混沌
混沌的定义基本特征
2.1.2 混沌的基本特点混沌理论是近代非线性动力学中重要的构成部分，固然混沌的定义多复杂杂，但混沌仍是有自己的一些与其余非线性系统所没有的基本特点，详细表现为以下 [37,38,39]：(1)对初始条件的敏感性经典学说以为：确立性的系统只需初始条件给定，方程的解也就随之确立了。
一个随时间确立性变化或拥有轻微随机性的变化系统，称为动力系统，它的状态可由一个或几个变量数值确立。
在动力系统中，两个几乎完整一致的状态经过充足长时间后会变得毫无一致，恰如从长序列中随机选用的两个状态那样，这类系统被称为敏感地依靠于初始条件，这就是系统对初值的敏感，还有混沌的敏感表此刻一些控制参数的变化。
1972 年洛伦兹在华盛顿科学进步协会上的报告上指出：“在巴西的一只蝴蝶拍打翅膀会引起得克萨斯州的一场龙卷风”。
这就是有名的“蝴蝶效应”。
这句话的意思是说随意一个细小的扰动可能会惹起世界另一边天气的变化，这类细小的扰动好像蝴蝶扇一下翅膀，都有可能发生巨大的改变。
这一现象的指出就是对混沌初值敏感性的最好的解说。
(2)整体稳固局部不稳固稳固性是相关扰动现象的。
假如一个动力系统中发生稍微的变化，这个系统还会保持它的运动状态，保持它的能力和属性。
混沌的整体稳固性指一个细小的扰动也不会改变系统原有的性能。
一个系统其实不可以不过绝对的稳固，还要有局部的稳固，这样这个系统才能进化。
局部不稳固性表此刻混沌对初值的敏感依靠性，一个细小的初值变化就会惹起系统局部的不稳固。
(3)奇异吸引子及其分形奇异吸引子将混沌运动的特点初始条件的敏感性和确立性的随机直观地反应出来。
在耗散系统中间，当连续流在缩短体积时，一边缘这些地方压缩，另一边又沿其余地方延长。
可是连续流是固定在一个有界的地区内，这类伸缩和折叠过程会使运动轨道在奇异吸引子上产生混沌运动。
可见，奇异吸引子是轨道不稳固和耗散系统相体积缩短两种要素的内在性质同时发生的现象[40]。
它的几何特征由分形来刻画，拥有大尺度与小尺度之间的相像性，拥有无量无尽自相像的精美图案，拥有分数维数。
混沌概述
R为有理数 R为无理数
无理环面
近可积体系的相空间特点
有理环面的变化
有理环面消失，被无穷 嵌套的不变环面替代 呈现一种自相似结构
无理环面的变化
KAM定理
当微扰充分小时，相空间 中绝大部分无理环面经微 扰后仅发生光滑变形，系 统在这些光滑环面上保持 其准周期运动
KAM环面的存在使混沌 运动限制在局域范围之内
混沌经典模型-虫口模型
分岔
动力学系统中当控制参量改变时，其演化行为会 发生一个结构的突然变化
R=3.5699时进入混沌
虫口模型的分岔图
李天岩-约克定理
定理一
周期三的出现预示所有的周期都有可能出现
定理二
由不同初值出发的两条轨道就会有时靠得极近， 有时又必定离得足够远，即产生了混沌。
动力学系统
保守系统
连续系统
耗散系统 动力系统 耗散系统
离散系统
保测度映射
有阻尼无驱动的单摆
耗散系统的扩展相图
有驱动无阻尼的单摆体系
保守系统的相图
庞加莱截面图
庞加莱截面是运动轨迹与选取的平面相交之
后形成的截面图
周期轨迹：截面图上为 孤立，离散的周期点 准周期轨迹：在截面图 上表现为封闭曲线 混沌的轨迹：在截面图 上表现为混乱、弥散的 点
什么是混沌
蝴蝶效應
什么是混沌
不规则中蕴藏秩序
天气看似无法精确预报，但年复一年程序一定 的规律性 可以对短期做出有效的预报
混沌
确定的但不可预测的运动状态
作为系统基础的动力学是确定的； 个别结果敏感依赖初始条件，长期行为不可预 测；
混沌(授课)
身边的混沌现象（ ） 身边的混沌现象（2）
3. 当您去海边游玩的时候，您可曾想到过您是否能测出海 岸线的长度？其实，您永远也测不出它的长度，因为它是分 形的。您使用的度量尺寸却精确，那么得出的结果就越长。 4. 一个正常人的心跳是呈混沌的，越混沌的话，您的心脏 越健康。 5. 混沌理论已经被用来决定为孩子种植麻疹疫苗的最佳时 间。
混沌知识简介 混沌知识简介
1、什么是混沌？ 什么是混沌？
对初始条件的敏感性 初始条 规则之中仍存在秩序 规则之中仍存在秩序
什么是混沌？ 是混沌？
对初始条件的敏感性 初始条
-微小差异也可造成巨大变化 微小差异也可造成巨大变 -推翻物理学上小误差可忽略的观念 推翻物理学上小误差可忽略的观
什么是混沌？ 是混沌？
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进 会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀， 有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的 演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以 后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬 了。 “蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、 发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学 色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。 从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运 动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的 系统的长期行为对初始条件的 敏感依赖性。 敏感依赖性。
蝴蝶效应 蝴蝶效应
-一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个月后在美国德州发生一场龙卷 蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个 在美国德州发生一场龙卷 风？ -Edward N. Lorenz的气象预报 Lorenz的
什么是混沌？ 是混沌？
以只差0.001的初始值迭代而出現两种截然不同的结果 的初始值迭代而出現两种截然不同的结 对y=2x2-1以只差 以只差 的初始值迭代而出現两种截然不同的
混沌现象的特征
混沌现象的特征
混沌现象是一种复杂的非线性系统行为，它具有以下几个特征： 1. 灵敏依赖于初值：混沌系统的演化极其敏感，微小的初始条件差异会引起系统演化的剧烈差异。
2. 长期不可预测性：混沌系统的演化表现出无规律可循的特点，长期的预测几乎是不可能的。
3. 非周期性：混沌系统的演化不会呈现出周期性的规律，因为小的随机扰动会导致系统进入不同的状态。
4. 非线性：混沌系统的演化不遵循线性关系，系统的响应呈现出非线性的特征。
混沌现象在天文学、生物学、物理学、经济学等领域都有广泛的应用，深入研究混沌现象对于我们深入理解自然界的演化规律和复杂系统的行为具有重要的意义。
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混沌怎么读
混沌怎么读
混沌，即混沌旨趣，发音为[hún dùn]。
混沌是中国古代哲学思想，认为宇宙最初是混沌一片，故取名“混沌”，它是一种混合激烈
卤料、大哉乱吠、非彼非此的状态。
这一说法最先出现在殷周古代的杂糅文中，即“海绵
洪涌起原本之混沌”。
混沌概念从源头来说，可以追溯到西洋先知科学的景观，例如迪斯科的无序、范登堡的无
限曲折。
混沌一词在近代科学理论中也发挥了巨大的作用。
美国科学家克里夫引入了混沌
理论，认为宇宙有确定的规律，但它们也会出现短暂的混沌混乱，从而使得宇宙有万物自
然不断演变的可能性。
在经济学方面，混沌概念也有着重要的影响，比如麦克斯韦在他的研究中是从混沌理论出发，用局部景观理论来说明货币波动的原因。
而混沌的概念可以用来表征的各种复杂的模式，也可以用来提高对客观现实的理解，同时也被应用于计算机算法设计、科学研究与社
会体系模拟等方面。
总的来看，混沌的概念已经广泛应用于科学研究中，是科学研究里不可或缺的一种理论，它既澄清了科学本原，同时也提出了客观现实如何能够演变的模式。
尤其对于经济学来说，混沌概念是一种丰富多彩的概念，它可以提供全面客观的观点及诸多信息，从而帮助我们
更好地理解客观现实，帮助预测未来的发展情况。
同时，它也可以用于计算机算法的设计，以及模拟社会体系的建模研究中。
混沌的概念一直对新的研究成果产生重要的影响和推动，它也会在未来研究发展中起到重要作用。
中国神话故事混沌的主要内容
中国神话故事混沌的主要内容（原创实用版4篇）篇1 目录I.引言II.混沌的起源A.混沌的定义B.混沌的传说C.混沌的特点III.混沌的影响A.混沌对文化的影响B.混沌对哲学的影响C.混沌对科学的影响IV.结论篇1正文中国神话故事“混沌”是一则描述宇宙起源和万物初始的古老传说。
它深刻地阐述了宇宙从无序到有序，从虚无到存在的过程，是中国古代文化中的重要组成部分。
I.引言“混沌”是中国古代神话故事中的一个重要角色，被描绘为宇宙的起源和万物初始的状态。
它象征着一种无序、无组织和无边界的状态，是宇宙诞生之前的虚无状态。
II.混沌的起源1.混沌的定义：混沌是一种无边界、无方向、无规则的状态，是宇宙诞生之前的虚无状态。
2.混沌的传说：混沌是盘古开天辟地之前的状态，是宇宙诞生之前的虚无状态。
盘古用斧头劈开了混沌，清气上升，浊气下降，才有了天地之分。
3.混沌的特点：混沌是一个无边界、无方向、无规则的状态，是宇宙诞生之前的虚无状态。
它代表着宇宙诞生之前的虚无状态，是一种无边界、无方向、无规则的状态。
III.混沌的影响1.对文化的影响：混沌是中国古代文化中的重要组成部分，被描绘为宇宙的起源和万物初始的状态。
它深刻地阐述了宇宙从无序到有序，从虚无到存在的过程，是中国古代文化中的重要组成部分。
2.对哲学的影响：混沌被视为一种哲学思想，强调了自然界的复杂性和多样性。
它认为自然界中不存在完全有序或完全无序的状态，而是存在着一种平衡和复杂性的状态。
这种哲学思想深刻地影响了中国古代文化和哲学思想。
3.对科学的影响：混沌的思想对现代科学产生了深远的影响。
现代物理学中的“混沌现象”就是受到了中国古代文化中混沌思想的影响。
混沌现象是指在一个非线性系统中，由于某些参数的变化或扰动，系统会出现无法预测的行为和结果。
篇2 目录I.引言II.混沌的起源A.混沌的神话定义B.混沌的传说故事C.混沌的特点和象征意义A.混沌在中国文化中的地位B.混沌在文学、艺术和影视作品中的应用C.混沌对现代社会的影响IV.结论篇2正文中国神话故事混沌是一个古老而富有深意的神话故事，它讲述了宇宙的起源和万物如何形成。
混沌名词解释
混沌名词解释混沌名词解释一、概述混沌是一个用于描述非线性系统中的无序、不可预测行为的数学概念。
它源自于希腊神话中的混沌之神，意味着无序、杂乱和无规律。
二、混沌理论1. 定义混沌是指非线性动力系统中的一种状态，其特征是系统在长时间演化过程中表现出极其敏感的依赖初始条件和微小扰动的特性。
简单来说，就是微小的变化会导致系统演化出完全不同的结果。
2. 混沌吸引子混沌吸引子是描述混沌系统演化过程中所呈现出来的吸引态。
它具有分形结构，即在不同尺度上都具有相似的形态。
混沌吸引子可以帮助我们理解和描述复杂系统中的无序行为。
三、混沌现象1. 灵敏依赖初始条件混沌系统对初始条件极其敏感，微小差异会导致系统演化出完全不同的结果。
这种现象被称为“蝴蝶效应”，即蝴蝶在某个地方轻微拍动翅膀，可能会引起在另一个地方的龙卷风。
2. 随机性和确定性混沌系统表现出随机性和确定性的结合。
尽管系统的演化是确定的，但由于初始条件的微小差异，结果变得无法预测，呈现出随机性。
3. 分岔现象分岔是混沌系统中常见的现象。
当控制参数逐渐变化时，系统可能会从一个稳定状态突然跳跃到另一个稳定状态或周期状态，这种突变称为分岔。
四、应用领域1. 自然科学混沌理论在自然科学领域有广泛应用。
在气象学中，混沌理论可以帮助我们理解气候系统中的不可预测性；在天体物理学中，混沌理论可以解释行星轨道的复杂运动等。
2. 工程与技术混沌理论在工程与技术领域也有重要应用。
在通信领域中，利用混沌信号可以实现加密通信；在控制系统中，利用混沌控制方法可以实现对非线性系统的稳定控制等。
3. 社会科学混沌理论在社会科学领域也有一定的应用。
在经济学中，混沌理论可以帮助我们理解金融市场的波动和非线性行为；在社会学中，混沌理论可以用于研究人类行为和社会系统的复杂性等。
五、总结混沌是描述非线性系统中无序、不可预测行为的概念。
它具有灵敏依赖初始条件、随机性和确定性的特点，以及分岔现象。
混沌理论在自然科学、工程与技术以及社会科学等领域都有广泛应用。
混沌什么意思
混沌什么意思
hùn dùn
混沌，汉语词语，读音hùn dùn，也写作浑沌，中国古人想象中天地未开辟以前宇宙模糊一团的状态，也常用来形容思想模糊不清，不分明。
解释：
1、古代传说中指世界开辟前元气未分、模糊一团的状态。
2、浑然一体，不可分剖貌。
3、模糊；不分明。
4、糊涂。
5、古代传说中央之帝混沌，又称浑沌，生无七窍，日凿一窍，七日凿成而死。
比喻自然淳朴的状态。
6、兽名。
混沌的近义词：含混、模糊、浑沌、朦胧。
混沌的反义词：清晰、清楚。
词语造句：盘古把混沌的天地劈开，才有了我们现在的天与地。
混沌现象的特征
混沌现象的特征
混沌现象指的是一类看似无序，却又具有规律性的现象。
在数学、物理、生物等领域中，混沌现象被广泛研究，其特征主要表现在以下几个方面：
1.敏感依赖于初始值。
混沌系统的行为具有高度的不确定性，很小的初始变化可能会
导致系统的完全不同结果。
这意味着，对于一个混沌系统，预测其未来行为是几乎不可能的。
因此，混沌现象也被称为“蝴蝶效应”。
2.非周期性。
与周期性现象不同，混沌现象的行为没有规律可循。
尽管它可能存在某
些规律性和周期性现象，但它们是随机的、不可重复的、不断变化的。
3.大量的稳定和不稳定的运动轨迹。
混沌动力学的系统通常有许多可能的轨迹，有些
轨迹是稳定的，也有些轨迹是不稳定的。
这些轨迹形成了混沌系统中的“吸引子”，其形
状和特性具有非常高的复杂性。
4.自相似性。
混沌系统中的某些部分可能与整个系统存在相似性。
这意味着，无论选
择哪个尺度来观察混沌系统，其表现形式都可能具有同样的特征。
5.非线性。
混沌系统的动力学通常是非线性的。
这意味着，系统的响应不仅取决于输
入的大小，也取决于输入和输出之间的关系。
6.浅激发和迭代机制。
混沌系统的行为通常涉及迭代和浅激发机制。
这些机制可以导
致系统穿越某些分界线并产生混沌行为。
总之，混沌现象具有高度的不确定性和复杂性，无法用传统的数学方法进行精确预测。
然而，研究混沌现象不仅可以帮助我们更好地理解自然现象，还可以为科学家和工程师提
供创新的思路和应用基础。
2_混沌的基本概念
eλ x
λ >0
λ =0
λ<0
0
15
x
2. 混沌基本特征与混沌定义
自动化学院
School of Automation
“混沌是一种拉伸与折叠的变换”。这一特征是上面提及的 “混沌是有界的、具有正的李氏指数”的另一种表述。拉伸 与折叠是混沌运动的两种机制，缺一不可。拉伸是一种发 散机制，但如果只有拉伸的话，系统的行为就会发散。因 此，还必须有一种使系统行为不发散的机制，即保证系统 的行为是有界的，这就是折叠机制。拉伸与折叠两种机制 共同作用的结果，使得系统产生混沌行为。拉伸与折叠的 变换可用动力系统中的马蹄映射和双边符号动力系统来 描述。数学上已经证明，马蹄映射所对应的双边符号动力 系统是混沌的。
相接，形成了一个闭合圈，因而具有周期性，如上图所示。当 x0 是 f 的一个周 期 n 点，有 f ( n + k ) ( x0 ) = f ( k ) ( x0 ) ，则
O + ( x) = {x, f ( x), f ( 2 ) ( x), , f ( n ) ( x),}
只有 n 个不同的元素。 定义 2：在 f ( n ) ( x0 ) = x0 中，若 n = 1 ，则 f ( x0 ) = x0 ，迭代值不变，则称 x0 为 周期 1 点，周期 1 就是不动点，亦即 f ( x) 与对角线的交点就是不动点。 定义 3：根据定义 1，在 f ( n ) ( x0 ) = x0 中，若 n → ∞ ，从 x0 开始迭代，所有 的迭代值 x0 , x1 , x2 , , xn , 永远都不会闭合，因此迭代出无穷多个值，这无穷个 值也无法形成一个闭合圈，因而只能是非周期的，非周期的最终性态则体现出 一种不可预测和随机性。 定义 4：若给迭代值 x0 , x1 , x2 , , xn , 一个扰动，使它们偏离原来的值，但 多次迭代后仍能稳定到原来的值，称为稳定的周期点，如果是越来越偏离原来
混沌做法大全及方法
混沌做法大全及方法
不知道大家有没有吃过混沌呢，混沌是一种非常好吃的东西，它不仅美味，而且蕴含了极高的营养价值，长期食用，对我们的身体大有裨益，很多人都会做混沌，把混沌的营养全部溶在汤里面，可以是营养充分吸收，可能大家对于混沌做法大全还不太熟悉吧，下面就让我们一起来了解一下混沌做法大全的方法吧。
做法：
原料：猪肉末500克、鸡蛋一个、盐8克、白糖3克、味精
3克、虾米15克、葱10克、姜10克、馄饨皮。
其它配料：豌豆苗200克、香醋20ml、酱油15ml、白糖3克、熟猪油3克、白胡椒3克、油辣椒适量。
做法：
1、提前将虾米用温水浸泡至软，留下泡发虾米的水备用，然后分别将虾米、葱、姜都切成大小均匀的末；
2、然后在猪肉馅里加入切碎的葱、姜、虾米，加入盐、鸡蛋、白糖、味精，搅拌均匀，用筷子将混合的肉馅沿着同一个方向搅打出筋；
3、然后取一张馄饨皮防于手心，将适量肉馅放在馄饨皮的1/3处，按照图示卷起，将两头粘紧即可；
4、汤锅中的水烧沸后，将洗净的豌豆苗放入焯烫几秒钟，然后沥水捞出，同时在碗中放入香醋、酱油、糖、白胡椒、熟猪肉等调料，做成酸辣馄饨的调料汁；
5、汤锅中的水再次烧沸后，放入馄饨，用漏勺搅匀防止粘底，保持中火，汤煮沸后淋入100ml左右的凉水，继续煮，直到沸腾后再次淋入凉水，至少加入2-3次凉水后，馄饨皮变得透明柔软即可出锅，稍稍沥干水分，盛在酸辣汁中，根据自己口味淋
入适量油辣椒即可。
以上内容为我们介绍了混沌做法大全，我们都可以通过以上的学习有所收获，混沌做法大全的确是一道不错的选择，我们可以学习一下，为我们的家人带去更多的美味，让更多的人都可以尝到更多的美味，同时也给我们身边的人带去更多的健康。
混沌理论及应用
分形(fractal)－混沌世界的秩序
毛线的维度＝? 远距离來看，线团凝聚成点，维度为零； 再近一点，看出来毛线团点据球形的空间，维度扩展成三； 再走近一些，看出毛线团是由一根根毛线所构成，他的维度 为一，
后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次 输入中间数据时将原来的0.506127省略为 0.506 。洛伦兹意识到，因为他的方程是 非线性的，非线性方程不同于线性方程， 线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性 方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条 件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。 由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预 报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象 的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会 在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这 就是蝴蝶效应。
• 得到的结论是：海岸线的长度是多少： 决定与尺子的长短。 • 海岸线的长度是无限的！ • 而显然海岸线的面积为零； • 而我们确实看到了海岸线的存在，而且 海岸线应该是有界的。 • 海岸线什么有界？（长度、面积、体积 显然无界）。
ห้องสมุดไป่ตู้
Koch 曲线
天空中的云朵 植物的叶子
自然界中的分形
山
星 云
分形(fractal)－混沌世界的秩序
结构：由不断的图形迭代而成 利用简单的规则让系统复杂；
从复杂不可解的系统中找到简单美妙的秩序。
分形(fractal)－混沌世界的秩序
古典欧式几何：重视实际可测的 量值 例如：长度、深度、厚度
分形：无法单纯用整数维度来描 述
分形(fractal)－混沌世界的秩序
一、混沌的基本概念及特征
混沌怎么读
混沌怎么读混沌(汉语拼音： ho dun ɡ)是汉语词语，出自明代吴承恩《西游记》，形容模糊一片。
混沌(mu dun ɡ)1、浑沌(in dun ɡ)：形容糊涂不清。
2、傻气：指痴愚而又顽固。
3、犹豫：模棱两可。
4、暗暗地，糊里糊涂地。
5、迷糊：模糊，含糊不清。
6、糊口：生计。
7、模糊：边沿不分明，不锐利，与“清楚”相对：模糊。
模糊不清。
模模糊糊。
模棱两可。
8、团团转：迷惑地转来转去。
9、糊里糊涂：混乱;模糊。
不明事理。
也作“煳里煳涂”。
10、拌：混杂，搀和：拌料。
11、含糊：含混不明确：含糊其词。
话说得含糊。
12、无知：无知识，没有知识：智力低下。
13、无意义的：模糊。
14、感情冲动：混乱的感情从胸中迸发出来。
15、装糊涂：装作不懂或不明白：装糊涂。
16、模样：原来的样子。
17、糊弄：对人对事不认真，敷衍了事：这件事让我很糊弄。
18、心思，用心，动脑筋：他想法太糊弄了。
19、勉强：费力而不讲究效果：最近的天气老是混沌不清。
20、糊涂虫：比喻不开化的人。
21、迷惘，摸不着头绪：我很混沌，也就是说我不懂、不知道，没办法。
22、困扰，使不能顺利进行：很多因素使我在工作中遇到很多问题，混沌了我的思路。
23、一向：一直。
24、布置，陈设：布置考场。
25、欺骗：对人隐瞒实情，装作糊涂，骗取：装糊涂。
26、迟钝：思想和感觉反应较慢：这个年轻人脑袋瓜儿有点儿混沌。
27、胡言乱语：说得很乱，没有条理，没有中心思想：你们别听他瞎胡混。
28、相处不长时间：刚结婚的小俩口，还是同老两口一起过日子，就过得很混沌。
29、说话做事不明朗：这个青年的思想有些混沌，看不清事物的本质。
30、糊涂蛋：混蛋。
31、憨厚：淳朴，忠厚，真诚，厚道。
32、糊弄：对人或事不负责任，马虎应付：糊弄事儿。
2、傻气：指痴愚而又顽固。
3、犹豫：模棱两可。
4、暗暗地，糊里糊涂地。
5、迷糊：模糊，含糊不清。
第七讲 混沌
4.第三层次——非线性动力学中的混沌定义 混沌一词由美籍华人学者李天岩（Li T Y） 和他的导师约克Yorke J A（美国数学家）于1975 年首先提出。1975年他们在《周期3意味着混沌》 的文章中给出了混沌的一种数学定义，现称为 Li —Yorke定义。
Li —Yorke定义：
设连续自映射 f : I I R, I是R中一个子区 间。如果存在不可数集合 S I 满足： （1）S不包含周期点。
三、研究定义——混沌概念的演化
1.综述 “混沌”或“浑沌”一词最早在中国和希腊 的神话故事中出现。“混沌”在英文、法文、德 文中都写作“chaos”，俄文中写作“xaoc”都来源 于希腊文“xaos”。 混沌的概念在不断演化，其演化的过程和阶 段大致分为古代理解的混沌、一般科学混沌涵义 和具有严格定义的非线性动力学混沌三个层次。
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18世纪法国数学家拉普拉斯预言：“设想 有位智者在每一瞬间得知激励大自然所有的力 以及组成它的所有物体的相互位置。如果这位 智者如此博大精深,它能对这样众多的数据进行 分析，把宇宙间最庞大物体与最轻微的原子的 运动包含在一个公式中，那么对他来说没有什 么事情是不确定的，将来就像过去一样展现他 的眼前。” 然而，1963年美国著名的气象学家洛伦兹 （Lorenz EN）在数值实验中首先发现，在确 定性系统中有时会表现出随机行为这一现象， 他称为“决定论非周期流”这一论点打破了拉 普拉斯决定论的经典理论。
牛顿力学的形成：对物体运动确定性的描 述，称为确定性理论。 例：对某系统，已知合力F及初始运动状 态，此系统以前和以后的状态是完全确定的， 即可重现或预报。
已知x0 0, v0 0, F 5N, m 1kg
混沌概念
混沌中几个重要的概念混沌现象不但普遍存在于自然界中，而且它的发现对描述客观世界通常用的数学物理方法及其观念都有着深刻的影响。
为此，我们首先了解与混沌有关的几个概念。
一、确定论与概率论对同一客观世界，在物理学中有确定论和概率论两套描述体系。
牛顿力学是确定论的典型代表。
一组确定的初值与牛顿方程结合就导致一条确定的轨道，这称为一一对应。
知道了轨道上的任何一点就知道了系统演化的全貌，即不但知道了它的过去也知道了它的未来。
按确定论，如果初始条件有微小的差别，轨道的差别也不大，即对初始条件的不敏感性，只有这样才能对系统的将来和过去进行准确的预测。
热力学和流体力学系统是概率论描述的代表，虽然系统的每个分子都遵循牛顿力学，这是确定性的，但由系统的微观态到宏观态就出现了不确定性。
一个平衡态对应许许多多微观态，这种一多对应关系就导致了不确定性。
我们不知道系统到底处在哪个确切的微观态，而只是知道系统处在每个微观态的几率是多大。
对于孤立系统，众多不同的非平衡最终都要归于一个平衡态，这又是多一对应关系，从最终的平衡态无法判断系统来自于哪个非平衡态，这就是Prigogine所说的，未来并不完全包含在过去之中。
二、外在随机性和内在随机性确定性行为一定产生于确定性方程。
确定性方程是指方程中所含的参数和初始条件都是确定的。
随机行为产生于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。
随机微分方程是指微分方程中含有随机参数、随机初始条件或者随机外界强迫。
随机微分方程表现的随机性是系统与外部环境相互作用产生的，故把它称为外在随机性。
确定性本身并不包含任何随机因素，但在一定参数范围却能产生出看起来很混乱的结果，我们把由确定性方程产生的随机性称为内在随机性。
混沌就是由确定性方程产生出来的随机现象。
例如，Lorenz 方程式确定性的，但在相同初始条件下重复计算的输出结果却又很大的随机性。
三、湍流1883年英国物理学家雷诺（Reynold ）做了一个著名的实验，在一个可控制流速的圆管中注入液体，并在圆管中心轴线入口处引入一丝有色液体，以便观察流体的运动状况。
混沌制作方法
混沌制作方法
混沌是一种传统的中式点心，外皮薄而脆，内馅鲜美可口。
制
作混沌并不复杂，只需要一些耐心和技巧，下面我将介绍一下混沌
的制作方法。
首先，我们需要准备好制作混沌的食材。
一般来说，混沌的馅
料可以根据个人口味来选择，比如猪肉、韭菜、虾仁等。
另外，我
们还需要面粉和水来制作混沌的皮。
接下来，我们来制作混沌的皮。
首先，在一个大碗中倒入面粉，然后慢慢加入适量的水，一边搅拌一边加水，直到面团开始成形。
然后将面团放在案板上，揉成光滑的面团，盖上湿布，静置半小时。
在面团静置的时候，我们可以开始准备馅料。
将猪肉剁成肉末，加入葱姜蒜、盐、鸡精等调料搅拌均匀，再加入适量的水搅拌至起胶。
如果选择其他馅料，也可以根据个人口味来进行调配。
面团静置半小时后，我们可以开始包混沌了。
将面团揉成长条，切成小剂子，然后用擀面杖擀成薄皮。
将馅料包入薄皮内，然后将
边缘捏紧，捏成一个小馄饨状。
包好的混沌可以直接下锅蒸煮，也可以放入冷冻库保存，方便日后食用。
蒸煮的时间大约为8-10分钟，待混沌浮起即可捞出。
制作好的混沌可以搭配各种蘸料，比如醋、酱油、辣椒油等，口感更加丰富。
另外，混沌也可以作为火锅的配菜，或者加入汤中煮熟，都是非常美味的。
总的来说，制作混沌并不难，只要掌握了一些技巧和方法，就可以在家里轻松制作出美味的混沌。
希望以上的制作方法对大家有所帮助，祝大家制作成功，享受美食！。
混沌原理实验报告
一、实验目的1. 了解混沌现象的基本概念和特点。
2. 掌握混沌现象的产生原理。
3. 通过实验观察和测量，验证混沌现象的存在。
4. 理解非线性系统在混沌现象中的作用。
二、实验原理混沌现象是指非线性系统在满足一定条件下，表现出对初始条件的极端敏感性和长期行为的不确定性。
混沌现象具有以下特点：1. 对初始条件的极端敏感性：混沌现象的长期行为对初始条件极为敏感，微小差异会导致长期行为的巨大差异。
2. 非周期性：混沌现象的轨道是不封闭的，不具有周期性。
3. 非线性：混沌现象的产生与非线性系统密切相关。
本实验通过构建一个非线性电路，观察混沌现象的产生过程，并分析混沌现象的动力学特性。
三、实验器材1. 函数信号发生器2. 示波器3. 非线性电路实验板4. 电压表5. 电流表6. 电感器7. 可变电阻8. 电容器四、实验步骤1. 搭建非线性电路实验板，连接好各个元件。
2. 打开函数信号发生器，输出一个正弦信号，频率为1kHz，幅度为1V。
3. 通过调节可变电阻，使电路中的电感器和电容器组成一个谐振回路。
4. 使用示波器观察电路输出端的波形，记录波形特征。
5. 逐步增加函数信号发生器的输出幅度，观察波形变化。
6. 当输出幅度达到一定程度时，观察混沌现象的产生，记录波形特征。
7. 使用电压表和电流表测量电路中电感器和电容器的电压、电流，分析电路参数对混沌现象的影响。
五、实验结果与分析1. 在实验过程中，当函数信号发生器的输出幅度逐渐增加时，电路输出端的波形逐渐从正弦波转变为非周期性波形，即混沌现象。
2. 当输出幅度达到一定程度时，混沌现象产生，波形呈现出复杂的振荡、分岔、振荡消失等现象。
3. 通过测量电路中电感器和电容器的电压、电流，发现电路参数对混沌现象的产生和演化具有重要影响。
4. 在实验过程中，观察到混沌现象的长期行为对初始条件极为敏感，微小差异会导致长期行为的巨大差异。
六、实验结论1. 本实验验证了混沌现象的存在，并观察到混沌现象的产生过程。
混沌词语解释
混沌词语解释
"混沌"一词源自于古代中国哲学，指的是天地刚刚形成时的一种状态。
它是指乱、杂乱无序、没有规则、没有规律、没有条理的状态。
在宇宙形成初期，还没有出现有序的天地，一切事物被认为是处于混沌之中。
"混沌"在中国哲学中也常用来比喻人事物的混乱、无序和杂乱无章。
例如，形容社会上的乱象、道德败坏等都可以用"混沌"来形容。
此外，在一些宗教或神话传说中，也有描述混沌为一种神秘且强大的存在。
例如，在《封神演义》中，混沌被描述为道初之始，大自然最早的形态。
总体而言，"混沌"可以形容一种无序、杂乱、难以理解或掌控的状态。
中国神话传说混沌的主要内容(一)
中国神话传说混沌的主要内容(一)中国神话传说混沌的主要内容1. 起源之初：混沌的存在•在中国神话传说中，混沌被视为宇宙的起源之一。
•混沌没有明确的形态，是一种模糊、无序、混沌的存在。
•混沌是一切事物的原始状态，没有形态、时间和空间的界限。
2. 相关神话传说盘古开天辟地•盘古是中国神话传说中的开天辟地者。
•在宇宙形成之前，盘古被困在混沌之中。
•盘古开天辟地，用斧子破开混沌，将天地分离出来。
•盘古的一天一夜的时间是人间的一年，他成长的时候，天地的形态也随之变化。
混沌与夸父追日•夸父是中国神话传说中的狩猎之神。
•夸父追逐太阳，但太阳跑得太快。
•夸父为了追上太阳，不断奔跑，在追逐的过程中顺手将混沌之中的河流湖泊都喝干了。
混沌与伏羲女娲•伏羲女娲是中国神话传说中的人类始祖，也是文化的创造者。
•伏羲女娲在混沌之中创造了人类，为人类带来了智慧和道德准则。
•伏羲女娲的创造行为使得混沌中的天地有了秩序和规律。
共同点和差异•这些神话传说都包含了混沌的存在和起源。
•盘古开天辟地和伏羲女娲在神话中代表了创造力和秩序的产生。
•夸父追日则展示了神话中对追求和探索的追求。
•尽管这些神话有不同的角度和形态，但它们都揭示了混沌是中国神话传说中重要的概念。
3. 混沌的象征意义•混沌象征着一种无尽的可能性和原始的状态。
•它代表了宇宙起源之前的空白和虚无。
•在中国文化中，混沌常常与创造、改变和转化联系在一起。
结论中国神话传说中的混沌是一个重要的概念，象征着宇宙的起源和无尽的可能性。
在盘古开天辟地、夸父追日和伏羲女娲等神话中，混沌被赋予了不同的意义和角色，但它们都揭示了人们对于创造、秩序和追求的追求。
混沌是中国文化中不可或缺的一部分，代表着转变和变化的源泉。
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对初值不敏感依赖的系统，可以是线性的也可以是非线性的。但对初值敏感依赖的系统却只有非线性的才有可能。确定论系统的随机性是由非线性所致。
单摆和布朗运动是两种极端情况，自然界中常见的运动形态，往往既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于二者之间。因此混沌系统是非常广泛的。
混沌现象19世纪就观察到了，但由于混沌的研究非常复杂，需要很高的数学要求，所以当时没有进展。计算机的广泛应用，为人类，也为数学家打开了另外一个窗口。在求解微分方程上，有了一种称之为数值解的东西。于是混沌第一次被提出在1975年。混沌理论是近年来非线性科学取得的重要成果。
不确定系统
不确定系统的研究是从赌博开始的，这就是概率论，数理统计和随机过程。这个在经济方面目前用得很广泛，好理解但要深入却难。它在物理学的应用好象开始是热力学的布朗运动，气体分子的运动呈现统计
在上个世纪（20世纪），量子理论的诞生，它却是建立在概率统计的基础上，最典型的是测不准原理，就是你无法同时测量到微观粒子的位置和动能，只能测到其中一个量，这样微分方程一开始就没有初始值，更谈不上求解了。
确定论系统
确定论系统——描述其数学模型是不含任何随机因素的完全确定的方程的系统。
确定论系统不一定是完全确定的。这意思说确定论系统给出的条件是确定的，但运行的结果可以是不确定的。以牛顿力学为中心的经典物理学忽视了这一点，认为只要给定了初始条件，该确定论系统以后的所有状态都能事先预知。即使初始条件有小小的变化，同样可以精确的预言。牛顿的这种决定论观念，经过拉普拉斯的发展，到十九世纪中期达到顶峰。其标志是法国天文学家勒威耶根据牛顿力学计算，于1846年预言了海王星的轨道，几星期后德国天文学家加勒在该轨道上果真找到了这颗星。
混沌的特征：
总结混沌现象可知有如下几个基本特征：
1、 内在随机性：从确定性非线性系统的演化过程看，它们在混沌区的行为都表现出随机不确定性。然而这种不确定性不是来源于外部环境的随机因素对系统运动的影响，而是系统自发产生的。
2、 初值敏感性：对于没有内在随机性的系统，只要两个初始值足够接近从它们出发的两条轨线在整个系统溟过程中都将保持足够接近。但是对具有内在随机性的混沌系统而言，从两个非常接近的初值出发的两个轨线在经过长时间演化之后，可能变得相距“足够”远，表现出对初值的极端敏感，即所谓“失之毫厘，谬之千里”。下面的蝴蝶效应说明这一点。
混沌系统
混沌——确定性系统的不确定现象。
混沌是确定论系统的随机行为的总称，它的根源在于非线性的相互作用。混沌不是混乱，它不同于平衡态，是一种序，是貌似无序的序。自然界中最常见的运动形态，往往既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于两者之间，这就是研究确定论系统中随机行为的重要意义所在。要清晰地给混沌下定义，还要讨论决定论系统对初值的细微变化的依赖情况。有三种情况：
其实任何一个理论体系，都必须首先建立一些原则，公理和公设。相对论的创立，就在于爱因斯坦突破了牛顿的绝对时空概念，而提出光速不变性原理。量子力学的突破就在于它运用了概率统计，但就因为这个，爱因斯坦拒绝接受，因为他有一个更大的前提，就是“上帝不掷骰子”。所以有人也说量子理论是建立在沙砾中的宏伟大厦。谁对谁错，现在看起来是量子理论占了先机，但以后呢？谁也不知道。
除此之外，混沌学家们还得到了一些其它的奇怪吸引子。可以断言，充分认识奇怪吸引子的作用，对许多问题的探索，都会有巨大的作用。不过，奇怪吸引子的数学理论是困难的，目前还处于起始的阶段。正像茹勒所说：“这些曲线的花样，这些点子的影斑，往往使人联想到五彩缤纷的烟火，或宽阔无垠的银河；也往往使人联想到奇怪的、令人烦躁不安的植物繁殖。一个崭新的领域展现在我们面前，其结构需要我们去探索，其协调（和谐）需要我们去发现。”
小的误差竟能带来巨大的灾难性后果，这一点早在1908年就被目光敏锐的庞加莱洞察到了。他在他的名著《科学与方法》中写道：
我们觉察不到的极其轻微的原因决定着我们不能不看到的显著结果，于是我们说这个结果是由于偶然性。如果我们可以正确地了解自然定律以及宇宙在初始时刻的状态，那么我们就能够正确地预言这个宇宙在后继时刻的状态。不过，即使自然定律对我们已无秘密可言，我们也只能近似地知道初始状态。如果情况容许我们以同样的近似度预见后继的状态，这就是我们所要求的一切，那我们便说该现象被预言到了，它受规律支配。但是，情况并非总是如此；可以发生这样的情况：初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差促成了后者的巨大误差。预言变得不可能了，我们有的是偶然发生的现象①。这一段几乎是百年前的话，不正是我们近几十年才揭开的混沌来源之谜吗？【交易之路收集整理】
混沌研究却粉碎了传统科学中这种对近似性和运动的收敛性的信仰。处在混沌状态的系统，或者更一般地说对于一个非线性系统，运动轨道将敏感地依赖于初始条件。洛仑兹已经发现，从两组极相邻近的初始值出发的两条轨道，开始时似乎没有明显的偏离，但经过足够长的时间后，就会呈现出显著的差异来。这就是说，初值的微小差异，在运动过程中会逐渐被放大，终会导致运动轨道的巨大偏差，以至于这种偏差要多大就有多大。在科学实验中，一种变化过程可能有一个临界点，在这一点上，一个微小的扰动可能被放大成一个重大的变化。而在混沌中，这种点无处不在，确定性系统初值的微小差异导致了系统整体的混沌后果。
洛仑兹从他关于长期天气预报的研究中悟出的正是这个道理。对于任何小块地区气候变化的误测，都会导致全球天气预报的迅速失真。不论气象观测站的网点如何密集，都不可能覆盖整个地球和从地面到高空的每一高度。在一尺之遥的空间范围内的一点气象涨落，都可能迅速波及到一尺之外、十尺之外、百尺之外的空间，小误差通过一系列湍流式的链锁反应，集结起来而成十倍、百倍、千倍地膨胀扩大，终于使天气预报变成一派胡言，在跨洋隔洲的地区形成山雨欲来风满楼的景象。洛仑兹非常形象地比喻说：巴西亚马孙河丛林里一只蝴蝶扇动了几下翅膀，三个月后在美国的得克萨斯州引起了一场龙卷风。人们把洛仑兹的比喻戏称为“蝴蝶效应”。这个看法当时并不为气象学家们所接受。据说洛仑兹把“蝴蝶效应”说给他的一个朋友以说明长期天气预报不可能时，他的朋友回答说“预报不会成为问题”，“现在是要搞气象控制”。洛仑兹却不这样看，他认为，人工改变气候当然是可能的；但是当你这样做时，你就无法预测它会产生什么后果。
（2） 系统对初值的敏感依赖（混沌系统）：某些确定论系统的初值稍稍变化（测不出来），经过一段时间后，各次的差别却明显表现出来（测量出“运动各异”）。在此情况下，以实验观察系统的运动是不可重复、不可预测的，表现出“随机性”。这就是混沌运动。
（3） 系统对初值的完全毫不依赖（非决定论系统即随机系统）：即初值一点不影响以后的行为。
上述几类吸引子，都代表规则的有序运动，所以只能用于描述经典动力系统，而不能描述混沌运动。有耗散的混沌系统的长期行为也要稳定于相空间的一个低维的点集合上，这些点集合也是一种吸引子。但是混沌之所以是混沌，就是它绝不可能最终到达规则的有序运动；因而在它的吸引子内部，运动也是极不稳定的。在这种吸引子上，系统的行为呈现典型的随机性，是活跃易变和不确定的。更为奇特的是，混沌系统的吸引子（点集合）具有极其复杂的几何图象，如果没有电子计算机这种高效工具，混沌吸引子是无法绘制出来的。所以茹勒和泰肯斯把它们称为“奇怪吸引子”，以区别于前述那几种“平庸吸引子”。奇怪吸引子既具有稳定性和低维性的特点，同时还具有一个突出的新特点，即非周期性——它永远不会自相重复，永远不会自交或相交。因此，奇怪吸引子的轨线将会在有限区域内具有无限长的长度。
3、 非规则的有序：混沌不是纯粹的无序，而是不具备周期性和其他明显对称特征的有序态。确定性的非线性系统的控制参量按一定方向不断变化，当达到某种极限状态时，就会出现混沌这种非周期运动体制。但是非周期运动不是无序运动，而是另一种类型的有序运动。混沌区的系统行为往往体现出无穷嵌套自相似结构，这种不同层次上的结构相似性是标度变换下的不变性，这种不变性体现出混沌运动的规律。
但是，任何测量都是有误差的，所以任何时候都不可能绝对精确地测定初始值。实验上给出的初值都只能是近似的。这个误差对系统的行为会不会有严重影响呢？经典力学断言，系统的行为或运动轨道对初值的依赖是不敏感的，知道了一个系统近似的初始条件，系统的行为就能够近似地计算出来。这就是说，从两组相接近的初值描绘出的两条轨道，会始终相互接近地在相空间里偕游并行，永远不会分道扬镳，泛泛的小影响不会积累起来形成一种大的效应。
dx/dt=-(y+z)
dy/dt=x+ay
dz/dt=b+xz-cz
这个方程组的特点是只有最后一个方程中含有非线性项xz。若斯勒由这个方程组得出了一个洛仑兹吸引子的变种若斯勒吸引子。
它也是由很多层次构成的复杂几何图象。与洛仑兹吸引子不同，若斯勒吸引子只有一片。它似乎是这样形成的：当z较小时，系统的轨道在(x，y)平面或平行于它的平面内向外旋；当x足够大时，z开始起作用，轨道在z轴方向拉长；当z变大后，dx/dt则变小，轨道又被拉回到x较小处。三个变量的交互作用，产生了轨线的复杂运动。
牛顿力学的数学基础是欧氏几何和微积分，一个给它构造了时空模型，一个给它提供了计算工具，只要知道现在时刻物体的位置和速度（动能），就可以计算出此物体过去和未来的位置和速度（动能），换句话说，就可以知道它的运动轨线。它的数学含义就是给定一个微分方程和它的初值，然后求解这个微分方程。但事实上，绝大部分微分方程是不可求解的（没有解析解的）【交易之路收集整理】