电势电势梯度
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1-4电势及其梯度
Ui ( p)
p
ri
q3
r3 qi
注意：（1）电势是标量，迭加的结果是求代数和； （2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
4、电势的计算 两种方法：
1）由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由
电势定义式 Up
零点Edl计算P点电势。
p
2）根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。
A ab q0
b Edl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
注意几点：
1)电势是标量，只有正负之分。
2)电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。
dn
算符 gradxiyjzk
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
电势梯度U 是一个矢量，
它的方向是沿电场线的切向 并指向电势升高的方向。
UdU
P2
nˆ
U
dn
P3
P1 dl
2
E1
如果过P1沿 dl方向的电势增加率为
为。
dU dl
，dl与nˆ 的夹角
有： dUdUcos
dl dn
(dn dcl o)s
点电荷q0所受电场力为： Fq0E
点从电r 荷到的rv场d中lv,移电动场点做电的荷功q
0
：
dA Fdlq0Edl
q0Edclos q
drdcl o,sE
q
q
4 0r 2
《电势能和电势》电势梯度理解
《电势能和电势》电势梯度理解《电势能和电势——电势梯度理解》在物理学中，电势能和电势是非常重要的概念，而电势梯度则是对电势变化的一种描述。
理解这些概念对于深入掌握电学知识至关重要。
首先，让我们来谈谈电势能。
想象一下，有一个带电荷的粒子在电场中。
就好像这个粒子在一个有力量的“场”里，这个场能够对它做功。
当这个粒子在电场中移动时，电场对它做的功就转化为了粒子的电势能。
电势能就像是粒子在电场中储存的一种能量。
比如说，一个正电荷在正的电势区域，它就具有较高的电势能；而在负的电势区域，它的电势能就较低。
接下来是电势。
电势可以理解为电场中某一点的“电位”。
它类似于地理中的海拔高度，只不过这里的“高度”是表示电场中电势能的大小。
电势是一个相对的概念，我们通常会选择一个参考点，规定它的电势为零，然后来确定其他点的电势。
那么，什么是电势梯度呢？简单来说，电势梯度就是电势在空间中变化的快慢程度。
想象一下，你在爬山，山坡陡峭的地方就是梯度大的地方，你需要花费更多的力气才能往上爬；而平缓的地方梯度小，爬起来相对轻松。
在电场中也是一样，电势梯度大的地方，电场强度就大，电荷受到的力也就越大；电势梯度小的地方，电场强度就小，电荷受到的力也小。
为了更直观地理解电势梯度，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有两块平行的金属板，分别带有正电荷和负电荷，从而在它们之间形成了一个均匀的电场。
我们沿着电场线的方向来观察电势的变化。
如果从带正电荷的金属板向带负电荷的金属板移动，电势会逐渐降低。
而且，在这个均匀电场中，电势的变化是均匀的，也就是说电势梯度是恒定的。
但在实际情况中，电场往往不是均匀的，电势梯度也会随之变化。
比如，在一个点电荷产生的电场中，离电荷越近的地方，电势梯度越大；离电荷越远的地方，电势梯度越小。
电势梯度在许多实际应用中都有着重要的作用。
例如，在电子设备中，了解电势梯度可以帮助我们设计更有效的电路和器件。
在电力传输中，对电势梯度的掌握有助于优化输电线路，减少能量损耗。
静电场5-电势梯度和电势能
a
q
17
Aab W
取wb为电势能零点, 即: Wb=0, 则： W
势能零点 a
b
q
a
E
E dl q
a
一般取 ∞ 处为势能零点 试探电荷q在电场中a点时系统的电势能 物理意义： 大小等于: 将q从a点移至电势能零点电 场力所做的功
q距离场源点电荷Q为r时
系统的电势能:
1 Qq W 4 0 r
U1 U2 + U3
U4
E
证明：设电场中任意两个相邻等势面之间的电势差 为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图）， 以点电荷为例，其电势为 1 q U (r ) 4 0 r
典型等势面
6
电偶极势场
7
电容器势场
8
三、电场强度与电势梯度
• 场有分布, 沿各方向存在不同的方向微商 • 梯度：最大的方向微商 E – 如 速度梯度 温度梯度等 U P n l • 沿l 的方向微商可以表示为 U+U
n
Δn很小,场强E变化不大
U
Q
P
E d l En
U U E lim n 0 n n
考虑方向，则有： E U
矢量微分算符
在直角坐标系中： i j k x y z
dU U U U ˆ U n i j k dn x y z
电势叠加各区域的电势分布是内外球壳单独存在时电势的叠加内壳单独存在外壳单独存在iii3511如图所示半径为r的半球面a的球心o位于oz轴上距o点r处半球面横截面与oxy面平行坐标原点o处有一电36一个细玻璃棒被弯成半径为r的半圆形沿其上半部分均匀分布有电量q沿其下半部分均匀分布有电量q
电势2
求场强的第3种方法： 求场强的第 种方法：利用场强与电势梯度的关系 种方法
书上例3.6） 带电q、 例3. （书上例 ）求均匀带电细圆环 ( 带电 、 半径R)轴线上任一点的场强 轴线上任一点的场强。 半径 轴线上任一点的场强。 由电势叠加原理容易求出 解： 由电势叠加原理容易求出 轴线上的电势分布为： 轴线上的电势分布为： 1 q ϕ= 4πε 0 ( R 2 + x 2 ) 1 2 qx ∂ϕ 由 E = −∇ ϕ 知 E x = − = ∂x 4πε 0 ( R 2 + x 2 )3 / 2 ∂ϕ ∂ϕ E =− =0
电势梯度(electric potential gradient) §3-4 电势梯度 E El θ × × ϕ dl ϕ+dϕ l
由 ϕ a − ϕ b = ∫ E ⋅ dl
⇒ ϕ − ( ϕ + dϕ ) = − dϕ = E ⋅ d l
⇒ Edl cos θ = E l ⋅ d l = − d ϕ
∴ϕ O = ∫
Q
则其在O处的电势 解：任取电荷元dq,则其在 处的电势 任取电荷元 则其在 为 dq
dϕ = 4 πε 0 R
dq 4πε 0 R
=
1
4πε 0 R Q
∫ dq =
Q 4 πε 0 R qQ 4 πε 0 R
电场力的功为
A = qϕ ∞O = q( ϕ ∞ − ϕ O ) = −
习题集p120.6)一“无限大”带负电荷的平面， 例7. (习题集 习题集 一 无限大”带负电荷的平面， 若设平面所在处为电势零点，取X轴⊥带电平面， 若设平面所在处为电势零点， 轴 带电平面， 原点在带电平面处，则其周围空间各点电势U 随 原点在带电平面处，则其周围空间各点电势 距离平面的位置坐标x 变化的关系曲线为( 距离平面的位置坐标 变化的关系曲线为 ) U U (A) X
电势及其梯度
q E= 2 4πε 0 r
1
cosθ dl = dr
q o
r
c
θ
r E
a b rb 1 qq qq0 1 1 0 − ∴W = ∫ dW = ∫ 2 dr = a ra 4πε 4πε 0 ra rb 0 r
温州大学物理与电子信息学院
电势和电势差
结论：在点电荷的电场中， 结论：在点电荷的电场中，电场力对试验电荷所 做的功， 做的功 ， 只与试验电荷所带电量以及起点和终点 位置有关，而与所经历的路径无关． 位置有关，而与所经历的路径无关． 问题：任何带电体系产生的电场的结果如何？ 问题：任何带电体系产生的电场的结果如何？ r r r Q E = E1 + E 2 + L r r r r r r r ∴W = ∫ F ⋅ dl = q0 ∫ E ⋅ dl = q0 ∫ ( E1 + E2 + L) ⋅ dl r r r r = q0 ∫ E1 ⋅ dl + q0 ∫ E2 ⋅ dl + L
ρR 2 r Up = − ln < 0 2εo R
P r o o
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定义法求电势
R
r ρ r r r < R E= 2ε o
r≥R
r
.
p
ρR 2 r Up = − ln 2εo R < 0
R
r ρR 2 ˆ = λ r E= r ˆ 2πεor 2εor
r<R
r= 0处， U= Umax= ρ R 2 处 2εo ε
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电势梯度概念 等势面 定义:电势相等的曲面 定义:
U1
+q
电场与电势能的变化率
电场与电势能的变化率电场和电势能是电学领域中非常重要的两个概念。
电场描述了电荷在空间中产生的力的分布情况，而电势能则是描述电荷在电场中的能量状态。
本文将探讨电场和电势能的变化率的相关内容。
一、电场的变化率电场的变化率可以通过计算电场的梯度来得到。
电场的梯度是指在一个点上，电场强度随着位置的变化率。
如果我们用E表示电场强度，r表示位置向量，则电场的梯度可以表示为∇E。
其中，∇是一个向量算子，表示对位置向量求偏导数。
在三维空间中，电场可以有x、y和z三个方向的分量。
因此，电场的梯度可以表示为：∇E = (∂Ex/∂x, ∂Ey/∂y, ∂Ez/∂z)这个梯度向量表示了电场在三个方向上的变化率。
如果电场的梯度在某一点上为零，即∇E = 0，那么在这个点上电场强度不发生变化。
二、电势能的变化率电势能的变化率可以通过计算电势的梯度来得到。
电势的梯度是指在一个点上，电势随着位置的变化率。
如果我们用V表示电势，r表示位置向量，则电势的梯度可以表示为∇V。
电势的梯度表示了电势在三个方向上的变化率。
如果电势的梯度在某一点上为零，即∇V = 0，那么在这个点上电势不发生变化。
三、电场和电势能的关系电场和电势能之间存在一种重要的关系，即电场强度E和电势V之间满足以下关系：E = -∇V这个关系可以通过电场的定义和电势的定义来推导得到。
根据电场的定义，电场力F与电荷q之间的关系为F = qE。
根据电势的定义，电势能U与电荷q之间的关系为U = qV。
如果将电势能表达式U = qV代入电场力的表达式F = qE中，可以得到F = -∇U。
这表明电场力的大小和方向可以通过电势能的梯度来确定。
四、电场和电势能的变化率的应用电场和电势能的变化率在电学中有重要的应用。
例如，在电荷分布均匀的导体中，电场和电势能的变化率可以帮助我们理解电荷如何在导体中移动。
导电体内部的电势是均匀的，因此在导体中不存在电势的梯度。
另外，电场和电势能的变化率还可以帮助我们理解电场线和等势线之间的关系。
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
6电势及其梯度
E x = − dU dx
E y = − dU dy
E z = − dU dz
2º 场中任一点沿不同方向，U的空间变化率 场中任一点沿不同方向， 的空间变化率 一般不等。 一般不等。 r r dU 有最大值： − dU = E 当 θ= 0时, 即 dn || E , dn 有最大值： dn 时
dU ——电势梯度 电势梯度 dn
电势叠加原理
4
2）连续带电体的电势： ）连续带电体的电势： 其在任意点P处的电势 处的电势： 取电荷元 dq ，其在任意点 处的电势：
dq
rp
dq dU P = 4πε orP
整个带电体在任意点P处的电势： 整个带电体在任意点 处的电势： 处的电势
+q
UP = ∫
dq 4πεorP
.
P
注： 电势是标量，积分是标量迭加。 电势是标量，积分是标量迭加。
3º 求E的三种方法 E的三种方法
r dq 点电荷电场叠加 ：E = ∫ ˆ r 2 4πεor r r 1 用高斯定理求对称场： 用高斯定理求对称场： E = ∫ E ⋅ dS = Φ ∑ qi ε o S内
r 电势梯度法： 电势梯度法： E = − gradU
11
Up = ∫ 2.电势的计算 电势的计算 (1) 用定义法求 用定义法求U 真空中一半径为R的球面 均匀带电Q， 的球面， 例2. 真空中一半径为 的球面，均匀带电 ，求带电 球所在空间任意一点P的电势 的电势U=？ 球所在空间任意一点 的电势 ？ R 解：由高斯定理已求得电场分布： 由高斯定理已求得电场分布： r< R E=0 r →∞， →∞ Q r 设 r→∞，U=0 r≥R E= ˆ 2 4πεor P点处在球外 r>R： 点处在球外 ： r r =∞ Q ∞ r r r =∞ Q r ⋅ dl = ∫ ˆ ⋅ dr = Q U p = ∫ E ⋅ dl = ∫ 4πεorp 4πεor2 4πεor2 P p P ∞ r r P点处在球内 r<R U p = ∫ E ⋅ dl E=0 =0 点处在球内 p ∞ r r r = Rr 0 r r = ∞r r = Q U p = ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl 1 4πεoR p P r=R
电势,电势差,电势梯度
电势、电势差、电势梯度1、三个相同的点电荷q ，分别放在边长为L 的等边三角形的三个顶点处，则三角形中心的电势 )4/(330L q U πε=，电场强度大小E=0=E ，将单位正电荷从中心移到无限远时，电场力作功)4/(330L q A πε= 。
2、半径为R 的均匀带电细圆环，电荷线密度为λ，则环心处的电势02/ελ=U ，场强大小0=E 。
3、静电场中某点的电势，其数值等于单位正电荷在该处的电势能，或把单位正电荷从该点移到无限远处电场力作的功。
4、下列各种说法中正确的是( B )(A)电场强度相等的地方电势一定相等。
(B)电势梯度较大的地方场强较大。
(C)带正电的导体电势一定为正。
(D)电势为零的导体一定不带电。
5、在静电场中下面叙述正确的是( B )(A)电场强度沿电力线方向逐点减弱。
(B)电势沿电力线方向逐点降低。
(C)电荷在电场力作用下一定沿电力线运动。
(D)电势能一定沿电力线方向逐点降低。
6、真空中产生电场的电荷分布确定以后，则( C )(A)电场中各点的电势具有确定值(B)电荷在电场中各点的电势能具有确定值(C)电场中任意两点的电势差具有确定值。
7、如图，在一带负电的物体A 附近有两点M 和N ，电势分别为u M 和u N ，另一带负电的点电荷处在该两点时所具有的电势能分别为W M 和W N ，则：（ C ）19(A)u M ＞u N ，W M ＞W N ；(B)u M ＞u N ，W M ＜W N ；(C) u M ＜u N ，W M ＞W N ；(D)u M ＜u N ，W M ＜W N ； 8、球壳的内半径为R 1，外半径为R 2，壳体内均匀带电，电荷体密度为ρ，A 、B 两点分别与球心0相距r 1和r 2，(r 1＞R 2，r 2＜R 1)，求A 、B 两点的电势。
解：利用均匀带电球壳产生电势的结果和电势叠加原理计算 作一半径为r ，厚度为dr 的球壳，其电量为dr r dq ρπ24=（1）r >R 2时，)4/(101r dq dU πε=()103132113/21r R R dU U R R ερ-==⎰（2）r <R 1时，)4/(02r dq dU πε=()02122222/21ερR R dU U R R -==⎰M N· ·。
电势电场强度与电势梯度
电势梯度与电场强度、电势的关系
01
02
电势梯度、电场强度和电势之间 存在密切的联系。
电势梯度的方向与电场强度的方 向一致，即负电荷受到的电场力
方向。
电势梯度等于该点处电场强度的 大小乘以该点到无穷远处的距离 。
03
电势梯度的计算需要用到高阶导 数，因此在实际应用中需要精确
测量电场强度和电势的变化。
04
04 实例分析
均匀电场中电场强度、电势与电势梯度的关系
01
02
03
电场强度
在均匀电场中，电场强度 是恒定的，其大小和方向 不随位置的变化而变化。
电势
在均匀电场中，电势随位 置线性变化，且变化率等 于电场强度。
电势梯度
在均匀电场中，电势梯度 等于电场强度。
非均匀电场中电场强度、电势与电势梯度的关系
电势梯度的方向与电场强度的 方向一致，即负电荷受到的电 场力方向。
电势梯度的计算方法
计算公式：▽φ = -E
在直角坐标系中，▽φ可以表示为▽φ = ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z。
其中E表示电场强度矢量，▽表示哈密顿算子。
在球坐标系中，▽φ可以表示为▽φ = 1/r * ∂/∂r + r/sinθ * ∂/∂θ + r/sinθ * ∂/∂φ。
电平面的电荷密度，ε0为真空中的介电常数。
电场强度与电势的关系
电场强度与电势没有直接关系，它们是描述电场 的两个不同方面。
在匀强电场中，沿着电场线方向，电势逐渐降低， 而电场强度保持不变。
在非匀强电场中，电场强度和电势的变化情况较 为复杂，需要具体分析。
02 电势
电势的定义
01 静电场中某点的电势定义为单位正电荷在该点所 具有的势能。
《大学物理》电势能、电势、梯度 (1)
= p E 1. dl + p E 2. dl +
P
= U1+ U2
ε ε U
=
q
4π
1
r
0
1
+
q
4π
2
r
0
2
0
+
r2 q2
r1 q1
2-1-6
2. 点电荷系的电势 电势叠加原理
88 8
8
U p = p E .dl = p (E1+E2+ ) . dl
= p E 1. dl + p E 2. dl +
r =0.10 m，q 0= 1.0 × 10 8 C 试求：将电荷
q 0
从a点移到 b点静电场力所作的功。
q1
q 0
q2
U a =U q 1+ U q 2 =0
r ar
rb
[ 例1 ] 已知：q 1 = q 2 = 4.0 × 10 C， 8 2-1-6
r =0.10 m，q 0= 1.0 × 10 8 C 试求：将电荷
Aab=q0 (Ua U b )
[ 例1 ] 已知：q 1 = q 2 = 4.0 × 10 C， 8 2-1-6
r =0.10 m，q 0= 1.0 × 10 8 C 试求：将电荷
q 0
从a点移到 b点静电场力所作的功。
q1
q 0
q2
U a =U q 1+ U q 2 =0
r ar r
ε ε ε U
E.dl
8
=
E
.
内
d
l
+
E
.
外
《大学物理》电势能、电势、梯度 (3)
r
ε ε A
=
=q 0E .dl
= q 0E .d
q
4π
q
0
o
rb ra
cosφq
r= 4π
dr r2
q
o
0
r
2d r
q
dr φ dl
b
r b dl φφ
ra q 0 E a
2-1-5
一、场强环流定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力
对带电体要作功，这说明静电场具有能量。
1、点电荷对试验电荷作功
8 8
Wa = A a = q 0 a E .dl
(
或：Wa=A ab
=q 0
b
a E
.
dl
其中b为零势能点 )
dA =F. d l =q 0E .dl
r
=q 0E .dl cosφ
q
φ dl b
r b dl φφ
ra q 0 E
a
2-1-5
一、场强环流定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力
对带电体要作功，这说明静电场具有能量。
1、点电荷对试验电荷作功
dr
设点电荷 q、试验电荷 qo r
dA =F. d l =q 0E .dl
一、场强环流定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力
对带电体要作功，这说明静电场具有能量。
1、点电荷对试验电荷作功 设点电荷 q、试验电荷 qo
dA =F. d l =q 0E .dl
q
b r b dl φφ
ra q 0 E
a
2-1-5
一、场强环流定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力
对带电体要作功，这说明静电场具有能量。
静电场-电势,等势面,电势梯度
rdr
10
4.2 从电场强度计算电势
v vv 1）运用高斯定理电场的分布： E = E(r )
2) 通过电场强度的积分计算电势：
V =∫
∞
a
r r E ⋅ dl
11
例7-12 半径为 R 的均匀带电球面，带电量为q，求 空间的电势分布。
dl
r
rP R P ∞
12
(r ≤ R) 0 解： E = q 4πε r 2 (r > R) 0
33
p均匀带电球面内外的场强
E内 = 0 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球面的电势
Q V内 = 4πε 0 R Q V外 = 4πε 0 r
34
p均匀带电球体内外的场强
Qr E内 = 4πε 0 R 3 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球体外的电势
Q 3R 2 − r 2 V内 = 8πε 0 R 3 Q V外 = 4πε 0 r
dr r O R x P
E
x
25
σ 2 2 解： V = ( x + R − x) 2ε 0 ∂V σ x (1 − ) E = Ex = − = 2 2 ∂x 2ε 0 x +R
26
两均匀带电同心球面，根据电势分布求电场强度分布
27
1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
v 2） V = 0 的地方， E = 0 吗？ v v 3） E 相等的地方，V 一定相等吗？等势面上 E
例7-10 均匀带电圆盘，半径为R ，电荷面密度为σ。 求轴线离圆盘中心O距离为x的P点的电势。
dr r O R x P x
9
解：dV =
dq 4πε 0 x 2 + r 2
10
4.2 从电场强度计算电势
v vv 1）运用高斯定理电场的分布： E = E(r )
2) 通过电场强度的积分计算电势：
V =∫
∞
a
r r E ⋅ dl
11
例7-12 半径为 R 的均匀带电球面，带电量为q，求 空间的电势分布。
dl
r
rP R P ∞
12
(r ≤ R) 0 解： E = q 4πε r 2 (r > R) 0
33
p均匀带电球面内外的场强
E内 = 0 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球面的电势
Q V内 = 4πε 0 R Q V外 = 4πε 0 r
34
p均匀带电球体内外的场强
Qr E内 = 4πε 0 R 3 Q E外 = 4πε 0 r 2
p均匀带电球体外的电势
Q 3R 2 − r 2 V内 = 8πε 0 R 3 Q V外 = 4πε 0 r
dr r O R x P
E
x
25
σ 2 2 解： V = ( x + R − x) 2ε 0 ∂V σ x (1 − ) E = Ex = − = 2 2 ∂x 2ε 0 x +R
26
两均匀带电同心球面，根据电势分布求电场强度分布
27
1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
v 2） V = 0 的地方， E = 0 吗？ v v 3） E 相等的地方，V 一定相等吗？等势面上 E
例7-10 均匀带电圆盘，半径为R ，电荷面密度为σ。 求轴线离圆盘中心O距离为x的P点的电势。
dr r O R x P x
9
解：dV =
dq 4πε 0 x 2 + r 2
电势11.4 电势梯度
，
解
r ∂ϕ ˆ Q E = −∇ϕ = − er ∂r
1 q ∂ q E=− = ∂r 4πε 0 r 4πε 0 r
r ∴E =
q 4πε 0 r
r r 3
求距离电偶极子远处的电势分布。 例2 求距离电偶极子远处的电势分布。已知电 偶极子两电荷 和 之间的距离为 l 。
−q +q
ϕ
E
数学上， 数学上，若某一标量函数对某一方向有最大变化率 方向导数最大）， ），则定义此方向上的导数为该标量函 （方向导数最大），则定义此方向上的导数为该标量函 数的梯度（ 数的梯度（ gradient）。 ）。
电势梯度： 电势梯度：
r ∂ϕ ˆ E = − grad ϕ = en ≡ −∇ϕ ∂n
§11.4 电势梯度
场强与电势的微分关系： 场强与电势的微分关系：
E El
∂ϕ El = − ∂l
∂ϕ En = − ∂n
── ϕ 的方向导数
dl
l
r r E ⋅ dl = − dϕ
ϕ
ϕ +dϕ
方向） ˆn e（指向ϕ↑方向）
ϕ +dϕ
r ∂ϕ ˆ ˆ ⋅ en E = E n en = −
∂n
1 第11章 电势
p cos θ ϕ (θ , r ) = 2 4πε 0 r
6 第11章 电势
r E = −∇ϕ
由偶极子的电势求场强。 例3 由偶极子的电势求场强。
r r p⋅r p cos θ ϕ (θ , r ) == = 3 4πε 0 r 4πε 0 r 2
∂ϕ 1 2 p cos θ Er = − = ∂r 4πε 0 r3
∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ∇ ≡ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
解
r ∂ϕ ˆ Q E = −∇ϕ = − er ∂r
1 q ∂ q E=− = ∂r 4πε 0 r 4πε 0 r
r ∴E =
q 4πε 0 r
r r 3
求距离电偶极子远处的电势分布。 例2 求距离电偶极子远处的电势分布。已知电 偶极子两电荷 和 之间的距离为 l 。
−q +q
ϕ
E
数学上， 数学上，若某一标量函数对某一方向有最大变化率 方向导数最大）， ），则定义此方向上的导数为该标量函 （方向导数最大），则定义此方向上的导数为该标量函 数的梯度（ 数的梯度（ gradient）。 ）。
电势梯度： 电势梯度：
r ∂ϕ ˆ E = − grad ϕ = en ≡ −∇ϕ ∂n
§11.4 电势梯度
场强与电势的微分关系： 场强与电势的微分关系：
E El
∂ϕ El = − ∂l
∂ϕ En = − ∂n
── ϕ 的方向导数
dl
l
r r E ⋅ dl = − dϕ
ϕ
ϕ +dϕ
方向） ˆn e（指向ϕ↑方向）
ϕ +dϕ
r ∂ϕ ˆ ˆ ⋅ en E = E n en = −
∂n
1 第11章 电势
p cos θ ϕ (θ , r ) = 2 4πε 0 r
6 第11章 电势
r E = −∇ϕ
由偶极子的电势求场强。 例3 由偶极子的电势求场强。
r r p⋅r p cos θ ϕ (θ , r ) == = 3 4πε 0 r 4πε 0 r 2
∂ϕ 1 2 p cos θ Er = − = ∂r 4πε 0 r3
∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ∇ ≡ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
电势及其梯度
q
q
电势梯度POTENTIAL GRADIENT
由定义可以通过Ｅ求Ｕ
Q
UP UQ
E dl
P
现在考虑能否通过 电势求电场强度
E lim | U | U
n0 n
n
U
E
Pn
l Q
n
U U
U U n l n l
U U cos E cos l n
U
def
U
nˆ
gradU
n
E U
ES1 eS1 /
electric
0
field near E
a
n
S1
e 0E
E
e
n
0
尖端放电
S2
+ ++ Nhomakorabea+
+++++
4. 导体空腔的性质 (1) 空腔中无电荷
1
E0
U=C1 U=C1
空腔内表面电荷为零，空腔中电场为０， 空腔中是等势区，电势等于腔壳的电势．
(2)空腔中有电荷 空腔内表面有与 空腔中等量异号 的电荷，空腔中 电场不为零，由 腔内电荷、位置 及形状决定
p
E 40r3
延长线上 0
Er
2p ，
4 0 r 3
E 0
p
r
r
r
q q
l
例题：电荷均匀分布的圆环，中心轴上电场分布。 半径 R， 线密度 e
z P r
dl RO
U( z )
1
2 e Rd
e R
2
d
e R
40 0 r
40r 0
2 0 r
q
电势梯度POTENTIAL GRADIENT
由定义可以通过Ｅ求Ｕ
Q
UP UQ
E dl
P
现在考虑能否通过 电势求电场强度
E lim | U | U
n0 n
n
U
E
Pn
l Q
n
U U
U U n l n l
U U cos E cos l n
U
def
U
nˆ
gradU
n
E U
ES1 eS1 /
electric
0
field near E
a
n
S1
e 0E
E
e
n
0
尖端放电
S2
+ ++ Nhomakorabea+
+++++
4. 导体空腔的性质 (1) 空腔中无电荷
1
E0
U=C1 U=C1
空腔内表面电荷为零，空腔中电场为０， 空腔中是等势区，电势等于腔壳的电势．
(2)空腔中有电荷 空腔内表面有与 空腔中等量异号 的电荷，空腔中 电场不为零，由 腔内电荷、位置 及形状决定
p
E 40r3
延长线上 0
Er
2p ，
4 0 r 3
E 0
p
r
r
r
q q
l
例题：电荷均匀分布的圆环，中心轴上电场分布。 半径 R， 线密度 e
z P r
dl RO
U( z )
1
2 e Rd
e R
2
d
e R
40 0 r
40r 0
2 0 r
电势梯度、电偶极子
电势梯度与电偶极子
目录
• 电势梯度概述 • 电偶极子概述 • 电势梯度与电偶极子的关系 • 电势梯度与电偶极子的应用 • 总结与展望
01 电势梯度概述
电势梯度的定义
电势梯度是电场强度在空间中的变化 率，表示电场中电势随位置的变化率。
电势梯度是一个矢量，其方向指向电 势降低的方向，其大小等于电场强度 在该点的负值。
在某些特殊情况下，如强磁场和强电场共同作用时，电偶极子的行为 会更加复杂。
04 电势梯度与电偶极子的应 用
电势梯度在电子设备中的应用
电子设备中的电势梯度用于控制电流和电压的分布，确保电子设备的正常运行。
在集成电路中，电势梯度用于实现信号的传输和处理，提高电路的工作效率和稳定 性。
电势梯度在电子设备的散热设计中也发挥着重要作用，通过合理分布温度场，降低 设备过热的风险。
电偶极子是一对相距一定距离的等量 异号点电荷，它们产生的电场在空间 中形成电偶极场。电偶极场的电场线 从正电荷出发，终止于负电荷，不闭 合也不相交。
电势梯度和电偶极子在电磁学、电化 学、生物医学等领域有着广泛的应用 。例如，在电磁学中，通过研究电势 梯度和电偶极子的分布，可以分析电 磁波的传播和散射特性；在电化学中 ，电势梯度和电偶极子可以影响电解 质的离子迁移和扩散行为；在生物医 学中，电势梯度和电偶极子可以影响 细胞的生长和分化等生命活动。
电势梯度定义为电场强度在某一点的负 值，即$nabla varphi = -E$，其中 $varphi$表示电势，E表示电场强度。
电势梯度的物理意义
电势梯度表示电场中电势随位置 的变化率，反映了电场中电势的
分布情况。
电势梯度的物理意义在于它决定 了电荷在电场中的运动方向和速 率，以及电场力对电荷的作用方
目录
• 电势梯度概述 • 电偶极子概述 • 电势梯度与电偶极子的关系 • 电势梯度与电偶极子的应用 • 总结与展望
01 电势梯度概述
电势梯度的定义
电势梯度是电场强度在空间中的变化 率，表示电场中电势随位置的变化率。
电势梯度是一个矢量，其方向指向电 势降低的方向，其大小等于电场强度 在该点的负值。
在某些特殊情况下，如强磁场和强电场共同作用时，电偶极子的行为 会更加复杂。
04 电势梯度与电偶极子的应 用
电势梯度在电子设备中的应用
电子设备中的电势梯度用于控制电流和电压的分布，确保电子设备的正常运行。
在集成电路中，电势梯度用于实现信号的传输和处理，提高电路的工作效率和稳定 性。
电势梯度在电子设备的散热设计中也发挥着重要作用，通过合理分布温度场，降低 设备过热的风险。
电偶极子是一对相距一定距离的等量 异号点电荷，它们产生的电场在空间 中形成电偶极场。电偶极场的电场线 从正电荷出发，终止于负电荷，不闭 合也不相交。
电势梯度和电偶极子在电磁学、电化 学、生物医学等领域有着广泛的应用 。例如，在电磁学中，通过研究电势 梯度和电偶极子的分布，可以分析电 磁波的传播和散射特性；在电化学中 ，电势梯度和电偶极子可以影响电解 质的离子迁移和扩散行为；在生物医 学中，电势梯度和电偶极子可以影响 细胞的生长和分化等生命活动。
电势梯度定义为电场强度在某一点的负 值，即$nabla varphi = -E$，其中 $varphi$表示电势，E表示电场强度。
电势梯度的物理意义
电势梯度表示电场中电势随位置 的变化率，反映了电场中电势的
分布情况。
电势梯度的物理意义在于它决定 了电荷在电场中的运动方向和速 率，以及电场力对电荷的作用方
(化学)§14 电势及其梯度
dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点沿任意 路径移至电势能零点处的 过程中电场力所做的功
电势也是相对的，其值与电势的零 点选择有关。
第五章 静电场
13
物理学
第三版
电势零点的选取：
1-4 电势及其梯度
有限带电体以无穷远为电势零点，实际
问题中常选择地球电势为零.
VA
5
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
6
物理学
第三版
1-4 电势及其梯度
静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
ABC
ADC
B
C
q0( E dl E dl ) 0
ABC
CDA
DE
ห้องสมุดไป่ตู้
A
l E dl 0
结论：沿闭合路径一周， 静电场力是保守力
W qq0 rB dr
4πε0 r rA 2 qq0 ( 1 1 )
4πε0 rA rB
1-4 电势及其梯度
B
rB
dr
dl
E
r
结论: W仅与q0的始末
er
q0
位置有关，与路径无关. q rA A
第五章 静电场
2
物理学
第三版
点电荷系
1-4 电势及其梯度
第五章 静电场
3
物理学
WAB
q0
AB E dl (VB VA )
q0 B
令 VB 0
零点
VA A E dl
VA
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§ 5-4
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
q
dr
r
E
V=
q
若q>0,则V>0
πε 0 r 4
若q<0,则V<0
2. 点电荷系的电势 = p E 1 . dl +
8
8 8
2 dr 4 πε o r
q
8
+ +
R
+
+
+ +
=4 R πε o
r .P
+
+ +
+
+
均匀带电球面球内任意一点的电势等于球表面 的电势。
2. r
≥
R
8
(球外任意一点)
+ +
q
+
+ +
. dr =r E 外
= r d πε o r r 4 q =4 πε o r
2
q
+ +
+ +
R
+
r ++
+
+ + +
8
.P
均匀带电球面，球外任意一点的电势等于将电 荷集中于球心的点电荷的电势。
德国生理学家 物理学家
亥姆霍兹
（1821-1894）
电 势 梯 度
趣闻轶事: 十九世纪的“万能”博士 亥姆霍兹是19世纪一位“万能”博士，一身兼任生理学 家、物理学家、数学家以及机智的实验家等多种头衔。 19世纪末，一位评论家对亥姆霍兹写过这样的话：“他 从研究生理学开始，解剖了眼睛和耳朵，探索它们是怎 样起作用的，准确构造是怎样的。但是，他发现要研究 眼睛和耳朵的作用，就不能不同时研究光和声的本性， 这导致他研究物理学。当他开始研究物理学的时候，已 经是这个世纪最有成就的生理学家之一，以后他又成了 这个世纪最伟大的物理学家之一。可是他又发现，要研 究物理学不能不掌握数学，就又研究数学，成为这个世 纪最有成就的数学家之一。”
+
电偶极子的等势面
+
平行板电容器的电场线与等势面
+ + + + + + + + +
二、电势梯度矢量
考虑空间两等势面V, V+dV ，作等势面的法线与两 等势面交于B1 、B2两点, 相距dn ,任意点B3距B1为dl .
V 沿n方向变化率最 大, 定义B1处的电势 梯度矢量 dV n dn
V dV V
保守力作功等于势能的减少
a Wa
b
Wb
Aab qo
b
a
E dl Wa Wb
令b点的势能为零（Wb =0） a点的电势能：
Wa
b
a
qo E dl
试验电荷qo在空间某处的电势能在数值上就等于
将qo从该处移至势能的零点电场力所作的功。
注
电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上，当场 源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零点选取 在无穷远处。
电势叠加原理
V p = p E .dl = p ( E 1 + E 2 +
p
) . dl
+
E 2 . dl
8
= V1+ V2 +
对于点电荷系：
=Σ V i q2
P
r2
q2
V=
4 πε
q1
r1 q1
+ r 4 πε 0 1
0 r2
+
V = Σ πε r i 4 0
qi
3. 连续带电体的电势
dV = 4 πε 0 r
0 0
r
dr φ
dl
0
0
0
0
0 0
0 0
给定试验电荷在静电场中移动时，电场力所作
的功只与试验电荷的起点和终点的位置有关，而与 路径无关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
保守力作功的特点：
静电场的环路定理：
静电场中电场强度
E d l 0
l
的环流为零。
二、电势能、电势、电势差 1、电势能(W)
３、电势差
Aab qo a Wa Wb b a E dl qo qo
b
E dl Wa Wb
Va V b = E . dl a
b
静电场中a,b两点的电势差，等于将单位正电荷
从a点移至b点电场力所作的功。
Aab qo (Va Vb )
三、电势的计算
dq
dq
dq V= 4 πε 0 r
注：电势的叠加是标量叠加，不同于电场强度的叠加。
[ 例1 ] 求一均匀带电球面的电势。已知：q , R 。
1. r ≤ R
8
(球内任意一点)
R 8
V = r E . d l = r E 内. d l + R E 外. d l
q
+ + + + +
= 0 + R q
dl
电场中某一点的场强沿任一方
向的分量等于这一点的电势沿该方 向的方向导数的负值。
V El
E
B1
I
[ 例1 ]
已知均匀带电圆环轴线上任一点的电势为：
q V =4 = 2 2 1 πε o r 4πε o ( x + R )
求：轴线上任一点的场强。 解：
q
2
E = Ex =
V x
R
r
x
P
x
a点的电势能：
Wa
a
qo E dl
电势能是系统的，不能反映场的性质，但其比值 w/q0与q0无关，反映的是场的性质。
２、电势
Wa Va E dl a qo
单位：伏特（V）
点的电势在数值上等于将单位正电荷从 a点移到 无穷远处静电场力对它所作的功。
a
B2
n
φ B3 I I
dn
B1
dl
I
电势梯度矢量： 记为： 即
V dV V
B2
n
B3
φ dn
B1
II I
dl
dV n dn
大小：电势梯度的大小等于电势 在该点最大空间变化率 方向：沿等势面法向，指向电势增加的方向
三、场强与电势梯度的关系
dAB1B2 qo V V dV qo E dn
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
q
dr
r
E
V=
q
若q>0,则V>0
πε 0 r 4
若q<0,则V<0
2. 点电荷系的电势 = p E 1 . dl +
8
8 8
2 dr 4 πε o r
q
8
+ +
R
+
+
+ +
=4 R πε o
r .P
+
+ +
+
+
均匀带电球面球内任意一点的电势等于球表面 的电势。
2. r
≥
R
8
(球外任意一点)
+ +
q
+
+ +
. dr =r E 外
= r d πε o r r 4 q =4 πε o r
2
q
+ +
+ +
R
+
r ++
+
+ + +
8
.P
均匀带电球面，球外任意一点的电势等于将电 荷集中于球心的点电荷的电势。
德国生理学家 物理学家
亥姆霍兹
（1821-1894）
电 势 梯 度
趣闻轶事: 十九世纪的“万能”博士 亥姆霍兹是19世纪一位“万能”博士，一身兼任生理学 家、物理学家、数学家以及机智的实验家等多种头衔。 19世纪末，一位评论家对亥姆霍兹写过这样的话：“他 从研究生理学开始，解剖了眼睛和耳朵，探索它们是怎 样起作用的，准确构造是怎样的。但是，他发现要研究 眼睛和耳朵的作用，就不能不同时研究光和声的本性， 这导致他研究物理学。当他开始研究物理学的时候，已 经是这个世纪最有成就的生理学家之一，以后他又成了 这个世纪最伟大的物理学家之一。可是他又发现，要研 究物理学不能不掌握数学，就又研究数学，成为这个世 纪最有成就的数学家之一。”
+
电偶极子的等势面
+
平行板电容器的电场线与等势面
+ + + + + + + + +
二、电势梯度矢量
考虑空间两等势面V, V+dV ，作等势面的法线与两 等势面交于B1 、B2两点, 相距dn ,任意点B3距B1为dl .
V 沿n方向变化率最 大, 定义B1处的电势 梯度矢量 dV n dn
V dV V
保守力作功等于势能的减少
a Wa
b
Wb
Aab qo
b
a
E dl Wa Wb
令b点的势能为零（Wb =0） a点的电势能：
Wa
b
a
qo E dl
试验电荷qo在空间某处的电势能在数值上就等于
将qo从该处移至势能的零点电场力所作的功。
注
电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上，当场 源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零点选取 在无穷远处。
电势叠加原理
V p = p E .dl = p ( E 1 + E 2 +
p
) . dl
+
E 2 . dl
8
= V1+ V2 +
对于点电荷系：
=Σ V i q2
P
r2
q2
V=
4 πε
q1
r1 q1
+ r 4 πε 0 1
0 r2
+
V = Σ πε r i 4 0
qi
3. 连续带电体的电势
dV = 4 πε 0 r
0 0
r
dr φ
dl
0
0
0
0
0 0
0 0
给定试验电荷在静电场中移动时，电场力所作
的功只与试验电荷的起点和终点的位置有关，而与 路径无关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
保守力作功的特点：
静电场的环路定理：
静电场中电场强度
E d l 0
l
的环流为零。
二、电势能、电势、电势差 1、电势能(W)
３、电势差
Aab qo a Wa Wb b a E dl qo qo
b
E dl Wa Wb
Va V b = E . dl a
b
静电场中a,b两点的电势差，等于将单位正电荷
从a点移至b点电场力所作的功。
Aab qo (Va Vb )
三、电势的计算
dq
dq
dq V= 4 πε 0 r
注：电势的叠加是标量叠加，不同于电场强度的叠加。
[ 例1 ] 求一均匀带电球面的电势。已知：q , R 。
1. r ≤ R
8
(球内任意一点)
R 8
V = r E . d l = r E 内. d l + R E 外. d l
q
+ + + + +
= 0 + R q
dl
电场中某一点的场强沿任一方
向的分量等于这一点的电势沿该方 向的方向导数的负值。
V El
E
B1
I
[ 例1 ]
已知均匀带电圆环轴线上任一点的电势为：
q V =4 = 2 2 1 πε o r 4πε o ( x + R )
求：轴线上任一点的场强。 解：
q
2
E = Ex =
V x
R
r
x
P
x
a点的电势能：
Wa
a
qo E dl
电势能是系统的，不能反映场的性质，但其比值 w/q0与q0无关，反映的是场的性质。
２、电势
Wa Va E dl a qo
单位：伏特（V）
点的电势在数值上等于将单位正电荷从 a点移到 无穷远处静电场力对它所作的功。
a
B2
n
φ B3 I I
dn
B1
dl
I
电势梯度矢量： 记为： 即
V dV V
B2
n
B3
φ dn
B1
II I
dl
dV n dn
大小：电势梯度的大小等于电势 在该点最大空间变化率 方向：沿等势面法向，指向电势增加的方向
三、场强与电势梯度的关系
dAB1B2 qo V V dV qo E dn