例7-12 半径为 R 的均匀带电球面，带电量为q，求 空间的电势分布。
dl
r
rP R P ∞
12
(r ≤ R) 0 解： E = q 4πε r 2 (r > R) 0
33
p均匀带电球面内外的场强
E内 = 0 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球面的电势
Q V内 = 4πε 0 R Q V外 = 4πε 0 r
34
p均匀带电球体内外的场强
Qr E内 = 4πε 0 R 3 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球体外的电势
Q 3R 2 − r 2 V内 = 8πε 0 R 3 Q V外 = 4πε 0 r
dr r O R x P
E
x
25
σ 2 2 解： V = ( x + R − x) 2ε 0 ∂V σ x (1 − ) E = Ex = − = 2 2 ∂x 2ε 0 x +R
26
两均匀带电同心球面，根据电势分布求电场强度分布
27
1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
v 2） V = 0 的地方， E = 0 吗？ v v 3） E 相等的地方，V 一定相等吗？等势面上 E
例7-10 均匀带电圆盘，半径为R ，电荷面密度为σ。 求轴线离圆盘中心O距离为x的P点的电势。
dr r O R x P x
9
解：dV =
dq 4πε 0 x 2 + r 2
10
4.2 从电场强度计算电势
v vv 1）运用高斯定理电场的分布： E = E(r )
2) 通过电场强度的积分计算电势：
V =∫
∞
a
r r E ⋅ dl
11
例7-12 半径为 R 的均匀带电球面，带电量为q，求 空间的电势分布。
dl
r
rP R P ∞
12
(r ≤ R) 0 解： E = q 4πε r 2 (r > R) 0
33
p均匀带电球面内外的场强
E内 = 0 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球面的电势
Q V内 = 4πε 0 R Q V外 = 4πε 0 r
34
p均匀带电球体内外的场强
Qr E内 = 4πε 0 R 3 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球体外的电势
Q 3R 2 − r 2 V内 = 8πε 0 R 3 Q V外 = 4πε 0 r
dr r O R x P
E
x
25
σ 2 2 解： V = ( x + R − x) 2ε 0 ∂V σ x (1 − ) E = Ex = − = 2 2 ∂x 2ε 0 x +R
26
两均匀带电同心球面，根据电势分布求电场强度分布
27
1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
v 2） V = 0 的地方， E = 0 吗？ v v 3） E 相等的地方，V 一定相等吗？等势面上 E
例7-10 均匀带电圆盘，半径为R ，电荷面密度为σ。 求轴线离圆盘中心O距离为x的P点的电势。
dr r O R x P x
9
解：dV =
dq 4πε 0 x 2 + r 2
电势11.4 电势梯度
，
解
r ∂ϕ ˆ Q E = −∇ϕ = − er ∂r
1 q ∂ q E=− = ∂r 4πε 0 r 4πε 0 r
r ∴E =
q 4πε 0 r
r r 3
求距离电偶极子远处的电势分布。 例2 求距离电偶极子远处的电势分布。已知电 偶极子两电荷 和 之间的距离为 l 。
−q +q
ϕ
E
数学上， 数学上，若某一标量函数对某一方向有最大变化率 方向导数最大）， ），则定义此方向上的导数为该标量函 （方向导数最大），则定义此方向上的导数为该标量函 数的梯度（ 数的梯度（ gradient）。 ）。
电势梯度： 电势梯度：
r ∂ϕ ˆ E = − grad ϕ = en ≡ −∇ϕ ∂n
§11.4 电势梯度
场强与电势的微分关系： 场强与电势的微分关系：
E El
∂ϕ El = − ∂l
∂ϕ En = − ∂n
── ϕ 的方向导数
dl
l
r r E ⋅ dl = − dϕ
ϕ
ϕ +dϕ
方向） ˆn e（指向ϕ↑方向）
ϕ +dϕ
r ∂ϕ ˆ ˆ ⋅ en E = E n en = −
∂n
1 第11章 电势
p cos θ ϕ (θ , r ) = 2 4πε 0 r
6 第11章 电势
r E = −∇ϕ
由偶极子的电势求场强。 例3 由偶极子的电势求场强。
r r p⋅r p cos θ ϕ (θ , r ) == = 3 4πε 0 r 4πε 0 r 2
∂ϕ 1 2 p cos θ Er = − = ∂r 4πε 0 r3
∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ∇ ≡ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
解
r ∂ϕ ˆ Q E = −∇ϕ = − er ∂r
1 q ∂ q E=− = ∂r 4πε 0 r 4πε 0 r
r ∴E =
q 4πε 0 r
r r 3
求距离电偶极子远处的电势分布。 例2 求距离电偶极子远处的电势分布。已知电 偶极子两电荷 和 之间的距离为 l 。
−q +q
ϕ
E
数学上， 数学上，若某一标量函数对某一方向有最大变化率 方向导数最大）， ），则定义此方向上的导数为该标量函 （方向导数最大），则定义此方向上的导数为该标量函 数的梯度（ 数的梯度（ gradient）。 ）。
电势梯度： 电势梯度：
r ∂ϕ ˆ E = − grad ϕ = en ≡ −∇ϕ ∂n
§11.4 电势梯度
场强与电势的微分关系： 场强与电势的微分关系：
E El
∂ϕ El = − ∂l
∂ϕ En = − ∂n
── ϕ 的方向导数
dl
l
r r E ⋅ dl = − dϕ
ϕ
ϕ +dϕ
方向） ˆn e（指向ϕ↑方向）
ϕ +dϕ
r ∂ϕ ˆ ˆ ⋅ en E = E n en = −
∂n
1 第11章 电势
p cos θ ϕ (θ , r ) = 2 4πε 0 r
6 第11章 电势
r E = −∇ϕ
由偶极子的电势求场强。 例3 由偶极子的电势求场强。
r r p⋅r p cos θ ϕ (θ , r ) == = 3 4πε 0 r 4πε 0 r 2
∂ϕ 1 2 p cos θ Er = − = ∂r 4πε 0 r3
∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ∇ ≡ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
电势及其梯度
q
q
电势梯度POTENTIAL GRADIENT
由定义可以通过Ｅ求Ｕ
Q
UP UQ
E dl
P
现在考虑能否通过 电势求电场强度
E lim | U | U
n0 n
n
U
E
Pn
l Q
n
U U
U U n l n l
U U cos E cos l n
U
def
U
nˆ
gradU
n
E U
ES1 eS1 /
electric
0
field near E
a
n
S1
e 0E
E
e
n
0
尖端放电
S2
+ ++ Nhomakorabea+
+++++
4. 导体空腔的性质 (1) 空腔中无电荷
1
E0
U=C1 U=C1
空腔内表面电荷为零，空腔中电场为０， 空腔中是等势区，电势等于腔壳的电势．
(2)空腔中有电荷 空腔内表面有与 空腔中等量异号 的电荷，空腔中 电场不为零，由 腔内电荷、位置 及形状决定
p
E 40r3
延长线上 0
Er
2p ，
4 0 r 3
E 0
p
r
r
r
q q
l
例题：电荷均匀分布的圆环，中心轴上电场分布。 半径 R， 线密度 e
z P r
dl RO
U( z )
1
2 e Rd
e R
2
d
e R
40 0 r
40r 0
2 0 r
q
电势梯度POTENTIAL GRADIENT
由定义可以通过Ｅ求Ｕ
Q
UP UQ
E dl
P
现在考虑能否通过 电势求电场强度
E lim | U | U
n0 n
n
U
E
Pn
l Q
n
U U
U U n l n l
U U cos E cos l n
U
def
U
nˆ
gradU
n
E U
ES1 eS1 /
electric
0
field near E
a
n
S1
e 0E
E
e
n
0
尖端放电
S2
+ ++ Nhomakorabea+
+++++
4. 导体空腔的性质 (1) 空腔中无电荷
1
E0
U=C1 U=C1
空腔内表面电荷为零，空腔中电场为０， 空腔中是等势区，电势等于腔壳的电势．
(2)空腔中有电荷 空腔内表面有与 空腔中等量异号 的电荷，空腔中 电场不为零，由 腔内电荷、位置 及形状决定
p
E 40r3
延长线上 0
Er
2p ，
4 0 r 3
E 0
p
r
r
r
q q
l
例题：电荷均匀分布的圆环，中心轴上电场分布。 半径 R， 线密度 e
z P r
dl RO
U( z )
1
2 e Rd
e R
2
d
e R
40 0 r
40r 0
2 0 r
(化学)§14 电势及其梯度
dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点沿任意 路径移至电势能零点处的 过程中电场力所做的功
电势也是相对的，其值与电势的零 点选择有关。
第五章 静电场
13
物理学
第三版
电势零点的选取：
1-4 电势及其梯度
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
5
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
6
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
ABC
ADC
B
C
q0( E dl E dl ) 0
ABC
CDA
DE
ห้องสมุดไป่ตู้
A
l E dl 0
结论：沿闭合路径一周， 静电场力是保守力
W qq0 rB dr
4πε0 r rA 2 qq0 ( 1 1 )
4πε0 rA rB
1-4 电势及其梯度
B
rB
dr
dl
E
r
结论: W仅与q0的始末
er
q0
位置有关，与路径无关. q rA A
第五章 静电场
2
物理学
第三版
点电荷系
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
3
物理学
WAB
q0
AB E dl (VB VA )
q0 B
令 VB 0
零点
VA A E dl
VA
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哪些力具有做功与路径无关这种性质？ 引力 引入引力势能 重力 引入重力势能 势函数 弹性力 引入弹性势能 （位） 静电力 引入静电势能
电势能、电势差、电势
电场力 的功 定义
Q
静电场与 q0有能量交换
APQ q0 E d l WPQ WP WQ (WQ WP )
可以任意选取 选择零点原则：场弱、变化不太剧烈 无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？
问题
例:
2.电势的计算
Up
(1) 用定义法求U 例1. 真空中一半径为R的球面，均匀带电Q，求带电 球所在空间任意一点P的电位U=？ R 解：由高斯定理已求得电场分布： rR E0 设 r，U=0 Q ˆ rR E r 2 4or P点处在球外 r>R： dr r Q r Q Q ˆ r d l dr U p E dl 4 r 2 4 r 2 4orp o P o P p P点处在球内 r<R U p E dl E=0 =0 p 0 r R r Q U p E dl E dl E dl 4oR P rR p 41
Q
E dl 0
静电场的环路定理
在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于 零。 E d 0
L
说明：
（ 1 ）环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路 定理检验一个电场是不是静电场。 (2) 环路定理要求电力线不能闭合。静电场是有源、
无旋场。
讨论
在证明 Gauss 定理中，说电力必须与 r2 成反比， 那么在环路定理的证明中是否也必须要求与 r2成 反比？ 答：不一定 如弹性力 f kr 也有类似性质
在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径 L从 p——Q——P，电场力所做的功为
Q P L P ( L1 )
Q
A q0 E d l q0 E d l q0 E d l
Q ( L2 )
q0 E d l q0 E d l 0
p ( L1 ) p ( L2 )
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
点电荷组产生的场
q1 , q2 ,, qn
E E1 E2 En
在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功 Q Q APQ F dl q0 E dl P P Q Q Q q0 E1 dl E2 dl En dl P P P
证明
单个点电荷产生的场
把试探电荷q0从P移到Q
Q Q Q P P P
APQ F d l F cosdl
APQ qq0 4 0
rQ
qq0 Fdr Fdr rP ' 4 0
rQ
ห้องสมุดไป่ตู้
dr rP ' r 2
rQ
rQ dr qq0 1 1 rP ' r 2 4 0 rp ' rQ q0 rP ' E (r )dr
P
电势能的 改变量
q0在 P点 的电势能
q0在 Q点 的电势能
电势增量
可以与重力做功类比
电场力做正功，电势能将减少 电场力做负功，电势能将增加
电势的定义
0 电 场 付 出 能 量 ， 能 量少 减 APQ WPQ (电 势 能 的 减 少 ，与 场 源 和 q0均 有 关 电 场 吸 收 能 量 ， 能 量加 增 0
每项均与路径无关，只与位置有关
任意有限大的带电体产生的电场
可以将带电体无限分割成微元，每一个 微元均为一点电荷 ——点电荷组 结论： 在任何电场中移动试探电荷时， 电场力所做的功除了与电场本身有关外， 只与试探电荷的大小及其起点、终点有 关，与移动电荷所走过的路径无关。
静电场的环路定理
静电场力做功与路径无关 等价 于静电场力沿任意闭合回路做功 恒等于零 E dl 0
q0 4 0
P 到 q1 的距离
q2 q2 qn qn q q 1 1 r r r r r r p 1 Q 1 p 2 Q 2 pn Qn
Q 到 q1 的 距离
标准点
UP
E d
P
电势零点的选择：（1）若带电体系局限在有限大小的 空间里，通常选择无穷远处为电势零点。 （2）若带电体系电荷分布在无限大的区域内，通常取 有限位置处为电势零点。 （3）实际工作中常以大地或电器外壳为电势零点。
空间某点的电势值
例：选择无穷远为势能零点, P点电势值为
U ( p) U P
AP E dl P q0
两点之间电势差可表为两点电势值之差
Q Q P P
U PQ E d l E d l E d l U ( P) U (Q)
单位：1V(伏特）＝1J/C
讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。 电势UP：P与无穷处电势差 电势零点 选取
从中扣除q0,即引入电势
WPQ q0 APQ q0
Q P
U PQ E d l
P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功 单位正电荷的电势能差
（三）电势(electric Potential)
电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点“标准点
”过程中电场力作的功。（令“标准点”的电势为零）
§4 电势及其梯度
习题 p74 1-24、25、26、 36、37、39、41
静电场力做功与路径无关
电荷间的作用力是有心力 ——环路定理 讨论静电场的环流
流速场的环流
0 有旋 v dl 0 无旋
静电场：电力线不闭合 E dl 0 可以猜到静电场的环流为零
电势能、电势差、电势
电场力 的功 定义
Q
静电场与 q0有能量交换
APQ q0 E d l WPQ WP WQ (WQ WP )
可以任意选取 选择零点原则：场弱、变化不太剧烈 无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？
问题
例:
2.电势的计算
Up
(1) 用定义法求U 例1. 真空中一半径为R的球面，均匀带电Q，求带电 球所在空间任意一点P的电位U=？ R 解：由高斯定理已求得电场分布： rR E0 设 r，U=0 Q ˆ rR E r 2 4or P点处在球外 r>R： dr r Q r Q Q ˆ r d l dr U p E dl 4 r 2 4 r 2 4orp o P o P p P点处在球内 r<R U p E dl E=0 =0 p 0 r R r Q U p E dl E dl E dl 4oR P rR p 41
Q
E dl 0
静电场的环路定理
在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于 零。 E d 0
L
说明：
（ 1 ）环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路 定理检验一个电场是不是静电场。 (2) 环路定理要求电力线不能闭合。静电场是有源、
无旋场。
讨论
在证明 Gauss 定理中，说电力必须与 r2 成反比， 那么在环路定理的证明中是否也必须要求与 r2成 反比？ 答：不一定 如弹性力 f kr 也有类似性质
在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径 L从 p——Q——P，电场力所做的功为
Q P L P ( L1 )
Q
A q0 E d l q0 E d l q0 E d l
Q ( L2 )
q0 E d l q0 E d l 0
p ( L1 ) p ( L2 )
静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
点电荷组产生的场
q1 , q2 ,, qn
E E1 E2 En
在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功 Q Q APQ F dl q0 E dl P P Q Q Q q0 E1 dl E2 dl En dl P P P
证明
单个点电荷产生的场
把试探电荷q0从P移到Q
Q Q Q P P P
APQ F d l F cosdl
APQ qq0 4 0
rQ
qq0 Fdr Fdr rP ' 4 0
rQ
ห้องสมุดไป่ตู้
dr rP ' r 2
rQ
rQ dr qq0 1 1 rP ' r 2 4 0 rp ' rQ q0 rP ' E (r )dr
P
电势能的 改变量
q0在 P点 的电势能
q0在 Q点 的电势能
电势增量
可以与重力做功类比
电场力做正功，电势能将减少 电场力做负功，电势能将增加
电势的定义
0 电 场 付 出 能 量 ， 能 量少 减 APQ WPQ (电 势 能 的 减 少 ，与 场 源 和 q0均 有 关 电 场 吸 收 能 量 ， 能 量加 增 0
每项均与路径无关，只与位置有关
任意有限大的带电体产生的电场
可以将带电体无限分割成微元，每一个 微元均为一点电荷 ——点电荷组 结论： 在任何电场中移动试探电荷时， 电场力所做的功除了与电场本身有关外， 只与试探电荷的大小及其起点、终点有 关，与移动电荷所走过的路径无关。
静电场的环路定理
静电场力做功与路径无关 等价 于静电场力沿任意闭合回路做功 恒等于零 E dl 0
q0 4 0
P 到 q1 的距离
q2 q2 qn qn q q 1 1 r r r r r r p 1 Q 1 p 2 Q 2 pn Qn
Q 到 q1 的 距离
标准点
UP
E d
P
电势零点的选择：（1）若带电体系局限在有限大小的 空间里，通常选择无穷远处为电势零点。 （2）若带电体系电荷分布在无限大的区域内，通常取 有限位置处为电势零点。 （3）实际工作中常以大地或电器外壳为电势零点。
空间某点的电势值
例：选择无穷远为势能零点, P点电势值为
U ( p) U P
AP E dl P q0
两点之间电势差可表为两点电势值之差
Q Q P P
U PQ E d l E d l E d l U ( P) U (Q)
单位：1V(伏特）＝1J/C
讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。 电势UP：P与无穷处电势差 电势零点 选取
从中扣除q0,即引入电势
WPQ q0 APQ q0
Q P
U PQ E d l
P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功 单位正电荷的电势能差
（三）电势(electric Potential)
电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点“标准点
”过程中电场力作的功。（令“标准点”的电势为零）
§4 电势及其梯度
习题 p74 1-24、25、26、 36、37、39、41
静电场力做功与路径无关
电荷间的作用力是有心力 ——环路定理 讨论静电场的环流
流速场的环流
0 有旋 v dl 0 无旋
静电场：电力线不闭合 E dl 0 可以猜到静电场的环流为零